apostila Eletricidade Basica (Teoria) pt2

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[671
5 Potencial elétrico
5.1 Trabalho no campo de uma carga puntiforme
1
[19]
W - _'_frs Qq dr
AB - 4rrto rA r~
[18J
f'di=dr
f. di = Iflldilcos(O) Ifl = 1
Qq 'I"WA" = -(-1)'-~rr£o r rA
Qq 11)W =-(-1)'(---
A8 -4rr£o rs rA
W - J"-'- Q, dr
AB - A 4'1"tor~
Idn C05(0) = dr
.• .• 1 Qq -
F.dl =- - f.dl
4!T£0 r~
Eo trabalho de F entre os pontos A e B é dado por
J"' •WA" = A r . di
É importante observar que o resultado obtido para o trabalho da força eletrica mostra
daramente que ele não depende da particular trajetória entre os pontos A e B,
mostrando de fato que a força elétrica é conservativa, e por Isso admite energia
potendal.
Emdeslocamento elementar di, o trabalho de F é
fi = -'- £s. r, sendo f = (P_-:O) ou f = ~
4'1"to r1 OP r
Em um ponto fixo O situa-se uma carga elétrica Q. No campo elétrico dessa carga,
transporta-se uma carga de prova q desde um ponto qualquer A até um ponto qualquer
B. Na posição genérica P a carga Q sofre por parte da carga Q a ação da força F. A lei
de Coulomb dá
dW=F.di (17)
Quando uma partícula eletrizada se move em uma região do espaço onde existe
um campo elétrico sobre ela atuará uma força elétrica, que pode conferir à partícula
uma aceleração e consequentementeuma variação de sua veloddade, realizando
portanto um trabalho. A variação de energia dnética da partícula é calculada pelo
trabalho da força resultante sobre ela. Há forças que possuem a propriedade em que o
seu trabalho não depende da trajetória percorrida pela partícula entre dois pontos fixos .
Esse tipo de força é chamada de conservativa. Para esse grur.x> de forças pode-se definir
os conceitos de energia potencial e potendal. A força elétrica está dentro desse grupo,
sendo portanto uma força conservativa, O Que permite a definição de "'energia potencial
elétrica" e também de .potencial elétrico" .
•••••••••••••••••••I-••••••••••••••••
[6B)
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
~
[20]
,y\: _,,_o,,--
" -,--
U =_'_~
4nco r
zero
Qq 11U=Wp_p =-(-1)'(- --)
o -4I1LO a> r,.
trajetória 2
ouu = _'_Qq
411'lo r,.
,,',--,-'
A
U = WP"'Pa
Pode~seatribuir para um ponto de referência POI escolhido de forma arbitraria,
uma energia potendal igual a zero. A posição desse ponto de referência vai depender
da geometria da distribuição de carga elétrica que produz o campo elétrico a que é
submetido a carga de prova. No caso mais simples de considerar o campo elétrico como
sendo produzido por uma carga elétrica puntiforme Q é mais conveniente considerar que
o ponto de referênda esteja no infmito. Considera-se, portanto, qu~a energia potencial
U da carga de prova em ponto P qualquer como sendo o trabalho produzido pela força
elétrica quando essa carga é transportada do ponto P até o infinito, logo vem
5.2. Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme
Figura 6. A trajetória percorrida pela carga de prova q I entre os pontos A e B, não
modificao trabalho da força elétrica que atua sobre ela.
(69J
5.3. Potenoal elétrico de uma carga puntiforme
dV = -£. di [23]
IPo" -Vpo - Vp = - P t;. dI
dW =q£'di
dU = -q£' di
l • -
dV = -(-q£' dI)
q
dU = -dW
o trabalho elementar da força fica:
dW = F' di
E a variação elementar dU de energia potencial é:
Condui-se disso que o potendal elétrico produzido p~ruma distribuição continua
de carga é:
v = .!._'-Qq
q -4r((o r
v = -,_£ [22]
41'((0 r
Depreende-se que a variação elementar dV do potencial elétrico é:
v = ~U (21]
q
Para uma distribuição contínua de carga, faz-se um procedimento semelhante ao
da distribuição discreta. Considera-se a força elétrica F sot.,"e uma carga de prova q
expressa em função do campo elétrico E da distribuição continua de carga, ou seja:
5.4. Potencial elétrico para uma distribuição contínua de carga
No caso de considerar o potencial elétrico de uma carga puntiforme Q vem:
Um voit (simbolo V) é o potencial do campo em um ponto onde a carga de um coulomb
possui energia potencial de um joule: 1 V = 1~ .
Em analogia ao conceito de campo elétrico, quando falamos que uma carga
elétrica produz campo elétrico na sua vizinhança, também podemos dizer que uma carga
elétrica produz potencial elétrico ao seu redor. O potendal elétrico V em um ponto
Qualquer é a energia potenóal elétrica U por unidade de carga elétrica nesse ponto, ou
seja:
•••••••••••••••
I •••••••••••••••••••••
•••••.1••••••••••••••••••••••••••••••
ou
trajetória 2
I' - •W•• =q Á E.dl
Ver)
dV=-i!.di
(70]
W•• = q I: -dV
I', - .-Vp = - p E .dl
Como no ponto de referência Po o potencial elétrico é nulo, vem:
Figura 7. O trabalho da força elétrica, que atua sobre a carga q, pode ser determinado
pelo produto entre -q e a diferença de potendal elétrico entre os pontos B (final) e A
(inidal). Esse trabalho não depende da trajetória percorrida.
Uma equação de muita importânda na solução de problemas é a Que permite
expressar o trabalho da força elétrica em função da variação do potencial elétrico,
vejamos:
(711
5.5. Exercícios resolvidos
£ __ 2.L..'Ô.[ , J
- 41'1lo dy Ja'+y'
V --'- "- 4l1faJaJ+y'
"I' ']£ = -- __ (o' + y'), .2y411:(0 2
r = Ja2 + y2
E - _.!.. [-'-~J
- dy 4rrtofã'+y'E:.'=-~Vdy
£ = -'--2.2.., (esse resultado confere com aquele que seria obtido pela aplicação
4'1Uo (o:'+,,])i
da lei de (oulomb)
b) O campo elétrico total no ponto P vale:
li'
I I '
I I 'I ,
I I ,
I I ,
I I ,
, IY ,
I I '
I 'I I \
I I ,
0- ----- L - - --- - (9f---
a O a x
q q
a) o potencial elétrico total no ponto P vale:
Solução:
V=-' [~+~]
4nf(l r r
a) o potencial elétrico (adotar V = Ono infinito);
b) o campo elétrico, determinado através do IX'tendal.
1. Em um referenda! cartesiano Oxyz, duas cargas puntiformes e iguais a q estão fixas
e separadas pela distânda 2a sobre o eixo Ox. Pedem.se, para um ponto P situado sobre
o eixo Oy:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
17l)
Podemos também calcular o campo elétrico aplicando a equação:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
V =-,_£..:.
4rrto L II
x
f dV 'f' d,= 411'lo o (L+a-x)
v = __1_~[In(a)-ln(L + a)1
41Uo L
E __ '_~(_'_)
- 4111':0 L a(L+a)
v = -'-(-l)ln(L + a-x)li
'lfio
ou
V = _'_~
4l'fto a
. {'.o) ,lLma»L ln(--;-) ::;
dV = _À d_'_
"!tE, (/..+a-x)
d { 1 Q )E = -- ---(In(a) -ln(L + a)]
da 4n:to L
a P%1li¥¥i6'iÚte:;:r,...i- - - - - - • ----
dQ = Mx
L
E=-~V
do
v-'J.'d>-;;;;; o (/..+0.-%)
1 Q o
V = ---In(-)
411'(0L L+d
,
V = -- (In(a) -ln(L + a)J
41ft,
E=_l Q_
41((0 aCHa)
1 Q dE = ---[(In(a) -ln(L + a)JJ
4nlo L do.
Pode-se verificar se esse resultado confere com potendal da carga puntiforme fazendo
o limite de V para a » L, vejamos:
lQ. {'.')V = -- . [(ma»/.. ln(-)
41(to L a
o
Q"'..
dV=_'_~
.Ilio (/.,+o-x)
Solução:
2. Um bastão de comprimento L está eletrizado uniformemente com uma carga eletrica
Q. Adotar V = O no infinito. Determinar o potencial elétrico produzido pelo bastão no
ponto p. que dista a de sua extremidade (ver figura).
o ponto de referência nesse caso é o ponto POr de coordenadas: x = Xo. Y = O e z = O
3. O eixo Oy está eletrizado uniformemente com uma densidade linear de carga ,I (reta
eietrizada). Detennlnar o potencial elétrico de um ponto P, situado no plano ,Oy, de
coordenadas z = y = O e .x > o .
,
dQ = Ady
dV - E..[~_.:.]
-flUO r ro
'o
o ':- . --- ---i ------ ---- ._~ :
-_. - ._-- - --~.------- - - - - - - - -_." - -- - - .."
y
v - 2_A_ J~[_1 1_], dy
- 41Uo o .Jx2 + y2 Jr~+ y2
[73)
y / reta eletrizada
1" = ../x2 + y2
dV-
A
[' 'ld- ~ j;l-+yl - J:r:~+)'J y
J=l I --,;-1-1dy = In{2((~ + y»))}I~= In(l) -In(~) = -ln(2..)o ~ X5 + y2 1. v x5 + y2 + y) Xo Xoo
D potencial elétrico pode ser obtido partindo da equação:
Solução:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
dV = -£. di
o campo eletrostático pode ser também obtido utilizando a equação:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
dV = __ 1_~dx
2n:£0 }(
v ~ _À_lnp)
2l'l'£0 •.
V(x) = -'-Inp)
21r£o J:
lC'ro- , ,
V(x) - Vexo) = --In(-)
21'(£0 %0
ou
di = dxi + dyj + dzf
d
E=--V
dx
E = __I_2.l(_I)l
4Jrfa x
v = _1_2.l(_I)ln(~)
41ua .:to
(74)
, x
V(x) = --In(-)
211:£0 Xo
1 À ,
dV = --- r. (dIl + dyJ + dZK)
211£0 ;r;
rV(X) dV = __À_r l dI
JV(xo) 21([0 Xo X
a) o potenaal elétrico nos pontos do eixo Oy;
b) o campo elétrlco produzido pelo anel, utilizando a equação: E = - d: V(y).
E = __ 1_2). ~ln[~]
.'Uo l1.r :r
4. Um anel circular fino de raio R é eletrizado uniformemente com carga elétrica Q .
Adotar referendal cartesiano com origem no centro do anel, eixo Oy perpendicular ao
plano do anel. O melo ambiente é o vácuo. Adotar V = O no infinito. Pedem-se:
o potendal elétrico também pode ser obtido utilizando a equação do campo elétrico,
através da equação:
Solução:
a) Seja P um ponto genérico do eixo OV, y sua ordenada. Um elemento qualquer do anel
possui carga dQ; sua distânda ao ponto P é r:= JRl + y2, Para o potencial elétrico em
P ele contribui com a parcela:
(75]
Com V := O no infinito, faz.se To := 00, resultando em:
Anel
Q 'I ' )£ := - 411"£0dy lJRl+yl
Q 1 'E = --(--). (R' + y'),. 2y
411'lo 2
p
o
1 Q
V=------
41£(0 JR2 + y2
1 dQ
dV=--
4rrEo r
dV = _1_ [dQ _ dQ]
4rrco r TO
dQ
E = -..£..-..!-{(R' + y')-'}
41fEo dy
b) E:= - 11: V(y) E:= - 11: f4:£oJR~+yl}
dV := _'_~ I totalizando as parcelas dQ, vem:
41T1ovRI+yl
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
a
••••••••••••••••••.':1
•••••••••••••••
i! - _'_.B. •
- 4I'1"Co)" )
'(' ')dV = - - - - u2rrRdR4'Uo r R
v (y) = -"- (Jy' + Ri - Y - Ro)",
v = -"- [iR, RdR - t' dR]Uo O JR'-+y' O
Ê - Q y •
- 4rrcoYJ)
r =JRZ+y2
.(' ')dV=- --- RdR
2£oT R
0=_0 '_,
4trEo(,Q!+y')i
\761
dV =.!!....[~-dR]
210 JR'.Y'
dV = ..!!!L (~ - .:)
4!tEO r R
v = -"-(Jy' + R,\R, - RIR,]
2(0 O O
dV =~{!._!.IRdR
41'1'fo r R
y= OP
p
o potendal elétrico produzido no ponto P por coroas concêntricas de carga elétrica dQ =
C12rrrdr é expresso por:
Solução:
5. Um disco circular de raio Ro é eletrizado uniformemente com densidade superfidal de
carga elétrica a. Adotar V - º no centro do disco. Determinar o potencial elétrico V nos
pontos do eixo de revolução, em função da distância y ao centro do disco. Em particular
estudar o caso em que o raio do disco cresce Irrestrita mente.
y»R
o •£=-.(R'+y')'.y
41ftO
Pode-se também verificar que na condição de y » R o campo elétrico tende ao resultado
previsto do campo da carga elétrica puntiforme, vejamos:
Ver) = _...!L(_I)(~I')
"'Uo T QD
Ver) =_Q_~
4lTCo r
Ver) = - f: £dr
dV = -Edr
Ver) = _...!L f -'-dr
4rrco QDr1
lera
Ver) = - J: Edr Ver) = - f~ E dr - f; Ê dr
("")Q 1 '1V(r)=- ---4:rrco r 00
~'di=Edr
ztro
Ver) - ~ = - f:Edr
Ver) = - f: Edr
O$r<R
[77)
dV=-~'di
Ver) = - f~ E dr
a
V(y)= --y2'0
Campo Elétrico (película esférica)
Q 1
R<r$oo E=---
41££ r2
O$r<R E=O
~ (
1 (Y)') ly' Iy'y2+R~-y-Ro=Ro 1+-. - -y-Ro=Ro+Ro-z-y-Ro=-y+--
2 R. 2R. 2R•
Solução:
6. Uma película esférica de raio R está uniformemente eletrizada com uma carga elétrica
Q. Adotar V = O no Infinito. Determinar o potendal elétrico V(r) produzido pela película
a partir do campo elétrico.
Supondo que Ro ..• 00 vem .!.r. ....•zero, portanto, Jyl + Rg - y - Ro == -y, logo:IR,
Caso o raio do disco crescer até que Ro » y, então:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
q'on = +1,6'
Velllr01! = 5,93 '10' ~,
j'di=dy
d = O,IOm
V(y) = -~'y"o
V(y) - V(O) = -E(y - O)
V(r) = _Q_~
41((0 Jl
c = 885. 1O-12"£'"o' N7I\J
E = .!.-"o
dV=-Ej.di
2.1.6.10-19.10000
').11.10-JI
mrlltTon = 9,11' 10-31 kg
AV= 10000 V
AV= 1000 V
E=Ej
,Y(y) ,y
'Y(O) dV = - 'o E dy
V(y)=-E'y
/78)
(mo)Q 1 IV(r) =- -- -411"to R lO
21Qrlftro"b1V
JrIdéln.n
dV = -E 'di
V(O) = O
dV = -Edy
""'" = 16762.4'10-31 kg
Solução:
Dados: qrlltron = -1,6' 10-19 C
10-19 C
av =.!.-'d".
9. Em uma ampola esvaziada há dois eletrodos entre os quais se mantém a diferença de
potendal elétrico llV. Do catodo, que é negativo, parte um elétron, do ânodo, que é
positivo, parte um íon positivo, ambos inidalmente em repouso. Determinar a veloddade
que cada partícula atinge no eletrodo oposto.
Solução:
Dados: (] = .!:.!..10-6 !......
2Jf 1'111
8. Um plano esta eletrizado com densidade superfidal de carga elétrica (1, no vácuo.
Qual é a distânda entre superfídes equipotendais de tensão l!.V?
Solução:
7. O plano zOx está eletrizado unifonnemente com densidade superficial de carga (1.
Adotar V = Ono plano y = O. Determinar, através do campo elétrico, o potendal elétrico
em um ponto P de ordenada y > O.
10. Qual é energia que é necessárIa para constituir um sistema formado por três cargas
elétricas puntiformes Idênticas, com cada uma de magnitude q, sendo que as cargas são
mantidas fixas em distândas iguais entre si de magnitude L.
Vron = 1,38' 106 ~,
L = 10m
Z'U-I0-'9'10000
16762.4-10-11
[79)
. "U~3--
4RIO L
Vron =
Dados: _,_ = 9. 109 NmJ
4111'1, C2
1 qJ 1 qJ
U=--+2--
4ll'lll L .'1.1.0 l.
U = 0,0027 J
Solução:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
[BO}
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
q = 0,004 C
q = -O,OOB C
C
B
b) WBD = 10BJ
h = 4m
BC = 5rn
R=3m
AB = Bm
VD = 103500 V
ms;>q
", ,, ,, ,
, I
, ,h
T/ I, ', '
Q
"",'
e'
Resp. " = 107,3 ~•
Dados: -'- = 9 .109 ~
4ltfo cJ
Q = 1.2. 10-' C m = 0,002 kg
2. Um anel de plástico, de raio R, está eletrizado uniformemente com uma carga elétrica
Q. Uma esfera metálica, de massa m e carga elétrica q, é abandonada em repouso numa
altura h do centro do anel. Determinar a veloddade com que a esfera atinge o centro
do anel. Não considerar a ação do campo de gravidade local.
Dados: -'- = 9. 10'
"lUa
Resp, a} VB = 130500 V
a) o potencial elétrico nos pontos B e D;
b) o trabalho da força elétrica que atua sobre uma carga puntiforme q quando ela é
transportada do ponto B até o ponto D, segundo uma trajetória qualquer.
5,6. Exereídos propostos
I. No ",tângulo ASCOestão fixas nos vértices A e C as cargas elétricas puntiformes q,
e qc respectivamente. Pedem~se:
4. Uma esfera condutora de raio R, mantida fixa, está eletrizada com carga Q. Qual é o
trabalho realizado por um operador! Wopt'TodoTl que transporta uma .carga puntiforrne q
de uma superfície equipotendal de 200 V para outra de 800 V ? Qual é a distânda d
entre essas superfides equipotenciais?
3. Uma reta está eletrizada uniformemente com densidade linear de carga A. Uma esfera
metálica de massa m e carga elétrica q é lançada com velocidade vo, a partir de um
ponto P ~tuado numa distânda d da reta (ver figura). Não con~derar a ação do campo
de gravidade local. Determine a posição em que a esfera atinge veloddade nula .
q = -0,005 C
d = 168,75 m
m = 0,007 kg
_,_ = 9 X 109 N.m2
4'/fEO c1
d=3m
Q = 5 X 10-6 C
Vo = 1200 ~,
q t" .
m.P
I,
I
d :
I
I
I
I
Resp. Wop~rador = -w /or,a = + 1.2J
~IUrlca
Dados: R = 20 m
181)
esft!Ta c~ndutoTa ••.
, •.." ••.,
\ •• " ••.••. ZOOV
" ,, , ,
, \ '
I , \" >~,. ...,800V "
t , -li \ \
I I '\
I I \ d ,
I ~---,
I \ : I
\ \ ,,'
\' /\'
\' '/ I
\ " ~ /\ _-_ O' I
\ q I, ", ", ' ,, . ,... ,"...._----
Resp. y = 12.2m
1 Nml
Dados: - = 9'10' -4nto (2
•••••••••••••••••••&••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
q = 2 X 10-] C
q = 4 x 10-' C_'_=9xI09~
41'UO c1
r, P
----------------- •• <=>
q
Q = 12 X 10-6 C
Q = 20 X 10-6 C
Yo = 4 m
semi anel
,,
,,,
R:,,,
: q
--------------.(I
R : esfera
,
R:
,
esfera condutora
Resp. v = 116,2~,
Dados: R = 0,5 m
1821
m = O,008kg
6. Uma esfera condutora, mantida fixa, possui raio R e está eletrizada com carga elétrica
Q. Uma partícula eletrizada, de massa m e carga q, é liberada do repouso em um ponto
P situado em uma distânda To do centro da esfera. Qual é a velocidade máxima atingida
pela partícula?
Resp. F = 50,9 iN
Dados: R = 3 m
5. Um semi anel de raio R está eletrizado uniformemente com carga elétrica Q, e no seu
centro de curvatura está uma pequena esfera eletrizada com carga elétrica q. Ambos
estão fixos. Determine a intensidade, direção e sentido da força elétrica que atua sobre
a esfera.
8. três cargas elétricas puntiformes qJ'q2 e q]. mantidas fixas, definem o triangulo ABC
indicado na figura. Qual é a energia potendal elétrica U da carga q]?
7. Um anel isolante, de raio R está eletrizado uniformemente com carga elétrica Q, em
seu centro está um carga elétrica puntiforme q. Determine a posição de um ponto P
sobre o eixo z que possui potendal elétrica nulo .
q = -20 x
q,
CA = 6m
q,
BC = 3 m
)
q, = 0,006 C
AB = Bm
q,
P ,
I
I
I z
I
IanC! :...~....oq
Resp. U = 90000 J
A B
(83J
q. = 0,002 C q, = 0,004 C
Dados: -'- = 9 'l09~
41tto cJ
Resp. Z = 0,50 m
Dados: R = 2m
10-3 C
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
d=4m
Q = 0,001 Ca=3mL = 6m
b) <IV = 678 VNE = 169,5 c
O
Resp. V = 1.65.10' V
Resp. a)
184)
Dados: _1_ = 9. 109 Nmz
41'rtO C
1
10. Um bastão de comprimento L está eletrizado uniformemente com uma carga elétrica
Q. Adotar V = O no infinito. Determinar o potendal elétrico produzido pelo bastão no
ponto P, que dista a de sua extremidade (ver figura).
c'Dados: lO = 8,85' 10-12: Nm1
b) a diferença de potendal elétrica <IV entre os planos.
a) a intensidade do campo elétrico E na região entre os planos;
9. Dois planos paralelos, separados pela distânda d, estão uniformemente eletrizados
com densidades superficiais de carga (11 e (Jl' Pedem~se:
1. No tTíangulo mostrado abaixo a partícula de massa m e carga elétrica q é liberada do
repouso no ponto A, sendo acelerada pelas duas cargas elétricas de mesma magnitude
Q, que são mantidas fixas. Pedem-se:
Nome: RA:
Data: Turma: Horário:
Campus: Professor:
a) o potencIal elétrico nos pontos A e B;
b) a velocidade com que a partícula atinge o ponto 8 .
185)
Q = 0,005 Cb=8m
00-....
a=6m
00-
---
q = -O,OU
a
Resp. 1)::: 2449.5~,
m = O,04kg
Dados: _,_ = 9 . 109 Nm.1
4ITro c~
5.7 Exercíciospara entregar (potendal e~bico)
I ••••••••••••••••••••••••••••••••I.
I:
{861
•••••:1
•••••••••••••••••••••••••••••
187J
Resp. "o = 3354,1 '7
• r
~ --- - Pq~-----------~:~ ••--"-'_I_-
Q O Xo m
2, Um anel, de centro O e Raio R, está eletrizado uniformemente com carga elétrica Q.
Uma particula de massa m e carga elétrica q é lançada com velocidade inicial "o a partir
de um ponto P que está numa distância Xo do centro do anel. Determine a veloddade
mínima "o de maneira que a partícula não retome mais a posição inidal .
Q = 0,0025 CXo = 2 mR = 1,5m
q = -0,05 Cm = O,08kg
Anel eletrizada
Dados: _'_ = 9. 109 N"l1
41Uo e'
••••••••••••••••••••••I:
••••••••••••
lasl
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(89)
6 Campo magnético e força magnética
jj
e jj
carga negativa
:\
,I \~~~jl\._"-
(,1.11.- ....: __.
- I
I
I
,, ;; 18 jj , ;;,
I ,
I ,,
I
I
Fm=q.;;~ii [25)
Uma partícula de massam e carga elétrica q, quando sujeita a um campo de
gravidade 9 fica sujeita ao peso 'fi = mg; em campo elétrico f . ela fica sujeita a força
elétrica F~= qÊ. Essas forças independem da veloddade v que a partícula possa ter
(exceto efeitos relativísticos sobre a massa m). Todavia na presença de corrente elétrica,
mostram os experimentos que pode intervir mais uma força dita OI força magnética", que
segue a lei:
Figura 8. A força magnética Fm é normal ao plano definido pelos vetores v e B. O sentido
da força segue a regra da mão direita .
Parte 11. Magnetismo
o vetor B depende das correntes elétricas presentes (intensidade e geometria) e do
ponto P por onde está passando a partícula; ele é chamado "campo magnético" no ponto
P. A lei supra evidenda que a força magnética é nula se a partícula for estadonária; já
nisto, o campo '8 se distingue dos campos de gravidade e elétrico. Admitindo ii '* O, a
força magnética é nula também quando v tem a mesma direção de B .
carga positiva
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(90)
Nos demais casos (v '" O,H '" Oe v não paralelo a H) a força magnética é não nula: 1m
é normal ao plano definido pelos vetores v e B e tem o sentido definido pela "'regra d~
mão direita". Para utiliza-la deve-se alinhar os dedos da mão direita no sentido de v e
sImultaneamente posicionar a palma da mão no sentido de 8; nessa situação o sentido
indicado pelo polegar é o de Fm• se a carga for positiva. Caso a carga seja negativa, o
sentido de Fm é o oposto ao indicado pelo polegar.
A força magnética é normai a 8, à diferença das forças de gravidade e elétrica, que são
paralelas aos respectivos campos. Sendo 8 o ângulo entre v e H. a intensidade da força
magnética é:
IFml = Iq\' Ivl.IHI. 50n(8) [26]
No Sistema lntemadonal a unidade de B é o tesla, símbolo T; é a intensidade do campo
magnético que exerce força magnética de um newton em carga elétrica de um coulomb
que se move com velocidade de um metro por segundo em direção normal ao campo.
Em máquinas elétricas e aparelhos de laboratório, o campo magnético chega a
intensidades se alguns poucos teslas.
A força magnética exerdda em partícula livre, quando não nula, é normal a
veloddade, logo ela pode imprimir aceleração normal, encurvando a trajetória, mas não
imprime aceleração tangendal, não havendo portanto alteração da veloddade escalar;
a força magnética não produz trabalho. Antecipamos dois fatos: corrente elétrica em fio
condutor compãe-se de partírulas (m,q) vinculadas ao fio; neste caso, o campo
magnético pode exercer força que trabalha; é o que acontece em motor elétrico comum.
Campo magnético variável com o tempo engendra "campo etétrico impresso", e este
pode acelerar partieula livre no campo; é o que acontece em transformador, em
particular em bétatron.
Linha de campo magnético é toda linha que, em cada ponto, tem a direção do vetor li;
atribui.se.lhe o mesmo sentido do vetor B. Sendo dl um elemento vetorial genérico de
uma linha de indução vale:
H"di=o [27]
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
6.1 Movimento de partícula eletrizada em campo magnético
Figura 9. Linhas de campo magnético de um ímã. Em cada ponto da linha o campo
magnético é tangente, no sentido de N ...•S.
(91)
F = q(£ + v " fi) [28)
A deflexão magnética de partículas em movimento desempenha função essencial
em variados dispositivos tais como o óclotronJ o espectrômetro de massa, o bétatron, o
microscópio eletrônico. O sucesso de tais dispositivos é confirmação experimental da
Mencionamos que o campo elétrico Ê e o campo magnético B dependem do
referencial adotado; mudança de referencial afeta ambos simultaneamente de modo a
harmoniza-los com os fatos observados.
o produto v 1\ li é da natureza de um campo elétrico. Comumente o peso é desprezível
face a força de Lorentz. Em geral B é função de ponto e data. Se em cada ponto li for
independente do tempo, o campo magnético é dito estaàonário. Se em cada instante li
for independente do ponto, o campo magnético é dito uniforme. Mais simples é o caso
do campo uniforme e estacionário: 8 é o mesmo em todos os pontos, e não varia com
o tempo. campo magnético estadonário é gerado por correntes elétricas constantes.
Trataremos exdusivamente de campos magnéticos
estacionários, por enquanto .
Se uma partícula elétrica estiver sujeita simultaneamente a um campo elétrico E
e a um campo magnético 8. a força resultante da ação conjunta dos dois é chamada
"'Força de LOTeotz", que é expressa por:
Os experimentos revelam que em superfície fechada o fluxo do campo do campo
magnético é sempre nulo; as linhas de campo não tem começo nem fim; elas são sempre
fechadas sobre si mesmas .
,--=--- ----••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Figura 10. Trajetória drcular percorrida por um partícula quando a direção de sua
velocidade é sempre perpendicular a direção do campo magnético da região.
a) a partícula é lançada na direção do campo, quer em sentido igualou oposto:
li li implica que a força magnética é nula, fi = o.
Força de Lorentz. Lançando-se uma partícula de massa m e carga elétrica q em um
campo magnético B estacionário e uniforme, podem apresentar.se três casos:
,
.'. :.; -~;;Z.' ....,. , , x. ,.' ;o: F. '.x. X
'."X ,X x
i:< , , x
" x
, ,f/~ x x x .
, "....... x f.. ..'f.'/-., t-. , x ;
E " ,
.'qv8 =m-
R
[92J
T = ~ (30J,8
R =~ (29]
"
T=~R T=!.!~
" li qR
E o penodo do movimento é dado por:
c) a partícula é lançada obliquamente em relação ao campo magnético, v forma
com B um ângulo (}. A veloddade v admite projeção VI sobre a direção de B e a projeção
v 1. sobre um plano normal a B. A partícula executa movimento helicoidal uniforme
resultante de composição de dois movimentos: devido a V.lI a partícula executa
b) A partícula é lançada em direção perpendicular ao campo magnético: ;; .l 8.
A força magnética é força centrípeta; não há força tangencial; o movimento é uniforme
em trajetória circular num plano perpendicular a B. Sendo R o raio da trajetória, vale:
•••••••••••••••••••••••••••••••••••--------------------- .
•••••••••••••••••••••••••••
I •••••••••
, -
[93)
movimento drcular uniforme em um plano normal a 8; devido a vI' o plano anterior se
translada na direção de 8. A hélice apoia-se em um cilindro de raio R dado por:
q8R = rnvJ.
R = m"i [31]'s
o período é:
E o passo da hélice é:
h = vlT [33]
VI= V • (0,(8)
Vi = v. ,en(8)
Figura 11. Trajetória helicoidal de uma partícula eletrizada quando a velocidade não é
perpendicular ao campo.
[94J
6.2 Exercícios resolvidos
2. Um nêutron possui massa m e carga elétrica q. Em um campo magnético de
intensidade B, o dêuteron percorre trajetória circular de raio R. Determinar:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
R = O,40m
fi (N)
-3q(i + 2J + li)
-q(3J + 2q
ii = 1t-2J+31i T
B = 2T
-3 = 2By + B;r;
F = qv /I. B
-2 = By
8% = 1 T
_ m
v (-)
2 i- J
i
-6 = -28z
q = 1,6-10-19 C
-3 = -8r
By = -2 T
-q(3J + 2q = q(i) A (B,i + ByJ + B,~)
-q(3J + 2~) = q(i) A (B,i + ByJ + B,Ii)
-q(3J + 21i) = qByli - qB,J
-3 = -8z
-3q(r + 2J+q = 2qBy~ - 2qB,J + qB,~ - qB,i
-3q(i + 2J+~) = q(2 i - J) A(B,l + Byi + B,~)
-3q(i + 2J + q = qByli - 2qB,i + qB,~ - qB,£
B, = 3 T
Dados: m = 3,34' 10-" kg
a) a velocidade escalar v e o período r do dêuteron;
b) a tensão ,6,V que acelerou o dêuteron.
1
2
DissO tudo resulta:
Ensaio
Ensaio 2:
Ensaio 1:
Solução:
1. Uma partícula de massa m e carga elétrica q é lançada duas vezes em uma região
onde existe um campo magnético uniforme li. A cada lançamento medem-se a
velocidade da partícula e a força magnética. Obtiveram-se os valores inscritos no quadro
abaixo. Determine o vetor B.
F~. "F = -m-ro
F>O -,
F = q;s T;:j
T = 6,56-10-' s
bV ;:: 3.34"10-21'(3.83'10')1
2"1.6-10-1'
AV= 15,3 -lO' V
fi = qvk A Bj
OBRv=-
m
T=2'n.~
3.83-tO'
F=mã
âV;:: mv2
lO
,o:
_ ..-";"~"'"
,R
"qvB;:: m-o
T=~ ,
F = qvB
AV = 15310664 V
v = vI(
"F=m-o
F = -Ff
ii= Bj
a) o raio de curvatura R, da trajetória descrita pela partícula;
b) a distânda L., o ângulo 8, e o tempo decorrido entre o lançamento e a colisão;
c) verificar se a trajetória pode ser aproximada por uma parábola .
•r:,,,,,
[95)
3. Uma partícula de massa m e carga elétrica q é lançada, com velocidade vo• de um
ponto A que está numa distãncia D de um anteparo fixo. Nesta região existe um campo
magnético uniforme, de Intensidade B, e direção normal ao plano da figura. A partícula
colide com o anteparo no ponto B. Pedem-se:
b)
v = 3,83'lO' mls
a)
Solução:
r •••••••••••••••••••••••••••
I •••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Vo = 4~,
tO = J2'0.02'6.'
:l
i
,
~-_!.
(81
Anteparo•;
C=~=0124S
0,67 •
tO= ~~-;r
(6 - L)' ; 6' - 0.5'
R =ml/I)
qB
(J = 4,780 = 0,0833 rad
,
t=-
w
6 - L ; :t5,98
Vo = wR
(96J
e = wt
m = 1,2' 10-' kg B = 0,2 T
"F=m-J.
R
R=6m
(R - L)' = R' - D'
sen(9) = 0.:0 = 0,0833
(6 - L)' = 35,75 m
W ;~; 067rad/s, '
sen(9) = £
R
c. = 0,122 s, havendo portanto uma ótima aproximação.
a) v, 1B
úJ=~
R
c) como o ângulo e é pequeno, pode-se admitir que a aceleração muda pouco de
direção. O lançamento é interpretada como sendo em um campo de aceleração vertical,
o que permite que a trajetória seja aproximada por uma parábola. Nesta situação vale
b) R' = D' + (R - L)'
L = 0,02 m e L = 11,98 m, são dois os pontos de intersecção do arco de circunferência
com o anteparo, mas o ponto 8 da figura corresponde a L = 0,02 m.
Dados: D = 0,50 m q = 4. 10-' C
(971
a) a intensidade da força magnética F que atua sobre a partícula;
b) o período T do movimento;
d) o raio da trajetória;
4, Uma partícula eletrizada de massa m e carga elétrica q é lançada com veloddade v
perpendicularmente a direção de um campo magnético uniforme de intensidade 8, e
percorre uma trajetória circular de raio R. Pedem-se:
F = 20N
m = 0,002 kg
.'mil= qvB
v = 5000 m/s
B = 2T
T=3,14s
F == 0,002 . 5000~
2500
F = qvB
B = O,ST
e = 30'
R = 2S00m
T=~ sooo
.'F=m- R
q = O,OOBe
q = 0,004 C
T=~•
.'a=-
R
R _ 0.002'5000
0.008'0.5
F=ma
R=~oR
Dados: 1'0 = SOO 7'
S. Uma partícula de massa m e carga elétrica q é injetada com velocidade Po em região
de campo magnético uniforme 8; o ângulo entre Po e B é o. A partícula descreve uma
hélice cilíndrica. Pedem-se o raio R do cilindro no qual a hélice se apoia, e o passo h .
n"a/etór_a ctrcular
Solução:
Dados: m = 0,002 kg
•••••••••••
I •••••••••••••••••••••••••
[9BI
Solução:
A velocidade admite um componente VI na direção de 8: Vg = Vo cos(8), e um
componente V.l normal a B: V.l = vosen(O).
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
T = 1,57 s
R = 6Z,5m
h = 6BOm
Z"1' O.OOZ
T=--
O.OO<4'Z
h = 500' cos(30)' 1.57
T = Zn:m
q8
R = rnvosen(8) R = 0.002-500sin(30)
qB 0.004'2
h = vocos(O)'T
R=~
qB
(V.l.?
qV.lB =m-R-
6. Um próton é lançado em região onde existem simultaneamente um campo elétrico
Ê :::;;E f. e um campo magnético B = B f, ambos estacionários e uniformes. A força
resultante sobre o próton segue a lei de Lorentz: F = q£ + qv 1\ 8, onde q é a carga
elétrica do próton, v sua velocidade. Não considerar a ação do campo de gravidade local.
T=~
"
Em IX)sição genérica, a velocidade da partícula é 17e o campo exerce na partícula a força
magnética fi = qv 1\ B ; essa força é normal a v, logo ela só tem efeito sobre a direção
de V, nenhum efeito sobre a intensidade de v: Ivl ::; IVol. Das mencionadas componentes
de velocidade VI se conserva, V.l é desviada. Portanto a partícula descreve uma
circunferência de raio R em um plano 7f normal a 8, com velocidade de intensidade
invariável Vo sen(B), enquanto aquele plano se translada na direção de li com velocidade
também invariável Vo cos(O).
Sabe-se que a trajetória do próton é uma reta e que o movimento do próton é uniforme.
Determinar v.
(991
vtt1600J~ ,
vttvJ
V tt 1600 m/s
BttBI
qE - qvB tt O q(E - vB) = O
B tt O,ST
+',,
•
•••v=-05
E tt 800~c
•v=-•
i! -- •••
,. ---. -~--:_--.-.~.~:.~~.:~ ~.------~
z .- ~
:rmoll Y
:
F tt (qE - qvB) , F tt O
-,
F tt qd + q v J A B f F tt qE li + q v B]Ã1
E - vB tt O
Solução:
Dados: q tt 1,6' 10-19 C
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
li = 5000-"-
m
B = 2,5T
F, = (-e)(-Ii j) F, = eli i
E = SOO
0,10
,li j + (-, "oB j) = O
+ l' • 1elit @B :h :v• 0-,, 1 evBt t
q=-e=-I,6'1O-"C h=O,IOm V=SOOV
£ = -li i
8=!..,
E=!
h
(100J
8. Uma partícula eletrizada é lançada em uma região onde existem, simultaneamente, o
campo elétrico Ê ",. Ej e o campo magnético ii = B k. Os campos são perpendiculares
entre si e, no momento de lançamento, a veloddade da partícula também é
perpendicular a ambos os campos, conforme ilustrado abaixo. Sabe-se que a partícula
percorre inidalmente a trajetória retilínea AB com velocidade escalar constante e, ao
atingir o ponto 8 o campo elétrico é desligado e, a partícula passa a percorrer uma
trajetória circular de raio R. Pedem-se:
q =-e
"o-0'------
-)
Fm = (-e) (vo i 1\ (-8~) Fm = e poB( t;1) Fm = -e voS j
a) a veloddade escalar v e o tempo de percurso desde o ponto A até o ponto B;
Solução:
Dados: m = 9,11' 10-31 kg
7. Um feixe de elétrons com velocidade !lo penetra no espaço entre as armaduras de um
capadtor plano a vácuo, em direção paralelas a elas. A separação entre as armaduras é
h. O capacitar é eletrizado até uma tensão v, produzindo então um campo elétrico E.
Na região há também um campo magnético uniforme B. Os dois campos são
perpendiculares entre si. O feixe não sofre deflexão. Determinar B.
A8 = 20m
\ql=~•••
Felitrlca = q . E 1
q = -1,5625 C
V=500 11= 1250~
0,4 .5
R = O,OOam
("'_8 = 0,016 s
= -q -v ' B - j = Iq I- v. B i
E=Ej
•I' =-
B
Iql = 1,5625 C
8=8.
t - 2!..
!r.-B - 1250
E = v' B
fi = q , E i + (-q - v ' B ' j)
Fe1#trfc.a. = q . E
B0
v = v i
~nag = -q' v. 8. j
x
J'.
4-10-6'1250
[ql - O,H,Doe .
Fmag = -q' v. B. j
q - E i + (-q . v ' R - j) = O
q = -Iql A carga elétrica q é negativa
.~.,.'.'''': TraJetót"in Circular .
- ,
P'm•• ;'A B o,"q ~_ •.. _----_._ •..•... _•• - •.... _•••• tV--::-.... .'111 l' TI"njetÓrfa Retilinea. I' 1/F.1irrl<a ..-
I .' 11 B
(101}
b) F"". = \ql- v' B j
a) No percurso do ponto A até o ponto 8 vale:
Solução:
Dados: E = 500j~ ii= OA.r m = 4-10-' kg
b) a intensidade e o sinal da carga elétrica q;
c) a intensidade, direção e sentido das forças elétrica e magnética que atuam na partícula
no trecho AS;
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
B = -9,14-10-' ~T
b) o tempo necessário para que o elétron se desloque de A até C;
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
"F=m....!!.•
F = (-e)v.B j;J
B = _9,14-10-5 T
ft'~'rI,Q, = -781,2SjN
Fm., = 781,25 -j N
F = 1,17 -10-17 N
>0 <o
F = -evo B
F = (-e)v.j AB~
:B
r~
,
e = 1.6 -10-31 C Vo = 0.8 '106 .;
8 = -1.1 7 . --'~'--'-' -
1,6'1Cl-19-oB'10'
F = 9.1 l' lO-H. (01'106)'
0,05
8=-~n.
c) Fm., = -(-1,5625) .1250 -0,4 -j
1102)
.•.. -~-~ , '
/' '/",
".1/ : / "
A ~ nt ¥~.._....._.__LÇ .. _.
q<O z x
F,lI"!," = (-1,5625) - 500 i
F = -evoB 1
a) No ponto A vaie: F = qv. A B
Solução:
Dados: m = 9,11' 10-31 kg
c) o módulo, direção e sentido da força magnética que atua sobre o elétron no ponto 8.
a) o módulo, direção e sentido do campo magnético que obriga o elétron a descrever
uma órbita semicircular de A até C;
9. Um elétron, de massa m e carga elétrica q = -e, quando lançado no ponto A da figura
possui velocidade Vo = voJ. Na região existe um campo magnético uniforme estadonário
B = 8~. Pedem-se:
R = 3.05' 109 m
íi = 0,41+ 0,6 f T
F = -14.4 i N
-J
F = (-e)voB ÍA1
sen(9) = 0.832
r" = 1.96.10-7 S
0,004'3.3'JO'
6'10-6'./0.41 +0.61R
4'10'1-(0.4 ''''0.6 k
.HO.'./O.4!-l-õ:'(;1
9 = 56.3'
(lOl)
V,l=4"106'O.832
v, = 4, 10', 0,555
F = 6. 10-" 4' 10' I /I (0,4 i+ 0,6 f)
F = 1.6 '10-19• 0.8 .10'. (-1)' 9.14 '10-' J
F = -1.17 '1.0-"] N
cos(9)
F = (-e)v, i/I Bf
R = m".l
qB
cos(9) = 0.555
o ângulo entre v e ã pode ser calculado pela equação:
VI = v. (05(8)
-}
F = 6 '10-" 4 .10'. 0.6 irJi
V,l = v' sin(9)
••fAC =-
'o
F = ev,B J
V"S
cos(9) = I'Hiil
b)
a)
Solução:
Dados: q = 6. 10-' C m = 0.004 kg
a) a força magnética F que atua sobre a partícula;
c) O período T do movimento;
b) o raio R e o passo da hélice .
10. Uma partícula de carga elétrica q e massa m, é lançada com veloddade v em uma
região existe um campo magnético uniforme 8. O movimento da partícula é uma hélice
helicoidal. Pedem-se:
c) No ponto Bvale:
b)
1..__---------------------
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
da =-v
l d! Z
.!.", = oi [8.v,]dt ,,, .•
h = 1.3.1010 m
T = 5807,2 s
~v =0
d< ,
uro
ma, = q[oj
.i =0.01 ~
m '.
T = z.,(-3.05-10"
3.3'10.
T =!!!!
"
[104]
h = ".' T h ~ 2.22, 10'. 5807.2
da =-vx dt x
F = q[E,t - 8,v,)t + q(OIJ+ q[8,v,]1<
F = max[ +mayl+ ma~J< -+
:uro
ma,i + ma,J +ma,1< = q[E,t - 8,v,jt + q[oJJ + q[8,v,jl<
Solução:
F = qE,r + q[v,i + ",J + v,li] x 8,J -> F = qE,t + q8,",1i - q8,",i ->
Formulário: F = qÊ + q[v x 8] F = mã v = vl'i + vyj+ v:~
",(O) = O ",(O) = O ",(O) = O
,(O) = O y(O) = O z(O) = O
Dados: Ex = 500 ~
a) os componentes cartesianos da velocidade da partícula em função do tempo;
b) para cada componente determinar a velocidade média temporal;
c) a equação horária da trajetória percorrida pela partícula para cada eixo cartesiano.
11. Uma partíQ.lla de massa mt eletrizada com uma carga elétrica q é abandonada em
repouso em uma região do espaço com campo elétrico e magnético. Os campos são
representados por Ê = £,'Cl e 8 = 8yj. Não considerar o campo de gravidade local.
Pedem-se:
c)
.,(0) = O
V, = -C.COS(úJt) + C
, .
A ..:..--+ D = O~
dt q d-v .:::-8 -vde' Z In)' de li:
1 ,
c- "0= --cos(O) + N~
,
":r .::: A.sen(wt) - C.cos(wt) + C
, "-=w-
~ 'y
z.::: -!.sen(wt) +c.t. .
O=B+C=O B=-C
11l' = C.sen(wt)
,
., = A cos(wc) +Csen(wc)
.(0) = O
,
., = A .sen(wc) + B .cos(wc) + C
1 d
V .::: --v
% 101 di r
(105J
~!!..v- [.iB ]!..
drdf % - m Y de x
A=O
A C
z = --cos(wc) - -sen(wc) + C.c + D
. w w
'".
_.1...+ D.::: O D = O
w
,
o=-~+íl H=~
~ w
r = -w!!cos(wt) + w~
li, ",
Vr = w' .!!..sen(wt)"
d' 1ãi'iV, + (LI v, = C --+
w=.!!..B
no y
••. 1 o 1A-- C---- •.•
z(O) = O = -;;;cos(O) - ;;;sen(O) + C.O + D
c .
%.::: -;cos(wt) + H
,
t'z= A. sen(wt) - C. cos(wt) + C
'O 1
.,(0) = O=A.m;(õ) + B.~ + C
,
d ~
4tVZ = Aw cos(wt) + Cwsen(wt)
I O
O=A~+Cm;(õ)
~
d~-vI''::: _R Vx
cU '" "'7
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1106)
Resumo:
N 81 = 50 T ~ = 0,01 .£.E, = 500 r
m "
w=!3...s)'
c E. , E.-=w- C=w -
m W B B.
w = 0,5 radls c C = 2.5m/,-=5rn
w
x = _£cos(wt) +£ Cz= --sen(wt)+C.t
w w w
X = -5.0. co,(0.5. C) + 5 (SI) z = -5.0. «n(0.5. r) + 2.5.r (SI) y=O
, E, v, = -wl~.COS(wt) + w2~Vx = w -.sen(wt) v,. = oB, 8, !r
Vx = 2.5.sen(O,5. c) (SI) ". ~ -2.5.co,(O,5.') + 2,5 (SI) v)' = o..
(V.)mfcflo = O {V;r)mtdio = 2.5 m/s
I '
"
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(107) l
D = 4mv = 500 V d = 0,10 m
v = 20,4 m/s
a'
v=~
(?l
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" "": ",R ~ Anteparo
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J++++++++++++"-++++++++++++! )(x\cx ~: IE x x x x: " líJ te)
q>O' v • • ~4----- ..~. .. _.__... .... __~~.~~.. _".~_:-.:::"_:-_~_!;t:. .. _.:d
m : (A) )( )( x IC :(6) ~j
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: , ~j
• Io'ti;--'.Õ' .. -.. '~ln. ;~
, Ltl
~}
r.~,\
Solução:
Dados: m = 1,2' 10-' kg,
b} o raio de curvatura R;
c) o campo elétrico E, e o magnético B;
d) o novo ponto de colisão no anteparo supondo que a partícula tivesse uma massa
m- =7"
12. Uma partícula. de massam e carga elétrica q, ao adquirir uma velocidade v devido
a uma tensão aceleradora V, é projetada a partir do ponto A, para dentro de um campo
elétrico uniforme, de intensidade E, produzido por placas paralelas eletrizadas como
mostrado na figura. Considerar o campo elétrico nulo fora das placas. Na região há
também um campo magnético, também uniforme, de intensidade B, que se estende
inclusive para fora das placas. A partícula percorre entre as placas uma trajetória reta
AB, e em seguida um trecho drcular BC, de raio de curvatura R fora das placas, colidindo
com um anteparo numa altura d. A distânda entre o anteparo e a extremidade direita
das placas vale D. Não considerar a ação do campo gravitacional. Pedem-se:
a) a veloddade escalar v da partícula;
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
8=~
q'
E' = 17,7 N/C
Fm,. = qvi ~ (-BIi)
R' = R' - 0,2R + 0,01 + 16
(W)' = (R' - d')' + D'
"qvB = m-•
E = 12,5 N/C
[108)
R = 80 m
B' = 0,612 T
•V=-
8
R' = 56,6 m
R' = (R - 0,1)' + 4'
B = 0,612 T
d- =~ dO = 0.141 m,.'
Ê = -EJ F"et = qÊ
-2Wd' + (d')' + D' = O AdmitindoO» Ó
ii = -BIi
B' = B E' = v'B,
1'1'\"11'
R'=-
,8'
v = vi
Fmo.~= qvBj
R' = (R - d)' + D'
v. = ~ v. = 28.87 m/s. Para manter a trajetória ~ no trecho AB, a relação
V' =f deve ser obedecida, o que implica numa alteração da relação entre os campos,
havendo, portanto diversas possibilidades. Pode-se optar por alterar somente o campo
elétrico, mantendo o campo magnético.
d)
c)
b)
•••••••••••••••••••••••••••••••••••---------------------_. '
(109)
6.3 Exercidos propostos
a) a velocidade eSCillar v do elétron;
B = 0,40 T
B = 1.25 T v = 4' 103 ~,
b) R = 1 '10-3 m
m = 2. 10-6 k9Dados: R = 0,8 m
Resp. a) v = 7,26' 107 ~,
Dados: q = -, = 1,6 '10-19 C m = 9,11' 10-31 kg V = 15000 V
b) o raio de curvatura R de sua trajetória .
b) V = 5,5' lO' V
a) a intensidade e o sinal da carga elétrica q;
b) a intensidade, direção e sentido da força magnética que atua sobre a partícula na
posição de lançamento;
c) o período T do movimento;
d) o tempo decorrido desde a posição de lançamento até o instante em que a partícula
atinge o ponto A da trajetória .
3, Uma partícula eletrizada de carga elétrica q e massa m é lançada com velocidade v
em uma região onde existe um campo magnético uniforme de intensidade 8. Quando
lançada, no ponto P, os vetores v e 8 são perpendiculares. A partícula percorre uma
trajetória drcular de raio R, conforme mostrado na figura abaixo. Pedem-se:
2. Um elétron tem carga q e massa m. Após ser acelerado sob tensão V o elétron penetra
em região aonde existe um campo magnético de intensidade 8, em direção normal ao
campo. Pedem-se:
Resp. a) v = 2.29, lO' ~ Ec = 1,76' 10-11 J,
1. Uma partícula de massa m e carga elétrica q percorre uma trajetória circular de raio
R sob ação exclusiva de uma campo magnético B. Pedem-se:
a) a veloddade escalar v, o período T e a energia cinética cc;
b) a tensão V sob a qual a parneula fora previamente acelerada a até atingir a velocidade
v.
Dados: m .= 6,7' 10-27 kg q = 3.2, 10-19 C R = 0,40m B = 1,2 T
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(1I0]
c) trajetória circular, de raio R = 2,1 .10-4 m, contida no plano xOy.
4. Um elétron, de massa m e carga eletrica q = -e, atravessa uma região do espaço que
contém campos elétricos e magnéticos uniformes, perpendiculares entre si e à
veloddade do elétron, de acordo com a figura abaixo.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
c) T = 1.26.10-3 S
b) v = 75. 10' ~, ,
POSlçào de latlçamellto da
partfcula
v ----------_.'... _---------__o.
x
e = 1.6 x 10-19 C
b)F=40jN
•y
: IJI
... : .... --0
: q
d) t = 0,945' 10-3 s
a) q = -8' 10-3 C
Resp. a) Ft = -eE j e Fm = evB j
1
8
,,
);~._ r-- .
:.. :: -:: .. :: o '(:::'( .
, R •• 0---•• , R I I •
Trajetória cir'CIlla~", -'o _.::_ ••• -.-." -r •• -.:' ,"-'". -.:.: :;~.
A •••••••••.• __ ••.••••••..••• '.. p •••.••• _••
- -'o
Dados: m = 9,11 x 10-31 kg
a) Determine a direção e o sentido das forças, magnéticas e elétricas que atuam sobre
o elétron.
b) Sabendo que £ = ISO VIm e 8 = 2 X 10-3 T, qual deverá ser a velocidade escalar do
elétron, para que ele não seja defletído, ao passar por esta região?
c) Supondo que o campo elétrico fosse desligadoj qual trajetória seria descrita pelo
elétron? Justificar a resposta.
Resp.
a) a maior velocidade 11 para que a partícula não colida com o plano 7l2;
b) o correspondente tempo t durante o qual a partícula fica sujeita ao campo B .
6. Uma partícula, de massa m está eletrizada com carga elétrica q, percorre uma
trajetória drcular de raio R I em uma região do espaço onde existe um campo magnético
uniforme com direção normal ao plano do movimento (ver figura). Pedem~se:
S. Dois planos 11'1 e "2 estão separados pela distância d. Na região entre os campos
existe um campo magnético uniforme 8 paralelo aos planos. Uma partícula tendo massa
m e carga elétrica q penetra nessa região com veloddade v numa direção perpendicular
aos planos. Não considerar o efeito da gravidade. Pedem-se:
M = 120'B = 0,8 T v = 2000 ~,
B = 1,2 T q = 0,003 C
r-'----l'
I -- ------ ••---- ---- ----.- • _
I I
v
m = 4 -10-6 kg
m•q
a) a carga elétrica q;
b) o tempo decorrido para a partícula percorrer um ângulo central fJ8.
Dados: R = 0,8 m
(111)
Resp. a) v = 450~ b) t ~ O,0035s,
Dados: d = 0.5 m
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
d = 0,05 m
trajetória circular
b) li = 0,41 I<r
b) M = 8,4.10-4 S
v -.
y
o R
R ~-------
_........ 68
q
[1121
Y t
Ir ,..,-...-.".,.t4?"-'..,.a"'étõ.c'!"':'~"''tI. I
1 +d,
q I 1'2
I '€}----+- -,- - - - - - - - - - - - - - f' - t. - - - - - - - - - - ~
m ,0 I d x
I : '2
t::;: _-.t<i ,05 •.z,..... e:..•.R•.~.<,..,.,.,.-,..•.t,,:s.••, •.,I
>0
Resp. a) li = B I<
v = 10000 V
Dados: mpróton = 1,67' 10-21 kg
b) o campo magnético B, e a velocidade v.
a) o sentido de B, e o de Ê;
7. Um feixe de prótons penetra em um capadtor a vácuo, conforme esquema anexo,
com velocidade v. O espaçamento entre as armaduras há um campo magnético uniforme
e estacionário B = B k. Quando o capacitor está neutro o feixe retoma tangenciando a
armadura Inferior. Aplicando-se entre as armaduras a tensão v, o feixe percorre o eixo
Ox. Determinar:
Resp. a) q = -0,009375 C
r,
(I13J
R = 0.05 m
li= 0.41+0.6~ T;)=4-10'1
,
,:8
b) tA' = 0.98 - 10-7 S
e = 1.6-10-31 C L10 = 0,8'106 ~,
b) 8 = 56.3'
Resp_ a) "li = -9,14 - 10-' k T
b) o tempo necessário para que o elétron se desloque de A até B;
Resp_ a) F = -14,4 J N
a) o módulo, direção e sentido do campo magnético que obriga o elétron a descrever
uma órbita semicircular de A até C;
9. Um elétron, de massa m e carga elétrica q :=; -e, quando lançado no ponto A da figura
possui velocidade Vo = \10 J. Na região existe um campo magnético uniforme estacionário
li = 8 k. Pedem-se:
Dados: md1!ut~"'O>1 = 2m"r6ton
10. Um próton é um dêuteron, acelerados sob a mesma tensão V, são injetados
perpendicularmente em uma região onde existe um campo magnético uniforme 8 .
Determine a relaç.ãoentre suas energias cinéticas, velocidades raios das trajetórias .
Dados: q = 6 -10-' C m = 0.004 kg
8. Uma partícula de carga elétrica q e massa m, é lançada com veloddade v em uma
região onde existe um campo magnético uniforme ã. Pedem.se:
a) a força magnética fi que atua sobre a partícula;
b) o ângulo () entre os vetores v e B.
Dados: m = 9.11' 10-ll kg
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
[114)
------------- •• a-
•••••••••••
• !.;••••••••••••••••••••••
[1151
6.4 Exercidos para entregar (força magnética/partieula)
1. Um feixe de elétrons com velocidade Vo penetra no espaço entre as armaduras de um
capacitar plano a vácuo, em direção paralelas a elas. A separação entre as armaduras é
h. O capacitar é eletrizado até uma tensão v, produzindo então um campo elétrico E.
Na região há também um campo magnético uniforme B. Os dois campos são
perpendiculares entre 51.O feixe não sofre deflexão. Determinar os vetores Ê e li .
q = -e = -1.6' 1Q-19 C h = O,OSm V = lOOOOV
B = -0.25 k T
+ + t,-----t-0;; - - - - - - r~- +1' - - - - --
- t t
q =-e
",-e
- ,Rcsp. £ = -200000j c
Dados: m = 9.11 • 10-31 kg
Nome: RA:
Data: Turma: Horário:
Campus: Professor:
y+-:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1---------:
111
:-&1------- ••••••••••••••••••••••••••••••--I•_ .
•
• 1
(117)
a) a intensidade da força magnética F que atua sobre a partícula;
b) O raio da trajetória;
c) o tempo gasto para percorrer ~ do drculo .
v = SODa mJs
c) t = 0,785 s
B = O.5Tq = 0,008 C
b) R = 2500m
I
Traft'tÓTta çircular
Resp. a) F = ZON
Dados: m = 0,002 kg
2. Uma partícula eletrizada de massa m e carga elétrica q é lançada com velocidade v
perpendicularmente a direção de um campo magnético uniForme de intensidade B, e
percorre uma trajetória arcular de raio R. Pedem.se:
•••••••••••••••••••••••••••••••••••I.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1119)
dP = ldi A li [35J
7 Força magnética sobre corrente elétrica
Idi = dqv (34)
c
,,
"vdt
"8',
dq
di,
A',
iii~v I• -- ),,
iii~v I( -- ~,data r
data t + de
A grandeza Idi e chamada de "'elemento de corrente", pois pode ser interpretada como:
o elemento de corrente equivale ao produto da carga móvel que ele contém, por sua
veloddade de migração .
Admitamo~ que o elemento de corrente ldi situada em um ponto P esteja imerso em
urne região onde há um camDO magnético B. Na carga dq, animada de velocidade v, o
campo B exerce a força dF == dqv 1\ 8; fazendo a substituição fica:
Figura 12. Trecho de um condutor, com corrente elétrica. As cargas elétricas se movem
com velocidade de migração aproximadamente constante .
~ dq ~ di
Idl = "di = dq;;;
Em um fio condutor percorrido por corrente elétrica 1 consideremos três seções
transversais Ar B, e C próximas, consecutivas no sentido positivo, e equídistantes (ver
figura). O segmento AS corresponde ao elemento vetorial di do condutor, no sentido
positivo convencionado. O segmento AS contém a carga móvel dq (reduzida a partículas
positivas), animada de veloddade de migração v no sentido da corrente elétrica, que
admitiremos positiva. Em duração de tal que di = lide a carga dq transpõe a seção B,
vindo a ocupar o segmento consecutivo BC •
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
11201
7.1 Conjugado magnético
F = li A 8 [36]
Sendo 8 o ângulo entre os vetores I e 8.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
F = I J di A 8F = J Idi A 8F = J dF
,,
~
-=(B-A), ,, ,,, ,, ,, ,, ,, ,, ,
: fi :
,0'''''-:=-~:~-:;.•~--- _.- -----------~..._---.-:--:.---.::-:~~:.".-
// B: ~'.. %
.,:~~:_:;:-:::::::::~ B _____ ___ __o ----.
8
AB = L
Conforme a geometria do sistema, pode surgir um conjugado magnético é; nisto
se baseia o funcionamento dos motores elétricos, e o dos galvanômetros de quadro
móvel.
Em particular, consideremos uma espira retangular ABCD percorrida por corrente
elétrica I e imersa em campo magnético uniforme li perpendicular aos lados AS e CD.
Seja fi um vetor unitário perpendicular ao plano da espira. O sentido de fi relaaona-se
com o sentido da corrente elétrica I conforme a regra da mão direita. Seja 8 o ângulo
entre ri e ii.
IFI= I .IL\.181. sen(8) [37]
Figura 13. Força magnética em um pedaço reto de um condutor que é percorrido por
uma corrente elétrica e está imerso em uma região com campo magnético uniforme.
sendo i = (B - A). A Intensidade de F é representada por:
Em segmento AB de condutor reto percorrido por corrente elétrica t, campo magnético
exerce força dada por:
Em segmento finito AB de condutor percorrido por corrente elétrica I, o campo
magnético 8 geralmente varia ponto a ponto, portanto para obter a força magnética
total no segmento é necessário aplicar o princípio de superposição, fazendo:
.1@1
F
1121J
-Fb
m = /. A [39]
lêl = b. VI [38J
lêl = BC. sen(e)./ .AlI .181 lêl = I'liC. AB '\81. sente)
A---_ ..---------------------_.-----------------_.---
ê=mAB [40]
lêl = I . A .181. sente)
Figura 14. A espira retangular é percorrida por uma corrente elétrica e está imersa em
região de campo magnético uniforme. Devido a ação de forças magnéticas nos lados da
espira, ela sofre a ação de um conjugado magnético
Logo o conjugado é apresentado como lêl = m .IBI. sen(8) e na forma vetorial fica
escrita como:
o produto da corrente elétrica I pela área da superfície da espira é denominado de
momento magnético da espira m, ou seja vale:
A área da espira é, A == AB. BC, logo:
o braço do binário é b == BC. sen(9), logo o momento do binário que é o
conjugado magnético é:
Nos lados BC e DA o campo magnético exerce forças diretamente opostas, que
$e equilibram. Nos lados AB e CD o campo magnético exerce forças que formam um
binário e tem intensidade:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Feo =1.B.R(-}-I)
FA• = 1.8.T(-] + i)
(O - C) = R i- R]
B = Bk
c
o
,a ;'R,
: , @:: B, .
"
I'.
8 = 0,5 T
Fo, = -I.B.(r+R)iAk
FOA = +25} N
FA• = 10(-] + I) N
Feo = -lSU+i)N
(1221
FC8 = I.B(R - r)U A k) ?C. = I.B(R - r)1
FBe = 5 iN
FA• = I.B.r(i+ il 'k
(C - 8) = (R - r)]
1 = 10 A
Feo =1.B.R(I-ilAk
(A - O) = -(r + R) t
FAS = 1 (B - A) ,ii
Feo = 1(0 - C) A ii
b)
(8 - A) = r i+ r]
a)
Solução:
Dados: R = 3 m T = 2 m
1. Considere o cirOJito ABCDA, percorrido em sentido horário por uma corrente elétrica
de intensidade ,. calcular:
7.2 Exercídos resolvidos
a) a torça magnética que exerce o campo magnético 8, uniforme, perpendicular ao plano
do drcuito e dirigido para fora, sobre cada uma das porções do circuito;
b) a força magnética resultante no circuito ABCDA.
Dados: J = 5 A AB = 8 m BC = 6 m CD = 4 m B = 0,5 i- 0,4 J + 0,3 k (T)
2. Um fio ABCO, imersC' em uma região onde há campo magnético uniforme B, é
percorrido por uma corrente elétrica constante 1, conforme ilustrado. Determinar a força
magnética resultante no fio .
.'~_. . . .. __. __. _. o. __ ,D
. , '
/::' ~ ._. ..__.__._____j/ 1
: : C I:: : I :, , I •, ' ,
• I Z ', 1 ', '
: r------------------------------ ----~: ,'X y ,,-
: •• '" ,i"
F~spira = O
Fmultanel! = 24i + 21J-12k (N)
B
toe ~ s[6KJ x (O,5i - O,4j + 0.3.J
t" = 5[-4iJ x (0.5i - 0.4j + 0.3k I
i••~5(Bjl x [O,5i - O,4J + o,3KJ
(123)
. li B 6\ \-4 61_ 1-4 6 1 ]
Fru,.'lan!~ = 5 -0,4 0.3 l- 0.5 0.3} + 0,5 -0,4 k
Fr,t1ullanrt = 5(-4t + Sj + Me) x (O,Si - O,4j + O,3k)
F" = 15j + 121 (N)
i" = -20~ + 1Zi (N)
(B-A)=Bjm
(C - B) = 6 k m
(D - C) = -41m
Ft"spira = -lOj+ 10i + 5 i-15j-lS i + 25j
Fundlanr. = I(D - A) x B
te. = 8k + 6j (N)
t","","" = (-20' + l2£)+ (15j + 121)+ (8. + 61)
F,u = 1(8 -A) x li
FBc. = I(C - B) x B
A
i" = I(D - C) x ii
Alternativa
Solução:
Formulário: F = l.r /I. 8
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
.1•••••••••••••••••••••••••••••••••:J
CA = 3m
1
B = 0,5 I-O,ai + O,6jJ
m = -24k (Am')
Jt-,
é = 9,6j + 7,2i (Nm) [ é 1 = -/9.6' + 7.2'
IC]=12Nm
(81
FA• = 4(4i - 3i) A(-0.4i + O,li) FA• = O
m = I [(.C);(CA)]( -k)
(8 - A) = 4[- lj(m)
(C - 8) = -4i (m) F.c = 4( -41) A(-0,4£ + O,3i)
F.c = -4,ak (N)
(A - C) = lj (m) F.c = 4(3j) A (-0,41 + O,3j)
F.c = 4,ak (N)
1124)
ICI
B =-0,41 + O,3j (T)
F.c = I(C - 8)AS
FA• = 1(8-A)AB
c = (-24~) A(-O,4i + O,3j)
b)
a)
Formulário: F = I.T. A B
a) a força magnética sobre cada lado da espira;
b) o torque magnético sobre a espira.
Dados: I = 4 A 8 = 0,5 T AR = 5 m 8C = 4 m
3. A espira retangular ABC é percorrida por uma corrente elétrica I, e está imersa em
uma região de campo magnético uniforme de intensidade B e direção paralela ao lado
maior da espira. Pedem-se:
Solução:
11251
4. Uma espira drcular de arame, de raio R transporta uma corrente elétrica I. O vetor
unitário fi é perpendicular ao plano da espira. A espira está imersa num campo magnético
dado por li. Determine:
jj = 0,25 i+ 0,30 ~ T
~ = 0,20' 0,02 = 4. 10-' m'
iii = 0,0024 i- 0,0032 j Am'
ii = 0,6 i- 0,6 j
[7j=2,5m [êl=[fi,eW:J rê]=12Nm
iii=IAii
c = (0,0024 i- 0,0032 J)" (0,25 i+ C,3 k)
ê=(-7,2j+6,O~-9,6 i)W'Nm
I = 0,20 m
A = n(0,06)' = O,02m'
iii = 4 x 1O-'[O,6i - O,6j]
Formulário: F = lI" ii
5. A espira retangular ASCO, percorrida pela corrente elétrica 1, está imersa em uma
região onde existe um campo magnético B. A espira pode girar em torno do lado AB .
Não considerar a ação do campo de gravidade local. Para a posição lIustrada, pedem •
se:
a} a força magnética no lado DA da espira .
b) mostrar que o momento magnético da espira vale m = -O,S4i - O.72~ (Am2);
c) o torque magnético que atua sobre a espira;
d) o sentido de movimento do vértice D da espira, supondo que ela seja ~ na
posição ilustrada.
Dados: I = 2 A B = 0,5 T
b)
a)
Dados: R = 0,06 m
Solução:
r êl = 12 (Nm) [fioe] = 4,6 (N)
a) o momento magnético m da espira;
b) o conjugado magnético é que atua sobre a espira .
Alternativa:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Solução:
d) Estando a direção do torque paralelo ao eixo y no sentido positivo então na vista de
topo desse eIxo o ponto D move-se no sentido anti-horário (ver figura)
(126J
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
é = 0,27 i (Nm)
m = -m. sentO) r - m.cos(O) k
cos(O) = 0,8
m = -0,54 i - 0,72 li (Am')
(A - D) = -0,4 i+ 0.3 li (m)
FOA = 2. [-0,4 i+ O,3/i] ~ 0,5 li Fo, = 0,4 i (N)
:,,
0'
: 8 1'
I'. cO, (O):
-------- .
If.sen (8)
é = [-0,54 i- 0,72 li) ~ 0,5 li
sentO) = 0,6
in = -0,9 . 0,6 r - 0,9 . 0,8 li
li = 0,6 li (T)
m = I. AB. BC m = 0,9 (Am')
FOA =I.(A-D)~li
ili
, l' :;.~---:\::::-' :~m
..~~l/: /:
I.. .,10", -.•........ 1. :
0.3 m: ~ _ _-.:. -.:;
: 0,0 : ••••
D 0,9 m C
b)
.)
(127)
t Z
,,,
".' ,
8=0,8jT
~ = IAIi
iA. = IO'(3j)AO,8j
C = -96 i+ 72 k Nm
B
<::J
...~
m = lSOAm2
ffi = 120 J( + 90 i Am'2
F" = -32/( - 24 i N
", ', ', '
\Q G ",:x- tJ ".,j .
8 = 0,8jT
(C - H) = -4 i+ 3k m
m = lO. (3' 5)
(C)
., m
C = (120 k + 90 i) AO,B}
(H-A) =3jm
)m :
•• 0- a" :~.•:.:.: ".".~.---- .. * •• - - - - •• -
• ' & m -
(8) . ---~--:---;-
F.C = I(C - H) A B
m = I.[AB 'HC]
i" = IO'(-4i+3k)AO,8j
0,8 0,6
m = 150,~k + 150.Sin(;;jr
iA. = 1(8 - A) A 8
d)
b)
.,.-" ..4)
Solução:
a)
A espira poderia girar em tomo de um eixo paralelo ao lado BC, visto que a direção
torque magnético é paralela a esse lado da espira, conforme mostrado na figura acima .
Formulário: F = T1 x li r = ;:x F
Dados: I = 10A H = O,8T
6. Uma espira retangular é percorrida por uma corrente elétrica I e está imersa em uma
região com campo magnético uniforme de intensidade B. Para a posição Ilustrada,
pedem'se:
a) as forças magnéticas FAS' Fsc que atuam respectivamente nos lados AS e BC da
espira,
b) o momento de dipolo magnético m da espira;
c) o conjugado magnético ê que atua sobre a espira;
d) indique na figura um eixo em tomo do qual a espira poderia girar devido a ação do
conjugado magnético C;
'.••••••••••••••••••••••••••••••
I.••••
1128) ••••••••••••••••••••••••••••••••••••
x
.• B"-
F = 1 J, di A B
B
y
B=ljT
b)A=B (B-A)=O F=O
z
dF = Idf A B
Dados: I = 5 A OA= OB = oe = 2 m
B. O esquema anexo representa uma espira ABCA percorrida pela corrente elétrica 1. O
ramo AC é arco de circunferência com centro O. O sistema está imerso em campo
magnético 8. Determinar a força que o campo li exerce em cada ramo, e a ação
mecânica resultante.
a) no elemento genérico df do condutor, o campo exerce a força:
Solução:
7. O referenda I é Oxyz cartesiano. No espaço que interessa, existe um campo magnético
uniforme B. Entre dois pontos quaisquer A e B estende-se um fio condutor fino erigido
de forma qualquer, percorrido por corrente elétrica 1. No trecho de condutor AS, o
campo eX2rce forças cuja resultante geral é j:.
a) Demonstrar que a resultante geral fi é a mesma que agiria no condutor fictício e reto
AB perconido pela mesma corrente elétnca I ( a linha de ação da força resultante pode
ser outra).
b) Em particular estudar o caso de circuito fechado.
FCA ; 10~ + 10 iN
e ; 30'
F,,~"an" ; (-10 {) + (-10 i) + (10 {+ 10 i)
.\
FCA ; S. (2 i- 2~) A 1i
B = 0.2 Ta:::: 4 m
b lV
FCA ; I • (A - C) A B
a) o momento de dipolo magnético m da espira;
b) o conjugado magnético ê aplicado na espira pelo campo magnético;
c) a direção do momento de dipolo magnético fi que permitiria o equilíbrio instável da
espira. Justificar a resposta .
F" ; I. (C - 8) A B
F•• ; 1.(8-,1) A B
Dados: 1 ; 0.05 A
.\
(1291
9. Uma espira retangular é percorrida pela corrente elétrica 1 e está imersa em um campo
magnético unifonne e estaclonário de Intensidade B cuja direção forma com o plano da
espira um ângulo 8. Para a posição ilustrada, pedem-se:
Solução:
Ramo AB:
Ramo BC:
Ramo CA:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
ii= -k
y
---~I ----- ..••.
B
D
1=2A
~. = -0,3. ,/3 i - 0,3 fi Am2
m:; m. fi
ê = -0,104 j Nm
z t,,
AB = 0,6 m BC = 0,40m
m = O,6Am2
m = -O,6k Am'
9 = 10m/5'
..fi lli
0,2'"1.1+0,2'2
O.'
A=a.b
B
71"=
ê = [-O,6.k] x [o,2'f.r + O,2.;k]
m = l.A
ii= B.cos(8).r+ B,sen(8).k
Dados: B = 1,5 T
[BOI
10. Um quadro condutor retangular, de lados AS e BC, é percorrido por corrente elétrica
1 e está imerso em região de campo magnético B e campo gravitacional g. O quadro
está apoiado em mancais, com capacidade de rotação em torno do eixo Ox. No ponto
médio M do lado De, está ligado a espira, através de um fio isolante, um bloco de massa
m. Todo o conjunto permanece em equilíbrio na posição ilustrada. Determine a massa
m.
Na posição de equilíbrio o torque magnético é nulo, valendo: ê' = m' A 8 = o. O
equilíbrio é instável quando a espira não retornar a sua posição de equilíbrio se sofrer
uma rotação de um ângulo pequeno.
c) Para que o equilíbrio seja instável, o plano da espira de ser posicionado de forma que
a direção do dipolo magnético se torne paralelo a direção de a, e o sentido do dipol0
magnético seja contrário ao sentido de 8, logo: fi' = 11. fi'
b)
a)
Solução:
(M -O) = 0.20Jm
êgra'l'ttc. = -2,0 .m r Nm
m =~ m = 0,36 k9,.•
êTll!Slllrant~=O +0,72 i+(-2,O"m £)=0
êgr(lllitc. = O,20} Am(-IOJe)
(1311
Cnta.g = +0,72 i Nm
-,
ém,g = -0,48 li A1,5J émag = -0,48' 1.5 li A J
A=AB'BC m=2'O,6'O,4 m=0,48Am'
0.72= 2,0' m
m =/.A
-,
CgTal.'lrt,= 0.20-10 'm J h (-IC)
Solução:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
(132]
7.3 Exercídos propostos
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
e = 300m = 2,5 kg
Y!v~.rtj(<lt
b) m ~ -0,36' - 0,27iAm' c) ê = -O,18J Nm
b) N ~ 21,65 N Fm,s = 12,5 N
9 = 10~
"
B ~ 0,5 T
Resp. a) 1 = 41,7 N
Dados: B ~ 0,5 T
2) Uma barra condutora AB, de massa m e comprimento L, está apoiada, na posição
horizontal, em um plano liso inclinado de um ângulo 8. A aceleração da gravidade local
é g. Na região há um campo magnético uniforme de intensidade 8, com direção
perpendicular ao plano e orientado
para baixo. Pedem-se:
a) a intensidade e o sentido de uma corrente elétrica I necessária para manter a barra
em equilíbrio sobre o plano inclinado;
b) a força magnética, e a força normal aplicada sobre a barra.
i',. A=_' =c
~,.'~;~'_""'h
" OJ 111: ••••
00
s
Resp. a) Fse ~ 0,9' - O,3J N
Dados: I = 2 A
a) a força magnética no lado BC da espira;
b) o momento magnético in da espira;
c) o conjugado magnético é aplicado na espira.
1. A espira triangular ABe, percorrida pela corrente elétrica 1, está imersa em uma região
onde existe um campo magnético B. A espira pode girar em torno do lado AB. Para a
posição ilustrada, pedem-se:
(133)
3. No estado de menor energia do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um
elétron de carga elétrica qe = -e = -1,60 x 10-19 C e massa me = 9.11 x 10-31 kg se
move em uma órbita draJlar de raio R = 52.9, 10-12 m com velocidade escalar v = 2.19 .
106 m/s no plano xy, como mostra a figura .
a) Determine a intensidade da corrente elétrica I equivalente ao movimento de rotação
do elétron.
b) calcule o momento de dipolo magnético m associado ao movimento orbital do elétron .
c) Se um campo magnético uniforme B = B r de magnitude B = 0,500 T fosse aplicado
sobre o átomo de hidrogênio, a órbita do elétron giraria em torno de qual eixo?
x
9 = 10 ~
"
o
y
8
b) iii = -9.27 x 10-" k Am'
m=lZ.l0-3kg J=10A
Resp. 8 = 0,0173 T
Resp. a) I = l.OSmA
Dados: L = 0.20 m
c) ê = -4,63 X lO-H J Nm (giraria entomo do eixo y)
4. Um Quadro condutor quadrado tem lado L e massa m e é constituído de fio
homogêneo. O lado OA é horizontal e giratório em mancais fixos, sem atrito. Ele conduz
uma corrente elétrica invariável (. O quadro está imerso em campo magnético uniforme
vertical ascendente. O campo de gravidade local é de intensidade 9. Determine a
intensidade 8 do campo magnético quando o quadro estiver em equilíbrio no ângulo 9.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
S. A espira ABC esquematizada é percorrida pela corrente elétrica I, e está imersa em
campo magnético B. Determinar:
6. A espira Quadrada de lado L é percorrida por uma corrente elétrica /. Na situação
indicada o conjugado magnético C que atua na espira é máximo bem como a força
magnética FAD que age no lado AO. Calcular:
Resp. a) F,c = -40JI k - 80 iN b) m = 100rr(JI i -.J2 ilAm'
c) ê = rrZOOJIli Nm
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
y
B-
e = 45'
z •
c
li = Zj T
1= 10A
1=8A
A
~~ e~----_:_-----------
~ 8x
b) o conjugado magnético é.
Dados: L = 3 m FAD = 30 N
[1341
a) o campo magnético li no qual a espira está imersa;
Dados: AB = AC = 5 m
a) a força magnética Fsc que atua no trecho BC da espira;
b) o momento magnético m da espira;
c) o conjugado magnético ê que atua sobre a espira.
Resp. I = 0,0 IS A
7. Em galvanômetro de quadra móvel, no entre ferro reina indução radial com campo
magnético B = 0,50 T. ~da espira tem área A = 1,6' 10-4 m2; o número de espiras N =
200. Em fundo de escala, o conjugado de restituição é C' = 2,4' 10-4 Nm. Determinar
a corrente elétrica de fundo de escala .
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
x "'~'
Resp. a)B=lJT
1135)
•z ,,,,,,,,
, y
,J- - - -- - - - - - - - - - - - - - -_- - .•
A 8--~--~-
D __ C
I
b) C = 90 r Nm
(1361
Resp. A = .!..L2••
9. Com um fio condutor de comprimento L deseja-se construir uma espira que produza
um máximo momento magnético. Qual é a área da superfície dessa espira?
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
B = 0,625 T1= 10 A
x
m = 0,03 kgB = 10 ~,
y
Dados: AB = L = 0,08 m 9 = 10 ~ B = 0,05 T 1= 2A
"
O
~g ~JB I ,B +-- lc A, 7 barra z
Resp. nt = 0,8 '10-3 kg
10. Uma barra metálica AB, de massa m de comprimento L está Imersa simultaneamente
em um campo gravitacional de intensidade 9 e a um campo magnético de intensidade
B (ver figura). Sabe-se que a barra permanece em equilíbrio, Quando for percorrida por
uma corrente elétrica I. Determinar sua massa m.
b
Resp. (}=31°
z
Dados: a = 0,04 m b = 0,05 m
8. A espira retangular de lados a e b, indicada na figura, tem massa m, está articulada
sem atrito em tomo do eixo Oz e conduz uma corrente elétrica 1 no sentido indicado.
Ela está imersa em um campo magnético uniforme de intensidade B no sentido Oy.
Quando ela for abandonada, a partir do repouso, na posição vertical, determine o
ângulo B que o momento de dipolo magnético fará com o campo magnético quando o
sistema entrar em equilíbrio;
7.4 Exercidos para entregar (força magnética em corrente/conjugado magnético)
Nome: RA:
Data: Turma: Horário:
Campus: Professor:
1. Um quadro condutor retangular, de lados AB e BC, é percorrido por corrente elétrica
1 e está imerso em região de campo magnético B e campo gravitadonal g. O quadro
está apoiado em mancais, com capacidade de rotação em tomo do eixo Ox, No ponto
médio M do lado De, está ligado a espira, através de um fio isolante, um bloco de massa
m. Todo o conjunto pennanece em equilíbrio na posição ilustrada. Determine a corrente
elétrica I .
m = O.36kgAS = 0,6 m BC = 0,40 m
..'
9= 10m/52
'I. //
• A o" D
B
/,;..,
,,"
o",
11371
Resp. I = 2,5 A
Dados: 8 = 1.2 T
~••••••••••••••••••••••••••••••I:
I:
11381
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
2. A espira ABC esquematizada é percorrida pela corrente elétrica /, e está imersa em
campo magnético li. Determinar:
a) a força magnética Fac que atua no trecho BC da espira;
b) o momento magnético m da espira;
c) o conjugado magnético e que atua sobre a espira .
(139)
c) ê ~ 100,/2 f Nm
y
B
--+
B
~I
c
z
ii~2i TI ~ BA
x
Resp. a) F" =-40,/2 f-BOi N b) m=50(,/2i-.J2i)Am'
Dados: AS = AC = 5 m
••••••••••••••••••••••••
I •••
,.•••••••
[14llJ
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
;:--------
•••••••,
' .••••••
I •
••I:•••••I.
' .••••••••
--------::
••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••
---- --~----------------
	00000001
	00000002
	00000003
	00000004
	00000005
	00000006
	00000007
	00000008
	00000009
	00000010
	00000011
	00000012
	00000013
	00000014
	00000015
	00000016
	00000017
	00000018
	00000019
	00000020
	00000021
	00000022
	00000023
	00000024
	00000025
	00000026
	00000027
	00000028
	00000029
	00000030
	00000031
	00000032
	00000033
	00000034
	00000035
	00000036
	00000037
	00000038
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	00000070
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	00000074
	00000075
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	00000077
	00000078