Apostila Matemática para Negócios 5 - Estácio

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS - UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ - PROF. PAULO BORGES 
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RAZÃO 
 
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão 
entre dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Logo, chama-se de razão entre 
dois números racionais a e b, com b 

 0, ao quociente entre eles. 
 
Indica-se a razão de a para b por a / b onde o primeiro termo a chama-se antecedente e o 
segundo termo b chama-se consequente. 
 
Exemplo 
 
Imagine que em um condomínio com 40 apartamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam 
de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual a razão entre o número de apartamentos de 3 e 2 
dormitórios? 
 
Temos então que a razão entre o número de apartamentos de 3 e 2 dormitórios é: 
 
12 / 18 = 2 / 3 (dois para três) 
 
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, existem 3 apartamentos de 2 
dormitórios. 
 
Se fosse pedida a razão entre os apartamentos de 2 e 3 dormitórios teríamos: 
 
18 / 12 = 3 / 2 (três para dois) 
 
Isso quer dizer que, para cada 3 apartamentos de 2 dormitórios, existem 2 apartamentos de 3 
dormitórios. 
 
Agora, se fosse pedida a razão entre o número de apartamentos de 1 dormitório e o total de 
apartamentos teríamos: 
 
10 / 30 = 1 / 3 (um para três) 
 
Isso quer dizer que, para cada 3 apartamentos do prédio, existe 1 apartamento de 1 
dormitório. 
 
 
A razão pode ser representada na forma fracionária, na forma decimal ou na forma de 
porcentagem. 
 
Exemplos 
 
1 - Considere que 1 / 5 do seu salário mensal é utilizado para o lazer. Represente essa razão 
nas formas fracionária, decimal e porcentagem. 
 
 
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 Forma fracionária = 1 / 5. Significa que se o seu salário for dividido em 5 partes, uma 
parte será utilizada para o lazer. 
 Forma decimal = 0,2 
 Forma de porcentagem = 20%. Essa representação, nesse exemplo, dá um melhor 
entendimento do gasto utilizado com o lazer. 
 
2 - Em um campeonato de futebol foram marcados 640 gols no total, sendo que o time AZUL 
foi campeão, marcou 96 gols e sofreu 30. O artilheiro do time AZUL marcou 40 vezes. De 
acordo com os dados do time campeão, estabeleça: 
 
a) A razão entre o número de gols marcados pelo time AZUL e o número total de gols do 
campeonato. 
 
96 / 640 = 3 / 20 - A cada 20 gols do campeonato o time AZUL marcou 3. 
 
Podemos representar essa razão na forma decimal (0,15) ou na forma de porcentagem (15%). 
 
b) A razão entre o número de gols marcados pelo artilheiro do time AZUL e o número de gols 
da equipe no campeonato. 
 
40 / 96 = 5 / 12 – A cada 12 gols do campeonato, o artilheiro do tome AZUL marcou 5. 
 
Podemos representar essa razão na forma decimal (0,4166) ou na forma de porcentagem 
(41,66%). 
 
 c) A razão entre o número de gols sofridos pelo time AZUL e o número de gols marcados pela 
equipe. 
 
30 / 96 = 5 / 16 – A cada 16 gols marcados, o time AZUL sofreu 5. 
 
Podemos representar essa razão na forma decimal (0,3125) ou na forma de porcentagem 
(31,25%). 
 
3 - No vestibular de 1990 da UNICAMP, concorreram, para 90 vagas do curso de Medicina, 
7.830 candidatos. Qual a relação de candidatos por vaga para o curso? 
 
Temos então: 
 
7.830 / 90 = 87 / 1 – Ou seja, 87 candidatos para cada vaga. 
 
4 – Calcule a razão entre 0,25 e 2. 
 
Temos então: 
 
0,25 / 2 = (25 / 100) / 2 = (1 / 4) / 2 = (1 / 4) x (1 / 2) = 1 / 8 (um para oito) 
 
 
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5 – Calcule a razão entre 1 / 6 e 5 / 12. 
 
Temos então: 
 
(1 / 6) / (5 / 12) = (1 / 6) x (12 / 5) = 12 / 30 = 2 / 5 (dois para cinco) 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Duas razões são chamadas inversas entre si, quando o antecedente de uma for igual ao 
consequente da outra e vice-versa. O produto de duas razões inversas é igual a 1. 
 
Exemplos 
 
2 / 3 e 3 / 2 são razões inversas, logo (2 / 3) x (3 / 2) = 1. 
 
- (1 / 5) e –5 são razões inversas, logo – (1 / 5) x (- 5) = 1. 
 
PROPORÇÃO 
 
Definimos proporção como sendo a igualdade entre duas razões. Representamos uma 
proporção entre os números a, b, c e d nesta ordem, conforme a expressão abaixo: 
 
a / b = c / d 
 
Lemos, a está para b assim como c está para d. 
 
Os elementos a, b, c e d que representam uma proporção possuem denominação própria. 
 
Como pode ser visto, a e d estão nas extremidades enquanto b e c estão no meio da sequência. 
 
Por essa razão a e d são chamados de extremos enquanto b e c são chamados de meios. 
 
Pela própria representação da proporção, podemos afirmar que o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos (multiplicar os seus termos em cruz), logo: 
 
a . d = b . c 
 
Exemplos 
 
1 - Se 6 / 24 = 20 / 80 então 6 . 80 = 24 . 20 
 
2 – Se 2 / 3 = 4 / 6 então 2 . 6 = 3 . 4 
 
3 – Se 5 / 7 = 25 / 35 então 5 . 35 = 7 . 25 
 
 
 
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4 - Encontrar o valor de x na proporção: x / 20 = 4 / 10 
 
Temos então: 10x = 20 . 4 logo 10x = 80 sendo x = 80 / 10 = 8 
 
5 – Verificar se existe proporção entre os números 3, 5, 9 e 15 
 
Temos que montar a proporção a partir dos números dados, logo: 
 
3 / 5 = 9 / 15. Aplicando a regra da proporção temos: 3 . 15 = 5 . 9 logo 45 = 45. Podemos 
afirmar que existe proporção entre os números citados. 
 
6 – Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Qual a 
razão do número de questões certas para o de erradas? 
 
Precisamos achar o número de questões erradas. Temos então: 50 – (35 + 5) = 10. 
 
A razão solicitada é: 35 / 10 que pode ser simplificada para 7 / 2. 
 
7 - Calcular dois números positivos na proporção de 2 para 5 sabendo-se que a diferença entre 
eles é 42. 
 
Considerando a e b os números, temos a seguinte proporção: a / b = 2 / 5 e sabemos também 
que b – a = 42, pois b é o maior número. 
 
Obs.: Se a / b = 2 / 5 quer dizer que a divisão de a por b é igual a 2 dividido por 5, logo a 
dividido por b é igual a 0,4. Podemos concluir então que b é maior que a pois a divisão de 
ambos deu um número menor que 1. 
 
Podemos montar então o seguinte sistema de equações: 
 
5a = 2b 
b - a = 42 então b = 42 + a 
 
Aplicando a substituição temos: 
 
5a = 2(42 + a) 
5a = 84 + 2a então 5a – 2a = 84 logo 3a = 84 e a = 28 
 
5 . 28 = 2b então 2b = 140 e b = 70. Logo temos: 28 / 70 = 2 / 5 e 70 – 28 = 42. 
 
SÉRIES DE RAZÕES 
 
Definimos séries de razões iguais como sendo a igualdade de duas ou mais razões. 
 
No caso de séries de razões, a propriedade fundamental é que a razão da soma de todos os 
numeradores pela soma de todos os denominadores de duas ou mais razões é igual a qualquer 
uma das razões envolvidas. 
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Exemplo 
 
3 / 15 = 1 / 5 = 5 / 25 = 8 / 40 
 
Então: 3 / 15 = (1 + 5 + 8) / (5 + 25 + 40) logo 3 / 5 = 14 / 70 
 
Então: 5 / 25 = (3 + 1 + 8) / (15 + 5 + 40) logo 5 / 25 = 12 / 60 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Definimos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao multiplicarmos uma 
das grandezas por um fator conhecido, a outra também ficará multiplicada por esse mesmo 
fator. 
 
Exemplos 
 
1 - Uma obra é finalizada em 3 dias quando um único operário trabalha nela. Em 9 dias, esse 
mesmo operário terá finalizado quantas obras? 
 
Temos então: 
 
Obras Dias 
1 3 
x 9 
 
Como dias e obras são diretamente proporcionais (não há variação de operários) temos a 
seguinte proporção: 
 
1 / x = 3 / 9 então 3x = 1 . 9 logo x = 3. O funcionário terá finalizado 3 obras em 9 dias. 
 
2 – Uma costureira sozinha consegue fabricar 20 calças por dia. Quantas calças 3 costureiras 
juntaspodem fabricar em um dia? 
 
Temos então: 
 
Costureiras Calças 
1 20 
3 x 
 
 
Como costureira e calças são diretamente proporcionais (não há variação de dias) temos a 
seguinte proporção: 
 
1 / 3 = 20 / x então x = 3 . 20 logo x = 60. Três costureiras irão produzir 60 calças num dia. 
 
 
 
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3 – Considere que 2 cozinheiras preparam um jantar para 20 pessoas. Considerando-se uma 
dependência proporcional entre as grandezas no preparo do jantar, quantas cozinheiras serão 
necessárias para fazer um jantar 40 pessoas. 
 
Temos então: 
 
Cozinheiras Pessoas 
2 20 
x 40 
 
Como cozinheiras e pessoas são diretamente proporcionais (não há variação de jantar) temos a 
seguinte proporção: 
 
2 / x = 20 / 40 então 20 . x = 2 . 40 logo 20x = 80, então x = 4. Quatro cozinheiras serão 
necessárias para fazer o jantar para 40 pessoas. 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Definimos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao multiplicarmos uma 
das grandezas por um fator conhecido então ocorrerá o inverso com a outra, isto é, a outra 
ficará dividida por esse mesmo fator. Se a e b são grandezas inversamente proporcionais, 
quando duplicamos a grandeza a teremos que a grandeza b ficará reduzida a metade. 
 
Exemplos 
 
1 - Uma obra é finalizada em 6 dias quando um único operário trabalha nela. Se dois operários 
trabalharem na obra, quantos dias serão necessários para finalizar a obra. 
 
Temos então: 
 
Dias Operários 
6 1 
x 2 
 
Como dias e operários são inversamente proporcionais (não há variação de obras) temos que 
inverter a razão de dias ou a razão de operários. Logo, a proporção será: 
 
6 / x = 2 / 1 então 2 . x = 6 logo x = 3. Precisaremos de 3 dias para finalizar a obra com 2 
funcionários. 
 
Poderíamos fazer também: 
 
x / 6 = 1 / 2 então 2 . x = 6 logo x = 3. Precisaremos de 3 dias para finalizar a obra com 2 
funcionários. 
 
2 - Em 180 dias, 24 operários constroem uma casa. Quantos operários serão necessários para 
fazer uma casa igual em 120 dias? 
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Temos então: 
 
Dias Operários 
180 24 
120 x 
 
Como dias e operários são inversamente proporcionais (não há variação de casas) temos que 
inverter a razão de dias ou a razão de operários. Logo, a proporção será: 
 
180 / 120 = x / 24 então 120 . x = 180 . 24 logo x = 36. Precisaremos de 36 operários para 
finalizar a casa em 120 dias. 
 
Poderíamos fazer também: 
 
120 / 180 = 24 / x então 120 . x = 180 . 24 logo x = 36. Precisaremos de 36 operários para 
finalizar a casa em 120 dias. 
 
3 – Um automóvel viaja com velocidade média de 80 km/h e percorre a distância entre Vila 
Nova e Vila Velha em 2 horas. Quanto tempo esse mesmo automóvel gastará para fazer este 
trajeto com velocidade média de 100 km/h? 
 
Temos então: 
 
Velocidade Tempo 
80 2 
100 x 
 
Como velocidade e tempo são inversamente proporcionais temos que inverter a razão de 
velocidade ou a razão de tempo. Logo, a proporção será: 
 
80 / 100 = x / 2 então 100 . x = 80 . 2 logo 100 . x = 160, então x = 1,6 horas = 96 minutos. 
Precisaremos de 96 minutos para percorrer o trajeto com velocidade de 100 km/h. 
 
Poderíamos fazer também: 
 
100 / 80 = 2 / x então 100 . x = 80 . 2 logo 100 . x = 160, então x = 1,6 horas = 96 minutos. 
Precisaremos de 96 minutos para percorrer o trajeto com velocidade de 100 km/h. 
 
REGRA DE TRÊS 
 
A proporção é o princípio da regra de três. Chamamos de regra de três uma regra prática que 
permite, através da comparação de grandezas proporcionais, a resolução de problemas que 
acontecem no do dia a dia. 
 
Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são 
conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo. 
 
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Podemos chamar a regra de três de direta ou inversa, dependendo da relação existente entre 
as duas grandezas envolvidas no problema. 
 
Quando o problema envolve somente duas grandezas, chamamos de regra de três simples. 
 
Exemplos 
 
1 - Se um ingresso de cinema custa R$ 12,00, quanto custarão 6 ingressos? 
 
As grandezas envolvidas são ingressos e o valor dos ingressos, logo temos uma regra de três 
simples e direta, pois quanto mais ingressos forem comprados, maior será o custo. 
 
Ingresso Valor 
1 12 
6 x 
 
Temos então: 
 
1 / 6 = 12 / x então x = 12 . 6 logo x = 72. Os 6 ingressos custarão R$ 72,00. 
 
2 – Um automóvel percorre uma determinada distância em 3 horas, com velocidade de 80 
km/h. Se essa mesma distância for percorrida a uma velocidade de 100 km/h, quantas horas 
serão gastas? 
 
As grandezas envolvidas são velocidade e tempo, logo temos uma regra de três simples e 
inversa, pois o aumento da velocidade implica na diminuição do tempo. 
 
Tempo Velocidade 
3 80 
x 100 
 
Temos então: 
 
3 / x = 100 / 80 então 100 . x = 3 . 80 logo 100 . x = 240, então x = 2,4 horas = 144 minutos. 
Precisaremos de 144 minutos para percorrer o trajeto com velocidade de 100 km/h. 
 
Quando o problema envolve mais de duas grandezas, chamamos de regra de três composta. 
 
Exemplos 
 
1 - Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos 
serão montados por 4 homens em 16 dias? 
 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 
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Temos que analisar cada uma das grandezas envolvidas com a grandeza que tem a variável a 
ser descoberta. Temos então: 
 
 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a 
relação é diretamente proporcional. Neste caso mantemos a razão original. 
 
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação 
também é diretamente proporcional. Neste caso mantemos a razão original. 
 
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. 
 
20 / x = (8 / 4) . (5 / 16) então 20 / x = 40 / 64, logo x = (20 . 64) / 40 então x = 32. Serão 
montados 32 carrinhos. 
 
2 - Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 
pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse 
muro? 
 
Pedreiros Altura Dias 
2 2 9 
3 4 x 
 
Temos que analisar cada uma das grandezas envolvidas com a grandeza que tem a variável a 
ser descoberta. Temos então: 
 
 Aumentando o número de pedreiros, a quantidade de dias diminui. Portanto a relação 
é inversamente proporcional. Nesse caso a razão 2 / 3 será invertida para 3 / 2. 
 
 Aumentando a altura do muro, a quantidade de dias aumenta. Portanto a relação 
é diretamente proporcional. Nesse caso mantemos a razão original. 
 
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. 
 
9 / x = (3 / 2) . (2 / 4) então 9 / x = 6 / 8, logo x = (8 . 9) / 6 então x = 12. Para completar o muro 
serão necessários 12 dias. 
 
PORCENTAGEM 
 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou 
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. 
 
Exemplos 
 
 A gasolina teve um aumento de 15%. 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00. 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00. 
 
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 Dos jogadores que jogam no time, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no time, 90 são craques. 
 
Porcentagem ou percentagem, simbolizada formalmente por %, exprimeo conceito de uma 
divisão por 100. Na verdade, estamos aplicando o conceito de razão onde o denominador será 
considerado fixo e igual a 100. 
 
Existem também mais duas formas equivalentes de representação de uma porcentagem e que 
são denominadas razão centesimal e número decimal. 
 
RAZÃO CENTESIMAL 
 
Toda a razão que tem para denominador o número 100 denomina-se razão centesimal. 
 
Exemplos 
 
7 / 100 16 / 100 125 / 100 
 
Podemos representar uma razão centesimal de outras duas formas. 
 
Razão Centesimal Número Decimal Taxa Percentual 
7 / 100 0,07 7% 
16 / 100 0,16 16% 
125 / 100 1,25 125% 
 
A porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 
Para resolver problemas de porcentagem, devemos resolver uma proporção ou uma regra de 
três simples. 
 
Exemplos 
 
1 – Calcular 10% de 300 
 
(10 / 100) . 300 = 3000 / 100 = 30 
 
2 – Calcular 25% de 200 
 
(25 / 100) . 200 = 5000 / 100 = 50 
 
3 – João vendeu 30% dos seus 50 cavalos. Com quantos cavalos João ficou? 
 
(30 / 100) . 50 = 1500 / 100 = 15 
 
João vendeu 15 cavalos. Como tinha 50 cavalos, logo João ficou com 50 – 15 = 35 cavalos. 
 
4 - Um colaborador cujo vencimento era de R$ 2.000,00. Recebeu um aumento de 5%. Quanto 
passou a ser o seu novo vencimento? 
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Podemos estabelecer a seguinte regra de três, onde R$ 2.000,00 é 100% e queremos achar o 
novo salário para 105% (aumento de 5%). 
 
2000 / 100 = x / 105 logo 100 . x = 2000 . 105 então x = (2000 . 105) / 100. 
 
x = 2100. O novo vencimento passou a ser R$ 2.100,00. 
 
Podemos também achar 5% de 2000 (o aumento) e somar esse resultado ao vencimento. 
 
(5 / 100) . 2000 = 10000 / 100 = 100 (o aumento) 
 
O novo vencimento é 2000 + 100 = 2100. O novo vencimento passou a ser R$ 2.100,00. 
 
5 – Um bolo foi dividido em muitos pedaços iguais. Sabendo-se que 8 deles representam 20% 
do total, em quantas partes foi dividido o bolo? 
 
Temos então: 
 
8 / 20 = x / 100 logo 20 . x = 100 . 8 então x = (100 . 8) / 20 
 
x = 40. O bolo foi dividido em 40 partes. 
 
6 – Ao comprar um eletrodoméstico por R$ 150,00 obtive um desconto de R$ 18,00. Qual a 
taxa de desconto? 
 
O valor R$ 150,00 equivale a 100%. Para um desconto de R$ 18,00, temos que descobrir que 
percentual de R$ 150,00 equivale a R$ 18,00. 
 
Temos então: 
 
150 / 100 = 18 / x logo 150 . x = 18 . 100 então x = (18 . 100) / 150 
 
x = 12. A taxa de desconto obtida foi de 12%. 
 
7 - Um comerciante vende um quadro por R$ 4.800,00, com um lucro de 20% sobre o preço de 
custo. Qual o preço do custo e o valor do lucro? 
 
O valor R$ 4.800,00 tem um lucro de 20% sobre o preço de custo, logo R$ 4.800,00 equivale a 
120% (100 + 20) do preço de custo. Podemos montar então a seguinte regra de três: 
 
4800 / 120 = x / 100 logo 120 . x = 4800 . 100 então x = (4800 . 100) / 120 
 
x = 4000. O preço de custo do quadro é R$ 4.000,00. 
 
O lucro obtido é: 4800 – 4000 = 800. O valor do lucro é R$ 800,00. 
 
 
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8 - Calcular por quanto devo vender uma TV que comprei por R$ 4.000,00 para ganhar 20% 
sobre o preço de compra. E qual será o lucro? 
 
Primeiramente temos que calcular quanto é 20% do preço da TV. 
 
Temos então: 
 
4000 / 100 = x / 20 logo x . 100 = 4000 . 20 então x = (4000 . 20) / 100 
 
x = 800. Esse é o valor que eu quero ganhar na venda. Logo o lucro é de R$ 800,00. 
 
O valor da venda será 4000 + 800 = 4800. Logo o preço de venda é R$ 4.800,00. 
 
9 - Calcular por quanto devo vender uma TV que comprei por R$ 4.000,00 para ganhar 20% 
sobre o preço de venda. E qual será o lucro? 
 
Se eu quero ganhar 20% sobre o preço de venda, quer dizer que se eu tirar 20% do preço de 
venda, que é o meu lucro, eu chego no valor da minha compra. Logo, o valor da minha compra 
equivale a 80% do valor de venda. Temos então: 
 
4000 / 80 = x / 100 logo x . 80 = 4000 . 100 então x = (4000 . 100) / 80 
 
x = 5000. Esse é o meu valor de venda. Logo a TV deve ser vendida por R$ 5.000,00. O lucro 
será 5000 – 4000 = 1000. Logo o lucro é de R$ 1.000,00, que é 20% do preço de venda. 
 
10 - Uma maquina de fazer café expresso foi vendida por R$ 300,00, com um prejuízo de 40% 
sobre o preço de custo. Qual o preço do custo e o prejuízo? 
 
Se houve um prejuízo de 40%, sobre o preço de custo, na minha venda, quer dizer que o valor 
da minha venda equivale a 60% do preço de custo. Temos então: 
 
300 / 60 = x / 100 logo x . 60 = 300 . 100 então x = (300 . 100) / 60 
 
X = 500. Esse é o meu preço de custo. Logo o preço de custo foi R$ 500,00. O prejuízo foi 500 – 
300 = 200. Logo o prejuízo é de R$ 200,00 que é 40% de R$ 500,00.