400 Questões Resolvidas

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Conjuntos 
 
1. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, 
exatamente: 17% têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o 
percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? 
 
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de 
elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. 
 
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, 
vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 
100% - 31% = 69%. 
 
2. (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: 
Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses 
programas. 
Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum 
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x 
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a 
qualquer dos três programas é: 
(A) 200 (C) 900 
(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a. 
 
Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, 
começando sempre pela interseção que tem 100 elementos. 
 
 
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 
+ x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, 
o número de pessoas da comunidade que não 
assistem a qualquer dos três programas é: x = 
1800 - 1600 = 200. 
Assim, (A) é a opção correta. 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo 
funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as 
duas revistas é .... 
 
Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato 
de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 
100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100. 
 
Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%. 
 
4. (UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os 
senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 
1989. 
A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano? 
 
Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e 
mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo 
comum de 3, 4 e 6. Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 22× 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) 
= 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001. 
 
5. Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma 
das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos 
erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 
= 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 
acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 
erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 
erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que 
acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos 
que erraram as duas. Observe a interseção P1∩ P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões. 
 
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um 
de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição 
para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem 
efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. 
Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 
74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental? 
 
Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S∩M o número de candidatos aos 
níveis superior e médio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao 
nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 
= 0,13. 
Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S∩M = 150 - 111 = 39 . 
Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a 
quantidade de elementos. 
 
Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289. 
 
 
Funções 
 
7. Ana e Ivo resolveram trocar mensagens sigilosa usando funções inversas. Inicialmente, 
relacionam números ao alfabeto (veja a tabela abaixo onde o símbolo # representa um espaço em 
branco). 
# A B C ... J K L ... W X Y Z 
0 1 2 3 ... 10 11 12 ... 23 24 25 26 
Em seguida definem a função que vai codificar a mensagem: y = 2x - 3. Assim, por exemplo, à 
mensagem REVISTA, Ana associa a seqüência numérica 18 5 22 9 19 20 1 , mas envia a Ivo a 
seqüência numérica obtida pelas imagens da função y = 2x - 3, ou seja, 33 7 41 15 35 37 -1. Desta 
forma se Ana envia a Ivo, utilizando-se da mesma função, a seqüência -1 3 7 33 37 27 39 , qual é a 
mensagem que será compreendida pelo Ivo? 
Solução: Uma função é inversa de uma outra quando ela desfaz o que outra faz e vice-versa. 
Se a função que codifica (cifra) a mensagem é a função y = 2x - 3, então a função que decodifica 
(decifra ou traduz) é a função inversa de y = 2x -3. Para calcular a função inversa de y = 2x - 3 , 
trocamos o x pelo y e depois isolamos o y. 
Então, x = 2y - 3 , o que implica em -2y = -x - 3, isto é, 2y = x + 3. Logo y = (x + 3) / 2 é a função 
inversa. 
Como Ana enviou a sucessão -1 3 7 33 37 27 39 , obtida pelas imagens da função y - 2x -3, Ivo, 
para entender a mensagem, tem que obter a sucessão pelas imagens de y = (x + 3) / 2 : 
Para x = -1, temos y = (-1 + 3) / 2 = 1 ; 
Para x = 3 , temos y = (3 + 3) / 2 = 3 ; 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para x = 7, temos y = (7 + 3) / 2 = 5 ; 
Para x = 33 , temos y = (33 + 3) / 2 = 18 ; 
Para x = 37, temos y = (37 + 3) / 2 = 20 ; 
Para x = 27, temos y = (27 + 3) / 2 = 15 ; 
Para x = 39, temos y = (39 + 3) / 2 = 21. 
Assim a mensagem entendida (decodificada) por Ivo é 1 3 5 18 20 15 21, o que corresponde a 
mensagem ACERTOU. 
 
8. (UNICAMP) Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo: 
 
Plano 
Custo fixo 
mensal 
Custo adicional 
por minuto 
A R$ 35,00 R$ 0,50 
B R$ 20,00 R$ 0,80 
C 0 R$ 1,20 
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês? 
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois? 
Solução: a) O preço y depende (está em função) do tempo x em minutos. 
Então, no plano A temos a função y = 0,5x + 35 = 0,5(25) + 35 = 42,50. 
No plano B temos y = 0,8x + 20 = 0,8(25) + 20 = 40,00. 
No plano C temos y = 1,2x = 1,2(25) = 30,00. 
Assim, o plano C é o mais vantajoso (mais barato)para alguém que utilize 25 minutos por mês. 
b) Este problema pode ser resolvido com o uso de gráficos: 
 
Observando os coeficientes angulares (1,2 > 0,8 > 0,5) das retas, temos que o preço do plano C 
aumenta com mais rapidez que o preço do plano B. Este, por sua vez, cresce com mais rapidez que 
o preço do plano A. Então, existe um tempo x onde as retas se encontram, ou seja, existe um x onde 
0,5x + 35 = 1,2x e 0,8x + 20 = 1,2x e 0,5x + 35 = 0,8x + 20 . 
Resolvendo a primeira equação encontramos 35 = (1,2 - 0,5) x . 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo x = 35 / (1,2 - 0,5) , o que implica em x = 35 / 0,7 = 350 / 7 = 50 minutos. 
Concluindo, o plano A é mais vantajoso (menor custo) que os outros dois a partir de 50 minutos de 
uso mensal. 
 
9. Numa fábrica, o custo C de produção de x litros de certa substância é 
dado pela função C(x), com x ≥ 0, cujo gráfico está representado ao 
lado. 
O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 
 
 
Solução: O gráfico representa a função do primeiro grau: C(x) = ax + b. 
Quando x = 0 , C(x) = 400. Quando x = 8 , C(x) = 520. Então, 400 = a(0) + b = b. 
Segue que, 520 = 8a + b = 8a + 400. Assim, o coeficiente angular a = (520 - 400) / 8 = 120 / 8 = 
15. 
Logo, a equação da reta é: C(x) = 15x + 400. Se o custo é C(x) = 700, então, 15x + 400 = 700. 
Segue que, x = (700 - 400) / 15 = 300 / 15 = 20. Concluindo: O custo de R$ 700,00 corresponde à 
produção de 20 litros. 
 
10. Sejam as retas: y = 2x - 3 e y = x - 2. Em que ponto do plano cartesiano estas retas se 
encontram? 
 
Solução: As retas se encontram no ponto (x , y), 
 
onde o par de números reais x e y é solução do sistema de equações: 
y = 2x - 3 e y = x - 2 . 
Então: 2x - 3 = x - 2. segue que, 2x - x = -2 + 3 , o que implica em x = 1. Substituindo x = 1 em 
uma das equações do sistema, temos: y = 1 - 2 = -1. Logo, as retas se encontram no ponto (1 , -1). 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x 2 - 2 x - 3 . 
Solução: Temos que resolver a equação do segundo grau x 2 - 2 x - 3 = 0 . Esta equação pode ser 
resolvida com a "fórmula de Bhaskara ou Baskara" : x = (-b ±√∆ ) / 2a , onde ∆ = b 2 - 4ac. 
Calculando o discriminante ∆ (delta), encontramos: ∆ = (-2) 2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. 
Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = (2 - 4) / 2 = -1. 
Assim, os valores de x que anula m f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3. 
 
Este valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o 
eixo x (eixo das abscissas). 
 
12. Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação: y = -x 
2 + 5x (onde x e y são medidos em hectômetros). 
 
a) Determine, em metros, a altura máxima atingida pela 
bala. 
b) Calcule , em metros, o alcance do 
disparo. 
 
Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax 2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a 
≠ 0. O valor máximo (ou mínimo) desta função é y = - ∆ / 4a , onde ∆ = b 2 - 4ac. 
Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm = 
625 m. 
b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x 2 + 5x = 0. 
Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 
5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m. 
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Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm = 
625 m. 
b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x² + 5x = 0. 
Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x = 
5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m. 
 
13. O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. 
Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? 
 
Solução: O valor de y de uma função do segundo grau (quadrática) y = ax 2 + bx + c é máximo (ou 
mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a. 
Então, L(x) tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7. Assim, devem ser vendidas 7 
peças para que o lucro seja máximo. 
 
De outro modo, observe que resolvendo a equação -x 2 + 14x - 40 = 0 , encontramos: 
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x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10. 
Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças. 
OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo diferencial . Calculando a 
derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 
0 . Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. 
 
14. Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maiora das mulheres e 38, 40 e 41 
para a maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a 
fórmula para calcular y é: y = (5x + 28) / 4 . Com base nessa relação, responda: 
a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm? 
b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm? 
c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42? 
 
Solução: a) Para o comprimento x = 24,8 cm, temos o número y = [5(24,8) + 28] / 4 = (124 + 28) / 
4 = 152 / 4 = 38. 
b) Para o comprimento x = 20 cm , temos o número y = [5(20) + 28] / 4 = (100 + 28) / 4 = 128 / 4 = 
32 
c) Para o número y = 42, temos que encontrar o comprimento x na equação do primeiro grau (5x + 
28) / 4 = 42. Daí, vem que 5x + 28 = 168, o que implica em 5x = 168 - 28. Então, 5x = 140. Logo, o 
comprimento x = 140 / 5 = 28 cm. 
 
Grandezas proporcionais 
 
15. De um grupo de 50 jovens, 20 praticam basquete. Determine a razão entre o número de pessoas 
que jogam basquete e o total. 
 
Solução: A razão é 20/50 = 2/5 , o que equivale a dizer que "de cada 5 jovens neste grupo, 2 jogam 
basquete". 
 
16. Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas 
para cada 2 kg do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta? 
 
Solução: 5 gotas está para 2 kg assim como x gotas está para 12 kg. Assim, 5/2 = x/12. Então 2x = 
60, logo x = 30 gotas. Este procedimento é usualmente chamado de " REGRA DE TRÊS 
SIMPLES ". 
 
17. Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de fazenda de 0,82 m de largura. Quantos 
metros da mesma fazenda, de 1,23 m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio? 
 
Solução: Vamos comparar cada grupo de grandezas com o grupo em que estiver o termo 
desconhecido x. Se aumentarmos o comprimento da fazenda (considerando que largura não varia), 
o "peso" da fazenda aumenta (diretamente proporcional). Se aumentarmos a largura (considerando 
que o "peso" não varia), o comprimento deve diminuir (inversamente proporcional). Então, a razão 
desse grupo de grandezas inversamente proporcionais deve ser invertida, a fim de tomar o mesmo 
sentido das grandezas diretamente proporcionais. Conserva-se a razão que tem x e multiplicam-se 
entre si as demais razões:Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O procedimento adotado nesse exemplo é comumente chamado de "REGRA DE TRÊS 
COMPOSTA". 
 
18. Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C 
com R$ 36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de 
cada sócio. 
 
Solução: Para cada sócio, a razão entre o lucro e o dinheiro investido é igual a razão entre o lucro 
total da sociedade e o total investido pela sociedade. Então: 
 
Assim, A/24000 = B/30000 = C/36000 = 2/3. 
Logo: A = R$ 24.000,00 × 2/3 = R$ 16.000,00 ; B = R$ 30.000,00 × 2/3 = R$ 20.000,00 ; C = R$ 
36.000,00 × 2/3 = R$ 24.000,00. 
Este procedimento é usualmente chamado de "REGRA DE SOCIEDADE " ou DIVISÃO EM 
PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
19. (TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos 
judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas 
idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos? 
 
Solução: Sejam A, B e C as respectivas idades. Então: 
 
Logo: 24A = 30B = 36C = 1080 
A = 1080/24 = 45 
B = 1080/30 = 36 
C = 1080/36 = 30 . Assim, a resposta procurada é 36. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este procedimento é usualmente chamado de DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS 
 
20. Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1 : 40. As dimensões da miniatura 
são: comprimento 12,5 cm e largura 5 cm. Quais as dimensões reais do automóvel? 
 
Solução: Seja x o comprimento real e y o largura real. Temos que a razão entre a minutura e o 
tamanho real é 1/40. Como a miniatura é diretamente proporcional ao tamanho real, temos as 
proporção: 1/40 = 12,5/x = 5/y. Daí, vem que: x = 40 × 12,5 = 500 cm = 5 m ; y = 40 × 5 = 200 cm 
= 2 m. 
 
21. Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício 
projeta uma sombra de 9 m. Qual é altura do edifício? 
 
Solução: Seja x a altura do edifício.A altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais. 
Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = x / 9. O que implica em x = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m 
Por outro lado, como a sombra e a altura formam um ângulo de 90 graus, segue que a sombra e a 
altura são catetos de um triãngulo retângulo. Logo, temos dois triângulos retãngulos semelhantes. 
Pelo Teorema de Tales, os lados correspondentes dos triângulos semelhantes são proporcionais. 
Então, temos a proporção: 1 / 0,5 = x / 9. Assim, x = 9 / 0,5 = 90 / 5 = 18 m 
 
22. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a 
seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 
50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto? 
 
Solução: Temos que 2,00 m = 200 cm e 1,80 m = 180 cm. Como a altura e a sombra são grandezas 
diretamente proporcionais, temos a proporção: 180/60 = H/200, onde H é a altura do poste. Vem 
que, 3 = H/200 , o que implica em: H = 3 × 200 = 600 cm. Mais tarde teremos a proporção: 180/x = 
600/(200-50) = 600/150 = 4. Então, 180 = 4x. Logo: x = 180/4 = 45 cm. 
Este problema poderia ser resolvido de outra maneira. Observe que a sombra do poste diminuiu de 
50/200 = 1/4. Então a sombra da pessoa também diminuiu de 1/4. Segue que a sombra da pessoa 
diminuiu de 1/4 × 60 = 15. Logo, a sombra da pessoa passou a medir: 60 - 15 = 45 cm. 
 
23. Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calças. Em quantos dias 12 costureiras 
poderão fazer 600 calças iguais às primeiras? 
 
Solução: Seja x o número de dias. 
Temos que número de dias e número de costureiras 
são grandezas inversamente proporcionais. Por outro lado, 
número 
de dias e número de calças são diretamente proporcionais. 
Assim, teremos a proporção: 
dias costureiras calcas 
12 16 960 
x 12 600 
dias costureiras calcas 
aumenta diminui constante 
diminui aumenta constante 
dias calcas costureiras 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12/x = (12/16) × (960/600) = (3/4) × (8/5) = 24/20 = 6/5. 
Portanto, 12/x = 6/5 , o que implica em : 6x = 60. 
Logo: x = 60/6 = 10 dias. 
aumenta aumenta constante 
diminui diminui constante 
 
 
24. Um pai distribui R$ 50.000,00 aos seus três filhos em partes diretamente proporcionais às suas 
idades, que são 4, 7, 9 anos. Quanto coube a cada um? 
 
Solução: Sejam a, b e c as parte que cabem a cada um. Temos a proporção: (a / 4) = (b / 7) = (c / 9) 
= (50.000/20) = 2500. Então: a = 4 × 2500 = R$10.000,00 ; b = 7 × 2500 = R$17.500,00 ; c = 9 × 
2500 = R$22.500,00 
 
25. Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 m de comprimento, quantos pedreiros serão 
necessários para construir, em 14 dias, um muro de 70 m de comprimentos? 
 
Solução: Seja x o número de dias. 
Temos que número de pedreiros e número de dias são 
grandezas inversamente proporcionais. 
Por outro lado, número de pedreiros e número de 
comprimento são diretamente proporcionais. 
Assim, teremos a proporção: 
8/x = (14/6) × (40/70) = (7/3) × (4/7) = 4/3. 
Daí, vem que: 8/x = 4/3. 
Logo x = 3 × 8 / 4 = 24 / 4 = 6 pedreiros. 
pedreiros dias comprimento 
8 6 40 
x 14 70 
pedreiros dias comprimento 
aumenta diminui constante 
diminui aumenta constante 
pedreiros comprimento dias 
aumenta aumenta constante 
diminui diminui constante 
 
 
26. Dez operários fazem 200 metros de um trabalho em 15 dias de 8 horas. Quantas horas devem 
trabalhar por dia, 15 operários, cuja capacidade de trabalho é duas vezes a dos primeiros, para 
fazerem, em 8 dias, 900 metros de outro trabalho ,cuja dificuldade seja 2/5 da dos primeiros? 
 
Solução: Com os dados do problema, construimos as tabelas a seguir: 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As razões de grandezas inversamente proporcionais devem ser invertida, a fim de tomar o mesmo 
sentido das grandezas diretamente proporcionais. Conserva-se a razão que tem x e multiplicam-se 
entre si as demais razões: 
 
Assim, devem trabalhar 9 horas por dia. 
 
Progressões Aritméticas & Geométricas 
 
27. Um capital inicial de R$100,00 é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros simples 
de 20% ao mês, ou seja, o valor do capital é alterado a cada mês com um aumento de 20% em 
relação ao capital inicial. A seqüência de valores do capital, a cada mês, forma uma: 
(A) PA de razão 0,2 
(B) PG de razão 20 
(C) PA de razão 20 
(D) PG de razão 1,2 
(E) PA de razão 2 
 
Solução: Temos que R$100,00 é o valor do capital inicial. Como 20% de 100 é 0,2×100 = 20, a 
seqüência de valores (veja a tabela) é uma progressão aritmética (seqüência linear), pois, cada 
termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado de um número fixo (que no caso é 20). 
ao final do primeiro 
mês 
ao final do segundo 
mês 
ao final do terceiro 
mês 
ao final do quarto 
mês 
e assim por 
diante 
R$120,00 R$140,00 R$160,00 R$180.00 . . . 
Portanto, temos uma Progressão Aritmética de razão r = 20. Logo, (C) é a alternativa correta. 
 
28. Um capital inicial é aplicado numa instituição financeira à taxa de juros compostos de 20% ao 
mês. ou seja, o valor do capital aplicado é alterado a cada mês com um aumento de 20% em 
relação ao mês anterior ("juros sobre juros"). A seqüência de valores do capital, a cada mês, 
forma uma: 
(A) PA de razão 0,2 
(B) PG de razão 20 
C) PA de razão20 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(D) PG de razão 1,2 
(E) PA de razão 2 
 
Solução: Aumentar um valor em 20% é o mesmo que multiplicar este valor por 1,2. Seja R$100,00 
o capital inicial. A seqüência de valores (veja a tabela) é uma progressão geométrica (seqüência 
exponencial), pois, cada termo, a partir segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por um 
número fixo (que no caso é 1,2). 
ao final do primeiro 
mês 
ao final do segundo 
mês 
ao final do terceiro 
mês 
ao final do quarto 
mês 
e assim por 
diante 
R$120,00 R$144,00 R$172,80 R$207,36 . . . 
De um modo geral, para um capital inicial C qualquer, temos a sucessão: 
ao final do primeiro 
mês 
ao final do segundo 
mês 
ao final do terceiro 
mês 
ao final do quarto 
mês 
e assim por 
diante 
C×(1,2) C×(1,2)2 C×(1,2)3 C×(1,2)4 . . . 
Assim, temos uma Progresssão Geométrica de razão q = 1,2. Portanto, (D) é a alternativa correta. 
 
29. Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforos como mostra o 
desenho a seguir. 
 
a) Quantos palitos são necessários para fazer 100 quadrados? 
b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos? 
Solução: a) Para fazer um quadrado é necessário 4 palitos. Para fazer dois quadrados é necessário 7 
palitos. Para fazer três quadrados é necessário 10 palitos , e assim por diante. 
Então, temos uma progressão aritmética: PA (4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... ), onde o primeiro termo a1 = 4, 
a razão r = 3 . 
Assim, temos que encontrar o centésimo termo a100 = a1 + 99r = 4 + 99(3) = 4 + 297 = 301 . 
b) O enésimo termo an = a1 + (n-1)r é o número de palitos e o número de termos n é o número de 
quadrados . 
Assim, 250 = a1 + (n-1)r. Segue que 250 = 4 + (n - 1)(3). 
O que implica em, 250 = 4 + 3n - 3. Daí, vem que:: n = (250 - 1) / 3. Logo: n = 249 / 3 = 83 
quadrados. 
 
30. (BACEN) Observe a seqüência de figuras abaixo (figura 1, figura 2, figura 3 , e assim por 
diante). 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a quantidade dos menores triângulos da figura 7. 
Solução: Na figura 1 temos 1 triângulo. Na figura 2 temos 4 triângulos menores, Na figura 3 temos 
16 triângulos menores, e assim por diante. Então, temos uma progressão geométrica: PG (1 , 4 , 16 , 
64 , ..., a7), onde a1 = 1 , a razão q = 4. 
Nesta seqüência o enésimo termo an = a1×q
n-1 é o número de triângulos menores e n é o número da 
figura. 
Assim , devemos encontrar o sétimo termo a7 = a1×q
6 = 1×46 = 4096 triângulos menores. 
 
31. Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas 
últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de 
trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a 
proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido 
pelos 12 dias de trabalho? 
 
Solução: Se a jovem soubesse Matemática não teria recusado o trabalho. Observe que no primeiro 
dia ela teria recebido R$ 1,00, no segundo dia R$ 2,00 , no terceiro R$ 4,00 , no quarto R$ 8,00 e 
assim por diante. Assim, teríamos uma progressão geométrica de razão q = 2 e primeiro termo a1 = 
1. Então, ela teria recebido pelos 12 dias trabalhados um total que é a soma dos 12 primeiros termos 
desta P.G. , ou seja, S = a1(q
n - 1) / (q - 1), onde n = 12. 
Daí, vem que S = 1(212 - 1) / (2 - 1) = 212 - 1 = 4096 - 1 = R$ 4.095,00. 
 
32. (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. 
Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de 
receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a 
mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que 
havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que 
receberia com a mesada de R$300,00. 
 
Solução: No primeiro dia. Riquinho receberá R$1,00. No segundo R$2,00. No terceiro R$3,00, e 
assim por diante. 
Assim, em 30 dias , receberá a soma S = 1 + 2 + 3 + ... + 28 + 29 + 30. 
Podemos também ter S = 30 + 29 + 28 + ... + 3 + 2 + 1. 
Então, S + S = 1 + 30 + 2 + 29 + 3 + 28 + ... + 28 + 3 + 29 + 2 + 30 + 1. 
O que implica em, 2S = 31 + 31 + 31 + ... + 31 + 31 + 31 = 31 × 30. Logo S = 31 × 30 / 2 = 465. 
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poderíamos, também resolver da seguinte maneira: Observe que a soma S é a soma (ou série) dos 
30 primeiros termos da PA (1 , 2 , 3 , 4 , ... , 29 , 30). Assim, S é 30 vezes a média aritmética de 
dois valores equidistantes dos extremos da seqüência, ou seja, S = (a1 + an) n / 2 , onde n = 30. 
Segue que, S = (1 + 30) × 30 / 2 = 31 × 30 / 2 = 465. 
Logo, Riquinho receberá 465 - 300 = R$165,00 a mais. 
 
33. (UFRJ) A região fractal F, constituída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por 
uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa 
consideram-se os quadrados de menor lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, 
para cada um destes, três novos quadrados de lado L/3. As três primeiras etapas de construção de 
F são apresentadas a seguir. 
 
Calcule a área de F. 
Solução: Na etapa 1 a área é: S = 1×1 = 1 cm2. 
Na etapa 2 temos a área: S = 1 + (1/3)2+ (1/3)2 + (1/3)2 = 1 + 3(1/9) = 1 + 1/3. 
Na terceira etapa temos a área S = 1 + 1/3 + 9(1/9)2 = 1 + 1/3 + 1/9. 
Na quarta etapa teremos a área: S = 1 + 1/3 + 1/9 + 27(1/27)2 = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27, e assim por 
diante. Então, a área do fractal F é a soma infinita S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... . 
Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente: a1 = 1 e a razão q = 1/3. 
Então, S = a1(q
n - 1) / (q - 1). Como n tende a infinito e q = 1/3, vem que qn tende a zero, ou seja, o 
limite de qn quando n tende a infinito é zero. Por conseguinte, S = -a1 / (q - 1) = a1 / (1 - q). 
Logo, S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1 / (1 -1/3) = 1 / (2/3) = 3/2 cm2 = 1,5 cm2. 
 
34. O rápido Aquiles persegue uma morosa tartaruga. A velocidade do mais veloz e valente 
guerreiro grego é igual a 10 vezes a velocidade da tartaruga. A distância que os separa é de 100 
metros. Nessas condições, quando Aquiles vencer os 100 metros, a tartaruga terá corrido 1/10 do 
que percorreu Aquiles e ficará 10 metros a sua frente. Quando Aquiles correr esses 10 metros, a 
tartaruga terá percorrido 1/10 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando Aquiles 
correr esse metro, a tartaruga terá percorrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio 
pode levar muita gente a concluir que Aquiles, por mais rápido que seja, nunca alcançará a 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tartaruga. Assim, pensava o filósofo grego Zenon ou Zenão (450 a.C.). Então, quantos metros 
Aquiles deverá correr para alcançar a tartaruga? 
 
Solução: A conclusão de que Aquiles nunca alcançará a tartaruga é um paradoxo (contradição). 
Aquiles, para alcançar a tartaruga, deverá correr a distância S = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ... 
Observe que S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente: a1 = 100 e a razão q = 1/10. 
Daí, vem que a soma é S = a1(q
n - 1) / (q - 1) , mas, com n tendendoa infinito. Dizemos, então, que 
o limite da soma S, quando n tende a infinito, é S = a1 / (1 - q), pois como q = 1/10 e n tende a 
infinito, vem que qn tende a zero. 
Assim, S = a1 / (1 - q) = 100 / (1 - 1/10) = 100 / (9 / 10) = 1000 / 9 = 111,1111 ... 
Concluindo, a fração 1000 / 9 , em metros, exprime a distância que Aquiles deverá correr para 
alcançar a tartaruga. 
 
Análise combinatória 
 
35. Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 4 blusas. 
De quantas maneiras ela pode se arrumar? 
 
Solução: O chamado Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz, se alguma escolha pode ser 
feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subseqüente pode ser feita de N diferentes 
maneiras, há M×N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. 
Observe a tabela abaixo: 
 blusa 1 blusa 2 blusa 3 blusa 4 
saia 1 saia 1 e blusa 1 saia 1 e blusa 2 saia 1 e blusa 3 saia 1 e blusa 4 
saia 2 saia 2 e blusa 1 saia 2 e blusa 2 saia 2 e blusa 3 saia 2 e blusa 4 
Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de 8 maneiras distintas. De fato, a 
ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de 2 
maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa) pode ser 
realizada de 4 maneiras distintas. Assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o número 
de efetuar a ação completa é 2 × 4 = 8. 
 
36. Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De 
quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 
 
Solução: A ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A até B) pode ser 
realizada de 3 maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (ir de B até C) pode ser 
realizada de 4 maneiras. Então, pelo PFC, o número de maneiras de ir de A até C é 3 × 4 = 12. 
 
37. Uma prova de Matemática consta de 10 questões do tipo V ou F. Se todas as questões forem 
respondidas ao acaso, qual o número de maneiras de preencher a folha de resposta? 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: O PFC é também conhecido como PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO e pode ser 
generalizado para acões constituídas de mais de duas etapas sucessivas. 
Resolver uma prova de 10 questões do tipo V ou F representa uma ação constituída de 10 etapas 
sucessivas, que correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há duas 
possibilidades de escolha de resposta: V ou F. Logo, pelo PFC, o resultado procurado é: 2 × 2 × 2 × 
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210 = 1024. 
 
38. De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana? 
 
Solução: Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos 5 possibilidades; 
para o segundo lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 possibilidades; para o terceiro 
lugar sobram 3 pessoas a serem escolhidas; para o quarto lugar 2 pessoas, e para o último lugar na 
fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. Então, pelo PFC temos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. 
Assim, calculamos o número de modos de ordenar ("embaralhar") 5 elementos distintos. Em outras 
palavras , calculamos o número de permutações simples de 5 elementos, ou seja, P5 = 120. 
 
39. Uma multiplicação do tipo N × (N - 1) × (N - 2) × ... × 1 é chamada Fatorial do número N (N é 
natural e N > 1) e representada por N! ( lemos N fatorial ). Definimos ainda 1! = 1 e 0! = 1. O 
número de permutações simples de N elementos é N! (por exemplo, o número de permutações de 5 
elementos é 5! = 120). Calcule 10! / (6!×4!). 
 
Solução: 
 
 
40. Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas 
maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente? 
 
Solução: Para escolher o presidente temos 8 possibilidades; para escolher o vice-presidente, como 
uma pessoa já foi escolhida, temos 7 possibilidades. Assim pelo PFC temos: 8 × 7 = 56 maneiras. 
Por outro lado, poderíamos usar a fórmula: 
 
Este procedimento é chamado de cálculo do número de arranjos simples de 2 elementos escolhidos 
entre 8 elementos, ou seja A8,2 = 56 
 
41. Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se apresentaram para 
preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da obra pode escolher os três de que 
precisa? 
 
Solução: Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3. Além disso, a 
ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença (se escolher primeiro Mário, depois José e por 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
último Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e por último Mário, o grupo escolhido é o mesmo). Se 
a ordem de escolha dos candidatos importasse, poderíamos usar o PFC. Nesse caso, teríamos 5 
candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segunda e 3 candidatos para a última. A 
solução seria 5 × 4 × 3 = 60. No entanto, usando o PFC, contamos várias vezes o mesmo grupo de 
três candidatos. Para "tirar" as repetições, vamos ter que dividir o resultado pelo número de vezes 
que eles se repetem na contagem. Os grupos repetidos são as formas de "embaralhar" três 
candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" três objetos é o mesmo que fazer permutações 
de três objetos. 
Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para não contarmos as repetições dentro de 
cada grupo formado. Isso significa que há 10 maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 
5 candidatos. 
De outra maneira, podemos usar a fórmula do número binomial: 
 
Assim, calculamos o número de combinações simples de 5 objetos (os 5 candidatos) tomados 3 a 3 
(apenas 3 serão escolhidos), isto é, C5,3 = 10 
 
42. Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 2 letras 
(de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? 
 
Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6760000 veículos. 
 
43. Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 3 letras 
(de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? 
 
Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175760000 veículos 
 
44. ANAGRAMA é uma palavra formada pela transposição (troca, ou permutação, ou 
"embaralhamento") de letras de outra palavra. Por exemplo: ROMA, MARO, OMAR, RAMO, 
MORA, RAOM, são alguns dos 24 anagramas da palavra AMOR . Quantos são os anagramas da 
palavra MARTELO? 
 
Solução: Pelo PFC temos: 7×6×5×4×3×2×1 = 7! = 5040 anagramas. 
 
45. A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas seguidas por uma 
sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser "confeccionadas"? 
 
Solução: Pelo PFC temos: 26×25×10×9×8 = 468000 senhas. 
 
46. O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: 
Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros 
colocados? 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Em um conjunto de 4 equipes de basquete temos que escolher uma seqüência (arranjo) de 
3 equipes (a ordem tem importância). Pelo PFC temos: 4×3×2 = 24 maneiras distintas (número de 
arranjos de três seleções escolhidos entre 4 seleções). 
 
47. Um colégio Estadual da cidade do Rio de Janeiro quer organizar um torneio de futebol com 8 
equipes, da forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras 
(octogonal). Quantos jogos terá o torneio? 
 
Solução: Em um conjunto de 8 equipes,cada jogo é um subconjunto (combinação) de 2 equipes (a 
ordem não tem importância). Assim, o número de jogos é o número de combinações de 2 equipes 
escolhidos entre 8 equipes, ou seja, C8,2 = (8×7) / 2! = 56/2 = 28 jogos. 
 
48. Considere a palavra ARARA. Se todas as 5 letras (elementos) fossem distintas, teríamos 5! = 
120 anagramas (permutações). Entretanto, devemos dividir esse número por 3! (que é o número de 
permutações das letras A, A e A, porque elas não são distintas) e por 2! (número de permutações 
das letras R e R, porque elas não são distintas). Assim. a palavra ARARA tem 10 anagramas. 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra CARRETA? 
 
Solução: O número de anagramas é: 7!/(2!×2!) = 7!/4 = 5040/4 =1260 anagramas. 
 
49. De quantas formas 12 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? 
 
Solução: O números de maneiras de colocar 12 pessoas em uma fila é o número de permutações 
simples de 12 elementos, isto é, 12!. Ao colocarmos estas 12 pessoas sentadas ao redor de uma 
mesa circular teremos 12 permutações correspondendo a uma única permutação, pois, agora o 
primeiro da "fila" é vizinho do último. Na verdade não existe mais o primeiro e nem o último. 
Agora temos uma "fila" sem início e sem fim. Então, no número de permutações de 12 elementos, 
existem 12 permutações repetidas. 
Logo, temos que "tirar" estas 12 permutações do cálculo dividindo 12! por 12. Assim, o número de 
permutações pedido é 12! / 12 = 11! = 39916800. 
Este procedimento é freqüentemente chamado de cálculo do número de permutações circulares ou 
cíclicas. De um modo geral, o número de permutações circulares de n elementos (n é natural e n > 
0) é n! / n . 
 
50. Um edifício tem 16 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por 
uma porta diferente de que usou para entrar? 
 
Solução: Para entrar existem 16 possibilidades, em seguida, para sair existem 15 possibilidades. 
Então pelo PFC, existem 16×15 = 240 possibilidades. 
 
51. Ao final de uma reunião com 16 pessoas, cada um dos presentes cumprimentou os demais com 
um aperto de mão uma única vez. Quantos apertos de mão foram trocados? 
 
Solução: Temos um grupo de 16 pessoas. Uma pessoa qualquer desse grupo deve ter apertado a 
mão de 16-1 = 15 pessoas, e isso é verdade para cada uma das 16 pessoas presentes. Mas para não 
contarmos duas vezes (2!) o aperto de mão dado por duas pessoas quaisquer, temos que contar o 
número total de apertos de mão como o número de combinações de 2 pessoas escolhidas entre 16 
pessoas, ou seja, C16,2 = (16×15) / 2! = 120 apertos de mão. 
 
52. Quantos divisores positivos tem o número 3888? 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Decompondo em fatores primos, vem que: 3888 = 24×35. Então, cada divisor de 3888 é da 
forma 2a × 3b onde a pode ser 0, 1, 2, 3, 4, e b pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5. Portanto, existem 5 
possibilidades para a e 6 possibilidades para b. Logo, pelo PFC, o número de divisores é 5×6 = 30 
divisores. 
 
53. Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as seqüências de 
resultados possíveis se a escolha for feita com reposição? 
 
Solução: Pelo PFC temos: 52×52×52 = 140608 seqüências. 
 
54. Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as seqüências de 
resultados possíveis se a escolha for feita sem reposição? 
 
Solução: Pelo PFC temos: 52×51×50 = 132600 seqüências. 
 
55. São sorteados na mega-sena seis números escolhidos entre os números de 1 a 60. Quantos são 
os resultados possíveis para o sorteio da mega-sena? 
 
Solução: No jogo da mega-sena, a ordem com que os seis números são escolhidos não tem 
importância, portanto, o resultado deste jogo não é uma seqüência. 
Como o resultado é um subconjunto, então o número de resultados possíveis neste tipo de loteria é 
o número de combinações de 6 números escolhidos entre 60 números, ou seja, 
C60,6 = (60 × 59 × 58 × 57 × 56 × 55) / 6! = 10 × 59 × 29 ×19 × 14 ×11 = 50063860 resultados 
possíveis. 
Nota: Observe que a probabilidade (número de chances) que uma pessoa tem de acertar nesta loteria 
fazendo uma única aposta de seis números é de 1 em 50063860. 
 
56. Uma prova de vestibular contém dez questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 
cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual o número de maneiras de 
preencher a folha de resposta? 
 
Solução: Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que 
correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há 5 possibilidades de 
escolha de resposta. 
Então, pelo PFC temos: 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 510 = 9765625 maneiras. 
 
57. Sobre uma circunferência, tomam-se 10 pontos. Quantos triângulos podem ser construídos com 
vértices nesses pontos? 
 
Solução: Para construir um triângulo precisamos escolher 3 pontos (vértices) dentre os 10 pontos 
disponíveis, e mais, a ordem com que esta escolha é feita não tem importância. Logo, o número de 
triângulos é o número de combinações de 3 vértices escolhidos entre 10 pontos, ou seja, C10,3 = (10 
× 9 × 8) / 3! = 720 / 6 = 120 triângulos. 
 
Probabilidades 
 
58. (UNIRIO) Num grupo de 100 pessoas, 70 têm sangue com RH positivo e 45 têm sangue tipo O. 
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa desse grupo, qual é a probabilidade de o sangue dessa 
pessoa ser de tipo diferente de O? 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Seja x o número de pessoas que têm sangue RH positivo e têm também sangue tipo O. 
Representando os conjuntos por meios de diagramas de Venn-Euler, vem que: 70 - x + x + 45 - x = 
100. 
 
Daí, vem que, 70 + 45 - x = 100. Então, x = 115 - 100 = 15. Assim, o número de pessoas que têm 
sangue do tipo diferente de O é: 70 - 15 = 55. Logo, num total de 100 pessoas, temos 55 
possibilidades (chances) de escolha. Então, podemos dizer que a probabilidade do sangue dessa 
pessoa ser de tipo diferente de O é 55/100 = 55%. 
De uma outra maneira mais rápida: Como 45 têm sangue tipo O, então, o número de pessoas que 
têm sangue do tipo diferente de O é: 100 - 45 = 55. 
Logo, a probabilidade é de 55 possibilidades num total de 100, isto é, 55%. 
 
59. (UFJF) Ao lançarmos dois dados a probabilidade de obtermos resultados cuja soma é sete é: 
(A) 1/2 
(B) 1/3 
(C) 1/4 
(D) 1/5 
(E) 1/6 
 
Solução: Para cada dado lancado ao acaso temos 6 possibilidades de resultado. Então, pelo PFC o 
número de casos possíveis é 6×6 = 36. 
1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 
2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 
3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 
4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 
5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6 
6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6 
 
O número de casos favoráveis é o número de elementos do conjuntos de pares ordenados {(1,6) , 
(2,5) , (3,4) , (4,3), (5,2), (6,1)}, ou seja, é 6. 
Assim, a probabilidade é P = 6/36 = 1/6. 
Logo, a alternativa correta é a (E). 
 
60. (PUC) Uma prova de múltipla de escolha tem 10 questões, com três respostas em cada questão. 
Um aluno que nada sabe da matéria vai responder a todas as questões ao acaso, e a probabilidade 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que ele tem de não tirar zero é: 
(A) maior do que 96% 
(B) entre 94% e 96% 
(C) entre 92% e 94% 
(D) entre 90% e 92% 
(E) menor do que 90% 
 
Solução: Pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o número de maneiras distintas de 
resolver esta prova é 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3 = 310= 59049. Dizemos, assim,que 310 = 59049 é o 
número de elementos do espaço amostral (ou amostra), ou seja, é o número de casos possíveis. 
Pelo PFC, para tirar zero, o número de maneiras é: 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210 = 1024. Logo, 
para NÃO tirar zero o número de maneiras de resolver esta prova é 310 - 210 = 59049 - 1024 = 
58025. Dizemos, então, que 58025 é o número de casos favoráveis. A expressão que utilizamos 
para o cálculo da probabilidade (definição clássica) é o número de casos favoráveis dividido pelo 
número de casos possíveis. 
Sendo P a probabilidade do aluno não tirar zero, segue que, P = 58025 / 59049 = 0,98265847 ≅ 
98%. Como 98% > 96%, concluimos que (A) é a alternativa correta. 
 
61. Num baralho normal de 52 cartas há 13 cartas (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) de 
cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas). De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 
coringas é retirada uma carta ao acaso. 
a) Qual a probabilidade de ser um valete? 
b) Qual a probabilidade de ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa? 
Solução: a) O número de casos possíveis é 52 + 2 = 54. Como existem 4 valetes, então, o número de 
casos favoráveis é 4. Sendo, P(valete) a probabilidade de a carta ser um valete, vem que , P(valete) 
= 4 / 54 = 0,074 = 7,4%. 
b) Como as 4 cartas com número 2 também são consideradas coringas, o número de casos 
favoráveis é 4 + 2 = 6. Assim a probabilidade de tirar um coringa é P(coringa) = 6 / 54 = 0,11 = 
11%. 
 
62. (UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez bolas numeradas de 0 a 9. 
Sorteando ao acaso uma bola de cada uma, formamos um número entre 0 e 9.999. Lembrando que 
zero é multiplo de qualquer número inteiro, determine a probabilidade de o número sorteado ser 
múltiplo de 8. 
 
Solução: Considere o evento A = {o número sorteado é multiplo de 8}. A probabilidade da 
ocorrência do evento A , é a razão entre o número de casos favoráveis à ocorrência do evento A e o 
número de resultados possíveis para o experimento. Como de 0 a 9.999 podemos formar 10.000 
números, o número de resultados possíveis é 10.000. 
Sendo o conjunto dos múltiplos de 8 uma PA, onde o primeiro termo é a1 = 0 e a razão é r = 8, vem 
que o último termo dessa PA é an = 9.992. 
Então, 9.992 = 0 + (n-1)×8, onde n é o número de termos. Assim, n = (9.992 / 8) + 1 = 1.249 + 1 = 
1.250 que é o número de casos favoráveis. 
Portanto, a probabilidade do sorteado ser múltiplo de 8 é: 1.250 / 10.000 = 1/8 = 0,125 = 12,5%. 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63. (MESP) Em Estatística, o desvio de cada valor observado é a diferença entre o valor e a média 
(aritmética) dos valores observados. A variância é a média dos quadrados dos desvios. A raiz 
quadrada positiva da variância é denominada desvio padrão. As idades dos 5 professores de 
Matemática de uma escola são 32, 35, 41, 43 e 49. Calcule a média e o desvio padrão das idades. 
 
Solução: Calculando a média µ , encontramos µ = (32 + 35 + 41 + 43 + 49) / 5 = 200 / 5 = 40. 
Calculando a variância σ2 , segue que, σ2 = [(32 - 40)2 + (35 - 40)2 + (41 - 40)2 + (43 - 40)2+ (49 - 
40)2] / 5 . 
Então, σ2 = [64 + 25 + 1 + 9 + 81] / 5 = 180 / 5 = 36. 
Como o desvio padrão σ é a raiz quadrada de σ2, concluimos que σ = 6. 
 
64. (FGV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2000 motoristas de uma cidade a 
fim determinar a relação entre o número de acidentes (y) em certo período e a idade em anos (x) 
dos motoristas. Os resultados estão na tabela abaixo: 
 y = 0 y = 1 y = 2 y > 2 
x < 20 200 50 20 10 
20 ≤≤≤≤ x < 30 390 120 50 10 
30 ≤≤≤≤ x < 40 385 80 10 5 
x > 40 540 105 20 5 
Adotando a freqüência relativa observada como probabilidade de cada evento,obtenha: 
a) a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período 
considerado. 
b) a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele 
tem menos de 20 anos. 
Solução: Freqüência relativa de um dado é a taxa percentual obtida pela divisão da freqüência com 
que o dado aparece pelo número total de dados. Em Estatística é usual estimar a probabilidade pela 
freqüência relativa (interpretação freqüencista das probabilidades). Assim, utilizando os dados da 
tabela, temos as soluções dos itens a) e b): 
a) Somando a coluna correspondente a y = 1 (exatamente 1 acidente), encontramos: 50 + 120 + 80 
+ 105 = 355 casos favoráveis num total de 2000 motoristas. Logo a probabilidade pedida é: 355 / 
2000 = 71 / 400 = 0,1775 = 17,75%. 
b) Somando a linha correspondente a x menor que 20 (ele tem menos que 20 anos) encontramos um 
total de 200 + 50 + 20 + 10 = 280 motoristas. 
Na coluna correspondente a y = 2 (exatamente 2 acidentes) temos apenas 20 motoristas com idade 
inferior a 20 anos. 
Logo, temos 20 casos favoráveis num total de 280 casos possíveis, ou seja, a probabilidade pedida 
é: 20 / 280 = 1 / 14. O que corresponde ao percentual de 7,14% aproximadamente. 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se 
encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A 
distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. 
 
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança 
premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é 
(A) 1/3. 
(B) 1/4. 
(C) 7/15. 
(D) 7/23. 
(E) 7/25. 
Solução: O gráfico de barras acima mostra que 8 pessoas não têm filhos, 7 pessoas têm 1 filho cada, 
6 pessoas têm 2 filhos cada e 2 pessoas têm 3 filhos cada. Então, o número total de filhos é 0×8 + 
1×7 + 2×6 + 3×2= 25 
Já o número de filhos únicos é 1×7 = 7. 
Então, o número de casos favoráveis é 7 e o número de casos possíveis é 25. Logo, existe 7 
possibilidades (chances) em um total de 25, isto é, a probabilidade P é P = 7 / 25 = 0,28 = 28%. 
Assim, a alternativa correta é a opção (E). 
 
Logaritmos 
 
66. Para que servem os logaritmos? Por exemplo, os logaritmos servem para resolver o problema: 
Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros 
compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 
2 = 0,3010). 
 
Solução: Na Matemática financeira o regime de juros compostos é o mais usado. Neste regime o 
montante M e o capital inicial C estão relacionados pela equação M = C(1 + i)n, onde n é o número 
de meses. Como queremos M = 2C, segue que 2C = C(1,02)n. Daí, vem que (1,02)n = 2. 
Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02. Mudando da base 1,02 para a base 10 (decimal), temos 
que: 
n = log 2 / log (1,02) = 0,3010 / 0,0086 = 3010 / 86 = 35 meses. 
 
67. (Cesgranrio) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração de 
hidrogênio em íons-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 é: 
(A) 7 (B) 10-8 (C) 1,0 (D) 8 (E) 0 
 
Solução: Sabemos que o logaritmo decimal de uma potência de base b real positiva e expoente a 
real é igual ao produto do expoente a pelo logaritmo decimal da base b da potência, ou seja, 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
log ba = a log b. 
Sabemos também que 1 / 10-8 = 108 
Assim, pela definição de pH dada, temos que pH = log(1 / 10-8) = log(108) = 8 log10 = 8(1) = 8. 
Logo, (D) é a alternativa correta. 
 
68. (PEB II) O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano- é um número entre 0 e 1, calculado 
pela média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em 
dólares. Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade 
de vida e o desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da 
seguinte fórmula: 
 
onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o 
valor máximo de renda per capita no mundo. 
Um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79, possui um PIB per capita aproximado de: 
(A) 100 dólares (B) 500 dólares (C) 1000 dólares (D) 5000 dólares (E) 10000 dólares. 
(dados log 2 ≅ 0,30; log 3 ≅ 0,48 ; log 5 ≅ 0,70). 
Solução: Como 102 = 100 , 103 = 1000, então, os logaritmos decimais log 100 = 2 e log 1000 = 3. 
Segue que log 40000 = log (8×5×1000) = log 23 + log 5 + log 1000 = 3 log 2 + log 5 + 3 . 
Assim, log 40000 = 3(0,3) + 0,7 + 3 = 0,9 + 3,7 = 4,6. 
Seja x o PIB per capita. Na fórmula dada, ficamos com: 
0,79 = (log x - log 100) / (log 40000 - log 100) = (log x - 2) / (4,6 - 2) = (log x - 2) / 2,6 . 
Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054 + 2 = 4,054 ≅ 4. 
Como log x ≅ 4, concluimos que o PIB per capita x = 104 = 10000 dólares aproximadamente e a 
opção correta é a alternativa (E). 
 
69. (UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nessa 
ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc. 
 
Solução: Como os logaritmos estão em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c = 2 + r, onde r é 
a razão da PA. Como log (abc) = log a + log b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6. 
Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6, o que implica em abc = 106 = 1.000.000 . 
 
70. (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo 
decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da PG. 
 
Solução: Seja a PG (a1 , a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1 = 10 , a2 = 10q , a3 = 10q
2 , a4 = 10q
3 , ... , a8 = 
10q7 , onde q é a razão da PG. O produto de seus termos é: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10×10q×10q
2× ... 
×10q7 = 108×q1+2+3+...+7. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 = 8×7/2 = 28, vem que: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10
8q28. Assim, log 
(a1×a2×a3× ... ×a8) = log (10
8q28) = log 108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou q<0 , 
pela condição de existência do logaritmo no conjunto dos números reais, segue que o log (108q28) = 
log108 + log |q|28 = 8 + 28 log |q| = 36. 
Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q = 1 ou q = -1. 
 
71. O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), 
desde cerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 
(que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de 
intensidades a que o ouvido é sensível e também em virtude de a sensação psicologica da 
intensidade sonora não variar diretamente com a intensidade mas, com melhor aproximação, com o 
logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o 
nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se 
define por G = 10 log (I / 10 -12), onde I é a intensidade do som. 
a) Calcule nessa escala, o limiar de audição. 
b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa. 
 
Solução: a) No limiar da audição a intensidade do som (em w/m2) é I = 10 -12 . Então, o nível (em 
db) é : 
G = 10 log (10 -12 / 10 -12) = 10 log (1). Como log 1 = 0, pois, 1 = 100, segue que G = 0 decibéis. 
b) No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1, Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log 
( 10 12). 
Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que G = 120 log (10) = 120 decibéis. 
 
72. (FESP) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 
500(2)0,75p, onde p é o período em dias. O valor de p no qual o número de formigas chegará a 
256.000 é: 
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 
 
Solução: Temos que encontrar o valor de p na equação exponencial 500(2)0,75p = 256.000. Vamos 
usar a seguinte propriedade: se 0 < a ≠ 1 e ax = ay , então x = y. 
Segue que, 20,75p = 256000 / 500 = 512. Fatorando 512 , temos que 20,75p = 512 = 29. Logo: 0,75p = 
9. 
Assim, p = 9 / 0,75 = 900 / 75 = 12 dias (opção (D) ). 
 
Matemática financeira 
 
73. (CEFET) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. 
a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura. 
b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura. 
 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A porcentagem é apenas uma maneira mais conveniente de representar uma razão ou 
fração com denominador 100. Como a mistura tem 20 + 30 = 50 litros, então: 
a) A razão entre o volume de álcool e o total é 30/50 = 60/100 = 0,6 = 60% 
b) A razão entre o volume de gasolina e o total é: 20/50 = 40/100 = 0,4 = 40% 
 
74. Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas 
defeituosas. 
 
Solução: A razão entre o número de lâmpadas com defeito e o total é : 13/50 = 26/100 = 0,26 = 
26%, o que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas, deveríamos encontrar 26 com defeito. 
Dizemos, então, que a taxa percentual de lâmpadas defeituosas é 26% . 
 
75. Num lote de 75 calculadoras eletrônicas, 3 apresentaram defeito. Escolhendo ao acaso uma 
calculadora deste lote, qual a probabilidade da calculadora sorteada ser defeituosa? 
 
Solução: A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis (número de calculadoras 
com defeito) e o número de casos possíveis (número total de calculadoras) em eventos considerados 
aleatórios (sorteios, jogos de azar etc). 
Assim, a probabilidade procurada é: 3/75 = 0,04 = 4% . 
 
76. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa 
percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados. 
 
Solução: Temos que de cada 100 candidatos, 15 foram reprovados, ou seja, 15% = 15/100 = 3/20 = 
0,15 . 
Seja N o número de reprovados em um total de 380 candidatos. Assim, podemos ter a proporção: 
N/380 = 15/100 = 0,15 . Logo, o número de reprovados N = 380 × 0,15 = 57. 
 
77. (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-
se que 20% da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata 
virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo. 
 
Solução: A mata virgem corresponde a 100% - 20% = 80% da área total da floresta. 
Assim, o incêndio destruiu 30% de 80% = (30/100)×(80/100) = 0,3 × 0,8 = 0,24 = 24% da floresta. 
 
78. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a 
custar? 
 
Solução: Temos que 20% de 32 = 32×20/100 = 32 × 0,2 = 6,40. Logo o novo preço seria 32 + 6,40 
= R$ 38,40. 
Em outras palavras, como 32 + 0,2 × 32 = 32×(1 + 0,2), então podemos fazer simplesmente: 32 × 
1,2 = R$ 38,40. 
Note que calcular um valor com aumento de 20% é o mesmo que calcular 120% do valor, ou seja, 
multiplicar por 1,2. Logo: aumentar 17% é o mesmo que multiplicar por 1,17; aumentar 1,5% é o 
mesmo que multiplicar por 1,015; aumentar 55% é o mesmo que multiplicar por 1,55; e assim por 
diante. 
 
79. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto passaria a 
custar? 
 
 Simulados MatemáticaSolução: Temos que 20% de 32 = 32 × 0,2 = 6,40. Logo a bolsa passaria a custar: 32 - 6,40 = 
R$25,60. 
Este problema pode ser resolvido de outra maneira. Como 32 - 0,2 × 32 = 32×(1 - 0,2) , então 
podemos simplesmente fazer: 32 × 0,8 = R$ 25,60 . 
Observe que calcular um valor com desconto de 20% é o mesmo que calcular 80% do valor, isto é, 
multiplicar por 0,8. Logo: diminuir 17% é o mesmo que multiplicar por 0,83; descontar 55% é o 
mesmo que multiplicar por 0,45; descontar 60% é o mesmo que multiplicar por 0,4; e assim 
sucessivamente. 
 
80. (UERJ) Um lojista oferece 5% de desconto ao cliente que pagar suas compras à vista. Para 
calcular o valor com desconto, o vendedor usa sua máquina calculadora do seguinte modo: 
 
Um outro modo de calcular o valor com desconto seria multiplicar o preço total das mercadorias 
por: 
(A) 0,05 (B) 0,5 (C) 0,95 (D) 1,05 
 
Solução: Calcular um desconto de 5% é o mesmo que calcular 95%. Se P é o preço total, então o 
preço com desconto de 5% é P - 0,05P = 0,95P . 
Logo, para calcular o valor com desconto de 5%, basta fazer P × 0,95 . Assim, a alternativa correta 
é a opção (C). 
 
81. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do 
aumento. 
 
Solução: Chamando de i a taxa percentual do aumento, segue que 24 + 24i = 30. Então, i = (30-24)/ 
24 = 6/24 = 0,25 = 25%. 
Em outras palavras, o aumento foi de 30 - 24 = 6, sobre o valor inicial de 24, ou seja: 6/24 = 1/4 = 
0,25 = 25%. 
 
82. Se um artigo aumentou em 25%, de quantos por cento ele deve diminuir para voltar ao preço 
antigo? 
 
Solução: Seja P o preço antigo e i a taxa percentual de desconto. Assim, P × 1,25 × (1 - i) = P . 
Então, 1,25 × (1 - i) = 1. Daí vem que: 1 - i = 1 /1,25 = 100/125 = 4/5 = 0,8 . 
Logo, a taxa i = 1 - 0,8 = 0,2 = 20%. 
Em outras palavras, se o preço era 100, o preço com aumento é 125. Para retornar ao preço antigo, 
ele deve sofrer um desconto de 25 em relação a 125, isto é, 25/125 = 0,2 = 20%. 
Sempre podemos tomar o preço igual a 100; basta tomar como unidade de preço um centésimo do 
preço do produto. . 
 
83. Um produto teve três aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o aumento final ? 
 
Solução: Seja P o preço. Temos que: P × 1,08 × 1,05 × 1,1 = P ×1,2474. Assim, o aumento final foi 
de 24,74%. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De outro modo, podemos considerar o preço como 100 reais. Então, após o aumento de 8% o preço 
passa valer 108 reais, Em seguida o preço de 108 reais aumenta para 113,40 (aumento de 5%). 
Finalmente o valor de 113,40 aumenta 10% passando a valer 124,74 reais. O que corresponde a um 
aumento final de 24,74 sobre 100, ou seja, 24,74 / 100 = 24,74%. 
 
84. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$100,00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 
20%, respectivamente? 
 
Solução: Preço final = 100 × 1,25 × 1,20 = 100 × 1,5 = 150. Então o preço final é R$150,00. 
Observe que a taxa total de aumento ficou sendo de 50% . 
 
85. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, de 30% e de 
20%. 
 
Solução: Preço final = 100 × 0,7 × 0,8 = 100 × 0,56 = 56. Logo o preço final é R$56,00. 
Observe que a taxa total de desconto ficou sendo de 44%. 
 
86.Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$600,00 , comprometendo-se a 
pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 5% a. m. (ao mês). Calcule o valor que o 
comerciante deverá pagar (montante). 
 
Solução: No regime de juros simples há pagamento de juros constantes por períodos iguais. O 
montante (capital + juro) cresce a cada período em Progressão Aritmética . 
Daí, vem que, a fórmula para o cálculo do montante é: M = C + Cin , onde C é o capital, i é a taxa 
% e n é o período de tempo. Assim, M = 600 + 600 × 0,05 × 3 = 600 + 90 = 690,00. 
 
87. À taxa de 30% a. a. (ao ano), certo capital, em 8 meses, produziu, a juros simples, um montante 
de R$1.500,00. Qual foi o capital aplicado? 
 
Solução: A taxa de 30% a. a. é proporcional a 30/12 = 0,025 = 2,5% a. m. (ao mês) . Então: 1500 = 
C + C × 0,025 × 8. 
Daí, vem que: 1500 = C + 0,2C = 1,2C. Logo: C = 1500 / 1,2 = 15000 / 12 = R$1.250,00 
 
89. Oliveira aplicou R$400,00 num investimento que rende 20% a. m., a juros compostos. Calcule o 
montante ao final de 3 meses. 
 
Solução: No regime de juros compostos (capitalização acumulada) o montante cresce a cada 
período em Progressão Geométrica. Ao final de cada período de capitalização, o montante se torna 
capital para o período seguinte e assim por diante ("juros sobre juros"). Assim, a fórmula para o 
cálculo do Montante é: M = C (1 + i )n , onde C é o capital, i é a taxa % e n é o período de tempo. 
Logo, M = 400 × (1 + 0,2)3 = 400 × (1,2)3 = 400 × (1,728) = R$ 691,20. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90. Maria dispõe de R$800,00 para investimento. Se a taxa de rendimento for de 20% a. m. e o 
prazo for de 4 meses, calcule o montante obtido em regime de: 
a) juros simples. b) juros compostos. 
 
Solução: a) No regime de juros simples temos: M = 800 + 800 × 0,2 × 4 = 800 + 640 = R$1.440,00. 
b) No regime de juros compostos temos: M = 800 × (1 + 0,2)4 = 800 × (1,2)4 = 800 × (2,0736) = 
R$1.658,88 
 
91. Silva aplicou R$ 600,00 numa caderneta de poupança que rende 10% ao mês. Como os juros 
produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, calcule o montante ao final de 4 
meses? 
 
Solução: M = 600 × (1 + 0,1)4 = 600 × (1,1)4 = 600 × 1,4641 = R$ 878,46. 
 
92. Duas lojas vendem determinado tipo de peça de reposição para automóveis pelo mesmo preço e 
estão fazendo as seguintes promoções: 
LOJA A: Compre 4 peças e leve 5. LOJA B: Compre 4 peças e pague 3. 
Qual delas oferece o maior desconto? 
Solução: Podemos considerar o preço igual a 100 reais. 
Na loja A levamos 500, mas pagamos apenas 400, então temos um desconto de 500 - 400 = 100, 
sobre o valor 500, ou seja, a taxa de desconto é: 100/500 = 1/5 = 0,20 = 20%. 
Na loja B levamos 400, mas pagamos apenas 300, logo temos um desconto de 400 - 300 = 100, 
sobre 400, ou seja, a taxa de desconto é: 100/400 = 1/4 = 0,25 = 25%. 
Logo, a loja B oferece o maior desconto. 
 
93. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia 
essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o valor do 
preço original P . 
 
Solução: Temos que P × 1,8 × 0,8 = 72. Então, 1,44P = 72. 
Assim, o preço P = 72 / 1,44 = 7200 / 144 = R$ 50,00. 
 
94. Depois de um aumento de 20%, uma bolsa passou a custar R$ 38,40. Qual era o preço da bolsa 
antes do aumento? 
 
Solução: Seja P o preço da bolsa antes do aumento. Então, P × 1,2 = 39,40. 
Assim, P = 38,40 / 1,2 = 3840 / 120 = 32. Logo, o preço era R$ 32,00. 
 
95. A taxa de inflação de um certo país é de 40% a. a.. Calcule a taxa acumulada após 2 anos. 
 
Solução: A taxa de inflação é a taxa média de elevação dos preços dos serviços. Seja P o preço. 
Após dois anos temos: 
P × 1,4 × 1,4 = P × (1,4)2 = P × 1,96 = P × (1 + 0,96). Logo a taxa acumulada é de 96%. 
De outro modo, se o preço era 100 reais, ao final do primeiro ano o preço passaria a ser 140 reais 
(aumento de 40%). Ao final do segundo ano teríamos um aumento de 40% sobre o preço de 140 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
reais, isto é, teríamos 140 × 1,4 = 196 reais. Logo, após dois anos teríamos um aumento de 96 reais 
sobre um preço de 100, ou seja, 96/100 = 0,96 = 96%.96. "Prefeito autoriza o aumento da passagem de ônibus, que custava R$ 1,90 , para R$ 2,00" , diz 
a notícia. Calcule a taxa percentual do aumento. 
 
Solução: O preço aumentou 2,00 - 1,90 = 0,10 sobre o valor de 1,90. Assim, a taxa percentual do 
aumento foi 0,10 / 1,90 = 1 / 19 = 0,052631578947368421052631578947368 = 5,26% 
aproximadamente. 
 
97. (UFAM) Se a área da base de um prisma diminui 20% e a altura aumenta 30%, o seu volume: 
(A) aumenta 8%. (B) aumenta 4%. (C) aumenta 104%. (D) diminui 8%. (E) aumenta 4%. 
 
Solução: A opção (E) é a certa. De fato, na geometria espacial o volume de um prisma é o produto 
da área da base Ab pela altura h, isto é, V = Ab×h. Diminuindo a área da base em 20% e 
aumentando a altura em 30%, temos um novo volume V' = 0,8×Ab×1,3×h = 1,04×Ab×h. Logo, o 
volume V' é 104% do volume V, isto é, o volume V' é 4% maior que o volume V. 
 
98. Em uma época na qual a inflação era de 15% ao mês, uma rede de lojas oferecia duas opções 
de pagamento: 
I) À vista, com 30% de desconto . 
II) A prazo, em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira sendo paga no ato da 
compra. 
Qual a taxa dos juros embutidos nas vendas a prazo? 
 
Solução: A Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento 
(valor) do dinheiro no tempo (valor atual, valor futuro etc.). O regime de juros mais usado pelo 
mercado é o de juros compostos. Neste, para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + 
i)n. Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por (1 + i)n, onde, i é a taxa e n é o periodo 
de tempo. Assim, devemos transferir todos os valores para a época do primeiro pagamento. 
Considerando o preço igual a 100 segue que o valor à vista (valor atual) é 70 (desconto de 30%) e o 
valor a prazo é 50 + 50. A primeira prestação de 50, que é paga no ato da compra, vale 50. Já, a 
segunda prestação de 50 que será paga no mês seguinte, tem valor atual igual 50 / (1 + i), onde i é a 
taxa de juros embutida. 
Então, fazendo a equivalência das duas opções de pagamento, temos: 70 = 50 + 50 / (1 + i). 
Segue que, 70(1 + i) = 50(1 + i) + 50. Daí, vem que, 20(1 + i) = 50. 
Logo, (1 + i) = 50 / 20 = 2,5. Assim, i = 2,5 - 1 = 1,5 = 150/100 = 150%. 
Concluímos que a loja cobrava a exorbitante taxa de juros de 150%. 
 
99. Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 688,85. Qual era o preço do 
televisor antes do aumento? 
 
Solução: Seja P o preço antes do aumento de 15%. Temos que P × 1,15 = 688,85. Assim, o preço P 
= 688,65 / 1,15 = 68865 / 115 = R$ 599,00. 
 
Como se calcula a taxa percentual dos juros embutidos nas vendas a prazo? Por exemplo: Um artigo 
é vendido à vista, com 10% de desconto ou em duas prestações iguais, com vencimento no ato da 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
compra e um mês após, sem desconto. Na realidade, a loja cobra 25% ao mês nas vendas a prazo. 
Por que? 
 
Solução: A Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento 
(valor) do dinheiro no tempo (valor atual, valor futuro etc.). No regime de juros compostos (o mais 
usado pelo mercado) obtemos o valor futuro multiplicando o valor atual por (1 + i)n. De modo 
inverso, obtemos o valor atual dividindo o valor futuro por (1 + i)n, onde i é a taxa percentual e n é 
o periodo de tempo. Assim, devemos transferir todos os valores para a época do primeiro 
pagamento. Considerando o preço igual a 100 (poderia ser qualquer valor), segue que o valor à vista 
(valor atual) é 90 (desconto de 10%) e o valor a prazo é 50 + 50. A primeira prestação de 50, que é 
paga no ato da compra, vale 50. Já, a segunda prestação de 50 que será paga no mês seguinte, tem 
valor atual igual a 50 / (1 + i), onde i é a taxa de juros embutida. Então, fazendo a equivalência das 
duas opções de pagamento, temos: 90 = 50 + 50 / (1 + i). 
Segue que, 90(1 + i) = 50(1 + i) + 50. Daí, vem que, 40(1 + i) = 50. Logo, (1 + i) = 50 / 40 = 1,25 , 
o que implica na taxa de juros ser i = 1,25 - 1 = 0,25 = 25/100 = 25%. 
 
100. (UFRJ) A rede de lojas SISTREPA vende por crediário com uma taxa de juros mensal de 10%. 
Uma certa mercadoria, cujo preço à vista é P, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano 
de pagamento: R$100,00 de entrada, uma prestação de R$240,00 a ser paga em 30 dias e outra de 
R$220,00 a ser paga em 60 dias. Determine, o valor de venda à vista dessa mercadoria. 
 
Solução: O regime mais usado pelo mercado é o de juros compostos. Neste, para obter o valor 
futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n. Para obter o valor atual, basta dividir o valor futuro por 
(1 + i)n, onde i é a taxa e n é o periodo de tempo. Se a taxa de juros é 10%, então, o valor futuro é 
igual ao valor atual multiplicado por (1 + 0,1)n, onde n é o período de tempo. Já, o valor atual (valor 
à vista) é o valor futuro dividido por (1 + 0,1)n, onde n é o período de tempo. Assim: o valor atual 
de 100 é 100 ; o valor atual de 240 é 240 / (1,1) e o valor atual de 220 é 220 / (1,1)2. 
Vem que o preço à vista P = 100 + 240 / (1,1) + 220 / (1,1)2 = 100 + 240 / (1,1) + 220 / (1,21) ; 
Segue que, P = (121 + 264 + 220) / (1,21) = 605 / (1,21) = 60500 / 121 = 500 . Logo, o valor à vista 
é R$ 500,00 
 
101. (UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homens devem 
sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%? 
 
Solução: De acordo com o enunciado temos 99 homens e 1 mulher num total de 100 pessoas. Seja x 
a quantidade de homens que deve sair da sala. Observe que quando tiramos uma quantidade x de 
homens num total de 99 homens tiramos também a mesma quantidade x de homens num total de 
100 pessoas. Saindo x homens, teremos ( 99 - x ) homens num total de ( 100 - x ) pessoas. 
Como queremos que a porcentagem de homens passe a ser 98%, temos que encontrar o valor de x 
na proporção 
( 99 - x ) / ( 100 - x ) = 98 / 100. 
Resolvendo esta equação, encontramos: 9900 - 100x = 9800 - 98x , o que implica em 100 = 2x. 
Logo x = 50 homens. 
 
102. Uma loja de eletrodomésticos vende um aperelho eletrônico por R$1.200,00 à vista, ou em 8 
prestações iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra (sem entrada). Se os juros são de 
3% ao mês, calcule o valor das prestações. 
 Simulados Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Quando compramos um artigo a prazo, efetuamos geralmente seu pagamento em uma 
série de prestações R iguais e igualmente espaçados no tempo. Essa série de prestações 
(pagamentos) é equivalente a um pagamento único (valor à vista). Então, para fazer a equivalência 
das duas opções de pagamento, vamos transferir tudo para a época atual (no ato da compra): 
1200 = R / (1,03) + R / (1,03)2 + R / (1,03)3 + R / (1,03)4 + ... + R / (1,03)7 + R / (1,03)8 , ou seja, 
1200 = R [ 1 / (1,03) + 1 / (1,03)2 + 1 / (1,03)3 + 1 / (1,03)4 + ... + 1 / (1,03)7 + 1 / (1,03)8] . 
Observe que a soma que aparece dentro dos colchetes é a soma de uma progressão geométrica onde 
a razão é 
q = 1 / 1,03 , o número de termos é n = 8 e o primeiro termo é a1 = 1 / 1,03. Assim, temos: 
1200 = R [a1( q
n - 1) / (q - 1) ] = R [ q (qn - 1) / (q - 1) ] = R [ q (1 - qn) / (1 - q)] , onde q = a1 = 1 / 
1,03 e n = 8. 
Usando calculadora (recomendável) encontramos: 
q = 1 / 1,03 = 0,970873786 
qn = 1 / (1,03)8 = 1 / 1,266770081 = 0,789409234 
1 - q8 = 1 - 0,789409234 = 0,210590765 
1 - q = 1 - 0,970873786 = 0,029126213 
q(1 - qn) = 0,970873786 × 0,210590765 = 0,204457053. 
Assim, 1200 = R [0,204457053 / 0,029126213] = R (7,019692309). 
Logo, R = 1200 / 7,019692309 = 170,9476637. Conclusão: o valor da prestação é R$170,94 . 
 
103. (CBMERJ)