AULA_4_POE (1)

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EAL 3012 - ESTATÍSTICA, PLANEJAMENTO E OTIMIZAÇÃO DE EXPERIMENTOS
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Planejamento fatorial 23
O planejamento fatorial completo tem 8 experimentos.
Podem ser apresentados na ordem padrão. (as colunas começam com o nível (-) 
Exemplo (p105): Rendimento como função de:
1 - Temperatura oC (-) 40 e (+) 60
2 - Catalisador Tipo (-) A e (+) B
3 - Concentração Mol (-) 1,0 e (+) 1,5
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Resultados de um planejamento 
1 T[40;60]; 2 K[A;B]; 3 C[1;1,5]
		Ensaio
		1
		2
		3
		rend %
		Media %
		1
		-
		-
		-
		56
		52
		54,0
		2
		+
		-
		-
		85
		88
		86,5
		3
		-
		+
		-
		49
		47
		48,0
		4
		+
		+
		-
		64
		62
		63,0
		5
		-
		-
		+
		65
		61
		63,0
		6
		+
		-
		+
		92
		95
		90,5
		7
		-
		+
		+
		57
		60
		58,5
		8
		+
		+
		+
		70
		74
		72,0
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Planejamento fatorial completo...
A partir da matriz de planejamento podemos formar a tabela de coeficientes de contraste
Temos três fatores principais...
1 Temperatura, 2 catalisador, 3 concentração 
Três interações de dois fatores:
 12 (Txcat), 13 (Tx conc.) e 23 (cat. X conc) e 
Uma interação de três fatores
 123 (T x cat. X conc).
Os sinais de cada interação são obtidos multiplicando-se as colunas
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Coeficientes de contraste
Média 1 2 3 12 13 23 123 Resp
 + - - - + + + - 54,0
 + + - - - - + + 86,5
 + - + - - + - + 48,0
 + + + - + - - - 63,0
 + - - + + - - + 63,0
 + + - + - + - - 93,5 
 + - + + - - + - 58,5
 + + + + + + + + 72,0 
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Cálculo da média e dos efeitos
Y méd. = 67,31
Efeitos principais 
T (1) = 22,88 ; Cat. (2) = -13,88; Conc (3) = 8,88
Interações 
2 fatores 
 TxCat (12) = -8,63 ; TxConc. (13) =-0,88 e CatxConc. (23) = 0,88
3fatores Tx Cat. X Conc. (123) = -0,13
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Erro experimental
Cada ensaio foi realizado 2 vezes, assim temos a estimativa da variância com um grau de liberdade 
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Estimativa do erro
Temos então que s2 = 5,2
Se os valores são independentes podemos obter uma estimativa da variância de um efeito ....‏
Cada um dos oito valores do planejamento é a média de dois experimentos.
 Se a variância de uma observação individual é estimada em 5,2 a variância da média de duas observações será igual a 5,2/2 = 2,6;
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Estimativa do erro
Variância de um efeito = 2,6/2 =1,3
O erro padrão é a raiz quadrada da variância e logo temos que o valor é aproximadamente 1,14%.
O erro padrão do rendimento médio será a metade disso.... 0,57%
Obs: válido para repetições autenticas e experimentos aleatorizados.
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Análise com o software...
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Efeitos calculados
Média 67,3± 0,57
Temperatura (1) = 22,9±1,14
Catalisador (2) = -13,9±1,14
Concentração (3) = 8,9±1,14
Interações:
(12) = -8,6±1,14 ; (13) = -0,9±1,14
 (23) = 0,9±1,14
(123) = 0,1±1,14
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Gráfico de Pareto...
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Gráfico normal de probabilidade
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Interpretação dos resultados
Os efeitos principais são significativos.
O efeito de interação entre temperatura e concentração é significativo.
Não há interação entre a concentração e os outros fatores. 
Não há interação entre os três fatores.
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Modelo estatístico 
Y (x1,x2,x3) = Bo + B1x1 + B2x2 + B3x3 = B12 x1x2.
Y = 67,3 + 11,4*T – 6,9*Cat + 4,4*Conc – 4,3 * T * Con.
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Planejamento fatorial 24
Ao planejamento anterior adicionamos mais uma variável (fator)‏
Resultados sem repetições. 
Pode-se calcular: 
 média global 
Quatro fatores principais 
Seis interações de dois fatores 
Quatro interações de três fatores 
Uma interação de quatro fatores
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Planejamento fatorial 24
Exemplo (p105): Rendimento como função de:
1 - Temperatura oC (-) 40 e (+) 60
2 - Catalisador Tipo (-) A e (+) B
3 - Concentração Mol (-) 1,0 e (+) 1,5
4 – pH (-) 7,0 e (+) 6,0
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1 T[40;60]; 2 K[A;B]; 3 C[1;1,5]; pH[7;6]
Ensaio 1 2 3 4 resp Ensaio 1 2 3 4 resp
1 - - - - 54 9 - - - + 52 
2 + - - - 85 10 + - - + 87
3 - + - - 49 11 - + - + 49
4 + + - - 62 12 + + - + 64 
5 - - + - 64 13 - - + + 64
6 + - + - 94 14 + - + + 94
7 - + + - 56 15 - + + + 58 
8 + + + - 70 16 + + + + 73
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Procedimentos
Os ensaios não foram repetidos !
Cálculo da média e dos efeitos : procede-se da forma apresentada exemplos já analisados.... 
Obtemos os efeitos, exceto para a média, e dividindo o valor por 2 temos as estimativas dos coeficientes.
Estimativa do erro: como os ensaios não foram repetidos temos outra possibilidade 
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Estimativa do erro
A medida que o número de fatores aumenta, o número de termos do modelo matemático também aumenta.
No modelo temos agora 16 termos...
“podemos esperar que os coeficientes do modelo obedeçam uma certa hierarquia ..., esperamos que os efeitos principais sejam mais importantes...”
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Efeitos calculados
Média : 67,188
Efeitos principais 
Temperatura (1) 22,875 ; Catalisador (2) -14,125
Concentração (3) 8,875 ; pH (4) 0,875
Interações:
(12) =-8,625; (13)=-0,625; (14)=0,875; (23)=-0,625; (24)=0,875; (34)=0,375
(123)=0,875; (124)=-0,125; (134)=-0,625; (234)=0,375; (1234)=0,375
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Estimativa do erro
A análise dos resultados mostra que os efeitos principais e as interações de dois fatores são suficientes para descrever o modelo
As interações de três ou mais efeitos podem ser atribuídas a flutuações inerentes ao processo. “ruído”
Usando os para a estimativa da variância de um efeito; assim para os cinco valores temos:
Variância = [(0,875)2+ ....+(0,375)2]/5= 0,291
Erro padrão para o efeito será 0,54.
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Gráfico de Pareto...
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Análise por gráficos... 
“A análise por gráficos normais é uma técnica alternativa, para tentarmos distinguir, nos resultados de um planejamento, os valores que correspondem realmente aos efeitos, dos valores que são devidos ao ruído” 
Utiliza-se do conceito de probabilidade cumulativa.... partindo-se do gráfico de probabilidade de uma distribuição normal padronizada...
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Gráficos ‏
Um gráfico da probabilidade cumulativa numa distribuição normal é uma curva monotonicamente crescente (curva B...p.118)
A curva pode ser transformada em uma reta por meio de uma modificação na escala do eixo das ordenadas.... 
Mudando-se o eixo para uma escala de probabilidade normal os pontos ajustam-se aproximadamente a uma reta.... 
“expandir a escala simetricamente em torno do ponto representado por 0,5 de modo a “esticar” as duas pontas do S” 
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Exemplo:planejamento 24
No gráfico de probabilidade cumulativa os pontos centrais se ajustam a uma reta que cruza a probabilidade acumulada de 50% aproximadamente sobre o ponto zero das abscissas. 
Pode-se observar no gráfico da probabilidade cumulativa que os efeitos principais: (1) temperatura; (2) Catalisador; (3) concentração e
a interação (12) são realmente significativos 
Os efeitos são mais significativos, quanto mais afastados para direita ou esquerda.
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Gráfico p.122
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3.5 EVOP – Operação Evolucionaria
Melhora das condições de processo em larga escala. 
Na prática o processo continua sendo operado dentro de parâmetros estabelecidos na sua partida. 
Como se busca um ajuste fino, pequenas alterações dos parâmetros são implementadas.
A forma recomendada é um planejamento em dois níveis.
Avaliação do processo (p.125) 
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EVOP...
Planejamento fatorial com ponto central...
Ponto central A (condições iniciais...)
Experimentos em condições próximas.... B, C , D e E...
Identificação da condição mais favorável... uma espécie de “seleção natural” 
Proposição de possíveis deslocamentos...
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BLOCAGEM
Possibilidade de neutralizar (minimizar) efeitos indesejáveis
Exemplo: diferentes lotes de matéria prima 
Em um planejamento 23, o efeito menos importante é a interação 123...
Se temos dois lotes podemos executar o planejamento de forma a confundí-lo com este efeito... 
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Planejamento 23 em dois blocos...
		Ensaio
		1
		2
		3
		123
		bloco
		lote
		1
		-
		-
		-
		-
		I
		A
		2
		+
		-
		-
		+
		II
		B
		3
		-
		+
		-
		+
		II
		B
		4
		+
		+
		-
		-
		I
		A
		5
		-
		-
		+
		+
		II
		B
		6
		+
		-
		+
		-
		I
		A
		7
		-
		+
		+
		-
		I
		A
		8
		+
		+
		+
		+
		II
		B
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Aplicações
Livro Bruns 
3 A.1 hidrólise de enzimas 
3 A.2 voltametria cíclica do azul de metileno
3 A.3 Tempo de retenção em CLAE
3 A. 4 Separação de gases....
3 A.8 Desenvolvimento de um detergente.