Calculo 2 - Christian Q. Pinedo

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Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática
Notas de Aula No 09
.5
Christian Q. Pinedo
5
ii Integração e Funções de Várias Variáveis
A meus pais
Christian (em memória) e.
Noemi.
iii
iv Integração e Funções de Várias Variáveis
Título do original
Integração e Funções de Várias Variáveis
Dezembro de 2009
Direitos exclusivos para língua portuguesa:
UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica
512.8
Pinedo. Christian Quintana, 1954 -
Integração e Funções de Várias Variáveis / Christian José Quintana
Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de
Engenharia Civil/Elétrica, 2009.
250 p. il. 297mm
I. Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis. Christian Q. Pinedo. II.
Série. III. Título
CDD 512.8 ed. CDU
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1 ANTIDERIVADAS 1
1.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integral Indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Propriedades da Integral Indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Integral Imediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Fórmulas Elementares de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Métodos de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Integração por Substituição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Método de Integração por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas. . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Integração por Substituição Trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.5 Integração de Funções Racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercícios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3.6 Integração de Funções Racionais Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . 65
1.3.7 Integração de Funções Irracionais Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . 67
Exercícios 1-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.8 Outros Métodos de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercícios 1-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Integral Definida 89
2.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2 Cálculo de Área de uma Região Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.1 Partição de um Intervalo Fechado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulo. . . . . . . 97
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
v
vi Integração e Funções de Várias Variáveis
2.3 Significado Geométrico das Somas: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.3.1 Propriedades das Somas: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.4 Integrais: Inferior e Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.4.1 Propriedades da Integral: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.5 Integral de de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5.1 Propriedades da Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5.2 Teorema do Valor Médio para Integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.5.3 Teorema Fundamental do Cálculo Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.6 Mudança de Variável em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.7 Integração por Partes em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.8 Integração de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.9 Integrais Impróprias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.9.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.9.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.10 Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Miscelânea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 155
3.1 Aplicações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1.1 Área de Regiões Planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.1.2 Comprimento de Arco de uma Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.1.3 Área de Superfície de Revolução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Exercícios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.1.4 Volume de um Corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Exercícios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2 Aplicações à Mecânica e Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.2.1 Momentos e Centro de Massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Exercícios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.2.2 Outras Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.2.3 Problemas da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Exercícios 3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Miscelânea 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 215
4.1 O Espaço Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.1 Vetores no espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.2 O Espaço n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3 Superfícies quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo vii
4.3.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.3.2 Parabolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.3.3 Hiperbolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.3.4 O Cone Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.5 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.4 Superfícies de Revolução . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.5 Pares de Planos e Superfícies Imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.6 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.6.1 Gráfico de Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.6.2 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.6.3 Conjuntos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.7 Conjunto aberto. Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.7.1 Ponto de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.8 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.8.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.8.2 Limites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.9 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.9.1 Teorema de continuidade da função composta . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Exercícios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5 DERIVADAS 253
5.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.1.1 Incremento da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.1.2 A técnica de derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.2 Funções Homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
5.2.1 Propriedades das Funções Homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.3 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.4 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.4.1 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.5 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.6 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.7 Diferenciabilidade, linearização e plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.8 Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.9 Diferenciabilidade e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.10 Diferencial exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.11 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.12 Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis . . . . . . . . . . . . . . 291
viii Integração e Funções de Várias Variáveis
Exercícios 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.13 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.13.1 Propriedades da derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.14 Gradiente de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.14.1 O Gradiente como vetor de incremento rápido . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.15 Plano tangente e reta normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Exercícios 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Miscelânea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6 Aplicações das derivadas parciais 307
6.1 Máximos e Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.1.1 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.2 Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.2.1 Para funções de duas variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.2.2 Para funções de várias variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Exercícios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Miscelânea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
PREFÁCIO
Estas notas de aula de Integração e Funções de Várias Variáveis é a continuação e abordagem
de conceitos e teorias novas, tais como “Integração em R” e o “Cálculo diferencial com funções
de várias variáveis” com aplicações aos diferentes ramos das ciências exatas úteis no estudo das
equações diferenciais.
Esta obra é continuação do estudo do “Cálculo Diferencial em R” disciplina básica para cursos
de Engenharia, Matemática, Física, Quimica entre outros, este volume representa o esforço de
sínteses na seleção de um conjunto de problemas e temas que, com freqüência se apresenta quando
um estudante continúa com o estudo do cálculo diferencial. Estas notas de aula estão divididas
em seis capítulos.
No primeiro capítulo, apresenta-se os métodos para o cálculo de integrais, faz-se uma abor-
dagem prática com grande variedade de exemplos e técnicas para a solução das mesmas.
No segundo capítulo, apresenta-se os conceitos de integral definida, ao estilo dos conceitos
de “Integral de Riemann”; inicia-se os estudos com os conceito de somatório como interpretação
geométrica da integral.
O terceiro capítulo, está reservado para múltiplas aplicações em diferentes ramos do conhec-
imento científico.
No quarto capítulo se apresenta o estudo das funções de várias variáveis, incluindo uma
pincelada ao estudo das quádricas, este capítulo termina com o estudo dos limites e derivadas de
funções. O penúltimo capítulo estuda as derivadas e diferencias com funções de várias variáveis.
O último capítulo está destinado à aplicação do cálculo diferencial, na procura de pontos de
extremo para funções de várias variáveis.
ix
x Integração e Funções de Várias Variáveis
O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e
construir um modelo matemático e logo resolvê-lo. A esta obra acompanha “Suplementos II”
(em edição) aqui se apresenta a solução integral de todos os exercícios propostos nesta obra.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados
em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.
A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha experiência
profissional como Consultor em Matemáticas Puras e Aplicadas, assim como Professor de ensino
Superior, com atuação na graduação e pós-graduação da docência universitária.
Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos
leitores.
ChristianQuintana Pinedo.
Palmas - TO, julho de 2010
“A Matemática é a honra do espírito humano”
Leibniz
Capítulo 1
ANTIDERIVADAS
Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz,
Hanover (Alemanha) em 17 de setembro de 1826 e morreu em Selasca
(Itália) em 20 de Julho de 1866.
Riemann, foi educado pelo seu pai até os 10 anos, depois por um
professor de uma escola local chamado de Schulz.
Em 1840 entrou diretamente na terceira classe ao Lyceum em Han-
nover. Trabalhou duro nos assuntos clássicos como o hebreu e teologia.
Riemann mostrou interesse particular pela matemática e o diretor do
Ginásio permitiu Bernhard estudar textos de matemática em sua bib-
lioteca particular.
Em 1846 Riemann se matriculou na Universidade de Göttingen
para estudar teologia. Porém assistiu a algumas aulas de matemática.
Riemann mudou-se de Göttingen para Universidade de Berlim pela
primavera de 1847 para estudar trabalhos de Steiner, Jacobi, Dirichlet e Eisnstein. Esta época era im-
portante para Riemann, ele estudou muito e discutiu usando variáveis complexas em teoria de funções
elípticas. Neste período Riemann recebeu forte influencia de Dirichlet.
Em 1849 defendeu em Göttingen sua tese de doutorado supervisionada por Gauss. Nesta tese estudou
a teoria de variáveis complexas e, em particular, o que agora chamamos superfícies de Riemann. Intro-
duziu métodos de topologia em teoria de função complexa. O trabalho constrói nas bases de Cauchy a
teoria de variáveis complexas construídas durante muitos anos e também nas idéias de Puiseux de pontos
fixos. A tese de Riemann é notavelmente um trabalho original que examinou propriedades geométricas
das funções analíticas, além disso é um dos trabalhos mais notáveis e originais a aparecer em uma tese
doutoral. Foi examinado em 16 de dezembro de 1851.
Recomendado por de Gauss, Riemann foi designado a um posto em Göttingen. Nomeado professor
nesta Universidade em 1854 apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebre
conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seus
fundamentos que até então permanecia desconhecidos.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, onde
encontramos também a equação de Cauchy-Riemann que é uma concepção intuitiva e geométrica da
Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass. Um de seus brilhantes resultados foi perceber
que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos
geométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre integráveis.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler.
Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer de tuberculose.
1
2 Integração e Funções de Várias Variáveis
1.1 Introdução.
Todo cálculo de uma derivada proporciona, devido ao segundo teorema fundamental do cál-
culo infinitesimal [10], uma fórmula para integrais. Por exemplo, se f(x) = x(Lnx − 1), então
f ′(x) = Lnx.
O conceito intuitivo de integrar corresponde a os seguintes significados:
• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A, determinar uma função F (x) de
modo que a derivada de F (x) seja a função f(x); isto é F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ A.
• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A, calcular o limite das somas de
determinado tipo, construídas para f(x) no intervalo A.
A operação em qualquer dos casos chama-se integração. No sentido matemático o segundo
caso é amplamente ilustrado para o cálculo de áreas limitadas por curvas, volume do sólidos,
comprimento de curva, trabalho de uma força e outras múltiplas aplicações. Os dois tipos de
integração são chamadas de integral indefinida e integral definida respectivamente.
1.2 Integral Indefinida.
Definição 1.1. Funções elementares.
Chamem-se funções elementares as três funções seguintes:
(1) y = x (2) y = ax, a > 0 (3) y = sen x
Elas se dizem elementares porque grande número de funções podem se expressar como suas
combinações, mediante as operações elementares da aritmética ou da inversão (função inversa!).
Exemplo 1.1.
1. A função y = xm provém de (1), pois pode considerar-se como o produto de funções do tipo
(1). Um polinômio inteiro em x é uma combinação linear de funções do tipo (1).
2. A função y = cosx provém de (1) e (3), pois temos que cosx = sen (
pi
2
− x), e o coseno será
o seno de certo polinômio em x
3. Por inversão, (2) e (3) dão ainda as funções da qual provém novas funções como:
y = loga x, y = arctanx, y = arcsen
x√
1 + x2
, etc.
Definição 1.2.
Seja A um intervalo real, e f : A −→ R uma função. A função F : A −→ R tal que
F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ A é chamada “Primitiva” ou “Antiderivada de f(x) em A” e escreve-se
F (x) = Ant(f(x)) em A.
Exemplo 1.2.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 3
Se f(x) = 7x6 + 8 , então a função F (x) = x7 + 8x é uma antiderivada de f(x); isto é
F (x) = Ant(7x6 + 8). Observe que outras antiderivadas para f(x) são: x7 + 8x+ 3; x7 + 8x−
6; x7 + 8x− 8, . . . etc.
Observação 1.1.
• Se F (x) = Ant(f(x)) num intervalo A, então F (x) + C, onde C é uma constante real
é também antiderivada de f(x) em A. Logo a função f(x) tem um conjunto infinito de
primitivas [4]. Logicamente, uma função contínua f(x) sempre tem uma primitiva.
• Em geral, não existe um método para o cálculo de primitivas das funções elementares ou
das combinações destas. É incluso fácil formar funções cujas primitivas não sejam expressas
mediante funções elementares.
• Em geral não é possível achar primitivas elementares; por exemplo, não existe alguma
função elementar F (x) de modo que F ′(x) = e−x2 para todo x.
A preocupação por funções elementares está justificado pelo seguinte:
a) A integração é um tema clássico do cálculo infinitesimal.
b) Pode acontecer que seja necessário calcular uma integral, em condições em que não seja
possível consultar tabelas de integração.
c) Os métodos mais úteis de integração são na verdade teoremas importantes (aplicáveis a todas
as funções, não somente as elementares).
Propriedade 1.1.
Seja A um intervalo da reta real R, considere f : A −→ R uma função e a função F : A −→ R
uma antiderivada de f(x). Se F1 : A −→ R é também uma antiderivada de f(x), então F1(x) =
F (x) + C para alguma constante C
Demonstração.
Seja H(x) = F1(x) − F (x); derivando esta função tem-se: H ′(x) = F ′1(x) − F ′(x) = f(x) −
f(x) = 0; então H ′(x) = 0 logo H(x) = C.
Portanto F1(x) = F (x) + C.
Definição 1.3.
Se F (x) é antiderivada de f(x) no intervalo A, a integral indefinida de f(x) é o conjunto
das antiderivadas de f(x) no intervalo A, e é denotado por
∫
f(x)dx ; isto é:
∫
f(x)dx =
F (x)+C onde C é uma constante que assume qualquer valor, o número C é chamado constante
de integração.
No que segue, escreveremos
∫
f(x)dx = F (x) + C, onde F ′(x) = f(x), a expressão f(x)
chama-se “integrando”, f(x)dx é chamado “elemento de integração” , o símbolo
a∫
b
denomina-se
4 Integração e Funções de Várias Variáveis
”símbolo de integração no intervalo [a, b]”; a notação
a∫
b
f(x)dx é chamada “integral definida no
intervalo [a, b]”. A expressão
∫
f(x)dx lê-se “integral indefinida de f(x) diferencial da variável
x".
Propriedade 1.2.
Da Definição (1.3) deduz-se as seguintes propriedades:
a)
d
dx
(
∫
f(x)dx) = (
∫
f(x)dx)′ = (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x). Isto é, a derivada da integral
indefinida é igual ao integrando ou:
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x).
b) d(
∫
f(x)dx) =
d
dx
(
∫
f(x)dx)dx = f(x)dx. Isto é, o diferencial da integral indefinida, é
igual ao elemento de integração ou: d(
∫
f(x)dx) = f(x)dx
c) Se f(x) é uma função derivável no intervalo A, então uma primitiva de f ′(x) é f(x) e:∫
f ′(x)dx = f(x) + C.d) Sendo d(f(x)) = f ′(x)dx, do item c) deduz-se que:
∫
d(f(x))dx = f(x) + C
e)
∫
a.f(x)dx = a
∫
f(x)dx onde a é uma constante.
f) Se
∫
f(x)dx = F (x) + C e u = g(x), então
∫
f(u)du = F (u) + C.
De b) e d), a integral indefinida pode ser interpretada como uma operação inversa da difer-
enciação.
Exemplo 1.3.
i)
∫
e5xdx =
1
5
e5x + C ii)
∫
6x5dx = x6 + C
Exemplo 1.4.
Como d(x.Lnx−x) = Lnx.dx, então da Propriedade (1.2) d) temos que
∫
d(x.Lnx−x)dx =∫
Lnx.dx = x.Lnx− x+ C.
Exemplo 1.5.∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan(
x
3
) + C , lembre que
d
dx
(arctan t) =
1
1 + t2
1.2.1 Propriedades da Integral Indefinida.
Propriedade 1.3.
Se f(x) e g(x) são funções que admitem antiderivadas no intervalo A, e k é uma constante
real arbitrária, então:
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 5
i)
∫
[f(x)± g(x)]dx =
∫
f(x)dx±
∫
g(x)dx
ii)
∫
k.f(x)dx = k.
∫
f(x)dx
Demonstração. (i)
Pela Propriedade (1.2) b) temos que:
d
dx
(
∫
[f(x)± g(x)]dx) = f(x)± g(x) (1.1)
Por outro lado, pela Propriedade (1.2) b) como
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x) e
d
dx
(
∫
g(x)dx = g(x),
somando (ou subtraindo) estas igualdades temos que
d
dx
(
∫
f(x)dx) ± d
dx
(
∫
g(x)dx = f(x) ±
g(x).
Portanto, desta última igualdade e, de (1.1) segue que:
∫
[f(x) ± g(x)]dx =
∫
f(x)dx ±∫
g(x)dx �
Demonstração. (ii)
Exercício para o leitor.
Exemplo 1.6.
Observe,
∫
[e5x − 6x5 + Lnx]dx =
∫
e5xdx−
∫
6x5dx+
∫
Lnx.dx =
=
1
5
e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.
Logo, I =
∫
[e5x − 6x5 + Lnx]dx = 1
5
e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.
1.2.2 Integral Imediata.
Se conhecemos f ′(x), pela Propriedade (1.2) c) deduz-se que
∫
f ′(x)dx = f(x) + C ou∫
d(f(x))dx = f(x) + C.
Estas integrais assim obtidas denominam-se “Integral Imediata”; por exemplo
∫
dx = x+C.
A continuação apresenta-se uma tabela de integrais imediatas, que contém além das integrais
de funções elementares outras que serão de muita utilidade. Por comodidade, utilizamos ao invés
da variável x a letra u que pode ser uma função da forma u = f(x).
1.2.3 Fórmulas Elementares de Integração.
Considere-se o número real a > 0, e n ∈ Z
6 Integração e Funções de Várias Variáveis
1.
∫
du = u+ C 2.
∫
du
u
= Ln | u | +C
3.
∫
undu =
un+1
n+ 1
+ C n 6= 1 4.
∫
eudu = eu + C
5.
∫
audu =
au
Lna
+ C 6.
∫
sen u.du = − cosu+ C
7.
∫
cosu.du = sen u+ C 8.
∫
cotu.du = Ln | sen u | +C
9.
∫
tanu.du = Ln | secu | +C 10.
∫
secudu = Ln | secu+ tanu | +C
11.
∫
cscu.du = Ln | cscu− cotu | +C 12.
∫
sec2 u.du = tanu+ C
13.
∫
csc2 u.du = − cotu+ C 14.
∫
secu tanu.du = secu+ C
15.
∫
cscu cotu = − cscu+ C 16.
∫
senhu.du = coshu+ C
17.
∫
coshu.du = senhu+ C 18.
∫
tanhu.du = Ln | coshu | +C
19.
∫
sech2u.du = tanhu+ C 20.
∫
cosh2 u.du = − cothu+ C
21.
∫
sechu tanhu.du = −sechu+ C 22.
∫
cschu cothu.du = −cschu+ C
23.
∫
du
u2 + a2
=
1
a
arctan(
u
a
) + C 24.
∫
du
u2 − a2 =
1
2a
Ln | u− a
u+ a
| +C
25.
∫
du
a2 − u2 =
1
2a
Ln
∣∣∣∣u+ au− a
∣∣∣∣ + C 26.
∫
du√
a2 − u2 = arcsen(
u
a
) + C
27.
∫
du√
u2 ± a2 = Ln(u+
√
u2 ± a2) + C 28.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
u
a2
√
u2 + a2
+ C
29.
∫
du
u2
√
u2 + a2
= −
√
u2 + a2
a2u
30.
∫
du
u
√
u2 − a2 = (
1
a
)arcsec
| u |
a
+ C
31.
∫
sen 2u.du =
1
2
[u− 1
2
sen 2u] + C 32.
∫
du
uLnu
= Ln(Lnu) + C
33.
∫
tan2 u.du = tanu− u+ C 34.
∫
cot2 u.du = − cotu− u+ C
35.
∫
sen 3u.du =
1
3
(2 + sen 2u) cosu+ C
36.
∫
unsen u.du = −un cosu+ n
∫
un−1 cosu.du
37.
∫
tan3 u.du =
1
2
tan2 u+ Ln | cosu | +C
38.
∫
cot3 u.du =
1
2
cot2 u− Ln | sen u | +C
39.
∫
tann u.du =
1
n− 1 tan
n−1 u−
∫
tann−2 udu
40.
∫
unLnu.du =
un+1
(n+ 1)2
[(n+ 1)Lnu− 1] + C
41.
∫
uneaudu =
1
a
uneau − n
a
∫
un−1eaudu
42.
∫
eausen bu.du =
eau
a2 + b2
(asen bu− b. cos bu) + C
43.
∫
du
u
√
u2 + a2
= −1
a
Ln
[√
u2 + a2 + a
u
]
+ C =
1
a
Ln
[
u√
u2 + a2 − a
]
+ C
44.
∫ √
a2 − u2 · du = 1
2
[u
√
a2 − u2 + a2arcsen(u
a
)] + C
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 7
45.
∫ √
u2 + a2 · du = 1
2
[u
√
u2 + a2 + a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
46.
∫ √
u2 − a2 · du = 1
2
[u
√
u2 − a2 − a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
47.
∫
u2
√
u2 + a2 · du = 1
8
[u(a2 + 2u2)
√
u2 + a2 − a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
48.
∫
u
√
a+ bu · du = 2
15b2
[(3bu− 2a)
√
(a+ bu)3] + C
49.
∫
u√
a+ bu
· du = 2
3b2
(bu− 2a)√a+ bu+ C
50.
∫ √
a+ bu
u
· du = 2√a+ bu+ a
∫
du
u
√
a+ bu
+ C
51.
∫
sen nu · du = − 1
n
sen n−1 cosu+
n− 1
n
∫
senn−2u.du
52.
∫
cosn u · du = 1
n
cosn−1 usen u+
n− 1
n
∫
cosn−2 u.du
53.
∫
secn u.du =
1
n− 1 tanu sec
n−2 u+
n− 2
n− 1
∫
secn−2 u.du
54.
∫
cscn u.du =
−1
n− 1 cotu csc
n−2 u+
n− 2
n− 1
∫
cscn−2 u.du
55.
∫
sen (au)sen (bu) · du = sen (a− b)u
2(a− b) −
sen (a+ b)u
2(a+ b)
+ C
56.
∫
cos(au) cos(bu) · du = sen (a+ b)u
2(a+ b)
− sen (a− b)u
2(a− b) + C
57.
∫
sen (au) cos(bu) · du = −cos(a− b)u
2(a− b) −
cos(a+ b)u
2(a+ b)
+ C
Cada uma das fórmulas podem-se verificar mediante a derivação respeito da variável u. Por
exemplo observe, no caso da fórmula (25), temos quando a > 0:
d
dx
(
1
2a
Ln | u+ a
u− a |) =
1
2a
[
d
du
(Ln | u+ a | − | u− a |)] = 1
2a
[
1
u+ a
− 1
u− a ] =
1
u2 − a2 .
Portanto,
∫
du
a2 − u2 =
1
2a
Ln | u+ a
u− a | +C.
Exemplo 1.7.
Calcule I =
∫
(8x7 − 3x2 + 5)dx
Solução.
Aplicando a fórmula (3).
I =
∫
(8x7 − 3x2 + 5)dx =
∫
8x7dx−
∫
3x2dx+
∫
5dx = x8 − x3 + 5x+ C
Exemplo 1.8.
Calcule I =
∫
2(
√
x+
√
x3)
x
dx
Solução.
8 Integração e Funções de Várias Variáveis
Aplicando a fórmula (3), temos: I =
∫
2(
√
x+
√
x3)
x
dx =
I = 2
∫
(x−1/2 + x−2/3)dx = 2
∫
x−1/2dx+ 2
∫
x−2/3dx = 4
√
x+ 6 3
√
x+ C
Exemplo 1.9.
Calcule I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx
Solução.
Observe que I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx =
∫
(a + bx3)−2x2dx, multiplicando e dividindo por 3b,
tem-se I =
1
3b
∫
(a+ bx3)−2(3bx2)dx.
Considere u = (a+ bx3) então o diferencial du = 3bx2dx; aplicando a fórmula (3) segue que
I =
1
3b
∫
(a+ bx3)−2(3bx2)dx =
1
3b
∫
u−2du = − 1
3b
u−1 = − 1
3b
(a+ bx3)−1 + C.
Portanto, I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx = − 1
3b
(a+ bx3)−1 + C.
Exemplo 1.10.
Calcule I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
Solução.
Pela identidade conhecida para funções hiperbólicas cosh2 x− senh2x = 1, então:
1
senh2x. cosh2 x
=
cosh2 x− senh2x
senh2x. cosh2 x
= csch2x− sech2x
pelas fórmulas (19) e (20) resulta I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
=
∫
(csch2x− sech2x)dx = − cothx−
tanhx+ C.
Portanto, I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
= − cothx− tanhx+ C.
Exemplo 1.11.
Calcule I =
∫
(3 + 2ex)2
ex
dx
Solução.
Resolvendo o quadrado: I =
∫
(3 + 2ex)2
ex
dx =
∫
9 + 12ex + 4e2x
ex
dx =
I = 9
∫
e−xdx+ 12
∫
dx+ 4
∫
exdx = −9e−x + 12x+ 4ex + C
Exemplo 1.12.
Calcule I =
∫
ax(
b
2
)xdx.
Solução.
I =
∫
ax(
b
2
)xdx =
∫
(
ab
2
)xdx =
(ab2 )
x
Ln(ab2 )
= (
ab
2
)x[Ln(a) + Ln(b)− Ln2]−1 + C
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 9
Portanto, I =
∫
ax(
b
2
)xdx = (
ab
2
)x[Ln(a) + Ln(b)− Ln2]−1 + C.
Exemplo 1.13.
Calcule I =
∫
Lnx
x
dx
Solução.
Suponhamos que u(x) = Lnx, então du(x) =
1x
· dx; assim podemos obter a integral original
I =
∫
Lnx
x
dx =
∫
u.du =
1
2
(Lnx)2 + C
Exemplo 1.14.
Calcule I =
∫
dx
1 + e2x
.
Solução.
I =
∫
dx
1 + e2x
=
∫
e−2xdx
e−2x(1 + e2x)
=
∫
e−xdx
e−2x + 1
Suponha u(x) = e−2x + 1, então o diferencial du = −2e−2xdx; logo nossa integral.
I =
∫
e−xdx
e−2x + 1
= −1
2
∫
du
u
= −1
2
Ln(u(x)) + C = −1
2
Ln(e−2x + 1) + C
Exemplo 1.15.
Calcule I =
∫ √
cosx
sen5x
dx
Solução.
I =
∫ √
cosx
sen5x
dx =
∫ √
cosx
senx
· 1
sen4x
dx =
∫ √
cotx · csc4xdx =
∫ √
cotx · csc2x · dx
Supondo v(x) = cotx temos que, dv = −csc2x.dx.
Logo, I =
∫ √
cosx
sen5x
dx = −
∫ √
v · dv = −2
3
√
v3 + C = −2
3
√
cot3 x+ C.
Exemplo 1.16.
Calcule I =
∫
2x− 1
2x+ 3
dx
Solução.
A integral I =
∫
2x− 1
2x+ 3
dx =
∫
[1− 4
2x+ 3
]dx =
∫
dx− 2
∫
dx
x+ 32
=
I = x− 2Ln(2x+ 3)− 2Ln(2) = x− 2Ln(2x+ 3) + C
Exemplo 1.17.
Determine o valor da integral I =
∫
2x32x53xdx
Solução.
I =
∫
2x32x53xdx =
∫
(2 · 32 · 53)x · dx =
∫
2250x · dx = 2250
x
Ln2250
+ C
10 Integração e Funções de Várias Variáveis
Portanto, I =
∫
2x32x53xdx =
2250x
Ln2250
+ C.
Exemplo 1.18.
Calcule I =
∫
x+ 2√
x
dx
Solução.
I =
∫
x+ 2√
x
dx =
∫
x√
x
dx+ 2
∫
dx√
x
=
∫ √
xdx+ 2
∫
x−1/2dx =
x3/2
3/2
+ 2
x1/2
1/2
=
2
3
√
x3 +
4
√
x+ C.
Portanto, I =
∫
x+ 2√
x
dx =
2
3
√
x3 + 4
√
x+ C.
Exemplo 1.19.
Calcule I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx
Solução.
Lembre que, sen (A). cos(B) =
1
2
[sen (A+B) + sen (A−B)]. Sejam A = 3x− 1, B = 2x+ 2;
então, A+B = 5x+ 1 e A−B = x− 3, logo I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = 1
2
∫
[sen (5x+
1) + sen (x− 3)]dx = 1
2
∫
sen (5x+ 1)dx+
1
2
∫
sen (x− 3)dx.
Suponhamos que u = 5x + 1, então du = 5dx ou
1
5
du = dx, de modo análogo, suponhamos
que v = x− 3 , então dv = dx assim:
I =
1
2
∫
sen (5x+1)dx+
1
2
∫
sen (x− 3)dx = 1
10
∫
sen u ·du+ 1
2
∫
sen v ·dv = − 1
10
cosu−
1
2
cos v = − 1
10
cos(5x+ 1)− 1
2
cos(x− 3) + C.
Portanto, I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = − 1
10
cos(5x+ 1)− 1
2
cos(x− 3) + C.
Exemplo 1.20.
Calcule I =
∫
1
1 + cos2 x
dx
Solução.
Observe que
1
1 + cos2 x
=
1
1 + 1
sec2 x
=
sec2 x
sec2 x+ 1
=
sec2 x
tan2 x+ 2
=
sec2 x
tan2 x+ (
√
2)2
.
Aplicando a fórmula (23) temos que:
I =
∫
1
1 + cos2 x
dx =
∫
sec2 x
tan2 x+ (
√
2)2
dx =
1√
2
arctan[
tanx√
2
] + C
Exemplo 1.21.
Calcule I =
∫
dx
x4 − 16 .
Solução.
I =
∫
dx
x4 − 16 =
1
8
∫
[
1
x2 − 4 −
1
x2 + 4
]dx
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 11
Pela fórmula (24) temos que I =
∫
dx
x2 − 4 =
∫
dx
x2 − 22 =
1
4
Ln | x− 2
x+ 2
|; e pela fórmula
(23) temos que,
∫
1
x2 + 4
dx =
∫
dx
x2 + 22
=
1
2
arctan
x
2
. Assim,
I =
∫
dx
x4 − 16 =
1
8
∫
[
1
x2 − 4 −
1
x2 + 4
]dx =
1
8
[
1
4
Ln | x− 2
x+ 2
| −1
2
arctan
x
2
]
Portanto, I =
∫
dx
x4 − 16 ==
1
32
[Ln | x− 2
x+ 2
| −2 arctan x
2
] + C.
Exemplo 1.22.
Calcule I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx
Solução.
I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
∫
x2 + 9 + 4√
x2 + 9
dx =
∫
[
√
x2 + 9 +
4√
x2 + 9
]dx.
Pela fórmula (45) temos que a integral
∫ √
x2 + 9dx =
∫ √
x2 + 32dx =
1
2
[x
√
x2 + 33 + 32Ln(x+
√
x2 + 32]
e, pela fórmula (27) temos que, a integral
∫
4 · dx√
x2 + 9
= 4
∫
dx√
x2 + 32
= 4Ln(x+
√
x2 + 32) + C
Logo, I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
1
2
[x
√
x2 + 33 + 32Ln(x+
√
x2 + 32] + 4Ln(x+
√
x2 + 32 + C.
Portanto I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
1
2
[x
√
x2 + 9 + 17Ln(x+
√
x2 + 9)] + C.
Exemplo 1.23.
Seja f : R −→ R uma função contínua em R, de modo que f(0) = 2 e sua função derivada é
representada por:
f ′(x) =


x
| x | , se x < 1 e x 6= 0
ex, se x > 1
Determine a função f(x).
Solução.
Como d(| x |) = x| x | · dx se x 6= 0, então a função:
f(x) =
{
| x | +C1, se x < 1 e x 6= 0
ex + C2, se x > 1
Pela continuidade de f(x) temos que f(0) = f(0+) = f(0−) = 2, então C1 = 2; por outro
lado, f(1+) = f(1−) = e+ C2 = 1 + 2, logo C2 = 3− e.
Portanto, f(x) =
{
| x | +2, se x ≤ 1
ex + 3− e, se x > 1 .
12 Integração e Funções de Várias Variáveis
Exemplo 1.24.
Calcule I =
∫
3ex√
1− e2xdx
Solução.
Suponha u = ex, então du = exdx.
I =
∫
3ex√
1− e2x dx = 3
∫
du√
1− u2 = 3arcsenx+ C = 3arcsen(e
x) + C
Exemplo 1.25.
Estima-se que, dentro de x semanas, a população de um certo tipo de gafanhotos variará
segundo a taxa (7 + 6x) insetos por semana. A população atual é de 500 gafanhotos. Qual será
a população dentro de nove semanas?
Solução.
Se P (x) é a população de gafanhotos dentro de x semanas, então a derivada de P (x) é a taxa
de variação da população em relação ao tempo; isto é, P ′(x) = (7 + 6x).
Por outro lado; P (x) =
∫
P ′(x)dx =
∫
(7 + 6x)dx = 7x+ 3x2 + C.
Quando x = 0 tem-se a população atual; assim P (0) = 7(0)+3(02)+C = 500 então C = 500
e P (x) = 7x+ 3x2 + 500.
Daqui a nove semanas a população será P (9) = 7(9) + 3(9)2 + 500 = 806 gafanhotos.
Exemplo 1.26.
O lucro marginal de uma fábrica de calçados ao produzir q pares de unidades de calçados
é 200 − 4q reais por unidade. Se o lucro obtido com a produção de 100 pares de unidades é
R$500, 00, qual será o lucro máximo da fábrica?
Solução.
O lucro marginal, é a derivada do lucro L(q).
Sabe-se que o lucro marginal é L′(q) = 200− 4q então,
L(q) =
∫
L′(q)dq =
∫
(200− 4q)dq = 200q − 2q2 + C
Quando q = 100 temos que L(100) = 500 = 200(100) − 2(100)2 + C, onde C = 0; assim,
L(q) = 200q − 2q2.
Para calcular o lucro máximo, observe que L(q) = 200q− 2q2 = 2(100q− q2) = 2(502− 502 +
100q − q2) = 2[2500− (50− q)2]; o que implica q = 50 para obter lucro máximo.
Assim, quando q = 50 temos L(50) = 200(50)− 2(50)2 = 5.000, 00.
Portanto, o lucro máximo é R$5.000, 00.
Exemplo 1.27.
Calcular a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da tangente em qualquer ponto
x, é m = 4x3 + 2 e seu gráfico passa pelo ponto (−2, 10).
Solução.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 13
O coeficiente angular da tangente, é m = f ′(x) = 4x3 + 2 e f(x) é a primitiva; logo:
f(x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
(4x3 + 2)dx = x4 + 2x+ C
Para o cálculo de C consideremos o fato que o gráfico de f(x) passa pelo ponto (−2, 10); isto
é f(−2) = (−2)4 + 2(−2) + C = 10 o que implica que C = −2.
Portanto a equação desejada é f(x) = x4 + 2x− 2.
Exemplo 1.28.
Determine a função cujo gráfico possui máximo relativo em x = 2 e mínimo relativo em
x = 6, e passa pelo ponto (0, −3)
Solução.
Pelas condições de extremos, sabemos que:
f ′(2+) < 0, f ′(2−) > 0, f ′(6+) > 0 e f ′(6−) < 0
então a derivada da função tem a forma f ′(x) = (x − 2)(x − 6), logo a antiderivada f(x) =∫
(x− 2)(x− 3)dx =
∫
(x2 − 8x+ 12)dx = 1
3
x3 − 4x2 + 12x+ C.
Observe que pelo fato o gráfico da função f(x) passar por (0, −3) temos que f(0) = C = −3.
Portanto f(x) =
1
3
x3 − 4x2 + 12x− 3.
Exemplo 1.29.
Um fabricante de componentes eletrônicos constata que o custo marginal em reais (R$) da
produção de x unidades de uma peça de filmadora é dada por 40 − 0, 01x reais. Se o custo de
produção de uma unidade é 45 reais, determine a função custo, e o custo de produção de 50
unidades.
Solução.
Seja C(x) a função de custo total, então a função de custo marginal é dada pela função C ′(x);
isto é C ′(x) = 40− 0, 01x. Logo∫
C ′(x)dx =
∫
(40− 0, 01x)dx = 40x− 0, 005x2 +K
para alguma constante K; assim C(x) = 40x− 0, 005x2 +K.
Quando x = 1 (uma unidade) tem-se que C(1) = 45, logo 45 = C(1) = 40(1)−0, 005(12)+K,
onde K = 5, 005.
Portanto a função de custo total em reais é dada pela função C(x) = 40x− 0, 005x2 + 5, 005.
Em particular, quando x = 50, temos que C(50) = 40(50) − 0, 005(502) + 5, 005, o custo de
produção de 50 unidades é: R$1.992, 505.
Exemplo 1.30.
14 Integração e Funções de Várias Variáveis
Seja f(x) =| x− 1 | +x. Mostre que F (x) =

x se, x < 1x2 − x+ 1 se, x ≥ 1. é uma antiderivada
de f(x) no intervalo (−∞, +∞)
Solução.
Suponhamos x ≥ 1, então f(x) = x− 1 + x = 2x− 1, onde
∫
f(x)dx =
∫
(2x− 1)dx = x2 − x+ C1
Por outro lado, se x < 1 temos que f(x) = −(x− 1) + x = 1 onde
∫
f(x)dx =
∫
(1)dx = x+ C2
onde C1 e C2 são constantes reais arbitrárias.
Em particular, quando C1 = 1 e C2 = 0 temos que:
F (x) =

x se, x < 1x2 − x+ 1 se, x ≥ 1. é uma antiderivada de f(x) no intervalo (−∞, +∞).
Exemplo 1.31.
Considere a equação:
dy
dx
+ y = x+ 1, onde y = f(x) determine o seguinte:
a) Uma solução geral dessa equação (chamada equação diferencial).
b) Determine a solução y = f(x) que satisfaz a condição inicial f(0) = 4.
Solução. a)
Seja y função de variável x, e temos a derivar a função implícita F (x, y) = y · ex; derivando
a mesma em relação à variável x temos que F ′(x, y) =
dy
dx
· ex + y · ex.
Com esta idéia, a equação original podemos escrever na forma:
dy
dx
· ex + y · ex = ex(x+ 1), de onde resulta d(y · e
x)
dx
= ex(x+ 1).
De onde,
∫
d(y · ex)
dx
dx =
∫
ex(x+ 1)dx ⇒ y · ex =
∫
ex(x+ 1)dx.
Portanto. uma solução geral à equação é: y = e−x ·
∫
ex(x+ 1)dx
Solução. b)
Como
∫
ex(x+ 1)dx = x · ex, da solução geral temos que
y = f(x) = e−x(x · ex) + C ⇒ f(x) = x+ C · e−x
onde C ∈ R é uma constante de integração.
Em particular quando x = 0, temos que 4 = f(0) = 0 + C · e−0 = C ⇒ C = 4.
Portanto, a solução particular à equação é: y = x+ 4e−x.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 15
Exercícios 1-1
1. Determine as funções primitivas para as seguintes funções:
1. 2x8 2.
5
x
+
8
x2
3.
x6 − 7x2 + 2
x
4. 1− 2sen 2x 5. 1√
a+ bx
6. e2−5x
7.
1
3
√
7x
8.
1
cos2 3x
9.
x6 − 1
x2 − 1
2. Determine a validade das seguintes igualdades:
1.
∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan
x
3
+ C 2.
∫
x
√
2x2 + 5dx =
√
(2x+ 5)3
6
+ C
3.
∫
x3 · dx√
a2 + x4
=
√
a2 + x4
2
+ C 4.
∫
dx
(a+ bx)3
= − 1
2b(a+ bx)2
+ C
5.
∫
6x.dx
(5− 3x2)2 =
1
5− 3x2 + C 6.
∫
x(a− bx2)dx = −(a− bx
2)2
4b
+ C
7.
∫
8x · dx
3
√
x2 + 8
=
8
√
x2 + 8
3
+ C 8.
∫
x.dx
(a+ bx2)3
= − 1
4b(a+ bx2)2
+ C
9.
∫
(a+ bx)2dx =
(a+ bx)3
3b
+ C 10.
∫
x.dx
(a+ bx2)2
=
(−1)
2b(a+ bx2)
+ C
11.
∫
tan2 x.dx = tanx− x+ C 12.
∫
x(x2 + 2)2dx =
(x2 + 2)3
6
+ C
13.
∫
(
√
a−√x)2√
x
· dx = −2(
√
a−√x)3
3
+ C
14.
∫
(2x+ 3)dx√
x2 + 3x
= 2
√
x2 + 3x+ C
15.
∫
dx√
8− x2 = arcsen[
x
2
√
2
] + C
16.
∫
(
√
a−√x)2dx = ax− 4x
√
ax
3
+
x2
2
+ C
17
∫
x(2x+ 1)2dx = x4 +
4
3
x3 +
1
2
x2 + C
18.
∫ √
x(
√
a−√x)2dx = 2
3
a
√
x3 − x2√a+ 2
5
√
x5 + C
19.
∫
x(a+ bx3)2dx =
a2x2
2
+
2abx5
5
+
b2x8
8
+ C
20.
∫
xn−1
√
a+ bxndx =
2
√
(a+ bxn)3
3nb
+ C
21.
∫
(
√
a−√x)4√
x
dx = −1
2
x2 + 2x
√
ax− 3ax+ 2a√ax+ C
22.
∫
dx
x2 − 10 =
1
2
√
10
Ln | x−
√
10
x+
√
10
| +C
16 Integração e Funções de Várias Variáveis
3. Calcular as integrais dos seguintes exercícios.
1.
∫
5a2x2dx 2.
∫ √
2pxdx 3.
∫
x(x+ a)(x+ b)dx
4.
∫
(nx)
1−n
n dx 5.
∫
cot2 x.dx 6.
∫
(
√
x+ 1)(x−√x+ 1)dx
7.
∫
dx√
4 + x2
8.
∫
(xm − xn)2√
x
dx 9.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 dx
10.
∫
dx
x2 + 7
11.
∫
a.dx
a− x 12.
∫
x2 + 5x+ 7
x+ 3
dx
13.
∫
ax+ b
αx+ β
14.
∫
1− 3x
3 + 2x
dx 15.
∫
(a+
b
x− a)
2dx
16.
∫
b.dy√
1− y 17.
∫
x.dx√
x2 + 1
18.
∫
(6x2 + 8x+ 3)dx
19.
∫
3xexdx 20.
∫
dx
3x2 + 5
21.
∫
(a+ bx3)2dx
22.
∫
1
n
√
x
dx 23.
∫
(
3
√
a2 − 3
√
x2)3dx 24.
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
3
√
x2
dx
4. Sejam a e b constantes reais tais que a 6= b, determine a antiderivada para as seguintes
funções:
1. sen (ax)sen (bx) 2. cos(ax) cos(bx) 3. sen (ax) cos(bx)
5. Mostre, calculando de duas maneiras, que:∫
tanx. sec2 x.dx =
1
2
tan2 x+ C1 =
1
2
sec2 x+ C2
6. Mostre, calculando de três maneiras distintas, que:∫
sen x. cosx.dx =
1
2
sen 2x+ C1 = −1
2
cos2 x+ C2 =
1
4
cos 2x+ C3
7. O preço de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo. Quando o
carro tiver x anos de uso, a taxa de variação de seu valor será 200(x− 9) reais por ano. Se
hoje o carro foi comprado por 12.000, 00 reais, qual será o custo do carro dentro de cinco
anos?
8. Determine uma função y = f(x) que satisfaz
dy
dx
=
x+ 6x2√
y
e passe pelo ponto (2, 4).
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 17
1.3 Métodos de Integração.
Antes do estudo dos métodos de integração, é bom notar a diferença entre operações de
derivação e integração indefinida.
Uma função elementar é aquela que obtém-se mediante um número finito de operações de
adição, subtração, multiplicação, divisão, e composição de funções como por exemplo: as funções
constantes; a função potência y = xn; a função exponencial y = ax; as funções logarítmicas;
trigonométricas e trigonométricas inversas.
Dada uma função elementar sua derivada conserva esta propriedade; isto é sua derivada
também expressa-se como uma função elementar, entanto na integral indefinida, isto somente
sucede em condições muito especiais. De fato é possível escrever integrais relativamente simples
como por exemplo:∫
ex
2
dx
∫
e−x
2
dx
∫
sen x
x
∫
tanx
x
dx∫
dx
Lnx
∫ √
1 + x3dx
∫
sen x2.dx
∫
cosx2.dx
as quais não podem ser expressas como “ combinações finitas"de funções elementares. Do ponto
de vista prático, a integração se apresenta como uma operação um tanto mais complicada que
a derivação; entanto tínhamos regras gerais de derivação, para a integração somente é possível
fazer artifícios que são válidos para grupos mais ou menos restritos de funções. Para cada caso
particular precisamos uma tentativa, um ensaio pelo que se recomenda prática, mais prática e
mais prática.
1.3.1 Integração por Substituição.
Algumas integrais inicialmente são difíceis de calcular. Uma idéia é transforma-as mediante
uma substituição algébrica com uma conveniente mudança de variável, que as reduz em integrais
muitas mais simples. Intuitivamente explicarei a técnica de substituição mediante o seguinte
roteiro:
1) Escreva a integral a calcular I =
∫
f(x)dx
2) Proponha uma substituição da forma u = u(x). Em geral é melhor escolher a parte interna
de uma função composta.
3) Depois nossa intenção será achar a função inversa de u(x), isto é tem-se que achar x = x(u).
4) Calcule o diferencial dx = x′(u)du.
5) Escreva as substituições apropriadas
∫
f(x)dx =
∫
f(u(x))u′(x)dx.
6) Confira depois de simplificações algébricas que o cálculo da nova integral é mais simples que
a inicial 1). (Caso contrário proponha outra substituição em 2).
18 Integração e Funções de Várias Variáveis
7) Não esqueça que a resposta para
∫
f(x)dx é uma função de variável x. Então uma vez que
você terminou seus cálculos, você deveria substituir parta obter na variável inicial x.
Observação 1.2.
a) Em geral, se a substituição éboa, você pode não precisar de 3). Calcule o diferencial de
u = u(x), para obter du = u′(x)dx, logo substitua a variável u = u(x) na nova integral.
Você deveria ter certeza que a variável x desapareceu da integral original.
b) Uma boa substituição às vezes é difícil de achar no inicio. Então não recomendamos não
perder muito tempo no passo 2). Depois de alguma prática você pode começar a ter um
bom palpite para a melhor substituição.
Exemplo 1.32.
Calcule I =
∫
x(x2 + 5)75dx
Solução.
Está claro que, se nós desenvolvemos o (x2 +5)75 mediante a fórmula de binômio, acharemos
uma função polinomial fácil de integrar. Mas está claro, que isto levará muito tempo com
possibilidade de cometer erros de cálculo.
Considerasse a substituição u = x2 + 5 (a razão é a presença de x na integral).
Então temos du = 2xdx e I =
∫
x(x2 + 5)75dx =
∫
u75
2
du; podemos conferir que a nova
integral é mais fácil calcular, conseqüentemente
I =
∫
u75
2
du =
u76
152
+ C
que não completa a resposta desde que, a integral indefinida não é uma função de x é de variável
u = u(x).
Então, temos que substituir u através de u(x) ; onde I =
∫
x(x2+5)75dx =
1
125
(x2+5)76+C.
O método de “integração por substituição”, também conhecida como o método da “integração
por mudança de variável" tem seu princípio fundamental na derivação da função composta.
Dada a função f : A −→ R, queremos calcular
∫
f(x)dx.
Propriedade 1.4.
Suponhamos que escrevemos x = h(t) onde h : B −→ A é uma função com derivada h′(t) 6=
0 ∀ t ∈ B. Se a função g(t) = f(h(t)).h′(t) ∀ t ∈ B admite uma primitiva G em B, isto é
G′(t) = g(t) = f(h(t)).h′(t) então:
∫
f(x)dx =
∫
f(h(t))h′(t)dt =
∫
g(t)dt = G(t) + C = G(h−1(x)) + C (1.2)
Demonstração.
Para mostrar, é necessário que as derivadas respeito da variável x, da igualdade (1.2) sejam
idênticas.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 19
Com efeito, temos que:
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x)
Por outro lado, como h′(t) 6= 0 ∀ t ∈ B então h(t) > 0 ou h(t) < 0 logo h(t) é estritamente
crescente ou decrescente em B assim h(t) admite função inversa t = h−1(x) onde h−1 : A −→ B
e
dt
dx
=
1
dx
dt
.
Pela regra da cadeia
dy
dx
=
dy
dt
· dt
dx
por tanto, na parte da direta da igualdade (1.2) segue
que:
d
dx
[
∫
f(h(t))h′(t)dt] =
d
dt
[
∫
f(h(t))h′(t)dt] · dt
dx
=
= f(h(t)) · h′(t) · dt
dx
= f(h(t)) · h′(t) · 1
dx
dt
=
= f(h(t)) · h′(t) · 1
h′(t)
= f(h(t)) = f(x)
As outras igualdades são evidentes.
Observação 1.3.
a) Resumindo os resultados obtido, se na integral
∫
f(x)dx substituímos x = h(t) e como
dx = h′(t)dt, verifica-se
∫
f(x)dx =
∫
f(h(t))h′(t)dt.
b) Aqui entendemos que a função h(t) satisfaz as condições indicadas anteriormente e, depois
da integração a variável t será substituída por sua expressão na variável original x, con-
siderando que, x = h(t).
c) A eleição da função x = h(t) deve ser feita de modo que seja possível calcular a integral
indefinida em função da variável t.
d) Existem alguns casos onde é preferível utilizar a substituição t = g(x) e dt = g ′(x)dx como
mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 1.33.
Calcule I =
∫
5(x5 + 2)3x4dx
Solução.
Considere t = (x5 + 2), então dt = 5x4dx, logo
I =
∫
5(x4 + 2)3x4dx =
∫
t3.dt =
1
4
t4 + C =
1
4
(x5 + 2)4 + C
.
Portanto, I =
∫
5(x4 + 2)3x4dx =
1
4
(x5 + 2)4 + C.
20 Integração e Funções de Várias Variáveis
Exemplo 1.34.
Calcule I =
∫
x
√
2x+ 2dx
Solução.
Considere u = 2x+ 2, então du = 2dx, e x =
u− 2
2
logo:
I =
∫
x
√
2x+ 2dx =
∫
[
u− 2
2
]
√
u
du
2
=
1
4
∫
[
√
u3 − 2√u]du = 1
4
[
2
5
√
u5 − 4
3
√
u3
]
+ C.
Substituindo u = 2x+ 2, tem-se que I =
1
4
[
2
5
√
(2x+ 2)5 +
4
3
√
(2x+ 2)3
]
+ C.
Portanto, I =
∫
x
√
2x+ 2dx =
1
10
√
(2x+ 2)5 +
1
3
√
(2x+ 2)3 + C.
Exemplo 1.35.
Considere-se a 6= 0, calcule I =
∫
cos(ax+ b)dx
Solução.
I =
∫
cos(ax+ b)dx =
1
a
sen (ax+ b) + C.
Exemplo 1.36.
Calcule I =
∫
(2x+ 1)20dx
Solução.
I =
∫
(2x+ 1)20dx =
1
42
(2x+ 1)21 + C.
Observação 1.4.
a) Considere a 6= 0, ao determinar a integral
∫
f(ax + b)dx podemos omitir a substituição
u = ax+b; é suficiente considerar dx =
1
a
d(ax+b) e deste modo obter a integral
∫
f(ax+
b)dx =
1
a
F (ax+ b) + C onde F é a primitiva de f(x).
b) Em geral se uma função a integrar é o produto de dois fatores um dos quis depende de certa
função g(x) e o outro é a derivada de g(x) (com precisão ate o fator constante), então é
conveniente efetuar a substituição g(x) = u.
Exemplo 1.37.
Calcule I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx
Solução.
I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx =
∫
arcsen
√
x√
x · √1− xdx.
Seja a substituição u = arcsen
√
x, então du =
1√
1− (√x)2 ·
dx
2
√
x
Logo, I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx =
∫
arcsen
√
x√
x · √1− xdx =
∫
2arcsen
√
x√
1− x · 2√xdx = 2
∫
u.du =
u2 + C = (arcsen
√
x)2 + C.
Portanto I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx = (arcsen
√
x)2 + C.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 21
Exemplo 1.38.
Calcule I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx
Solução.
Considere u = ex ·cos(e−x), então du = [ex ·cos(e−x)+(ex)sen (e−x) · (e−x)]dx = [sen (e−x)+
ex · cos(e−x)]dx, logo na integral original temos que
I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx =
∫
du = u+ C = ex · cos(e−x) + C
Portanto, I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx = ex · cos(e−x) + C.
Exemplo 1.39.
Calcule I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx
Solução.
Considere u = (1 + senh2x), então du = 2senhx · coshx · dx; logo:
I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx =
1
2
∫
2senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx =
=
1
2
∫
du
u3
= − 1
4
u−2 + C = − 1
4(1 + senh2x)2
+ C
Portanto, I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx = − 1
4(1 + senh2x)2
+ C.
Exemplo 1.40.
Calcule I =
∫
sen 3
√
x
3
√
x2
dx
Solução.
Considere u = 3
√
x, isto é u3 = x então 3u2du = dx logo, I =
∫
sen 3
√
x
3
√
x2
dx =
∫
3u2 · sen u
u2
du =
− cosu+ C = − 3 cos 3√x+ C.
Exemplo 1.41.
Calcular a seguinte integral: I =
∫
e2x√
1 + ex
dx.
Solução.
Suponhamos u = ex ⇒ du = exdx, logo na integral:
I =
∫
e2x√
1 + ex
dx =
∫
u√
1 + u
du =
∫
(1 + u)− 1√
1 + u
du =
I =
∫ √
1 + u du−
∫
du√
1 + u
= I1 − I2
Calculando cada uma destas últimas integrais:
I1 =
∫ √
1 + u du =
2
3
(
√
1 + u)3 =
2
3
(
√
1 + ex)3
22 Integração e Funções de Várias Variáveis
I2 =
∫
du√
1 + u
= 2
√
1 + u = 2
√
1 + ex
Portanto, I =
∫
e2x√
1 + ex
dx =
2
3
(
√
1 + ex)3 − 2√1 + ex + C.
Exemplo 1.42.
Calcule I =
∫ √2 + √2 + √2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx
Solução.
Sabe-se que cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
logo, 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ. Observe que:
√
2 +
√
2 +
√
2 + 2 cos(5
√
x+ 1) =
√
2 +
√
2 +
√
2[1 + cos(5
√
x+ 1)] =
=
√√√√√2 +
√√√√2 +
√
4 cos2
[
(5
√
x+ 1)
2
]
=
√
2 +
√
2 + 2 cos(
5
√
x+ 1
2
) =
=
√
2 +
√
2[1 + cos(
5
√
x+ 1
2
)] =
√√√√2 +
√
4 cos2
[
5
√
x+ 1
4
]
=
=
√
2 + 2 cos(
5
√
x+ 1
4
) =
√
2[1 + cos(
5
√
x+ 1
4
)] =
=
√
4 cos2
[
5
√
x+ 1
8
]
= 2 cos(
5
√
x+ 1
8
)
Seja u =
5
√
x+ 1
8
então, du =
5 · dx
16
√
x
, assim na integral original tem-se:
I =
∫ √2 + √2 + √2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx =
32
5
∫
cosu · du = 32
5
sen u+ C
Portanto, I =
∫ √2 + √2 + √2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx =
32
5sen
[
5
√
x+ 1
8
]
+ C.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 23
Exercícios 1-2
1. Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras:
1.
∫
(
√
x+ 5)dx =
2
3
√
x3 + 5x+ C 2.
∫
senhx.dx
(1 + coshx)4
= − 1
3(1 + coshx)3
3.
∫
e
√
x · 3e
√
x
dx√
x
=
2(3e
√
x
)
Ln3
+ C 4.
∫
cos(7x+ 4)dx =
1
7
sen (7x+ 4) + C
5.
∫
e2x−5dx =
1
2
e2x−5 + C 6.
∫
18dx
9x2 − x4 = −
2
x
+
2
3
Ln[
x+ 3
x− 3] + C
7.
∫
4xex · dx = (4e)
x
1 + Ln4
+ C 8.
∫
7x2 + 16
x4 + 4x2
dx =
3
2
arctan[
x
2
]− 4
x
+ C
9.
∫
dx
1 + cos 10x
=
tan 5x
10
+ C 10.
∫
dx
cos2(1− 4x) = −
1
4
tan(1− 4x) + C
11.
∫
dx
xLn2x
= − 1
Lnx
+ C 12.
∫ 5√x2 − 2x+ 1
1− x dx = −
5
2
5
√
(x− 1)2 + C
13.
∫
[Lnx+ 1].ex.Lnxdx = xx + C 14.
∫
2x · 3x+1
5x+2
dx =
3
25
(
6
5
)x(
1
Ln6− Ln5) + C
15.
∫
sen x · etan2 x
cos3 x
dx =
1
2
etan
2 x + C 16.
∫ √
x(x+ 1)dx =
2
√
x5
5
+
2
√
x3
3
+ C
17.
∫
7dx√
5− x2 = 7arcsen[
x√
5
] + C 18.
∫
3dx
x2 + 4x− 5 =
1
2
Ln[
x− 1
x+ 5
] + C
19.
∫
dx
1 + sen x
= tanx− sec+C 20.
∫
xdx
x2(x2 − 8) = Ln
16
√
x2 − 8
x2
+ C
21.
∫
x2x(1 + Lnx)dx =
x2x
2
+ C 22.
∫
cos3 x.dx
1− sen x = sen x+
sen 2x
2
+ C
23.
∫
dx
sen 2x( 3
√
cotx− 1 =
−3 3√(cotx− 1)2
2
+ C
24.
∫
4 · dx√−4x2 − 20x− 9 = 2arcsen[
2x+ 5
4
] + C
25.
∫ √
−4x2 − 12x− 5 · dx = 1
4
[(2x+ 3)
√
−4x2 − 12x− 5 + 4arcsen(2x+ 3
2
)] + C
26.
∫
dx√
(1 + x2)Ln(x+
√
1 + x2)
= 2
√
Ln(x+
√
1 + x2) + C
27.
∫
earctan x + xLn(x2 + 1) + 1
1 + x2
· dx = earctan x + 1
4
Ln2(x2 + 1) + arctanx + C
28.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 · dx = arcsen(
x√
2
)− arcsenh( x√
2
) + C
29.
∫
dx√
x− 1 +√x+ 1 =
1
3
[(
√
(x+ 1)3 −
√
(x− 1)3] + C
2. Calcular as seguintes integrais utilizando regras principais e fórmulas de integração.
1.
∫
sen 2x · dx 2.
∫
sec2(ax+ b)dx 3.
∫
tan
√
x√
x
dx
24 Integração e Funções de Várias Variáveis
4.
∫
senh2x · dx 5.
∫
dx
coshx
6.
∫
tanhx · dx
7.
∫
dx
sen xa
8.
∫
dx
sen (ax+ b)
9.
∫
xsen (1− x2)dx
10.
∫
tanx · dx 11.
∫
dx
sen x cosx
12.
∫
cot(
x
a− b)dx
13.
∫
sen 36x · cos 6x · dx 14.
∫
sen 2x · cos 6x · dx 15.
∫ √
tanx
cos2 x
dx
16.
∫
sen 3x · dx
3 + cos 3x
17.
∫
1 + sen 3x
cos2 3x
dx 18.
∫
csc2 3x
b− a · cot 3xdx
19.
∫
x
5
√
5− x2dx 20.
∫
x3 · dx
x8 + 5
21.
∫
3−√2 + 3x2
2 + 3x2
dx
22.
∫ √
a− bxdx 23.
∫
x2
x2 + 2
dx 24.
∫
x2 + 1
x− 1 dx
25.
∫
2x+ 3
2x+ 1
dx 26.
∫
x2 − 5x+ 6
x2 + 4
dx 27.
∫
dx√
7− 5x2
28.
∫
dx
7x2 − 8 29.
∫
x
(x+ 1)2
dx 30.
∫
3− 2x
5x2 + 7
dx
3. Determine o valor das seguintes integrais mediante mudança da variável apropriada:
1.
∫
sen ax · sen bx · dx 2.
∫
cos ax · cos bx · dx 3.
∫
sen ax · cos bx · dx
4.
∫
sen 3x · cosx · dx 5.
∫
x
ax+ b
dx 6.
∫
x
√
1 + x2dx
7.
∫
x2
x3 − adx 8.
∫
sen x
cos2 x
dx 9.
∫
x(a+ bx2)3dx
10.
∫
tanx
cos2 x
dx 11.
∫
(Lnx)p
x
dx 12.
∫
ex
1 + e2x
dx
13.
∫
ex
1 + ex
dx 14.
∫
cosx · dx
a+ bsen x
15.
∫
arcsenx√
1− x2dx
16.
∫
(3x− 1)dx
3x2 − 2x+ 5 17.
∫
dx
x(1 + Lnx)3
18.
∫
cosx
1 + sen 2x
dx
19.
∫
dx
x
√
1− Ln2x
20.
∫
dx√
x cos2(
√
x)
21.
∫
sen 2x
1 + cos2 x
dx
22.
∫
cos(Lnx)
x
dx 23.
∫
cosx · √1 + sen x · dx 24.
∫
sen x · cosx
1 + cos2 x
dx
25.
∫
cotx · dx 26.
∫
(3x2 − 6x)3(x− 1)dx 27.
∫
x · e1+x2dx
28.
∫
dx√
1 + x
29.
∫
sen x+ cosx
3 + sen 2x
dx 30.
∫
dx√
1− x2
31.
∫ √
x · dx√
a3 − x3 32.
∫
dx
(x+ 1)
√
x
33.
∫
x2√
1 + x6
· dx
34.
∫ √
a− x√
x
dx 35.
∫
x2 · dx
a6 − x6
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 25
4. Calcular as integrais dos seguintes exercícios:
1.
∫
x3
a2 − x2dx 2.
∫
dx√
7 + 8x2
dx 3.
∫
dx
(a+ b)− (a− b)x2 0 < b < a
4.
∫
2x− 5
3x2 − 2dx 5
∫
3x+ 1√
5x2 + 1
dx 6.
∫
x
x2 − 5dx
7.
∫
ax+ b
a2x2 + b2
dx 8.
∫
x2
1 + x6
dx 9.
∫ √
arcsenx
1− x2 · dx
10.
∫
x
√
e
x2
dx 11.
∫
a · e−mxdx 12.
∫
(et − e−t)dt
13.
∫
(ax − bx)2
ax · bx dx 14.
∫
x · e(x2+1)dx 15.
∫
x−√arctan 2x
1 + 4x2
dx
16.
∫
ex
ex − 1dx 17.
∫
ax · dx
1 + a2x
18.
∫
3
√
( a
√
ex + 1) · a√exdx
19.
∫
et
1− e2t dt 20.
∫
cos(
x√
5
)dx 21.
∫
(cos
√
x)√
x
dx
5. Resolver as seguintes integrais:
1.
∫
x− arctan 2x
1 + 4x2
dx 2.
∫
Ln(Lnx)
x · Lnx dx 3.
∫
dx
2x + 3
4.
∫
dx√
ex − 1 5.
∫
sen x · cosx · dx√
2− sen 4x 6.
∫
dx
4 + 5sen 2x
7.
∫
dx
4 + 5 cos2 x
8.
∫
dx
ex + 4
9.
∫
Ln3x · dx
x · Ln5x
10.
∫ √
Ln(x+
√
x2 + 1)
1 + x2
dx 11.
∫ √
1 + sen xdx 12.
∫ √
1 + cosxdx
13.
∫
dx
e−x + ex
14.
∫
dx√√
x+ 1
15.
∫
arctan
√
x√
x+ 2x2 + x3
dx
16.
∫
(x−2)dx
x
√
x− 1 · √x2 − x+ 1 17.
∫
sen 8x · dx
9 + sen 44x
18.
∫
csc3 x · dx
19.
∫
(2ex + e−x)dx
3ex − 4e−x 20.
∫
Lnx · dx
x3(Lnx− 1)3 21.
∫
x · dx
(x− 1)5e4x
22.
∫
ex
√
ex + 2 · dx
6 + ex
23.
∫
cos2 x(tan2 x+ 1)
(sen x+ cosx)2
dx 24.
∫
(1 + tanx)dx
sen 2x
25.
∫
dx
eLn(2x)
√
Lnx+
√
Lnx+
√
Lnx+ . . .+∞ − x
26.
∫
sec3 x · dx
27.
∫
x2sen x−1(sen x+ x · cosx · Lnx)dx 28.
∫
x5 · dx
x3 − 8
29.
∫
(cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10)dx
cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cosx
6. Uma função contínua, real de variável real satisfaz as seguintes condições : f(1) = 0 e
f ′(x) =
x+ | 1− x |
x2 + 1
. Achar f(x).
26 Integração e Funções de Várias Variáveis
7. Determine a equação da curva para o qual y′ =
4
x3
é tangente à reta 2x+ y = 5 no ponto
(1, 3).
8. Determine a equação da curva y = f(x) cuja tangente no ponto (0, 2) é horizontal e
tenha como ponto inflexão (−1, 2
3
) e satisfaz y′′′ = 4 .
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 27
1.3.2 Método de Integração por Partes.
Um estudante muitas vezes se engana, pensa que a solução da integral
∫
f(x) · g(x)dx é da
forma
∫
f(x)dx ·
∫
g(x)dx; isto é, pensa que
∫
f(x) · g(x)dx =
∫
f(x)dx ·
∫
g(x)dx.
Para se convencer que isto esta errado por um instante suponha que f(x) = x e g(x) = 1 e
você obterá um absurdo.
Uma resposta parcial para este problema é determinada pelo que é chamado de “integração
por partes”. Para entender esta técnica, lembre a fórmula de derivação:
d(u(x) · v(x))
dx
=
du(x)
dx
· v(x) + u(x) · dv(x)
dx
aplicando diferenciais resulta: u(x) · v(x) =
∫
u′(x) · v(x)dx+
∫
u(x) · v′(x)dx
Então se uma das duas integrais
∫
u′(x)v(x)dx ou
∫
u(x)v′(x)dx é fácil calcular, podemos
usar este resultado para adquirir a outra. Esta é a idéia principal de “integração por partes”.
Intuitivamente explicarei esta técnica.
1) Escreva a integral a calcular: I =
∫
f(x) · g(x)dx onde você identifica as duas funções f(x)
e g(x). Note que somente uma função estará determinada (por exemplo suponha f(x)),
então fixe a segunda a ser determinada (neste caso séria g(x)).
2) Introduza as funções intermediárias u(x) e v(x) na forma u = f(x) e dv = g(x)dx.
Então precisamos da derivada de f(x) e de integrar g(x)dx para obter: du = f ′(x)dx e
v =
∫
g(x)dx . Note que neste passo, você tem a escolha se diferenciar f(x) ou g(x).
3) Use a fórmula
∫
u(x)dv = u(x)· v(x) −
∫
v(x)du
4) Temos que calcular a nova integral
∫
v(x)du
O primeiro problema que a pessoa enfrenta lidando com esta técnica é a escolha a ser utilizada
no passo 2); não há nenhuma regra geral para seguir; na verdade é uma questão de experiência.
Observe o seguinte exemplo:
Exemplo 1.43.
Calcule I =
∫
Lnx · dx
Solução.
Podemos supor u = Lnx e dv = dx, então du =
1
x
dx e v =
∫
1·dx = x, logo I =
∫
Lnx·dx =
x · Lnx−
∫
1
x
dx = x · Lnx− x+ C.
Portanto, I =
∫
Lnx · dx = x · Lnx− x+ C. �
Formalmente; sejam u e v duas funções definidas e deriváveis num intervalo da reta R, pela
regra do diferencial de um produto tem-se: d(u · v) = u · dv + v · du logo, u · dv = u · v − v · du;
28 Integração e Funções de Várias Variáveis
integrando esta última expressão resulta:∫
u · dv = u · v −
∫
v · du
Esta fórmula é conhecida como “fórmula de integração por partes”. Na prática esta fórmula
é bastante útil e consiste em expressar o elemento de integração como o produto de dois fatores;
de uma função u = u(x) e do diferencial de uma função v = v(x) denotado por dv, de modo que
determina-se a função v do diferencial dv, e o cálculo da nova integral
∫
v · du constituem em
conjunto um problema simples que o cálculo da integral
∫
u ·dv; esta fórmula pode ser utilizada
mais de uma vez na solução de uma integral.
Para decompor o elemento de integração dado em dois fatores u e dv, normalmente traba-
lhamos com nossa função u = u(x) como aquela que simplifica-se com a derivação; por exemplo,
nais integrais que aparecem alguma destas funções xn (n ∈ N), Lnx, arcsenx, arcsenhx; etc.,
considera-las como u(x). Isto não é regra geral, na prática a habilidade e a experiência de quem
calcula é a melhor ferramenta.
Observação 1.5.
• Quando determinamos a função v do diferencial dv, não é necessário considerar a constante
de integração C, se ao invés da função v considera-se v + C onde C é constante, então:∫
u · dv = u · (v + C) −
∫
(v + C) · du = u · v −
∫
v · du
Logo, não é necessário considerar essa constante C.
Exemplo 1.44.
Calcule I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx
Solução.
Seja u = x2 + 3x− 1 e dv = e2xdx, então du = (2x+ 3)dx e v = e2x, logo
I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx = (x2 + 3x− 1)e2x − 1
2
∫
e2x(2x+ 3)dx (1.3)
Considere-se em (1.3) a integral J =
∫
e2x(2x + 3)dx, u = 2x + 3 e dv = e2xdx, então
du = 2dx e v = 12e
2x, assim, J =
1
2
e2x(2x+3)−
∫
e2xdx =
1
2
e2x(2x+3) =
1
2
e2x(2x+3)− 1
2
e2x =
1
2
e2x(2x+ 2) = e2x(x+ 1).
Em (1.3) tem-se I =
1
2
(x2 + 3x− 1)e2x − 1
2
e2x(x+ 1) + C.
Portanto, I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx = 1
2
e2x(x2 + 2x+ 1) + C.
Exemplo 1.45.
Calcule I =
∫
x · Lnx · dx
Solução.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 29
Considere-se u = Lnx e dv = x.dx; então du =
1
x
dx e v =
x2
2
; logo I =
x2
2
Lnx−
∫
1
x
·x
2
2
·dx =
x2
2
Lnx− 1
2
∫
x · dx = 1
2
[x2Lnx− x
2
2
] + C.
Portanto, I =
1
2
[x2Lnx− x
2
2
] + C.
Exemplo 1.46.
Calcule I =
∫
x2 · ex · dx
Solução.
Seja u = x2 e dv = ex · dx; então du = 2xdx e v = ex; logo I =
∫
x2 · ex · dx =
x2 · ex − 2
∫
x · ex · dx. Conseguimos diminuir o grau do polinômio de x em uma unidade. Para
calcular J =
∫
x · ex · dx aplicamos mais uma vez integração por partes. Considere-se u = x e
dv = exdx, então du = dx e v = ex; logo J = x · ex −
∫
ex · dx = x · ex − ex.
Portanto tem-se: I =
∫
x2 · ex · dx = ex[x2 − 2x+ 2] + C.
Observação 1.6.
Suponha temos uma integral da forma
∫
u · dv.
a) Para as integrais do tipo
∫
P (x)eaxdx,
∫
P (x)sen ax · dx,
∫
P (x) cos ax · dx onde P (x) é
um polinômio, recomenda-se considerar u = P (x) e dv = ? como uma das expressões
eaxdx, sen (ax)dx ou cos(ax)dx respectivamente.
b) Para as integrais do tipo
∫
P (x)Lnx · dx,
∫
P (x)arcsenax · dx,
∫
P (x) arccos ax · dx
recomenda-se considerar a função u como uma das funções Lnx, arcsenx ou arccosx
e dv = P (x)dx.
Exemplo 1.47.
Calcule I =
∫
x · sen 2x · dx
Solução.
Seja u = x e dv = sen 2x · dx então du = dx e v =
∫
sen 2x · dx =
∫
1− cos 2x
2
dx =
x
2
− sen 2x
4
; logo I =
∫
x · sen 2x · dx = x[x
2
− sen 2x
4
]− [
∫
x
2
− sen 2x
4
dx] =
x
4
[2x− sen 2x]−
x2
4
− cos 2x
8
=
1
8
[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.
Portanto, I =
∫
x · sen 2x · dx = 1
8
[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.
Exemplo 1.48.
Calcule I =
∫
x · sen x · dx
Solução.
30 Integração e Funções de Várias Variáveis
Se u = x e dv = senx · dx, então du = dx e v = − cosx; logo I =
∫
x · sen x · dx =
−x · cosx+
∫
cosx · dx := −x · cosx+ sen x+ C.
Portanto, I =
∫
x · sen x · dx = − x · cosx+ sen x+ C.
Suponha a solução de outro modo, se escolhemos u = sen x e dv = x ·dx então du = cosx ·dx
e v =
1
2
x2 e
I =
∫
x · sen x · dx = 1
2
x2sen x− 1
2
∫
x2 cosx · dx
de onde teríamos a resolver uma integral mais complexa que a inicial, pois o grau de x haveria
sido aumentado em uma unidade.
Exemplo 1.49.
Calcule I =
∫
exsen x · dx
Solução.
Considere-se u = ex e dv = sen x · dx; então du = exdx e v = − cosx; logo
I =
∫
exsen x · dx = − ex cosx−
∫
ex(− cosx)dx = ex +
∫
ex · cosx · dx (1.4)
Observe em (1.4) que, J =
∫
exsen x · dx também é uma integral por partes; seja u = ex e
dv = cosx · dx, então u = ex e v = sen x. Assim a integral J =
∫
ex cosx · dx = exsen x −∫
exsen x · dx = exsen x− I
Em (1.4) temos que I =
∫
exsen x · dx = − ex cosx + J = − ex cosx + exsen x − I, logo
2I = ex(senx− cosx).
Portanto, I =
∫
exsen x · dx = 1
2
ex(sen x− cosx) + C.
Exemplo 1.50.
Discuta a aplicação da fórmula de integração por partes na solução da seguinte integral:
Seja I =
∫
1
x
· dx, considere u = 1
x
e dv = dx, logo du = − 1
x2
dx e v = x, assim I =∫
1
x
· dx = 1
x
· x −
∫
x · (− 1
x2
) · dx = 1 +
∫
1
x
· dx = 1 + I, então I = 1 + I.
Portanto, 0 = 1.
Exemplo 1.51.
Deduzir a fórmula de recorrência para a integral In =
∫
dx
(x2 + d2)n
Solução.
Observe que: In =
∫
dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
∫
(d2 + x2 − d2)dx
(x2 + d2)n
=
=
1
d2
∫
dx
(x2 + d2)n−1
− 1
d2
∫
x2 · dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
In−1 − 1
d2
J
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 31
isto é:
In =
∫
dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
In−1 − 1
d2
J (1.5)
onde J =
∫
x2 · dx
(x2 + d2)n
=
∫
x · x · dx
(x2 + d2)n
Seja u = x e dv =
x · dx
(x2 + d2)n
então du = dx e v = − 1
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 logo
J = − x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + d2)n−1
Em (1.5), In =
1
d2
In−1 − 1
d2
[
− x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + d2)n−1
]
=
In =
1
d2
In−1 − 1
d2
[− x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)In−1] =
=
x
2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
2n− 3
d2(2n− 2)In−1
Portanto, In =
x
2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
2n− 3
d2(2n− 2)In−1
Quando n = 2 obtém-se a integral I2 por meio de funções elementares. Quando n = 3
conseguimos a integral I3 que depende da integral já calculada I2. Em geral podemos calcular
In para qualquer inteiro n positivo.
Exemplo 1.52.
Suponha que a integral
∫
e2x cos 2x · dx = 1
4
e2x(cos 2x + sen 2x). Determine a integral I =∫
e2x cos2 x · dx.
Solução.
Considere-se a integral J =
∫
e2xsen 2x · dx, então temos que:
I + J =
∫
e2x cos2 x · dx+
∫
e2xsen 2x · dx =
I + J =
∫
e2x · dx = 1
2
e2x. (1.6)
Por outro lado do dado do problema temos que:
I − J =
∫
e2x cos2 x · dx−
∫
e2xsen 2x · dx =
∫
e2x cos 2x · dx =
I − J = 1
4
e2x(cos 2x+ sen 2x) (1.7)
De (1.6)) e (1.7) segue que I =
∫e2x cos2 x · dx = 1
8
e2x(2 + cos 2x+ sen 2x).
Exemplo 1.53.
32 Integração e Funções de Várias Variáveis
Determine se, a seguinte igualdade é verdadeira:
∫
dx√
2x+ 1−√x = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C
Solução.
Entanto estamos aprendendo a integrar, o melhor método é derivar a parta à direita da
igualdade. Sendo a derivada de uma soma de funções igual à soma das derivadas mas mesmas
temos:
f1(x) =
√
2x+ 1 +
√
x ⇒ f ′1(x) =
2
2
√
2x+ 1
+
1
2
√
x
=
2
√
x+
√
2x+ 1
2
√
x
√
2x+ 1
f2(x) = arctan
√
2x+ 1 ⇒ f ′2(x) =
1
(
√
2x+ 1)2 + 1
· 2
2
√
2x+ 1
=
=
1
2(x+ 1)
√
2x+ 1
f3(x) = arctan
√
x ⇒ f ′3(x) =
1
(
√
x)2 + 1
· 1
2
√
x
=
1
2(x+ 1)
√
x
Logo, se F (x) = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C, sua derivada é:
F ′(x) = 2(
2
√
x+
√
2x+ 1
2
√
x
√
2x+ 1
)− 2
[
1
2(x+ 1)
√
2x+ 1
+
1
2(x+ 1)
√
x
]
Assim, F ′(x) =
2
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
− 1
(x+ 1)
[√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
]
⇒
F ′(x) =
1√
x
√
2x+ 1(
√
x−√2x+ 1)
[
(2
√
x+
√
2x+ 1)(
√
x−√2x+ 1) + 1]
F ′(x) =
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
[
1− 1
x+ 1
]
=
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
· x
x+ 1
De onde:
F ′(x) =
1√
2x+ 1−√x
Portanto, a igualdade
∫
dx√
2x+ 1−√x = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C
é verdadeira.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 33
Exercícios 1-3
1. Mediante integração por partes, resolver as seguintes integrais indefinidas:
1.
∫
Lnx · dx 2.
∫
x2Lnx · dx 3.
∫
xpLnx · dx
4.
∫
Lnx
x3
dx 5.
∫
Ln(Lnx)
x
dx 6.
∫
Ln(x+
√
1 + x2)dx
7.
∫
x · Ln(x− 1
x+ 1
)dx 8.
∫
e−x cos2 x · dx 9.
∫
x · cosx
sen 2x
dx
10.
∫
x · sen x · dx 11.
∫
x · cosx · dx 12.
∫
sen (Lnx)dx
13.
∫
x · eaxdx 14.
∫
x · 2−xdx 15.
∫
x · sen x · cosx · dx
16.
∫
arcsenx · dx 17.
∫
arctanx · dx 18.
∫
coshx · senhx · dx
19.
∫
arcsenhx · dx 20.
∫
x2 arctanx · dx 21.
∫
x · arctanx · dx
22.
∫
e
√
xdx 23.
∫
x(arctanx)2dx 24.
∫
(x2 − 2x+ 5) · e−xdx
25.
∫ √
a2 − x2dx 26.
∫
arcsenx
x2
dx 27.
∫
cosx · Ln(1 + cosx) · dx
28.
∫
x · dx
cos2 x
29.
∫
x · tan2 x · dx 30.
∫
(x3 + 5x2 − 2)e2xdx
31.
∫ √
x2 + a2 · dx 32.
∫ √
x2 − a2dx 33.
∫ √
x2 + 2x+ 5 · dx
34.
∫ √
x(3x− 2)dx 35.
∫
x · sen (ax) · dx 36
∫
x2Ln(x6 − 1)dx
37.
∫
x2 · e2x · dx 38.
∫
x · cosh(x
2
) · dx 39.
∫
ex · cos2 x · dx
40.
∫
3x · cosx · dx 41.
∫
x2 · e−xdx 42.
∫
eax cos bx · dx
43.
∫
e2xsen 2x · dx 44.
∫
earcsenx · dx 45.
∫
senhx · cosx · dx
46.
∫
x2 · e3x · dx 47.
∫
x3 · e− x3 · dx 48.
∫
Lnx√
x
· dx
49.
∫
ex · sen x · dx 50.
∫
x · arcsenx · dx 51.
∫
(x2 + 5x+ 6) cos 2x · dx
52.
∫
(arcsenx)2dx 53.
∫
arcsen
√
x√
1− x · dx 54.
∫
Ln2x · dx
55.
∫
x3 · e−x2 · dx 56.
∫
Ln2x
x2
· dx 57.
∫
(x2 − 2x+ 3)Lnx · dx
58.
∫
sen 2x
ex
· dx 59.
∫
x · arctanx · dx 60.
∫
x2 · dx√
9− x2
61.
∫
x · dx
sen 2x
62.
∫
x2 · arctan 3x · dx
2. Se P (x) é um polinômio em x, e P ′, P”, P”′, . . . indicam as derivadas, mostre que:
34 Integração e Funções de Várias Variáveis
1.
∫
P (x)eaxdx =
eax
a
(1− P
′
a
+
P ′′
a2
− P
′′′
a3
+ . . .)
2.
∫
P (x) cos(ax)dx =
sen (ax)
a
(1− P
′′
a2
+
P (4)
a4
− P
(6)
a6
+ . . .) +
+
cos(ax)
a
(
P ′
a
− P
′′′
a3
+
P (5)
a5
− . . .)
3. Suponha m 6= 1 e n 6= 1 deduzir a fórmula de recorrência para cada uma das integrais:
1. In =
∫
xn · eax · dx satisfaz In = 1
a
· xn · eax − n
a
· In−1.
2. In =
∫
(Lnx)n · dx satisfaz In = x · (Lnx)n − n · In−1.
3. Imn =
∫
xm · (Lnx)n · dx satisfaz Imn =
xm+1
1 +m
· (Lnx)n − n
m+ 1
· Im−1n
4. In =
∫
ex
xn
· dx satisfaz In = − e
x
(n− 1)xx−1 +
1
n− 1 · In−1
5. In =
∫
(a+ bxp)n · dx satisfaz (np+ 1)In = x(a+ bxp)n + anp · In−1.
4. Determine
∫
sen 4x·dx de dois modos diferentes: primeiro, utilizando a fórmula de redução,
e logo utilizando a fórmula do sen 2x.
5. Combine-se as duas soluções do exercício anterior para obter uma identidade impression-
ante.
6. Expressar
∫
Ln(Lnx)·dx em função de,
∫
dx
Ln
(as duas integrais não são possíveis
expressar como combinação de funções elementares)
7. Mostre que a fórmula
∫
2g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
2[
√
g(x)]3
dx =
f(x)√
g(x)
+ C é válida.
31/07/2010 - Christian José Quintana Pinedo 35
1.3.3 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas.
É importante verificar e lembrar as seguintes identidades:
1) cos2 x+ sen 2x = 1 2) cosh2 x− senh2x = 1
3) sec2 x− tan2 x = 1 4) sech2x+ tanh2 x = 1
5) csc2 x− cot2 x = 1 6) coth2 x− csch2x = 1
7) sen 2x =
1− cos 2x
2
8) senh2x =
cosh 2x− 1
2
9) cos2 x =
1 + cos 2x
2
10) coshx =
cosh 2x+ 1
2
Apresentamos integrais e diversos tipos que envolvem funções trigonométricas e hiperbólicas.
1.3.3.1 Integrais do tipo:
∫
sen mx · cosn x. · dx e
∫
senhmx · coshn x · dx
Aqui consideramos os seguintes casos para m e n inteiros:
Caso 1. a) Se m é ímpar positivo, então escreva sen m−1x em função de cosx e considere a
substituição cosx = t. De modo análogo para o caso da função hiperbólica; utilizando a
identidade sen 2x = 1− cos2 x (ou cosh2 x+ 1 = senh2x).
b) Se n é ímpar positivo, então escreva cosn−1 x em função de sen x e considere a
substituição sen x = t . De modo análogo para o caso da função hiperbólica; utilizando a
identidade cos2 x = 1− sen 2x (ou senh2x = cosh2 x+ 1).
Caso 2. Quando ambos os expoentes m e n são pares não negativos, recomenda-se usar umas
das identidades: sen 2x =
1− cos 2x
2
(ou senh2x =
cosh 2x− 1
2
) ou cos2 x =
cos 2x+ 1
2
(ou cosh2 x =
cosh2x+ 1
2
) . Se m+ n = −2k onde k ∈ N é conveniente usar t = tanx ou
t = cotx
Caso 3. Em geral se m e n são inteiros, calculamos a integral com ajuda das fórmulas de
recorrência, as que se deduzem mediante integração por partes.
Observação 1.7.
Temos a seguinte fórmula de recorrência:
I2k+1 =
∫
dx
cos2k+1 x
=
∫
sen 2x+ cos2 x
cos2k+1 x
dx =
∫
sen 2x
cos2k+1 x
dx+
+
∫
dx
cos2k−1 x
dx =
∫
sen x · sen x
cos2k+1 x
· dx + I2k−1.
Suponhamos que, u = sen x e dv =
sen x
cos2k+1 x
dx , então du = cosx.dx e v =
1
2k. cos2k x
e
mediante a integração por partes obtemos:
I2k+1 =
sen x
2k. cos2k x
− 1
2k
∫
dx
cos2k−1 x
dx + I2k−1 =
sen x
2k. cos2k x
+ (1− 1
2k
)I2k−1
36 Integração e Funções de Várias Variáveis
Exemplo 1.54.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
sen 3x · cos4 x · dx b) J =
∫
senh5x ·
√
coshxdx
Solução. a)
Temos que I =
∫
sen 3x · cos4 x · dx =
∫
sen 2x · cos4 x · sen x · dx, sendo sen 2x = 1− cos2 x
então I =
∫
(1− cos2 x) cos4 x · sen x · dx como cosx = t e d(cosx) = − dt; na integral original
I =
∫
(t6 − t4)dt = 1
7
t7 − 1
5
t5 + C.
Portanto I =
∫
sen 3x · cos4 x · dx = 1
7
cos7 x− 1
5
cos5 x+ C.
Solução. b)
Seja coshx = t, então dt = senhx.dx, logo temos
J =
∫
senh5x ·
√
coshx · dx =
∫
senh4x
√
coshx · senhx · dx =
=
∫
(t2 − 1)2√t · dt =
∫
(
√
t9 − 2
√
t5 +
√
t)dt =
2
11
√
t11 − 4
7
√
t7 +
2
3
√
t3 + C
Portanto, J =
2
11
√
cosh11 x− 4
7
√
cosh7x+
2
3
√
cosh3 x+ C.
Exemplo 1.55.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
sen 2x · cos4 x · dx b) J =
∫
senh4x · dx
Solução. a)
Temos que a integral I =
∫
sen 2x · cos4 x · dx =