Estatística Aplicada - VETERINÁRIA

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Universidade Estadual do Maranhão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDICINA VETERINÁRIA 
 
 
UEMA 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborada por : 
 Raimundo Merval Morais Gonçalves 
 Licenciado em Matemática / UFMA 
 Especialista em Ensino de Ciências / UEMA 
e–mail : mervalmorais@ig.com.br 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS  MA 
 
AGOSTO  2014 
 
2 
 
 
 
 
INDICE 
 
 
 
 
 p. 
1. A Natureza da Estatística .................................................................................. 
 
03 
 
2. Séries Estatísticas ............................................................................................. 
 
13 
3. Gráficos Estatísticos .......................................................................................... 
 
16 
4. Distribuição de Frequência ................................................................................ 
 
21 
5. Medidas de Posição ........................................................................................... 
 
25 
6. Medidas de Dispersão ....................................................................................... 
 
34 
 
7. Medidas de Assimetria ....................................................................................... 
 
38 
8. Medidas de Curtose ............................................................................................ 
 
40 
9. Noções de Probabilidades .................................................................................. 
 
42 
10. Distribuições de Probabilidade ........................................................................... 
 
50 
11. Noções de Inferência .......................................................................................... 
 . Intervalos de confiança 
 . Teste de hipótese 
 . Distribuição t de Student 
 . Distribuição Quiquadrado 
 
56 
12. Anexos - Tabelas 67 
 
 
 
3 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A origem da Estatística é desconhecida, mas surgiu na Antiguidade e se desenvolveu 
em paralelo com a civilização humana. Temos relatos de que os egípcios, há 3000 
anos antes de Cristo já a utilizavam como provam dados estatísticos de seus povos 
gravados nas pirâmides. Além destes os chineses realizaram em censo demográfico 
no ano 2275 a.C e os romanos no ano 556 a.C, que consistia em dados relativos a 
nascimentos, óbitos, habitantes e quantitativo do soldados. O objetivo principal do 
censo era militar. 
 
No primeiro milênio da era cristã houve diversos censos demográficos, em Israel e em 
alguns países do Ocidente. No entanto, somente a partir do século XVI, é que a Esta-
tística teve um maior desenvolvimento, surgiram as primeiras tábuas e registros orga-
nizados de fatos sociais( batizados, casamentos, nascimentos, etc. ) e a partir daí 
passando a ser estudada por matemáticos e filósofos e incluída no currículo das gran-
des Universidades. 
 
 
1.1  A ESTATÍSTICA NAS EMPRESAS 
 
No mundo atual, a empresa é uma das vigasmestras da Economia dos povos. 
A direção de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, 
exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e 
uso da Estatística facilitarão seu trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. 
Por meio da sondagem, de coletas de dados e de recenseamento de opiniões, pode-
mos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e finan-
ceiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer 
suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, mé-
dio ou longo prazos. 
 
A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização da es-
tratégica a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de veri-
ficação e avaliação da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possíveis 
lucros e/ou perdas. 
Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado para 
evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do material 
e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. 
O esquema do planejamento é o plano, que pode ser resumido, com auxílio da Esta-
tística, em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos mate-
mático-estatístico que lhes deram origem. 
O homem de hoje, em suas múltiplas atividades, lança mão de processos e técnicas 
estatísticas, e só estudando-os evitaremos o erro das generalizações apressadas a 
respeito de tabelas e gráficos 
apresentados em jornais, revistas e televisão, frequentemente cometido quando se 
conhece apenas “por cima” um pouco de Estatística. 
 
 
1.2  CAMPOS DE APLICAÇÃO 
 
A Estatística encontra-se em quase todos os campos da atividade humana. 
O Estado e a Sociologia têm necessidade de conhecer as populações por seus efeti-
vos, por sexo, idade, estado civil, profissão, nacionalidade, etc. 
4 
 
Os serviços de meteorologia tão importantes para a navegação aérea e marítima, são 
essencialmente estatísticos, com seus estudos de temperaturas, pressões, quedas de 
chuvas, umidades, ventos, etc. 
Na agricultura, a estatística serve como orientador seguro fornecendo informações 
sobre colheitas, rendimento das terras, valores da produção e outros. 
Na indústria e no comércio podem-se comparar produções e volumes de vendas em 
relação ao total por região, estudar a situação dos mercados e suas tendências. 
Grandes serviços a Estatística presta à Biologia desde o “homem médio” de Quetelet 
passando pela teoria da hereditariedade de Mendel, até as infinitas aplicações de hoje. 
A Geografia conclui através de estudos estatísticos as densidades demográficas, cor-
rentes migratórias, clima, etc. 
Na Informática também encontramos importantes aplicações, entre elas: avaliação de 
desempenho de redes de computadores, etc.. 
Na Inteligência Artificial, usam aplicações em redes neurais, artificiais e mineração de 
dados. 
E ainda na História e Literatura, onde trabalhos estatísticos estudam a extensão dos 
períodos, coincidências, pontuações e estilos e, muitos outros. 
 
 
1.3  O ESTATÍSTICO 
 
O Estatístico promove levantamento de pesquisas estatísticas em suas aplicações 
técnicas e científicas, investigando, elaborando e testando métodos matemáticos e 
sistemas em amostragem, bem como coletando, analisando e interpretando os dados 
relacionados com os fenômenos estatísticos, e ainda estuda e renova a metodologia 
estatística a fim de estabelecer a sua evolução e desenvolvimento. 
 
 
1.4  BIOESTATÍSTICA 
 
 A bioestatística é um ramo mais amplo da área estatística. Estatística que 
trata de organização e resumo de dados, e inferência de características a respeito de 
um grupo de pessoas ou coisas quando somente uma parte dessas características 
está disponível para estudo. A Bioestatística é, então, o ramo da estatística que trata 
principalmente de ciências biológicas e disciplinas médicas e relacionadas à saúde . 
Portanto, a bioestatística é o estudo da estatística com ênfase em sua aplicação às 
ciências da saúde. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. ESTATÍSTICA : CONCEITO E DIVISÃO 
 
A necessidade de tratar e interpretar dados culminou com a origem da estatística. 
 
2.1  CONCEITO 
A Estatística é a ciência dos dado. Ela envolve a coleta, classificação, síntese, organi-
zação, a análise inferência e a interpretação de dados qualitativos ou numéricos a res-
peito de fenômenos coletivos ou de massa. 
 
As aplicações das técnicas da Estatística são bem antigas, conforme podemos obser-
var fornecendo alguns exemplos: 
 
 censos foram realizados por volta de 3000 a.C na Babilônia, China e Egito ; 
 
 os hebreus fizeram um levantamento dos homens de Israel aptos a guerrear por 
ordem de Moisés, segundo o livro de Números( Antigo Testamento ) ; 
 
 os romanos realizaram também censo por ordem do imperador César Augusto ; 
 
 em 1805, Guilherme, o Conquistador, ordenou realização de censo em toda a Ingla-
terra para levantar informações sobre terras, proprietários, animais, empregados, etc. 
 
A palavra estatística teria sido utilizada, possivelmente, por Gottfried Achenval, aca-
dêmico alemão, por volta do século XVIII. 
A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, com os estudos de 
Bernoulli, Fermat, Pascal, Laplace, Gauss, Galton, Pearson, Fischer, Poisson e outros que 
estabeleceram suas características atuais. 
A Estatística é considerada por alguns autores com Ciência no sentido do estudo de uma 
população. É considerada como método quando utilizada como instrumento por outra Ciên-
cia. 
A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência , solicitando−lhe auxí-
lio, sem o qual não poderia desenvolver−se. 
Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quando utilizada como instru-
mento de pesquisa. 
 
 
2.2  DIVISÃO DA ESTATÍSTICA 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA  É a parte da Estatística que tem como função : coletar, orga-
nizar, classificar e apresentar os dados referentes a observa-
ção de um fenômeno através de gráficos, tabelas, além de es-
timar parâmetros desses dados. 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA  é a parte da Estatística que tem como função analisar e 
interpretar os dados, apresentados pela Estatística Des-
critiva, ou ainda generalizar conclusões sobre o todo, par-
tindo da observação de partes desse todo 
 
A indução é um processo de raciocínio em que se partindo do conhecimento de uma 
parte procurase tirar conclusões sobre a realidade do todo, ou seja, busca obter re-
sultados sobre populações a partir de amostras, dizendo qual é a precisão desses 
resultados e com que probabilidade se pode confiar nas conclusões obtidas. 
 
 
6 
 
EXEMPLO 1 : Afirmar que 25% dos eleitores do país têm a intenção de votar em certo 
candidato, tomando por base uma amostra de 2500 eleitores, é a realiza-
ção da inferência estatística. 
 
 
EXEMPLO 2 : Concluir baseado em uma amostra de 120 universitários, que a renda 
média de todos os 5320 estudantes da universidade está compreendida 
entre R$ 1800,00 e R$ 2400,00 , com certo grau de certeza, é papel da 
estatística inferencial. 
 
O estudo dos dados da área da saúde utilizando a ciência estatística é, por muitos 
chamado de Bioestatística. 
 
 
2.3  CONCEITOS BÁSICOS 
 
POPULAÇÃO  É o conjunto de todos os elementos que possuem pelo menos uma 
característica em comum, que possa ser contada, medida, pesada ou 
ordenada de algum modo e que sirva de base para as propriedades 
que se deseja investigar ; 
 
AMOSTRA  Subconjunto de uma população em estudo ; 
 
AMOSTRA REPRESENTATIVA  Aquela que representa as mesmas características 
gerais da população da qual foi extraída ; 
 
AMOSTRA PROBABILISTICA  Aquela em que cada elemento da população tem pro-
babilidade de ser escolhido para a mesma( amostra ) ; 
 
PARÂMETRO  Uma característica numérica estabelecida para toda população ; 
 
ESTATÍSTICA OU ESTIMADOR  Uma característica numérica estabelecida para uma 
amostra ; 
 
CENSO  Tipo de levantamento em que em que são investigados todos os elementos 
da população ; 
 
AMOSTRAGEM  Conjunto de técnicas utilizadas para extração de amostras de uma 
população ; 
 
VARIÁVEIS  São características, propriedades ou atributos que podem ser observa-
dos ou ( medidos ) em cada elemento de uma população ou de uma 
amostra e deverá produzir um e apenas um resultado. Uma variável 
pode ser quantitativa ou qualitativa. 
 
VARIÁVEL QUANTITATIVA  Aquela cujo resultado da observação gera uma quantida-
de, um número. Exemplo : a idade de uma pessoa ; 
 
VARIÁVEL QUALITATIVA  Aquela cujo resultado da observação gera um atributo, uma 
qualidade. Exemplo : cor dos olhos de uma pessoa ; 
 
DADOS ABSOLUTOS  São valores obtidos através de uma medida ou contagem sem 
qualquer manipulação. 
 
7 
 
DADOS RELATIVOS  São valores obtidos através da transformação de dados absolu-
tos, geralmente através de razões ( divisões ). São dados rela-
tivos os coeficientes, as taxas e os índices. 
 
ROL  Conjunto de dados sob alguma ordenação( crescente ou decrescente ). 
 
 
2.4  VARIÁVEIS 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
EXEMPLO : Para a população de professores de uma escola, podese definir varias 
variáveis, tais como : 
 
a) Tempo de serviço na profissão b) Idade c) Estado Civil 
 
d) Religião e) Sexo f) Número de filhos 
 
g) Cor dos olhos h) Nível de escolaridade 
 
i) Classe Social j) Renda 
 
 
Uma variável pode ser classificada em : Qualitativa( que pode ser nominal ou ordinal ) 
ou Quantitativa( que pode ser discreta ou contínua ) 
 
 
 
 
VARIÁVEL QUALITATIVA NOMINAL  é uma qualidade sem expressar nenhuma ordem 
hierárquica de classificação. 
 
EXEMPLOS : cor dos olhos, estado civil, religião e sexo 
 
 
VARIÁVEL QUALITATIVA ORDIINAL  quando a qualidade observada possui uma or-
denação natural 
 
EXEMPLOS : classe social, nível de escolaridade 
 
 
VARIÁVEL QUANTIITATIVA DISCRETA  quando a variável assume determinados valo-
res no intervalo de observação, ou então, quando 
os valores são obtidos a partir de uma contagem. 
 
EXEMPLOS : número de filhos 
 
 
 
8 
 
VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA  quando a variável assume qualquer valor no 
intervalo de observação. Nesse caos os valo-
res assumidos são obtidos a partir de uma 
mensuração. 
 
EXEMPLOS : tempo de serviço, idade, renda 
 
 
2.5  INDICADORES 
Em qualquer planejamento ou tomada de decisão é indispensável que exista um sis-
tema de informação, alimentado com dados absolutos que posteriormente devem ser 
transformados em dados relativos. Dados absolutos ou relativos são geralmente cha-
mados de indicadores . 
Os indicadores são classificados da seguinte forma : 
 
 
 
DADOS ABSOLUTOS  São valores obtidos através de uma medida ou contagem, 
sem qualquer manipulação. 
 
EXEMPLO : No canil da UEMA existem 102 animais confinados, dos quais 50 são ma-
chos e 52 são fêmeas. 
 
DADOS ABSOLUTOS  São valores obtidos através da transformação de dados abso-
lutos, geralmente através de razões( divisões ). 
 
. COEFICIENTES  razões entre valores de variáveis da mesma espécie . 
 
EXEMPLO : No caso do exemplo anterior, os coeficientes são : 
 
 . machos = 
52
0,51
102

 . fêmea = 
50
0,49
102

 
 
. TAXAS  são coeficientes multiplicados por uma potência de 10, em geral 100 ou 
1000 . 
 
EXEMPLO : taxa dos machos = 0,51 x 100 = 51% e taxa das fêmeas = 0,49 x 100 = 49% 
 
. ÍNDICES  razões entre valores de variáveis de espécies diferentes. 
 
EXEMPLO 1: Índice de renda per capita 
 
 . IRPC = 
Renda(R$)
População(hab)
 = 
15.200.000,00
13000
 = R$ 1169,20 por pessoa 
 
 
9 
 
EXEMPLO 2 : Índice de densidade demográfica 
 
 IDD = 
Habitantes
Área
 = 
1254871
1358
 = 924 hab/ km
 2
 
 
EXEMPLO 3 : Índice de aluno por professor 
 
 IAP = 
Alunos
Professor
 = 
12354
294
 = 42 alunos/ professor 
 
 
2.6  TAMANHO DA AMOSTRADo ponto de vista estatístico, as amostras devem ser grandes para dar 
maior confiança possível às conclusões obtidas. Entretanto as amostras não devem 
ser muito grandes, porque isso seria perda de recursos, mas também não devem mui-
to pequenas, porque o resultado do trabalho seria de pouca utilidade. Então, para a 
escolha da amostra leve em consideração o que é usual na área, consultando a litera-
tura e verifique o que seu orçamento permite fazer. Existem várias fórmulas que nos 
permitem determinar o tamanho da amostra, mas vamos apresentar apenas uma que 
nos dará a ideia do problema, então temos : 
 
2
2
z .p(100 p)
n
d


, onde : z  nível de confiança 
p  percentual 
d  margem de erro 
n  tamanho da amostra 
 
 
3. AMOSTRAGEM 
 
 Chama-se Amostra, a um subconjunto finito de uma população. 
 Geralmente a Estatística trabalha com a amostra e não com a População, isto 
porque na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal. 
 Para que o estudo estatístico utilizando-se da Amostra tenha confiabilidade, 
esta amostra deve ser representativa da população, isto é , a amostra dever possuir as 
mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que dese-
jamos pesquisar. 
 Para recolher amostra, temos uma técnica designada por Amostragem, que 
garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha . 
 Assim cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhi-
do, o que garante à amostra o caráter de representatividade. 
 Veremos agora, alguns tipos de Amostragem. 
 
 
 
3.1 – AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATÓRIA SIMPLES 
 Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Obter uma amostra representativa para a pesquisa da estatura de 90 
alunos de uma escola. 
 
10 
 
 Se o número de elementos da amostra for grande, este tipo de sorteio é muito 
trabalho. Para facilitá-lo foi elaborada uma tabela chamada Tabela dos Números Aleató-
rios. 
 
 
 
3.2 – AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA 
 Muitas vezes a população divide-se em subpopulações ou estratos. 
 Como, geralmente, os elementos da amostra apresente, de estrato para estrato, 
um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, 
convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais estratos, logo a amostra es-
colhida deve ser proporcional a cada estrato. 
 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Supondo que dos 240 alunos da 1ª série do CEM Cidade Operária I I , 
135 sejam do sexo masculino e 105 do sexo feminino, escolha uma 
amostra de 10 % para pesquisar as notas obtidas em uma avaliação 
de português, de um determinado mês. 
 
SOLUÇÃO : 
 
 
 
 
 
 
4. FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 No método estatístico podemos distinguir as seguintes fases : 
 
I – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 
 Nesta fase o pesquisador ou o analista deve definir ou formulação correta do que 
vai fazer o pesquisador. 
 
 
II - PLANEJAMENTO 
 A fase do planejamento, consiste em se determinar o procedimento de como 
resolver o problema e de como levantar as informações sobre o assunto em estudo. 
 No planejamento a preocupação maior reside na escolha das perguntas, bem 
como sua correta formulação, qualquer que seja a modalidade de coleta de dados. 
 Também nesta fase será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado : 
a) Levantamento censitário ; 
b) Levantamento por amostragem 
 Outros elementos importantes que também devem ser tratados são : cronograma 
das atividades, custos, etc. 
 
 
III – COLETA DE DADOS 
 A coleta de dados se refere à obtenção, reunião e o registro sistemático dos da-
dos do problema que estão sendo pesquisados. 
 A coleta de dados pode ser : Direta ou Indireta. 
 
11 
 
a) Direta  quando é feita sobre elementos informativos de registro obrigatório. Por exemplo 
: registro de nascimento, de casamento, de óbitos, etc. ; 
 
 Há três tipos de coleta direta, que são : contínua, periódica e ocasional. 
 
b) Indireta  quando é feita através de elementos conseguidos pela coleta direta, ou através 
do conhecimento de fenômenos que, de algum modo, estejam relacionados 
com o fenômeno em questão, é portanto feita através de deduções e conjec-
turas. 
 
 
IV – CRÍTICA DE DADOS 
 Feito o levantamento dos dados , eles devem ser "analisados", à procura de pos-
síveis falhas, imperfeições e erros, a fim de não incorrermos em erros grosseiros, que pos-
sam influir sensivelmente no resultados. 
 A crítica é Externa quando visa as causa dos erros por parte do informante, por 
distração ou má fé ; é Interna quando visa observar os elementos originais dos dados da 
coleta. 
 
 
V – APURAÇÃO DOS DADOS 
 A apuração dos dados é a soma e o processamento dos dados obtidos e a dis-
posição mediante critérios de classificação. Pode ser Manual, Eletromecânica ou Eletrôni-
ca. 
 
 
VI – EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 
 Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem 
ser apresentados sob forma adequada( tabelas ou / e gráficos ), tornando ,mais fácil o 
exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico. 
 
 
VII – ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 O objetivo da Estatística é tirar conclusões sobre o todo, a partir de informações 
fornecidas por parte representativa do todo. Assim, realizadas as fases anteriores fazemos a 
Análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Os prontuários de um hospital veterinário estão organizados em um arquivo, por or-
dem alfabética. Qual é a maneira mais rápida de amostrar 
1
3
 do total de prontuários ? 
 
 
2. Um pesquisador tem 10 gaiolas, cada uma com seis ratos. Como o pesquisador 
pode selecionar 10 ratos para realizar um experimento ? 
 
 
3. Um fiscal precisa verificar se as farmácias da cidade estão cumprindo um novo re-
gulamento. A cidade tem 40 farmácias, mas como a fiscalização demanda muito tem-
po, o fiscal resolveu optar por visitar uma amostra de 10 farmácias. O cumprimento do 
regulamento é, evidentemente, desconhecido do fiscal está representado na tabela a 
seguir. Com base na tabela a seguir : 
 
a) Escolha uma amostra para o fiscal ; 
 
b) Estime, com base na amostra, a proporção de farmácias que estão cumprindo o 
regulamento ; 
 
c) Com base nos dados da população, estime o parâmetro ; 
 
d) Você obteve uma boa estimativa ? 
 
Cumprimento do regulamento 
1 Sim 11 Não 21 Sim 31 Sim 
2 Sim 12 Sim 22 Sim 32 Sim 
3 Não 13 Não 23 Não 33 Não 
4 Sim 14 Não 24 Sim 34 Sim 
5 Sim 15 Sim 25 Não 35 Sim 
6 Não 16 Não 26 Não 36 Não 
7 Sim 17 Sim 27 Não 37 Não 
8 Não 18 Não 28 Sim 38 Não 
9 Não 19 Não 29 Não 39 Sim 
10 Sim 20 Sim 30 Não 40 Sim 
 
 
4. Você possui uma lista com 10 nomes em ordem alfabética. Descreva uma forma 
para obter uma amostra sistemática de cinco nomes. 
 
 
5. Um veterinário que estudar um determinado de distúrbio que ocorre em uma deter-
minada raça de cães. Calcule o tamanho da amostra, considerando que o veterinário 
quer um nível de confiança de 95%( z = 1,96 ), uma margem de erro de 12% e que na 
população, a percentagem de animais com esse tipo de distúrbio é de 35%. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
 
1. TABELAS 
 Um dos objetivos daEstatística é sintetizar os valores que uma ou mais variá-
veis podem assumir, para que tenhamos uma visão geral da variação dessa ou dessas vari-
áveis, e é através de Tabelas e Gráficos, que nos serão fornecidas informações a respeito 
das variáveis em estudo. 
 
 Tabela  é um quadro que resume um conjunto de observações. 
 
 
2. ELEMENTOS DE UMA TABELA 
 Uma tabela compõe-se de : 
 
a) Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo 
. 
 
b) Cabeçalho – parte superior da tabela que específica o conteúdo das colunas . 
 
c) Coluna Indicadora – parte da tabela que específica o conteúdo das linhas . 
 
d) Linhas – são as retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados 
que se inscrevem nos seus cruzamentos . 
 
e) Casas ou Células – espaço destinado a um só número . 
 
 
f) Título – conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas : 
O quê ? , Quando ? , Onde ? , e localizado no topo da tabela . 
 
 Ainda temos os elementos complementares da tabela, que são : a fonte, as no-
tas e as chamadas, que se colocam, de preferência, no seu rodapé . 
 
EXEMPLO : 
 
Preferência por refrigerantes 
de 60 alunos – São Luís / Ma 
Marcas Quant. de alunos 
Antártica 22 
Coca-cola 15 
Seven-up 4 
Kuat 6 
Pepsi-cola 9 
Schincariol 4 
Total 60 
Fonte : Fictícia 
 
 
3. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 DEFINIÇÃO : É toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísti-
cos. 
 Nas séries estatísticas existem 3 elementos que influem nas mesmas : Tempo , 
Espaço ou Localidade e Espécie ou Categoria . 
 
14 
 
4. CLASSIFICAÇÃO 
 As séries estatísticas se classificam conforme a variação de um dos 3 elemen-
tos acima citados. 
 
 
4.1 – SÉRIES HISTÓRICAS, CRONOLÓGICAS OU TEMPORAIS 
 São séries estatísticas em que o elemento variável é o tempo. 
 
EXEMPLO : 
 
Números de cães atendidos no Hospital 
Veterinário da Uema – 2006 / 2012 
2006 480 
2007 502 
2008 510 
2009 550 
2010 524 
2011 572 
2012 611 
Total 3749 
Fonte : Fictícia 
 
 
4.2 – SÉRIES GEOGRÁFICAS, ESPACIAIS, TERRITORIAIS OU DE LOCALIZAÇÃO 
 São séries estatísticas em que o elemento variável é o espaço geográfico. 
 
EXEMPLO : 
 
Número de cães infectados com calazar na 
Ilha de São Luís – 2011 
São Luís 875 
Paço de Lumiar 480 
Raposa 502 
São José de Ribamar 510 
Total 2367 
Fonte : Fictícia 
 
 
4.3 – SÉRIES ESPECÍFICAS OU CATEGÓRICAS 
 São séries estatísticas que tem como elemento variável as categorias ou especi-
ficações. 
 
EXEMPLO: 
 
Número de animais atendidos no Hospital 
Veterinário da Uema – Outubro/2012 
Cães 125 
Gatos 93 
Bovinos 37 
Equinos 25 
Total 280 
Fonte : Fictícia 
 
 
15 
 
4.4  DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS  SERIAÇÃO 
 As distribuições de frequências ou distribuição por frequências são séries em 
que todos os elementos( época, local e fenômeno ) são fixos. Embora o fenômeno, esteja 
fixo, ele agora apresenta gradações( divisões ). Nas distribuições de frequências, os dados 
são dispostos ordenadamente em linhas e colunas, de modo a permitir sua leitura nos senti-
dos horizontal e vertical. 
 
EXEMPLOS : 
 
Tipo de veículo popular 
Tipos Quantidade 
Hatch 22 
Minivan 15 
Sedan 4 
Utilitário 6 
Total 50 
Fonte : Fictícia 
 
Peso ao nascer de 
Nascidos vivos( kg ) 
1,5  2,0 3 
2,0  2,5 16 
2,5  3,0 31 
3,0  3,5 34 
3,5  4,0 11 
4,0  4,5 4 
4,5  5,0 1 
Total 100 
Fonte : Sônia Vieira 
 
 
5. SÉRIES CONJUGADAS – TABELA DE DUPLA ENTRADA 
 Às vezes é preciso em uma só tabela apresentar a variação de mais de uma va-
riável, isto é, temos que fazer a conjugação de duas ou mais séries. 
 Quando juntamos duas séries em uma única tabela, obtemos uma Tabela de Du-
pla Entrada. Neste tipo de tabela temos, duas classificações : uma horizontal e uma vertical. 
 
EXEMPLO 1 : 
 
Frequência de camundongos com e sem diabetes 
 Camundongos 
Castrados 
Camundongos 
do grupo de controle 
Total 
Com diabetes 26 12 38 
Sem diabetes 24 38 62 
Total 50 50 100 
Fonte : Aviva e Watson 
 
 A conjugação, no exemplo acima foi de uma série categórica e uma série categó-
rica, que dá origem à série categórica – categórica. 
 
EXEMPLO 2 : 
Número de animais atendidos pelos alunos do Curso 
de Veterinária em Paço de Lumiar e Raposa  2010 
Animais Cidades 
Paço de Lumiar Raposa 
cães 112 89 
gatos 95 101 
bovinos 76 63 
equinos 54 45 
Total 337 298 
Fonte : Fictícia 
 
 A conjugação, no exemplo acima foi de uma série categórica e uma série geo-
gráfica, que dá origem à série categórica – geográfica. 
 
16 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Atualmente, quando lemos um jornal, uma revista ou assistimos a um noti-
ciário de televisão, é muito comum encontrarmos informações sobre diversas situa-
ções representadas por meio de gráficos. 
 Os gráficos assumem papel fundamental na apresentação de uma série 
estatística, é de suma importância visto que, praticamente, todo e qualquer relatório 
analítico vem acompanhado de gráficos ilustrativos. Eles facilitam a interpretação rápi-
da do fenômeno que hora se analisa. Mas, para que estas afirmações se tornem váli-
das, é necessário que certas normas sejam seguidas para a elaboração correta e pre-
cisa delas. Ser assim não se fizer, poder-se-á ter uma visão distorcida, ou mesmo er-
rônea do fenômeno estudado. Basicamente, devemos levar em conta três característi-
cas para a construção de um gráfico ; simplicidade, clareza e veracidade. Após a cole-
ta dos dados em uma pesquisa e uma vez construída a distribuição de frequência, 
podemos melhor visualizar os dados desta tabela, construindo-se gráficos. 
 A ideia de transformar dados numéricos em figuras, ou seja, construir grá-
ficos, é um recurso fundamental de estatística. Torna mais rápida a leitura das trans-
formações e facilita sua compreensão. 
 E quem será que teve uma ideia tão boa ? 
 No decorrer da História, mais de uma pessoa pensou em retratar números. 
Uma delas foi o filósofo e matemático francês René Descartes( 1596 / 1650 ). Ele in-
ventou os gráficos cartesianos( dá para imaginar de onde vem à palavra cartesiano, 
não é ? ). Nesses gráficos, pares de números se transformam em pontos. 
 Os gráficos de segmentos que a estatística usa são baseados na invenção 
de Descartes. 
 
 Os principais tipos de gráficos são : Diagramas, Cartogramas, Pictogra-
mas. 
 
 
2. DIAGRAMAS 
 Os diagramas são gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. 
Para sua construção fazemos uso do plano cartesiano. 
 Os principais diagramas são : 
 
2.1 – GRÁFICO EM LINHA OU EM CURVA 
 Quando queremos representar a variação de um fenômeno no decorrer do 
tempo, utilizamos o gráfico de segmentos, também chamado gráfico de linhas . 
 Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série 
estatística. 
 
EXEMPLO : 
 
17 
 
Ingestão de gordura saturada 
gordura( g ) pessoas 
16 2 
24 4 
40 9 
45 3 
51 1 
60 1 
Total 20 
Fonte : Blair e Taylor 
 
 
 
 
 
2.2 – GRÁFICO DE SETORES 
 Para os gráficos da estatística, mais importante que a contribuição de 
Descartes foi a do escocês William Playfair, quetrabalhava com estatísticas comerci-
ais. Em 1786 ele começou a inventar maneiras de representar dados numéricos por 
meio de figuras. Uma de suas criações foram os gráficos de barras ou colunas. Depois 
em 1801, ele inventou os gráficos de setores, também chamados de " tortas " ou " piz-
zas " . 
 Este gráfico é um dos mais simples, já que este consiste em um círculo 
dividido em setores. 
 O gráfico em setores só deve ser empregado quando houver no máximo 
sete dados. 
 
EXEMPLO : 
 
 
Número de animais atendidos no Hospi-
tal Veterinário da Uema – Outubro/2012 
Cães 125 
Gatos 93 
Bovinos 37 
Equinos 25 
Total 280 
Fonte : Fictícia 
 
 
 
 
 
2.3 – GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS 
 Os gráficos de barras são utilizados, em geral para comparar as coisas de 
mesma natureza. 
 É a representação de série por meio de retângulos, dispostos verticalmen-
te( colunas ) ou horizontalmente( barras ). 
 Quando em colunas, os retângulos tem a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados. 
 
 
 
 
18 
 
 
EXEMPLOS : 
 
a) 
 
 
 
Medida da dor percebida em 60 
pacientes em um hospital de São Luís 
Categoria Quant. de 
pacientes 
Forte 4 
Moderada 8 
Leve 17 
Nenhuma 31 
Total 60 
Fonte : Blair e Taylor 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
Tamanho de cães( média ) 
Raças Tamanho( cm ) 
Akita 67 
Terrier Alemão 36 
Dougue Alemão 80 
Dálmata 58 
Pug 26 
Fonte : Internet 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
3. CARTOGRAMAS 
 Os cartogramas são ilustrações relativas a cartas geográficas. Este gráfico 
é utilizado para mostrar dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geo-
gráficas ou políticas. 
 Nos cartogramas distinguimos duas aplicações : 
 
a) representar dados absolutos( população ). Neste caso, utilizamos em geral, pontos , 
em número proporcional aos dados ; 
b) representar dados relativos( densidade ). Neste caso, fazemos uso, em geral, de 
hachuras. 
 
EXEMPLOS : POPULAÇÃO DA REGIÃO SUL DO BRASIL – 1990 
 
. 40.000 habitantes 
 
4. PICTOGRAMAS 
 O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao pú-
blico, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica 
consta de figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. De acordo com o Sistema Nacional de Informações TóxicoFarmacológicas em 
2005 foram registradas 23647 casos de intoxicação humana no Brasil por animais pe-
çonhentos. Desse total, 8208 foram atribuídos a escorpiões ; 4944 a serpentes ; 4661 
a aranhas e 5834 a outros animais peçonhentos. Construir um gráfico em barras e um 
gráfico de setores para representar os dados acima . 
 
 
2. Um estudo com 80 passageiros que desembarcaram no aeroporto de Brasília revelou 
as origens apresentadas na tabela seguinte. Pedese construir um gráfico de barras. 
 
Estado Nº de passageiros 
São Paulo 23 
Rio de Janeiro 22 
Bahia 14 
Rio Grande do Sul 12 
Paraná 7 
Mato Grosso do Sul 2 
Total 80 
 
 
3. Faça um gráfico de colunas justapostos para representar a tabela abaixo. 
 
 
 
4. Os dados abaixo mostra as atividades de fostatase alcalina( UI/L) no soro de 12 
cães adultos normais. Construa um gráfico de barras. 
 
5,4 7,3 20,3 17,5 35,9 16,8 
28,6 54,3 10,0 14,0 11,7 24,3 
 
 
5. Os dados abaixo, mostra as médias em gramas dos pesos de ratos machos Wistar 
por idade em dias. Construa um gráfico de setores. 
 
 
Idade 30 34 38 42 46 
Média 63,6 74,6 81,4 94,6 105,6 
 
 
21 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Neste capítulo, vamos estudar a forma pela qual podemos descrever os dados estatís-
ticos resultantes de variáveis quantitativas. Como já dissemos na distribuição de frequências o 
local, a época e o fenômeno são fixos, mas os dados estão agrupados de acordo com a intensi-
dade ou variação qualitativa do fenômeno. 
 
2. DADOS BRUTOS 
 Feita a coleta de dados, estes, ainda não se acham organizados numericamente, por 
esta razão costuma-se denominá-los Dados Brutos. 
 Se organizamos estes Dados Brutos através de uma certa ordem( crescente ou de-
crescente ) então teremos um Rol . 
 
 
3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
 Frequência  é o número de vezes que um determinado valor aparece em um Rol . 
 Para que a variável seja mais facilmente estudada e observada, devemos dispor em 
uma tabela de duas colunas os valores ordenados e sua respectivas frequências, temos assim 
uma tabela que recebe a denominação de Distribuição de Frequências. 
 As tabelas de frequências podem representar tantos valores individuais como valores 
agrupados. 
 
3.1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DE DADOS TABULADOS NÃO AGRUPADOS EM CLASSE 
 Quando a variável em estudo for discreta de variação relativamente pequena, pode-
mos montar tabela de frequências onde os valores aparecem individualmente. 
 
EXEMPLO : Seja a quantidade de gordura saturada consumida por 20 pessoas . 
 
 
 
3.2 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DE DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 Quando a variável em estudo for contínua ou mesmo discreta de tamanho razoável, 
podemos montar tabela de frequências onde os valores aparecem agrupados em intervalos de 
classes. 
 
EXEMPLO : Peso ao nascer de 100 nascidos vivos 
 
 
 
22 
 
4. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
a) Classes  são intervalos de variação da variável ( i ); 
 
b) Limite de classe  são os extremos de cada classe .Toda classe possui 2 limites, um inferior 
( li ) e um superior ( L s ) ; 
 
c) Amplitude do Intervalo de Classe  é a medida do intervalo que define a classe ou compri-
mento da classe( h ) ; 
 
d) Amplitude da distribuição  é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite 
inferior da primeira classe ( A t ) 
 
e) Amplitude Amostral  é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra( AA ). 
 
f) Frequência Simples ou Absoluta  é o número de observações correspondente a essa clas-
se ou a um valor individuais (  ). 
 
g) Ponto Médio de uma Classe  é o que divide a classe ao meio, ou seja em duas partes 
iguais( x i ) . 
 
 
5. NÚMERO DE CLASSES 
 No momento não existe nenhum método ou fórmula que possamos utilizar para calcu-
lar o número de classe de uma distribuição de frequência. A resolução deste problema depende 
do observador que deverá analisar a distribuição sob todos os aspectos para concluir qual o nú-
mero de classe que melhor se adaptará a mesma. 
 Embora não existam métodos nem fórmulas para o cálculo do número de classe, po-
demos fazer uso de algumas relações para chegarmos ao número de classes que melhor se 
adapta à distribuição de frequência que estamos trabalhando 
 Mesmo não existindo uma fórmula que resolva o problema do número de classes po-
demos utilizar as seguintes sugestões : 
 
a) k = 1 + 3,3 . log N, onde N é o tamanho da amostra. 
 
b) 
N 5 10 25 50 100 200 500 
k 2 4 6 8 10 12 15 
 
c) k = 
N
 
 
 
6. TIPOS DE FREQÜÊNCIA 
 
a) Frequência Simples (  )  são os valores que realmente representam o número de dados de 
cada classe. 
b) Frequência Acumulada ( F )  é a soma da frequência simples desta classe com as frequên-
cias simples das colunas anteriores. 
 
 
7. ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE UMA TABELA DE FREQÜÊNCIAS COM DADOS AGRUPADOS 
EM CLASSES 
 O roteiro aqui adotado para a construção de uma tabela de frequências,serve para 
facilitar o trabalho de quem irá montar a tabela. O roteiro proposto consta dos seguintes itens : 
23 
 
a) Elaborar em rol a partir dos dados brutos ; 
b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados( AA ) ; 
c) Escolher o número de classes ( k ) ; 
d) Determinar a amplitude do intervalo de classe ( h = 
AA
k
 ) 
e) Determinar os limites das classes ; 
f) Construir a tabela de frequências. 
 
 
8. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
 Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente pelo Histograma, 
pelo Polígono de frequência e pelo Polígono de frequência acumulada ou Ogiva de Galton. 
 Qualquer um dos gráficos acima é construído utilizando-se o primeiro quadrante do 
sistema de eixos ortogonais. Na linha horizontal colocamos os valores da variável e na linha verti-
cal as frequências. 
 
 
8.1 – HISTOGRAMA 
 É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre 
o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos in-
tervalos de classe. 
 As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe e as altu-
ras dos retângulos devem ser proporcionais às frequências das classes 
 
EXEMPLO : 
 
 
 
8.2 – POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA 
 O polígono de frequência é um gráfico em linha, sendo as frequência marcadas 
sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de 
classe. 
 Para realmente obtermos um polígono( linha fechada ), devemos completar a 
figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e 
da posterior à última, da distribuição. 
 
EXEMPLO : 
 
 
 
 
 
24 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. De acordo com o Sistema Nacional de Informações TóxicoFarmacológicas em 2005 fo-
ram registradas 23647 casos de intoxicação humana no Brasil por animais peçonhentos. 
Desse total, 8208 foram atribuídos a escorpiões ; 4944 a serpentes ; 4661 a aranhas e 5834 
a outros animais peçonhentos. Construa uma distribuição de frequências e calcule as per-
centagens. 
 
 
2. Construa uma tabela de frequências com classe para os dados abaixo com oito classes . 
 
Pressão arterial em mmHg de cães adultos anestesiados 
130 105 120 111 99 116 82 
107 125 100 107 120 143 115 
135 130 135 127 90 104 136 
100 145 125 104 101 102 101 
134 158 110 102 90 107 124 
121 135 102 119 115 125 117 
107 140 121 107 113 93 103 
 
 
3. Uma doença pode ser classificada em três estágios( leve, moderada, severo ). Foram 
examinados 20 pacientes e obtidos os dados : moderado, leve, leve, severo, leve, mode-
rado, moderado, moderado, leve, leve, severo, leve, moderado, moderado, leve, seve-
ro, moderado, moderado, moderado, leve. Com base nestes dados, construa uma tabela 
de frequência e calcule as frequências relativas de cada categoria. 
 
 
4. Com base nos dados apresentados no quadro abaixo, construa um tabela de fre-
quência com classes e calcule todos os tipos de frequências. 
 
Pressão sanguínea diastólica de 30 enfermeiros 
81 89 91 81 79 82 
70 80 92 64 73 86 
87 74 72 75 90 96 
83 79 82 82 78 85 
77 83 85 87 88 80 
 
 
5. Uma pesquisa sobre idade, em anos de uma turma de calouros de Medicina Veteri-
nária da UEMA, revelou os dados abaixo. Construir uma tabela de frequência e deter-
mine as frequências acumuladas, e as frequências relativas. 
 
18 17 18 20 21 19 20 18 17 19 
20 18 19 18 19 21 18 19 18 18 
19 19 21 20 17 19 19 18 18 19 
18 21 18 19 19 20 19 18 19 20 
18 19 19 18 20 20 18 19 18 18 
 
 
 
 
 
25 
 
6. Seja os pesos em kg de 20 coelhos hídricos Norfolk, abatidos aos três meses de idade. 
Construa uma distribuição de frequências com cinco classes( i = 5 ) onde l 1 = 2,50 kg. 
 
a) Encontre todos os tipos de frequências ; 
b) Determine os pontos médios das classes ; 
c) Construa um histograma da distribuição . 
 
 
 
 
7. Os dados abaixo referemse ao consumo de matéria seca( em kg ) por novilhos de 
dois anos na Fazenda R duplo. 
 
 
 
a) Construa uma distribuição de frequências onde l 1 = 10 e h = 0,3 e determine todos 
os tipos de frequências ; 
 
b) Determine os pontos médios das classes ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, 
as quais recebem esta denominação pelo fato dos dados observados tenderem, em geral a 
se agrupar em torno dos valores centrais de uma distribuição. Dentre estas medidas desta-
car : a Média Aritmética, a Moda, a Mediana. Existem outras medidas de posição conheci-
das como Separatrizes, que são : os Quartis, os Quintis, os Decis, os Percentis ou Cen-
tis.. 
 
 
2. MÉDIA ARITMÉTICA 
 A Média Aritmética é a medida de posição mais comum, talvez por ser a mais 
utilizada. Além da média aritmética ainda temos : Média Geométrica e Média Harmônica. 
 
 DEFINIÇÃO : Chama-se Média Aritmética a soma dos valores da variável observada dividida 
pelo número de valores observados, isto é : 
 
 
ixx
n


, onde : 
x
  média ; 
 x i  valores observados ; 
 n  números de valores observados 
 
 
2.1 – CÁLCULO DA MÉDIA 
 
1º Caso : Valores não Agrupados 
 Para este caso fazemos uso da fórmula fornecida pela definição. 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Encontre a média nos conjuntos abaixo : 
 
a) M = { 1, 3, 4, 6, 7, } b) A = { 0, 2, 8, 9, 5, 3 } 
 
c) N = { 20, 12, 13, 17 } 
 
 
 Existem outras médias, entre as quais podemos citar : Média Aritmética Ponde-
rada, Média Harmônica, Média Geométrica. A média geométrica é dada por : 
 
M g = antilog ( x ) = antilog (  ix
n
 ), onde 
x
 é a média aritmética dos logaritmos 
dos dados observados. 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Sejam os pesos em gramas de 21 porquinhas da índia, calcule a média 
geométrica dos pesos. 
 
 
 
 
 
27 
 
 
2º Caso : Valores Tabelados não Agrupados em Classe 
 Neste caso, utilizamos a fórmula 
x
 = 
i if .x
n

, onde i . x i é o produto dos 
valores por sua respectiva frequência simples. 
 Aqui neste cálculo as frequências simples funcionam como peso, ou seja neste 
caso o que calculamos nada mais do que a Média Aritmética Ponderada. 
 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Encontre a média aritmética das seguintes distribuições : 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
3º Caso : Valores Tabelados Agrupados em Classe 
 Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado 
intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio( x i ), e determinamos a média aritméti-
ca como no caso anterior, ou seja : 
 
x
 = 
i i
i
f .x
f


, onde x i é o ponto médio da classe. 
 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Encontre a média aritmética das seguintes distribuições : 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
3. MODA 
 A Moda é outra medida de tendência central. 
 
 DEFINIÇÃO : Chama-se Moda o valor mais frequente em uma distribuição, ou seja, o valor 
que mais aparece em uma distribuição. 
 
 Portanto a Moda às vezes é localizada por simples exame na distribuição. 
 As distribuições de frequências podem ter uma ou mais modas ou nenhuma 
moda. Quando a distribuição possui mais de uma moda dizemos que ele é Plurimodal; e 
quando o conjunto não possui moda a distribuição é Amodal. 
 A moda é trabalhada principalmente com variáveis qualitativas. 
 
 
3.1 – CÁLCULO DA MODA 
1º Caso : Valores não Agrupados 
 Como já foi dito na definição a Moda será o valor que mais aparecer na distribuição. 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Determine a Moda nos conjuntos abaixo : 
 
a) M = { 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8 } b) W = { 4, 4, 7, 7, 10, 10 } 
 
c) D = { 1, 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 9, 9, 9, 12, 12 } d) N = { 1, 3, 6, 0 } 
 
 
2º Caso : Valores Tabelados não Agrupados em Classe 
 Neste caso, basta consultar a tabela e verificar a maior frequência, o valor cor-
respondente a maior frequência, será a moda da distribuição. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
 
1. Determine a moda nas distribuições abaixo : 
a) b) 
 
 
 
2. O quadro abaixo mostra as respostas de uma amostra de 1040 pessoas que foram per-
guntadas se a qualidade do ar em sua cidade está melhor ou pior do estava a 10 anos atrás . 
Qual é a moda desta pesquisa ? 
 
 
 
29 
 
3º Caso : Valores Tabelados Agrupados em Classe 
 Neste caso, a classe que apresenta a maior frequência, é denominada classe 
modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é valor dominante que está 
compreendido entre os limites da classe modal. 
 O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto mé-
dio da classe modal. Damos a este valor a denominação de Moda Bruta, ou seja : 
 
 M o = *L
2
l* , onde : l * limite inferior da classe modal ; 
 L*  limite superior da classe modal 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO: Encontre a moda da distribuição abaixo : 
 
 
 
 Existem outras maneiras de se determinar o valor da Moda, e uma delas é utili-
zando a fórmula de Czuber , ou seja : 
 
 M o = l i + 
21
1
DD
D

 . h , onde : l i  limite inferior da classe modal 
 D 1  –  ant 
 D 2   –  post 
 h  amplitude da classe modal 
   frequência da classe modal 
  ant  frequência da classe anterior à classe modal 
  post  frequência da classe posterior à classe modal 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
 
1. Determine a moda nas distribuições abaixo : 
a) b) 
 
 
 
 
30 
 
 
4. MEDIANA 
 DEFINIÇÃO : A Mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem( cres-
cente ou decrescente ), é o valor situado de tal forma no conjunto que separa 
este em duas partes com o mesmo número de elementos . 
 
 
 Elemento Mediano( E Md ) é o valor que identifica a posição da mediana. 
 
 Para encontrarmos o Elemento Mediano fazemos uso das seguintes fórmulas : 
 
a) E Md = n 1
2

 , se n é ímpar ; 
 
b) E Md = n
2
 , se n é par , onde n é o número de elementos de um conjunto ou distribuição. 
 
 
 
4.1 – CÁLCULO DA MEDIANA 
 
1º Caso : Valores não Agrupados 
 Para este caso, os valores são ordenados segundo uma ordem( crescente ou 
decrescente) em, seguida, encontramos o Elemento Mediano ( E Md ) e então encontra-se a 
Mediana. 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Encontre a mediana nos conjuntos abaixo : 
 
a) M = { 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9 } 
 
b) F = { 12, 3, 6, 2, 15, 7 } 
 
c) D = { 4, 7, 5, 8, 12, 15, 8, 20 } 
 
 
2º Caso : Valores Tabulados não Agrupados em Classe 
 Neste caso, acrescenta-se à tabela a coluna das frequências simples acumula-
da, que servirá juntamente com Elemento Mediano( E Md ), para encontrar a mediana. 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : Encontre a mediana de cada distribuição abaixo : 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
31 
 
3º Caso : Valores Tabelados Agrupados em Classe 
 Quando os dados da variável em estudo estiverem agrupados em classe, o pro-
blema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a Mediana . 
 Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a media-
na( classe mediana ). Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência 
acumulada imediatamente superior ao Elemento Mediano( E Md ) . 
 Feita a identificação da classe onde se encontra a Mediana, então podemos fa-
zer uso da fórmula : 
 
 M d = l i + md antE F
f
. h , onde : l i  limite inferior da classe mediana 
 E Md  elemento mediano 
 F ant  frequência acumulada da classe anterior à classe 
mediana 
  frequência simples da classe mediana l 
 h  amplitude do intervalo da classe mediana 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS : 
 
1. Determine o valor da mediana nas distribuições abaixo : 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
5. QUARTIS – DECIS – PERCENTIS 
 Os Quartis, Decis e Percentis, assim como a Mediana dividem uma distribuição 
em : quatro, dez e cem partes iguais respectivamente. 
 Par o cálculo de qualquer uma das medidas acima, procedemos de modo análo-
go ao cálculo da mediana, porém temos que ter o cuidado no cálculo do elemento que identi-
fica a classe em que o Quartil( n = 4 ), o Kentil( n = 5 ), o Decil( n = 10 ) ou o Percentil( n = 
100 ), se encontra, ou seja : 
 
P i = l i + E pi−F ant
f
. h , onde : l i  limite inferior da classe do percentil 
E pi  elemento percentil 
F ant  frequência acumulada da classe anterior à classe do percentil 
h  amplitude do intervalo da classe do percentil 
  frequência simples da classe percentil 
 
E p i =
ii. f
n
 , onde : i  posição da separtariz 
  i  total da variável em estudo 
 
 
EXERCÍCIO BÁSICO : 
 
1. Nos conjuntos abaixo, encontre Q1, Q3 , D3, D8, C12, C90. 
 
a) M = { 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9 } 
 
b) F = { 12, 3, 6, 2, 15, 7 } 
 
c) D = { 4, 7, 5, 8, 12, 15, 8, 20 } 
 
 
2. Seja a distribuição de frequência representada na tabela abaixo : 
 
 
 Determine as seguintes separatrizes : 
 
a) Q 3 b) K 4 c) D 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Considerando os conjuntos de dados : 
 
a) E = { 3, 5, 2, 6, 5 , 9, 5, 2, 8, 6 } b) D = { 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20 , 15, 7 } 
 
c) A = { 51,6 ; 48,7 ; 50, 3 ; 49,5 ; 48,9 } d) M = { 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 } 
 
Calcule a média, a moda e a mediana de cada conjunto . 
 
 
2. Sejam os valores da concentração de potássio ( mmol/ l ) no plasma de 14 cães. 
 
4,37 4,87 4,35 3,92 4,68 4,54 5,24 
4,59 4,66 4,40 4,73 4,83 4,21 4,54 
 
Determine : 
 
a) a média b) a mediana 
 
 
3. Sejam os pesos em gramas de 21 porquinhosdaíndia Hartley : 
 
314 991 789 556 412 425 499 
350 893 756 455 297 598 510 
388 642 474 333 421 685 536 
 
Determine : 
 
a) o peso médio; b) o peso mediano ; 
 
 
4. Os seguintes dados mostram a ventilação pulmonar em repouso de 25 ovinos adultos( l / 
min ). 
 
8,3 8,0 9,9 6,15,5 
10,3 6,5 7,6 7,6 7,6 
6,9 10,3 7,8 7,3 8,9 
10,1 7,6 9,1 8,3 4,8 
10,2 6,5 9,1 7,0 11,9 
 
Construa uma distribuição de frequências com classe onde o intervalo de classe seja 1,0 l/m 
e o limite inferior da 1ª classe seja 4,25 e então determine : 
 
a) A média b) A mediana c) a moda 
 
 
 
 
 
 
34 
 
5. Seja os pesos em kg de 20 coelhos hídricos Norfolk, abatidos aos três meses de idade. 
Construa uma distribuição de frequências com cinco classes( i = 5 ) onde l 1 = 2,50 kg. 
 
a) Encontre todos os tipos de frequências ; 
b) Determine os pontos médios das classes ; 
c) Construa um histograma da distribuição . 
 
 
 
 
6. Os dados abaixo referemse ao consumo de matéria seca( em kg ) por novilhos de 
dois anos na Fazenda R duplo. 
 
 
 
a) Construa uma distribuição de frequências onde l 1 = 10 e h = 0,3 e determine todos 
os tipos de frequências ; 
 
b) Determine os pontos médios das classes ; 
 
 
7. Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, em termos 
de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi substituída pela 
nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso segundo a tabela : 
 
 
 
a) Calcular o aumento médio de peso por animal. 
 
b) Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médio de peso de 
3,100 kg/animal, esta nova ração pode a princípio ser considerada mais eficiente ? 
 
 
35 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Consideremos os seguintes conjuntos de valores : 
 
 N = { 7, 7, 7, 7, 7 }, B = { 5, 6, 7, 8, 9 } e C = { 2, 5, 8 10, 10 }. 
 
 Se calcularmos a média aritmética de cada conjunto teremos o seguinte resultado : 
 
 
x N = 7 x B = 7 x C = 7 
 
 Vemos, então, que os conjuntos N, B e C apresentam a mesma Média Aritmé-
tica, e é fácil verificar que o conjunto N é mais homogêneo que os conjuntos B e C ; e que 
por sua vez o conjunto B é mais homogêneo que o conjunto C. 
 Esta maior ou menor homogeneidade entre os valores de um conjunto ou de 
uma distribuição de frequências em Estatística chama-se Dispersão ou Variabilidade . 
 As principais medidas de dispersão são : Amplitude Total, Desvio Padrão, Va-
riância e Coeficiente de Variação. 
 
 
2. AMPLITUDE TOTAL 
 A Amplitude Total é a diferença entre o maior e o menor valor observado em um 
conjunto ou distribuição, isto é : 
 
 AT = x( máx. ) – x ( min ) . 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 . Encontre a amplitude total dos conjuntos do item anterior. 
 
 
2 . Sejam as distribuições abaixo, encontre a amplitude de cada uma. 
 
a) 
x i 0 1 2 3 4 
 i 2 6 12 7 3 
 
 
b) 
x i 1 2 3 4 5 6 
 i 2 5 8 6 3 1 
 
 
 
 
 
3. DESVIO PADRÃO – VARIÂNCIA 
 A variância e o desvio padrão, ao contrário da amplitude total levam em conside-
ração todos os valores da variável em estudo, o que faz delas índices de dispersão bastante 
estáveis e, por isso mesmo, os mais empregados. 
 
 
36 
 
3.1 – CÁLCULO 
1º Caso : Dados não Agrupados 
 Para dados não agrupados podemos utilizar as fórmulas : 
 
s2 =  
2
ix x
n
 ( Variância ) s = 
2s
( Desvio padrão ) 
 
EXERCÍCIO : Encontre o desvio padrão amostral do conjunto A = { 8, 19, 11, 15, 16, 18 } 
 
 
2º Caso : Dados Tabelados 
 Neste caso, temos que levar em consideração as frequência, então : 
 
 2 =   
 
 
 
2
i i2
i i
f .x1
f .x
n n
 ou s 2 =    
 
 


2
i2
i
f .x1
f .x
n 1 n
 
  desvio padrão populacional e s  desvio padrão amostral 
 
 
EXERCÍCIO : Encontre o desvio padrão amostral distribuição abaixo : 
 
x i 0 1 2 3 4 
 i 2 6 12 7 3 
 
 
3.2  INTERPRETAÇÃO DO DESVIO PADRÃO 
 Se a amostra for grande e os dados tiverem distribuição simétrica e em forma de 
sino( figura ) , valem as seguintes considerações : 
 
  68% das observações ficam dentro do intervalo 
x
  s ; 
  95% das observações ficam dentro do intervalo 
x
  2s ; 
  99% das observações ficam dentro do intervalo 
x
  3s ; 
 
 
 
 O desvio padrão reflete a variação média absoluta dos dados em torno da média 
aritmética. Quanto menor for o desvio padrão de um processo produtivo, menor será a varia-
bilidade apresentada no produto final e, portanto, maior qualidade terá o produto. 
 
37 
 
4. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 Trata-se de uma medida relativa de dispersão, muito útil para a comparação em 
termos relativos de grau de concentração em torno da média de séries distintas. 
 O coeficiente de variação é calculado utilizando-se a fórmula : 
 
 C.V = 
s
x
 , onde s é a variância e 
x
 é a média aritmética da distribuição. 
 
EXERCÍCIO : Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo 
grupo de alunos de uma determinada escola. 
 
 
 
 Nesse grupo de alunos , o que apresenta maior dispersão, as estaturas ou os 
pesos ? 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Uma amostra da produção leiteira de vacas da Fazenda Sol Nascente forneceu o 
seguinte resultado. 
 
 
 
a) Determine a média, a moda e a mediana ; 
b) Determine Q 1, Q 3, P 10 e P 90 ; 
c) Determine o desvio padrão e o coeficiente de variação . 
 
 
2. Em uma granja foi observada a distribuição dos frangos em relação ao peso, que 
era o seguinte : 
 
Peso( g ) n i 
960  980 60 
 980  1000 160 
1000  1020 280 
1020  1040 260 
1040  1060 160 
1060  1080 80 
total 1000 
 
 
38 
 
a) Qual a média da distribuição ? 
 
b) Qual a variância amostral da distribuição ? 
 
c) Construir o histograma ? 
 
d) Queremos dividir os frangos em quatro categorias, em relação ao peso, de modo que : 
 
  os 20% mais leves sejam da categoria D ; 
  os 30% seguintes sejam da categoria C ; 
  os 30% seguintes sejam da categoria B ; 
  os 20% seguintes sejam da categoria A ; 
Quais os limites de peso entre as categorias A, B, C e D ? 
 
e) O granjeiro decide separar deste lote os animais com peso inferior a dois desvios padrões 
abaixo da média para receberem ração reforçada, e também separar os animais com peso 
superior a um e meio desvio padrão acima da média para usalós como reprodutores. Qual 
a porcentagem de animais que serão separados em cada caso ? 
 
 
3. Dado o histograma abaixo, calcular a média, a variância, a moda, a mediana e o 1º 
quartil 
 
 
 
4. Calcule a variância e o desvio padrão dos dados apresentados no quadro do exer-
cício 1, em cada idade e comente o resultado. 
 
 
5. Os seguintes dados mostram a ventilação pulmonar em repouso de uma amostra de 
25 ovinos adultos( L / min ) : 
 
8,3 8,0 9,9 6,1 5,5 
10,3 6,5 7,6 7,6 7,6 
6,9 10,3 7,8 7,3 8,9 
10,1 7,6 9,1 8,3 4,8 
10,2 6,5 9,1 7,0 11,9 
 
Faça uma distribuição de frequência com 6 classe e h = 1,2 , construa um histograma 
e determine : 
 
a) A média, a moda, a mediana, Q 1 e Q 3 ; 
 
b) o desvio padrão e a variância 
 
 
 
39 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Quando uma distribuição é Simétrica, as três medidas de tendência central( 
Média, Moda e Mediana ) coincidem, caso contrário a distribuição chama-se Assimétrica. 
Quanto maior for a diferença entre as medidas de tendência central maior é a assimetria da 
distribuição. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos: 
 
 I) 
x
 = Md ( 
x~
 ) = Mo, a curva é simétrica ; 
 II) Mo < Md ( 
x~
 ) < 
x
, a curva é Assimétrica positiva ; 
 III) 
x
 < Md ( 
x~
 ) < Mo , a curva é Assimétrica negativa. 
 
 
 
 
2. CÁLCULO DA ASSIMETRIA 
 
2.1 – COMPARAÇÃO ENTRE AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Baseando-se nas relações acima entre a média e a moda, podemos empregá-las 
para determinar o tipo de Assimetria, ou seja : 
 
 I) se 
x
 – Mo = 0, então a assimetria é Nula ; 
 II) se 
x
 – Mo > 0, então a assimetria é Positiva ou à Direita ; 
 III) se 
x
 – Mo < 0, então a assimetria é Negativa ou à Esquerda . 
 
 
2.2 – COEFICIENTE DE ASSIMETRIA OU ÍNDICE DE PEARSON 
 A medida anterior, por ser absoluta, não permite a possibilidade de comparação 
entre as medidas de duas distribuições, para isto utilizamos o Coeficiente de Assimetria ou 
Índice de Pearson, ou seja : 
 
A s = 3.(x Md)
s
 . 
 
 Se 0,15 < | A s |< 1 , a assimetria é considerada Moderada ; se | A s | > 1 , en-
tão a assimetria é Forte . 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Para o conjunto A = { 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 }. Elabore uma 
tabela de frequência e encontre a grau de assimetria desta distribuição . 
 
 
2. Classifique, quanto à assimetria, à distribuição abaixo, segundo o coeficiente de 
Pearson. 
 
a) b) 
 
 
 
 
3. Sejam os dados da tabela abaixo. Determine o tipo de assimetria calculando o coe-
ficiente de Pearson. 
 
 
 
 
4. Aviva.19  Calcule a média e a mediana do conjunto de dados listados a seguir. 
Classifique o conjunto com relação a assimetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
MEDIDAS DE CURTOSE 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Denominamos Curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a 
uma distribuição padrão, denominada Curva Normal. 
 
 De acordo com o grau de curtose, podemos ter três tipos de curvas de frequência. 
 
a) Mesocúrtica  se a curva de frequências apresenta um grau de achatamento equivalen-
te ao da Curva Normal. 
 
 
 
 
b) Platicúrtica  se a curva de frequências apresentar um grau de achatamento maior que 
o da Curva Normal. 
 
 
 
 
c) Leptocúrtica  se a curva de frequências apresentar um grau de achatamento menor 
que o da Curva Normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
2. CÁLCULO DO GRAU DE CURTOSE 
 Para o cálculo do grau de curtose de uma curva de frequências podemos utilizar 
o Coeficiente Percentílico de Curtose, ou seja : 
 
C = 
)CC(2
QQ
1090
13


 , onde : Q3  3º quartil ; Q1  1º quartil ; C90  90º percentil e 
C10  10º percentil 
 
 
 Relativamente à Curva Normal, temos que : 
 
 I) se C = 0,263 , a curva é Mesocúrtica ; 
 II) se C < 0,263 , a curva é Leptocúrtica ; 
 III) se C > 0,263 , a curva é Platicúrtica 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1. Para o conjunto A = { 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9 }. Elabore uma tabela 
de frequência e encontre a grau de curtose desta distribuição . 
 
 
2. Classifique, quanto à assimetria, à distribuição abaixo, segundo o coeficiente de 
Pearson. 
 
a) b) 
 
 
 
 
3. Abaixo temos a distribuição de frequências dos pesos de uma amostra de 45 porquinhos 
da índia, determine . 
 
peso( g ) 40  45 45  50 50  55 55  60 60  65 65  70 
 i 4 10 15 8 5 3 
 
a) a média b) a variância c) C.V 
 
 
4. Com relação à questão anterior, classifique a distribuição quanto ao grau de curtose e de 
assimetria. 
 
 
43 
 
 
NOÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Um automóvel será sorteado dentre os clientes de um shopping center . Paulo 
depositou 50 cupons em uma das urnas espalhadas pelo shopping , e Márcia depositou 20 
cupons . Hoje dia do sorteio, os conteúdos de todas as urnas foram juntados, formando uma 
pilha de 10000 cupons. É possível medir a possibilidade de cada um dos participantes do 
sorteio ganhar o automóvel. Por exemplo, como Paulo possui 50 cupons dentre os 10000 
que participam do sorteio, então a possibilidade de Paulo ser sorteado será de 
10000
50
 ; as-
sim também temos que a possibilidade de Márcia ser sorteada é de 
10000
20
. As frações 
10000
50
 e 
10000
20
 são chamadas de probabilidade de Paulo e Márcia ganharem o prêmio 
respectivamente. 
 A probabilidade é a base da estatística inferencial, ou seja, é o mecanismo 
pela qual a inferência é realizada. 
 
 
 
2. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 Suponha que quatro bolas de gude, três delas pretas e uma branca, sejam colo-
cadas em uma caixa. Agora, sacudimos a caixa e, depois, com os olhos fechados, coloca-
mos a mão dentro do balde e tiramos uma bola . Agora, perguntamos : " Qual é a probabili-
dade de que a bola retirada seja preta ? Se a sua resposta algo do tipo três quartos ou 
75% , teremos que concordar com a sua resposta. Pela resposta, podemos verificar que a 
chance de ser sorteada uma bola preta é a quantidade de bolas pretas ( N P ) dividido pelo 
número total de bolas no balde( N ) , ou seja : 
 
P( A ) = 
PN
N
 . 
 
 DEFINIÇÃO : Num experimento aleatório equiprovável, sendo n( U ) o de elementos do 
espaço amostral U e n( E ) o número de elementos do evento E, então 
dizemos que a probabilidade de que ocorra o evento A é : 
 
P( A ) = 
n(E)
n(U)
 = 
númerodecasosfavoráveis
númerodecasospossíveis
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
 
1. Uma família quer comprar um cachorro. Sabe–se que a probabilidade de se escolher 
um cachorro da espécie Doberman é 40% e desse animal ter pelagem preta é de 28%. 
Independente de ser Doberman ou não a probabilidade de ser preto é 50%. Represente 
estas probabilidades em um diagrama de Venn. 
 
 
2. O gráfico de barras a seguir mostra o maior nível educacional atingido pelos funcioná-
rios da empresa Cães e Gatos . 
44 
 
 
 
 
 
Encontre a probabilidade de que o nível educacional mais alto atingido por um funcionário 
escolhido aleatoriamente seja : 
 
a) Ph. D b) Técnico c) Mestrado 
 
 
2.1 – PROPRIEDADES 
 
1ª : Se A =  , então o n( A ) = 0 e P( A ) = 0 ( probabilidade do evento impossível ) ; 
 
2ª : Se A = U , então o n( A ) = n( U ) e P( A ) = 1 ( probabilidade do evento certo ) 
 
3ª : Se A ≠ U, então 0 ≤ n( A ) ≤ n( U ) , logo : 0 ≤ P( A ) ≤ 1 
 A probabilidade de um evento acontecer é sempre um número entre 0( zero ) e 1( um ). 
 
4ª : Se A e 
A
 são eventos complementares, então P( A ) + P(
A
 ) = 1 
 
 
 
3. TABELAS DE CONTIGÊNCIA 
 Seja uma amostra composta de duas características associadas a cada gato 
em um grupo de vinte. Cada um dos vinte gatos é caracterizado como branco( B ) e não 
branco( 
B
 ), portador de uma doença ( D ), ou não portador da doença( 
D
 ). 
 
 
 
 Baseado na figura acima, responda as seguintes perguntas : 
 
a) Qual é a probabilidade de selecionarmos um gato aleatoriamente dessa população e 
descobrir que ele é branco ? 
 
45 
 
b) Qual é a probabilidade de selecionarmos um gato aleatoriamente dessa população e 
descobrir que ele é não portador de doença ? 
 
c) Qual é a probabilidade de selecionarmos um gato aleatoriamente dessa população e 
descobrir que ele é branco e portador de doença ?d) Qual é a probabilidade de selecionarmos um gato aleatoriamente dessa população e 
descobrir que ele não é branco e portador de doença ? 
 
 
 
3.1  TABELAS DE FREQUÊNCIAS 
 Os dados utilizados para os cálculos do item anterior podem ser resumidos 
convenientemente em uma tabela, chamada de tabela de contingência, como mostra a 
figura abaixo 
 
 
EXERCÍCIO : Utilize os valores da tabela anterior e determine as seguintes probabilidades : 
P( 
B
 ) , P( D ) , P( B
D
 ), P( 
B D
 ) . 
 
 
 
4. PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Em muitas aplicações estatísticas, o interesse está apenas em uma parte es-
pecificada da população. Por exemplo, a pergunta : " Qual é a probabilidade de doença 
sendo que a seleção é feita dentre os brancos ? " 
 
SOLUÇÃO : Vejamos a figura abaixo, onde a população está sem os gatos não brancos . 
 
 
 
 Temos que D  B = 9 e n( B ) = 12 , logo p = 
( )
( )
n D B
n B

 = 
9
12
 = 0,75 . 
 Para esta probabilidade utilizamos a notação P( D | B ), que é lido " qual é a probabi-
lidade de estar doente sendo que é branco. Essa forma de probabilidade é conhecida 
como probabilidade condicional . 
 
 
EXERCÍCIO : Utilize a tabela de frequências do exercício anterior( figura 1 ) e calcule as 
seguintes probabilidades : P(
D
 | B ) e P( 
B
 | 
D
 ) . 
 
46 
 
 
4.1 – TABELAS DE PROBABILIDADES 
 Outra forma de construir tabelas de contingência é obtida pela divisão de conta-
gem em uma tabela de frequência pelo total( N ), a fim de obtermos as probabilidades. A 
tabela de probabilidades abaixo foi construída a partir da tabela de frequência da figura 1 
 
 
 
 As probabilidades calculadas no exercício anterior podem ser calculadas utili-
zandose a tabela de frequências( figura 2 ). Você poderá notar que em algumas probabi-
lidades a ordem das características não são importantes, por exemplo : P( BD ) = P( DB ), 
mas para as probabilidades condicionais a ordem importa, pois P( B | D ) é diferente de 
P( D | B ). 
 
4.2 – EVENTOS INDEPENDENTES 
 Outro fato interessante nos métodos estatísticos é a independência entre 
eventos, muito utilizado na área da saúde. 
 
DEFINIÇÃO : Seja um espaço amostral U, finito e não vazio. Sejam A e B eventos de U, 
então dizemos que A e B são eventos independentes se, e somente se : 
 
 P( B / A ) = P( B) ou P( A / B) = P( A ) e neste caso P( A  B ) = P( A ) . P( B ) . 
 
EXERCÍCIO : Seja a tabela de probabilidade abaixo. 
 
 
 
Calcule as seguintes probabilidades : P( A ) , P( 
B
), P( A  
B
 ), P( 
A B
 ) , P(
A
  B ) e 
diga se A e B são eventos independentes ? Justifique a sua resposta. 
 
 
 
4.2 – MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 Sejam U um espaço amostral equiprovável, finito e não vazio. Sejam A e B 
eventos de U então : 
 
P( A  B ) = P( A ) . P( B / A ) . 
 
 Se A e B são independentes então podemos concluir que : 
 
P( A  B ) = P( A ) . P( B ) , ou seja, que se a probabilidade conjunta de A e 
B ( probabilidade da interseção de A e B ) for igual ao produto de suas probabilidades 
marginais então A e B são independentes. 
 
47 
 
4.3 – TEOREMA DE BAYES 
 
 Vamos apresentar a Regra de Bayes para completar o assunto. Em sua forma 
mais simples, a regar de Bayes permite que você use P( A | B ) para determinar P( B | A ) 
que é expressa do seguinte modo : 
 
P( B | A ) = 
( | ). ( )
( | ). ( ) ( | ). ( )
P A B P B
P A B P B P A B P B
 . 
 
 Para completar temos que sendo A e B dois eventos quaisquer então : 
 
P( A  B ) = P( A ) + P( B )  P( A  B ) . 
 
 
 
5. SENSIBILIDADE, ESPECIFICIDADE E CONCEITOS RELACIONADOS 
 
 A eficiência do teste em si pode ser avaliada por meio do cálculo de sua sen-
sibilidade, especificidade, valor preditivo positivo e valor preditivo negativo . Para 
exemplificar vamos utilizar uma tabela de probabilidade, para explicar cada um desses 
conceitos. 
 
 
 
 Observando a tabela acima temos : D  doença ; 
D
  ausência de doença ; 
+  teste positivo e   teste negativo. Para entender a tabela vejamos o que temos : 
 
 . 0,015 da população é portadora da doença e obtém resultado positivo ; 
 
 . 0,970 da população não é portadora da doença e obtém um resultado negativo 
 
 Agora veremos os conceitos seguidos de exemplos, utilizando os dados da 
tabela acima. 
 
DEFINIÇÃO 1 : Sensibilidade é a probabilidade de uma pessoa portadora da doença re-
ceber um resultado positivo, ou seja : 
 
Sensibilidade = P( + | D ) . 
 
 Utilizando a tabela temos : sensibilidade = 
0,015
0,020
 = 0,75 ; isto significa que 
apenas 75% da pessoas portadoras da doença são identificadas corretamente. 
 
 
 
 
 
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DEFINIÇÃO 2 : Especificidade é a probabilidade de uma pessoa não portadora da doença 
receber um resultado negativo, ou seja : 
 
Sensibilidade = P(  | 
D
 ) . 
 
 Utilizando a tabela temos : especificidade = 
0,97
0,98
 = 0,99 ; isto significa que 
se você não tiver a doença, é quase certo( mas não totalmente ) que receberá um resul-
tado negativo. 
 
DEFINIÇÃO 3 : Valor preditivo positivo é a probabilidade de uma pessoa que recebe um 
resultado positivo ser portador da doença, ou seja : 
 
VPP = P( D | + ) . 
 
 Utilizando a tabela temos : VPP = 
0,015
0,025
 = 0,60 ; isso significa que, se uma 
pessoa recebe um resultado positivo, a probabilidade de ela ser portadora da doença é de 
apenas 60% . 
 
DEFINIÇÃO 4 : Valor preditivo negativo é a probabilidade de uma pessoa que recebe um 
resultado negativo não ser portador da doença, ou seja : 
 
VPN = P(
D
 |  ) . 
 
 Utilizando a tabela temos : VPN = 
0,970
0,975
 = 0,99 ; isso significa que, se uma 
pessoa recebe um resultado negativo, a probabilidade de ela não ser portadora da doen-
ça é de apenas 99% . 
 
 Temos ainda a Prevalência é a probabilidade da pessoa ter doença, ou seja : 
 
Prevalência = P( D ) . 
 
 Pela tabela temos que P( D ) = 0,02, ou seja 2% . 
 
 
EXERCÍCIO : Utilize a tabela abaixo, e determine a sensibilidade, a especificidade, o valor 
preditivo positivo, o valor preditivo negativo e a prevalência. 
 
 
 
 
5.1 – RAZÕES DE RISCO E DE CHANCES 
 Dentro da estatística descritiva, temos duas estatísticas muito utilizadas em 
pesquisas relacionadas à saúde, são elas : razão de risco e razão de chances. 
 
 
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RAZÃO DE RISCO 
 As perguntas de pesquisa normalmente questionam por exemplo se as pes-
soas ou animais expostas a um fator de risco em potencial são mais ou menos propensas 
a desenvolver uma doença do que as que não experimentaram a exposição. Como por 
exemplo, qual é a probabilidade de um animal vacinado contrair a doença ? Um método 
comum para comparar as probabilidades de doença para animais expostos e não expos-
tos é agrupa–lós em uma proporção chamada de razão de risco. Matematicamente te-
mos que razão de risco é expressa como : 
 
RR = 
P(D | E)
P(D | E)
, onde D é doente, E é exposição e 
E
 não exposição.. 
 
 
RAZÃO DE CHANCES 
 Em certas pesquisas a razão de risco não oferece uma comparação significa-
tiva entre os grupos exposto ou não exposto. Nesses casos, a razão de chances é fre-
quentemente utilizada para fins de comparação. A chance de um evento ocorrer é a razão 
entre a probabilidade de que ele ocorra e a probabilidade de que não ocorra.