Aula 4- Método das Forças

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Método das Forças
Prof. Dra. Luciana T. Kataoka de Freitas
Método das Forças
Condições básicas para solução de estruturas hiperestáticas:
• Condições de equilíbrio
• Condições de compatibilidade
• Condições sobre o comportamento dos materiais (leis
constitutivas)
Solução de Estruturas Hiperestáticas pela 
transformação em diversas Estruturas Isostáticas
Método das forças incógnitas são forças ou momentos
Reações de apoio
Esforços internos
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Classificação das estruturas 
hiperesetáticas
• Externamente hiperestática – não é possível
determinar as reações de apoio pelas equações
da estática
• Internamente hiperestática – é possível calcular
reações de apoio, mas não é possível
determinar esforços internos pelas equações da
estática
• Internamente e externamente hiperestática -
não é possível determinar esforços internos e
reações de apoio somente com equações da
estática
Método das Forças
Metodologia:
Superposição de soluções básicas isostáticas
• Identificar o grau de hiperestaticidade (g)
• Separar a estrutura hiperestática em casos básicos isostáticos
• Os casos básicos são compostos por um sistema principal (Caso 0) e outros
sistemas auxiliares (Caso 1), (Caso 2), ...
• O sistema principal é uma estrutura isostática, na qual são liberados os vínculos
que a tornam hiperestática
• Os sistemas auxiliares são estruturas isostáticas, na qual são impostos
deslocamentos ou rotações unitários no vínculo retirado
• O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade mais um
Esforços associados aos vínculos eliminados (incógnitas) são chamados de
hiperestáticos (Xi), sendo i o índice que varia de 1 ao grau de hiperestaticidade (g)
• No Caso 0 considera os carregamentos externos
• Utilizar termos de carga i,j para o deslocamento e a rotação do vínculo eliminado
associado ao hiperestático (Xi)
• Utilizar PTV para calcular os termos de carga
• Reestabelecer as condições de compatibilidade
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Fonte: Martha
Convenção de sinais
Qual sentido adotar para o esforço unitário?
Qualquer sentido
Interpretação dos sinais:
• Se o resultado do deslocamento ou rotação
forem negativos é porque tem sentido contrário
ao carregamento adotado
• Se forem positivos é porque tem mesmo sentido
do carregamento unitário
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Equações de compatibilidade
O número de equações de compatibilidade é 
igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura
ቊ𝛿ଵ଴ + 𝛿ଵଵ ȉ 𝑋ଵ + 𝛿ଵଶ ȉ 𝑋ଶ = 0𝛿ଶ଴ + 𝛿ଶଵ ȉ 𝑋ଵ + 𝛿ଶଶ ȉ 𝑋ଶ = 0
𝛿ଵ଴
𝛿ଶ଴
+ 𝛿ଵଵ 𝛿ଵଶ𝛿ଶଵ 𝛿ଶଶ
ȉ 𝑋ଵ𝑋ଶ
= 00
𝛿଴ + 𝛿 ȉ 𝑋 = 0
 𝛿଴ − 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝛿 − 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑋 − 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
𝛿௝௜ = 𝛿௜௝
Matriz simétrica
Exemplo
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1. Grau de Hiperestaticidade
• Número de equações de equilíbrio: 3
• Número de incógnitas: 5
(HA, VA, MA, HB, VB)
• Grau de hiperestaticidade (g):
g = 5-3 = 2 (externa)
  0xF   0YF   0M
VA
HA
VB
HB
MA
2. Casos Básicos
(Caso 0)
=
+ +
(Caso 1) (Caso 2)
.X1 .X2
1kNm
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3. Equações de compatibilidade
3.1 Equação de compatibilidade
3.2 Determinar os termos de cargas i,j
ቊ𝛿ଵ଴ + 𝛿ଵଵ ȉ 𝑋ଵ + 𝛿ଵଶ ȉ 𝑋ଶ = 0𝛿ଶ଴ + 𝛿ଶଵ ȉ 𝑋ଵ + 𝛿ଶଶ ȉ 𝑋ଶ = 0
𝛿 = න
𝑀ഥ ȉ 𝑀
𝐸 ȉ 𝐼
𝑑𝑠 + න
𝑁ഥ ȉ 𝑁
𝐸 ȉ 𝐴
𝑑𝑠 + න
𝛾 ȉ 𝑉ത ȉ 𝑉
𝐺 ȉ 𝐴
𝑑𝑠
Pequena em relação a integral momento
3.2 Termos de carga i,j
(Caso 0) (Caso 1)
(Caso 2)
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4. Configuração final
Tabela das integrais ∫ 𝑴 ȉ 𝑴ഥ 𝒅𝒔 para barras retas