Prova A3 calculo I - romulo

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A3/a3c1_161.pdf
REGRAS:
•E´ expressamente proibido o uso de celulares, calculadoras ou qualquer outro tipo de objeto eletroˆnico.
•Questo˜es sem justificativas/desenvolvimento sera˜o desconsideradas.
•Na˜o e´ permitido usar a regra de l’Hoˆpital.
•E´ obrigato´rios o preenchimento dos cabec¸alhos da folha de questo˜es e caderno de respostas .
1)(2 pts) Uma part´ıcula de massa constante m desloca-se ao longo do eixo x. Sua velocidade v e
posic¸a˜o x, satisfazem a equac¸a˜o
1
2
m(v2 − v20) =
1
2
k(x20 − x2),
onde k, x0 e v0 sa˜o constantes. Mostre que se v 6= 0,
m
dv
dt
= −kx.
2)(2pts) Dada a func¸a˜o f(x) = x
4
4 − 2x2 + 4 determine:
a)(0.5pts) Pontos cr´ıticos;
b)(0.5pts) Intervalos de crescimento e decrescimento;
c)(0.5pts) Pontos de ma´ximo e mı´nimo;
d)(0.5pts) Concavidade e pontos de inflexa˜o, caso existam.
3)(2 pts) Determine a a´rea delimitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, onde a e b sa˜o constantes.
4)(2pts) No problema de valor inicial determine y em func¸a˜o de x.{
x dydx =
√
x2 − 4, x ≥ 2
y(2) = 0.
5)(2pts) A`s vezes sociologos usam a expressa˜o ”difusa˜o social”para descrever o modo como a
informac¸a˜o se dissemina entre uma populac¸a˜o. A informac¸a˜o pode ser um boato, uma novidade
cultural ou not´ıcias sobre uma inovac¸a˜o te´cnica. Em uma populac¸a˜o suficientemente grande, o nu´mero
de pessoas x que teˆm a informac¸a˜o e´ tratado como uma func¸a˜o diferencia´vel do tempo e a taxa de
difusa˜o, dxdt , e´ proporcional ao nu´mero de pessoas que teˆm a informac¸a˜o multiplicado pelo nu´mero de
pessoas que na˜o a teˆm. Isso fornece a equac¸a˜o,
dx
dt
= kx(N − x),
onde N e´ a populac¸a˜o total. Suponha que t seja medido em dias, k = 1/250 e duas pessoas deˆem
in´ıcio a um boato no momento t = 0 em uma populac¸a˜o de N = 1.000 pessoas.
a)(1pt) Encontre x como func¸a˜o de t;
b)(1pt) Quando metade da populac¸a˜o tera´ ouvido o boato?(Este e´ o momento em que o boato se espa-
lhara´ mais ra´pido.)
Boa Prova!!!
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A3/a3c1_141.pdf
REGRAS:
•E´ expressamente proibido o uso de celulares, calculadoras ou qualquer outro tipo
de objeto eletroˆnico.
•Questo˜es sem justificativas/desenvolvimento sera˜o desconsideradas.
•O preenchimento dos cabec¸alhos da folha de questo˜es e caderno de respostas sa˜o
obrigato´rios.
1)(2pts) Derive:
f(x) = ln
(√
sin(2x)
)√
x2 + 1
2)(2pts) Determine TODOS os pontos do gra´fico y(x) = x3 + 2x− 4x+ 5, nos quais a reta
tangente tem inclinac¸a˜o horizontal.
3)(2 pts) Dada f(x) = 2 + 2x2 − x4.
a)(0,5pt) Ache os pontos cr´ıticos de f ;
b)(0,5pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o;
c)(0,5pt) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, caso existam;
d)(0,5pt) Determine os pontos de inflexa˜o, caso existam.
4)(4 pts) Calcule as integrais :
a)(1pt pt)
∫
e2x cos(x)dx.
b)(2pts pt)
∫
dx
x
√
9−4x2
.
c)(1 pt)
∫
2x−3
x3−x2dx.
Boa Prova!!!
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A3/a3c1_142.pdf
REGRAS:
•E´ expressamente proibido o uso de celulares, calculadoras ou qualquer outro tipo de objeto eletroˆnico.
•Questo˜es sem justificativas/desenvolvimento sera˜o desconsideradas.
•Na˜o e´ permitido usar a regra de l’Hoˆpital.
•O preenchimento dos cabec¸alhos da folha de questo˜es e caderno de respostas sa˜o obrigato´rios.
1)(2 pts) Uma part´ıcula de massa constante m desloca-se ao longo do eixo x. Sua velocidade
v e posic¸a˜o x, satisfazem a equac¸a˜o
1
2
m(v2 − v20) =
1
2
k(x20 − x2)
onde k,x0 e v0 sa˜o constantes. Mostre que se v 6= 0,
m
dv
dt
= −kx
2)(2pts) Dada a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 no intervalo I = [−1, 3]. Determine:
(a) Pontos cr´ıticos; (b) Intervalos de crescimento e decrescimento;
(c) Concavidade; (d) Pontos de ma´ximo, de mı´nimo e inflexa˜o caso existam.
3)(2 pts) Resolva a integral
∫
(7x− 5) sin(2x)dx por partes.
4)(2pts) Encontre o comprimento de arco do gra´fico f(x) = x2 de x = 0 ate´ x = 12 . Sabendo que
a fo´rmula para o comprimento de arco e´ dada por C =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx.
5)(2pts) Resolva a integral
∫
5x3−6x2−68x−16
x3−2x2−8x dx por frac¸o˜es parciais.
Boa Prova!!!
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