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A3/a3c1_161.pdf REGRAS: •E´ expressamente proibido o uso de celulares, calculadoras ou qualquer outro tipo de objeto eletroˆnico. •Questo˜es sem justificativas/desenvolvimento sera˜o desconsideradas. •Na˜o e´ permitido usar a regra de l’Hoˆpital. •E´ obrigato´rios o preenchimento dos cabec¸alhos da folha de questo˜es e caderno de respostas . 1)(2 pts) Uma part´ıcula de massa constante m desloca-se ao longo do eixo x. Sua velocidade v e posic¸a˜o x, satisfazem a equac¸a˜o 1 2 m(v2 − v20) = 1 2 k(x20 − x2), onde k, x0 e v0 sa˜o constantes. Mostre que se v 6= 0, m dv dt = −kx. 2)(2pts) Dada a func¸a˜o f(x) = x 4 4 − 2x2 + 4 determine: a)(0.5pts) Pontos cr´ıticos; b)(0.5pts) Intervalos de crescimento e decrescimento; c)(0.5pts) Pontos de ma´ximo e mı´nimo; d)(0.5pts) Concavidade e pontos de inflexa˜o, caso existam. 3)(2 pts) Determine a a´rea delimitada pela elipse x 2 a2 + y 2 b2 = 1, onde a e b sa˜o constantes. 4)(2pts) No problema de valor inicial determine y em func¸a˜o de x.{ x dydx = √ x2 − 4, x ≥ 2 y(2) = 0. 5)(2pts) A`s vezes sociologos usam a expressa˜o ”difusa˜o social”para descrever o modo como a informac¸a˜o se dissemina entre uma populac¸a˜o. A informac¸a˜o pode ser um boato, uma novidade cultural ou not´ıcias sobre uma inovac¸a˜o te´cnica. Em uma populac¸a˜o suficientemente grande, o nu´mero de pessoas x que teˆm a informac¸a˜o e´ tratado como uma func¸a˜o diferencia´vel do tempo e a taxa de difusa˜o, dxdt , e´ proporcional ao nu´mero de pessoas que teˆm a informac¸a˜o multiplicado pelo nu´mero de pessoas que na˜o a teˆm. Isso fornece a equac¸a˜o, dx dt = kx(N − x), onde N e´ a populac¸a˜o total. Suponha que t seja medido em dias, k = 1/250 e duas pessoas deˆem in´ıcio a um boato no momento t = 0 em uma populac¸a˜o de N = 1.000 pessoas. a)(1pt) Encontre x como func¸a˜o de t; b)(1pt) Quando metade da populac¸a˜o tera´ ouvido o boato?(Este e´ o momento em que o boato se espa- lhara´ mais ra´pido.) Boa Prova!!! 1 A3/a3c1_141.pdf REGRAS: •E´ expressamente proibido o uso de celulares, calculadoras ou qualquer outro tipo de objeto eletroˆnico. •Questo˜es sem justificativas/desenvolvimento sera˜o desconsideradas. •O preenchimento dos cabec¸alhos da folha de questo˜es e caderno de respostas sa˜o obrigato´rios. 1)(2pts) Derive: f(x) = ln (√ sin(2x) )√ x2 + 1 2)(2pts) Determine TODOS os pontos do gra´fico y(x) = x3 + 2x− 4x+ 5, nos quais a reta tangente tem inclinac¸a˜o horizontal. 3)(2 pts) Dada f(x) = 2 + 2x2 − x4. a)(0,5pt) Ache os pontos cr´ıticos de f ; b)(0,5pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o; c)(0,5pt) Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, caso existam; d)(0,5pt) Determine os pontos de inflexa˜o, caso existam. 4)(4 pts) Calcule as integrais : a)(1pt pt) ∫ e2x cos(x)dx. b)(2pts pt) ∫ dx x √ 9−4x2 . c)(1 pt) ∫ 2x−3 x3−x2dx. Boa Prova!!! 1 A3/a3c1_142.pdf REGRAS: •E´ expressamente proibido o uso de celulares, calculadoras ou qualquer outro tipo de objeto eletroˆnico. •Questo˜es sem justificativas/desenvolvimento sera˜o desconsideradas. •Na˜o e´ permitido usar a regra de l’Hoˆpital. •O preenchimento dos cabec¸alhos da folha de questo˜es e caderno de respostas sa˜o obrigato´rios. 1)(2 pts) Uma part´ıcula de massa constante m desloca-se ao longo do eixo x. Sua velocidade v e posic¸a˜o x, satisfazem a equac¸a˜o 1 2 m(v2 − v20) = 1 2 k(x20 − x2) onde k,x0 e v0 sa˜o constantes. Mostre que se v 6= 0, m dv dt = −kx 2)(2pts) Dada a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2 no intervalo I = [−1, 3]. Determine: (a) Pontos cr´ıticos; (b) Intervalos de crescimento e decrescimento; (c) Concavidade; (d) Pontos de ma´ximo, de mı´nimo e inflexa˜o caso existam. 3)(2 pts) Resolva a integral ∫ (7x− 5) sin(2x)dx por partes. 4)(2pts) Encontre o comprimento de arco do gra´fico f(x) = x2 de x = 0 ate´ x = 12 . Sabendo que a fo´rmula para o comprimento de arco e´ dada por C = ∫ b a √ 1 + [f ′(x)]2dx. 5)(2pts) Resolva a integral ∫ 5x3−6x2−68x−16 x3−2x2−8x dx por frac¸o˜es parciais. Boa Prova!!! 1
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