Prova 2 do ano anterior - referência

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Fundamentos de Teoria da Computac¸a˜o - T02
Avaliac¸a˜o P2 - 14/05/2018 FACOM - UFMS
Nome:
RGA:
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Nota
A avaliac¸a˜o e´ individual e sem consulta. Nas demonstrac¸o˜es, seja claro e indique o me´todo de
prova utilizado.
1. (1,5) Suponha que x e´ um nu´mero real tal que x > 2. Prove que, x3 > x2 + x.
2. (1,5) Suponha que x e y sa˜o nu´meros inteiros. Prove que se x2(y + 3) e´ par, enta˜o x e´ par ou
y e´ ı´mpar.
3. (1,5) Suponha que a e b sa˜o nu´meros inteiros. Prove, por contradic¸a˜o, que se 4|(a2 + b2) enta˜o
a e´ par ou b e´ par.
4. (2,5) Prove que a sequeˆncia {an} definida abaixo e´ tal que ak = (k + 2)
2 para todo inteiro
k ≥ 0.
an =
{
4 , se n = 0,
an−1 + 2n+ 3 , se n ≥ 1.
5. (2,0) Sejam a e b dois nu´meros reais na˜o nulos tais que a+ b e a · b sa˜o ambos nu´meros inteiros.
Prove que an + bn e´ inteiro para todo n ∈ N. Dica: para n ≥ 2, use ambos os fatos que
an−1 + bn−1 e an−2 + bn−2 sa˜o inteiros para obter an + bn e´ inteiro.
6. (1,0) Prove que o conjunto A = {pi,−pi2, pi3,−pi4, pi5, . . .} e´ conta´vel.