Gabarito 3ª Lista de Exercícios Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 3 
Métodos para Resolução de Sistemas Lineares 
 
Respostas: Método de Eliminação de Gauss 
1. X = [39/19 42/19 -47/19]
T
 
2. X = [ ]
T
 
3. Demonstração 
4. X = [1,52 -0,67 0,76]
T
 
5. (a) X = [0.00 1.00]
T
 
(b) X = [1.00 1.00]
T 
(c) ERa > ERb. Logo, a segunda solução é mais precisa. 
6. (a) Sem pivoteamento: x1 = 12,50 e x2 = 0.9994; Com pivoteamento: x1 = 12,5 e x2 = 
0,9994 
(b) Sem pivoteamento: x1 = 0,0 e x2 = 2.5; Com pivoteamento: x1 = 0,5 e x2 = 2,5 
(c) Sem pivoteamento: x1 = 0,0, x2 = 0,0 e x3 = 1,1; Com pivoteamento: x1 = 1,0, x2 = 1,0 e 
x3 = 1,0 
(d) Sem pivoteamento: x1 = -0.5, x2 = 0,997451 e x3 = 0,5; Com pivoteamento: x1 = 1,0, x2 = 
1,0 e x3 = 1,0 
 
Respostas: Fatoração de Matrizes (LU, Cholesky e LDLT) 
 
7. (a) X = [-4 3,889 0,222]
T 
(b) det(A) = det(L).det(U) = 2277 
8. (a) Existe a decomposição LU de A. 
(b) A = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.U 
(c) det(A) = -13 
(d) X = [ ]
T 
(e) X = [-29/13 76/13 6/13]
T
 
9. Matriz A = [
 
 
 
 
] 
Matriz L = [
 
 
 
 
] 
Matriz U = [
 
 
 
 
] 
 
10. Somente as Matrizes B e C. 
B = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.U 
C = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.U 
11. (a) A = [
 
 
] = [
 
 
].[
 
 
] = L.U 
 (b) A = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.U 
 (c) A = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.U 
 (d) A = [
 
 
] = [
 
 
].[
 
 
] = L.U 
12. (a) det(A) = 27 
 (b) det(A) = -13 
 (c) det(A) = 89,1 
 (d) det(A) = ad – bc 
13. (a) Demonstração 
 (b) a- (a) A = [
 
 
] = [
 
 
].[
 
 
].[
 
 
] = L.D.Ū 
 b- A = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.D.Ū 
 c- A = [
 
 
 
] = [
 
 
 
].[
 
 
 
].[
 
 
 
] = L.D.Ū 
 d- A = [
 
 
] = [
 
 
].[
 
 
].[
 
 
] = L.D.Ū 
(c) Quando a matriz A era originalmente simétrica. 
14. (a) X = [
 
 
] e X = [
 
 
] 
 (b) X = [
 
 
 
] e X = [
 
 
 
] 
15. a- A
-1
 = [
 
 
] 
 b- A
-1
 = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = U-1.L-1 
 c- A
-1
 = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = U-1.L-1 
 d- A
-1
 = [
 
 
].[
 
 
] = U-1.L-1 
16. (a) A matriz A é simétrica e positiva definida. Portanto, atende às condições da 
decomposição. 
 (b) A = [
 
 
 
].[
 
 
 
] = G.GT 
 (c) det(A) = 36 
 (d) X = [
 
 
 
] 
 
Respostas: Métodos Iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel) 
 
17. (a) O Método de Jacobi é convergente para esse sistema pois Máx {3/10, 2/5, 5/102} < 1. 
 (b) X
(4)
 = [
 
 
 
] 
18. (a) O Método de Jacobi não converge para esse sistema. 
19. (a)  = Max { = 11/20 < 1. Logo o Método de Gauss-Seidel convergirá. 
 (b) X
(4)
 = [
 
 
 
] 
20. Demonstração 
21. Norma do máximo: ||M||∞ = 1,2 
 Norma 1: ||M||∞ = 0,9 
22. (a) Pelo Método de Jacobi: X
(5)
 = [
 
 
] 
Pelo Método de Gauss-Seidel: X
(4)
 = [
 
 
] 
(b) Pelo Método de Jacobi: X
(5)
 = [
 
 
 
] 
Pelo Método de Gauss-Seidel: X
(5)
 = [
 
 
 
] 
23. Demonstração