Teoria de Galois

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Teoria de Galois
MAT/UFMG - Vera˜o/2009
Ana Cristina Vieira e Sandra Mara Alves
Finalmente, o objetivo das pro´ximas sec¸o˜es e´ descrever detalhadamente a conexa˜o entre
os corpos intermedia´rios de uma espec´ıfica extensa˜o K de F com os subgrupos do grupo
de Galois GalFK. Para isto trataremos inicialmente alguns fatos importantes.
1 O grupo de Galois
Vamos comec¸ar com uma pergunta. Dada uma extensa˜o K de F e u ∈ K alge´brico sobre
F com o polinoˆmio minimal p(x) ∈ F [x], sabemos que se σ ∈ GalFK enta˜o σ(u) tambe´m
e´ uma raiz de p(x). Mas, a rec´ıproca desta questa˜o e´ verdadeira? Ou seja, se v ∈ K e´ raiz
de p(x) enta˜o existe σ ∈ GalFK tal que σ(u) = v? Felizmente, a resposta e´ sim, veja o
resultado abaixo.
Teorema 1.1 Seja K o corpo de decomposic¸a˜o de algum polinoˆmio sobre F e seja u, v ∈
K. Enta˜o, sa˜o equivalentes:
1. u e v teˆm o mesmo polinoˆmio minimal.
2. Existe σ ∈ GalFK tal que σ(u) = v.
Obeservac¸a˜o: Se K o corpo de decomposic¸a˜o de algum polinoˆmio sobre F ⊇ Q enta˜o
|GalFK| = [K : F ].
Ale´m disso, se K = F (u) e´ uma extensa˜o simples de F , podemos determinar todos os
F -automorfismos de K por suas ac¸o˜es sobre u. Como e´ o caso de K = C = R[i] com
GalRC = {Id, σ} ∼= Z2 aonde σ(a+ bi) = a− bi. A questa˜o e´:
SeK = F (u1, · · · , un) enta˜o um automorfismo deGalFK pode ser totalmente determinado
por suas ac¸o˜es sobre u1, · · · , un?
Podemos respondeˆ-la com o seguinte:
Teorema 1.2 Seja K = F (u1, · · · , un) uma extensa˜o alge´brica sobre F . Enta˜o, se σ, τ ∈
GalFK tal que σ(ui) = τ(ui) para cada i = 1, · · · , n enta˜o σ = τ .
Exemplos:
1. GalQ(Q(
√
p,
√
q)) ∼= Z2 × Z2, quando p e q sa˜o primos distintos. Em particular,
GalQ(Q(
√
3,
√
5)) ∼= Z2 × Z2.
1
2. GalQQ( 4
√
2, i) ∼= D4.
Observe na verificaca˜o do exemplo 1 acima que todo automorfismo no grupo de Galois
permuta as quatro ra´ızes de f(x) = (x2 − 3)(x2 − 5) que e´ separa´vel sobre seu corpo
de decomposic¸a˜o Q(
√
3,
√
5). Pore´m, isto na˜o e´ um privile´gio somente deste exemplo,
vejamos:
Teorema 1.3 Seja K o corpo de decomposic¸a˜o de algum polinoˆmio separa´vel f(x) ∈ F [x]
de grau n. Enta˜o, se σ ∈ GalFK enta˜o σ permuta todas as ra´ızes de f(x), ou seja, GalFK
e´ isomorfo a um subgrupo de Sn.
Cuidado: A rec´ıproca deste resultado na˜o e´ verdadeira, isto e´, uma permutac¸a˜o σ ∈ Sn
na˜o necessariamente define um F -automorfismo de K. Use K = Q(
√
3,
√
5) e f(x) =
(x2 − 3)(x2 − 5) do exemplo acima para buscar um contra-exemplo.
Exemplos:
1. GalQQ( 3
√
2, ξ) ∼= S3, onde ξ e´ a raiz cu´bica da unidade.
2. GalQK ∼= S5 onde K = Decomp(x5 − 6x+ 3,Q).
Como nosso interesse e´ associar um subgrupo do grupo de Galois com cada corpo inter-
media´rio de uma extensa˜o, voltemos ao corpo fixado EH se H e´ um subgrupo de GalFK
e vamos fazer alguns exemplos.
Exerc´ıcio: Volte no grupo GalQQ(
√
3,
√
5) e tome σ tal que σ(
√
3) =
√
3 e σ(
√
5) = −√5.
Encontre o corpo fixado EH se H = {Id, σ}.
Exerc´ıcio: Encontre todos os poss´ıveis corpos fixados a partir de GalQQ( n
√
p).
Para fechar a aula, observe o seguinte:
Dado K = Q(
√
3,
√
5) e E = Q(
√
3) enta˜o H = {Id, σ} = GalQ(√3)Q(
√
3,
√
5) ≤
GalQQ(
√
3,
√
5) e E e´ o corpo fixado de H. Ale´m disso, K e´ normal, separa´vel sobre
o corpo fixado E. Isto e´ um exemplo de:
Teorema 1.4 Seja K uma extensa˜o finita de F . Se H e´ um subgrupo de GalFK e E e´
o corpo fixado de H enta˜o K e´ uma extensa˜o simples, normal, e separa´vel de E.
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