Apostila-Galois

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Caṕıtulo 1
Extensões de corpos
1.1 Teorema Fundamental da teoria dos corpos
No nosso estudo de anéis vimos que a criação do anel quociente IR[x]
<x2+1>
, o qual é isomorfo
a lC, nos permite estender o corpo IR a um corpo no qual o polinômio x2 + 1 possui suas
ráızes. O mesmo ocorre com corpos finitos como no caso de ZZ7, onde x
2 + 1 não tem
ráızes e o anel quociente ZZ7[x]
<x2+1>
, o qual é isomorfo a ZZ7[i] = {a+ bi|a, b ∈ ZZ7 e i2 = −1}.
Observe que como x2 + 1 é irredut́ıvel sobre ZZ7, o ideal < x
2 + 1 > é maximal e ZZ7[x]
<x2+1>
é
um corpo. Pensando em ZZ7[i] também conseguimos estender o corpo ZZ7 a um corpo onde
x2 + 1 possui suas ráızes. Vamos generalizar essa idéia para obter o Teorema Fundamental
da teoria dos corpos. Primeiro definiremos extensões de corpos.
Definição 1.1.1 (Extensões de corpos) Um corpo E é uma extensão do corpo F se E
tiver uma cópia de F, isto é , se existir um homomorfismo injetivo de F em E.
Notação : E | F ou F ⊆ E.
Exemplo 1.1.2 lC é uma extensão de IR
Exemplo 1.1.3 ZZ7[i] é uma extensão de ZZ7
Exemplo 1.1.4 lC é uma extensão de lQ
Exemplo 1.1.5 IR é uma extensão de lQ
Exemplo 1.1.6 lQ(x) é uma extensão de lQ. Lembre-se que lQ(x) é o corpo quociente de
lQ[x] = {f(x)
g(x)
| f(x), g(x) ∈ lQ[x] e g(x) 6= 0}.
Exemplo 1.1.7 lQ[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ lQ} é uma extensão de lQ. Lembre-se que
lQ[
√
2] é um corpo. Por quê?
Exemplo 1.1.8 Vimos na teoria de anéis que todo corpo de caracteŕıstica p tem uma
cópia do corpo ZZp e que todo corpo de caracteŕıstica 0 tem uma cópia dos racionais lQ
(ver Cor.4.3.5 da apostila de anéis ). Assim, todo corpo de caracteŕıstica p é uma extensão
do corpo ZZp e todo corpo de caracteŕıstica 0 é uma extensão de lQ.
1
2 CAPÍTULO 1. EXTENSÕES DE CORPOS
Teorema 1.1.9 (Teorema de Kronecker-1887) Seja F um corpo e f(x) um polinômio
não constante em F [x]. Então existe uma extensão E do corpo F no qual f(x) tem um
zero( ou raiz ).
Demonstração
Como F [x] é um DFU(domı́nio de fatoração única), f(x) pode ser fatorado em polinômios
irredut́ıveis e então podemos afirmar que f(x) possui um fator irredut́ıvel , digamos, p(x).
Assim basta construir uma extensão E de F na qual p(x) tem um zero. Nosso candidato
para E vai ser F [x]
<p(x)>
. Como p(x) é irredut́ıvel sobre F já provamos que este anel quociente
é um corpo. A aplicação φ : F → E dada por φ(a) = a+ < p(x) > é claramente um
homomorfismo de anéis injetivo. Verifique! Assim E possui uma cópia de F e podemos
”pensar ”que F está contido em E se identificamos cada elemento a de F com a classe
a+ < p(x) > de E. Pense em como IR está imerso em lC!
Agora só falta provar que p(x) tem um zero em E. Suponha que
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a0.
Então, em E, x+ < p(x) > é um zero de p(x). Com efeito,
p(x+ < p(x) >) = an(x+ < p(x) >)
n + an−1(x+ < p(x) >)
n−1 + ...+ a0.
p(x+ < p(x) >) = an(x
n+ < p(x) >) + an−1(x
n−1+ < p(x) >) + ...+ a0.
Usando a identificação de F em E temos
p(x+ < p(x) >) = anx
n+an−1x
n−1 + ...+a0+ < p(x) >= p(x)+ < p(x) >= 0+ < p(x) > .
Exemplo 1.1.10 Seja f(x) = x2 − 2 ∈ lQ[x]. Em E = lQ[x]
<x2−2> , f(x) possui raiz pois
f(x+ < x2 − 2 >) = (x+ < x2 − 2 >)2 − 2 =
= (x2+ < x2 − 2 >)− 2 = x2 − 2+ < x2 − 2 >= 0+ < x2 − 2 > .
Observe que o corpo IR é uma extensão de lQ, a qual contém uma raiz de x2−2, mas o que
queremos enfatizar é que apenas a partir de lQ constrúımos um corpo , o qual “ contém
” lQ e uma raiz do polinômio x2 − 2.
Exemplo 1.1.11 Seja f(x) = x5 + 3x3 + 4x2 + 2x+ 3 ∈ ZZ5[x]. A fatoração de f(x) sobre
ZZ5 é (x
3 + x+ 4)(x2 + 2).Assim, para achar uma extensão de ZZ5 na qual f(x) tem uma
raiz, nós podemos tomar E = ZZ5[x]
<x3+x+4>
, um corpo com 125 elementos ou E = ZZ5[x]
<x2+2>
, um
corpo com 25 elementos.
Como todo domı́nio pode ser imerso em seu corpo quociente, temos que todo polinômio
definido sobre um domı́nio possui uma raiz num corpo que contém o anel de seus coefici-
entes. O exemplo seguinte mostra que isto não é válido para todo anel em geral.
Exemplo 1.1.12 Seja f(x) = 3x + 2 ∈ ZZ6[x]. Então f(x) não possui raiz em nenhum
anel que contém ZZ6: se tivesse uma raiz α então 3α+2 = 0 e 2(3α+2) = 0, o que significa
que 4 = 0 em ZZ6, o que não é verdade.
1.2. CORPO DE FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO 3
Exerćıcio 1.1.13 (Exerćıcio de programação ) Seja f(x) = x3 + x+ 1 ∈ ZZ7[x].
1. Prove que f(x) é irredut́ıvel sobre ZZ7 e que f(x) não possui nenhum zero em ZZ7.
2. Crie uma extensão E de ZZ7 tal que f(x) possua uma raiz.
3. Mostre que E1 = {a+ bψ + cψ2 | a, b, c ∈ ZZ7 e ψ3 + ψ + 1 = 0} é uma extensão de
ZZ7 que contem um zero de f(x).Quantos elementos E1 tem?
4. Escreva como se multiplica dois elementos de E1.
5. Usando o MAPLE faça um programa para implementar a multiplicação em E1
6. Usando o MAPLE faça um programa para achar o inverso de um elemento de E1.
7. Usando o MAPLE faça um programa para achar quais elementos de E1 possuem raiz
quadrada.
8. E1 possui todas as ráızes de f(x)? Ache uma extensão de ZZ7, na qual f(x) possua
todos os seus zeros.
1.2 Corpo de fatoração de um polinômio
No exemplo 1.1.10 vimos que o polinômio f(x) = x2 − 2 ∈ lQ[x] possui uma raiz em
E = lQ[x]
<x2−2> , a saber β = x+ < x
2 − 2 >. Observamos que −β também é raiz de f(x).
Assim a fatoração de f(x) em E vai ser dada por fatores lineares:
f(x) = x2 − 2 = (x− β)(x+ β).
Se você resolveu o Exerćıcio 1.1.13 voce concluiu que o polinômio f(x) = x3 + x+ 1 ∈
ZZ7[x] também se fatora em fatores lineares em ZZ7[ψ]; a saber,
f(x) = (x− ψ)(x2 + ψx+ ψ2 + 1) = (x− ψ)(x− 6− 2ψ2)(x− 1− 6ψ − 5ψ2).
Será que isto também acontece no Exemplo 1.1.11 onde f(x) = x5 +3x3 +4x2 +2x+2 =
(x3 +x+4)(x2 +2) ∈ ZZ5[x] ? Sabemos que f(x) tem uma raiz na extensão E = ZZ5[x]<x3+x+4> .
Logo f(x) = (x− β)(x2 + βx+ β2 + 1)(x2 + 2) onde β = x+ < x3 + x+ 4 >. Será que E
contém todas as ráızes de f? Isto é, E possui as ráızes dos polinômios x2 + βx + β2 + 1 e
x2 +2? As ráızes de x2 +βx+β2 +1 são
−β±
√
2β2+1
2
e as ráızes de x2 +2 são ±
√
−2. Assim
basta verificar se em E existe algum elemento cujo quadrado é 2β2 + 1 e também se E
possui algum elemento cujo quadrado é −2. Lembre-se que os elementos de E se escrevem
de modo único na forma aβ2 + bβ + c onde a, b, c ∈ ZZ5 e β3 + β + 4 = 0. Por quê?
Exerćıcio 1.2.1 (Exerćıcio de programação ) Faça um programa no Maple para sa-
ber se f(x) = x5 + 3x3 + 4x2 + 2x+2 = (x3 + x+ 4)(x2 + 2) ∈ ZZ5[x] possui todas as suas
ráızes em E = ZZ5[x]
<x3+x+4>
.
4 CAPÍTULO 1. EXTENSÕES DE CORPOS
Definição 1.2.2 Sejam F um corpo , f(x) ∈ F [x] e E uma extensão de F. Dizemos que
f(x) se fatora em E se f(x) se escreve como produto de fatores lineares em E[x].
Exemplo 1.2.3 O polinômio x2 + 1 ∈ IR[x] não se fatora em IR e se fatora em lC, pois
x2 + 1 = (x+ i)(x− i). Observe que x2 + 1 se fatora também no corpo lQ[i] = {a+ bi|a, b ∈
lQ e i2 = −1}.
Definição 1.2.4 (Corpo de fatoração de um polinômio) Sejam F um corpo , f(x) ∈
F [x] e E uma extensão de F. Dizemos que E é corpo de fatoração de f(x) sobre F se
f(x) se fatora em E e não se fatora em nenhum subcorpo de E.
Observe que o corpo de fatoração de um polinômio sobre um corpo depende não somente
do polinômio como também do corpo onde estão definidos seus coeficientes. Podemos dizer
que o corpo de fatoração de um polinômio f sobre um corpo F é o menor corpo que contém
F e todas as ráızes de f.
Exemplo 1.2.5 O corpo lQ[x]
<x2+1>
≡ lQ[i] = {a + bi|a, b ∈ lQ e i2 = −1} é um corpo de
fatoração de x2 + 1 ∈ lQ[x] sobre lQ . Observe que lQ[i] = {a + bi|a, b ∈ lQ e i2 = −1}
realmente é o menor corpo que contém lQ e ±i. Com efeito, todo anel que contém lQ e i
tem que conter elementos da forma a + bi onde a, b ∈ lQ, pela definição de anel. Mas o
conjunto desses elementos forma um anel. Prove isto! Mas este anel é um corpo pois é
isomorfo a lQ[x]
<x2+1>
e x2 + 1 é irredut́ıvelsobre lQ.
O polinômio x2 + 1 ∈ lQ[x] se fatora em lC, mas lC não é corpo de fatoração de x2 + 1
sobre lQ pois lQ[i] ⊂ lC e lQ[i] 6= lC . Observe que o corpo de fatoração de x2 + 1 sobre IR é
IR[i] ≡ lC.
Exemplo 1.2.6 O corpo de fatoração de x2 − 5 sobre lQ é lQ[
√
5] = {a+ b
√
5 | a, b ∈ lQ}.
Observe que x2− 5 se fatora em IR e portanto IR é um corpo de fatoração de x2− 5 sobre
IR.
1.3 As notações F (a1, a2, a3, ..., an) e F [a1, a2, a3, ..., an]
Seja F um corpo e a ∈ E onde E é uma extensão de F.
A notação F [a] significa o menor subanel de E que contém F e a. Como a própria
notação sugere, F [a] vai ser o conjunto dos polinômios em a com coeficientes em F :
F [a] = {b0 + b1a+ b2a2 + ...+ bmam | m ∈ IN e bi ∈ F}
Com efeito, todo subanel de E que contenha F e a tem que conter todos os polinômios
em a com coeficientes em F, pela definição de anel. É fácil ver que o conjunto de tais
polinômios já forma um subanel de E e assim é o menor anel que contém F e a.
A notação F (a) significa o menor subcorpo de E que contém F e a. Como F [a] ⊂ E é o
menor subanel de E que contém F e a, pela definição de corpo quociente de um domı́nio,
temos que F (a) vai ser o corpo quociente de F [a]:
1.3. AS NOTAÇÕES F (A1, A2, A3, ..., AN ) E F [A1, A2, A3, ..., AN ] 5
F (a) = {f(a)
g(a)
| f(a), g(a) ∈ F [a] e g(a) 6= 0} ⊂ E
Assim, quando F [a] for um corpo, então F [a] = F (a). Isto ocorre por exemplo com
lQ[
√
2] e IR[i] pois esses anéis já são corpos.
Analogamente podemos definir F [a, b] como F [a][b] quando temos a, b ∈ E. Logo F [a, b]
é o menor subanel de E que contém F[a] e b. Logo F [a, b] vai ser o menor subanel de E
que contém F e os elementos a e b :
F [a, b] = {c0 + c1b+ c2b2 + ...+ cmbm | m ∈ IN e ci ∈ F [a]}
É fácil ver que F [a, b] vai ser o conjunto dos polinômios em a e b com coeficientes em F.
Também F (a, b) o menor corpo ( ou melhor, subcorpo de E) que contém F e os
elementos a e b e será o corpo quociente de F[a,b]:
F (a, b) = {f(a, b)
g(a, b)
| f(a, b), g(a, b) ∈ F [a, b] e g(a, b) 6= 0}.
Com esta nova notação , temos que o corpo de fatoração de um polinômio f sobre o
corpo F é F (a1, a2, ..., an) onde a1, a2, ..., an são as ráızes de f em alguma extensão de
F. A existência de tal extensão será provada a seguir. Antes veremos alguns exemplos de
como construir o corpo de fatoração de um polinômio. Para isto temos de saber escrever
como se escreve os elementos de F (a).
Em alguns casos podemos concluir que o anel F [a] é um corpo. Isto ocorre quando a é
raiz de um polinômio irredut́ıvel sobre F.
Teorema 1.3.1 (F(a)=F[a] ) Seja F um corpo e p(x) ∈ F [x] um polinômio irredut́ıvel
sobre F. Se a é um zero de p(x) em alguma extensão E de F, então F (a) é isomorfo a
F [x]
<p(x)>
. E mais, se grau p(x) = n, então todo elemento de F (a) pode ser escrito unicamente
na forma
cn−1a
n−1 + cn−2a
n−2 + ...+ c1a+ c0,
onde c0, c1, ..., cn−1 ∈ F
Demonstração
Considere a função φ de F [x] para F (a) dada por φ(f(x)) = f(a). Claramente , φ é um
homomorfismo de anéis. Nós afirmamos que kerφ =< p(x) >. Como p(a) = 0 temos que
< p(x) >⊂ kerφ. Por outro lado, como p(x) é irredut́ıvel sobre F temos que < p(x) > é um
ideal maximal de F [x] e sendo kerφ 6= F [x] ( por quê?) temos que kerφ =< p(x) >. Pelo
Teorema fundamental dos homomorfismos temos que φ(F [x]) ≡ F [x]
<p(x)>
e assim conclúımos
que o subanel φ(F [x]) de F (a) é um corpo . Observe que φ(F [x]) = F [a] e assim conclúımos
que F (a) = F [a] ≡ F [x]
<p(x)>
.
Para concluir o teorema basta observar que os elementos de F [x]
<p(x)>
podem ser escritos de
forma única como
cn−1x
n−1 + cn−2x
n−2 + ...+ c1x+ c0+ < p(x) >,
6 CAPÍTULO 1. EXTENSÕES DE CORPOS
onde c0, c1, ..., cn−1 ∈ F . Com efeito, senão existiria um polinômio de grau menor que n em
< p(x) >= {p(x)q(x) | q(x) ∈ F [x]}. Pelo isomorfismo natural de F [x]
<p(x)>
em F [a] temos
que x+ < p(x) > é levado em a, e então cn−1x
n−1 + cn−2x
n−2 + ...+ c1x+ c0+ < p(x) > é
levado em cn−1a
n−1 + cn−2a
n−2 + ...+ c1a+ c0.
Exemplo 1.3.2 O corpo de fatoração de x2 − 2 sobre lQ é lQ(
√
2) = lQ[
√
2] = {a +
b
√
2 | a, b ∈ lQ} pois x2 − 2 é irredut́ıvel sobre lQ.
Exemplo 1.3.3 O corpo de fatoração de x2 +1 sobre lQ é lQ(i) = lQ[i] = {a+bi | a, b ∈ lQ}
pois x2 + 1 é irredut́ıvel sobre lQ.
Exemplo 1.3.4 O corpo de fatoração de x2+1 sobre IR é IR(i) = IR[i] = {a+bi | a, b ∈ IR}
pois x2 + 1 é irredut́ıvel sobre IR.
Exemplo 1.3.5 O corpo de fatoração de x2+1 sobre ZZ7 é ZZ7(i) = ZZ7[i] = {a+bi | a, b ∈
ZZ7 e i
2 = −1 } pois x2 + 1 é irredut́ıvel sobre ZZ7.
Exemplo 1.3.6 Vamos agora achar o corpo de fatoração E de f(x) = x3 − 2 sobre lQ.
Usando nossos conhecimentos sobre os números complexos, E = lQ( 3
√
2, 3
√
2ω, 3
√
2ω2) =
lQ( 3
√
2, ω) onde ω = cos2π
3
+ isen2π
3
é uma raiz primitiva 3-ésima da unidade(isto é, gera
todas as outras).
E se não conhecéssemos lC ?
Pelo Teorema de Kronecker sabemos que existe uma extensão E1 de lQ que contém uma
raiz α de f . O menor subcorpo de E1 que contém lQ e α é lQ(α) = {a+ bα+ cα2 | a, b, c ∈
lQ e α3 = 2 } pelo teorema 1.3.1 pois x3 − 2 é irredut́ıvel sobre lQ (por quê?).
Será que todas as ráızes de f já estão em lQ(α)? Para responder a esta pergunta dividimos
x3 − 2 por x− α em lQ(α) e teremos
x3 − 2 = (x− α)(x2 + αx+ α2)
e nossa pergunta passa a ser se x2 + αx+ α2 tem todas as suas ráızes em lQ(α) . As ráızes
de x2 + αx + α2 são −α±α
√
−3
2
. Elas pertencem a lQ(α) ? Para responder a essa pergunta
basta saber se em lQ(α) existe algum elemento cujo quadrado é -3, isto é, existem a,b,c
∈ lQ tal que (a+ bα + cα2)2 = −3? Esta equação resulta no sistema
a2 +4bc = −3
2ab +2c2 = 0
b2 +2ac = 0
o qual não tem solução em lQ.
Assim conclúımos que o polinômio x2 + 3 é irredut́ıvel sobre lQ(α) e novamente pelo
Teorema de Kronecker vai existir uma extensão E2 de lQ(α) onde x
2 + 3 possui suas ráızes
±β = ±
√
−3. Uma tal extensão (a menor) pode ser lQ(α)(β). Logo, o corpo de fatoração
de x3 − 2 sobre lQ vai ser lQ(α)(β) = lQ(α, β)
= {c0 + c1β | β2 = −3 e c0, c1 ∈ lQ(α)}
= {c00 + c01α + c02α2 + c10β + c11αβ + c12α2β | ci,j ∈ lQ , α3 = 2 e β2 = −3}.
Exemplo 1.3.7 O corpo de fatoração de f(x) = x3 + x+ 1 ∈ ZZ7[x] sobre ZZ7 é ZZ7[ψ] =
ZZ7(ψ) = {a+ bψ + cψ2 | a, b, c ∈ ZZ7 e ψ3 + ψ + 1 = 0}
Exemplo 1.3.8 Qual é o corpo de fatoração de f(x) = x5 + 3x3 + 4x2 + 2x + 3 =
(x3 + x+ 4)(x2 + 2) sobre ZZ5?
1.4. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO CORPO DE FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO 7
1.4 Existência e unicidade do corpo de fatoração de um po-
linômio
Já vimos que dado um polinômio não constante f(x) ∈ F [x], sempre existe uma extensão
de F onde f(x) possui uma raiz. No exemplo 1.3.6 constrúımos o corpo de fatoração de
x3 − 2 sobre lQ. O teorema a seguir mostra que sempre podemos achar um corpo de
fatorização de um polinômio.
Teorema 1.4.1 (Existência do corpo de fatoração ) Seja F um corpo e f(x) um
elemento não constante de F [x]. Então existe um corpo de fatoração E de f(x) sobre F .
Demonstração
Usaremos indução sobre o grau de f(x). Se grau de f(x) for 1, então f(x) = ax+ b ∈ F [x]
e o corpo de fatoração de f sobre F vai ser E = F . Agora suponha que a afirmação é
verdadeira para todos os polinômios de grau menor do que o grau de f . Pelo teorema
de Kronecker, F possui uma extensão E1 onde f tem uma raiz, digamos α1. Então nos
podemos escrever f(x) = (x − α1)g(x) onde g(x) ∈ E1[x] é um polinômio de grau menor
que o de f . Pela hipótese de indução , existe um corpo K que contém E1 e todos os zeros
de g(x), digamos α2,α3,...,αn. Claramente, então, o corpo de fatoração de f(x) sobre F é
E = F (α1, α2, ..., αn).
Exemplo 1.4.2 Vamos achar o corpo de fatoração de f(x) = (x2−a)(x2− b) ∈ lQ[x] onde
a e b são números racionais tais que x2 − a e x2 − b são polinômios irredut́ıveis sobre lQ.
Pelo teorema de Kronecker existe uma extensão da formalQ(α) = {c+dα | c, d ∈ lQ e α2 =
a}.
Se x2 − b for redut́ıvel sobre lQ(α) o corpo de fatoração de f(x) vai ser lQ(α). Neste caso
existirá um c + dα ∈ lQ(α) tal que (c + dα)2 = b, de modo que c2 + 2cdα + d2(α)2 = b e
então c2 + ad2 + 2cdα = b, isto é, c2 + ad2 = b e 2cd = 0. Temos que d 6= 0 pois senão
c2 = b e x2 − b seria redut́ıvel sobre lQ, o que não acontece. Logo conclúımos que c = 0
e então a2d2 = ba e portanto x2 − ab é redut́ıvel sobre lQ. Reciprocamente, é fácil ver que
se x2 − ab for redut́ıvel sobre lQ, o corpo de fatoração de f sobre lQ é lQ(α), logo x2 − b é
redut́ıvel sobre lQ(α).
Suponhamos agora que x2 − ab é irredut́ıvel sobre lQ(α), portanto, pelo teorema de
Kronecker, existe uma extensão lQ(α)(β) de lQ(α) onde β2 = b e f = (x− α)(x+ α)(x−
β)(x− β) e assim lQ(α, β) é um corpo de fatoração de f sobre lQ.
Exemplo 1.4.3 Usando o exemplo anterior temos que o corpo de fatoração de f(x) =
(x2− 3)(x2− 12) sobre lQ é lQ(
√
3) e o corpo de fatoração de g(x) = (x2− 3)(x2− 5) sobre
lQ é lQ(
√
3,
√
5) = {A+B
√
5 | A,B ∈ lQ(
√
3)} = {a+b
√
3+c
√
5+d
√
3
√
5 | a, b, c, d ∈ lQ}
Exemplo 1.4.4 Considere o polinômio g(y) = y2 − x ∈ K[y] onde K = ZZ2(x). É fácil
verificar que g é irredut́ıvel sobre K. Com efeito, senão existiria um elemento α = h(x)
f(x)
de K = ZZ2(x) tal que (
h(x)
f(x)
)2 = x, isto é, (h(x))2 = x(f(x))2 e então vemos que isto é
imposśıvel de acontecer em ZZ2[x] (compare por exemplo os graus!). Assim existe pelo
Teorema de Kronecker uma extensão de K(α) de K onde g(y) possui uma raiz α, isto é
α2 = x e temos
g(y) = y2 − x = y2 − α2 = (y − α)2,
isto é, α é a única raiz de g em K(α) e K(α) é o corpo de fatoração de g sobre K.
8 CAPÍTULO 1. EXTENSÕES DE CORPOS
Vamos agora provar que o corpo de fatoração de um polinômio f(x) ∈ F [x] é único a
menos de F -isomorfismo, isto é, isomorfismo cuja restrição a F é a identidade.
Nós começamos verificando que todo isomorfismo de corpos φ de F para F1 tem uma
extensão natural ao anel de polinômios F [x] para F1[x] dada por cnx
n + cn−1x
n−1 + ... +
c1x + c0 7−→ φ(cn)xn + φ(cn−1)xn−1 + ... + φ(c1)x + φ(c0) . Chamaremos tal aplicação
também de φ.
Lema 1.4.5 Sejam F um corpo, p(x) ∈ F [x] irredut́ıvel sobre F, e seja a um zero de p(x)
em alguma extensão de F . Se φ é um isomorfismo de F em F1 e b é um zero de φ(p(x))
em alguma extensão de F1, então existe um isomorfismo de F (a) em F1(b), o qual coincide
com φ em F e leva a em b.
Demonstração
Como p(x) é irredut́ıvel sobre F , φ(p(x)) irredut́ıvel sobre F1. É trabalhoso, mas fácil
provar que a aplicação φ de F [x]
<p(x)>
para F1[x]
<φ(p(x))>
dada por
f(x)+ < p(x) >7−→ φ(f(x))+ < φ(p(x)) >
é um isomorfismo de corpos. Pela prova do Teorema 1.3.1 nós sabemos que existe um
isomorfismo α de F (a) para F [x]
<p(x)>
, a qual é a identidade em F e leva a em x+ < p(x) >.
Similarmente, existe um isomorfismo β de F1[x]
<φ(p(x))>
em F1(b), o qual é a identidade em F1
e leva x+ < φ(p(x)) > para b. Assim, βφα é a aplicação desejada.
F (a) −→ F [x]
<p(x)>
−→ F1[x]
<φ(p(x))>
−→ F1(b)
α φ β
↑ ↑
F −→ F1
φ
Observação :
Se no lema acima p(x) não for irredut́ıvel nada podemos afirmar sobre F (a) ser isomorfo
a F1(b). Por exemplo,
√
2,
√
3 são ráızes de f(x) = (x2− 2)(x2− 3) e no entanto lQ(
√
2) 6≡
lQ(
√
3) pois (
√
2)2 = 2 e então se existisse tal isomorfismo θ, (θ(
√
2))2 = 2, o que é absurdo
pois não existe elemento em lQ(
√
3) cujo quadrado dá 2.
Teorema 1.4.6 Seja φ um isomorfismo de um corpo F para um corpo F1 e f(x) ∈ F [x].
Se E é um corpo de fatoração de f(x) sobre F e E1 é um corpo de fatoração de φ(f(x))
sobre F1, então existe um isomorfismo de E em E1, o qual é igual a φ em F .
Demonstração
Usaremos indução no grau de f(x). Se grau de f(x) for igual a 1, então E = F , E1 = F1 e
φ é a aplicação procurada. Se grau de f(x) for maior que 1, sejam p(x) um fator irredut́ıvel
de f(x), a um zero de p(x) em E, e b um zero de φ(p(x)) em E1. Pelo Lema anterior ,
existe um isomorfismo α de F (a) para F1(b), o qual coincide com φ em F e leva a em b.
Agora escreva f(x) = (x− a)g(x), onde g(x) ∈ F (a)[x]. Então E um corpo de fatoração
1.5. ZEROS DE UM POLINÔMIO IRREDUTÍVEL 9
de g(x) sobre F (a) e F1 é corpo de fatoração de α(g(x)) sobre F1(b). Como o grau de g(x)
é menor que o grau de f(x), existe um isomorfismo de E para E1, o qual coincide com α
em F (a) e assim com φ em F .
Corolário 1.4.7 (corpo de fatoração é único) Seja F um corpo e f(x) ∈ F [x]. Então
quaisquer dois corpos de fatoração E1 e E2 de f(x) sobre F são F- isomorfos(isto é existe
um isomorfismo θ : E1 −→ E2 tal que θ
∣∣∣∣
F
= Identidade.
Demonstração
Suponha que E e E1 são corpos de fatoração de f(x) sobre F . Agora aplique o teorema
anterior fazendo φ = identidade de F em F .
Assim podemos falar ”no”corpo de fatoração de um polinômio.
1.5 Zeros de um polinômio irredut́ıvel
Como estamos interessados em corpo de fatoração de polinômios, é natural querermos
saber quando um polinômio vai ter zeros repetidos chamados de zeros múltiplos. Para
isto vamos precisar da definição formal de derivada de polinômios. Observe que nossa
definição não envolve a noção de limite.
Definição 1.5.1 Seja f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ... + a1x + a0 ∈ F [x]. A derivada de
f(x), denotado por f ′(x) , é o polinômio nanx
n−1 + (n− 1)an−1xn−2 + ...+ a1 ∈ F [x]
O seguinte lema é deixado para você demonstrar e segue direto da definição de derivada.
Lema 1.5.2 Sejam f(x) e g(x) ∈ F [x] e a ∈ F . Então
1. (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
2. (af(x))′ = af ′(x)
3. (f(x)g(x))′ = f(x)g′(x) + g(x)f ′(x)
Teorema 1.5.3 (Critério para zeros múltiplos) Um polinômio f(x) ∈ F [x] onde F é
um corpo tem um zero múltiplo em alguma extensão E se e somente se f(x) e f ′(x) tem
um fator comum de grau positivo em F [x].
Demonstração
Se a é um zero múltiplo de f(x) em alguma extensão E, então existe g(x) ∈ E[x] tal
que f(x) = (x − a)2g(x). Como f ′(x) = (x − a)2g′(x) + 2(x − a)g(x), nós vemos que
f ′(a) = 0.Assim (x−a) é um fator comum de f e f ′ em E[x]. Se f e f ′ não possuem fator
comum de grau positivo em F [x] significa que mdc(f, f ′) = 1 em F [x] e então existem
λ(x), µ(x) ∈ F [x] tais que λ(x)f(x) + µ(x)f ′(x) = 1. Visto como elemento de E[x], temos
que x − a divide λ(x)f(x) + µ(x)f ′(x), ou seja x − a divide 1. Como isto é um absurdo,
conclúımos que f e f ′ possuem um fator comum em F [x].
Reciprocamente, suponha que f e f ′ tenham um fator comum de grau positivo em F [x].
Seja a um zero desse fator comum de f e f ′. Logo a é zero de f e f ′, isto é, existe um
g(x) ∈ F [x] tal f(x) = (x− a)g(x), f ′(x) = (x− a)g′(x) + g(x) e 0 = f ′(a) = g(a), o que
mostra que g(x) = (x− a)g1(x) , f(x) = (x− a)2g1(x) e que f(x) tem um zero múltiplo.
Finalmente vamos ver neste caṕıtulo como são os zeros de polinômios irredut́ıveis.
10 CAPÍTULO 1. EXTENSÕES DE CORPOS
Teorema 1.5.4 (zeros de polinômios irredut́ıveis) Seja f(x) um polinômio irredut́ıvel
sobre um corpo F . Se F tem caracteŕıstica 0, então f(x) não tem zeros múltiplos. Se F
tem caracteŕıstica p 6= 0, então f(x) tem um zero múltiplo se e somente se ele é da forma
f(x) = g(xp) para algum g(x) ∈ F [x].
Demonstração
Se f(x) tem um zero múltiplo, então pelo teorema anterior, f(x) e f ′(x) têm um fator
comum de grau positivo em F [x]. Como f(x) é irredut́ıvel, isto significa que f divide f ′.
Como um polinômio sobre um corpo não pode dividir um polinômio de grau menor, nós
devemos ter f ′(x) = 0.
O que significa f ′(x) = 0? Se nós escrevemos f(x) = anx
n+an−1x
n−1 + ...+a1x+a0 então
f ′(x) = nanx
n−1 + (n − 1)an−1xn−2 + ... + a1 e assim f ′(x) = 0 somente quando kak = 0
para todo k = 1, 2, ..., n.
Se caracteŕıstica de F for 0, nós temos f(x) = a0 e quando caracteŕıstica de F for p 6= 0,
nós temos ak = 0 quando p não divide k. Assim, as únicas potências de x que aparecem
nasoma anx
n + an−1x
n−1 + ... + a1x + a0 são aqueles da forma x
pi = (xp)i. Segue que
f(x) = g(xp) para algum g(x) ∈ F [x].
Exemplo 1.5.5 1. O polinômio f(x) = x4+x3+x2+x+1 é irredut́ıvel sobre lQ. Por quê?
Logo não tem zeros múltiplos. O seu corpo de fatoração vai ser lQ(ω) onde ω = e
2πi
5 .
Com efeito, as ráızes de f(x) são ω, ω2, ω3, ω4, utilizando nossos conhecimentos dos
números complexos. Assim
lQ(ω) = {a+ bω + cω2 + dω3 | a, b, c, d ∈ lQ e ω4 + ω3 + ω2 + ω + 1 = 0 }
2. Considere o polinômio g(y) = y2 − x ∈ K[y] onde K = ZZ2(x). Já verificamos que g
é irredut́ıvel sobre K(veja exemplo 1.4.4).Como g(y) ∈ K[y2] e caracteŕıstica de K é
2, segue que g(y) tem raźes múltiplas como vimos no exemplo 1.4.4: g(y) = y2− x =
y2 − α2 = (y − α)2 e seu corpo de fatoração sobre K é K(α) = {k1 + k2α | k1, k2 ∈
K e α2 = x }
1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 1 11
1.6 Lista de exerćıcios do Caṕıtulo 1
1. Construa subcorpos de lC os quais são corpos de fatoração sobre lQ para os po-
linômios t4 + 5t2 + 6 e t6 − 8. Descreva como são os elementos de cada um desses
corpos de fatoração .
2. Construa o corpo de fatoração de t3 + 2t+ 1 sobre ZZ3.
3. Liste todos os polinômios quadráticos mônicos sobre ZZ5. Quais são irredut́ıveis?
Construa corpos de fatoração para alguns polinômios irredut́ıveis. Eles são todos
isomorfos? Quantos elementos eles têm?
4. Descreva os elementos de lQ( 3
√
5).
5. Mostre que lQ(
√
2,
√
3) = lQ(
√
2 +
√
3)
6. Ache o corpo de fatoração de x3 − 1 sobre lQ. Expresse sua resposta na forma lQ(a)
7. Ache o corpo de fatoração de x4 + 1 sobre lQ.
8. Idem para x4 + x2 + 1 = (x2 + x+ 1)(x2 − x+ 1) sobre lQ.
9. Sejam a, b ∈ IR com b 6= 0. Mostre que IR(a+ bi) = lC.
10. Ache um pol. p(x) ∈ lQ[x] tal que lQ(
√
1 +
√
5) seja isomorfo a lQ[x]
<p(x)>
.
11. Seja F = ZZ2 e f(x) = x
3+x+1 ∈ F [x]. Suponha que a é um zero de f(x) em alguma
extensão de F . Quantos elementos tem F (a)? Expresse cada elemento de F (a) em
termos de a e também uma tabela da multiplicação em F (a). Escreva a5, a−2 e a100
na forma c2a
2 + c1a
1 + c0 onde c1, c2, c0 ∈ F . Mostre também que a + 1, a2 + 1 e
a2 + a+ 1 são todos zeros de x3 + x2 + 1.
12. Ache todos os automorfismos de lQ( 3
√
5).
13. Seja F um corpo de caracteŕıstica p e seja f(x) = xp − a ∈ F [x]. Mostre que f é
irredut́ıvel sobre F ou f se fatora sobre F .
12 CAPÍTULO 1. EXTENSÕES DE CORPOS
Caṕıtulo 2
Extensões Algébricas
No caṕıtulo anterior definimos as extensões de corpos do tipo F (a)|F e provamos (Teorema
1.3.1) que quando a for raiz de um polinômio irredut́ıvel sobre F de grau n então todo
elemento de F (a) se escreve de modo único como um polinômio em a de grau menor
ou igual a n − 1. Quando não tivermos esta condição sobre a, podemos apenas dizer
que F (a) será o conjunto das frações de polinômios em a. Isto acontece por exemplo em
lQ(π) = {f(π)
g(π)
| f(x), g(x) ∈ lQ[x] , q(x) 6= 0 }. Vamos estudar neste caṕıtulo a estrutura das
extensões do primeiro tipo.
2.1 Caracterização de extensões
Definição 2.1.1 ( Tipos de extensões ) Seja E|F uma extensão de corpos e a ∈ E .
Dizemos que a é algébrico sobre F se a for zero de um polinômio não nulo em F [x]. Se
a não for algébrico sobre F dizemos que a é transcendente sobre F. Uma extensão E de
F é chamada de extensão algébrica se todo elemento de E for algébrico sobre F. Se E
não for uma extensão algébrica de F dizemos que E|F é uma extensão transcendente .
Uma extensão E do corpo F da forma E = F (a) para algum a ∈ E é chamada de extensão
simples
Exemplo 2.1.2 Todo elemento a de um corpo F é algébrico sobre F pois é raiz do po-
linômio x− a ∈ F [x].
Exemplo 2.1.3
√
2 ∈ IR é algébrico sobre lQ pois é raiz do polinômio x2 − 2 ∈ lQ[x]
Exemplo 2.1.4 A extensão lQ(
√
2) | lQ é algébrica pois todo elemento a + b
√
2 ∈ lQ(
√
2)
é raiz do polinômio x2 + 2ax+ a2 − 2b2 ∈ lQ[x].
Exemplo 2.1.5 Todo elemento de lC é algébrico sobre IR . Com efeito, dado a+ bi ∈ lC,
a+ bi é raiz do polinômio x2 +2ax+a2 + b2 ∈ IR[x]. Assim provamos que a extensão lC|IR
é algébrica.
Exemplo 2.1.6 É fácil dar exemplos de complexos os quais são algébricos sobre lQ,
também chamado de número algébrico :
√
2+
√
5,
√
3+ i
√
5,
√
2−
√
3, .... No entanto é
13
14 CAPÍTULO 2. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
dif́ıcil dar exemplos de números transcendentes; o primeiro exemplo foi dado por Liouville
em 1851 . Em 1882 Lindemann provou que o número π é transcendente, e Hermite em 1873
mostrou que e é transcendente. Cantor demonstrou que o conjunto dos números algébricos
é enumerável, e assim provou a existencia de números transcendentes sem apresentar
nenhum (ver [1] ou [2]). Isto mostra também que existem mais números transcendentes
do que algébricos. Até hoje não se sabe se π + e é ou não transcendente.
Exemplo 2.1.7 O corpo quociente do anel de polinômios F [x], denotado por F (x) é uma
extensão transcendente sobre F ; com efeito, quando definimos um polinômio, fica claro
que o único polinômio que anula x é o nulo.
O teorema abaixo justifica as definições acima.
Teorema 2.1.8 (Caracterização de extensões) Seja E|F uma extensão de corpos e
a ∈ E.Se a for transcendente sobre F então F (a) ∼= F (x). Se a for algébrico sobre F
então F (a) = F [a] ∼= F [x]<p(x)> onde p(x) é um polinômio em F [x] de menor grau tal que
p(a) = 0. E mais, p(x) é irredut́ıvel sobre F e todo elemento de F (a) se escreve de modo
único na forma f0 + f1a+ f2a
2 + ...+ fn−1a
n−1 com fi ∈ F para i = 0, 1, 2, n− 1.
Demonstração :
Considere o homomorfismo de anéis
φ : F [x] −→ E
f(x) 7−→ f(a)
Pelo Teorema Fundamental dos Homomorfismos temos que F [a] = φ(F [x]) ∼= F [x]kerφ e como
kerφ é um ideal de F [x], o qual é um DIP temos que kerφ = 0 ou kerφ =< p(x) > onde
p(x) ó polinômio de menor grau que pertence a kerφ. Como φ(F [x]) ⊂ E, temos que F [x]
kerφ
é um domı́nio e portanto kerφ é um ideal primo de F [x]. Sabemos que os ideais primos
não nulos de um DIP são maximais e gerados por irredut́ıveis. Logo :
1)se a for transcendente sobre F temos kerφ = 0, F [a] ∼= F [x] e F (a) ∼= F (x).
2)se a for algébrico sobre F temos kerφ =< p(x) > é maximal e F [a] = φ(F [x]) ∼= F [x]kerφ é
um corpo e assim F [a] = F (a) ∼= F [x]<p(x)> onde p(x) úm polinômio de menor grau que tem
a como raiz. Vimos no teorema 1.3.1 que todo elemento de F (a) se escreve de modo único
na forma f0 + f1a+ f2a
2 + ...+ fn−1a
n−1 com fi ∈ F para i = 0, 1, 2, n− 1 e nosso teorema
está provado.
Exemplo 2.1.9 lQ(
√
2) ∼= lQ[x]<x2−2> = lQ+ lQ
√
2.
Exemplo 2.1.10 IR(
√
−1) ∼= IR[x]<x2+1> = IR + IR
√
−1 = IR + IRi = lC.
Exemplo 2.1.11 ZZ7(
√
−1) ∼= ZZ7[x]<x2+1> = ZZ7 + ZZ7
√
−1.
Exemplo 2.1.12 lQ(π) ∼= lQ(x) = {f(x)g(x) | f(x), g(x) ∈ lQ[x] e g(x) 6= 0 }
Exemplo 2.1.13 IR(π) = IR pois π ∈ IR.
2.1. CARACTERIZAÇÃO DE EXTENSÕES 15
Exemplo 2.1.14 Vamos estudar as extensões lQ ⊂ lQ(x2) ⊂ lQ(x). Observe que x é raiz
do polinômio irredut́ıvel g(y) = y2 − x2 ∈ lQ(x2)[y] e portanto x é algébrico sobre lQ(x2)
e lQ(x) = lQ(x2)(x) = lQ(x2)[x] = lQ(x2) + lQ(x2)x pelo teorema anterior. Tente provar
que lQ(x) é uma extensão algébrica de lQ(x2). Analisando agora a extensão lQ ⊂ lQ(x2),
temos que x2 é transcendente sobre lQ porque senão existiria um polinômio não nulo com
coeficientes em lQ que anularia x2, e teŕıamos que x seria algébrico sobre lQ, o que é um
absurdo. Logo a extensão lQ ⊂ lQ(x2) é transcendente. Em geral representamos extensões
da seguinte maneira:
transc.
(
lQ(x)∣∣∣∣ ) alg.
lQ(x2)∣∣∣∣ ) transc.
lQ
Na demonstração do teorema acima vimos que kerφ =< p(x) >= {f(x) ∈ F [x] | f(a) =
0 } e que p(x) é irredut́ıvel sobre F . Se colocarmos outro gerador p1(x) para kerφ temos
que p(x)|p1(x) e p1(x)|p(x) e então p(x) = up1(x) onde u é uma unidade de F [x], ou
seja, u ∈ F − 0. Entretanto quando escolhemos o polinômio mônico para gerar kerφ este
polinômioé único e é chamado de polinômio mı́nimo de a sobre F .
Definição 2.1.15 (polinômio mı́nimo) Se a é algébrico sobre o corpo F , dizemos que
p(x) ∈ F [x] é o polinômio mı́nimo de a sobre F se p(x) for mônico, irredut́ıvel e
p(a) = 0.
Notação : p
∣∣∣
a,F
(x)
Temos também da demonstração do teorema anterior, a proposição :
Proposição 2.1.16 (propriedade da divisibilidade) Seja a ∈ E é algébrico sobre F
e f(x) ∈ F [x] tal que f(a) = 0.Então p
∣∣∣
a,F
(x) divide f(x).
Demonstração :
Basta observar que f(x) ∈ kerφ =< p
∣∣∣
a,F
(x) >.
Exemplo 2.1.17 p
∣∣∣√
2, lQ
(x) = x2 − 2.
Exemplo 2.1.18 p
∣∣∣
i,IR
(x) = x2 + 1
Exemplo 2.1.19 Se ξ ∈ lC é uma raiz p-ésima primitiva da unidade onde p ∈ ZZ é primo
então p
∣∣∣
ξ, lQ
(x) = xp−1 + xp−2 + ... + 1 pois mostramos na apostila de anéis [3] que o
polinômio xp−1 + xp−2 + ... + 1 ∈ lQ[x] chamado de polinômio ciclotômico é irredut́ıvel
sobre lQ e como xp − 1 = (x− 1)(xp−1 + xp−2 + ...+ 1) temos que ξp−1 + ξp−2 + ...+ 1 = 0
16 CAPÍTULO 2. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
Exemplo 2.1.20 Observe que i ∈ lC é uma raiz 4-ésima da unidade e p
∣∣∣
i, lQ
(x) = x2 + 1
Exemplo 2.1.21 No exemplo 2.1.14, p
∣∣∣
x, lQ(x2)
(y) = y2 − x2.
2.2 Extensões Finitas
Se E é um extensão do corpo F podemos ver E como um espaço vetorial sobre F , onde os
vetores são os elementos de E e os escalares são os elementos de F . A soma e o produto
por escalar são a soma e a multiplicação no anel E, respectivamente. Assim podemos falar
em base e dimensão.
Definição 2.2.1 (grau de uma extensão) Seja E|F uma extensão de corpos. O grau
de E|F é a dimensão de E como espaço vetorial sobre F .
Notação : [E:F].
Quando [E : F ] for finito,dizemos que E é uma extensão finita de F. Caso contrário,
dizemos que E é uma extensão infinita de F.
Exemplo 2.2.2 lC é uma extensão de grau 2 sobre IR pois {1, i} forma uma base para o
espaço vetorial lC sobre IR. Verifique!
Exemplo 2.2.3 Se a for algébrico sobre F e se grau p
∣∣∣
a,F
(x) = n então pelo teorema 1.3.1
{1, a, a2, ..., an−1} gera F (a) sobre F e este conjunto é linearmente independente sobre F ,
pois se existissem elementos não todos nulos b0, b1, ..., bn−1 de F , tal que
∑i=n−1
i=0 bia
i = 0
teŕıamos a existencia de um polinômio não nulo f(x) =
∑i=n−1
i=0 bix
i de grau n−1 em F [x]
que anula a, o que é absurdo pelo teorema 2.1.16 , que diz que p
∣∣∣
a,F
(x) de grau n divide
f(x) de grau n− 1 . Logo, {1, a, a2, ..., an−1} forma uma base para o espaço F (a) sobre F
e [F (a) : F ] = n. Neste caso dizemos que é algébrico de grau n sobre F .
Exemplo 2.2.4 IR é uma extensão infinita de lQ e lC também é uma extensão infinita
de lQ. Isto resulta do teorema que provaremos a seguir.
Teorema 2.2.5 (finita implica em algébrica) Se E é uma extensão finita de F , então
E é uma extensão algébrica de F .
Demonstração :
Suponha que [E : F ] = n e a ∈ E. Queremos mostrar que a é algébrico sobre F .Basta
observar que o conjunto {1, a, a2, a3, ..., an} é linearmente dependente sobre F, isto é, exis-
tem b0, b1, b2, ..., bn ∈ F , não todos nulos tais
∑n
i=1 bia
i = 0. Temos assim que f(a) = 0
onde 0 6= f(x) =
∑n
i=1 bix
i ∈ F [x] e então a é algébrico sobre F .
Exerćıcio 2.2.6 Prove que a rećıproca do teorema anterior não é vérdade. Para isto
mostre que lQ(
√
2, 4
√
2, ..., 2
n√
2, ...) é uma extensão algébrica de lQ mas não é finita.
Exemplo 2.2.7 IR é uma extensão infinita de lQ e lC também é uma extensão infinita
de lQ. Com efeito, se IR| lQ fosse finita, seria algébrica e teŕıamos que por exemplo π
seria algébrico sobre lQ , o que é um absurdo. Analogamente, para IR | lQ
2.2. EXTENSÕES FINITAS 17
O teorema a seguir, como todo teorema de contagem tem muitas aplicações interessan-
tes.
Teorema 2.2.8 ([K:F]=[K:E].[E:F]) Se K é um extensão finita do corpo E e se E é uma
extensão finita do corpo F então K é uma extensão finita de F e [K : F ] = [K : E].[E : F ].
Demonstração :
Suponha que A = {a1, a2, a3, ..., an} forme uma base de K|E e B = {b1, b2, b3, ..., bm} seja
uma base de E|F . Vamos provar que {aibj | 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m } forma uma base
para K|F . Seja k ∈ K. Existem elementos xi ∈ E tais que
k =
n∑
i=1
xiai
e para cada xi ∈ E temos que existem elementos yij ∈ F tais que
xi =
m∑
j=1
yijbj.
Assim,
k =
n∑
i=1
(
m∑
j=1
yijbj) ai =
∑
i,j
yijaibj
o que mostra que os elementos aibj geram K sobre F . Vamos agora provar que o conjunto
{aibj | 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m } é linearmente independente sobre F . Para isto, suponha
que existam elementos zij ∈ F não todos nulos tais que
0 =
∑
i,j
zijaibj =
i=n∑
i=1
(
m∑
j=1
zijbj) ai.
Como cada
∑m
j=1 zijbj ∈ E e A é li sobre E, temos que
∑m
j=1 zijbj = 0 para todo i. Mas
como B é li sobre F temos que os elementos zij são todos nulos. Assim {aibj | 1 ≤ i ≤
n e 1 ≤ j ≤ m } forma uma base para K|F e [K : F ] = [K : E][E : F ].
Representamos as extensões do teorema acima na forma:
nm
(
K∣∣∣∣ ) n
E∣∣∣∣ ) m
F
Exemplo 2.2.9 Se a é algébrico de grau n sobre F temos pelo exemplo 2.2.3 que
F (a)∣∣∣∣ ) n
F
18 CAPÍTULO 2. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
.
Exemplo 2.2.10 Neste exemplo vamos calcular o grau da extensão E| lQ onde E é o
corpo de fatoração de f(x) = x3 − 2 sobre lQ. Vimos no exemplo 1.3.6 que E =
lQ( 3
√
2, 3
√
2ω, 3
√
2ω2) = lQ( 3
√
2, ω) onde ω é uma raiz 3-ésima primitiva da unidade. É fácil
ver que p
∣∣∣
3√2, lQ
(x) = x3 − 2 e que p
∣∣∣
ω, lQ
(x) = x2 + x+ 1 e assim temos o diagrama:
lQ( 3
√
2, ω)
?
/ ∖
?
lQ( 3
√
2) lQ(ω)
3
∖ /
2
lQ
Para determinar o grau [ lQ( 3
√
2, ω) : lQ( 3
√
2)], observamos que lQ( 3
√
2, ω) = lQ( 3
√
2)(ω) isto é,
lQ( 3
√
2, ω) é uma extensão simples de lQ( 3
√
2) e para saber o grau desta extensão basta saber
o grau do polinômio mı́nimo de ω sobre lQ( 3
√
2). Como ω é raiz de x2 + x+ 1 e ω 6∈ lQ( 3
√
2)
temos que x2 + x+ 1 ı́rredut́ıvel sobre lQ( 3
√
2) e p
∣∣∣
ω, lQ( 3
√
2)
(x) = x2 + x+ 1 . Analogamente
temos que p
∣∣∣
3√2, lQ(ω)
(x) = x3− 2. Prove isto! Podemos então completar o diagrama acima:
lQ( 3
√
2, ω)
2
/ ∖
3
lQ( 3
√
2) lQ(ω)
3
∖ /
2
lQ
Logo pelo teorema anterior temos que
[ lQ(
3
√
2, ω) : lQ] = [ lQ(
3
√
2)(ω) : lQ(
3
√
2)][ lQ(
3
√
2) : lQ] = 2.3 = 6.
Exemplo 2.2.11 O grau da extensão lQ(
√
3,
√
7)| lQ é 4 ; temos que
√
3 é algébrico sobre
lQ(
√
7) de grau 2 pois x2 − 3 é irredut́ıvel sobre lQ(
√
7) ( prove que
√
3 6∈ lQ(
√
7)).Aqui
temos o diagrama :
lQ(
√
3,
√
7) lQ(
√
3,
√
7)
2
/ ∖
2
∣∣∣∣)2
lQ(
√
3) lQ(
√
7) lQ(
√
7)
2
∖ /
2
∣∣∣∣)2
lQ lQ
Uma base de lQ(
√
3,
√
7) sobre lQ é {1,
√
7,
√
3,
√
21}.
2.2. EXTENSÕES FINITAS 19
Exemplo 2.2.12 A extensão E| lQ onde E é o corpo de fatoração de f(x) = (x2− 3)(x2−
12) tem grau 2 sobre lQ. Prove isto! Veja exemplo 1.4.3. Ache uma base de E sobre lQ.
Exemplo 2.2.13 Queremos calcular o grau da extensão lQ( 3
√
7,
√
7) sobre lQ. Temos o
diagrama
lQ( 3
√
7,
√
7)/
? ?
∖
lQ( 3
√
7) lQ(
√
7)
base = {1, 3
√
7,
3
√
72}
∖
3 2
/
base = {1,
√
7}
lQ
o qual mostra que 2 e 3 dividem [ lQ( 3
√
7,
√
7) : lQ] e assim 6 divide [ lQ( 3
√
7,
√
7) : lQ].
Como
√
7 é raiz de x2 − 7 ∈ lQ[x] ⊂ lQ( 3
√
7)[x] segue que o grau do p
∣∣∣∣√
7, lQ( 3
√
7)
≤ 2 e
portanto
[ lQ(
3
√
7,
√
7) : lQ] = [ lQ(
3
√
7,
√
7) : lQ([3]7)].[ lQ(
3
√
7) : lQ] ≤ 2.3 = 6
Conclúımos assim que [ lQ( 3
√
7,
√
7) : lQ] = 6.
Observe que x6 − 7 ∈ lQ[x] é irredut́ıvel sobre lQ e 6
√
7 ∈ lQ( 3
√
7,
√
7) pois 6
√
7 = 1
7
( 3
√
7)2.
√
7
e é raiz de x6 − 7 ∈ lQ[x]. Logo [ lQ( 6
√
7) : lQ] = 6 e [ lQ( 3
√
7,
√
7) : lQ( 6
√
7] = 1 e então
[ lQ( 3
√
7,
√
7) é a extensão simples lQ( 6
√
7). Podemos representar isto na forma:
lQ( 3
√
7,
√
7) lQ( 3
√
7,
√
7)
2
/ ∖
3
∣∣∣∣)1
lQ( 3
√
7) lQ(
√
7) lQ( 6
√
7)
3
∖ /
2
∣∣∣∣)6
lQ lQ
Os dois exemplos acima mostram que em certos casos extensões obtidas pela adjunção
de dois elementos podem ser obtidascom a adjunção de apenas um elemento. O teorema
seguinte mostra que conseguiremos sempre um tal elemento em extensões finitas de corpos
de caracteŕıstica 0.
Teorema 2.2.14 (Teorema do elemento primitivo (Steinitz,1910)) Se F é um corpo
de caracteŕıstica 0 e a e b são algébricos sobre F , então existe um elemento c em F (a, b)
tal que F (a, b) = F (c).
Demonstração :
Sejam p(x) = p
∣∣∣∣
a,F
, q(x) = p
∣∣∣∣
b,F
e a = a1, a2, ..., am ráızes distintas (por quê?) do
p(x) e b = b1, b2, b3, ...bn ráızes distintas de q(x) em alguma extensão K de F . Como
F tem um número infinito de elementos podemos escolher um elemento d de F tal que
d 6∈ {ai−a
b−bj | i = 1, 2, 3, ...,m; j = 2, 3, ..., n}.
20 CAPÍTULO 2. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
Nós vamos mostrar que c = a + db tem a propriedade F (a, b) = F (c). Como c ∈
F (a, b), temos que F (c) ⊆ F (a, b). Para verificar que F (a, b) ⊆ F (c), basta verificar que
b ∈ F (c), pois então teremos que b, dec ∈ F (c) e logo, a = c − db ∈ F (c). Considere os
polinômios q(x) e r(x) = p(c − dx) sobre F (c). Como b é zero de q(x) e de r(x) temos
que p
∣∣∣∣
b,F (c)
∈ F (c)[x] divide q(x) e r(x). Se provarmos que p
∣∣∣∣
b,F (c)
= x − b,o teorema
fica provado pois como p
∣∣∣∣
b,F (c)
∈ F (c)[x] teremos que b ∈ F (c). Os zeros de p
∣∣∣∣
b,F (c)
em
K são os zeros comuns de q(x) e r(x) pois p
∣∣∣∣
b,F (c)
divide q(x) e r(x) em F (c)[x]. Mas
r(bj) = p(c − dbj) = p(a + db − dbj) = p(a + d(b − bj)) e d foi escolhido de modo que
a + d(b − bj) 6= ai para j > 1. Segue que b é o único zero de de p
∣∣∣∣
b,F (c)
∈ K[X] e assim
p
∣∣∣∣
b,F (c)
= (x− b)u. Como p
∣∣∣∣
b,F (c)
é irredut́ıvel e caracteŕıstica de F é 0, temos que u = 1.
Corolário 2.2.15 Toda extensão finita de um corpo de caracteŕıstica 0 é uma extensão
simples.
Demonstração
Se E|F é uma extensão finita, existem a1, a2, ..., an ∈ E tais que E = F (a1, a2, a3, ....an).
Agora basta aplicar o teorema anterior várias vezes.
Definição 2.2.16 Se E|F é uma extensão de corpos, um elemento a tal que E = F (a) é
chamado de elemento primitivo de E.
2.3 Propriedades das extensões algébricas
Teorema 2.3.1 ( algébrica sobre algébrica é algébrica) Se K é uma extensão algébrica
de E e E é uma extensão algébrica de F , então K é uma extensão algébrica de F .
Demonstração :
Seja a ∈ K. Para provar que a é algébrico sobre F , é suficiente provar que a pertence
a uma extensão finita de F . Como a é algébrico sobre E, a é raiz de p(x) = p
∣∣∣∣
a,E
(x) =
enx
n + en−1x
n−1 + ...+ e0. Podemos construir a torre de extensões de F , como segue:
F0 = F (e0)
F1 = F0(e1), ..., Fn = Fn−1(en)
Em particular,
Fn = F (e0, e1, ..., en),
e assim p(x) ∈ Fn[x] ⊆ E. Como p(x) é irredut́ıvel sobre E, temos que p(x) continua
irredut́ıvel sobre Fn e [Fn(a) : Fn] = n. Também temos que cada [Fi+1 : Fi] é finito pois ei
é algébrico sobre F , e assim,
[Fn(a) : F ] = [Fn(a) : Fn][Fn : Fn−1]...[F1 : F0][F0 : F ]
é finito.
2.4. LISTA DE EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 21
Corolário 2.3.2 (subcorpo dos números algébricos) Seja E|F uma extensão de cor-
pos. O conjunto dos elementos de E, os quais são algébricos sobre F é um subcorpo de
E.
Demonstração :
Temos de mostrar que se 0 6 b, a ∈ E são algébricos sobre F , então a+ b, a− b, ab, a/b são
algébricos sobre F .para isto basta provar que todos esses elementos estão numa extensão
finita de F . Observe que a + b, a − b, ab, a/b ∈ F (a, b) e F (a, b) é uma extensão finita de
F pois
[F (a, b) : F ] = [F (a, b) : F (b)].[F (b) : F ]
e como a é algébrico sobre F , também é algébrico sobre F (b) e [F (b, a) : F (b)] é finito.
Também [F (b) : F ] é finito pois b é algébrico sobre F .
Definição 2.3.3 Seja E|F uma extensão de corpos. O conjunto dos elementos de E, os
quais são algébricos sobre F é chamado de fecho algébrico de F sobre E.
Definição 2.3.4 Dizemos que um corpo é algebricamente fechado se não possuir ne-
nhuma extensão algébrica própia
É fácil provar a proposição a seguir.
Proposição 2.3.5 São equivalentes:
1. E é algebricamente fechado
2. Todo polinômio em E[x] se fatora em E
3. Todo polinômio irredut́ıvel em E[x] é linear
Gauss provou em 1799, aos 22 anos, que lC é algebricamente fechado e este fato pela
sua importancia é chamado Teorema Fundamental da Álgebra. Hoje mais de 100 provas
existem desse teorema e devido ao crescimento da Álgebra Abstrata neste século pode ser
considerado como ”Teorema Fundamental da Álgebra Clássica”como escreveu Gallian em
[3].
2.4 Lista de Exerćıcios do Caṕıtulo 2
1. Prove a Proposição 2.3.5.
2. Suponha que f(x) e g(x) são irredut́ıveis sobre F e mdc(grf(x), grg(x)) = 1. Se a é
um zero de p(x) em alguma extensão de F , mostre g(x) é irredut́ıvel sobre F (a).
3. Sejam a, b ∈ lQ com b 6= 0. Mostre que lQ(
√
a) = lQ(
√
b) se e somente se existe algum
c ∈ lQ− {0} tal que a = bc2.
4. Ache o grau e uma base para lQ(
√
3 +
√
5) sobre lQ(
√
15).Ache o grau e uma base
para lQ(
√
2, 3
√
2, 4
√
2) sobre lQ.
5. Suponha que E é uma extensão de F de grau primo. Mostre que, para todo a ∈ E,
F (a) = F ou F (a) = E.
22 CAPÍTULO 2. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
6. Seja a ∈ lC algébrico sobre lQ. Mostre que
√
a é algébrico sobre lQ e determine o
polinômio mı́nimo de
√
a sobre lQ.
7. Suponha que E|F é uma extensão de corpos e a, b ∈ E. Suponha que a é algébrico
sobre F de grau m , b é algébrico de grau n sobre F e mdc(m,n) = 1. Mostre que
[F (a, b) : F ] = mn.
8. Ache um exemplo de um corpo F e elementos a e b de alguma extensão de F tal que
F (a, b) 6= F (a),F (a, b) 6= F (b) e [F (a, b) : F ] < [F (a) : F ][F (b) : F ]
9. Seja L|K uma extensão de corpos. Prove que L|K é algébrica se e somente se todo
anel entre L e K é um corpo.
10. Seja p um número primo e g(x) = xp − 1 ∈ lQ[x]. Considere α uma raiz de g(x) tal
que α 6= 1.
(a) ache p
∣∣∣∣
α, lQ
(b) ache todas as ráızes de g(x).
(c) Se E é o corpo de fatoração de p
∣∣∣∣
α, lQ
sobre lQ, mostre que [E : lQ] = grp
∣∣∣∣
α, lQ
11. Sejam x2−a, x2− b ∈ lQ[x], irredut́ıveis sobre lQ. Defina g(x) = (x2−a)(x2− b).Ache
o corpo de fatoração E de g(x) sobre lQ e o conjunto dos lQ-automorfismos de E.
12. Seja g(y) = y2 − x ∈ ZZ2(x)[y] Mostre que g é irredut́ıvel sobre ZZ2(x). Ache
[E : ZZ2(x)], onde E é corpo de fatorização de g sobre ZZ2(x) e ache os ZZ2(x)-
automorfismos de E .
13. Se K|F é uma ext. de corpos, mostre que
(a) [K : F ] = 1 se e somente se K = F .
(b) Se u ∈ K tem grau n sobre F então n divide [K : F ] se [K : F ] for finito.
14. Determine o corpo de fatoração sobre lQ dos polinômios :
(a) x6 + x3 + 1
(b) x4 + 1
(c) x6 + 1
(d) x4 − 2
(e) x5 − 1
15. No corpo K(x), considere u = x
3
x+1
. Mostre que K(x) é uma extensão simples de
corpo K(u) e calcule [K(x) : K(u)].
16. No corpo K(x), seja u = x2. Mostre que K(x) é uma extensão simples de corpo K(u)
e calcule [K(x) : K(u)].
17. Se F |K é uma extensão de corpos e v ∈ F algébrico de grau ı́mpar sobre K então u2
tem grau ı́mpar sobre K e K(u) = K(u2)
2.4. LISTA DE EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 23
18. Considere a extensão lQ(u) de lQ gerada por uma raiz real u de g(x) = x3−6x2+9x+3.
O pol. g(x) é irred. sobre lQ. Expresse cada um dos elementos abaixo em função da
base {1, u, u2}: u4, u5, 3u5 − u4 + 2, (u2 − 6u+ 8)−1.
19. No corpo lC, lQ(i) e lQ(
√
2) são isomorfos como espaços vetoriais, mas não como
corpos.
20. Sejam K|F uma extensão de corpos e a ∈ K. Mostre que [F (a) : F (a3)] ≤ 3. ache
exemplos para ilustrar que [F (a) : F (a3)] pode ser 1,2 ou 3.
21. Ache p
∣∣∣∣√
−3+
√
2, lQ
.
22. Seja K uma extensão de F . Suponha que E1 e E2 estão contidos em K e são extensões
de F . Se [E1 : F ] e [E2 : F ] são ambos primos, mostre que E1 = E2 ou E1 ∩ E2 = F.
23. Ache p
∣∣∣∣
3√2+ 3
√
4, lQ
.
24. Seja E uma extensão de finita de IR. Use o fato de que lC é algebricamente fechado
para provar que E = lC ou E = IR.
25. Seja E|Fuma extensão de corpos. Mostre que [E : F ] é finito se e somente se
E = F (a1, a2, a3, ..., an), onde a1, a2, ..., a3 são algébricos sobre F .
26. Se α e β são transcendentes sobre lQ, mostre que ou αβ ou α + β é também trans-
cendente sobre lQ
27. Seja f(x) ∈ F [x]. Se a pertence a alguma extensão de F e f(a) é algébrico sobre F ,
prove que a é algébrico sobre F .
28. Seja f(x) = ax 2 + bx + c ∈ lQ[x]. ache um elemento primitivo para o corpo de
fatoração de f(x) sbre lQ.
29. Ache o corpo de fatoração de x4 − x2 − 2 sobre ZZ3.
30. Seja a um número complexo, o qual é algébrico sobre lQ e seja r ∈ lQ. mostre que ar
é algébrico sobre lQ.
31. Responda se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa e justifique! Seja a um número
real positivo e n um inteiro positivo maior que 1. Então [ lQ(a
1
n ) : lQ ] = n.
32. Suponha a e b em alguma extensão do corpo F e seja b algébrico sobre F . Prove que
[F (a, b) : F (a)] ≤ [F (a, b) : F ].
24 CAPÍTULO 2. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
Caṕıtulo 3
Introdução à Teoria de Galois
3.1 Teoremas de Extensão e a sua ligação com a teoria de Galois
No Caṕıtulo 1 foram introduzidos dois teoremas que são muito importantes para a Teoria
de Galois e que serviram para provar que um corpo de fatoração de um polinômio é único
a menos de isomorfismos . Vamos reescrever aqui estes teoremas que serão chamados
de Teoremas de Extensão. Lembre-se que φ(p(x)) significa o polinômio obtido de p(x)
aplicando o isomorfismo φ a todos os coeficientes de p(x).
Teorema 3.1.1 (1o Teorema de Extensão) Sejam F um corpo, p(x) ∈ F [x] irredut́ıvel
sobre F, e seja a um zero de p(x) em alguma extensão de F . Se φ é um isomorfismo de F
em F1 e b é um zero de φ(p(x)) em alguma extensão de F1, então existe um isomorfismo
de F (a) em F1(b), o qual coincide com φ em F e leva a em b.
Teorema 3.1.2 (2o Teorema de Extensão) Seja φ um isomorfismo de um corpo F
para um corpo F1 e f(x) ∈ F [x]. Se E é um corpo de fatoração de f(x) sobre F e E1 é
um corpo de fatoração de φ(f(x)) sobre F1, então existe um isomorfismo de E em E1, o
qual é igual a φ em F .
Galois procurava pela ”cara ”das ráızes de polinômios, ou melhor, se pod́ıamos expressá-
las na forma de radicais como na fórmula de Baskara xi =
−b±
√
b2−4ac
2a
para ráızes de
polinômios do 2o grau.
Já vimos que todo polinômio p(x) definido num corpo F possui todas as suas ráızes em
uma extensão E de F ; o corpo de fatoração de p(x) sobre F, o qual é o menor corpo que
contém F e todas as ráızes de p(x) e este corpo é obtido através de adjunções de ráızes de
p(x).
Para caracterizar as ráızes de p(x), Galois conseguiu fazer uma correspondencia entre as
extensões do tipo F ( n
√
α) com subgrupos de um grupo, grupo este que nada mais é que o
grupo das permutações das ráızes do polinômio. Temos dáı a origem da teoria de grupos.
Vamos agora descrever como Galois fez isto. Em primeiro lugar vamos fazer algumas
definições . Lembramos que automorfismos de anéis significa isomorfismos do anel nele
mesmo isto é, homomorfismos injetivos e sobrejetivos do anel nele mesmo.
Definição 3.1.3 (Grupo de Galois de p(x) sobre F) Seja p(x) ∈ F [x] um polinômio
definido no corpo F e E o corpo de fatoração de p(x) sobre F . O Grupo de Galois de
p(x) sobre F é o grupo AutF (E) dos F -automorfismos de E isto é, automorfismos de E,
25
26 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
que quando restritos a F são a identidade. Usaremos a notação G(p(x), F ) para designar
o grupo de Galois de p(x) sobre F .
Como segunda consequência (a primeira foi a unicidade do corpo de fatoração ) dos
teoremas de extensão veremos a primeira ligação da teoria de corpos com a teoria de
grupos feita por Galois.
Corolário 3.1.4 Se p(x) ∈ F [x] e E é seu corpo de fatoração sobre F então todo F −
automorfismo de E permuta as ráızes de p(x).
Demonstração
Se α é uma raiz de p e φ é um F-automorfismo de E temos que φ(p(α)) = p(φ(α)) = 0
pois φ = Id em F. Logo, F- automorfismos levam ráızes de p em ráızes de p.
Definição 3.1.5 (Conjunto das ráızes de p(x)) Chamaremos o conjunto das ráızes de
p(x) por <(p(x)).
Temos assim a aplicação :
G(p(x), F ) −→ permut. de <(p(x))
σ 7−→ <(p(x)) −→ <(p(x))
α 7−→ σ(α)
Os Teoremas de Extensão e o Corolário 3.1.4 nos mostram como determinar o Grupo
de Galois de um polinômio p(x):
Exemplo 3.1.6 O G(x2 + 1, IR) = {Id, σ : a+ bi 7−→ a− bi }
Exemplo 3.1.7 No exemplo 1.3.6 do Cap.1 vimos que o corpo de fatoração de x3 − 2
sobre lQ é lQ( 3
√
2, ω) onde ω é a raiz 3-ésima primitiva da unidade . Lembrando que as
ráızes de x3 − 2 são 3
√
2 , 3
√
2ω , 3
√
2ω2 e que as ráızes de x2 + x+ 1 são ω e ω2 temos que
o grupo de Galois G(x3 − 2, lQ) = {σi| i = 1, 2, ..., 6} sendo:
lQ( 3
√
2, ω)
σ1−→ lQ( 3
√
2, ω)
3
√
2 7−→ 3
√
2
ω 7−→ ω
,
lQ( 3
√
2, ω)
σ2−→ lQ( 3
√
2, ω)
3
√
2 7−→ 3
√
2
ω 7−→ ω2
,
lQ( 3
√
2, ω)
σ3−→ lQ( 3
√
2, ω)
3
√
2 7−→ 3
√
2ω
ω 7−→ ω
,
lQ( 3
√
2, ω)
σ4−→ lQ( 3
√
2, ω)
3
√
2 7−→ 3
√
2ω
ω 7−→ ω2
,
lQ( 3
√
2, ω)
σ5−→ lQ( 3
√
2, ω)
3
√
2 7−→ 3
√
2ω2
ω 7−→ ω
,
lQ( 3
√
2, ω)
σ6−→ lQ( 3
√
2, ω)
3
√
2 7−→ 3
√
2ω2
ω 7−→ ω2
.
Vemos dáı a necessidade de trabalharmos com polinômios que não possuam ráızes
múltiplas e com a garantia que sempre teremos em E todas as ráızes dos polinômios
mı́nimos dos elementos de E. Precisaremos das definições de extensões normais e separáveis
que passamos a definir agora.
Definição 3.1.8 (Conjugado de α) Se α é algébrico sobre um corpo F , os conjugados
de α são todas as ráızes do polinômio mı́nimo p∣∣∣α,F ∈ F [x].
Definição 3.1.9 (Extensão normal) Uma extensão algébrica L|F de corpos é chamada
de extensão normal se para todo α ∈ L, os conjugados de α pertencem a L.
3.1. TEOREMAS DE EXTENSÃO E A SUA LIGAÇÃO COM A TEORIA DE GALOIS 27
Exemplo 3.1.10 O conjunto {α ∈ lC | α é algébrico sobre lQ } é uma extensão normal de
lQ, e não é finita.
Exemplo 3.1.11 lQ( 3
√
2) não é uma extensão normal de lQ pois não contém todos os
conjugados de 3
√
2, isto é, não contém as ráızes complexas não reais de 3
√
2.
Exemplo 3.1.12 lC|IR é uma extensão normal de IR pois todo polinômio de IR[x] se
fatora em lC.
Outros exemplos de extensões normais pode ser obtidos através do teorema a seguir;
Corolário 3.1.13 Seja E|F uma extensão finita. E é corpo de fatoração de algum po-
linômio f(x) ∈ F [x] se e somente se para todo α ∈ E, p
∣∣∣
α,F
se fatora em fatores lineares
em E, isto é, E|F é uma extensão normal.
Demonstração
(⇐) Se E|F é finita , então ∃ξ1, ξ2, ..., ξn ∈ E tal que E = F (ξ1, ξ2, ..., ξn).
Considere f(x) = p
∣∣∣
ξ1,F
(x).p
∣∣∣
ξ2,F
(x).....p
∣∣∣
ξn,F
(x) ∈ F [x].
Afirmação : E é o corpo de fatoração de f sobre F .
Dem: Se α é uma raiz de f então α é raiz de algum p
∣∣∣
ξi,F
. Como ξi úma raiz de p
∣∣∣
ξi,F
e
ξi ∈ E, por hipótese todas as ráızes de p
∣∣∣
ξi,F
estão em E e temos que o corpo de fatoração
de f(x) ⊆ E.(1)
Como ξ1, ξ2, ..., ξn são ráızes de f implica que ξ1, ξ2, ..., ξn pertencem ao corpo de fatoração
de f e assim E = F (ξ1, ξ2, ..., ξn) ⊆ corpo de fatoração de f(x). (2).
Por (1) e (2) temos que E= corpo de fatoração de f.
(⇒) Como E é o corpo de fatoração de f sobre F temos que E = F (α1, ..., αn) onde
α1, ..., αn são ráızes de f .
Seja ξ ∈ E; tenho de mostrar que todas as ráızes de p
∣∣∣
ξ,F
(x) pertencem a E. Seja N um
corpo de fatoração de p
∣∣∣
ξ,F
(x) sobre E. Temos que p
∣∣∣
ξ,F
(x) ∈ F [x] ⊂ E[x]. Como N é
corpo de fatoração de p
∣∣∣
ξ,F
(x) sobre E temos que E ⊆ N .
Seja ξ′ uma raiz qualquer de p
∣∣∣
ξ,F
(x) em N . Temos pelo 1o Teor de Ext. que existe um
isomorfismo
F (ξ)
σ1−→ F (ξ′)∣∣∣ ∣∣∣
F
Id−→ F
que leva ξ em ξ′
Seja g(x) = p
∣∣∣
ξ,F
(x).f(x) ∈ F [x].
Em F (ξ) temos g(x) = (x− ξ)h(x) com h(x) ∈ F (ξ)[x]
g(x) = σ1(g(x)) = (x− ξ′)h1(x) = (x− σ1(ξ))σ1(h(x))
Assim h1(x) = σ(h(x)) e podemos estender σ1 aocorpo de fatoração N de h(x) sobre F (ξ)
pelo 2o Teor. de extensão.
28 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
N
σ2−→ N∣∣∣ ∣∣∣
E
∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣
F (ξ)
σ1−→ F (ξ′)∣∣∣ ∣∣∣
F
Id−→ F
Queremos provar que ξ′ ∈ E. Para isto, basta provar que σ2(E) ⊂ E pois ξ ∈ E e
ξ′ = σ2(ξ) ∈ σ2(E) ⊂ E.
Como E = F ( ráızes de f), para mostrar que σ2(E) ⊂ E, basta provar que σ2(F ) ⊂ E e
σ2( uma raiz de f) ∈ E. Já sabemos que σ2(F ) = F ⊂ E. Também, σ2( uma raiz de f ) é
uma raiz de f pois f(x) ∈ F [x] e como E contém todas as ráızes de f temos que σ2( uma
raiz de f) ∈ E e o corolário está provado.
Exemplo 3.1.14 lQ(
√
3, i) é uma extensão normal de lQ pois é o corpo de fatoração do
polinômio f(x) = (x2 − 3)(x2 + 1) ∈ lQ[x].
Exemplo 3.1.15 lQ(
√
3) é uma extensão normal de lQ pois é o corpo de fatoração de
f(x) = x2 − 3 sobre lQ.
Exemplo 3.1.16 ZZ2(ξ) = {a+ bξ | a, b ∈ ZZ2 e ξ2 + ξ+ 1 = 0 } é uma extensão normal
de ZZ2 pois é o corpo de fatoração de x
2 + x+ 1 ∈ ZZ2[x].
Voltando à ligação da teoria de corpos com a teoria de grupos , ou mais precisamente,
ao problema de Galois que procurava caracterizar as ráızes de um polinômio p(x),vimos
que o corpo de fatoração de um polinômio, além de conter as ráızes de p(x) contem todas
as ráızes dos polinômios mı́nimos de seus elementos.
Um outro problema que precisamos nos preocupar é com as ráızes múltiplas que podem
aparecer no polinômio, pois áı não teremos permutação das ráızes . O seguinte exemplo
nos motivará (espero!) a definir extensões separáveis.
Já estudamos no Cap. 1, quando um polinômio irredut́ıvel possui ráızes múltiplas ou
não. Se estiver num corpo de caracteŕıstica 0 pelo Teorema 1.5.4,nunca vai ter, mas
se a caracteŕıtica de F for p, p(x) ∈ F [x] irred. tem ráızes múltiplas se e somente se
p(x) = g(xp) para algum g(x) ∈ F [x].
Exemplo 3.1.17 O pol. p(t) = tp − u ∈ F [t] onde F = ZZp(u) e p é primo é irred. sobre
F e tem zeros múltiplos.Seu corpo de fatoração sobre F é E = F (α) onde u = αp e sua
fatoração em E é p(t) = (t − α)p. Do Cor. 3.1.4 temos que AutF (E) = Id o que mostra
que neste caso o grupo de Galois de p(x) sobre F não nos fornece muita informação sobre
as ráızes de p(x).
Definição 3.1.18 (Polinômios e Extensões Separáveis) (1) Seja K um corpo e f(x) ∈
K[x], f(x) irredut́ıvel. Dizemos que f(x) é separável sobre K se no seu corpo de
fatoração f tiver todas as suas ráızes distintas.
3.2. RELAÇÃO ENTRE O GRAU DA EXTENSÃO E A ORDEM DO GRUPO 29
(2) Se f(x) ∈ K[x] for redut́ıvel, f(x) é separável sobre K se todos os seus fatores
irredut́ıveis forem separáveis.
(3) Se L|K é uma extensão algébrica de corpos e α ∈ L, dizemos que α śeparável sobre
K se p
∣∣∣
α,K
for separável, isto é, todos os conjugados de α são distintos .
Exemplo 3.1.19 Num corpo de caracteŕıstica zero,todo polinômio é separável.
Exemplo 3.1.20 Todo polinômio irredut́ıvel f(x) ∈ K[x] sendo K um corpo finito é
separável. Com efeito, se f tivesse ráızes múltiplas f ∈ K[xp] e então f(x) = an(xp)n +
an−1(x
p)n−1 + ...+ a0 e como K tem p
n elementos, então pelo Teorema de Lagrange para
Grupos, todo elemento α de K−{0} satisfaz αpn−1 = 1, o que é equivalente a falar αpn = α
e então podemos escrever f(x) = bn
p(xn)p+bn−1
p(xn−1)
p
+...+b0
p = (bnx
n+bn−1+...+b0)
p
para certos bi ∈ K pois K tem caracteŕıtica p. Mas como f é irredut́ıvel , isto não pode
acontecer e assim conclúımos que f é separável sobre K.
Exemplo 3.1.21 Cuidado! Um polinômio pode ter ráızes múltiplas e ser separável. Por
exemplo, f(x) = (x−2)2 ∈ lQ[x] tem ráızes múltiplas e é separável; seus fatores irredut́ıveis
os quais são iguais a x− 2 não possuem ráızes múltiplas.
Proposição 3.1.22 Se L|K é uma extensão separável e M um corpo tal que K ⊆M ⊆ L
então L|M e M |K são separáveis.
Dem: Pela def. temos que M |K é separável. Suponha agora que α ∈ L . Temos que
p
∣∣∣
α,M
divide p
∣∣∣
α,K
em M [x] e como p
∣∣∣
α,K
não tem ráızes múltiplas, então o mesmo ocorre
com p
∣∣∣
α,M
e provamos assim que L|M é separável .
3.2 Relação entre o grau da extensão e a ordem do grupo
Definição 3.2.1 Se E é um corpo qualquer e σ1, σ2, ..., σn ∈ Aut(E), o Corpo Fixo de
{σ1, σ2, ..., σn} é o conjunto
F({σ1, σ2, ..., σn } := {α ∈ E | σi(α) = α, para todo i = 1, 2, ..., n }
Teorema 3.2.2 Se {σ1, σ2, ..., σn} ⊂ Aut(E), E é um corpo e os σ′is são distintos temos
que :
(1) F({σ1, σ2, ..., σn }) é um subcorpo de E.
(2) [E : F({σ1, σ2, ..., σn })] ≥ n
(3) Se {σ1 = Id, σ2, ..., σn } for um grupo então temos que [E : F({σ1, σ2, ..., σn })] = n
Demonstração
(1) Sejam α, β ∈ F({σ1, σ2, ..., σn}). Então α = σ1(α) = ... = σn(α) e
β = σ1(β) = ... = σn(β) e teremos que
σi( α− β) = σi(α)− σi(β) = α− β, ∀i = 1, 2, ..., n
30 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
σi( α.β
−1) = σi(α)(σi(β))
−1 = α.β−1, ∀i = 1, 2, ..., n
e assim F({σ1, σ2, ..., σn}) é um subcorpo de E.
(2) Suponha que não. Seja ω1, ..., ωr uma base de E|F({σ1, σ2, ..., σn}) com r < n. Con-
sidere o sistema de equações em E:
σ1(ω1)x1 + σ2(ω1)x2 + ... + σn(ω1)xn = 0
σ1(ω2)x1 + σ2(ω2)x2 + ... + σn(ω2)xn = 0
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
σ1(ωi)x1 + σ2(ωi)x2 + ... + σn(ωi)xn = 0
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
σ1(ωr)x1 + σ2(ωr)x2 + ... + σn(ωr)xn = 0
Temos assim um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações e portanto
este sistema possui infinitas soluções , isto é, existem γ1, γ2, ...γn ∈ E não todos nulos
tais que para todo i = 1, 2, 3, ..., r, γ1σ1(ωi) + γ2σ2(ωi) + ...+γnσn(ωi) = 0. Considere
o operador
T = γ1σ1 + ...γnσn :
E −→ E
ξ 7−→ γ1σ1(ξ) + ...γnσn(ξ)
Note que T (ωi) = 0 para todo i = 1, 2, 3, ..., r.
Afirmação : T = 0, isto é T (ξ) = 0 para todo ξ ∈ E
Dem: Se ξ ∈ E então ξ = a1ω1 + ... + anωn com ai ∈ F({σ1, ..., σn}). Como cada σi
preserva a adição temos que o mesmo acontece com T . Também, T (bωi) = γ1σ1(bωi)+
...+ γnσn(bωi) = γ1σ1(b)σ1(ωi) + ...+ γnσn(b)σn(ωi). Como b ∈ F({σ1, ..., σn}) temos
que σ1(b) = ... = σn(b) = b e logo, T (bωi) = bT (ωi) = b.0 = 0 e conclúımos que
T = 0. Usando o Lema de Dedekind abaixo temos um absurdo ,o que concluirá nossa
demonstração .
Lema 3.2.3 (Lema de Dedekind) Sejam E um corpo e σ1, σ2, ...σn ∈ Aut(E) to-
dos distintos. Então eles são linearmente independentes, isto é, se γ1, γ2, ..., γn ∈ E
e se T = γ1σ1 + ...γnσn = 0, então γ1 = γ2 = ... = γn = 0
Demonstração
Suponha que γ1σ1 + ...γnσn = 0 e algum γi 6= 0. Sem perda de generalidade podemos
supor que todos os σ′s são não nulos. De todas as equações acima com todos os
termos não nulos , deve haver pelo menos uma que possui o menor número de termos.
Suponha que tal equação seja γ1σ1 + ...γnσn = 0 e algum γi 6= 0. Assim pela nossa
escolha não deve existir nenhuma equação com menos de n elementos. Nós tentaremos
agora chegar num absurdo.
Existe um y ∈ E tal que σ1(y) 6= σn(y) pois os automorfismos são distintos. Assim
y 6= 0. Observamos que a equação escolhida funciona também com yx no lugar de x,
isto é:
γ1σ1(x) + ...+ γnσn(x) = 0 (1)
γ1σ1(yx) + ...+ γnσn(yx) = 0
γ1(σ1(x).σ1(y)) + ...+ γn(σn(x).σn(y)) = 0 (2)
3.2. RELAÇÃO ENTRE O GRAU DA EXTENSÃO E A ORDEM DO GRUPO 31
para todo x ∈ E. Se nós multiplicamos a equação (1) por σ1(y) e subtráırmos de (2)
nós obtemos
γ2(σ2(x)σ1(y)− σ2(x)σ2(y)) + ...+ γn(σn(x)σ1(y)− σn(x)σn(y)) 6= 0
O coeficiente de σn(x) é γn(σ1(y) − σn(y)) 6= 0 e assim nós temos uma equação com
um número menor que n termos . Isto nos leva a uma contradição pela escolha de
nossa equação .
(3) Nossa hipótese agora é que {σ1 = Id, σ2, ..., σn} é um grupo e queremos provar que
neste caso, [E : F({σ1, ..., σn})] = n.
Suponha que não. Já provamos que [E : F({σ1, ..., σn})] ≥ n. Sejam ω1, ...ωn+1
elementos linearmente independentes sobre F({σ1, ..., σn}).
Considere o sistema homogêneo
σ1(ω1)x1 + σ1(ω2)x2 + ... + σ1(ωn+1)xn+1 = 0
σ2(ω1)x1 + σ2(ω2)x2+ ... + σ2(ωn+1)xn+1 = 0
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
σi(ω1)x1 + σi(ω2)x2 + ... + σi(ωn+1)xn+1 = 0
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
σn(ω1)x1 + σn(ω2)x2 + ... + σn(ωn+1)xn+1 = 0
de n equações e n+ 1 incógnitas.
Ele tem solução não trivial, isto é , ∃ x1, x2, ..., xn ∈ E não todos nulos tal que
x1σi(ω1) + ...+ xn+1σi(ωn+1) = 0 ∀i = 1, 2, ..., n
No conjunto de todas as soluções do sistema acima, diferente da trivial,posso es-
colher uma que tenha o maior número posśıvel de zeros; posso ordenar e supor
y1, y2, y3, ..., yr, 0, ..., 0 é atal solução .
Afirmação 1: r ≥ 2
De fato, se r = 1 temos que y1σ1(ω1) = 0 o que implica que yi = 0 e r = 0, o que é
absurdo pois r ≥ 1.
Afirmação 2: Posso supor que yr = 1 pois se y1, y2, y3, ..., yr, 0, ..., 0 é solução então
y1
yr
, y2
yr
, ..., 1, 0, ..., 0 também é solução .
Afirmação 3: ∃ j tal que yj 6∈ F({σ1, ..., σn}) e depois de ordenar posso supor que
y1 6∈ F({σ1, ..., σn}) .
Dem: Com efeito, senão a primeira equação do sistema nos daria
σ(y1ω1 + ...+ yn+1ωn+1) = y1ω1 + ...+ yn+1ωn+1 = 0
com todos os yi ∈ F({σ1, ..., σn}) e são não nulos , o que é um absurdo pois ω1, ...ωn+1
são elementos linearmente independentes sobre F({σ1, ..., σn})
Assim temos para todo i, que
y1σi(ω1) + ...+ yr−1σi(ωr−1) + σi(ωr) = 0 (∗)
com y1 6∈ F({σ1, ..., σn}) e portanto ∃k tal que σk(y1) 6= y1.
Como {σ1 = Id, σ2, ..., σn} é um grupo então {σk ◦ σ1, σk ◦ σ2, ..., σk ◦ σn} = {σ1 =
32 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
Id, σ2, ..., σn}
Aplicando σk em (∗) na linha j obtemos
σk(y1)σk ◦ σj(ω1) + ...+ σk(yr−1)σk ◦ σj(ωr−1) + σk ◦ σj(ωr) = 0 isto é, σk(y1)σi(ω1) +
...+ σk(yr−1σi(ωr−1 + σi(ωr) = 0 (∗∗)
para todo i = 1, 2, ..., n. Subtraindo (∗)− (∗∗) temos:
(y1 − σk(y1))︸ ︷︷ ︸
z1
σi(ω1) + ...+ (yr−1 − σk(yr−1)︸ ︷︷ ︸
zr−1
σi(ωr−1) = 0,
isto é , existe uma solução (z1, ..., zr−1, 0, ...0) não trivial, pois z1 6= 0(pois σk(y1) 6= y1),
com mais zeros do que (y1, y2, ...yr, 0, , , , 0), o que é uma contradição .
Corolário 3.2.4 Seja E um corpo e G = {σ1 = Id, σ2, ..., σn} ⊂ Aut(E) um grupo finito.
(1) [E : F({σ1, σ2, ..., σn })] = o(G).
(2) AutF(G)(E) = G
Demonstração :
(1) Resulta diretamente do Teorema 3.2.2 -parte(3).
(2) Primeiro provaremos que G ⊆ AutF(G)(E).
Como F(G) = {α ∈ E | σ1(α) = σ2(α) = ... = σn(α) = α}, para todo σi ∈ G ⊂
Aut(E) e para todo α ∈ F(G) temos que σi(α) = α para todo i = 1, 2, 3, ..., n, o que
mostra que σi deixa todo elemento de F(G) fixo e logo G ⊆ AutF(G)(E).
Suponha que AutF(G)(E) 6= G. Então existe um τ ∈ AutF(G)(E) tal que τ 6∈ G.
Afirmação : F(G ∪ {τ}) = F(G)
⊆ Direto das definicões.
⊇ Seja α ∈ F(G). Como τ(α) = α, temos que α ∈ F(G∪ {τ}) e F(G∪ {τ}) ⊇ F(G) e
a afirmação está demonstrada.
Usando o Teorema 3.2.2 temos que n + 1 ≤ [E : F(G ∪ {τ})] = [E : F(G)] = n, o
que é um absurdo, e mostra que AutF(G)(E) = G.
3.3. EXTENSÕES GALOISIANAS, NORMAIS E SEPARÁVEIS 33
3.3 Extensões Galoisianas, Normais e Separáveis
Estamos agora quase prontos para entender todas as hipóteses do Teorema Fundamental
da Teoria de Galois. Precisamos ainda de mais uma definição .
Definição 3.3.1 (Extensões Galoisianas) Uma extensão de corpos L|K é Galoisiana
se F(AutK(L)) = K.
O próximo teorema caracteriza as extensões Galoisianas;
Teorema 3.3.2 São equivalentes:
(1) L|K é uma extensão Galoisiana finita.
(2) L|K é uma extensão finita, normal e separável.
(3) L é corpo de fatoração de um polinômio separável sobre K.
Demonstração :
(3) ⇒ (1) Suponha que L é corpo de fatoração de f(x), f separável . Usaremos indução
sobre o número r de ráızes de f que estão fora de K . Se r = 0 então todas as ráızes de f
estão em K, L = K, F(AutK(L)) = F({Id}) = K.
Suponhamos por indução que para todo K1 corpo, e todo f1 ∈ K1[x] separável com número
de ráızes fora de K1 menor que r e L1 corpo de fatoração de f1 sobre K1 implique que
F(AutK1(L1)) = K1, isto é L1|K1 é galoisiana.
Podemos escrever f(x) = p1(x)p2(x)...ps(x) onde os p
′
is ∈ K[x] são irredut́ıveis para todo
i.
Se grpi(x) = 1, para todo i, L = K e então está provado. Suponha que existe algum i
tal que grpi(x) > 1. Tomemos i=1, por exemplo. Seja α1 ∈ L uma raiz de p1(x). Temos
então o diagrama:
L∣∣∣
K1 = K(α1)∣∣∣
F(AutK(L))∣∣∣
K
e podemos escrever f(x) = (x−α1)f(1)(x) com f1(x) ∈ K1(x). Temos que L é o corpo de
fatoração de f1(x) sobre K1, o número de ráızes de f1(x) que estão fora de K1 é menor que
r e como f é separável sobre K, f1 é separável sobre K1. Podemos assim usar a hipótese de
indução e concluir que L|K(α1) é galoisiana, isto é, F(AutK(α1)(L)) = K(α1).Mas como
AutK(α1)(L) ⊂ AutK(L) temos K(α1) = F(AutK(α1)(L) ⊃ FAutK(L).
Queremos agora provar que K = FAutK(L) e já sabemos que FAutK(L) ⊂ K(α1).
Então seja ξ ∈ F(AutK(L)) ⊂ K(α1). Os elementos de K(α1) são escritos na forma
ξ = c0 + c1α1 + ...+ csα
s−1
1 onde ci ∈ K e grpi = s. Como f(x) é separável então todas as
ráızes de p1(x) ∈ K[x] são distintas e vamos chamá-las de α1, α2, ..., αs.
Usando o 1o e 2o Teoremas de Extensão ao pol. irred. p1(x) ∈ K[x] temos que existem
34 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
σi ∈ Aut(L|K) os quais estendem os automorfismos K(α1) −→ K(αi) que levam α1 em αi
e i = 1, 2, 3, ..., s. Temos:
L
σi−→ L∣∣∣ ∣∣∣
K1 = K(α1) −→ K(αi)∣∣∣ α1 7−→ αi ∣∣∣
ξ ∈ F(AutK(L))
∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣
K
Id−→ K
Aplicando σi a ξ temos ξ = σi(ξ) = c0 + c1σi(α1) + ... + cs−1σi(α1)
s−1 = c0 + c1αi + ... +
ss−1α
s−1
i o que mostra que αi é raiz do polinômio cs−1x
s−1 + ...+ c1x+ c0 − ξ o qual tem
grau s−1. Já que α1, ..., αs são todos distintos temos que este polinômio é nulo e portanto
c0 − ξ = 0, isto é ξ ∈ K, o que prova que F(AutK(L)) = K.
(1)⇒ (2) Como L|K é uma extensão galoisiana então por definição , F(AutK(L)) = K
e pelo Teorema 3.2.2 na parte (3) temos que [L : K] = [L : F(AutK(L))] = o(AutK(L)).
Vamos agora provar que L|K é normal e separável- ou seja para todo α ∈ L, todos os seus
conjugados estão em L e são distintos.
Sejam {σ1 = Id, σ2, ..., σr} = AutK(L) e α ∈ L. Como todo K-automorfismo de L permuta
as ráızes de p∣∣∣α,K temos que
α = α1 := σ1(α) = Id(α), α2 = σ2(α), ..., αr = σr(α)
são ráızes de p∣∣∣α,K . Escolhemos agora todos os α′s distintos - suponha que eles sejam
α1, ..., αt. Defina f(x) = (x − α1)(x − α2)...(x − αt) . Observe que σi(f(x) = f(x)
para todo i = 1, 2, 3, ..., r e isto mostra que os coeficientes de f ficam fixos por todos os K-
automorfismos de L, o que implica que os coeficientes de f pertencem ao F(AutK(L)) = K
devido nossa hipótese que L|K é galoisiana . Dáı chegamos a um polinômio f(x) ∈ K[x]
que anula α e então sabemos das extensões algébricas que p∣∣∣α,K divide f(x), o que mostra
pela definição de f que todos os conjugados de α, isto é, ráızes de p∣∣∣α,K são distintos
(eles estarão no conjunto das ráızes de f e f foi constrúıdo com ráızes distintas) e estão
em L pois as ráızes de f são σi(α) ∈ L) com i = 1, 2, ..., t. (2) ⇒ (3) Como L|K é finita,
∃ξ1, ..., ξn ∈ L tal que L = K(ξ1, ..., ξn). Defina: f(x) = p∣∣∣ξ1,K .....p∣∣∣ξn,K ∈ K[x]. Afirmo
que L é o corpo de fatoração de f(x) sobre K e f é separável . Como ξi ∈ L e L|K é
separável então todas as ráızes de p∣∣∣ξ,K são distintas e assim todos os fatores irred. de f
são separáveis e isto por def. diz que f é separável.
Será que L é o menor corpo que contém K e todas as ráızes de f? Ou seja, será que L é
3.4. O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS (TFTG) 35
corpo de fatoração de f sobre K? É óbvio que K ⊂ L. Como L|K é normal , para todo
ξi ∈ L, os conjugados de ξ estão em L pelo Corolário 3.1.13 e assim L contém todas as
ráızes de f e em particular contém o corpo K(ξ1, ..., ξn) o qual é o menor corpo que contém
ξ1, ...ξn. Mas K(ξ1, ..., ξn) = L e provamos assim que L é o corpo de fatoração de f sobre K.
Finalmente estamos prontos para encarar e entender o Teorema Fundamental da
Teoria de Galois , que vema seguir.
3.4 O Teorema Fundamental da Teoria de Galois (TFTG)
Teorema 3.4.1 Sejam L|K uma extensão galoisiana finita ,L corpo de fatoração de f(x) ∈
K[x], um polinômio separável sobre K .
Existe uma bijeção entre :
{ corpos intermediários M entre K e L }
 { subgrupos de AutK(L) }
M
G
↪→ AutM(L)
F(H) F←↩ H
tal que :
(1)
F ◦ G = Id
G ◦ F = Id
(2) Esta bijeção preserva a normalidade, isto é,
M |K é uma extensão normal se e somente se AutM(L)4AutK(L). Neste caso
AutK(L)
AutM(L)
≈ AutK(M)
(3) Se M for um corpo intermediário entre K e L temos
(3.1) [L : M ] = o(AutM(L))
(3.2) [M : K] = [AutK(L) : AutM(L)]
OBS: Esta bijeção inverte a inclusão.
Demonstração :
(1) Já provamos no Corolário 3.2.4 que G ◦F(H) = H pois G ◦F(H) = AutF(H)(L) = H.
Vamos agora provar que F ◦G = Id, isto é, F ◦G(M) = M ou F(AutM(L) = M . Como L
é corpo de fatoração de f(x) ∈ K[x], um polinômio separável sobre K, ele também corpo
de fatoração de f(x) ∈ K[x] ⊂ M [x], um polinômio separável sobre M e pelo Teorema
3.3.2 temos que L|M é galoisiana, isto é F(AutM(L) = M .
36 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
(2) Vamos provar primeiro :
Afirmação 1: AutM(L) 4 AutK(L)⇐⇒ σ(M) = M para todo σ ∈ AutK(L)
Dem: AutM(L) 4 AutK(L)⇐⇒ para todo σ ∈ AutK(L) σ ◦AutM(L) ◦ σ−1 = AutM(L).
Aplicando F e a parte 1 do TFTG teremos F(σ ◦ AutM(L) ◦ σ−1) = F(AutM(L)) =
F ◦ G(M) = M . Vamos agora provar que F(σ ◦ AutM(L) ◦ σ−1) = σ(M). Com efeito,
α ∈ F(σ◦AutM(L)◦σ−1)⇐⇒ σ◦τ ◦σ−1(α) = α para todo τ ∈ AutM(L)⇐⇒ τ ◦σ−1(α) =
σ−1(α), para todo τ ∈ AutM(L)⇐⇒ σ−1(α) ∈ F(AutM(L) = F(AutM(L)) = F ◦G(M) =
M .
Afirmação 2: Para todo σ ∈ AutK(L), σ(M) = M ⇐⇒M |K é uma extensão normal.
Dem:(⇐)
Como M |K é normal, se α ∈M,σ(α) ∈M por ser conjugado de α. Assim temos σ(M) ⊆
M .Como M |K é algébrico seguirá que σ será sobrejetivo quando restrito a M , pelo lema
a seguir:
Lema 3.4.2 Se L|K é uma extensão algébrica então para todo corpo intermediário M tal
que, K ⊆M ⊆ L e σ : M −→M um K- homomorfismo injetivo então σ é sobrejetivo.
Dem: Seja α ∈ M . Quero provar que ∃β ∈ M tal que σ(β) = α. Sei que α é algébrico
sobre K. Seja p∣∣∣α,K = xn + an−1xn−1 + ... + a0 ∈ K[x]. Então σ(α)n + an−1σ(α)n−1 +
... + a0 = 0, isto é σ(α) também é raiz de p∣∣∣α,K . Repetindo esse argumento temos que
σ(α), σ2(α), ..., σr(α), ... são ráızes de p∣∣∣α,K e como este polinômio tem um número finito
de zeros temos que ∃i > j tal que σi(α) = σj(α) e então σ(σi−j−1(α)) = α e basta tomar
β = σi−j−1(α).
(⇒)
Seja α1 um conjugado qualquer de α ∈ M . Sei que α1 ∈ L pois L|K é normal . Quero
mostrar que α1 ∈M para provar que M |K é normal. Pelo 1o Teor. de Extensão existe um
K- isomorfismo φ de K(α) em K(α1) que leva α em α1 usando o pol. irred. p∣∣∣α,K . Pelo 2o
Teor. de Extensão aplicado ao pol. f(x) ∈ K[x] ⊂ K(α)[x] podemos estender φ ao corpo
de fatoração de f , o qual é L. Como φ(f(x)) = f(x) o corpo de fatoração de φ(f(x))
também vai ser L e teremos um σ ∈ Autk(L) que estende φ e então σ(α) = α1 ∈ M por
hipótese. Assim M |K é normal e nossa Afirmação 2 está provada e com ela a 1a parte da
3.4. O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS (TFTG) 37
parte 2 do TFTG. Podemos resumir o que foi feito acima no seguinte diagrama:
L
σ−→ L∣∣∣ ∣∣∣
M
∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣
K(α)
φ−→ K(α1)∣∣∣ α 7−→ α1 ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣
K
Id−→ K
Suponha agora que M |K é normal e considere o homomorfismo entre grupos:
φ : AutK(L) −→ AutK(M)
σ 7−→ σ∣∣∣M
φ está bem definida pois já provamos que se M |K é normal então σ∣∣∣M ∈ AutK(M).
Também φ é sobrejetivo pois dado τ ∈ AutK(M) podemos estender τ a um K- automor-
fismo de L, pois L é o corpo de fatoração de f(x) ∈ K[x] sobre K, L é corpo de fatoração
de f sobre M e podemos aplicar o 2o Teor. de Extensão e teremos que ∃σ ∈ AutK(L) tal
que φ(σ) = τ . Pelo 1o Teor. de isomorfismo da Teoria de Grupos temos
AutK(M) ≈
AutK(L)
Kerφ
Mas Kerφ = AutM(L) e terminamos a 2a parte do TFTG.
(3)
[L : M ] = [L : F(G(M))] = o(G(M)) = o(AutM(L))
[M : K] =
[L : K]
[L : M ]
=
o(AutK(L))
o(AutM(L))
= [AutK(L) : AutM(L)]
38 CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS
Bibliografia
[1] Números Racionais e Irracionais -Ivan Niven- SBM- 1984.
[2] Números irracionais e transcendentes- Djairo G. de Figueredo- SBM-1985.
[3] Contemporary Abstract Algebra - Joseph A. Gallian- 1994- 3a edição - Heath.
[4] Introdução à Teoria de anéis - Cristina M.Marques- 2001- Departamento de Ma-
temática-UFMG.
[5] Notas de Aula do Prof: Yves Lequain no IMPA-RJ em 1978.
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