ENEM Exercícios - Taxa Relacionada

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Taxa de Variação 
 
1. Um ponto move-se sobre a semicircunferência x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha 
dt
dx > 0. Determine o ponto 
da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x. 
 
2. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do 
pé da parede a uma velocidade constante de 2 (m/s), com que velocidade a extremidade superior estará 
descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede? 
 
3. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1 m3/s. O 
vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está 
subindo no instante em que h = 5 m. 
 
4. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume 
V. Num determinado instante h = 3 cm e r = 1 cm e, neste instante, a altura está variando à uma taxa de 
0,2 cm/s. A que estará variando o raio neste instante? 
 
5. Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,2 m/s e 0,1 m/s 
respectivamente. A que taxa estará variando a área do retângulo no instante em que x = 1 m e y = 2 m? 
 
6. A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 0,1 m/s e 
0,3 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando o volume do cone no instante em que h = 0,5 m e r = 
0,2 m? 
 
7. O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxa constantes de 0,1 π m3/s 
e 0,2 m/s respectivamente. 
 
8. (EN) Expresse 
dt
dh em termos de r e h, onde h é a altura do cone.Considere o triângulo ABC dado 
abaixo, onde M1,M2 e M3 são os pontos médios dos lados AC, BC e AB, respectivamente e k a razão da 
área do triângulo AIB para a área do triângulo IM1M2 e f(x)=(
1
2
x3 + x2 – 2x – 11) 2 . Se um cubo se 
expande de tal modo que num determinado instante sua aresta mede 5dm e aumenta à razão de 
f (k) dm min então podemos afirmar que a taxa de variação da área total da superfície deste sólido, neste 
instante, vale em 2dm min 
(A) 240 2 (B)330 2 (C) 420 2 (D)940 2 (E)1740 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (EN-Adaptada) Um míssil, lançado verticalmente de uma Fragata, é rastreado por uma estação de 
radar localizada a 3 milhas do ponto de lançamento. Sabendo-se que em um certo instante a distância 
do míssil à estação radar é de 5 milhas e que esta distância está aumentando à taxa de 5 mi/h, podemos 
afirmar que a velocidades vertical do míssil neste instante é de: 
(A) 4,100 mi/h 
(B) 5,250 mi/h 
(C) 5,750 mi/h 
(D) 6,100 mi/h 
(E) 6,250 mi/h. 
 
 
10. (EN) Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por 1/4 km. A velocidade do 
primeiro é 40 km/h e a do segundo 60 km/h, no mesmo sentido que o primeiro. O passageiro A do 
trem mais lento observa o passageiro B do trem mais rápido. A velocidade com que muda a distância 
entre eles quando A está a 1/8 km à frente de B é, em km/h. 
(A)
5
20 
(B) 5 
(C) 0 
(D) – 5 
(E) 
5
20− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1. ( )2,1− 
2. 6 m / s
55
− 
3. 9 m / s
1000π 
4. . 1 cm / s
30
− 
5. 0,5 m2/s 
6. 30,064 m / s
3
π 
7. 2r
rh4,03,0 − 
8. E 
9. E 
10. E