UNIDADE 4 - Medidas de posição e dispersão

Prévia do material em texto

Medidas de posição e dispersão
1
ESTATÍSTICA APLICADA À GEOGRAFIA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ – UFPI
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E À DISTÂNCIA
CURSO DE LICENCIATURA EM GEOGRAFIA
DISC.: ESTATÍSTICA APLICADA À GEOGRAFIA
PROF. MAX BRANDÃO DE OLIVEIRA
2
Medidas de tendência central
• Média Aritmética;
• Mediana;
• Moda;
• Algumas Separatrizes.
3
Medidas de tendência central
• Média aritmética
• Populacional → 𝜇
• Amostral → 𝑋
1. Dados apresentados em forma de rol:
 𝑋 =
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
É a soma de todos os elementos, dividida pela quantidade de elementos.
4
Medidas de tendência central
• Média aritmética
• Populacional → 𝜇
• Amostral → 𝑋
1. Dados apresentados em forma de rol:
Ex.: Peso em gramas de ratos : 50, 62, 70, 86, 60, 64, 66, 77, 58, 55, 82, 74
 𝑋 =
50 + 62 + 70 + 86 + 60 + 64 + 66 + 77 + 58 + 55 + 82 + 74
12
= 67
5
Medidas de tendência central
• Média aritmética
• Populacional → 𝜇
• Amostral → 𝑋
2. Dados resumidos numa distribuição de frequência simples
 𝑋 =
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
É a soma do produto de cada elemento pela sua frequência absoluta, dividida pela soma
das frequências absolutas.
6
Medidas de tendência central
• Média aritmética
• Populacional → 𝜇
• Amostral → 𝑋
2. Dados resumidos numa distribuição de frequência simples.
Ex.:
Análise: Verifica-se que o número médio de cáries das 27 crianças observadas no estudo é
de 2,3.
X 0 1 2 3 4 Total
f 2 4 10 6 5 27
2,3
27
(4x5) (3x6) (2x10) (1x4)(0x2)
f
fx
X
n
1i
i
n
1
ii






i
7
Medidas de tendência central
• Média aritmética
• Populacional → 𝜇
• Amostral → 𝑋
3. Dados apresentados em forma de distribuição de frequência em classes
 𝑋 =
 𝑖=1
𝑛 𝑃𝑚𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
A fórmula será a mesma do item anterior, sendo o 𝑃𝑚 representado pelo ponto médio de
cada classe.
→ 𝑃𝑚 = Ponto médio de cada classe
𝑷𝒎 = 𝑳𝒊 + (𝒊/𝟐) ou 𝑷𝒎 = (𝑳𝒊 + 𝑳𝒔)/𝟐𝒔
8
Medidas de tendência central
• Média aritmética
• Populacional → 𝜇
• Amostral → 𝑋
3. Dados apresentados em forma de distribuição de frequência em classes
Classes Pm fi
1,5 -| 2,0 1,75 3
2,0 -| 2,5 2,25 16
2,5 -|3,0 2,75 31
3,0 -|3,5 3,25 34
3,5 -|4,0 3,75 11
4,0 -|4,5 4,25 4
4,5 |-| 5,0 4,75 1
Total
3
100
(4,75x1) (2,25x16)(1,75x3)
f
fP
X
n
1i
i
n
1
im






 i
Análise: Verifica-se que o peso médio dos 100 nascidos
vivos observados é 3 kg.
9
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
10
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
1. Os dados estão dispostos em um rol:
• Sendo n ímpar: nesse caso, a mediana corresponde ao valor central do rol.
11
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
1. Os dados estão dispostos em um rol:
• Sendo n ímpar: nesse caso, a mediana corresponde ao valor central do rol.
Determina-se o posto ou posição do elemento central através da fórmula: (n + 1) ÷ 2, cujo 
resultado será denominado de elemento mediano e corresponderá à mediana.
Ex1.: Seja a amostra: 1, 2, 3, 4, 5  Elemento mediano = (5+1)/2 = 6º elemento Med = 3
12
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
1. Os dados estão dispostos em um rol:
• Sendo n par: nesse caso, a mediana corresponde à média aritmética dos dois
valores centrais.
13
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
1. Os dados estão dispostos em um rol:
• Sendo n par: nesse caso, a mediana corresponde à média aritmética dos dois valores
centrais.
O posto ou posição do 1o elemento central é determinado pela fórmula: n2 e o do 2o por 
(n2)+1. A mediana será a média aritmética desses dois elementos.
Ex2.: Seja a amostra: 1, 2, 3, 4  Elemento mediano: 4/2 = 2º elemento e (4/2)+1 = 3º elem. 
Med = (2 + 3)/2 = 2,5
14
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
1. Os dados estão dispostos numa distribuição de frequências simples.
• Utilizar os métodos descritos para dados dispostos em rol.
n = 11 (ímpar)
Elemento mediano: [(n+1)/2]º = 6º elemento
3ª classe contém o 6º elemento → Med = 3
X fi
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 2 11
Total 11 -
F
15
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
1. Os dados estão dispostos numa distribuição de frequências simples.
• Utilizar os métodos descritos para dados dispostos em rol.
X fi
82 5 5
85 10 15
87 15 30
89 8 38
90 4 42
Total 42 -
F
n = 42 (par)
Elemento mediano: (n/2) = 21º elemento
(n/2) + 1 = 22º elemento
3ª classe contém o 21º e o 22º elemento 
Med = (87 + 87)/2 = 87
16
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
b) Através do Histograma; e 
c) Através da Ogiva de Galton.
17
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑀𝑒 +
𝑃𝑀𝑒 − 𝐹 ↓
−
𝑓𝑀𝑒
𝑖𝑀𝑒
18
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑀𝑒 +
𝑃𝑀𝑒 − 𝐹 ↓
−
𝑓𝑀𝑒
𝑖𝑀𝑒
𝑃𝑀𝑒= posição da Mediana = 𝑓/2
19
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑀𝑒 +
𝑃𝑀𝑒 − 𝐹 ↓
−
𝑓𝑀𝑒
𝑖𝑀𝑒
𝑃𝑀𝑒= posição da Mediana = 𝑓/2
𝐿𝑖𝑀𝑒= limite inferior da classe que contém a mediana
20
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑀𝑒 +
𝑃𝑀𝑒 − 𝐹 ↓
−
𝑓𝑀𝑒
𝑖𝑀𝑒
𝑃𝑀𝑒= posição da Mediana = 𝑓/2
𝐿𝑖𝑀𝑒= limite inferior da classe que contém a mediana
𝐹 ↓−= freq. abs. acum. “Abaixo de” da classe anterior à classe que contém a mediana
21
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑀𝑒 +
𝑃𝑀𝑒 − 𝐹 ↓
−
𝑓𝑀𝑒
𝑖𝑀𝑒
𝑃𝑀𝑒=posição da Mediana = 𝑓/2
𝐿𝑖𝑀𝑒= limite inferior da classe que contém a mediana
𝐹 ↓−= freq. abs. acum. “Abaixo de” da classe anterior à classe que contém a mediana 
𝑓𝑀𝑒= frequência absoluta da classe que contém a mediana
22
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑀𝑒 +
𝑃𝑀𝑒𝑑 − 𝐹 ↓
−
𝑓𝑀𝑒
𝑖𝑀𝑒
𝑃𝑀𝑒𝑑= posição da Mediana = 𝑓/2
𝐿𝑖𝑀𝑒= limite inferior da classe que contém a mediana
𝐹 ↓−= freq. abs. acum. “Abaixo de” da classe anterior à classe que contém a mediana 
𝑓𝑀𝑒= frequência absoluta da classe que contém a mediana
𝑖𝑀𝑒= intervalo da classe que contém a mediana
23
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
a) Pela fórmula, levando-se em conta a classe que contém a mediana; 
Classes Pm fi
1,5 -| 2,0 1,75 3 3
2,0 -| 2,5 2,25 16 19
2,5 -| 3,0 2,75 31 50
3,0 -| 3,5 3,25 34 84
3,5 -| 4,0 3,75 11 95
4,0 -| 4,5 4,25 4 99
4,5 |-| 5,0 4,75 1 100
F PMed = 50º elemento 3ª classe: [2,5; 3,0]
3)0,5(
31
19-50
2,5Med
.i
f
FP
LIMed Med
Med
Med
Med












 


x
24
Medidas de tendência central
• Mediana
• Valor que divide a distribuição em duas partes iguais, em relação à quantidade de
elementos.
3. Os dados estão agrupados em uma distribuição de frequências em classes. 
b) Através do Histograma: constrói-se o Histograma e determina-se por regra de três;
c) Determinando-se um valor aproximado através da Ogiva de Galton.
25
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
1. Dados apresentados em rol:
a) Série Unimodal: tem uma única moda.
Ex.: Na série 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8 → Mo = 6
26
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
1. Dados apresentados em rol:
a) Série Unimodal: tem uma única moda.
Ex.: Na série 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8 → Mo = 6
b) Série Bimodal: ocorrem duas modas.
Ex.: Na série 2, 5, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 10 → Mo1 = 5 e Mo2 = 9
27
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
1. Dados apresentados em rol:
a) Série Unimodal: tem uma única moda.
Ex.: Na série 3, 5, 6, 6, 6, 7, 8 → Mo = 6
b) Série Bimodal: ocorrem duas modas.
Ex.: Na série 2, 5, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 10, 10 → Mo1 = 5 e Mo2 = 9
c) Série Trimodal: ocorrem três modas.
Ex.: Na série 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9 → Mo1 = 4, Mo2 = 7 e Mo3 = 9
28
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
1. Dados apresentados em rol:
d) Série Polimodal: ocorrem quatro ou mais modas
Ex.: Na série 0, 0, 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 11, 12, 12, 13, 13 → Mo1 = 0, Mo2 = 3, Mo3 = 9, 
Mo4 = 12 e Mo5 = 13
29
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
1. Dados apresentados em rol:
d) Série Polimodal: ocorrem quatro ou mais modas
Ex.: Na série 0, 0, 1, 3, 3, 4, 7, 8, 8, 11, 12, 12, 13, 13 → Mo1 = 0, Mo2 = 3, Mo3 = 9, 
Mo4 = 12 e Mo5 = 13
e) Série Amodal: não existe moda.
Ex.: Na série 0, 1, 3, 4, 7, 8, não existe moda
30
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
2. Dados apresentados em uma distribuição de frequência simples.
• A moda será o elemento que terá a maior frequência.
X f
1 13
3 15
6 25
10 8
Total 61
Mo = 6
31
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
2. Dados apresentados em uma distribuição de frequência simples.
• A moda será o elemento que terá a maior frequência.
Mo = sangue tipo “O”
Tipo de Sangue f
O 547
A 441
B 123
AB 25
Total 1136
32
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
a) Moda Bruta (𝑀𝑜𝐵): corresponde ao ponto médio da classe modal.
𝑀𝑜𝐵 =
𝐿𝑖 + 𝐿𝑠
2
• 𝐿𝑖: Limite inferior da classe modal;
• 𝐿𝑠: Limite superior da classe modal;
33
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
a) Moda Bruta (𝑀𝑜𝐵)
𝑀𝑜𝐵 =
1,44 + 1,62
2
= 1,53
Classes fi
1,08 - 1,26 5
1,26 - 1,44 13
1,44 - 1,62 32
1,62 - 1,80 18
1,80 - 1,98 11
1,98 - 2,16 2
2,16 - 2,34 3
34
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
b) Moda de King (𝑀𝑜𝐾)
𝑀𝑜𝐾 = 𝐿𝑖𝑀𝑜 +
𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡
𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡
𝑖𝑀𝑜
𝐿𝑖𝑀𝑜: Limite inferior da classe modal;
𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡: frequência absoluta da classe posterior a classe modal;
𝑓𝑎𝑛𝑡: frequência absoluta da classe anterior a classe modal;
𝑖𝑀𝑜: intervalo ou amplitude da classe modal
35
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
b) Moda de King (𝑀𝑜𝐾)
𝑀𝑜𝐾 = 𝐿𝑖𝑀𝑜 +
𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡
𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡
𝑖𝑀𝑜
Classe Modal = 3ª classe [1,44; 1,62) com fi = 32
fant = 13
fpost = 18
iMo = (1,62) - (1,44) = 0,18
Análise: valores próximos ou iguais a 1,54 ocorrem com maior frequência.
Classes fi
1,08 - 1,26 5
1,26 - 1,44 13
1,44 - 1,62 32
1,62 - 1,80 18
1,80 - 1,98 11
1,98 - 2,16 2
2,16 - 2,34 3
36
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
c) Moda de Czuber (𝑀𝑜𝐶)
𝑀𝑜𝐶 = 𝐿𝑖𝑀𝑜 +
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
𝑖𝑀𝑜 ,
onde 𝑑1 = 𝑓𝑀𝐴𝑋 − 𝑓𝐴𝑁𝑇
𝑑2 = 𝑓𝑀𝐴𝑋 − 𝑓𝑃𝑂𝑆𝑇
𝐿𝑖𝑀𝑜: Limite inferior da classe modal;
𝑓𝑀𝐴𝑋: Maior frequência absoluta entre todas as classes;
𝑓𝐴𝑁𝑇: Frequência da classe anterior a classe modal.
37
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
c) Moda de Czuber (𝑀𝑜𝐶)
Classes fi
1,08 - 1,26 5
1,26 - 1,44 13
1,44 - 1,62 32
1,62 - 1,80 18
1,80 - 1,98 11
1,98 - 2,16 2
2,16 - 2,34 3
Classe Modal = 3ª classe [1,44; 1,62) com fi = 32
fant = 13 fmáx = 32
fpost = 18 d1 = 32 - 13 = 19
iMo = (1,62) - (1,44) = 0,18 d2 = 32 - 18 = 14
Análise: valores próximos ou iguais a 1,54 ocorrem com maior frequência.
1,54.0,18
1914
19
1,44.i
dd
d
liM Mo
21
1
MooC 














38
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
c) Moda de Pearson (𝑀𝑜𝑃)
𝑀𝑜𝑃 = 3𝑀𝑒 − 2 𝑋
39
Medidas de tendência central
• Moda
• Valor que ocorre com maior frequência.
3. Dados apresentados em uma distribuição de frequência em classes.
c) Moda de Pearson (𝑀𝑜𝑃)
𝑀𝑜𝑃 = (3 × 𝑀𝑒𝑑) − (2 × 𝑋)
Ex.: Calcule a moda de Pearson para os seguintes dados = 1,61 e Med = 1,57.
𝑀𝑜𝑃 = 3.(1,57) - 2.(1,61) = 1,49
40
Medidas de dispersão
• Amplitude Total;
• Desvio médio;
• Desvio-padrão;
• Variância;
• Coeficiente de variação;
• Assimetria.
41
Medidas de dispersão
• Amplitudetotal
42
Medidas de dispersão
• Dá apenas uma ideia do campo de variação dos elementos.
Corresponde à diferença entre os valores máximo e mínimo
• Amplitude total
43
Medidas de dispersão
• Dá apenas uma ideia do campo de variação dos elementos.
Corresponde à diferença entre os valores máximo e mínimo
• Amplitude total
𝐴𝑡 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖
44
Medidas de dispersão
• Desvio Médio
45
Medidas de dispersão
• Corresponde, em módulo, à média aritmética da diferença entre
cada elemento e sua média aritmética.
• Desvio Médio
𝑑𝑚 =
 𝑖=1
𝑛 |𝑑𝑖|
𝑛
, 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑋
46
Medidas de dispersão
• Corresponde, em módulo, à média aritmética da diferença entre
cada elemento e sua média aritmética.
• Para dados resumidos numa distribuição de frequências simples
ou em classes:
• Desvio Médio
𝑑𝑚 =
 𝑖=1
𝑛 |𝑑𝑖|
𝑛
, 𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑋
𝑑𝑚 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖 𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
47
Medidas de dispersão
• É uma medida de variabilidade absoluta, expressa na mesma unidade
dos valores originais. Quanto maior, mais dispersos estão os elementos
em torno da média;
• Desvio-Padrão
48
Medidas de dispersão
• É uma medida de variabilidade absoluta, expressa na mesma unidade
dos valores originais. Quanto maior, mais dispersos estão os elementos
em torno da média;
• É a raiz quadrada positiva do quociente entre a soma dos quadrados dos
desvios e o número de elementos .
• Desvio-Padrão
49
Medidas de dispersão
• Dados em rol:
• Desvio-Padrão
𝜎 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2
𝑛
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 2
𝑛
→ 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑠 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2
𝑛 − 1
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 2
𝑛 − 1
→ 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
50
Medidas de dispersão
• Dados em distribuição de frequência:
• Desvio-Padrão
𝜎 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
→ 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑠 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖 − 1
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋 2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖 − 1
→ 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
51
Medidas de dispersão
• Corresponde ao quadrado do desvio padrão.
• Para dados em rol:
• Variância
𝜎2 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2
𝑛
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋
2
𝑛
→ 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑠2 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2
𝑛 − 1
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋
2
𝑛 − 1
→ 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
52
Medidas de dispersão
• Corresponde ao quadrado do desvio padrão.
• Para dados em distribuição de frequências:
• Variância
𝜎2 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋
2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
→ 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑠2 =
 𝑖=1
𝑛 𝑑𝑖
2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖 − 1
=
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 − 𝑋
2𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖 − 1
→ 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
53
Medidas de dispersão
• Quando as medidas são expressas em unidades diferentes, como
peso/altura, capacidade/comprimento, etc., não se pode compará-
las através do desvio padrão, por ser este uma medida absoluta de
variabilidade;
• Coeficiente de Variação
54
Medidas de dispersão
• Quando as medidas são expressas em unidades diferentes, como
peso/altura, capacidade/comprimento, etc., não se pode compará-
las através do desvio padrão, por ser este uma medida absoluta de
variabilidade;
• Usa–se então o coeficiente de variação, que é uma medida
relativa, que expressa o desvio padrão como uma percentagem da
média aritmética.
• Coeficiente de Variação
55
Medidas de dispersão
• Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a distribuição;
• Coeficiente de Variação
56
Medidas de dispersão
• Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a distribuição;
• Quanto mais distante, mais dispersa;
• Coeficiente de Variação
57
Medidas de dispersão
• Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a distribuição;
• Quanto mais distante, mais dispersa;
• Comparando-se duas distribuições, a de menor coeficiente de
variação é a mais homogênea.
• Coeficiente de Variação
58
Medidas de dispersão
• Quanto mais próximo de zero, mais homogênea é a distribuição;
• Quanto mais distante, mais dispersa;
• Comparando-se duas distribuições, a de menor coeficiente de
variação é a mais homogênea.
𝐶𝑉 =
𝑠
 𝑋
× 100 → 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇
× 100 → 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
• Coeficiente de Variação
59
Assimetria
60
Assimetria
• Uma Distribuição é dita simétrica quando 𝑋 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜𝑃, ou seja, há 
uma maior concentração nos valores centrais da distribuição;
61
Assimetria
• Uma Distribuição é dita simétrica quando 𝑋 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜𝑃, ou seja, há 
uma maior concentração nos valores centrais da distribuição;
• Uma distribuição é dita assimétrica à esquerda quando 𝑋 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜𝑃, 
ou seja, há uma maior concentração nos valores maiores;
62
Assimetria
• Uma Distribuição é dita simétrica quando 𝑋 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜𝑃, ou seja, há 
uma maior concentração nos valores centrais da distribuição;
• Uma distribuição é dita assimétrica à esquerda quando 𝑋 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜𝑃, 
ou seja, há uma maior concentração nos valores maiores;
• Uma distribuição é dotada assimétrica à direita quando 𝑋 > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜𝑃, 
com maior concentração nos valores menores.
63
Assimetria
• Mostra a forma da distribuição (visualizada pelo histograma alisado) e
quantifica o quanto ela se distancia da condição de normalidade.
64
Assimetria
• Mostra a forma da distribuição (visualizada pelo histograma alisado) e
quantifica o quanto ela se distancia da condição de normalidade.
• Mede-se através do índice de assimetria de Pearson, segundo a fórmula:
65
Assimetria
• Mostra a forma da distribuição (visualizada pelo histograma alisado) e
quantifica o quanto ela se distancia da condição de normalidade.
• Mede-se através do índice de assimetria de Pearson, segundo a fórmula:
PX - Mo a
dp

66
Assimetria
• Mostra a forma da distribuição (visualizada pelo histograma alisado) e
quantifica o quanto ela se distancia da condição de normalidade.
• Mede-se através do índice de assimetria de Pearson, segundo a fórmula:
𝑎 =
 𝑋−𝑀0𝑃
𝑠
ou 𝑎 =
3( 𝑋−𝑀𝑒)
𝑠
Análise: 
Se a < 0, a distribuição é assimétrica a esquerda ou negativa. 
Se a > 0, a distribuição é assimétrica à direita ou positiva. 
Se a = 0, a distribuição é simétrica.
67
Assimetria
Dist. Assimétrica à Direita
(Positiva)
Dist. Simétrica
Dist. Assimétrica à Esquerda
(Negativa)
68
FIM