PreparatórioPM_Revisao01

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Preparatório Concurso PM 
Matemática – Nível Médio 
 
Material desenvolvido por Manuela Andrade 
 Divisão 
A divisão é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. 
Consiste em dividir em partes iguais para todos. O número que está sendo 
dividido em partes iguais é chamado de dividendo; o número que indica 
por quantas vezes será dividido é o divisor. O resultado é chamado de 
quociente; o que sobra é chamado de resto. 
O algoritmo da divisão é : 𝐷 = 𝑑. 𝑞 + 𝑟. Onde D é o dividendo, d é o 
divisor, q o quociente e r é o resto. 
 Restrições 
a) O divisor é sempre maior que o resto. 
b) O divisor nunca pode ser 0 (zero). 
c) Seja N o número a ser dividido e d o divisor, o quociente é o 
maior número natural q, desde que o produto q.d não seja maior 
que N. 
 
 Casos Particulares 
a) Um número dividido por 1 tem como resultado ele mesmo. 
b) Um número dividido por ele mesmo tem como resultado 1. 
c) Um número nunca pode ser dividido por 0. 
d) Zero dividido por qualquer número tem como resultado 0. 
 
 
 
 Critérios de Divisibilidade 
Existem regras para alguns números que permitem verificar se um 
número é divisível por outro sem precisar realizar a divisão. Os critérios 
são: 
 Divisibilidade por 2 
Para um número ser divisível por 2, basta verificar se seu último algarismo 
é par. 
 Divisibilidade por 3 
Para um número ser divisível por 3, deve-se somar todos os algarismos. 
Repita a soma até obter um número menor que 10. Se o número obtido 
for múltiplo de 3, o número original é divisível por 3. 
 Divisibilidade por 4 
Observe os algarismos da ordem das dezenas e unidades. Se o algarismo 
das dezenas for par, substitua por 0. Se for ímpar substitua por 1. Se o 
número obtido for divisível por 4, o número original também é divisível 
por 4. 
 Divisibilidade por 5 
Basta verificar se o algarismo das unidades é 0 ou 5 para um número ser 
divisível por 5. 
 
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Matemática – Nível Médio 
 
Material desenvolvido por Manuela Andrade 
 Divisibilidade por 6 
Para um número ser divisível por 6, ele tem que ser divisível por 2 e por 3 
simultaneamente. 
 Divisibilidade por 8 
Verifique se o número é divisível por 2 três vezes. 
 Divisibilidade por 9 
Some todos os algarismos do número. Se o valor da soma for múltiplo de 
9 , o número original é divisível por 9. 
 Divisibilidade por 10 
Basta verificar se o algarismo das unidades é 0 para um número ser 
divisível por 10. 
 Potenciação 
A potenciação é uma operação que permite expressar uma multiplicação 
de fatores iguais de maneira simplificada. 
𝑎1 × 𝑎2 × 𝑎3 × …× 𝑎𝑛 = 𝑎
𝑛 = 𝑏 
Onde: 
𝑎 : base : indica o valor do fator 
𝑛: expoente : indica por quantas vezes o fator está sendo multiplicado 
𝑏: potência : resultado do produto 
Exemplo: Seja a multiplicação 3.3.3.3 onde todos os fatores são iguais. A 
maneira simplificada de expressar essa multiplicação é : 
3.3.3.3 = 34 = 81 
Onde 3 é a base, 4 é o expoente e 81 é a potência. Diz- se que 3 está 
elevado a 4. 
 Casos particulares 
a) Todo número elevado a 0 tem como resultado 1. 
𝑎0 = 1 
b) Todo número elevado a 1 tem como resultado ele mesmo. 
𝑎1 = 𝑎 
c) Toda potência com base 0 tem como resultado 0. 
0𝑛 = 0 
d) Toda potência com base 1 tem como resultado 1. 
1𝑛 = 1 
 Propriedades 
a) Multiplicação de potências de mesma base : Quando há uma 
multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e 
soma os expoentes. 
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 
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Material desenvolvido por Manuela Andrade 
b) Divisão de potências de mesma base: Quando há uma divisão de 
potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai os 
expoentes. 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛−𝑚 
c) Potência de uma multiplicação: A multiplicação de dois ou mais 
fatores elevados a um dado expoente é igual a multiplicação 
desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente. 
 𝑎 × 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 
 
d) Potência de uma divisão: A divisão de dois fatores elevados a um 
dado expoente é igual a divisão desses fatores, cada um elevado 
ao mesmo expoente. 
 
𝑎
𝑏
 
𝑛
= 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 
e) Potência de uma potência : Quando há potência de uma 
potência, deve-se conservar a base e multiplicar os expoentes. 
 𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎𝑛 .𝑚 
f) Potência com expoente negativo: Quando há potência com 
expoente negativo, deve-se inverter a base e inverter o sinal do 
expoente. 
𝑎−𝑛 = 
1
𝑎
 
𝑛
 
 
 
 Decomposição em fatores primos (Fatoração) 
Números primos são números que são divisíveis por 1 e por ele mesmo. 
Números compostos são os números que possuem mais de dois divisores. 
Decompor um número em fatores primos é escrevê-lo como um produto 
de números primos. Esse processo também pode ser chamado de 
fatoração. 
Para realizar a decomposição de um número, deve-se encontrar números 
primos que dividem o número a ser decomposto. Realiza-se sucessivas 
divisões até que o número se torne 1. Por fim, seleciona-se os divisores de 
todas as divisões e escreve-se esses números multiplicados uns pelos 
outros. 
Como armar a decomposição: Separa-se os quocientes dos divisores 
através de uma barra vertical. No lado esquerdo da barra, têm-se os 
quocientes. No direito, os divisores. É necessário realizar as divisões até 
que o quociente seja 1. 
Exemplo: Fatore o número 180. 
180 
90 
45 
15 
5 
1 
2 
2 
3 
3 
5 
 
 2².3².5 
 
A forma fatorada do número 180 = 2².3².5