Cap1_Vibrações_UFCG

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Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 1 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS (CÓDIGO: 1105021) 
 
 
 
 
APOSTILA DE CURSO 
 
Capítulo 1 - Fundamentos de Vibrações 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Antonio Almeida Silva 
 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande – PB 
2018 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 2 
 
CAPÍTULO 1 – FUNDAMENTOS DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS 
 
Sumário: 
 
 Breve história e importância do estudo da vibração; 
 Contextualização das causas, efeitos e controle da vibração; 
 Conceitos básicos de vibrações: modelos de sistemas discretos e contínuos; 
 Classificação e procedimento de análise de vibrações: elementos de massa, mola e 
amortecimento; 
 Análise do movimento harmônico: representação vetorial e por números complexos, 
operações matemáticas com funções harmônicas; 
 Vibrações complexas: representações no domínio do tempo e da frequência, expansão 
por série de Fourier. 
 
1.1 Breve História e Importância do Estudo da Vibração 
 
 
 
 
 
 
 
 
Breve histórico 
(grandes nomes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pitágoras (582-507 a.C.) é considerado um pioneiro a investigar sons 
musicais com base científica. Realizou experiências com uma corda 
vibratória conhecida como monocórdio; 
 Zhang Heng (132 d.C.) desenvolveu um instrumento para medir 
terremotos, utilizando um mecanismo de alavancas articuladas em 8 
direções (precursor do sismógrafo); 
 Galileu Galilei (1564-1642) é considerado o fundador da ciência 
experimental e estudou o comportamento do pêndulo simples, medindo 
o período dos movimentos e relacionando o seu comprimento com a 
frequência de oscilação; 
 Isaac Newton (1642-1727) publicou sua obra Principia Mathematica em 
1686, na qual descreve a lei da gravitação universal, bem como as leis 
do movimento utilizadas para derivar as equações do movimento de um 
corpo em vibração; 
 Leohnard Euler (1707-1783) foi um grande matemático e também se 
dedicou à mecânica, astronomia e à ótica. Seu tratado de 1736, Traité 
Complet de Mechanique, foi a primeira obra de análise aplicada à 
ciência do movimento, apresentando contribuições a física newtoniana; 
 Jean D’Alembert (1717-1783) desenvolveu o método para estabelecer a 
equação diferencial do movimento de uma corda (equação de onda), em 
suas memórias publicadas pela Academia de Berlim em 1750; 
 Joseph Lagrange (1736-1813) apresentou a solução analítica da corda 
vibratória em suas memórias (Academia de Turim, 1759), que admitia a 
corda composta por um número finito de partículas de massas idênticas 
espaçadas igualmente e estabeleceu a existência de um número de 
frequências independentes igual ao número de partículas; 
 Joseph Fourier (1768-1830) lançou em 1822 sua obra mais notável, 
Théorie Analytique de la Chaleur, onde demonstrou que a condução do 
calor em corpos sólidos poderia ser expressa por séries infinitas. 
Também dedica toda uma seção à solução do "desenvolvimento de uma 
função arbitrária qualquer, em uma série de senos e co-senos"; 
 Charles Coulomb fez estudos teóricos e experimentais em 1784 sobre as 
oscilações torcionais de um cilindro de metal suspenso por um arame, 
cujo torque resistente do arame é proporcional ao ângulo de torção. 
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Motivação: 
 
 
 
 
 
1.2 Contextualização das Causas, Efeitos e Controle da Vibração 
 
 
 
 
 
 
Principais 
fontes de 
vibração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Possíveis 
efeitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Controle de 
vibrações: 
 
 Desbalanceamentos de massas girantes; 
 Desalinhamentos de eixos, correias, correntes; 
 Folgas generalizadas e bases de máquinas soltas; 
 Defeitos em dentes de engrenagens, rodas dentadas; 
 Rolamentos e mancais de suportes defeituosos; 
 Escoamentos de fluido turbulentos, cavitação de bombas; 
 Transportes aéreo, férreo, naval, automotivo; 
 Explosivos, terremotos, abalos sísmicos, etc. 
 Desconforto humano, desgaste físico ou dor; 
 Alto risco de acidentes nas instalações; 
 Desgaste prematuro dos componentes; 
 Falha da estrutura, colapso, distorções residuais; 
 Quebras inesperadas, paradas repentinas; 
 Perdas de energia e desempenho das máquinas; 
 Instabilidade geométrica, desconexão; 
 Baixa qualidade dos produtos, falta de acabamento; 
 Ambiente de trabalho insalubre, condições inseguras. 
 Eliminação das fontes (balanceamentos, alinhamentos, reapertos, 
lubrificação, ajuste de rigidez, etc); 
 Isolamento das partes (amortecedores estáticos e dinâmicos); 
 Atenuação da resposta (reforços estruturais, massas auxiliares, 
mudança da freqüência de ressonância); 
 
 A vibração mecânica surge em máquinas e componentes estruturais 
devido ao movimento relativo das partes entre si; 
 Até onde a vibração é indesejável depende da intensidade das tensões 
atuantes sobre os componentes, ou da perturbação causada pela 
oscilação (conforto); 
 Devido ao seu efeito, se faz necessário uma análise do comportamento 
dinâmico das estruturas nas fases de projeto e de manutenção, visando 
reduzir ao máximo os níveis de vibrações. 
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1.3 Conceitos Básicos de Vibrações 
 
1.3.1 Definição de Graus de Liberdade de um Sistema (GDL) 
 
“Número mínimo de coordenadas independentes requeridas para determinar 
completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante” (Rao, 2009). 
 
Exemplos de modelos de 1 GDL 
 
 O pêndulo simples mostrado na Fig. (1.11) representa um modelo de sistema com 
apenas um grau de liberdade. O movimento do pêndulo pode ser definido em termos do 
ângulo θ ou em termos das suas coordenadas cartesianas x e y. Neste caso, constatamos que a 
escolha de θ como a coordenada independente será mais conveniente. Outros modelos 
adotados são ilustrados na Fig. (1.12). 
 
 
 
 
Exemplos de modelos de 2 e 3 GDL 
 
 Alguns modelos de sistemas de dois graus de liberdade são mostrados na Fig. (1.13). 
A Fig. (1.13a) mostra um sistema de duas massas e duas molas que é descrito pelas duas 
coordenadas lineares x1 e x2. A Fig. (1.13b) denota um sistema de dois rotores cujo 
movimento pode ser especificado em termos das coordenadas angulares θ1 e θ2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os sistemas mostrados na Fig. (1.14) possuem três graus de liberdade, onde as 
coordenadas xi (i=1, 2, 3) e θi (i=1, 2, 3) podem ser usadas, para descrever o movimento. 
 
 
 
 
1.3.2 Sistemas Discretos e Contínuos 
 
 Uma grande quantidade de sistemas práticos pode ser descrita usando um número 
finito de graus de liberdade, como os sistemas mostrados nas Figs. (1.11 a 1.14). Alguns 
sistemas, em especial os que envolvem elementos elásticos contínuos, têm um número infinito 
de graus de liberdade como o exemplo de uma viga em balanço (Fig. 1.15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas com um número finito de grausde liberdade são denominados “sistemas 
discretos” ou de “parâmetros concentrados”, e os que têm um número infinito de graus de 
liberdade são denominados “sistemas contínuos” ou “distribuídos” (Rao, 2009). 
 
 Na maioria das vezes, os sistemas contínuos são aproximados como sistemas 
discretos, cujas soluções são obtidas de maneira mais simples. Embora tratar um sistema 
contínuo dê resultados exatos, os métodos analíticos disponíveis para lidar com sistemas 
contínuos estão limitados a uma pequena quantidade de problemas como vigas uniformes, 
hastes delgadas e placas finas. Por consequência, grande parte dos sistemas práticos são 
estudados tratando-os como massas, molas e amortecedores concentrados. Em geral obtêm-se 
resultados mais precisos aumentando-se o número de graus de liberdade. 
 
 
 
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1.4 Classificação e Análise de Vibrações 
 
1.4.1 Classificação Geral de Vibrações 
 
a) Vibração livre: Se um sistema, após uma perturbação inicial, continuar a vibrar por conta 
própria numa dada frequência natural, a vibração resultante é conhecida como vibração livre. 
A oscilação de um pêndulo simples é um exemplo de vibração livre. 
 
b) Vibração forçada: Se um sistema estiver sujeito a uma força externa (do tipo periódica), a 
vibração resultante é conhecida como vibração forçada. A vibração que surge em máquinas, 
como motores a diesel, é um exemplo de vibração forçada. 
 
 Se a freqüência da força externa coincidir com uma das frequências naturais do 
sistema, ocorre uma condição conhecida como ressonância, e o sistema pode sofrer grandes 
oscilações. Muitas falhas de estruturas como edifícios, pontes, turbinas e asas de avião estão 
associadas à ocorrência de ressonância na estrutura. 
 
c) Vibração não amortecida e amortecida: Se nenhuma energia for perdida ou dissipada por 
atrito ou outra resistência durante a oscilação (sistema conservativo), a vibração é conhecida 
como vibração não amortecida. Todavia, se qualquer energia for perdida dessa maneira, ela é 
denominada vibração amortecida. 
 
Em muitos sistemas físicos, a quantidade de amortecimento é tão pequena que pode 
ser desprezada para a maioria das finalidades de engenharia. Contudo, considerar o 
amortecimento torna-se extremamente importante na análise de sistemas vibratórios próximos 
da região de ressonância. 
 
d) Vibração linear e não linear: Se todos os componentes básicos de um sistema vibratório 
(ex. massa, mola e amortecedor) se comportam linearmente, a vibração resultante é conhecida 
como vibração linear. Contudo, se qualquer dos elementos apresentar comportamento não 
linear, a vibração é denominada vibração não linear. 
 
Se a vibração for linear, o princípio da superposição é válido e as técnicas de análise 
são bem mais conhecidas. Uma vez que a maioria dos sistemas vibratórios tendem a 
comportar-se não linearmente com o aumento da amplitude de oscilação, é importante 
conhecer bem os modelos de vibrações não lineares. 
 
e) Vibração determinística e não determinística: Se o valor ou magnitude da excitação (força 
ou movimento) que está agindo sobre um sistema vibratório for conhecido a qualquer dado 
instante de tempo, a excitação é denominada determinística. 
 
Em alguns casos, a excitação é não determinística ou aleatória; o valor da excitação 
em dado instante não pode ser previsto por equações analíticas (ex. velocidade dos ventos, 
aspereza de uma estrada, movimento do solo durante terremotos), e nesses casos só é possível 
estimar através de parâmetros estatísticos (média, média quadrática e RMS). 
 
1.4.2 Procedimento de Análise de Vibrações 
 
Um sistema vibratório é um sistema dinâmico no qual as variáveis como as excitações 
(entradas) e respostas (saídas) são dependentes do tempo. Em geral, a resposta de um sistema 
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depende das condições iniciais (deslocamentos e velocidades), bem como das excitações 
externas. Assim, a análise de um sistema vibratório normalmente envolve as seguintes etapas: 
 
Etapa 1: Modelagem matemática: A finalidade é representar os aspectos importantes do 
sistema com o propósito de obter as equações analíticas que governam o seu comportamento. 
 
Etapa 2: Derivação das equações governantes: Uma vez disponível o modelo matemático, 
usamos os princípios da dinâmica e derivamos as equações que descrevem a vibração do 
sistema. As equações de movimento estão normalmente na forma de um conjunto de equações 
diferenciais ordinárias para um sistema discreto e de equações diferenciais parciais para um 
sistema contínuo. 
 
Etapa 3: Solução das equações governantes: As equações de movimento devem ser 
resolvidas para determinar a resposta do sistema vibratório. Dependendo da natureza do 
problema, podemos usar métodos padronizados para resolver as equações diferenciais, 
métodos que utilizam transformadas de Laplace, métodos matriciais e métodos numéricos. 
 
Etapa 4: Interpretação dos resultados: A solução das equações governantes fornece gráficos 
de deslocamentos, velocidades e acelerações das várias massas do sistema. Esses resultados 
podem ser interpretados com uma clara visão da finalidade da análise e das possíveis 
implicações dos resultados no projeto. 
 
1.4.3 Elementos de Massa ou Inércia 
 
 Admite-se que o elemento de massa ou inércia é um corpo rígido e pode ganhar ou 
perder energia cinética sempre que a velocidade do corpo mudar. Pela segunda lei do 
movimento de Newton, o produto da massa por sua aceleração é igual à força aplicada à 
massa. Como exemplo, consideremos a viga em balanço com uma massa concentrada na 
extremidade ilustrada na Fig. (1.21a). 
Para uma análise rápida e de razoável precisão, a massa da viga é desprezível em 
comparação com a massa principal e o sistema pode ser modelado como um sistema de 1 
GDL (Fig. 1.21b). Porém, como será mostrado mais adiante, essa simplificação pode resultar 
numa variação significativa no cálculo da frequência natural do sistema. 
 
 
 
Associação de elementos de massa 
 
 Em muitas aplicações práticas, várias massas aparecem associadas (Fig. 1.29a). Para 
uma análise simples, podemos substituir essas massas por uma única massa equivalente, como 
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ilustrado na Fig. (1.29b). Podemos supor que a massa equivalente está localizada na posição 
da massa m1. Igualando a energia cinética do sistema de massa equivalente, obtemos 
 
3
2
1
3
2
2
1
2
1eq m
l
l
m
l
l
mm 












 (1.1) 
 
 
1.4.4 Elementos de Molas 
 
 Uma mola linear é um tipo de elemento mecânico cuja massa e amortecimento são, de 
modo geral, considerados desprezíveis. Pela lei de Hooke, a força da mola é proporcional à 
quantidade de deformação e é dada por F=k.x, onde F é a força aplicada, x a deformação 
linear e k é a rigidez da mola ou constante elástica. 
 
a) Associação de molas em paralelo: Para obter uma expressão para a constante equivalente 
de molas ligadas em paralelo, considere as duas molas mostradas na Fig. (1.22a). Quando é 
aplicada uma carga W, o sistema sofre uma deflexão estática δst, como na Fig. (1.22b). Então 
o diagrama de corpo livre, representado na Fig. (1.22c), fornece a equação de equilíbrio, 
 
st2st1 kkW  
 (1.2) 
 
 Se keq é a constante elástica equivalente, então para a mesma deflexão estática, temos 
 
21eqsteq kkkondekW ,
 (1.3) 
 
Em geral, se tivermos n molas com constantes elásticas 
nkkk ...,,, 21
 em paralelo, 
então, pode-se obter a constante equivalente keq (ver Exercício_01): 
 
neq kkkk  ...21
 (1.4) 
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b) Associação de molas em série: Uma expressão para a constante elástica equivalente de 
molas ligadas em série pode ser obtida considerando as duas molas mostradas na Fig. (1.23a). 
Sob a ação de uma carga W, as molas sofrem alongamentos δ1 e δ2, como na Fig. (1.23b). O 
alongamento total (ou deflexão estática) do sistema δst é dado por: 
21  st
 (1.5) 
 
 Visto que ambas as molas estão sujeitas à mesma força W, temos o equilíbrio 
mostrado na Fig. (1.23c). 
 
 
 Sendo keq a constante elástica equivalente, para a mesma deflexão estática, teremos, 
 
2211  kkkW steq 
 (1.6) 
 
 Substituindo os valores de δ1 e δ2 da Eq. (1.6) na Eq. (1.5), obtém-se 
 
21
111
kkkeq

 (1.7) 
 
 A equação (1.7) pode ser generalizada para o caso de n molas em série: 
 
 
neq kkkk
1
...
111
21

 (1.8) 
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1.4.5 Elementos de Amortecimento 
 
 Em muitos casos práticos, parte da energia de vibração é convertida ou dissipada na 
forma de calor ou som. Em virtude da dissipação da energia, a resposta do sistema, também 
diminui com o amortecimento. 
 
a) Amortecimento viscoso: É o tipo de amortecimento mais usado em análise de vibração. 
Assume-se que a força de amortecimento é proporcional à velocidade do corpo em vibração. 
Exemplos de amortecimento viscoso são: película de óleo entre superfícies deslizantes; fluxo 
de fluido entre o pistão e cilindro; película de óleo ao redor de um mancal de rolamento. 
 
b) Amortecimento de Coulomb ou por atrito seco: A magnitude da força de amortecimento é 
constante, mas no sentido oposto ao movimento do corpo vibratório, causado pelo atrito entre 
as superfícies em contato que estejam secas ou com lubrificação deficiente. 
 
c) Amortecimento material ou por histerese: Quando um material sob uma dada tensão é 
deformado, ele absorve e dissipa energia. Esse efeito é devido ao atrito entre os planos 
cristalinos internos, que deslizam durante as deformações. Quando um corpo é sujeito à 
vibração, o diagrama tensão-deformação mostra um ciclo de histerese (Fig. 1.33a), cuja área 
desse ciclo denota a energia perdida por unidade de volume por ciclo (Fig. 1.33b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.33 - Ciclo de histerese para materiais elásticos. 
 
1.5 Movimento Harmônico 
 
1.5.1 Caracterização do Fenômeno Vibratório 
 
Uma forma de modelar a vibração é pelo deslocamento da massa ao longo do tempo, 
resultando num movimento oscilatório, conforme ilustrado na Fig. (1.34). 
 
Figura 1.34 - Vibração pelo movimento harmônico subamortecido. 
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Se o movimento for repetido em intervalos de tempos iguais, é denominado movimento 
periódico. O tipo mais simples é o movimento harmônico simples com período de vibração T. 
O deslocamento x em relação ao tempo t pode ser representado conforme a Fig. (1.35a). 
Esse movimento pode ser expresso, matematicamente, pela equação: 
 
 tsenAtx )(
 (1.9) 
 
onde: A é a amplitude de oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio; 
 T é o período de vibração, usualmente medido em segundos; 
 f=1/T é a frequência de oscilação, expressa em Hz. 
 é a frequência angular (rad/s) e pode ser descrita pela equação: 
 
f
T


 2
2

 (1.10) 
 
Partindo-se do movimento harmônico em termos de deslocamento, pode-se determinar 
os parâmetros de velocidade e aceleração por diferenciações sucessivas em relação ao tempo: 
 
Deslocamento: 
)()( tsenAtx 
 (1.11) 
Velocidade: 
)
2
()(cos)(
  tsenAtAtx
 (1.12) 
Aceleração: 
)()()( 22   tsenAtsenAtx (1.13) 
 
As Figs. (1.35a, b e c) ilustram as três representações das equações acima, com a mesma 
frequência de oscilação, porém defasados dos ângulos de fase =/2 e , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.35 - Movimento harmônico: (a) deslocamento; (b) velocidade; (c) aceleração. 
 
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1.5.2 Representação Vetorial do Movimento Harmônico 
 
Um movimento harmônico pode ser representado convenientemente por meio de um 
vetor OP e de magnitude A, que gira a uma velocidade angular constante . Na Fig. (1.39), as 
projeções do vetor em relação aos eixos x e y são: 
 
 
tsenAytAx   ;cos (1.14) 
 
 
1.5.3 Operações com Funções Harmônicas 
 
Usando a representação por números complexos, o vetor girante da Fig. (1.39) pode ser 
descrito por 
tieAX 
 , onde  denota a frequência angular no sentido anti-horário. A 
diferenciação sucessiva do movimento harmônico em relação ao tempo, resulta em 
 
 
XieAieA
dt
d
dt
Xd titi 

   )(
 (1.15) 
 
 
XeAeAi
dt
d
dt
Xd titi 

22
2
2
)(   
 (1.16) 
 
 Assim, o deslocamento, a velocidade e a aceleração podem ser mostradas como 
vetores girantes conforme ilustrado na Fig. (1.41). 
 
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 13 
 
 
 Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente, como mostra a Fig. (1.42). 
Assumindo-se 
)(coscos 2211   tAxetAx , tem-se a magnitude e o ângulo de 
fase do vetor resultante dada por (ver Exercício_02) 
 













cos
sin
)sin()cos(
21
21
2
2
2
21
AA
A
tg
AAAA
 
(1.17) 
 
 
 
1.6 Vibrações Complexas 
 
1.6.1 Funções Periódicas e Expansão por Série de Fourier 
 
Embora o movimento harmônico seja o mais simples de tratar, o movimento de muitos 
sistemas vibratórios não é harmônico. Contudo, em muitos casos, as vibrações são periódicas. 
Portanto, “qualquer função periódica no tempo, pode ser representada por série de 
Fourier como uma soma de termos em seno e cosseno, com frequências harmonicamente 
relacionadas entre si”, dada por: 
 
 


1
2121
))()(cos(
2
...)2()()2(cos)(cos
2
)(
n
nn
o
o
tnsenbtna
a
tsenbtsenbtata
a
tx

 
 (1.18) 
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 14 
 
onde, 
 /2
 é a frequência fundamental, 
oa
 é a amplitude média, 
naaa ,...,, 21
 e 
nbbb ,...,, 21
 são as amplitudes das componentes cosenoidais e senoidais, e 
 n...,,2,
 são 
as suas respectivas harmônicas. Utilizando os conceitos da série de Fourier, pode-se encontrar 
a descrição temporal de sinais periódicos, utilizando o seguinte procedimento: 
 
 



















1
2
sin
2
cos
2
)(
n
nn
o t
T
n
bt
T
n
a
a
tx
 (1.19) 
 
onde, as constantes podem ser calculadas por (ver Exercício_03): 
 
 

T
o dttx
T
a
0
)(
2
; 






T
n dtt
T
n
tx
T
a
0
2
cos)(
2 ; 
 






T
n dtt
T
n
tx
T
b
0
2
sin)(
2  (1.20) 
 
1.6.2 Representações no Domínio do Tempo e da Frequência 
 
A expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função periódica 
usando uma representação no domínio do tempo ou da frequência. Por exemplo, a função 
harmônica dada por 
)(cos)(cos)( t2AtAtx 21   , que ilustra a vibração típica de 
aceleração de um pistão automotivo (ver Exercício_04), pode ser representada pelas suas 
componentes de frequências através do seu espectro (FFT). 
 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-2
-1
0
1
2
3
SINAL PISTÃO
tempo (s)
x(
t)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.5
1
Espectro FFT do Sinal
frequência (Hz)
X
(w
)
 
 
1.6.3 Análise Numérica de Fourier 
 
 Em algumas aplicações práticas, como no caso da determinação experimental da 
amplitude de vibração usando um transdutor, a função 
)(tx
 não está disponível na forma de 
uma expressão matemática; somente os valores de 
)(tx
 em vários pontos 
Nttt ,...,, 21
. 
 Nesses casos, os coeficientes das equações (1.20) podem ser determinados usando um 
procedimento numérico, como: 
 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 15 
 



N
i
io x
N
a
1
2
; 

 iN
i
in
tn
x
N
a
2
cos
2
1



; 

 iN
i
in
tn
senx
N
b
22
1



 (1.21) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 Capítulo 1 - Fundamentos de Vibrações 
 
Exercício_01 (Elementos de mola: P 2.3 - Thomson) 
 
Na figura (a) um peso de 44,50 N ligado à extremidade inferior de uma mola cuja 
extremidade superior é fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período 
natural quando um peso de 22,25 N é ligado ao meio da mesma mola, com ambas as 
extremidades fixas, conforme a figura (b). 
Solução: 
 
Considerando a montagem da esquerda (a): 
HzTfn 22,245,011 11  (E.1)
 
 
e calculando a respectiva frequência natural: 
sradfnn /96,132 11   (E.2)
 
 
Donde pode-se obter a rigidez da mola, a partir da relação: 
 
 
mNmk
m
k
nn /885)96,13()54,4()(
22
11  
 
(E.3)
 
 
 Considerando a segunda montagem à direita (b), onde a mola suporta agora uma 
massa de 22,25 N (m2=0,5m1), passa-se a ter duas molas em paralelo, e devido à redução do 
seu comprimento à metade, as novas constantes de rigidez passam a ser: 
kkk 221 
. 
 
Calculando a rigidez equivalente, 
mNkkkkeq /40,3540421 
. 
(E.4)
 
 
Logo, a nova frequência natural será: 
srad
m
keq
n /5,39
27,2
4,3540
2
2 
 
(E.5)
 
 
Consequentemente, 
s
f
TeHzf
n
n
n
n 159,0
1
28,6
2 2
2
2
2  
 . (E.6) 
 
 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 16 
 
 
Exercício_02 (Adição harmônica: P 1.52 - Rao) 
 
Dadas duas funções harmônicas abaixo, encontrar a sua soma e representar o 
movimento graficamente: 
)2(cos15)();(cos10)( 21  ttxttx  
 
Solução: Método 1 – Usando relações trigonométricas 
 
 Considerando que a frequência circular é a mesma em ambas as funções x1(t) e x2(t), 
podemos expressar a soma na forma geral, como sendo a superposição linear: 
 
)()()(cos)( 21 txtxtAtx  
 
(E.1) 
 
ou seja, usando relações trigonométricas 
 
)2sin.sin2cos.(cos15cos10
)2(cos15cos10)sin.sincos.(cos
ttt
ttttA     (E.2) 
 
ou ainda, 
 
)2sin15(sin)2cos1510(cos)sin(sin)cos(cos ttAtAt  
 
(E.3) 
 
Igualando os termos de cos(ωt) e sen(ωt), em ambos os membros da Eq. (E.3), 
obtemos as relações: 
 
14771421521510A
215A
21510A
22 ,)sin()cos(
sinsin
coscos





 
(E.4) 
 
 
Usando a relação da fase do movimento, 
 
)598,74(302,1
2cos1510
2sin151 






 tg
 
(E.5) 
 
Método 2 – Usando a notação vetorial 
 
 Para um valor arbitrário de ωt, os movimentos harmônicos x1(t) e x2(t) podem ser 
denotados graficamente, conforme a Fig. (1.43) abaixo. Adicionando vetorialmente, o vetor 
resultante x(t) pode ser encontrado como sendo, 
 
)5963,74(cos1477,14)(  ttx 
 
(E.6) 
 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 17 
 
 
 Uma rotina no Matlab ilustra cada uma das funções e o resultado da soma, adotando 
uma frequência f=5 Hz, através do método da superposição (curva de linha pontilhada). 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-10
0
10
20
SINAL TEMPORAL
tempo (s)
x(
t)
 
 
x1=10.cos(wt)
x2=15.cos(wt+2)
xt=x1+x2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
5
10
Espectro FFT do Sinal
frequência (Hz)
X
f(w
)
 
 
Exercício_03 (Expansão por série de Fourier: onda retangular) 
 
Dada a função periódica abaixo (onda retangular), descrever a expansão dos sinais no 
tempo na forma de séries de Fourier. Encontrar a equação geral e executar uma rotina de 
simulação no Matlab para número de termos crescentes: ex: n=5; n=10; n=50. 
 
Solução: 
ω t 
x(t) 
1 
0 - 2 
 
3 
 
-1 
 
...  
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 18 
Calculando os coeficientes de Fourier através das integrais: 
 
          011)1()1(
2
2
)(
2 2
0
0
2
0 





     
 

ttdtdtdttx
T
a
 (E.1)
 
 
     0001)(1)(11
)cos()1()cos()1(
2
2
)
2
cos()(
2
2
0
2
00

























  









n
ntsen
n
ntsen
n
a
dtntdtntdtt
T
n
tx
T
a
n
T
n
 
(E.2)
 
 
     ímparn
nn
nt
n
nt
n
b
dtntsendtntsendtt
T
n
sentx
T
b
n
T
n
.....
4
22
1
)cos(
1
)cos(
11
)()1()()1(
2
2
)
2
()(
2
2
0
2
00



























  









 
(E.3)
 
 
Com a substituição dos coeficientes na série da Eq. (1.13), abaixo, obtemos: 
 




1
))()(cos(
2
)(
n
nn
o tnsenbtna
a
tx  
(E.4)
 
 
 
      
































 




...5
5
1
3
3
1
1.1
4
)(
4
2
24
2
2
cos.0
2
0
)(
11
tsentsentsentx
n
ntsen
t
n
sen
n
t
n
tx
nn





 
(E.5)
 
 
 Atribuindo valores de n crescentes numa rotina computacional Matlab, a série dada 
pela Eq. (E.5) assume as formas, 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
0
1
SINAL GERADO: n= 1, 3, 6
tempo (s)
s(
t)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
0
1
SINAL GERADO: n=10 termos
tempo (s)
s(
t)
 
 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 19 
Observações: 
 
1) Como a função dada é ímpar, nota-se que os coeficientes 
0an 
, o queresulta numa 
série de Fourier de senos. Caso a função dada fosse par os coeficientes 
0bn 
; 
2) Nota-se que à medida que se aumenta o número de termos da série, com n=1, 3, 5 
termos, a representação da onda vai assumindo uma forma mais definida; 
3) No caso para n=10 termos, a forma de onda já está bem definida, porém nota-se uma 
flutuação nas extremidades da onda, que é conhecido como efeito de Gibbs, devido a 
variações do sinal de um valor positivo para negativo e/ou vice-versa. 
 
Exercício_04 (Análise harmônica: P 1.89 - Rao) 
 
Um mecanismo de manivela cursor vertical (pistão automotivo) é mostrado na figura 
ao lado, representando um sistema de 1 GDL na coordenada xp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Considerando o ponto de referência O para o pistão na posição superior, e lembrando que 
o segmento BC é comum aos dois triângulos, pode-se obter as relações: 
 
 senrsenl 
, o que resulta, 21
2
2
2
1cos








  sen
l
r 
 
Assim, a equação da posição, pode ser obtida na forma, 
 
21
2
2
2
1coscoscos)(








  sen
l
r
lrlrlrlrtxp
 (E.1) 
 
Usando uma aproximação da série, para 2 termos: 

2
111 
, e após algumas 
manipulações algébricas, a Eq. (E1) acima fica, 
 












 t2cos
l4
r
tcosr
l2
r
1r)t(xp 
 (E.2) 
 
Derive uma expressão para o movimento do pistão P 
em termos do comprimento da manivela r, comprimento da 
biela l e da velocidade angular constante da manivela ω. 
 
a) Discuta a viabilidade de usar o mecanismo para geração 
de movimento harmônico e analise essa solução para 
velocidades e acelerações; 
 
b) Determine o valor de l/r para o qual a amplitude da 
harmônica mais alta é menor que a primeira harmônica 
por um fator de no mínimo 25. 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 20 
Assumindo (r/l)<1/4, a equação geral da posição yp fica 
 












 t2cos
l4
r
tcosr
l2
r
1r)t(x)t(y pp 
 (E.3) 
 
Derivando a Eq. (E.3) em relação ao tempo, obtém-se a velocidade do pistão, 
 
tsen
l
r
tsenrtvp 
 2
2
)(
2

 (E.4) 
 
Analogamente, derivando mais uma vez a Eq. (E.4), obtém-se a aceleração do pistão, 
 
t
l
r
trtap  2coscos)(
22
2 
 (E.5) 
 
Realizando a simulação no Matlab, para a relação 
330lr , tem-se as curvas abaixo: 
 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-2000
-1000
0
1000
2000
SINAL DE VELOCIDADE
tempo (s)
x1
x2
xv
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 10
5 SINAL DE ACELERAÇÃO
tempo (s)
x1
x2
xa
 
 
Obs: Analisando as curvas, percebe-se que para relações 
3,0lr
 a presença da segunda 
harmônica já se faz notar, distorcendo as curvas de velocidade e aceleração do pistão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas Período 2018.2: Vibrações Mecânicas – Professor Antonio Almeida Silva 
(UFCG/CCT/UAEM) 
 21 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - (Cap. 1 - Livro Rao, 4ª Ed.) 
 
 Responder as questões de revisão e resolver os problemas listados abaixo, seguindo o 
procedimento descrito para análise de vibrações. 
 
Questões gerais: 
 
01) Cite exemplos práticos de problemas de vibração. Discuta as formas de soluções (ex. 
motores diesel, turbinas a vapor, máquinas rotativas, etc.). 
02) Quais as partes elementares de um sistema vibratório discreto? Dê exemplos ilustrativos, 
considerando modelos simplificados e mais complexos (ex. motocicleta, veículo). 
03) Discuta a diferença entre sistemas discreto e contínuo. Em que condições cada um deles 
deve ser aplicado? Justifique sua resposta. 
04) Qual é a diferença entre vibração livre e vibração forçada? Dê exemplos ilustrativos e 
discuta em quais situações devem ser aplicados. 
05) Defina o que entende por sistema linear e não linear. Um problema de vibração linear 
pode ser identificado pelo exame de sua equação diferencial? Justifique. 
06) O que é um sistema amortecido? Como verificar o tipo de amortecimento (viscoso, 
Coulomb, histerético)? Justifique. 
07) Quais são os principais métodos disponíveis para resolver as equações governantes de um 
problema de vibração? Descreva os princípios em que se baseiam. 
08) Defina o que entende por movimento harmônico. Como ele pode ser representado nos 
domínios do tempo e da frequência? Qual o significado do ângulo de fase? 
09) Defina os fenômenos de batimento e resonância que podem ocorrer em máquinas e 
estruturas. Como devem ser tratados na fase de projeto? Justifique. 
10) No caso de vibrações induzidas pelo vento ou na forma de funções aleatórias, como deve 
ser realizada a análise vibratória? 
 
 
Problemas (seções do Livro): 
 
1.6 – Procedimentos de análise de vibrações P 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 
1.7 – Elementos de mola equivalente P 1.7, 1.10, 1.15, 1.19, 1.21, 1.25 
1.8 - Elementos de massa equivalente P 1.30, 1.32, 1.33, 1.34 
1.9 - Elementos de amortecimento P 1.35, 1.39, 1.41, 1.42 
1.10 - Movimento harmônico P 1.48, 1.49, 1.50, 1.52, 1.55, 1.58 
1.11 - Análise harmônica de Fourier P 1.62, 1.64, 1.66, 1.69, 1.72 
1.12 - Programas em Matlab P 1.76, 1.78, 1.79, 1.80, 1.88