ARQ - SIST ESTRUT II - AULA2

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CURSO DE SISTEMAS ESTRUTURAIS II 
Prof. Leonam 
Estados Limites (ELU e ELS) 
Uma estrutura ou parte dela atinge um Estado Limite quando de certa 
maneira, ela se torna Inutilizável, ou deixa de satisfazer condições previstas 
para sua utilização. Segundo a o item 3.2 da NBR 6118/2014, existem 2 tipos: 
 
ELU - Estado Limite Último: Situações que levem a estrutura ao Colapso, seja 
pela ruptura direta do material, ou pela perda de equilíbrio. Em ambas as 
situações a estrutura deve ser paralisada (ver item 10.3 da NBR6118/2014). 
Ex: Escoamento ou ruptura do concreto, ou do aço (no corte, na flexão, na 
torção, etc.) 
Ex: Retirada de “pedaços” ou de apoios de uma estrutura hiperestática 
transformando-a em hipostática. 
 
ELS - Estado Limite de Serviço: Situações que levem a estrutura a perder ou 
limitar sua Funcionalidade (ver item 10.4 da NBR6118/2014). 
Ex: verificação de flecha limite, mesmo que atenda aos quesitos de 
dimensionamento à flexão 
 
Resumidamente: 
- ELU → Colapso → Dimensionamento (de seções e armaduras) 
- ELS: → Funcionalidade → Verificações (de flechas, fissuras e vibrações) 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Ações 
Ações: São quaisquer influências, ou conjunto delas, capaz de produzir 
tensões ou deformações na estrutura. Classificadas conforme item 11 da 
NBR6118/2014: 
 
1. Ações Permanetes (g): 
Atuam praticamente constantes durante o tempo, ou crescentes, tendendo 
à um valor limite. 
- Diretas: Peso próprio e empuxo de terra (quando não removível) 
- Indiretas: Deslocamento de apoios, protensão, fluência, retração e 
imperfeição geométrica. 
 
2. Ações Variáveis (q) 
Variam durante o tempo. 
- Diretas: Sobrecarga de utilização (ou Cargas acidentais), Vento e 
Chuva. 
- Indiretas: Temperatura e ações dinâmicas (vibrações mecânicas e 
sismos). 
 
3. Ações Excepcionais (qe): 
Ações não citadas acima, que devem ser estudadas por normas 
específicas. 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes de Ponderação (g) 
Também são chamados de “Coeficientes de Segurança”, pois consideram 
alguma margem de segurança. São fatores que transformam Valores 
Característicos em Valores de Cálculo (ou “de Projeto”). Existe um estudo 
probabilístico para se determinar esses coeficientes, em função de uma 
análise amostral, que não será abordado. Esses coeficientes consideram a 
variabilidade que um determinado valor pode ter em sua natureza. Existem 2 
tipos: 
m
k
d
f
f
g

- Coeficiente de Ponderação das Resistências (gm) item 12.3.1 da 
NBR6118/2014 
= ação 
 característica: 
= resistência 
 característica: 
kfd FF g
(majora) 
(minora) 
kF
kf
- Coeficiente de Ponderação das Ações (gf) item 11.7 da 
NBR6118/2014 
- tensão normal (s); 
- tensão de cisalhamento (t); 
- de escoamento (sesc); 
- ou de ruptura (srup). 
- carregamento distribuído (q); 
- esforço normal (N); 
- esforço cortante (V); 
- momento fletor (M). 
 
Coeficiente de Ponderação das Resistências (gm) 
Transforma Resistência Característica em de Cálculo (Projeto), 
apenas para o ELU: 
 
m
k
d
f
f
g

gc para o concreto 
gs para o aço 
 
gm = 
Exercício 1: Determine a 
resistência de cálculo de um 
concreto C30, utilizado em uma 
obra já executada e em condições 
normais de utilização: 
Exercício 2: Determine a 
resistência de cálculo de um aço 
CA-50, utilizado em uma obra já 
executada e em condições 
normais de utilização: 
MPa
f
f
c
ck
cd 43,21
4,1
30
 g MPa
f
f
s
yk
yd 8,434
15,1
500
 g
(item 12.1 da NBR 
6118/2014) 
Coeficientes gc e gs no ELU (tabela 12.1 da NBR6118/2014) 
Coeficiente de Ponderação das Ações (gf) 
* Na maioria dos casos considera-se D. 
 
Coeficiente gf = gf1 . gf3 (tabela 11.1 da NBR6118/2014) 
    k2f3f1fk3f2f1fkfd F...F...F.F ggggggg
- para o ELU: 
 
- para o ELS: 
 k2fkfser,d
F.F.F gg
Transforma Ação Característica em de Cálculo (Projeto): 
 
Coeficiente de Ponderação das Ações (gf) 
Coeficiente gf2 (tabela 11.2 da NBR6118/2014) 
Combinação de Ações 
Um estrutura ao ser carregada, pode sofrer a influência de diversas 
ações Variáveis com diferentes naturezas (sobrecarga de utilização, 
vento, temperatura, chuva, sismo e etc). Todas essas ações tem uma 
certa probabilidade de atuarem simultaneamente e que não serão 
discutidas aqui neste curso. O item 11.8 da NBR6118/2014 trata da 
combinação de ações e a divide em dois itens: 
 
- Combinações de ações no ELU: item 11.8.2 da NBR6118/2014; 
- Combinações de ações no ELS: item 11.8.3 da NBR6118/2014. 
 
A norma não deixa claro, mas quando se tem mais de uma ação 
Variável, pode ser adotada uma ação Variável Principal, ou seja, uma 
ação que seja “menos” variável que as demais, como se ela fosse mais 
provável de acontecer e perdurar por mais tempo que as demais, 
como se fosse uma ação “quase permanente”. Esta explicação ficará 
mais explícita nos exercícios a seguir. 
 
 
Combinação de Ações 
Combinação de ações no ELU (tabela 11.3 da 
NBR6118/2014) 
Combinação de Ações 
Combinação de ações no ELS (tabela 11.4 da 
NBR6118/2014) 
Combinação de Ações 
Exercício 1: Em um programa de análise estrutural, foram obtidos os 
seguintes esforços cortantes característicos, atuando em uma viga de 
construção predial residencial, durante a fase de construção: 
- peso próprio da viga: Vg = 4kN (ação permanente) 
- sobrecarga de utilização: Vq = 9kN (ação variável) 
Determine: 
(a) O esforço cortante de cálculo (ou de projeto) Vd no ELU; 
(b) O esforço cortante de cálculo (ou de projeto) Vd,ser no ELS. 
 
qkqgkgd V.V.V gg
    kNm0,169.2,14.3,1Vd 
Resposta
s: 
 
(a) 
(b) 
k,q2k,gser,d V.VV 
    kNm7,69.3,04V ser,d 
(tab.11.4 da NBR6118/2014) 
(tab.11.3 da 
NBR6118/2014) 
Combinação de Ações 
Exercício 2: Em um programa de análise estrutural, foram obtidos os 
seguintes momentos fletores característicos, atuando em um pilar de 
construção predial comercial, já em fase de utilização: 
- peso próprio do pilar: Mg = 7kNm (ação permanente) 
- peso próprio do revestimento do pilar: Mg = 3kNm (ação 
permanente) 
- sobrecarga de utilização: Mq = 5kNm (ação variável) 
- carga de vento: Mq = 2kNm (ação variável) 
Determine: 
(a) O momento fletor de cálculo (ou de projeto) Md no ELU; 
(b) O momento fletor de cálculo (ou de projeto) Md,ser no ELS. 
 k2q02k1qqgkgd M.M.M.M gg
    kNm7,222.6,05.4,137.4,1Md 
Respostas
: 
 
(a) Sobrecarga como 
ação variável principal: 
 k2q02k1qqgkgd M.M.M.M gg
    kNm3,205.5,02.4,137.4,1Md 
Vento como 
ação variável principal: 
Resp. 
Combinação de Ações 
Exercício 2: Em um programa de análise estrutural, foram obtidos os 
seguintes momentos fletores característicos, atuando em um pilar de 
construção predial comercial, já em fase de utilização: 
- peso próprio do pilar: Mg = 7kNm (ação permanente) 
- peso próprio do revestimento do pilar: Mg = 3kNm (ação 
permanente) 
- sobrecarga de utilização: Mq = 5kNm (ação variável) 
- carga de vento: Mq = 2kNm (ação variável) 
Determine: 
(a) O momento fletor de cálculo (ou de projeto) Md no ELU; 
(b) O momento fletor de cálculo (ou de projeto) Md,ser no ELS. 
k1q1,2k1q1gkser,d M.M.MM 
  kNm0,122.05.4,037M ser,d 
Respostas: 
 
(b) 
Sobrecarga como 
ação variável principal: 
Vento como 
ação variável principal: 
k1q1,2k1q1gkser,d M.M.MM 
  kNm1,122.3,05.3,037M ser,d 
Resp. 
- fyk = resistência característica de escoamento do aço à tração. 
- São comercializados 3 tipos de aços no formato de fios e barras: CA-25, 
CA-50 e CA-60. A sigla CA indica que é um tipo de aço utilizado emconcreto armado, e o número indica a resistência fyk em kN/cm². 
- Por exemplo: uma barra de CA-50 possui fyk= 50kN/cm², ou seja 500MPa 
de resistência. 
- O aço utilizado em concreto armado é o passivo, ou seja, não é o ativo 
(não está inicialmente “ativado” com tensão ates de ser carregado). 
- Aço e ferro são materiais distintos, e diferem principalmente no teor de 
carbono. O ferro possui teor entre 2,04 a 6,7%, e o aço teor abaixo de 
2,04%. Os aços padrão CA utilizados como armaduras, possuem um teor de 
carbono entre 0,08% a 0,50%, desta forma é errado chamá-los de “ferros”. 
- Os aços CA-25 e CA-50 são fabricados por laminação à quente, já os 
CA-60 são fabricados por trefilação, estiramento ou laminação à frio, 
processo esse que aumenta a resistência do CA-60. 
-Propriedades do aço: g = 7850kgf/m³ (77kN/m³), E = 210GPa e n = 
0,3. 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Aço Passivo 
Propriedades do Aço Passivo 
Diagrama tensão-deformação na tração (item 8.2.10.1 da 
NBR6118/2014) 
Diagrama de Tensão-deformação 
do aço passivo (Figura 8.4 da 
NBR6118/2014) 
ss : tensão de tração no aço. 
fyk : resistência característica do 
aço na tração. 
fyd : resistência de cálculo do aço 
na tração. 
es : deformação do aço na tração. 
Es : módulo de elasticidade do aço. 
 
GPa210
ff
E
yd
yd
yk
yk
S 
e

e

e
s

Propriedades dos diferentes tipos 
de aços: 
eyd eyk 
eyk : deformação característica do 
aço na tração. 
eyd : deformação de cálculo do aço 
na tração. 
Propriedades do Aço Passivo 
Diagrama de tensão-deformação para tipos de aço passivo 
Propriedades do Concreto 
- fck = resistência característica de escoamento do concreto à compressão. 
- Por exemplo: uma viga de concreto C30 possui fck= 30MPa de resistência. 
- A NBR6118/2014 trata de concreto armado classes C20 até C90, e divide 
em 2 categorias distintas: classe C20 até C50 e classe C55 até C90. 
Atualmente utilizam-se concretos até classe C45, apesar da norma estar 
preparada para até classe C90. O número depois do C indica a resistência 
fck em MPa. 
- Diferente do aço, o concreto geralmente é usinado na obra, com pouco 
ou nenhum controle de qualidade, desta maneira, as propriedades 
calculadas empiricamente com base em correlações devem ser verificadas 
com ensaios de campo e laboratoriais. 
- Propriedades do concreto: g ≈ 2550kgf/m³ (≈ 25kN/m³), n = 0,2 
E=? (diferente do aço o concreto tem um módulo de elasticidade E 
variável, função do seu fck, representado por uma fórmula empírica) 
 
 
 
 
 
 
 
Módulo de Elasticidade Tangente 
Inicial: 
 
ckEci f.5600.E 
3
1
ck
E
3
ci 25,1
10
f
..10.5,21E 






- Classe C55 até C90: 
 
- Classe C20 até C50: 
 
Propriedades do Concreto 
Para avaliar a resistência do concreto à compressão, devem 
ser moldados corpos de prova cilíndricos e ensaiados a 
compressão. No Brasil, os corpos têm as seguintes 
medidas padronizadas: 15cm de diâmetro por 30cm de 
altura, ou 10cm de diâmetro por 20cm de altura. 
 
 
São ensaiados diversos corpos de provas até a ruptura e anotados 
os valores de fc. Inicialmente, seria intuitivo adotar o valor médio de 
toda a dispersão dos valores, mas que não representaria um valor 
seguro para a construção, assim defini-se: 
Resistência característica à compressão (item 8.2.4 da 
NBR6118/2014) 
Resistência Característica do Concreto à Compressão (fck): Definição 
segundo o item 12.2 da NBR6118/2014 para qualquer resistência 
característica: 
 
* Geralmente lote com 28 dias de concretado. 
* 
Propriedades do Concreto 
Diagrama tensão-deformação na compressão 
- Concreto classe C20 até C50: - Concreto de classe C55 até C90: 
 
00
0
cu
00
0
2c
5,3
0,2
2n
e
e

sc : Tensão de Compressão no 
Concreto. 
fck : Resistência Característica 
do Concreto na Compressão. 
fcd : Resistência de Cálculo do 
Concreto na Compressão. 
ec : Deformação de Compressão 
do Concreto. 
ec2 : Deformação de 
Compressão Plástica do 
Concreto. 
ecu : Deformação de 
Compressão na Ruptura do 
Concreto. 
 
 
 
 














e
e
s
n
2c
c
cdc 11f85,0
Diagrama tensão-deformação do concreto na 
compressão 
  
 
   000
4
ck00
0
cu
00
053,0
ck00
0
2c
4
ck
100f90.356,2
50f.085,00,2
100f90.4,234,1n
e
e

Propriedades do Concreto 
Diagrama tensão-deformação na tração 
Diagrama tensão-deformação do 
concreto na tração (Figura 8.3 da 
NBR6118/2014) 
sct : Tensão de Tração no Concreto. 
fctk : Resistência Característica do 
Concreto na Tração. 
Eci : Módulo de Elasticidade 
Tangente Inicial do Concreto. 
ect : Deformação de Tração do 
Concreto. 
Propriedades do Concreto 
Módulo de elasticidade (item 8.2.8 da NBR6118/2014) 
Módulo de Elasticidade Tangente Inicial: 
 
ckEci f.5600.E 
3
1
ck
E
3
ci 25,1
10
f
..10.5,21E 






- Classe C55 até C90: 
 
ciics E.E 
0,1
80
f
.2,08,0 cki 
- Classe C20 até C50: 
 
onde, E é função do tipo 
de agregado graúdo: 
 
E = 1,2 (basalto e diabásio) 
E = 1,0 (granito e gnaisse) 
E = 0,9 (calcário) 
E = 0,7 (arenito) 
Módulo de Elasticidade Secante: 
 
onde 
: Módulos de elasticidade do concreto considerando granito como 
agregado graúdo (tabela 8.1 da NBR6118/2014): 
 
Obs: 
fórmulas 
empírica
s! entra 
MPa sai 
MPa. 
Propriedades do Concreto 
Módulo de elasticidade (item 8.2.8 da NBR6118/2014) 
Módulos de elasticidade do concreto considerando granito como 
agregado graúdo (tabela 8.1 da NBR6118/2014): 
 
Exercício 7: Calcule o módulo de elasticidade secante Ecs de um 
concreto classe C30 feito com brita comum (de granito). 
0,1E 
30.5600.0,1f.5600.E ckEci 
(classe C30) 
módulo de elasticidade tangente 
inicial: 
MPa30fck 
(brita de granito) 
módulo de elasticidade 
secante: 
MPa2683830672.875,0E.E ciics 
)ok(0,1875,0
80
30
.2,08,0
80
f
.2,08,0 cki 
MPa30672
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto 
Diagrama de tensão-deformação para tipos de concreto C20 até C50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Concreto 
Diagrama de tensão-deformação para tipos de concreto C55 até C90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Símbolos 
Aço passivo: 
sS e eS : Tensão e Deformação do Aço. 
fyk : Resistência Característica do Aço na Tração. 
fyd : Resistência de Projeto (ou de Cálculo) do Aço na Tração. 
fyck : Resistência Característica do Aço na Compressão. 
fycd : Resistência de Projeto (ou de Cálculo) do Aço na Compressão. 
Concreto: 
sC e eC : Tensão e Deformação do concreto. 
fck : Resistência Característica do Concreto na Compressão. 
fcd : Resistência de Projeto (ou de Cálculo) do Concreto na Compressão 
Índices 
S = Steel = Aço 
k = CHaracteristc = Característico 
c = Concrete = Concreto ou Compression = Compressão 
d = Design = Projeto 
 y = yield ? = produção ? rendimento ?