NOTAS DE AULA - ESTRUTURAS DE CONCRETO I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO I 
 
 
 
 
 
PROF. ANDERSON HENRIQUE BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUAZEIRO – BA, JULHO DE 2009. 
SUMÁRIO 
 
 
Módulo 1: Considerações básicas 01 
1.1 Composição do concreto 01 
1.2 Princípio básico do concreto armado 01 
1.3 Vantagens e desvantagens do concreto armado 02 
1.4 Histórico 02 
1.5 Normas para o concreto armado 03 
1.6 Tipos de concreto 03 
 
Módulo 2: Considerações sobre o concreto 05 
2.1 Consistência 05 
2.2 Adensamento 05 
2.3 Características físicas 06 
 2.3.1 Massa específica 06 
 2.3.2 Coeficiente de dilatação térmica 06 
2.4 Durabilidade 06 
2.5 Resistência à compressão 06 
 2.5.1 Classificação por grupos de resistência 07 
2.6 Resistência à tração 08 
2.7 Resistência de cálculo 09 
2.6 Resistência mecânica 10 
2.8 Diagrama tensão x deformação 11 
2.9 Módulo de elasticidade 12 
2.10 Coeficiente de Poisson 13 
2.11 Deformações 13 
 2.11.1 Retração 13 
 2.11.2 Deformações devidas às cargas externas 14 
 2.11.2.1 Deformação imediata 14 
 2.11.2.2 Deformação lenta 14 
 
Módulo 3: Considerações sobre o Aço 15 
3.1 Classificação 15 
3.2 Curva tensão x deformação 15 
 3.2.1 Barras de aço 15 
 3.2.2 Fios de aço 16 
3.3 Designação 16 
3.4 Massa, comprimento e tolerância 16 
3.5 Marcação 17 
3.6 Resistência característica 17 
3.7 Resistência de cálculo 17 
3.8 Diagrama tensão x deformação simplificado 18 
 
Módulo 4: Segurança Estrutural 20 
4.1 Estados limites 20 
 4.1.1 Estado limite último (ELU) 20 
 4.1.2 Estado limite de serviço (ELS) 20 
4.2 Métodos de cálculo 21 
4.3 Ações e solicitações 21 
 4.3.1 Ações permanentes 21 
 4.3.1.1 Ações permanentes diretas 21 
 4.3.1.2 Ações permanentes indiretas 22 
 4.3.2 Ações variáveis 23 
 4.3.2.1 Ações variáveis diretas 23 
 4.3.2.2 Ações variáveis indiretas 24 
 4.3.3 Ações excepcionais 25 
4.4 Combinação de ações 25 
4.5 Exercícios Propostos 28 
 
Módulo 5: Durabilidade das Estruturas de Concreto 29 
5.1 Agressividade do meio ambiente 29 
5.2 Proteção e cobrimento 30 
 
Módulo 6: Concepção Estrutural 32 
6.1 Considerações básicas sobre concepção estrutural 33 
6.2 Componentes de um projeto 34 
6.2 Sistemas estruturais 34 
6.3 Ações 35 
6.4 Posição dos pilares 36 
6.5 Posições de vigas e lajes 36 
 
Módulo 7: Pré-Dimensionamento de Elementos de Concreto Armado 38 
7.1 Pré-dimensionamento de lajes 38 
7.2 Pré-Dimensionamento de vigas 38 
 
Módulo 8: Dimensionamento de Vigas a Flexão 40 
8.1 Ensaio de Stuttgart 40 
 8.1.1 Modos de ruptura 42 
8.2 Dimensionamento à flexão pura 42 
8.3 Domínios de deformações 43 
8.4 Vãos efetivos de vigas 44 
8.5 Seções retangulares com armadura simples 44 
8.6 Seções retangulares com armadura dupla 47 
8.7 Seções em forma de T 48 
 8.7.1 Dimensionamento de seção em T 50 
8.8 Prescrições da NBR 6118:2003 51 
 8.8.1 Largura mínima 51 
 8.8.2 Armadura máxima e mínima 51 
 8.8.3 Armadura de pele 51 
 8.8.4 Espaçamento entre as barras 52 
8.8 Exercícios propostos 53 
 
Módulo 9: Dimensionamento de Vigas a Força Cortante 58 
9.1 Distribuição das tensões tangenciais 58 
9.2 Dimensionamento de peças à força cortante 59 
 9.2.1 Modelo da treliça de Mörsch 60 
 9.2.2 Verificação das bielas comprimidas de concreto quanto ao esmagamento 61 
 9.2.3 Cálculo da treliça de Mörsch 62 
 9.2.4 Cálculo pelo modelo II 62 
9.3 Prescrições da NBR 6118:2003 64 
 9.3.1 Tipos usuais de estribos 64 
 9.3.2 Armadura mínima de estribos 65 
 9.3.3 Diâmetro das barras de espaçamento de estribos: 65 
9.4 Exercícios propostos 65 
 
Módulo 10: Aderência 68 
10.1 Regiões de boa e má aderência 68 
10.2 Resistência de aderência 69 
10.3 Ancoragem das armaduras 70 
 10.3.1 Ancoragem fora do apoio 71 
 10.3.2 Ancoragem no apoio 71 
10.4 Comprimento de ancoragem por aderência das barras comprimidas 72 
10.5 Armadura transversal nas ancoragens 72 
10.6 Ganchos das armaduras de tração 72 
10.7 Emendas das barras 73 
 10.7.1 Emendas por traspasse 73 
 10.7.2 Emendas por luvas rosqueadas 74 
 10.7.2 Emendas por solda 74 
 
Módulo 11: Detalhamento de Vigas 76 
11.1 Detalhamento da armadura longitudinal 76 
11.2 Exercícios propostos 78 
 
Módulo 12: Dimensionamento de Lajes Maciças Retangulares 80 
12.1 Hipóteses Simplificadoras 80 
12.2 Classificação das lajes retangulares 81 
12.3 Espessura das lajes 81 
12.4 Cargas nas lajes 82 
12.5 Cargas de parede em lajes 82 
 12.5.1 Lajes armadas em cruz: 82 
 12.5.2 Lajes armadas em uma só direção: 83 
12.6 Cálculo no regime elástico 83 
12.7 Momentos em lajes em uma só direção 84 
12.8 Momentos nas lajes em cruz 85 
 12.8.1 Casos especiais 87 
12.9 Cargas das lajes nas vigas 87 
12.10 Dimensionamento de lajes retangulares 88 
12.11Verificação à força cortante 88 
12.12 Recomendações normativas 89 
12.13 Detalhamento 91 
 12.13.1 Arranjo das armaduras 91 
 12.13.2 Quadros de armadura 92 
12.14 Exercícios propostos 93 
 
Módulo 13: Verificações aos Estados Limites de Serviço 97 
13.1 Combinações de ações 97 
 13.1.1 ELS-DEF 97 
 13.1.2 ELS-W 97 
13.2 Estado limite de abertura de fissuras 98 
 13.2.1 Controle de fissuração 98 
13.3 Estado limite de deformação excessiva 99 
 13.3.1 Deslocamentos limites 99 
 13.3.2 Flecha imediata causada por ações de curta duração 101 
 13.3.2.1 Vigas de concreto armado 101 
 13.3.2.2 Lajes de concreto armado 102 
 13.3.3 Flecha final causada por ações de longa duração 102 
13.4 Exercícios propostos 103 
 
Referências Bibliográficas 105 
Anexo 1: Tabelas de flexão 106 
Anexo 2: Tabelas de cisalhamento 108 
Anexo 3: Tabelas de lajes 109 
Anexo 4: Tabelas de cálculo de flechas 117 
Anexo 5: Cargas para o cálculo de edificações (NBR 6120:1980) 119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 1 
1 – CONSIDERAÇÕES BÁSICAS. 
 
O concreto armado é atualmente o material mais usado na construção de estruturas de 
edificações e obras viárias como pontes, viadutos, passarelas, etc. 
 
A forma mais presente deste material é o concreto armado, cuja composição se dá com a 
junção de dois materiais muito utilizados na construção civil. 
 
Neste capítulo será apresentado e discutido tópicos sobre o concreto armado, as 
hipóteses que tornam esta junção viável, as vantagens e desvantagens de sua aplicação e 
as normas que regulamentam o dimensionamento de estruturas. 
 
1.1 Composição do concreto. 
 
O concreto é composto basicamente pelos seguintes materiais (figura 1.1): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1: Composição básica do concreto. 
 
A composição citada na figura 1.1 ainda pode ser acrescida de aditivos e adições 
minerais, que buscam melhorar algumas de suas características, como exemplo, 
resistência à compressão e trabalhabilidade. 
 
O concreto apresenta como características mecânicas principais: 
 Boa resistência à compressão; 
 Má resistência à tração (10% da resistência à compressão). 
 
1.2 Princípio básico do concreto armado. 
 
A idéia básica do concreto armado é a junção de um material que tem boa resistência à 
compressão (concreto) com um material que resiste bem a tração (aço). 
 
CONCRETO ARMADO = CONCRETO + ARMADURA + ADERÊNCIA 
 
Esta união é possível devido a: 
 Aderência recíproca entre concreto e aço; 
 Meio predominantemente alcalino (pH – 12 a 13,5), o que inibe a corrosão da 
armadura; 
Concreto
Argamassa
Pasta de Cimento:
Cimento + Água
Agregado Miúdo
Agregado Graúdo
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 2 
 coeficiente de dilatação térmica dos dois materiais aproximadamente igual 
concreto ~ 1,010-5/ oC e aço = 1,210-5/ oC. 
 
Ademais, o concreto protege a armadura contra a agressividade do meio ambiente e o 
aço reduz a fissuração do concreto em regiões há esforço de tração (figura 1.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2: Idealização do comportamento de uma viga de concreto armado. 
 
1.3 Vantagens e desvantagens do concretoarmado. 
 
As vantagens principais do concreto armado são: 
 Economia: matéria prima barata, principalmente a areia e a brita; não exige mão 
de obra com muita qualificação; equipamentos em geral simples; 
 Moldagem fácil; 
 Resistência: ao fogo; às influência atmosféricas; ao desgaste mecânico; ao 
choque e vibrações; 
 Monolitismo da estrutura; 
 Durabilidade – com manutenção e conservação; 
 Rapidez de construção (pré-moldados); 
 Aumento da resistência à compressão com o tempo. 
 
Entre as suas desvantagens, destacam-se: 
 Peso próprio elevado (c = 25 kN/m3); 
 Menor proteção térmica; 
 Reformas e demolições são trabalhosas e caras; 
 Precisão no posicionamento das armaduras; 
 Fissuras inevitáveis na região tracionada; 
 Construção definitiva. 
 
1.4 Histórico. 
 
A seguir será listado breve histórico do desenvolvimento do concreto armado: 
 Império Romano - Cimento pozolânico ( de origem vulcânica). Cimento vem do 
termo latino coementum, que designava na velha Roma uma espécie de pedra 
natural de rochedos. 
 1824 - Aspdin - França - Na ilha de Portland, consegue calcinar uma parte de 
argila e três partes de pedra calcárea, moída até obter um pó fino - Cimento 
Portland. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 3 
 1848 - Lambot - França - Constrói um barco com argamassa de cimento 
reforçada com ferro. 
 1861 - Monier - França - Vaso de flores de concreto com armadura de arame. 
 1902 - Mörsch - Alemanha - Teoria científica sobre o dimensionamento de peças 
de concreto armado. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch são válidos ainda 
hoje. 
 1908 – 1ª ponte em concreto armado, projeto de Hennembique, construção em 
echeverria - RJ. 
 1912 - 1a. Companhia Construtora de Concreto Armado, de Riedlinger, técnico 
alemão, RJ. 
 1940 - 1a. Norma brasileira (NB-1) baseada em propostas da ABC (1931) e da 
ABCP (1937). 
 
1.5 Normas para o concreto armado. 
 
São listados abaixo os principais regulamentadores do concreto armado a nível nacional 
e internacional: 
 CEB-FIP – Comité Euro-Internacional du Beton/Federation Internationale de la 
Precontrainte: sintetiza o desenvolvimento técnico e científico de análise e 
projeto de estruturas de concreto dos países membros do comitê; 
 Building Code Requirements for Reinforced Concrete (regulamentos 
editados pelo ACI - American Concrete Institute); 
 EUROCODE – regulamenta o projeto de estruturas de concreto da União 
Européia. 
 ABCP - Associação Brasileira de Cimento Portland; 
 IBRACON - Instituto Brasileiro do Concreto; 
 ABECE – Associação Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural 
 
Normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT): 
 NBR 6118:2003 - Projeto de estruturas de concreto; 
 NBR 6120:1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações; 
 NBR 6123:1988 - Forças devidas ao vento em edificações; 
 NBR 7197:1989 - Cálculo e execução de obras de concreto protendido; 
 NBR 7480:1996 - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto 
armado; 
 NBR 8681:1984 - Ações e segurança nas estruturas; 
 NBR 8953:1992 - Concreto – Classificação pela resistência para fins estruturais; 
 NBR 9062:2001 - Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado; 
 NBR 12655:1996 - Preparo, controle e recebimento de concreto. 
 
1.6 Tipos de concreto. 
 
São listados abaixo alguns dos principais tipos de concreto: 
 
 Concreto simples: concreto utilizado sem armadura, ou com armadura menor 
que a mínima, que resiste basicamente às tensões de compressão e possui um 
peso específico da ordem de 24 kN/m3; 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 4 
 Concreto armado: é o material resultante da ação conjunta do concreto e do 
aço, que trabalha como armadura passiva, onde o primeiro resiste às tensões de 
compressão e o último às de tração; 
 Concreto moldado in loco: é o concreto que é confeccionado no local aonde a 
peça vai permanecer; 
 Concreto pré-moldado: é o concreto que é produzido fora do local onde vai 
trabalhar; 
 Concreto de alto desempenho (CAD): é o concreto com fator a/c inferior a 
0,40, ou seja, com baixa permeabilidade que apresenta um desempenho 
diferenciado em relação ao convencional, para determinadas propriedades, como 
a resistência e a durabilidade; possui na sua composição, além dos materiais 
usados no concreto comum, algum material com propriedades pozolânicas 
como, por exemplo, a sílica ativa ou a cinza volante, e aditivos 
superplastificantes para melhorar a sua trabalhabilidade, que fica prejudicada 
com a adição dos finos; 
 Concreto de alta resistência (CAR): com resistência superior a 40 MPa, 
proporciona melhorias de outras propriedades que elevam a durabilidade das 
estruturas; obtido com a incorporação de microssílica e de aditivos químicos. 
 Argamassa armada ou Microconcreto armado: argamassa simples com 
adição de armadura de pequeno diâmetro e pouco espaçada, distribuída 
uniformemente em toda a superfície, composta de fios e telas de aço; 
 Concreto com fibras: obtido pela adição de fibras metálicas ou poliméricas, 
fazendo com que o concreto esteja ligado por estas fibras; As fibras servem para 
combater a fissuração; Aplicado a peças com pequenos esforços, como pisos 
aplicado sobre o solo; 
 Concreto auto-adensável: tipo de concreto obtido com a inserção de aditivos 
superplastificantes e adições minerais que o tornam de aspecto fluido, não 
necessitando adensamento para a confecção de elementos estruturais de 
concreto. 
 Concreto protendido: obtido pela associação entre o concreto simples e uma 
armadura ativa, onde é aplicada uma força na armadura antes da aplicação do 
carregamento, de forma com que fiquem eliminadas as tensões de tração, ou 
estas sejam limitadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 5 
2 – CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONCRETO. 
 
Neste item serão discutidas as propriedades no estado fresco e endurecido que estão 
mais relacionadas a aplicabilidade do concreto estrutural, e como algumas destas são 
transformadas em propriedades de cálculo. 
 
2.1 Consistência. 
 
Trata-se da maior ou menor capacidade de se deformar no estado fresco. Está 
relacionada com a quantidade de água aplicada, granulometria do agregado e a presença 
de produtos químicos envolvidos. 
 
Os valores do abatimento devem estar de acordo com o elemento estrutural a ser 
moldado, devendo-se observar peças com altas taxas de armadura ou concreto lançado. 
Nas tabelas 2.1 e 2.2 estão apresentadas sugestões de especificação de abatimento para 
diversos elementos. 
 
Tabela 2.1: Abatimento em função do elemento estrutural. 
Elemento Estrutural Abatimento (mm) 
Fundações armadas 50 – 120 
Fundações maciças 30 – 100 
Lajes, pilares e vigas 50 – 150 
 
Tabela 2.2: Abatimento em função do tipo de concreto. 
Tipo de Concreto Abatimento (mm) 
Bombeável 80 – 100 
Convencional 60 – 80 
 
Segundo recomendação da norma NBR 7223:1998, são especificadas as tolerâncias em 
função do abatimento, apresentadas na tabela 2.3. 
 
Tabela 2.3: Classificação da consistência do concreto em função do abatimento. 
Abatimento (mm) Consistência Tolerância (mm) 
0 – 20 Seca ± 5 
30 – 50 Rapidamente plástica ± 10 
60 – 90 Plástica ± 10 
100 – 150 Fluida ± 20 
≥ 160 Líquida ± 30 
 
O processo de medição da consistência é através do ensaio de “slump” (NBR 
7223:1998), no qual é utilizado um molde tronco-cônico preenchido com concreto. 
Após a retirada deste molde é medido o seu abatimento. 
 
2.2 Adensamento. 
 
É feito por meio da aplicação de energia mecânica ao concreto. Tem a função de evitar 
a formação de bolhas de ar, vazios e segregação de material, e fazer com que o concreto 
preencha todos os cantos da forma. 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 6 
2.3 Características físicas. 
 
2.3.1 Massa específica (item 8.2.2). 
 
A norma NBR 6118:2003 se aplica a concretos de massa específica normal, que são 
aqueles que, depois de secos em estufa, têm massa específicacompreendida entre 
2000 kg/m3 e 2800 kg/m3. 
 
Se a massa específica real não for conhecida, para efeito de cálculo, pode-se adotar para 
o concreto simples o valor 2400 kg/m3 e para o concreto armado 2500 kg/m3. 
 
Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se considerar para 
valor da massa específica do concreto armado aquela do concreto simples acrescida de 
100 kg/m3 a 150 kg/m3. 
 
2.3.2 Coeficiente de dilatação térmica (item 8.2.3). 
 
Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido 
como sendo igual a 10-5/°C. 
 
2.4 Durabilidade. 
 
Para garantir uma adequada durabilidade a uma estrutura de concreto armado, o 
projetista deve considerar o nível de agressividade do meio ambiente onde a obra vai ser 
executada, adotar um cobrimento mínimo de concreto e especificar parâmetros para a 
dosagem do concreto tais como: relação a/c, módulo de elasticidade, dimensão máxima 
do agregado graúdo e tipo de cimento. 
 
2.5 Resistência à compressão. 
 
Resistência característica à compressão (fck) de um concreto é o valor mínimo estatístico 
acima do qual ficam situados 95% dos resultados experimentais. Este valor é baseado 
numa curva de distribuição normal (figura 2.1), que mostra a resistência média (fcj = fm) 
e a resistência característica do concreto à compressão (fck). 
 
 
Figura 2.1: Conceito estatístico de resistência característica à compressão. 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 7 
A resistência de dosagem do concreto (fcj) deve atender às condições de variabilidade 
prevalecente durante a construção. Esta variabilidade, medida pelo desvio-padrão Sd é 
levada em conta no cálculo da resistência de dosagem, segundo a eq. 2.1: 
dckcj Sff .65,1 (2.1) 
onde: 
 fcj é a resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j 
dias, em MPa; 
 fck é a resistência característica do concreto à compressão, em MPa; 
 Sd é o desvio padrão da dosagem, em MPa. 
 
Se não for conhecido o desvio padrão Sd, o mesmo será dado em função das condições 
de preparo (NBR 12655:1996): 
 Sd = 4 MPa: para concreto preparado na condição A (classes C10 até C80): 
controle de dosagem rigoroso; 
 Sd = 5,5 MPa: para concreto preparado na condição B (classes C10 até C25): 
controle de dosagem razoável; 
 Sd = 7 MPa: para concreto preparado na condição C (classes C10 e C15): 
controle de dosagem regular. 
 
O ensaio de resistência à compressão é realizado em corpos-de-prova cilíndricos, com 
dimensões de 10 cm de diâmetro da base por 20 cm de altura e 15 cm de diâmetro da 
base por 30 cm de altura, de acordo com a norma NBR 5738:2003 (item 8.2.4). 
 
Em países da Europa, o corpo-de-prova padronizado é o cúbico. O cúbico apresenta 
uma resistência maior, satisfazendo a relação apresentada na eq. 2.2: 
)()( 2,1 cilindrocjcubocj ff  (2.2) 
 
O valor da resistência à compressão, além de ser influenciado pela forma do corpo-de-
prova, também é influenciado pela velocidade de aplicação da carga e pelas condições 
de topo (capeamento). 
 
2.5.1 Classificação por grupos de resistência. 
 
Os concretos são classificados em grupos de resistência, de acordo com a sua resistência 
característica (fck), determinada a partir do ensaio de corpos-de-prova. 
 
Grupos de resistência de concreto, segundo a NBR 8953:1992 (item 3.2): 
 
Tabela 2.4: Classes de resistência segundo os grupos I eII. 
Grupo I fck (MPa) Grupo II fck (MPa) 
C10 10 C55 55 
C15 15 C60 60 
C20 20 C70 70 
C25 25 C80 80 
C30 30 
C35 35 
C40 40 
C45 45 
C50 50 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 8 
Segundo o item 8.2.1: 
 A norma 6118:2003 se aplica a concretos compreendidos nas classes de 
resistência do grupo I, indicadas na NBR 8953:1992, ou seja, até C50. 
 A classe C20, ou superior, se aplica a concreto com armadura passiva e a classe 
C25, ou superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada 
apenas em fundações, conforme NBR 6122:1996, e em obras provisórias. 
 
O concreto a ser especificado nos projetos, de acordo com NBR 6118:2003, deverá 
apresentar uma resistência característica (fck) não inferior a 20 MPa. O concreto pré-
misturado deverá ser fornecido com base na resistência característica. 
 
2.6 Resistência à tração. 
 
O seu valor característico será estimado da mesma maneira que o concreto à 
compressão, através da eq. 2.3: 
dtjtk Sff .65,1 (2.3) 
 
Os processos experimentais mais utilizados para a determinação da resistência à tração 
são: 
 
 Ensaio de tração direta (ou axial): 
 
O corpo-de-prova para ensaio de tração direta é apresentado na figura 2.2: 
 
 
Figura 2.2: Corpo-de prova para ensaio de tração direta. 
 
 Ensaio de tração na flexão (NBR 12142:1991): 
 
Na figura 2.3 é mostrado o esquema do ensaio de tração na flexão. 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 9 
Figura 2.3: Ensaio de tração na flexão. 
 
A resistência média a tração na flexão é dada pela eq. 2.4: 
2, bd
Plf fct  (2.4) 
 
 Ensaio de tração indireta ou tração por compressão diametral (NBR 7222:1994): 
 
A figura 2.4 mostra o detalhe da execução do ensaio de compressão diametral. 
 
 
Figura 2.4: Ensaio de tração por compressão diametral. 
 
 A resistência à tração por compressão diametral é dada por (eq. 2.5): 
dL
Pf spct 
2
,  (2.5) 
 
Segundo o item 8.2.5, a resistência à tração direta (fct) pode ser considerada igual a 
fct = 0,9 fct,sp ou fct = 0,7 fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser 
avaliado o seu valor médio ou característico por meio da eq. 2.6: 
mctctk
mctctk
ckmct
ff
ff
ff
,sup,
,inf,
3/2
,
3.1
7.0
3.0



 (2.6) 
onde fct,m e fck são expressos em MPa. 
 
2.7 Resistência de cálculo. 
 
A resistência do concreto para fins de cálculo é minorada através de coeficientes de 
ponderação, os quais têm por finalidade cobrir as incertezas que ainda não possam ser 
tratadas pela estatística, tais como: 
 incerteza quanto aos valores considerados para a resistência dos materiais 
utilizados; 
 erros cometidos quanto a geometria da estrutura e de suas seções; 
 avaliação inexata das ações; 
 hipóteses de cálculo consideradas que possam acarretar divergências entre os 
valores calculados e as reais solicitações; 
 avaliação da simultaneidade das ações. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 10 
Os valores de cálculo da resistência do concreto à compressão e tração são os 
respectivos valores característicos adotados para projeto, divididos pelo coeficiente de 
ponderação no estado limite último (ELU), c, levando em conta: 
 possíveis diferenças entre a resistência dos materiais na estrutura e aquelas 
obtidas em ensaios padronizados; 
 dispersão na qualidade dos materiais; 
 imprecisões nas correlações de resistência utilizadas nos projetos. 
 
As resistências de cálculo são expressas por (item 12.3.3): 
 Para idade do concreto  28 dias (eq.2.7): 
c
ck
cd
ff

 ; 
c
tk
td
f
f

 (2.7) 
 Para verificações em idades menores que 28 dias (eq. 2.8): 
c
ck
cd
f
f

1 (2.8) 
 
Na ausência de dados experimentais, pode-se adotar a eq. 2.9: 






















2
1
1
281exp
t
s (2.9) 
onde: 
 s = 0,32 (cimento CP III e CP IV); 
 s = 0,25 (cimento CP I e CP II); 
 s = 0,20 (cimento CP V ARI). 
 
Na tabela 2.5 é apresentada a evolução da resistência à compressão do concreto em 
função do tipo de cimento. 
 
Tabela 2.5: Fator de evolução da resistência à compressão do concreto. 
Idade do concreto (dias) 3 7 28 90 360 
Cimento Portland Comum 0,40 0,65 1,00 1,20 1,35 
Cimento Portland de Alta Resistência 0,55 0,75 1,00 1,15 1,20 
 
O coeficiente de ponderação c varia de acordo com a qualidade do concreto, sendo (de 
acordo com o item 12.4.1): 
 c = 1,4 (para combinações de ações normais); 
 Para execução de elementosestruturais com más condições de transporte, 
adensamento manual ou concretagem deficiente pela concentração de armadura 
deve ser adotado c multiplicado por 1,1; 
 Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados, deve ser consultada a 
NBR 9062:2001; 
 Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir c por 1,1. 
 
Para as combinações de ações propostas pela norma, o coeficiente de minoração da 
resistência à compressão do concreto varia conforme descrito na tabela 2.6: 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 11 
Tabela 2.6: Valores do coeficiente γc (tabela 12.1 – NBR 6118:2003). 
Combinações Fator γc 
Normais 1.4 
Especiais ou de construção 1.2 
Excepcionais 1.2 
 
2.8 Diagrama tensão – deformação. 
 
O diagrama tensão – deformação do concreto tem uma dependência direta com a sua 
resistência à compressão e com parâmetros de seus materiais constituintes. Exemplo de 
como é a curva tensão – deformação do concreto é apresentado na figura 2.5: 
 
 
Figura 2.5: Curva tensão – deformação do concreto. 
 
Este diagrama é obtido de forma experimental para um concreto qualquer, ensaiando-se, 
em laboratório, corpos-de-prova padronizados do material. 
 
O diagrama tensão – deformação à compressão, a ser usado no cálculo, será suposto 
como sendo o simplificado da figura 2.6, composto de uma parábola do 2o grau que 
passa pela origem e tem seu vértice no ponto de abcissa 0,2% e ordenada 0,85fcd 
(resistência de cálculo à compressão do concreto), representado pela eq 2.10: 
 













 
2
002,0
11..85,0 ccdc f

 (2.10) 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 12 
 
Figura 2.6: Diagrama tensão – deformação simplificado. 
 
Segundo o item 8.2.10.1, para análises no estado limite último, podem ser empregados o 
diagrama tensão-deformação idealizado mostrado na figura 2.6. 
 
2.9 Módulo de elasticidade. 
 
O módulo de elasticidade é um parâmetro que relaciona as tensões aplicadas sobre um 
material com as deformações decorrentes desta carga. 
 
Para análise, três módulos de elasticidade podem ser descritos (figura 2.7): 
 Módulo de elasticidade tangente inicial: ici tgE  ; 
 Módulo de elasticidade secante: scs tgE  ; 
 Módulo de elasticidade tangente: tct tgE  . 
 
Figura 2.7: Caracterização do módulo de elasticidade. 
 
Segundo o item 8.2.8, o módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito 
na NBR 8522:2008, sendo considerado nesta norma o módulo de deformação tangente 
inicial cordal a 30% fc, ou outra tensão especificada em projeto. Quando não forem 
feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 
28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a eq. 2.11: 
Te
ns
ão
Deformação
s
t
i
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 13 
ckci fE .5600 (MPa) (2.11) 
 
O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 dias pode também ser avaliado através dessa 
expressão, substituindo-se fck por fckj. 
 
Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e 
controlado na obra. 
 
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, 
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados 
limites de serviço, deve ser calculado pela eq. 2.12: 
ciscs EtgE .85,0  (2.12) 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, pode-se admitir uma relação linear 
entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante 
dado pela expressão constante na eq. 2.12. 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode 
ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo 
de elasticidade secante (Ecs). 
 
Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de 
protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade tangente inicial (Eci). 
 
2.10 Coeficiente de Poisson. 
 
Juntamente com as deformações longitudinais, ocorrem no concreto submetido à 
compressão ou tração deformações transversais (efeito de Poisson), dadas pela eq. 2.13: 
long
transv


  (2.13) 
onde  é chamado de coeficiente de Poisson. 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o 
coeficiente de Poisson relativo às deformações elásticas no concreto pode ser 
considerado igual a 0,20 e o módulo de elasticidade transversal Gc = 0,4Ecs (item 8.29). 
 
2.11 Deformações. 
 
O concreto pode apresentar deformações não só quando submetido a ações externas, 
mas também devidas a variações das condições ambientais (denominadas deformações 
próprias). 
 
2.11.1 Retração. 
 
É a redução de volume do concreto provocada pela perda de água existente em seu 
interior através da evaporação. Para reduzir o efeito da retração no concreto dispõe-se 
de algumas alternativas: 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 14 
 Aumentar o tempo de cura do concreto, para evitar a evaporação prematura da 
água necessária à hidratação do cimento; 
 Prever junta de movimentação, provisória ou definitiva. 
 
Conforme item 11.3.3.1, a variação linear devido à retração do concreto em obras 
correntes de concreto armado será calculada pela eq. 2.14 (peças com dimensões entre 
10 e 100 cm em ambientes com Ur  75 %): 
LL csr . (2.14) 
onde: cs = -15x10-5. 
 
2.11.2 Deformações devidas às cargas externas. 
 
2.11.2.1 Deformação imediata. 
 
Observada no ato de aplicação das cargas externas, onde o esforço interno é absorvido 
parte pelo esqueleto sólido do concreto e parte pela água confinada nos poros. A 
deformação imediata pode ser calculada pela eq. 2.15: 
LL cii . (2.15) 
onde ci = deformação imediata unitária. 
 
2.11.2.2 Deformação lenta. 
 
Observada no decorrer do tempo, em concretos submetidos a cargas permanentes. A 
água dos poros saturados se desloca e transfere o esforço que ela absorvia inicialmente 
para o esqueleto sólido, aumentando a deformação inicial. A água que chega na 
superfície evapora, aumentando as tensões nos poros capilares, parcialmente 
preenchidos com água, e assim aumentado ainda mais as deformações. 
 
A deformação lenta é dada por (eq. 2.16): 
LL ccc . (2.16) 
onde cc = deformação lenta unitária. 
 
A deformação total na estrutura é dada pela eq. 2.17: 
cccict
cict LLL
 

 (2.17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 15 
3 – CONSIDERAÇÕES SOBRE O AÇO. 
 
O aço é utilizado em estruturas principalmente para suprir a baixa resistência à tração 
apresentada pelo concreto. 
 
No entanto, como o aço resiste bem tanto a tração quanto à compressão, poderá 
absorver esforços também em regiões comprimidas do concreto. 
 
Os aços para concreto armado são fornecidos sob a forma de barras e fios de seção 
circular, com propriedades e dimensões padronizadas pela norma NBR 7480:1996. 
 
O aço é caracterizado pelo diâmetro nominal (), que corresponde ao valor, em 
milímetros, do diâmetro da seção transversal do fio ou da barra. 
 
3.1 Classificação. 
 
Os aços para concreto armado são classificados de acordo com a sua bitola, sua 
resistência característica à tração e o processo empregado em sua fabricação. 
 
Os dois tipos de materiais produzidos são: 
 Barras os produtos de diâmetro nominal 5,0 ou superior, obtidos exclusivamente 
por laminação a quente; 
 Fios aqueles de diâmetro nominal 10,0 ou inferior, obtidos por trefilação ou 
processo equivalente. 
 
De acordo com o valor característico da resistência de escoamento, as barras de aço são 
classificadas nas categorias CA-25 e CA-50 e os fios de aço na categoria CA-60. 
 
3.2 Curva tensão – deformação. 
 
3.2.1 Barras de aço. 
 
As barras apresentam diagrama tensão x deformação apresentado na figura 3.1, 
mostrando o limite de escoamento/proporcionalidade (A), o limite de resistência (B) e o 
limite de ruptura (C).Figura 3.1: Curva tensão – deformação de barras de aço. 
 
Deformação
Te
ns
ão
fyk
fm
A
B
C
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 16 
3.2.2 Fios de aço. 
 
Este tipo de aço não apresenta nos ensaios patamar de escoamento bem definido. O 
limite de escoamento é estabelecido convencionalmente como sendo a tensão que 
produz uma deformação permanente de 0,2 %. 
 
Os fios apresentam diagrama tensão x deformação conforme figura 3.2, onde “A” 
representa o limite de proporcionalidade, “B” o limite escoamento, “C” o limite de 
resistência, e “D” o limite de ruptura. 
 
 
Figura 3.2: Curva tensão – deformação para fios de aço. 
 
3.3 Designação. 
 
A designação dos aços para concreto armado deve apresentar a sigla CA, seguida da 
resistência característica de escoamento. Exemplo: CA-50 – CA: iniciais de concreto 
armado; 50: resistência característica de escoamento em kN/cm2 (fyk = 500 MPa). 
 
3.4 Massa, comprimento e tolerância. 
 
Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela 
NBR 7480:1996 com o valor característico da resistência de escoamento nas categorias 
CA-25, CA-50 e CA-60. Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os 
estabelecidos na NBR 7480:1996 (item 8.3.1). 
 
A massa real das barras deve ser igual à sua massa nominal, com tolerância de  6 % 
para diâmetro igual ou superior a 10,0 mm e de  10 % para diâmetro inferior a 
10,0 mm. 
 
A massa nominal é obtida multiplicando-se o comprimento da barra ou do fio pela área 
da seção nominal e por 7,85 kg/dm3. 
 
O comprimento normal de fabricação das barras e fios é de 11m e a tolerância de 
comprimento é de 9 %. 
 
Na tabela 3.1 é apresentada as características de fios e barras, segundo a NBR 
7480:1996. 
D
C
A
fm
fyp
Te
ns
ão
Deformação
Bfyk
0,2%
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 17 
Tabela 3.1: Características dos fios e barras (Tabela 1 – NBR 7480:1996). 
DIÂMETRO 
NOMINAL 
(mm) 
VALORES NOMINAIS 
 
FIOS 
 
BARRAS 
 
ÁREA DA SEÇÃO 
(mm2) 
MASSA POR 
COMPRIMENTO 
(kg/m) 
 
PERÍMETRO 
(mm) 
3,4 9,1 0,071 10,7 
4,2 13,9 0,109 13,2 
5,0 
6,0 
- 
5,0 
- 
6,3 
19,6 
- 
31,2 
0,154 
- 
0,245 
17,5 
- 
19,8 
8,0 8,0 50,3 0,395 25,1 
10,0 10,0 78,5 0,617 31,4 
 12,5 122,7 0,905 39,3 
 16,0 201,1 1,578 50,3 
 20,0 314,2 2,466 62,8 
 25,0 490,9 3,853 78,5 
 32,0 804,2 6,313 100,5 
 40,0 1256,6 9,865 125,7 
 
3.5 Marcação. 
 
Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. 
 
Barras nervuradas: devem apresentar marcas de laminação em relevo, identificando o 
produtor, com registro no INPI, a categoria do material e o respectivo diâmetro nominal. 
 
Fios e barras lisas: deve ser feita por etiqueta ou marcas em relevo. 
 
3.6 Propriedades físicas. 
 
Pode-se adotar para massa específica do aço de armadura passiva o valor de 
7850 kg/m3 (item 8.3.3). 
 
O valor 10-5/°C pode ser considerado para o coeficiente de dilatação térmica do aço, 
para intervalos de temperatura entre – 20°C e 150°C (item 8.3.4). 
 
3.7 Resistência à tração. 
 
O valor da resistência característica do aço (fyk) é o valor mínimo estatístico acima do 
qual ficam situados 95% dos resultados experimentais. O conceito é o mesmo 
apresentado para o concreto. 
 
A resistência característica do aço é a mesma para tração e compressão, desde que seja 
afastado o perigo de flambagem. 
 
A resistência de cálculo do aço é obtida através da aplicação de coeficientes de 
minoração pelas mesmas razões já apresentadas para o concreto. 
 
Destaca-se para a aplicação dos coeficientes de minoração o problema da oxidação do 
aço antes do seu uso e precisão geométrica das armaduras. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 18 
No entanto, os valores são menores que os empregados para o concreto, já que o 
processo de fabricação do aço apresenta um controle de qualidade superior. 
 
Para fins de projeto usa-se (eq. 3.1): 
 ; (3.1) 
 
Em geral o coeficiente de minoração s (ou de ponderação) vale: s = 1,15. Para outras 
combinações de carregamento, o coeficiente de minoração é dado pela tabela 3.2: 
 
Tabela 3.2: Valores do coeficiente γs (tabela 12.1 – NBR 6118:2003). 
Combinações Fator γc 
Normais 1.15 
Especiais ou de construção 1.15 
Excepcionais 1.0 
 
Em obras de pequena importância, admite-se o emprego do aço CA 25 sem realização 
do controle de qualidade estabelecido na NBR 7480:1996, desde que se utilize nos 
cálculo 1,1s. 
 
Um resumo com os valores característicos e de cálculo são apresentados na tabela 3.3. 
 
Tabela 3.3: Tensão de escoamento dos aços para concreto armado. 
Aço fyk (MPa) fyd (MPa) 
CA – 25 250 217 
CA – 50 500 435 
CA – 60 600 522 
 
3.8 Diagrama tensão x deformação simplificado. 
 
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama 
simplificado para os aços com ou sem patamar de escoamento. 
 
Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre –20o C e 150o C e pode ser 
aplicado para tração e compressão. 
 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do 
aço pode ser admitido igual a 210 GPa (item 8.3.5). 
 
Na figura 3.2 é apresentado o diagrama tensão x deformação simplificado para a 
aplicação de projeto. 
 
 
f
f
yd
yk
s


f
f
ycd
yck
s


Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 19 
 
Figura 3.2: Diagrama tensão - deformação simplificado do aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 20 
4 – SEGURANÇA ESTRUTURAL. 
 
Na engenharia estrutural, a estrutura de uma edificação é considerada segura quando 
atende, simultaneamente, aos seguintes requisitos: 
 Mantém durante a sua vida útil as características originais do projeto; 
 Em condições normais de utilização, não apresenta aparência que cause 
inquietação aos usuários, nem falsos sinais de alarmes que lancem suspeitas 
sobre sua segurança; 
 Sob utilização indevida, deve apresentar sinais visíveis – deslocamentos e 
fissuras – de aviso de eventuais estados de perigo. 
 
4.1 Estados Limites. 
 
Estados que caracterizam o uso da estrutura, e classificam, por razões de segurança, 
funcionalidade ou estética, desempenho fora dos padrões especificados para sua 
utilização normal ou interrupção de funcionamento em razão da ruína de um ou mais de 
seus componentes. 
 
Os estados limites podem se referir à estrutura como um todo, elementos estruturais ou 
a regiões locais de elementos. 
 
4.1.1 Estado Limite Último (ELU). 
 
Relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a 
paralisação do uso da estrutura, a segurança das estruturas de concreto deve sempre ser 
verificada em relação aos seguintes estados limites últimos (item 10.3): 
 a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo 
rígido; 
 b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no 
seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais, admitindo-se 
a redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de 
adaptação plástica e admitindo-se, em geral, as verificações separadas das 
solicitações normais e tangenciais; todavia, quando a interação entre elas for 
importante, ela estará explicitamente indicada nesta Norma; 
 c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no 
seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 
 d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
 e) estado limite último de colapso progressivo; 
 f) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos 
especiais. 
 
Atingido o ELU, a estrutura esgota sua capacidade resistente, e a utilização posterior da 
edificação só será possível após a realização de obras de reparo, reforço ou mesmo 
substituição da estrutura. 
 
4.1.2 Estado Limite de Serviço (ELS). 
 
Relacionados à durabilidade das estruturas,aparência, conforto do usuário e à boa 
utilização funcional das mesmas. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 21 
Atingindo o ELS, a estrutura apresenta um desempenho fora dos padrões, mais sem 
risco iminente de ruína no sistema. Exemplos: Flechas excessivas em lajes ou vigas, 
fissuração inaceitável, vibração excessiva, recalques diferenciais elevados, etc. 
 
4.2 Métodos de cálculo. 
 
Dimensionar uma estrutura de concreto significa definir as dimensões das peças e as 
armaduras correspondentes, a fim de garantir uma margem de segurança prefixada aos 
estados limites últimos e um comportamento adequado aos estados limites de serviço, 
tendo em vista os fatores condicionantes de economia e durabilidade. 
 
Os métodos de dimensionamento são: 
 Métodos das tensões admissíveis: A segurança é verificada pela comparação das 
tensões máximas devido aos carregamentos com as tensões admissíveis dos 
materiais empregados; 
 Método dos estados limites: As solicitações são majoradas e os esforços 
resistentes das seções são minorados por coeficientes de segurança. 
 
A NBR 6118:2003 adota método dos estados limites em conjunto com o método 
probabilístico, no qual as variáveis são tratadas estatisticamente ou fixadas por norma, 
sendo chamado de método semi-probabilístico, devido à impossibilidade de dar 
tratamento estatístico pleno a todas as grandezas de interesse para a segurança 
estrutural. 
 
4.3 Ações e solicitações. 
 
Algumas definições: 
 Ação: qualquer influência que possa gerar estados de tensão na estrutura; 
 Solicitação: qualquer esforço que surge decorrente das ações que atuam na 
estrutura. 
 
Nas estruturas, a influência de todas as ações que possam produzir algum efeito para a 
segurança da estrutura deve ser considerada. 
 
As ações são classificadas em: permanentes, variáveis e excepcionais. 
 
4.3.1 Ações permanentes. 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante 
toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que 
crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. 
 
As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais 
desfavoráveis para a segurança. 
 
4.3.1.1 Ações permanentes diretas. 
 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos 
pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 22 
 Peso próprio. 
 
Nas construções correntes admite-se que o peso próprio da estrutura seja avaliado 
conforme 8.2.2. 
 
Concretos especiais devem ter sua massa específica determinada experimentalmente em 
cada caso particular (ver NBR 12654:1992) e o efeito da armadura avaliado conforme 
8.2.2. 
 
 Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes. 
 
As massas específicas dos materiais de construção correntes podem ser avaliadas com 
base nos valores indicados na NBR 6120:1980 (ver anexo 5). 
 
Os pesos das instalações permanentes são considerados com os valores nominais 
indicados pelos respectivos fornecedores. 
 
 Empuxos permanentes. 
 
Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos 
quando forem admitidos não removíveis. 
 
Como representativos devem ser considerados os valores característicos fk.sup ou fk.inf 
conforme a NBR 8681:1984. 
 
4.3.1.2 Ações permanentes indiretas. 
 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por 
retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e 
protensão. 
 
 Retração do concreto. 
 
A deformação específica de retração do concreto pode ser calculada conforme indica o 
anexo A (NBR 6118:2003). 
 
 Fluência do concreto. 
 
As deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme 
indicado no anexo A. 
 
Nos casos em que a tensão c(t0) não varia significativamente, permite-se que essas 
deformações sejam calculadas simplificadamente pela eq. 4.1: 
 





  )28(
),(
)(
1)(),( 0
0
00
cici
cc E
tt
tE
ttt  (4.1) 
onde: 
),( 0ttc  é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t; 
)( 0tc é a tensão no concreto devido ao carregamento aplicado em t0; 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 23 
),( 0tt é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por 
carregamento aplicado em t0. 
 
O valor de c (t∞, t0) pode ser calculado por interpolação da tabela 8.1 (NBR 
6118:2003). Essa tabela fornece o valor característico superior de c(t∞, t0) em algumas 
situações usuais. 
 
O valor característico inferior de c(t∞, t0) é considerado nulo. 
 
 Deslocamentos de apoio. 
 
Os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços 
significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for 
hiperestática e muito rígida. 
 
O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas do 
correspondente material de fundação. Como representativos desses deslocamentos, 
devem ser considerados os valores característicos superiores, calculados com avaliação 
pessimista da rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, ao quantil 
5% da respectiva distribuição de probabilidade. 
 
Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. 
 
O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa única ação, admitindo-se que todos 
eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderação. 
 
4.3.2 Ações variáveis. 
 
4.3.2.1 Ações variáveis diretas. 
 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso 
da construção, pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar as prescrições feitas 
por Normas Brasileiras específicas. 
 
Cargas acidentais previstas para o uso da construção correspondem normalmente a: 
cargas verticais de uso da construção; cargas móveis, considerando o impacto vertical; 
impacto lateral; força longitudinal de frenação ou aceleração; força centrífuga. 
 
Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento 
estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por Normas Brasileiras específicas. 
 
 Ação do vento. 
 
Os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam 
determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123:1988, permitindo-se o emprego 
de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 24 
 Ação da água. 
 
O nível d'água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros 
deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de extravasão, 
considerando apenas o coeficiente γf = γf3 = 1,1 (ver 11.7 e 11.8 – NBR 6118:2003). 
Nas estruturas em que a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a 
presença de uma lâmina de água correspondente ao nível da drenagem efetivamente 
garantida pela construção. 
 
 Ações variáveis durante a construção. 
 
As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida 
pela verificação da obra pronta devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases 
construtivas mais significativas e sua influência na fase final. 
 
A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura 
já executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. 
Além disso devem ser consideradas as cargas acidentais de execução. 
 
4.3.2.2 Ações variáveis indiretas. 
 
 Variações uniformes de temperatura. 
 
A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da 
temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende 
do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a 
compõem. 
 
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: 
a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superiora 50 cm, deve 
ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; 
b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente 
fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação 
seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; 
c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm 
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. 
 
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. 
 
Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas 
prescritas por esta Norma para que sejam minimizados os efeitos das variações de 
temperatura sobre a estrutura da construção. 
 
 Variações não uniformes de temperatura. 
 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição 
significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa 
distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 25 
entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura 
considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. 
 
4.3.3 Ações excepcionais. 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos 
não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações 
excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras 
específicas. 
 
4.4 Combinação de ações. 
 
A NBR 6118:2003 considera os coeficientes g, q, , respectivamente, para as ações 
permanentes, variáveis diretas e para os efeitos das deformações impostas. 
 
Em estruturas de concreto armado de edificações comuns, a combinação última pode ser 
definida por (eq. 4.2): 
kqkqgkgd FFFF   (4.2) 
onde: Fgk = ações permanentes diretas (peso próprio, equipamentos fixos); Fqk = ações 
variáveis diretas (sobrecargas de utilização); Fk = ações indiretas em razão de 
deformações impostas a estrutura. 
 
Para cálculos no estado limite último de estruturas comuns, os esforços de cálculo são 
obtidos diretamente da multiplicação dos esforços característicos das ações permanentes 
e variáveis pelo fator 1,4. 
 
A norma NBR 6118:2003 relata que as cargas devem ser combinadas. As combinações 
são classificadas em combinações últimas normais, especiais ou de construção e 
excepcionais. São elas: 
 
 Combinações últimas normais 
 
 Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação 
variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, 
consideradas como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme 
NBR 8681:2003. 
 
 Combinações últimas especiais ou de construção 
 
 Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação 
variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2003. 
 
 Combinações últimas excepcionais 
 
 Em cada combinação devem figurar as ações permanentes e a ação variável 
excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 26 
reduzidos de combinação, conforme NBR 8681:2003. Nesse caso se enquadram, entre 
outras, sismo, incêndio e colapso progressivo. 
 
Tabela 4.1: Coeficientes de majoração das ações (tabela 11.1 – NBR 6118:2003). 
 
 
Tabela 4.2: Coeficientes redutores de ações variáveis secundárias (tabela 11.2 – NBR 
6118:2003). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 27 
Tabela 4.3: Combinações últimas (tabela 11.3 – NBR 6118:2003). 
 
 
Tabela 4.4: Combinações de serviço (tabela 11.4 – NBR 6118:2003). 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 28 
4.5 Exercícios propostos. 
 
1. Qual o valor do momento de cálculo que deve ser considerado para determinar a área 
de aço em uma seção transversal de uma viga em que se conhecem os valores dos 
momentos característicos: 
Carga permanente: 12 kN.m 
Sobrecarga permanente: 3 kN.m 
Carga acidental vertical de uso: 6 kN.m 
Ação do vento: -3 kN.m e 1 kN.m 
Recalque de apoio: 1,5 kN.m 
 
2. Uma viga de edifício comercial está sujeita a momentos fletores oriundos de 
diferentes cargas: 
Peso próprio da estrutura = 10 kN.m; 
Peso dos outros componentes permanentes = 50 kN.m; 
Ocupação da estrutura = 30 kN.m; 
Vento = 20 kN.m. 
 
3. Calcular o momento máximo de solicitação de uma viga com carga distribuída em 
todo o comprimento com vão entre apoios de 4 m e um trecho em balanço de 2m, 
sabendo que: 
Peso próprio da viga = 1,5 kN/m; 
Peso próprio do estrado de madeira (GV) = 3,0 kN/m; 
Sobrecarga = 20 kN/m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 29 
5 – DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO. 
 
Exigência de que as estruturas de concreto sejam projetadas e construídas de modo que 
conservem a segurança, estabilidade e comportamento adequado quando expostas as 
condições ambientais e quando utilizadas de forma estabelecida em projeto. 
 
Vida útil é o período em que a estrutura mantém suas características, atendidos os 
critérios de uso e manutenção prescritos pelo projetista. 
 
5.1 Agressividade do meio ambiente. 
 
Principal fator responsável pela perda de qualidade e durabilidade. 
 
A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que 
atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das 
variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no 
dimensionamento das estruturas de concreto (item 6.4.1). 
 
Na tabela 5.1 estão listadas as classes de agressividade ambiental, segundo a NBR 
6118:2003: 
 
Tabela 5.1: Classe de agressividade ambiental (tabela 6.1 – NBR 6118). 
Classe de 
agressividade 
ambiental 
Agressividade 
Classificação geral 
do tipo de ambiente 
para efeito de 
projeto 
Risco de 
deterioração da 
estrutura 
I Fraca Rural Insignificante Submersa 
II Moderada Urbana1,2 Pequeno 
III Forte Marinha
1 
Grande Industrial1,2 
IV Muito forte Industrial
1,3 
Elevado Respingos da maré 
1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para 
ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos 
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima 
seco,com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes 
predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de 
celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
 
Segundo o item 6.4.3, o responsável pelo projeto estrutural, de posse de dados relativos 
ao ambiente em que será construída a estrutura, pode considerar classificação mais 
agressiva que a estabelecida na tabela 5.1. 
 
De acordo com a classe de agressividade, fixa-se a relação água/cimento máxima e a 
classe do concreto máxima, de acordo com a tabela 5.2: 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 30 
Tabela 5.2: Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto 
(tabela 7.1 – NBR 6118:2003) 
Concreto Tipo Classe de agressividade I II III IV 
Relação 
água/cimento em 
massa 
CA 0,65 0,60 0,55 0,45 
CP 0,60 0,55 0,50 0,45 
Classe de 
concreto (ABNT 
NBR 8953) 
CA C20 C25 C30 C40 
CP C25C30 C35 C40 
NOTAS: 
1 O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na 
NBR 12655. 
2 CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado. 
3 CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido. 
 
5.2 Proteção e Cobrimento. 
 
Entre os fatores dos quais dependem a durabilidade do concreto armado são 
fundamentais a qualidade e a espessura do concreto de cobrimento das armaduras. 
 
Para atender aos requisitos estabelecidos da norma NBR 6118:2003, o cobrimento 
mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o 
elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação (item 7.4.7.1). 
 
Cobrimento mínimo é a menor distância livre entre uma face da peça e a camada de 
barras mais próximas desta face (inclusive estribos). Sua finalidade é proteger as barras 
tanto da corrosão quanto do fogo. 
 
O cobrimento mínimo deve ser garantido utilizando um cobrimento nominal (Cnom) 
acrescido de uma tolerância de execução (∆C). O valor de ∆C deve ser maior ou igual a 
10 mm (item 7.4.7.3). 
 
Na tabela 5.3 são apresentados os valores dos cobrimentos nominais em função da 
classe de agressividade ambiental do meio. 
 
Tabela 5.3: Correspondência entre classe de agressividade ambiental e 
cobrimento nominal para Δc = 10mm (tabela 7.2 – NBR 6118:2003). 
Tipo de estrutura Componente 
ou elemento 
Classe de agressividade ambiental 
(cobrimento nominal em mm) 
I II III IV 
Concreto armado Laje 20 25 35 45 
Viga / Pilar 25 30 40 50 
Concreto protendido Todos 30 35 45 55 
1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre 
superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob 
tensão. 
2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com 
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como 
pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela 
podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm. 
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos 
de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a 
armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm. 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 31 
Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da 
variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc = 5 mm, mas 
a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-
se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 mm (item 
7.4.7.4). 
 
Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura 
externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada 
barra deve sempre ser calculados pela eq. 5.1 (item 7.4.7.5): 
nfeixec
barrac
nnom
nom



 ;
 (5.1) 
 
Segundo o item 7.4.7.6, a dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado 
no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja, 
φmax ≤ 1,2 cnom. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 32 
6 – CONCEPÇÃO ESTRUTURAL. 
 
A estrutura é definida como conjunto das partes consideradas resistentes de uma 
edificação. 
 
As estruturas são definidas com base no critério geométrico. Podem-se destacar os 
principais elementos como descrito na figura 6.1: 
 
 
Figura 6.1: Elementos para análise estrutural. 
 
Destacam-se: 
 
Elementos Lineares: Comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a 
maior dimensão da seção transversal. 
 Vigas: Elementos em que a flexão é preponderante; 
 Pilares: Elementos lineares de eixo reto, disposto na vertical, submetido a forças 
normais de compressão; 
 Tirantes: Elementos lineares de eixo reto submetidos a esforços normais de 
tração. 
 
Elementos de Superfície: Elementos em que uma dimensão (espessura) é relativamente 
pequena em face às demais. 
 Placas: Elemento plano sujeita a ações normais a seu plano (lajes). 
 
Na figura 6.2 são expostas situações estruturais onde há a presença dos três tipos de 
elementos estruturais. 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 33 
 
 
Figura 6.2: Esquemas estruturais e seus elementos. 
 
6.1 Considerações básicas sobre concepção estrutural. 
 
Concepção estrutural: Comumente chamada de lançamento da estrutura consiste em 
escolher um sistema estrutural que constitua a parte resistente do edifício, capaz de 
absorver todos os esforços e transmiti-los à fundação. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 34 
No projeto estrutural, devem ser observados os critérios normativos para ser assegurado 
o (a): 
 Capacidade resistente (segurança); 
 Desempenho em serviço (utilização); 
 Durabilidade (vida útil). 
 
Ser harmônico com os demais projetos. 
 
A definição da forma estrutural parte da localização dos pilares, seguindo com o 
posicionamento das vigas e das lajes, nessa ordem, sempre levando em conta a 
compatibilização com o projeto arquitetônico. 
 
6.2 Componentes de um projeto. 
 
Como componentes de um projeto de uma edificação são necessários os seguintes 
projetos: 
 
Projeto arquitetônico: 
 Plantas de localização e situação; 
 Plantas baixas; 
 Cortes, fachadas e detalhes arquitetônicos. 
 
Projeto Estrutural: 
 Locação e carga dos pilares; 
 Fundações: blocos de estaca, sapatas, vigas baldrames; 
 Plantas de fôrma e cortes estruturais; 
 Plantas de Armaduras: pilares, lajes, vigas, reservatórios, escadas; 
 Projeto de fôrmas (escoramento) 
 
Projetos de Instalações: 
 Hidráulicas (água e esgoto); 
 Elétricas; 
 Telefônicas; 
 Ar condicionado; 
 Incêndio; 
 
Além dos projetos básicos, são necessárias informações adicionais que devem constar 
para o projeto, a saber: 
 Memória de cálculo; 
 Legendas, escalas, cotas e dimensões nos desenhos (plantas); 
 Quadros de armadura; 
 Especificações: cobrimentos, tipo de aço, resistência à compressão e tipo do 
concreto, finalidade da edificação (cargas), relação água/cimento, módulo de 
elasticidade do concreto, etc. 
 
6.3 Sistemas estruturais. 
 
Nos edifícios usuais empregam-se lajes maciças ou nervuradas, moldadas no local, pré-
fabricadas ou ainda parcialmente pré-fabricadas. 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 35 
Pode ser aplicada protensão, para vencer grandes vãos, para melhorar o desempenho da 
estrutura, seja em termos de resistência, seja para controle de deformações ou de 
fissuração. 
 
Alternativamente, podem ser utilizadas lajes sem vigas, apoiadas diretamente sobre os 
pilares, com ou sem capitéis, casos em que são denominadas lajes-cogumelo, e lajes 
planas ou lisas, respectivamente. 
 
No alinhamento dos pilares, podem ser consideradas vigas embutidas, com altura 
considerada igual à espessura das lajes, sendo também denominadas vigas-faixa. 
 
A escolha do sistema estrutural depende de fatores técnicos e econômicos, dentre eles: 
capacidade do meio técnico para desenvolver o projeto e para executar a obra, e 
disponibilidade de materiais, mão-de-obra e equipamentos necessários para a execução. 
 
Nos casos de edifícios residenciais e comerciais, a escolha do tipo de estrutura é 
condicionada, essencialmente, por fatores econômicos, pois as condições técnicas para 
projeto e construção são de conhecimento da Engenharia de Estruturas e de Construção. 
 
6.4 Ações. 
 
As ações verticais são constituídas por: peso próprio dos elementos estruturais; pesos de 
revestimentos e de paredes divisórias, além de outras ações permanentes; ações 
variáveis decorrentes da utilização, cujos valores vão depender da finalidade do edifício, 
e outras ações específicas,como por exemplo, o peso de equipamentos. 
 
As ações horizontais, onde não há ocorrência de abalos sísmicos, constituem-se, 
basicamente, da ação do vento e do empuxo em subsolos. 
 
As ações verticais tem início nas lajes, que suportam, além de seus pesos próprios, 
outras ações permanentes e as ações variáveis de uso, incluindo, eventualmente, peso de 
paredes que se apóiem diretamente sobre elas. 
 
As lajes transmitem essas ações para as vigas, através das reações de apoio. As vigas 
suportam seus pesos próprios, as reações provenientes das lajes, peso de paredes e, 
ainda, ações de outros elementos que nelas se apóiem, como, por exemplo, as reações de 
apoio de outras vigas. 
 
Em geral as vigas trabalham à flexão e ao cisalhamento e transmitem as ações para os 
elementos verticais − pilares e paredes estruturais − através das respectivas reações. 
 
Os pilares e as paredes estruturais recebem as reações das vigas que neles se apóiam, as 
quais, juntamente com o peso próprio desses elementos verticais, são transferidas para 
os andares inferiores e, finalmente, para o solo, através dos respectivos elementos de 
fundação. 
 
As ações horizontais devem igualmente ser absorvidas pela estrutura e transmitidas para 
o solo de fundação. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 36 
O vento, principal ação horizontal atuante nas edificações usuais, tem início nas paredes 
externas do edifício e é resistido por elementos verticais de grande rigidez, tais como 
pórticos, paredes estruturais e núcleos, que formam a estrutura de contraventamento. 
 
As lajes exercem importante papel na distribuição dos esforços decorrentes do vento 
entre os elementos de contraventamento, pois possuem rigidez praticamente infinita no 
seu plano, promovendo, assim, o travamento do conjunto. 
 
6.5 Posição dos pilares. 
 
Recomenda-se iniciar a localização dos pilares pelos cantos e, a partir daí, pelas áreas 
que geralmente são comuns a todos os pavimentos (área de elevadores e de escadas) e 
onde se localizam, na cobertura, a casa de máquinas e o reservatório superior. Em 
seguida, posicionam-se os pilares de extremidade e os internos, buscando embuti-los 
nas paredes ou procurando respeitar as imposições do projeto de arquitetura. 
 
Formar pórticos, alinhando as vigas com os pilares, de forma a contribuir na 
estabilidade global. 
 
Dispor pilares com distância entre eixos de 4 m a 6 m, devido a duas considerações: 
pilares próximos geram problemas decorrentes da interferência das fundações; pilares 
muito distantes acarretam vigas com maiores dimensões, acarretando um aumento do 
esforço decorrente do peso próprio. 
 
Verificar a interferência que os pilares do pavimento tipo geram nos demais pavimentos 
da edificação. 
 
Na impossibilidade de compatibilizar a distribuição dos pilares entre os diversos 
pavimentos, pode haver a necessidade de um pavimento de transição. 
 
6.6 Posições de vigas e lajes. 
 
Devem ser adotadas vigas para dividir painéis de lajes de grandes dimensões ou para 
suportar o peso de paredes que esteja apoiadas sobre as lajes. 
 
Adotar larguras de vigas em função da largura das alvenarias. As alturas das vigas ficam 
limitadas pela necessidade de prever espaços livres para aberturas de portas e de janelas. 
 
O ideal é que todas elas tenham a mesma altura, para simplificar o cimbramento. 
 
Em edifícios residenciais, é conveniente que as alturas das vigas não ultrapassem 60cm, 
para não interferir nos vãos de portas e de janelas. 
 
Para lajes maciças, o menor vão deve ser da ordem de 3,5 m a 5,0 m. 
 
O posicionamento das lajes fica condicionado ao arranjo das vigas. 
 
A numeração dos elementos (lajes, vigas e pilares) deve ser feita da esquerda para a 
direita e de cima para baixo. Inicia-se com a numeração das lajes – L1, L2, L3 etc. –, 
sendo que seus números devem ser colocados próximos do centro delas. Em seguida são 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 37 
numeradas as vigas – V1, V2, V3 etc. Seus números devem ser colocados no meio do 
primeiro tramo. Finalmente, são colocados os números dos pilares – P1, P2, P3 etc. –, 
posicionados embaixo deles, na forma estrutural. 
 
Devem ser colocadas as cotas parciais e totais em cada direção, posicionadas fora do 
contorno do desenho, para facilitar a visualização. Ao final obtém-se o anteprojeto de 
todos os pavimentos, inclusive cobertura e caixa d’água, e pode-se prosseguir com o 
pré-dimensionamento de lajes, vigas e pilares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 38 
7 – PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO 
 
Etapa realizada para estimativa das seções dos elementos a serem calculados, de forma 
que se possa determinar o peso próprio deste elemento. 
 
7.1 Pré-dimensionamento de lajes. 
 
A espessura da laje pode ser obtida por (eq. 7.1 e figura 7.1): 
cdh 
2
 (7.1) 
onde: d = altura útil,  = diâmetro das barras e c = cobrimento. 
 
 
Figura 7.1: Estimativa da espessura da laje. 
 
Deve ser observada a condição de cobrimento prescrito pela NBR 6118:2003. 
 
A altura útil pode ser expressa através da eq. 7.2: 
 
100
..1,05,2
*lnd est  (7.2) 
onde l* (eq. 7.3): 
)(
7,0
* vãomenorl
l
l
l x
y
x 



 (7.3) 
e n = número de bordas engastadas. 
 
Para lajes com bordas livres, este processo não é recomendado. 
 
A norma NBR 6118:2003 prescreve ainda uma espessura mínima para lajes maciças: 
 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 7 cm para lajes de piso ou cobertura em balanço; 
 10 cm para lajes que suportem veículos com peso ≤ 30 kN; 
 12 cm para lajes que suportem veículos com peso > 30 kN. 
 
7.2 Pré-Dimensionamento de vigas. 
 
Estimativa para altura de vigas pode ser feita pelas condições: 
 Tramos internos: 
12
lhest  ; 
 Tramos externos e vigas biapoiadas: 
10
lhest  ; 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 39 
 Balanços: 
5
lhest  
 
Para armadura longitudinal em uma única camada, pode-se utilizar a eq. 7.4 (figura 
7.2): 
2
l
tcdh

  (7.4) 
onde: c é o cobrimento, t é o diâmetro do estribo e l é o diâmetro da barra 
longitudinal. 
 
Figura 7.2: Estimativa da espessura da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 40 
8 – DIMENSIONAMENTO DE VIGAS A FLEXÃO. 
 
Flexão de um elemento estrutural linear caracteriza-se pela atuação de momentos 
fletores, que produzem tensões normais na seção transversal e a sua rotação. 
 
Tipos de Flexão: 
 Flexão Pura: Apenas momento fletor solicitando a seção; 
 Flexão Simples: Atuam o momento fletor e a força cortante; 
 Flexão Composta: Atuam o momento fletor e a força normal. 
 
8.1 Ensaio de Stuttgart. 
 
Ensaio à flexão de uma viga de concreto armado, em que se aplicam forças iguais e 
simétricas em seu eixo, em estágios crescentes de carga até a ruptura da peça,conforme 
figura 8.1. 
 
Analisa-se a peça em trechos de flexão pura (região entre as cargas simétricas) e flexão 
simples (região entre as cargas e os apoios). 
 
 
Figura 8.1: Viga com cargas iguais e simétricas (ensaio de Stuttgart). 
 
A flexão é denominada normal ou reta quando o plano solicitado contém um dos eixos 
principais de inércia da seção transversal. 
 
A flexão pura pode ser divida em três estádios característicos (figura 8.2), com as 
respectivas distribuições normais na seção transversal de concreto armado retangular, 
com área de aço à tração As. 
 
Em virtude da aplicação do momento fletor a seção sofre rotação, passando da posição 
indeformada a – a para a’ – a’. Admite-se que a seção permanece plana até a ruptura da 
peça (hipótese de Bernoulli). 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 41 
 
Figura 8.2: Estádios de uma peça flexionada. 
 
Estádio I: Peça não fissurada. 
Fase inicial, para valores de momento não muito elevados (MI). A variação das tensões 
em cada pontoda seção são lineares com relação à linha neutra. Na região tracionada, a 
tensão máxima de tração é inferior a resistência à tração do concreto. 
 
Ao final deste estádio, antes do esgotamento da resistência à tração do concreto e do 
surgimento de fissuras, o concreto plastifica e deixa de haver resposta linear entre 
tensão e deformação nesta região (Estádio Ib). 
 
Estádio II: Peça fissurada. 
As tensões de tração passam a ser resistidas pelo aço. O momento fletor (MII) é resistido 
pelo binário formado pela resultante das tensões de compressão no concreto (Rcc) e de 
tração no aço (Rst). O aço e o concreto se encontram no regime elástico. 
 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 42 
Estádio III: Iminência de ruptura por flexão. 
Ao atingir o estado limite último, ocorre o esmagamento do concreto à compressão e o 
escoamento do aço à tração. Dimensionar a peça neste estádio significa estabelecer 
adequada margem de segurança para que a viga não atinja este estádio. O momento de 
ruptura (momento de cálculo) deve ser igual ao momento de serviço majorado por um 
coeficiente pré-estabelecido (MIII = Md = f Mk). 
 
8.1.1 Modos de ruptura. 
 
Dependem da área de armadura, das dimensões da seção e das resistências do concreto e 
do aço, podendo ser dos tipos: 
 Ruptura balanceada: esmagamento do concreto comprimido e escoamento do 
aço tracionado. A peça é chamada de subarmada. Quando o aço se encontra no 
inicio do escoamento e concreto esmagado, a seção é dita normalmente armada; 
 Ruptura frágil à compressão: acontece pelo esmagamento do concreto. Chamada 
de seção superarmada; 
 Ruptura frágil à tração: ruptura brusca e sem aviso, quando a armadura de tração 
não consegue absorver as tensões de tração transferidas do concreto após a 
fissuração. 
 
8.2 Dimensionamento à flexão pura. 
 
O dimensionamento à flexão pura tem como hipóteses básicas: 
 As seções transversais permanecem planas após as deformações, até a ruptura da 
peça; 
 A deformação das barras, em tração ou compressão, é a mesma do concreto do 
seu entorno; 
 No ELU, as tensões de tração no concreto são desprezadas; 
 A distribuição das tensões de compressão no concreto se dá pelo diagrama 
parábola – retângulo (figura 8.3). Este diagrama pode ser substituído por um 
diagrama retangular simplificado, com altura y = 0.8x. Isto é devido a resultante 
de compressão nos dois diagramas serem iguais e sua posição ser relativamente 
a mesma, não alterando o braço de alavanca. 
 A tensão nas armaduras de aço deve ser obtida a partir do diagrama de cálculo; 
 O alongamento máximo da armadura de tração é de 10‰; 
 O encurtamento máximo do concreto na compressão simples é de 2‰, e na 
flexão simples é de 3.5‰. 
 
 
Figura 8.3: Distribuição de tensões de compressão no concreto. 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 43 
8.3 Domínios de deformações. 
 
São utilizados para descrever as situações me que uma peça pode ser dimensionada. São 
apresentados na figura 8.4 (item 17.2.2g): 
 
 
Figura 8.4: Domínios de deformação de uma peça fletida. 
 
Domínio 1: Ruptura da peça por tração não uniforme, sem compressão. Admite-se que a 
peça rompe quando o aço atinge o alongamento de 10‰, limite convencional de 
deformação plástica excessiva (reta a). Nesta região, a resultante de forças está aplicada 
dentro do núcleo central de inércia da seção. Na reta c, a ruptura acontece com a 
resultante aplicada no limite inferior do núcleo central, com tração máxima na fibra 
extrema mais próxima. 
 
Domínio 2: Ruptura da peça com o escoamento do aço atingindo o alongamento 
máximo convencional de 10‰, sem esmagamento do concreto. A reta d representa um 
limite por ruptura por flexão neste domínio, com o aço atingindo o alongamento 
máximo e o concreto esmagando (deformação de 3.5‰). 
 
Domínio 3: Ruptura por flexão com o escoamento da armadura ocorrendo 
simultaneamente ao esmagamento do concreto à compressão. Características de seções 
subarmadas, apresentando a peça sinais visíveis de risco de ruptura. A reta e representa 
o limite deste domínio, com o aço no inicio do escoamento e o concreto esmagando. 
 
Domínio 4: Ruptura por flexão, ocorrendo com o esmagamento do concreto sem o 
escoamento do aço. Característica de seções superarmadas, devendo-se evitar este 
domínio, para prevenir o risco de ruptura sem aviso, visto que o esmagamento do 
concreto ocorre de forma brusca. A reta f representa o limite deste domínio, tendo o aço 
alongamento nulo e o concreto com encurtamento máximo de 3.5‰. 
 
Domínio 4a: Ruptura por compressão excêntrica, estando em toda a seção e armaduras 
comprimidas, exceto pequena região tracionada nas fibras abaixo da armadura. 
 
Domínio 5: Ruptura por compressão não uniforme, sem tração. Resultante aplicada no 
limite do núcleo central, provocando o encurtamento máximo de 3.5‰ e tração nula na 
outra extremidade (reta g). A reta b representa a compressão uniforme, com a seção 
sofrendo apenas translação e rompendo o concreto com o encurtamento máximo de 2‰. 
 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 44 
No dimensionamento de vigas a flexão pura, só tem significado os domínios 2, 3 e 4. 
Em resumo: 
 Limite 1-2: 000100  sdcd e  ; 
 Domínio 2: 000000 105.30  sdcd e  . Seções fracamente armadas. No 
dimensionamento, deve-se prevenir o risco de ruptura frágil; 
 Limite 2-3: 000000 105.3  sdcd e  . Dimensionamento mais racional com 
ambos os materiais alcançando os limites convencionais máximos de norma; 
 Domínio 3: 000000 105.3  sdydcd e  . Seções subarmadas, 
dimensionamento recomendável devido aos materiais esgotarem sua capacidade; 
 Limite 3-4: sdydcd e   0005.3 . Seções normalmente armadas; 
 Domínio 4: ydsdcd e   05.3 000 . Seções superarmadas, risco de ruptura 
sem aviso; 
 Limite 4-4a: 05.3 000  sdcd e  . 
 
8.4 Vãos efetivos de vigas (item 14.6.2.4). 
 
O vão efetivo de uma viga pode ser calculado pela eq. 8.1: 
210 aallef  (8.1) 
com a1 e a2 conforme descrito na eq. 8.2 e figura 8.5: 








h
t
a
h
t
a
3.0
2/
3.0
2/
2
2
1
1
 (8.2) 
 
Figura 8.5: Vão efetivo de uma viga (figura 14.5 – NBR 6118:2003). 
 
8.5 Seções retangulares com armadura simples. 
 
Uma seção é dimensionada com armadura simples quando resulta armadura apenas na 
região de tração. 
 
Parte-se da idéia que o momento solicitante de cálculo deve ser menor ou igual ao 
momento resistente ( RdSd MM  ). O momento resistente pode ser calculado como 
mostrado na eq. 8.3 e figura 8.6: 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 45 
zRzRM stccRd ..  (8.3) 
 
 
Figura 8.6: Resultante de forças numa seção flexionada de concreto. 
 
Por semelhança de triângulos, da figura 8.6, chega-se a eq. 8.4: 
cdcdsd
d
x
d
x
x
xd 




1
 (8.4) 
Definindo o coeficiente adimensional kx, chamado de altura ou profundidade relativa da 
linha neutra, obtêm-se a eq. 8.5: 
sdcd
cd
x
sd
x
x
cdcd
x
x
sd
d
xk
k
ke
k
k









1
1
 (8.5) 
 
 
Podem se definir todos os valores possíveis de kx no intervalo de 0 a 1, que englobam o 
dimensionamento de seções de concreto à flexão simples. São eles: 
 Limite 1-2: 0xk ; 
 Limite 2-3: 259,0xk ; 
 Limite 3-4: 
yd
xx kk 

00
0
00
0
lim 5,3
5,3
; 
 Limite 4-4a: 1xk . 
 
Acima do valor limxk , a seção será superarmada, com pouca ductilidade e risco de 
ruptura sem aviso. 
 
Com o objetivo de melhorar a ductilidade nas regiões de apoio das vigas ou de ligações 
com outros elementos estruturais, a norma exige que a posição da linha neutra observe 
os seguintes limites (item 14.6.4.3): 
MPafcomconcretosparak
MPafcomconcretosparak
ckx
ckx
3540,0
3550,0


 
 
Fazendo equilíbrio de esforços na seção, tem-se (eq. 8.6): 
Notas de Aula – Estruturas de Concreto I 46 
    
  cdwxxsd
wcdwcdccsd
dbkkM
d
d
xxbxdybzRM


24,018,0
4,018,04,0.






 
 (8.6)