Apostila de Concreto Armado - Capítulo 1 a 4 - Introdução

Prévia do material em texto

1 
Capítulo 1 
INTRODUÇÃO 
 
1.1 - Considerações gerais 
 
 Entende-se por concreto armado o material composto, constituído de concreto e barras 
de aço nele imersas. É um material onde a ligação entre os dois materiais é garantida pela 
aderência. 
 Portanto, os princípios que governam o projeto de estruturas de concreto armado diferem 
em muitos aspectos daqueles aplicáveis nos casos de um único material. Como sabemos o 
concreto é um material que apresenta boa resistência à compressão, porém pequena resistência 
à tração (aproximadamente um décimo da resistência à compressão). As barras de aço passam a 
ser utilizadas nas regiões tracionadas do elemento estrutural, com o propósito de absorver as 
tensões de tração (causadas por esforços de flexão, tração, esforço cortante ou torção). Tudo isso 
garantido pela aderência. 
 A função das barras de aço pode ser melhor ilustrada através do exemplo de uma viga 
simplesmente apoiada sujeita a flexão (Fig. 1.1). Para valores muito baixos da carga aplicada, 
as tensões de tração ao longo do bordo inferior da viga normalmente não superam a resistência 
à tração do concreto. Quando as tensões de tração atingem a resistência do concreto, há o 
surgimento de fissuras. Se não houvesse armadura, a ruptura da viga ocorreria neste instante. 
Havendo armadura, as tensões, antes resistidas pelo concreto, são transferidas para a armadura, 
que além de permitir maior resistência à viga, mantém as fissuras com pequena abertura. 
 
 
Figura 1.1 – Distribuição das tensões normais numa seção de concreto armado 
 
 
O aço também apresenta alta resistência à compressão, aproximadamente igual à sua 
resistência à tração. O emprego de armadura em peças comprimidas aumenta a capacidade de 
carga destas. 
 O uso do material concreto armado se intensificou a partir do início do século XX, com 
a recuperação dos países devastados pelas duas guerras mundiais, impulsionado pelo 
desenvolvimento de novas teorias sobre o seu comportamento e de novas técnicas construtivas. 
Barra de aço Barra de aço
Zona tracionada
Tração
Compressão
A
A
Seção A-A
Antes da fissuração Após a fissuração
 
 
2 
Hoje o concreto armado é o material mais empregado na construção civil em muitos países e tem 
sido usado em larga escala, em estruturas tais como edifícios, estádios e ginásios esportivos, 
pontes, túneis, barragens, usinas nucleares, portos, tanques e paredes de contenção, entre outras. 
 
 
1.2 – Histórico 
 
Cimentos pozolânicos (resultantes de cinzas de vulcões) e suas propriedades 
aglomerantes já eram conhecidos (e usados) pelos romanos há mais de dois mil anos. 
 Em 1824 na Inglaterra, Joseph Aspdin, um construtor na cidade de Leeds, desenvolveu o 
cimento Portland, para ser utilizado como argamassa. Foi percebido que o material não oferecia 
resistência à tração, e as tentativas de se reforçar os elementos de concreto com barras de aço 
foram intensificadas. Em 1848 o engenheiro Joseph Louis Lambot, na França, construiu um 
pequeno barco de argamassa reforçada com fios de aço que foi patenteado em 1855 (“barque 
imputrescible” - Foto 1.1). 
 
 
Foto 1.1– La barque en ciment armé de Joseph Lambot au musée de Brignoles (Wikipédia) 
 
W.B. Wilkinson, na Inglaterra, obteve a patente de um sistema de piso em concreto 
armado em 1854. Em 1861, o francês François Coignet publicou um livro ilustrando várias 
aplicações do concreto armado. Outro francês, J. Monier, jardineiro, usou o material na 
fabricação de jarros para flores (1861) e, posteriormente, obteve sucessivas patentes para tubos 
(1867), tanques (1868), lajes (1869), pontes (1873) e escadas (1875) em concreto armado. Na 
Alemanha, os direitos de patente passam ao domínio da empresa Wayss & Freytag. 
Durante os anos 1850, o advogado americano Thaddeus Hyatt realizou vários ensaios de 
vigas de concreto armado, com a armadura nas zonas tracionadas, dobradas próximo aos apoios, 
e com estribos verticais para combater o cisalhamento. Só em 1877, porém, ele publicou os 
resultados dos seus ensaios. 
 A primeira construção em concreto armado nos Estados Unidos foi uma casa em Long 
Island, construída em 1875 pelo engenheiro mecânico W. E. Ward. As primeiras teorias sobre 
o concreto armado foram publicadas em 1886 por Matthias Koenen e G.A. Wayss. 
 A partir de 1900, o Professor Emil Morsch, trabalhando então para a firma Wayss & 
Freytag, desenvolveu a teoria iniciada por Koenen. Os conceitos desenvolvidos por Morsch 
constituíram os fundamentos da teoria do concreto armado e seus elementos essenciais, ainda 
válidos nos dias de hoje (publicados em 1904). Esses conceitos, que garantem a viabilidade do 
concreto armado, são: 
 O concreto resiste bem à compressão, e as armaduras suprem a baixa resistência à tração 
do concreto. 
 Há boa aderência entre concreto endurecido e as barras de aço. 
 
 
3 
 A proteção contra corrosão que o concreto propicia ao aço (proteção física, dada pelo 
cobrimento de concreto; e química, por ser um meio alcalino - pH elevado – que inibe a 
corrosão do aço). 
 As propriedades térmicas dos dois materiais (coeficientes de dilatação térmica com 
valores próximos). 
Emílio Baumgart, nascido em Blumenau, pode ser chamado de o pai do concreto armado 
no Brasil, projetando obras consideradas dignas de registro na história, tais como: 
 
 Edifício “A Noite”, na Praça Mauá, com 22 andares e 102,8 m, em 1928, na época 
o mais alto do Mundo em concreto armado (Foto 1.2). 
 Ponte rodoviária, sobre o rio do Peixe, SC, em viga reta de 68 m de vão livre, a 
primeira estrutura em balanços sucessivos do Mundo (Foto 1.3). 
 Ponte Mauricio de Nassau (1917, Recife, ainda estudante), Copacabana Palace, 
Hotel Glória, Estádio do Fluminense, Ministério da Educação e Saúde (hoje 
Palácio Gustavo Capanema) etc. 
 
Foto 1.2 - Edifício A Noite – Rio de Janeiro 
 
 
Foto 1.3 - Ponte sobre o rio do Peixe/SC 
 
 
1.3 - Normatização 
 
 A partir de 1900 as pesquisas se intensificaram resultando num aumento expressivo de 
trabalhos publicados. Os primeiros regulamentos e normas sobre construções de concreto 
armado foram publicados em 1904, baseados no trabalho de E. Morsch, na Alemanha. Entre 
 
 
4 
1907 e 1910 foram publicadas as primeiras normas técnicas na Inglaterra, Franca, Áustria, Suécia 
e Estados Unidos. 
 O primeiro passo em direção à normalização do concreto armado no Brasil foi dado em 
1929 com a publicação do Código de Obras Arthur Saboya, o qual estava incluído num código 
mais amplo da prefeitura da cidade de São Paulo. Em 1940 foi fundada a ABNT – Associação 
Brasileira de Normas Técnicas, que é o órgão responsável pela normalização técnica no país. 
 
A primeira norma publicada pela ABNT foi a NB-1/1940, que tratava do cálculo e 
execução de obras concreto armado. Atualmente esta norma tem o título “NBR6118 – Projeto 
de Estruturas de Concreto – Procedimento”, válida a partir de 29/05/2014. Da NB-1/1978 para 
a NBR 6118/2003, houve uma ampla reformulação normativa, especialmente nos itens que 
seguem: 
 
 Passou a tratar também das estruturas de concreto protendido. 
 Excluiu a parte de Execução de Obras de Concreto, que passou a ser objeto de outras 
normas (NBR 14931, NBR 9062 etc). 
 Maior rigor nas exigências quanto à durabilidade da estrutura. 
 Estabeleceu requisitos mínimos de qualidade do projeto e criou a avaliação de 
conformidade do projeto (tornada obrigatória na versão de 2014). 
 Introdução de temas novos, tais como: contraventamento, punção com momentos 
fletores, elementos e regiões especiais (consolos curtos, vigas parede, blocos), método 
de bielas e tirantes, etc. 
 
 
1.4 – Algumas características do concreto 
 
O concreto fresco é moldável, o que permite a execução de estruturas de formas, texturas 
e finalidades variáveis, dando grande liberdade à concepçãoarquitetônica. Deve ser homogêneo, 
sem apresentar segregação. Após certo tempo de mistura da água aos demais materiais, há a 
hidratação do cimento e se inicia a pega, que é a passagem do estado fluido para o rígido. As 
etapas de concretagem devem ser concluídas antes que o concreto inicie a pega, sob pena de 
comprometimento de sua resistência. Durante o período de hidratação do concreto (reação 
exotérmica), seu interior experimenta aumento de temperatura, tanto maior quanto maior o 
volume da peça concretada. 
Após o endurecimento, durante determinado período deve ser feita a cura do concreto, 
suas superfícies devem ser mantidas molhadas, de modo a evitar a secagem precoce, que poderia 
resultar em fissuração por retração. Sua resistência aumenta com a idade, crescendo rapidamente 
nas primeiras idades, e mais lentamente nos ciclos posteriores. Sua resistência à compressão é 
comumente aferida aos 28 dias de idade. 
A principal característica do concreto endurecido, que afere sua qualidade, é a resistência 
à compressão, embora outras características também sejam de grande importância: massa 
específica, impermeabilidade, compacidade, resistência ao desgaste etc. 
 
 
 
 
 
5 
1.5 - Vantagens e desvantagens do concreto armado 
 
Vantagens 
 Adapta-se a qualquer tipo de forma, o que representa grande liberdade na concepção 
arquitetônica e estrutural. 
 Boa relação custo x benefício: baixo custo dos materiais (areia e brita ocupam cerca de 75% 
do volume de materiais secos do traço) e da mão de obra. 
 Durabilidade adequada (se bem projetada e executada), boa resistência a efeitos térmicos, 
atmosféricos, desgastes mecânicos, choques e vibrações. 
 Possibilidade de baixos custos de manutenção e reparo, dependendo da agressividade do 
meio ambiente local e da qualidade do concreto produzido (compacidade, cobrimento da 
armadura etc). 
 É adequado para estruturas monolíticas (sem juntas) que, devido ao alto grau de 
hiperestaticidade, apresentam maior segurança. 
 Possibilidade de execução das peças em escala industrial, no caso de pré-fabricação. 
 
Desvantagens 
 Peso próprio elevado. 
 Dificuldades em reformas e demolições. 
 Custos de formas e escoramentos, que podem ser elevados. 
 Possibilidade de elevados custos de manutenção e reparo, dependendo da agressividade do 
meio ambiente local e da qualidade do concreto produzido (compacidade, cobrimento da 
armadura etc). 
 Possível aumento do prazo de execução, tendo em vista a necessidade de obtenção de 
resistência compatível para da retirada de formas e escoramentos, e colocação da estrutura 
sob carga. 
 
 
 
 
Fotos 1.4 a 1.7 – Elevado do Joá - RJ 
 
 
6 
 
Capítulo 2 
PROPRIEDADES DO CONCRETO 
 
Abordaremos em seguida as principais características do concreto, importantes para fins 
de dimensionamento. 
 
2.1 - Massa específica 
 
A massa específica () do concreto endurecido depende de vários fatores, principalmente 
da natureza do agregado graúdo empregado, já que este representa aproximadamente 70% da 
massa total do concreto endurecido. De acordo com sua massa específica, o concreto se 
classifica como: 
 
Concreto normal 
São os que possuem massa específica entre 20 e 28 kN/m3. Para efeito de projeto, considera-se 
 = 24 kN/m3 para o concreto simples e  = 25 kN/m3 para o concreto armado. O agregado 
normalmente empregado é o granito ou o gnaisse. 
 
Concreto pesado 
Possui  entre 28 kN/m3 e 50 kN/m3 . O agregado empregado pode ser barita, minério de ferro 
ou sucata. 
 
Concreto leve 
Possui massa específica variando entre 12 kN/m3 e 20 kN/m3 para o concreto leve estrutural. O 
agregado pode ser constituído, em geral, de argila expandida ou pedra-pomes. 
 
 
2.2 – Resistência à compressão 
 
 A resistência do concreto é função do tipo de solicitação, forma do corpo de prova, 
duração do carregamento e da natureza da carga, se estática ou dinâmica. A comparação direta 
entre concretos diferentes só é válida, portanto, quando os corpos-de-prova e os métodos de 
ensaio forem iguais. 
 Devido à diversidade de condições de solicitação do concreto numa estrutura, a 
reprodução destas em laboratório torna-se impraticável. Assim, as resistências são determinadas 
em corpos de prova padronizados (normalizados), obtendo-se um valor denominado resistência 
característica. Esse valor é adaptado para as condições da obra por meio de coeficientes de 
conversão, os quais são determinados estatisticamente. 
 A resistência à compressão é obtida por meio de solicitação monoaxial em ensaios de 
curta duração*. O corpo de prova utilizado no Brasil é de forma cilíndrica, com 15 cm de 
diâmetro e 30 cm de altura. Em alguns países são adotados corpos de prova em forma de cubo 
com 10 cm ou 20 cm de aresta. 
 A resistência cilíndrica é aproximadamente 83% da resistência cúbica. Essa diferença é 
causada pelo atrito entre os pratos da prensa e o corpo de prova (Fig.2.1), que impede a 
deformação transversal deste nas regiões próximas ao prato, resultando num aumento da 
resistência. Quanto maior a relação altura/largura do corpo de prova, menor será esse efeito. 
Como a relação altura/largura do corpo de prova é maior para o cilíndrico, sua resistência será 
menor do que a do cubo. 
 
 
 
7 
____________________________________________________________________________
* De acordo com o MB-3, a velocidade de aplicação da carga no corpo de prova deve ser de 0,3 a 0,8 
MPa/segundo. A duração de ensaio de um corpo de prova de concreto com resistência de 25 MPa, por 
exemplo, seria de 30 a 80 segundos. 
 
 
 
Figura 2.1 – Impedimento da deformação transversal num corpo de prova de concreto 
 devido ao atrito nos pratos da prensa 
 
Destaca-se que o concreto, pelo fato de trabalhar basicamente à compressão, é 
classificado de acordo com sua resistência à compressão (C25, C50 etc, como se verá adiante). 
 
 
2.3 - Resistência à tração 
 
Como já observado, a resistência do concreto à tração é pequena, da ordem de 10% da 
resistência à compressão (ou menos, para os concretos de classes de resistência mais elevadas), 
e depende de vários fatores, especialmente da aderência dos grãos dos agregados com a 
argamassa de cimento (tamanho e forma dos agregados). Os resultados dos ensaios apresentam 
dispersão maior do que no caso da resistência à compressão. 
 Dependendo do tipo de ensaio empregado, os valores obtidos são denominados de 
Resistência à tração axial (Fig. 2.2), Resistência à tração por fendilhamento1 (Fig. 2.3) ou 
Resistência à tração na flexão (Fig. 2.4). 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Corpo de prova para determinação da resistência à tração direta (axial) 
 
 
 
1 Este método de ensaio foi desenvolvido pelo prof. Fernando Lobo Carneiro, em 1943, quando se planejou deslocar 
a Igreja de São Pedro dos Clérigos para fora do local onde seria aberta a Av. Presidente Vargas, deslocando-a sobre 
rolos de concreto, sendo conhecido em outros países como “ensaio brasileiro”. 
Prato da prensa
Deformação
lateral
P
P
Corpo de
prova
15 cm 30 cm 15 cm
PP
Placa de aço
colada ao concreto
 
 
8 
 
 
Figura 2.3 – Corpo de prova para determinação da resistência à tração indireta 
 
 
 
Figura 2.4 – Corpo de prova para determinação da resistência à tração na flexão 
 
 
2.4 - Relação entre as resistências à tração obtidas nos três tipos de ensaios 
 
A resistência à tração direta (fct) pode ser obtida a partir da resistência à tração avaliada 
nas outras modalidades de ensaios, seja por fendilhamento (fct,sp) ou na flexão (fct,f): 
 
𝑓𝑐𝑡 = 0,9 . 𝑓𝑐𝑡,𝑠𝑝 𝑓𝑐𝑡 = 0,7 . 𝑓𝑐𝑡,𝑓 Eq. 2.1 
 
 
 
2.5 -Resistência sob estado multiaxial de tensões 
 
Sob estado multiaxial de tensões, a resistência à compressão do concreto pode variar, 
dependendo se a tensãosecundária é de compressão ou de tração. A figura a seguir mostra o 
resultado de ensaios realizados por Rüsch e Kupfer na Universidade de Munique, segundo 
Leonhardt. 
 
Tração Compressão
d
h
P
Pf t
2 P
d h
=
P

1

2

1

2

5 20
Medidas em
h = 15
b = 15
20 20 5
P/2 P/2
centímetros
 
 
9 
 
 fp = resistência prismática à compressão axial 
 
 Figura 2.5 - Envoltória de resistência multiaxial do concreto 
 
 
2.6 - Resistência sob carga de longa duração 
 
 A resistência à compressão do concreto depende da velocidade de aplicação da carga (t), 
diminuindo com o decréscimo desta, como mostra a Figura 2.6. 
 
 
 
Figura 2.6 – Efeito da velocidade de aplicação da tensão sobre a resistência do concreto (H. 
Rüsch, “Research Toward a General Flexural Theory for Structural Concrete”, ACI Journal, Proceedings, 
Vol. 57, No. 1, July, 1960, pp.1-28). 
 
Tal fenômeno foi descoberto por Rüsch, sendo por isso conhecido como “efeito Rüsch”, 
e será levado em conta no dimensionamento de estruturas em geral. 
 
 
 
 
 
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
0.2
0.2

1 fp
2 fp
 1
 2
=
Compressão
Compressão
Tração
Tração

1
2
1.0
0.8
0.4
0.6
0.2
0.0060 0.0040.002 0.008 0.010
Deformação, ec

cf
t = 7 dias
t = 100 min
t = 20 min
t = infinito
Limite de ruptura
 
 
10 
2.7 – Variação da resistência à compressão com a idade do concreto 
 
 A resistência à compressão do concreto numa idade t depende do tipo de cimento, da 
temperatura e das condições de cura. Para uma temperatura média de 20o C, a resistência à 
compressão pode ser estimada, de acordo com a norma NBR 6118/2014, item 12.3.3, pela 
expressão: 
 
)28(.)( 1 cc ftf  Eq. 2.2 
 
com 

















t
s
28
1exp1 Eq. 2.3 
 
onde 
fc(t) é a resistência à compressão na idade t 
fc é a resistência à compressão aos 28 dias 
t é a idade do concreto (dias) 
 
s = 0,38 para concreto de cimento CP III e IV (Cimento Portland de alto-forno e pozolânico) 
s = 0,25 para concreto de cimento CP I e II (Cimento Portland comum e composto) 
s = 0,20 para concreto de cimento CP V -ARI (Cimento Portland de alta resistência inicial) 
 
 A Tabela 2.1 fornece valores da relação fcj/ fc28 para concretos feitos com diferentes tipos 
de cimento, para as idades de 3, 7 e 28 dias. 
 
 
 Tabela 2.1 - Valores da relação fcj/ fc28 
Idade do concreto CP III e IV CP I e II CP V ARI 
3 0,46 0,60 0,66 
7 0,68 0,78 0,82 
28 1,00 1,00 1,00 
 fcj = resistência aos j dias de idade 
 fc28 = resistência aos 28 dias de idade 
 
 A Figura 2.7 ilustra esta variação de (fcj/ fc28) com a idade. A partir dos 28 dias, embora 
haja acréscimo de resistência, a norma não prevê a utilização da equação 2.2, recomendando o 
uso do valor (fc28). 
 
 
 
11 
 
Figura 2.7 – Variação da resistência do concreto com a idade 
 
 
 
2.8 - Resistência característica à compressão 
 
 É um valor obtido a partir de resultados de ensaios e depende da dispersão destes. As 
principais causas dessa dispersão são: 
 
 Variações aleatórias na composição do concreto 
 Variações nas condições de fabricação 
 Variações nas condições de cura 
 Variações nas condições atmosféricas 
 Mudança de origem das matérias primas 
 
De acordo com a distribuição mostrada na Figura 2.8, a resistência média dos ensaios 
estaria entre 23 e 24 MPa. Tal valor médio não seria, entretanto, uma boa referência para fins de 
dimensionamento, uma vez que não leva em conta a dispersão dos resultados. 
 
 
Figura 2.8 – Distribuição de frequências das resistências obtidas em corpos-de-prova 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
0 60 120 180 240 300 360
Idade (dias)
fc
j /
 f
c
2
8
CP III e IV
CP I e II
CP V - ARI
2
10
25
30
18
10
5
30
20
10
0
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 r
e
la
tiv
a
 (
%
)
fc (MPa)
20 22 24 26
Distribuição Normal
 
 
12 
 
 Como visto na Figura 2.8, a distribuição de frequência dos resultados de ensaios 
aproxima-se da distribuição normal. A probabilidade de que a resistência seja menor ou igual a 
21 MPa é de 2%; a probabilidade de que ela seja menor ou igual a 26 MPa é de 95%. 
 
Resistência característica à compressão fck é aquela que tem uma probabilidade de 
95% de ser alcançada (Fig. 2.9). 
 
 
 
Figura 2.9 – Definição da resistência característica fck 
 
No caso da distribuição normal de freqüência, a resistência característica pode ser obtida 
em função do valor da resistência média fcj pela expressão: 
 
fck = fcj - 1,65 s Eq. 2.4 
 
onde fcj = 
n
cf
n 1
1
 
 fc = resultado de cada exemplar 
 n = número de exemplares 
 
 s = 
1
)( 2


n
ff cjc
 (desvio padrão) 
 
Quando o valor de s não for conhecido, deve-se adotar um dos valores indicados na 
Tabela 6 da NBR 12655 / 2006 – Concreto de cimento Portland – Preparo, controle e 
recebimento - Procedimento, onde, dependendo das condições de preparo do concreto na obra, 
o valor de s pode variar de 4 a 7 MPa. 
 
A norma (item 8.2.1) define classes de resistência do concreto para estruturas, em 
consonância com a NBR 8953/2009, em função da resistência característica do concreto à 
compressão, dividindo estes concretos em dois grupos distintos: 
 
F
re
q
u
ê
n
ci
a
 r
e
la
ti
va
Distribuição Normal
5%
f ck f cj
1,65 s
 
 
13 
 Grupo I – classes de resistência até C50 (fck = 50 MPa) 
 Grupo II – classes de resistência de C55 até C90 
Obs: a versão de 2003 da norma se aplicava somente aos concretos da Classe I. 
 
Limita ainda a norma resistências mínimas exigidas para o concreto, dependendo da 
aplicação, a saber: 
 C15 (fck = 15 MPa) – usado apenas em fundações, obras provisórias e concreto 
sem fins estruturais. 
 C20 (fck = 20 MPa) ou superior – usado em obras de concreto armado. 
 C25 (fck = 25 MPa) ou superior – usado em obras de concreto protendido. 
Obs: 
25 MPa = 25 MN/m2 = 25 N/mm2 = 25.000 kN/m2 = 250 kgf/cm2 = 2.500 tf/m2 
 
 
 
2.9 - Resistência característica à tração 
 
Na falta de ensaios do concreto à tração, pode-se obter a resistência à tração direta a partir 
da resistência característica do concreto à compressão (fck), de acordo com o item 8.2.5 da norma: 
 
Resistência média à tração (até C50): 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 √𝑓𝑐𝑘
23 Eq. 2.5 
 
Resistência média à tração (acima de C50): 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ℓ𝑛 (1 + 0,11 . 𝑓𝑐𝑘) Eq. 2.6 
Obs: unidades em MPa. 
 
A Figura 2.10 ilustra a variação da resistência à tração em relação à resistência à 
compressão do concreto, onde se verifica que, para concretos de resistências mais baixas, tal 
relação se aproxima de 10%, diminuindo este percentual à medida que aumenta a resistência à 
compressão. 
 
 
Figura 2.10 – Relação entre as resistências à compressão e à tração no concreto 
 
Estas expressões, de obtenção de (𝑓𝑐𝑡) em função de (𝑓𝑐𝑘), também podem ser usadas 
para resistências obtidas em corpos de prova com outras idades (diferente de 28 dias), desde que 
se tenha (𝑓𝑐𝑘𝑗 ≥ 7,0 MPa). 
 
 
14 
Conhecida a resistência média à tração, podem ser obtidas duas resistências 
características à tração, inferior e superior (com probabilidades de 5% e de 95%, 
respectivamente, de serem encontrados valores inferiores àqueles): 
 
Resistência à tração característica inferior: 
 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7 . 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (fissuração) Eq. 2.7 
 
Resistência à tração característica superior: 
 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3 . 𝑓𝑐𝑡,𝑚 (armadura mínima) Eq. 2.8 
 
Dependendo da situação, poderá ser mais indicado o uso de um dos dois valores, de modo 
se garantir maior segurança. 
 
 
2.10 - Diagrama tensão-deformação 
 
 A Figura 2.11 mostra o diagrama tensão-deformação real do concreto, para diferentes 
classes de resistência. 
 
 
Figura 2.11 – Diagrama “tensão x deformação” do concreto comprimido (Montoya) 
 
Para facilitar oscálculos, as normas adotam um diagrama simplificado de tensões no 
concreto, denominado diagrama parabólico-retangular. A NBR 6118/2003 previa o diagrama 
parabólico-retangular mostrado na Figura 2.12, com uma parábola de 2º grau. 
 
 
Figura 2.12 – Diagrama “tensão x deformação” idealizado (NBR 6118/2003) 
 
 
 
 
15 
Com a revisão da NBR 6118 de 2014, e a ampliação da aplicação da norma para os 
concretos de Classe II (C55 a C90), este diagrama ficou com a forma da Figura 2.13: 
 Eq. 2.9 
 
Figura 2.13 – Diagrama “tensão x deformação” idealizado (NBR 6118/2014) 
 
 
Para concretos de classes até C50, teremos: 
 
𝜀𝑐2 = 2 
0/00 𝜀𝑐𝑢 = 3,5 
0/00 
 
Para concretos de classes acima de C50 até C90, teremos: 
 
𝜀𝑐2 = 2 
0/00 + 0,085 0/00 (𝑓𝑐𝑘 − 50)
0,53
 Eq. 2.10 
 
𝜀𝑐𝑢 = 2,6 
0/00 + 35 0/00 [(90 − 𝑓𝑐𝑘) 100⁄ ]
4
 Eq. 2.11 
 
 
Exemplificando: 
Para um concreto de classe C55, tem-se: 
𝜀𝑐2 = 2,20 
0/00 
𝜀𝑐𝑢 = 3,125 
0/00 
 
Para um concreto de classe C90, tem-se: 
𝜀𝑐2 = 2,60 
0/00 
𝜀𝑐𝑢 = 2,6 
0/00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
2.11 - Módulo de elasticidade do concreto 
 
A deformação do concreto, sob tensão, depende do traço utilizado, e, especialmente, das 
características mecânicas dos agregados. 
Na avaliação de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo 
de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de deformação secante (𝐸𝑐𝑠). Já 
para a avaliação do comportamento global da estrutura e no cálculo das perdas de protensão pode 
ser adotado o módulo de elasticidade tangente inicial (𝐸𝑐𝑖). A Figura 2.14 mostra ambos 
módulos de elasticidade. 
 
 
 
Figura 2.14 – Módulos de elasticidade do concreto (Montoya) 
 
 
Não sendo feitos ensaios para a determinação do módulo de elasticidade, e não existindo 
dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar seu valor (item 
8.2.8): 
 
Módulo de Elasticidade tangente inicial (C20 até C50): 
 𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 . 5.600 √𝑓𝑐𝑘 Eq. 2.12 
 
Módulo de Elasticidade tangente inicial (C55 até C90): 
 𝐸𝑐𝑖 = 21.500 . 𝛼𝐸 (
𝑓𝑐𝑘
10
+ 1,25)
1
3⁄
 Eq. 2.13 
(unidades MPa) 
 
 
Onde (𝛼𝐸) depende do agregado utilizado, como mostrado na Tabela 2.2. 
 
 
Tabela 2.2 - Valores de (𝛼𝐸) 
Agregado graúdo Valor de “𝜶𝑬 “ 
Basalto e diabásio 1,2 
Granito e gnaisse 1,0 
Calcário 0,9 
Arenito 0,7 
 
O módulo de deformação secante pode ser obtido pela expressão: 
 
 
17 
 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 . 𝐸𝑐𝑖 sendo 𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2 .
𝑓𝑐𝑘
80
 ≤ 1,0 Eq. 2.14 
 
A tabela a seguir apresenta valores estimados arredondados, que podem ser utilizados 
para fins de projeto estrutural. 
 
 
Tabela 2.3 – Valores estimados de módulo de deformação longitudinal em função da 
resistência característica à compressão do concreto (agregado graúdo: granito) 
Classe de 
Resistência 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
𝐸𝑐𝑖 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
𝐸𝑐𝑠 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
𝛼𝑖 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
(Valores de E em GPa = 1.000 MPa) 
 
O módulo de elasticidade do concreto é usado, por exemplo, na determinação dos 
deslocamentos dos elementos estruturais, como, por exemplo, a flecha numa viga biapoiada, 
solicitada por carregamento uniformemente distribuído (Figura 2.15). 
 
𝜔 = 
5 .𝑞 .ℓ4
384 .𝐸𝑐𝑠 .𝐼
 Eq. 2.15 
 
 
 
Figura 2.15 – Flecha em viga com carregamento uniformemente distribuído 
 
A norma dá a denominação de módulo de “elasticidade” do concreto, mas, tendo em vista 
que o concreto não é um material elástico linear, mais correto seria chama-lo de “módulo de 
deformação longitudinal”. 
 
 
2.12 - Coeficiente de deformação transversal do concreto (coeficiente de Poisson) 
 
O coeficiente de Poisson (𝜈) é a relação entre as deformações transversais e longitudinais 
de peças submetidas a tensões normais em uma direção (Figura 2.16). 
 
𝜈 = − 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
 Eq. 2.16 
 
 
18 
 
 
Figura 2.16 – Relação entre deformações axiais e transversais 
 
Para tensões de compressão inferiores a (0,5.fc), o coeficiente de Poisson pode ser tomado 
igual a 0,2 (item 8.2.9). Com o aumento da carga, iniciando a plastificação do concreto, o 
coeficiente de Poisson também aumenta, podendo alcançar valores próximos de 0,5 (princípio 
que viabiliza os pilares cintados). 
 
 
2.13 - Módulo de elasticidade transversal do concreto 
 
O módulo de elasticidade transversal do concreto (Gc) pode ser determinado pela Teoria 
da Elasticidade através da expressão: 
𝐺𝑐 − 
𝐸
2(1+ 𝜈)
 Eq. 2.17 
 
A norma (item 8.2.9) permite que se adote 𝐺𝑐 = 𝐸𝑐𝑠 2,4⁄ Eq. 2.18 
 
Este módulo de deformação transversal é o utilizado, por exemplo, quando as 
deformações devidas ao esforço cortante forem não desprezíveis. A expressão acima só é válida 
para o concreto no estado não-fissurado. 
 
 
 
2.14 - Coeficiente de dilatação térmica do concreto 
 
De acordo com o item 8.2.3 da norma, o coeficiente de dilatação térmica do concreto, 
para efeito de análise estrutural, pode ser admitido como sendo igual a: 
 𝛼 = 10−5 𝐶𝑜⁄ Eq. 2.19 
 
 
2.15 - Retração do concreto 
 
 A quantidade de água empregada na fabricação do concreto é sempre maior do que a 
quantidade necessária para as reações químicas com o cimento. A água em excesso é necessária 
para dar trabalhabilidade ao concreto fresco. Em contato com o ar, o concreto perde parte da 
água não fixada quimicamente durante sua secagem, ocorrendo assim uma diminuição do seu 
volume, ou retração. Se o concreto for imerso em água, ocorre o fenômeno inverso, expansão 
(Fig.2.17). A retração é, portanto, a deformação, independente de carregamento, que ocorre 
 
 
19 
devido à “pega do concreto” (fase de endurecimento do concreto, com expulsão da água que não 
está quimicamente associada ao concreto, devida ao contato com o ar). Não tem direção 
preferencial, ou seja, é uma deformação volumétrica, e é sentida com maior intensidade nos 
primeiros dias após a concretagem. Parte da retração é irreversível. 
 
- Fatores que influenciam a retração 
 Umidade do meio ambiente: a retração aumenta com a diminuição da umidade. 
 Espessura da peça: a retração aumenta com a diminuição da espessura da peça. 
 Composição do concreto: a retração aumenta com o consumo de cimento e com 
o aumento do fator água/cimento. 
 Temperatura do meio ambiente: a retração aumenta com a temperatura. 
 
 
 
Figura 2.17 - Retração e expansão de um concreto com teor de cimento de 300 kg/m3 
 
A retração não é uma força, mas sim uma deformação imposta, que provoca tensões de 
tração e, consequentemente, fissuras no concreto que esteja impedido de se deformar livremente. 
O elemento estrutural perde água mais rapidamente nas fibras externas, o que leva a 
deformações diferidas na massa, resultando tensões capazes de provocar a fissuração na 
superfície da peça (Fotos 2.1 e 2.2). 
 
 
 
Fotos 2.1 e 2.2 – Fissuras de retração numa superfície de laje 
 
Uma cura adequada do concreto tende a minorar, ou até evitar, a fissuração dos elementos 
estruturais por retração. No concreto armado o efeito tende a ser menor do que no concreto-
massa (barragens, por exemplo), uma vez que as barras de armadura se opõem a esta redução de 
volume do concreto. 
8 164 12 20 (meses)
-0.4
-0.6
-0.2
R
et
ra
ç
ã
o
0.2
0
-0.8
E
x
p
an
s
ã
o
(% )e o
Na água
 No ar 
 (umidade relat iva 70%, 18 C)
No arNa água
o
 
 
20 
A deformação específica de retração do concreto pode ser calculada de acordo com o 
Anexo A da norma, segundo o item 11.3.3.1. 
Nos casos correntes de obras de concreto armado, em função da restrição à retração doconcreto que é imposta pela armadura, pode-se adotar uma deformação devida à retração igual a 
(-15 x 10-5), para elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm, em locais 
com umidade ambiente não inferior a 75% (item 11.3.3.1 da norma). 
Assim, tendo em vista que o coeficiente de dilatação térmica do concreto vale (𝛼 =
 10−5 𝐶𝑜⁄ ), tal recomendação, para consideração simplificada da retração, equivale a uma 
diminuição uniforme de temperatura, em toda a estrutura, de 15ºC. 
 
 
2.16 - Fluência 
 
Quando uma peça de concreto é mantida sob tensão, constante por certo período de 
tempo, observa-se uma deformação inicial (deformação instantânea), e um aumento desta 
deformação ao longo do tempo (deformação lenta, ou fluência). Tal fenômeno decorre da 
expulsão da água existente nos microporos do gel de cimento, não fixada quimicamente, o que 
provoca a contração do gel. 
Se submetermos a peça a um processo de carga-descarga, a evolução das deformações ao 
longo do tempo é mostrada na Figura 2.18. 
 
 
Figura 2.18 – Deformações no concreto ao longo do tempo 
 
As deformações e
ci1
 e e
ci2
 são deformações instantâneas provocadas pela aplicação e 
retirada da tensão 
1
, respectivamente (e
ci1
 > e
ci2
). A deformação e
cc
 representa a deformação 
lenta do concreto. Pode-se constatar que parte da deformação lenta é recuperável: a deformação 
e
cr
 representa a fluência recuperável e a deformação e
cf
 corresponde à parcela irrecuperável da 
fluência. 
 
 
- Fatores que influenciam a deformação lenta 
 Idade do concreto – quanto mais cedo for aplicado o carregamento, maior a 
deformação lenta. 
 Umidade relativa do ar – quanto mais seco, maior a deformação lenta. 
t t1 2
t t1 2
1
Tempo
Tempo

e

cc
e
ci1
e
ci2e
cre
cfe
 
 
21 
 Espessura média da peça (dada pela relação entre “área/perímetro de contato com 
a atmosfera”) – menores espessuras médias induzem maior deformação lenta. 
 Fator água/cimento – quanto mais água no traço, maior a fluência. 
 
A deformação decorrente da fluência do concreto pode ser calculada de acordo com o 
Anexo A da norma, segundo o item 11.3.3.2. 
 
 
 
 
 
22 
Capítulo 3 
PROPRIEDADES DO AÇO 
 
3.1 - Classificação 
 
Os aços empregados no concreto armado (armadura passiva) estão previstos e são 
classificados na norma NBR 7480/2007, com as categorias a seguir, em função do valor 
característico da resistência de escoamento (em kN/cm2, ou em kgf/mm2, sendo que a sigla CA 
significa aço para concreto armado): 
 Barras de aço, das categorias CA-25 e CA-50 (𝑓𝑦𝑘 𝑑𝑒 250 𝑒 500 𝑀𝑃𝑎, 
respectivamente). 
 Fios de aço, da categoria CA-60 (𝑓𝑦𝑘 𝑑𝑒 600 𝑀𝑃𝑎). 
De acordo com a NBR 7480/2007, barras e fios são: 
 Barras – produtos de diâmetro nominal 6,3 mm ou superior, obtidos 
exclusivamente por laminação a quente, sem processo posterior de deformação 
mecânica. 
 Fios – produtos de diâmetro nominal 10 mm ou inferior, obtidos a partir de fio-
máquina por trefilação ou laminação a frio. 
Os vergalhões CA-25 são barras de aço com superfície lisa e os vergalhões CA-50 são 
barras de aço com superfície nervurada. São comercializados em barras retas e barras dobradas 
com comprimento de 12m. Podem, também, ser fornecidos em rolos nas bitolas até 12,5mm. 
Os vergalhões CA-60 são fios de aço caracterizados pela alta resistência e pelos entalhes que 
aumentam a aderência do aço no concreto. 
As siderúrgicas produzem ainda malhas soldadas, com fios de aço, com diferentes 
diâmetros e espaçamento de malha retangular, as quais são usadas principalmente em lajes, pisos, 
tubos de concreto, túneis, canais, estruturas de argamassa armada etc, e que são normatizadas 
pela NBR 7481/1990. 
 
 
3.2 – Propriedades do aço para concreto armado (item 8.3 da norma) 
 
Massa específica 
A massa específica do aço de armadura passiva pode ser considerada igual a 7.850 kg/m3. 
 
Coeficiente de dilatação térmica 
Para temperaturas entre -20ºC e 150ºC, o coeficiente de dilatação térmica do aço pode 
ser considerado igual a 10-5/ºC. 
 
Módulo de elasticidade 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do 
aço pode ser admitido igual a 210 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
Resistências e Diagrama tensão-deformação 
O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência de 
escoamento fyk, da resistência à tração fstk e da deformação na ruptura euk (Figura 3.1) devem ser 
obtidos em ensaios de tração realizados segundo a NBR ISO 6892-1 – Materiais Metálicos – 
Ensaio de Tração – Parte 1: Método de Ensaio à Temperatura Ambiente. 
 
Para cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama 
simplificado mostrado na Figura 3.1b. Este diagrama é válido para intervalos de temperatura 
entre -20ºC e 150ºC e pode ser aplicado para tração e compressão. 
 
Os parâmetros que aparecem na Figura 3.1 são definidos como: 
fyd = fyk /s Eq. 3.1 
fycd = fyck /s Eq. 3.2 
 
fyk = resistência característica à tração 
fyck = resistência característica à compressão 
fyd = resistência de cálculo à tração 
fycd = resistência de cálculo à compressão 
s = coeficiente de minoração da resistência = 1,15 
Es = módulo de elasticidade = 210 000 MPa 
 
Diagrama real Diagrama de cálculo 
 
 
 (a) (b) 
Figura 3.1 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas 
 
A Tabela 3.1 mostra algumas das propriedades mecânicas exigíveis para barras e fios de 
aço destinados a armaduras para concreto armado. 
 
Tabela 3.1 – Características mecânicas exigíveis dos fios e barras 
 
Categoria fyk 
(MPa) 
fst / fyk 
 
Alongamento 
em 10 (%) 
CA-25 250 1,20 fyk 18 
CA-50 500 1,08 fyk 8 
CA-60 600 1,05 fyk 5 
T
ra
ç
ã
o
s
se
eyd
ydf
ycdf
3,5‰
10‰
C
o
m
p
re
s
s
ã
o
ykf
eyk 10 a 15‰
yckf
T
ra
ç
ã
o
C
o
m
p
re
s
s
ã
o
s
se
 
 
24 
 
 
 
 
Características de ductilidade 
Ductilidade é a capacidade de deformação do material, ou seja, quanto maior o 
alongamento de ruptura, maior a ductilidade. Contrariamente, os materiais frágeis são aqueles 
que pouco de deformam antes da ruptura (ferro fundido, concreto sob tração etc). 
 
Os aços CA-25 e CA-50, que atendam aos valores mínimos de fst/fyk e euk indicados na 
NBR 7480, podem ser considerados como de alta ductilidade. Os aços CA-60 que obedeçam 
também às especificações dessa Norma podem ser considerados como de ductilidade normal. 
Em ensaios de dobramento a 180°, realizados de acordo com a NBR 6153 e utilizando os 
diâmetros de pinos indicados na NBR 7480, não deve ocorrer ruptura ou fissuração (item 8.3.7 
da norma). 
 
 
 
Soldabilidade 
Para que um aço seja considerado soldável, sua composição deve obedecer aos limites 
estabelecidos na NBR 8965. A aptidão do aço para soldagem depende, fundamentalmente, de 
sua composição química (teor máximo de carbono, manganês e outros elementos químicos). 
A emenda de aço soldada deve ser ensaiada à tração segundo a NBR 8548. A carga de 
ruptura e o alongamento na ruptura devem satisfazer as condições estabelecidas na NBR 7480. 
 
 
3.3 - Bitolas comerciais 
 
A norma NBR-7480/2007 fixa as bitolas e seções transversais nominais para fios e barras, 
embora os fabricantes possam não produzir todas elas. 
 
Tabela 3.2 – Características das barras de aço para concreto armado – valores nominais 
 
Barras 
(mm) 
Massa 
(kg/m) 
Área 
(cm2) 
6,3 0,245 0,31 
8,0 0,395 0,50 
10,0 0,617 0,78 
12,5 0,963 1,23 
16,0 1,578 2,01 
20,0 2,466 3,14 
22,0 2,984 3,80 
25,0 3,853 4,91 
32,0 6,313 8,04 
40,0 9,865 12,56 
 
 
 
 
25 
Tabela 3.3 – Características dos fios de aço para concreto armado – valores nominais 
 
Fios 
(mm) 
Massa 
(kg/m) 
Área 
(cm2) 
2,4 0,036 0,04 
3,4 0,071 0,09 
3,8 0,089 0,11 
4,2 0,109 0,14 
4,6 0,130 0,17 
5,0 0,154 0,20 
5,5 0,187 0,246,0 0,222 0,28 
6,4 0,253 0,32 
7,0 0,302 0,38 
8,0 0,395 0,50 
9,5 0,558 0,71 
10,0 0,617 0,78 
 
 
 
 
 
26 
Capítulo 4 
PRINCÍPIOS DA VERIFIÇÃO DA SEGURANÇA 
 
 
 As estruturas, no seu conjunto ou em parte, devem resistir com uma conveniente margem 
de segurança a todas as solicitações oriundas de carregamentos aplicados (estabilidade), além de 
não apresentarem deformações ou vibrações excessivas (conforto) ou fissuração indesejável 
(durabilidade) que possam comprometer sua utilização e durabilidade. 
 
 
4.1 - Objetivos da verificação da segurança 
 
A verificação da segurança visa à garantia de: 
 capacidade de carga e estabilidade da estrutura; 
 boas condições de utilização, para os fins a que se destina; 
 durabilidade, durante a vida útil prevista. 
 
 
4.2 – Estados-limites 
 
 As estruturas devem apresentar condições adequadas de segurança, funcionalidade e 
durabilidade. Sendo assim, devem existir situações limites correspondentes aos três fatores 
acima. Essas situações denominam-se Estados-Limites. Existem dois grupos: Estados-Limites 
Últimos e Estados-Limites de Serviço (item 10.2 da norma). 
 
Estado-limite último (de ruína) 
 Estado correspondente ao colapso: por ruptura, por deformações plásticas excessivas, por 
instabilidade (flambagem) etc. Exige a paralização do uso da estrutura, no todo ou em parte. 
 
Estados-limites de serviço 
 Embora não seja atingida a capacidade resistente da estrutura, esta não oferece condições 
adequadas de uso, ou tem sua durabilidade comprometida. Dentre outros, podemos ter (item 3.2 
da norma): 
 
 Estado-limite de formação de fissuras: estado em que há uma grande possibilidade de 
iniciar-se a formação de fissuras de flexão. 
 Estado-limite de abertura das fissuras: estado em que as fissuras se apresentam com 
abertura máxima admissível, sem prejuízo ao uso ou à durabilidade da peça. 
 Estado-limite de deformação excessiva: estado em que as deformações atingem os limites 
aceitáveis para a utilização normal da estrutura. 
 Estado de vibrações excessivas: estado em que as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção. 
 
 
 
4.3 - Valores característicos e de cálculo das resistências dos materiais 
 
Como já visto, as resistências características do concreto (fck) e do aço (fyk) são obtidas 
com uma probabilidade de ocorrência de 95% (nível de confiança). 
 
 
27 
As resistências de cálculo são obtidas dividindo-se as resistências características (fk) pelo 
coeficiente de ponderação (minoração) das resistências (𝛾𝑚). No Estado Limite Último, estes 
coeficientes são fixados no item 12.4.1 da norma, e valem, dependendo da situação em que forem 
considerados: 
 
Tabela 4.1 - Coeficientes de ponderação das resistências dos materiais no ELU 
 
Situações Concreto (𝛾𝑐) Aço (𝛾𝑠) 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,0 
 
Notas: 
1 - Na execução de elementos estruturais em condições desfavoráveis (más condições de transporte, ou adensamento 
manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente (𝛾𝑐) deve ser multiplicado por 1,1. 
2 – Para testemunhos extraídos da estrutura o coeficiente (𝛾𝑐) pode ser dividido por 1,1. 
3 – Para elementos pré-moldados e pré-fabricados, ver NBR 9062. 
 
Assim, a resistência de cálculo do concreto à compressão em situações normais será, no 
estado limite último: 
𝑓𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 = ⁄
𝑓𝑐𝑘
1,4 ⁄ Eq. 4.1 
 
Nota: a norma fixa como obter o valor de (𝑓𝑐𝑑) no caso de verificações que se façam necessárias 
numa data “j”, inferior aos 28 dias (item 12.3.3 – já estudado no item 2.7). 
 
E a resistência de cálculo à tração do aço em situações normais será, no estado limite 
último: 
𝑓𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠 = 
⁄
𝑓𝑦𝑘
1,15 
⁄ Eq. 4.2 
 
Para os Estados Limites de Serviço (item 12.4.2), não se reduzem as resistências dos 
materiais, ou seja, adota-se (𝛾𝑚= 1,0). 
 
 
 
4.4 - Ações 
 
Ações (F): qualquer causa capaz de produzir tensões na estrutura, ou modificar as já existentes. 
 
 Ações diretas (constituídas por forças) 
 Fg : carga permanente (peso próprio e sobrecargas fixas) 
 Fq : carga variável, ou acidental (sobrecargas de utilização, vento, empuxos etc) 
 
 Ações indiretas 
 Fe : oriundas de deformações impostas por variação de temperatura, retração, 
 recalques de apoio, etc. 
 
 
 
 
 
28 
 Os valores característicos fixados para as principais ações a serem considerados no 
cálculo estão indicados em normas específicas: 
 NBR-6120/2000: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. 
 NBR-7188/1984: Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre 
 NBR-7189/1985: Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias 
 NBR-6123/2013: Forças devidas ao vento em edificações. 
 
 
Combinações de ações no Estado-Limite Último 
 
Numa estrutura podem atuar ações permanentes e ações variáveis de diversas origens. Há 
previsão normativa, no estado-limite último, de três possibilidades de combinações de ações: 
 
 Combinações últimas normais: 
 Combinações últimas especiais ou de construção 
 Combinações últimas excepcionais 
Nos pavimentos de edificações, entretanto, geralmente são consideradas somente as 
cargas permanentes, as cargas de utilização normais e eventuais deformações impostas, na 
combinação última normal. Neste caso, teremos: 
 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔 . 𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜖𝑔 . 𝐹𝜖𝑔𝑘 + 𝛾𝑞1 . 𝐹𝑞1,𝑘 Eq. 4.3 
 
Os coeficientes adotados são (item 11.7.1 da norma): 
 
𝐹𝑑 = 1,4 . 𝐹𝑔𝑘 + 1,2 . 𝐹𝜖𝑔𝑘 + 1,4 . 𝐹𝑞1,𝑘 
 
Caso os esforços devidos à carga permanente sejam favoráveis, o coeficiente altera: 
 
𝐹𝑑 = 1,0 . 𝐹𝑔𝑘 + 1,2 . 𝐹𝜖𝑔𝑘 + 1,4 . 𝐹𝑞1,𝑘 
 
Obs: Para combinações últimas de construção e excepcionais estes coeficientes têm valores 
diferenciados, geralmente inferiores aos aplicados às combinações normais (ver item 11.7.1 e 
Tabela 11.1 da norma). 
 
No caso de se ter que considerar cargas acidentais de diferentes origens, tendo em vista 
a baixa probabilidade de que todas atuem simultaneamente com intensidade máxima, podem ser 
aplicados coeficientes de ponderação (𝜓0) nas ações variáveis secundárias (Tabela 11.2 da 
norma, reproduzida na Tabela 4.2): 
 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔 . 𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜖𝑔 . 𝐹𝜖𝑔𝑘 + 𝛾𝑞1 . 𝐹𝑞1,𝑘 + ∑ 𝛾𝑞𝑗 . 𝜓0 . 𝐹𝑞𝑗,𝑘 + 𝛾𝜖𝑞 . 𝜓𝑜𝜀 . 𝐹𝜖𝑞𝑘 Eq. 4.4 
 
Obs: se fosse o vento, por exemplo, a ação variável secundária, teríamos pela tabela da norma 
(𝜓0=0,6). 
 
 
Combinações de ações nos Estados-Limite de Serviço 
 
Há previsão normativa, no estado-limite de serviço, de três possibilidades de 
combinações de ações: 
 
 
29 
 
 Combinações quase permanentes de serviço – ações atuam durante grande parte do período 
de vida da estrutura, usadas na verificação do estado-limite de deformações excessivas – 
as cargas acidentais são afetadas por um coeficiente (𝜓2 – Tabela 4.2); 
 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝑔𝑖,𝑘 + ∑ 𝜓2 . 𝐹𝑞𝑗,𝑘 
 
 Combinações frequentes de serviço - ações que se repetem muitas vezes durante o período 
de vida da estrutura, usadas na verificação do estado-limite de abertura de fissuras e de 
vibrações excessivas – as cargas acidentais principais são afetadas por um coeficiente (𝜓1), 
e as cargas acidentais secundárias, se existentes, são afetadas por um coeficiente (𝜓2); 
 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝑔𝑖,𝑘 + 𝜓1 . 𝐹𝑞1,𝑘 + ∑ 𝜓2 . 𝐹𝑞𝑗,𝑘 
 
 
 Combinações raras de serviço - ocorrem algumas vezes durante o período de vida da 
estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de 
formação de fissuras– havendo cargas acidentais principais e secundárias, teremos: 
 
𝐹𝑑,𝑠𝑒𝑟 = ∑ 𝐹𝑔𝑖,𝑘 + 𝐹𝑞1,𝑘 + ∑ 𝜓1 . 𝐹𝑞𝑗,𝑘 
 
 
A tabela a seguir apresenta os valores dos coeficientes de redução 
 
 
 
30 
 
Tabela 4.2 - Valores do coeficiente (𝜸𝒇𝟐 =𝝍𝒐, 𝝍𝟏 𝒐𝒖 𝝍𝟐) 
 ELU ELS ELS 
Secundária Frequente Q-Permanente 
 
 
 
 
4.5 - Dimensionamento das estruturas 
 
Condições de segurança no estado limite último 
 
 R (Rc /c , Rs /s )  f Sk 
 
 A resistência interna (R) de uma seção, que é função das resistências (Rc e Rs) oferecidas 
pelo concreto e pelo aço, deve ser maior ou igual à solicitação de cálculo (f Sk) nela atuante. 
 
Processo de dimensionamento 
 
1 - Definição do esquema estrutural (lançamento da estrutura), fixando a disposição geral, 
condições de apoio, dimensões, etc. 
2 - Estabelecimento das hipóteses de carga: combinação das ações que atuam na estrutura, de 
modo a se alcançar as situações mais desfavoráveis. Cuidado especial com interferências 
externas à estrutura. 
3 – Definição do contraventamento e consideração da ação do vento na edificação, se for o caso. 
4 - Determinação dos esforços solicitantes nos diversos elementos estruturais. 
5 – Dimensionamento (via de regra, apenas as seções críticas). 
6 - Verificação dos estados limites de serviço (fissuração, flechas etc). 
7 – Elaboração e entrega dos documentos de projeto (especificações, memórias de cálculo, 
desenhos de fôrmas e de armação etc). 
8 – Avaliação de conformidade e termo de aceitação do projeto (itens 5.3 e 25.1 da norma), que 
deve ser feita antes da fase de construção, e, de preferência, simultaneamente com a fase de 
projeto. 
 
 
31 
 
 
Não é raro surgirem problemas graves em estruturas, por falta de conhecimento adequado 
de seu funcionamento por parte dos engenheiros projetistas, especialmente no que diz respeito 
ao seu adequado contraventamento (capacidade de suportar não só as ações horizontais, mas 
também as próprias ações verticais). 
 
 
 
Figura 4.1 - Análise do contraventamento da estrutura 
 
Ou porque o projetista se esquece das condições locais especiais em que a estrutura está 
sendo executada: 
 
 
 
 Obra junto ao mar – necessidade de estudo hidráulico. 
 
 
Foto 4.1 - Vista aérea do molhe existente – 1979 
 
 
 
 
32 
 
 
 
Molhe original Molhe em 1997 
Figura 4.2 - Rio Orlinha – Aterro do Flamengo 
 
 
 
 
 
Foto 4.2 - Ressaca: notícia e foto no JB de 1/6/1997 
Quiosques do Rio Orlinha destruídos antes da inauguração 
 
 
 
Estrutura em concreto 
armado Enchimento c/ 
mat´l fino 
 
 
33 
 
 
 
 
Fotos 4.3 a 4.5 - Rio Orlinha – Aterro do Flamengo (Mai/1997) 
 
 
 
 
34 
 Substituição de viaduto ferroviário (1907-1970) 
 
 
Foto 4.6 - Viaduto inaugurado em 1907 
 
 
Fotos 4.7 e 4.8 - Gabarito para trânsito de veículos não observado 
no novo viaduto (à dir.) 
 
 
 
 
Fotos 4.9 a 4.12 - Situação em 2014