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24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 1/23 Matemática para negócios Aula 1 - Teoria dos conjuntos INTRODUÇÃO 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 2/23 Nesta aula, você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de conjuntos dos números naturais, apresentando as operações de adição; subtração; multiplicação e divisão, com as suas propriedades de fechamento; comutativa; associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais nas operações de adição; subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números reais. Bons estudos! OBJETIVOS 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 3/23 Reconhecer a Teoria dos Conjuntos como importante para a matemática, tendo em vista que formar conjuntos de números é uma operação que está presente em vários aspectos de nosso cotidiano. Ela nos fornece os principais elementos para a linguagem que é aplicada em diversos ramos da matemática e também será útil nas relações com os conteúdos de outras disciplinas; Descrever os conceitos de conjuntos, subconjuntos e operações entre conjuntos (união, interseção e complementação), juntamente com as regras fundamentais dessas operações; Estabelecer relações, interpretar e utilizar os diferentes conjuntos numéricos (racionais, irracionais e reais) em contextos matemáticos, sociais e de outras áreas do conhecimento; Identi�car e utilizar valores aproximados para números racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da situação em estudo. 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 4/23 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Fonte da Imagem: Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por �m, o dos números reais. Dessa forma, podemos classi�car os conjuntos numéricos em: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 5/23 O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos a seguir. Podemos citar, como exemplo, a necessidade de se atribuir números de telefones às pessoas. Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. Veja a seguir: Fonte: Shutterstock 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 6/23 NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS Agora vamos conhecer alguns aspectos importantes dos conjuntos. Conjunto vazio É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por: Subconjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B. 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 7/23 União de conjuntos Dados os conjuntos A e B, de�ne-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: Atenção , Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja: A ⊂ A O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja: Ø ⊂ A Interseção de conjuntos Dados os conjuntos A e B, de�ne-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A Ո B formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: Diferença de Conjuntos 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 8/23 Dados os conjuntos A e B, de�ne-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja: Podemos representar a união, interseção e diferença entre os conjuntos da seguinte forma: A representação de conjuntos pode ser: Representação de conjunto único Números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6) 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 9/23 Relação entre dois conjuntos Para representar a relação entre dois conjuntos, vamos tomar como exemplo: A e B. 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 10/23 Relação entre três conjuntos Tomando como exemplo A, B e C, temos: CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) N é conjunto dos números naturais: Onde n representa o elemento genérico do conjunto. Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão. Quando houver “...” ao �nal dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de in�nitos elementos, como acontece com N. 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 11/23 O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita). O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes: Saiba mais , Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer suprimir o elemento zero. N* = N – {0} 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 12/23 No conjunto dos números naturais, estão de�nidas duas operações: Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos: CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por: Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 13/23 Temos também outros subconjuntos de Z: CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) O conjunto Z é fechado em relação às operaçõesde adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à divisão. 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 14/23 Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q). O conjunto dos números racionas (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros. Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 15/23 Assim, podemos construir o diagrama: No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 16/23 Assim, podemos escrever: Exemplo , A representação decimal das frações pode ser feita da seguinte forma: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 17/23 Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador Atenção , Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I) Os números irracionais são decimais in�nitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Vejamos alguns exemplos: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 18/23 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), de�nimos o conjunto dos números reais como: O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 19/23 Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I” temos: 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 20/23 Entre dois números inteiros existem in�nitos números reais. Veja alguns exemplos: Questão 1: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a operação: Np ∪ 𝐍𝐢 N* 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 21/23 { } N N*- Justi�cativa Questão 2: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a operação: Np ∩𝐍𝐢. N* {0} N N*- 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 22/23 Justi�cativa Questão 3: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 4}, então: A – B = {0} A ∪B={1, 3, 4} A ⊂ B A ⊃ B Justi�cativa 24/05/2019 Disciplina Portal estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2534713&courseId=13143&classId=1157269&topicId=2653523&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 23/23 Glossário
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