Apostila CI

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CÁCULO INTEGRAL 
Prof. Me. Dioniso sá 
 
 
INTEGRAÇÃO 
 
 Sabemos que, dada uma função f(x) = 3x2, ao derivarmos f(x) obtemos 
f’(x) = 6x. 
 
 Digamos que temos f’(x) = 6x, podemos afirmar que f(x) = 3x2 pois 
dx
d
(3x2) = 6x; a este processo damos o nome de ANTIDERIVAÇÃO, ou seja, o 
processo que determina a função original (Primitiva) a partir de sua derivada. 
 
 “Vamos utilizar a notação F(x) como antiderivada de f(x)“. 
 
OBS: Seja F(x) uma antiderivada de f(x), então F(x) + C também o é, onde C é 
uma Constante de Integração, por exemplo: 
 
 F(x) = x4, G(x) = x4 + 3, H(x) = x4 – 5 são antiderivadas de 4x3, pois a 
derivada de cada uma delas é 4x3. Logo, todas as antiderivadas de 4x3 são da 
forma x4 + C. Daí o processo de antiderivação nos dar uma família de funções 
que se diferenciam pela constante. 
 
NOTAÇÕES: 
 
 O processo de antiderivação é a operação inversa da derivação e é 
também chamada de INTEGRAÇÃO e indicamos pelo símbolo 
 dxxf )(
 ( 
Integral Indefinida ), como tal indica uma família de antiderivadas de f(x), temos 
: 
 
 
CxFdxxf += )()(
 
 
● Lembrando que F(x) é uma função tal que F’(x) = f(x) e C uma constante 
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arbitrária, 

símbolo de integral, dx diferencial, f(x) integrando. 
 
Exemplos : 
 
 
 += Cxdx 22
 
Cxdxx +=
323
 
Cttdt +=
224
 
 
 
Cálculo de Antiderivadas (Integrais) 
 
 
● 
  →= )()( xfdxxfdx
d
 A diferenciação é o inverso da integração. 
 
 
● 
 →+= Cxfdxxf )()('
 A integração é o inverso da diferenciação. 
 
 
Fórmulas fundamentais de Integração 
 
 
 a ) 
 += Ckxkdx
com k : cte. ( Regra da Constante ) 
 
 b ) 
 = dxxfkdxxkf )(.)(
 ( Regra do Múltiplo constante ) 
 
 c ) 
    +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
 ( Regra da Soma ) 
 
 d ) 
    −=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
 ( Regra da Diferença ) 
 
 e ) 
C
n
x
dxx
n
n +
+
=
+
1
1 com n 

-1 ( Regra Simples da Potência 
) 
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 Obs. : 
 += Cxdxx
ln
1
 com x > 0. 
 
Exemplos : 
 
 Acompanhe os passos básicos para uma “ boa “ integração : 
 
1 ) 
   +=+





=== C
x
C
x
dxxxdxxdx
2
3
2
3.3.33
22
1
. 
2 ) 
  +−=+−
==
−
− C
x
C
x
dxxdx
x 2
2
3
3 2
1
2
1
. 
 
3 ) 
C
xx
CxCxC
x
dxxdxx +=+=+=+==  3
2
.
3
2
.
3
2
2
3
32
32
3
2
1 . 
OBS.: Para verificarmos se o resultado está correto, basta deriva-lo e “tentar “ 
obter o “Integrando“. 
 
 
Exercícios: 
 
Resolva as Integrais : 
 
1 ) 
dxx
5
 2 ) 
dss +
2)43(
 3 ) 
dxpx 2
 
 
4 ) 
 dxxsen
 5 ) 
 dxxcos
 6 ) 
dx
x
x

+1
 
 
7 ) 
dx
x
xx

−+
2
23 45
 8) ( )dxxectgxx + 2cos.sec.3 
 
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9) 
dx
xx
x
ex 





+−
72
2
cos
sen
2
 10) 
dx
ecx
x

cos
sec2 
 
11) O custo marginal da fabricação de x unidades de um produto tem como 
modelo a seguinte equação 
x
dx
dC
04,032−=
 ( Custo Marginal ). A produção 
da primeira unidade custa $ 50. Ache o Custo Total da produção de 200 
unidades. 
 
12) Ache a Função Custo correspondente ao custo marginal 
4
20
1
+=
xdx
dC
 
com custo de $ 750 para x = 0. 
 
13) Uma indústria fez uma análise de suas instalações de produção e de seu 
pessoal. Com o atual equipamento e número de trabalhadores, a indústria pode 
produzir 3000 unidades por dia. Estima-se que sem qualquer mudança nas 
instalações a taxa de variação do número de unidades produzidas por dia em 
relação à variação no número de trabalhadores adicionais é 80 – 6x1/2, onde x 
é o número de trabalhadores adicionais. Encontre a produção diária, caso se 
admita mais 25 trabalhadores. 
 
14) Depois de uma experiência, um certo fabricante determinou que se 
produzissem x unidades de um determinado produto por semana o custo 
marginal seria dado por 0,3x – 11 onde o custo de produção é em reais. Se o 
preço de venda do produto é fixado em R$ 19,00 por unidade, e o custo fixo por 
semana é R$ 100,00, encontre o lucro semanal máximo que pode ser obtido. 
 
15) Ache a equação da função f(x) cujo gráfico passa pelo ponto P ( 4, 2 ) e 
possui derivada f’(x) = 
106 −x
. 
 
PS: Resolva Lista de Exercícios Extra – Vide Anexo (seção 6.2) 
 
 
 
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INTEGRAL DE ex 
 
A integração da função exponencial ex é trivial, pois ex é sua própria 
derivada. Assim, 
 
 += k
xedxxe
 
 
REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA 
 
É fácil rescrever as regras de derivação para soma e constante multiplicada e 
transformá-las em regras de integração para estes casos. 
 
Regra da constante multiplicada para integrais 
 
Para qualquer constante k, 
 = dxxfkdxk )(f(x) 
 
 
ou seja, a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à 
constante multiplicada pela integral da função. 
 
Regra da soma para integrais 
 
 
 +=+ dxxgdxxfdx )()( g(x)]f(x)[
 
 
 
ou seja, a integral da soma é a soma de cada uma das integrais. 
 
Exemplo: 
1) Calcule as integrais 
a) 
  +== k5x1dx5 dx 5
 
b) 
  ++=+++=+=+ ke
x
kek
x
dxedxxdxex xxxx
33
][
3
21
3
22
 
c) 
kxxek
x
xedxxdx
x
dxedxx
x
e xxxx +−+=+−+=−+=





−+  
3
3
22
6
1
||ln23
32
1
||ln23
2
11
23
2
12
3
 
 
 
Nota: pelo exemplo c, temos que ao invés de adicionarmos uma constante a 
cada uma das 3 primitivas, basta adicionar apenas uma constante k ao final do 
resultado encontrado. 
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INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES 
 
Não existem regras gerais de integração de produtos e quocientes. 
Ocasionalmente, conseguiremos exprimir um produto ou um quociente de uma 
forma integral, com o auxílio das regras já apresentadas. 
 
Exemplos: 
1) Calcule 
dx
x
xx
 
523
3
5

−+
 
Fazendo a divisão indicada, temos: 
322
333
5
3
5
523
523523 −− −+=−+=
−+
xxx
xx
x
x
x
x
xx
 
Assim, 
 
   =+−
−
−
+=−+=−+=
−+ −−−−−− k
xxx
dxxdxxdxxdxxxxdx
x
xx
2
.5
1
2
3
3523 ]523[
523 213322322
3
5 
k
xx
x ++−=
2
3
2
52
 
2) Calcule 
dx
x
x
 
2
83
 −
−
 
Fazendo a divisão indicada, temos : 
0 
84
84 
42x-
82x 
42 x2x-
2 8- x
2
2
223
3
+−
−
+
−
+++
−
x
x
x
xx
x
 

 
42
2
8 2
3
++=
−
−
xx
x
x
, pois 
8)42).(2( 32 −=++− xxxx
 
Assim: 
 
    +++=+++=++=++=−
−
kxx
x
kx
xx
dxdxxdxxdxxxdx
x
x4
3
4
2
2
3
 14 2 ]42[ 
2
8 2
323
22
3 
 
Método da Substituição ou Mudança de Variável para integração 
 
Muitas vezes a simples identificação das funções permite fazer a substituição 
mentalmente; na mudança de variável, no entanto, escrevemos os cálculos 
intermediários. 
O papel da substituição na integração é comparável ao da Regra da Cadeia 
na diferenciação. Lembre-se de que, se y = F(u) e u = g(x) são funções 
diferenciáveis, a Regra da Cadeia diz que 
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  )(')).(('))(( xgxgFxgF
dx
d
=
 
 
Da nossa definição de antiderivada, segue que 
.))(()(')).((' CxgFdxxgxgF +=
 
Enunciamos esse resultado no teorema abaixo. 
Teorema: (Antiderivada de uma Função Composta) Sejam f e g funções tais 
que fog e g’ são contínuas em um intervalo I. De F é uma antiderivada de f em I, 
então 
.))(()(')).(( CxgFdxxgxgf +=
 
 Existem diversas técnicas para aplicar a substituição, cada uma 
ligeiramente diferente da outra. O objetivo, no entanto, é o mesmo com qualquer 
técnica – estamos tentando encontrar uma antiderivada do integrando. 
 
 Observe que o teorema não diz como distinguir entre f(g(x)) e g’(x) no 
integrando. À medida que você adquire experiência em integração, sua 
habilidade em identificar as funções aumenta. É claro que familiaridade com 
derivadas é fundamental. 
 Os Exemplos a seguir mostram como aplicar o teorema diretamente, 
reconhecendo a presença de f(g(x)) e de g’(x) da função interna da composição. 
 
interna 
função 
CxgFdxxgxgf
 
 interna função externa
da Derivada função

+=

.))(()(')).((
 
 
OBS: Se u = g(x), escrevemos du = g’(x) dx e a integral no teorema fica na forma 
 
.)()()(')).(( CuF du ufdxxgxgf +== 
 
 Por exemplo ... Sabemos que a Regra Simples da Potência é dada por 
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C
n
x
dxx
n
n +
+
=
+
1
1 com n 

-1, usada quando a função é expressa como potência 
de x somente. 
 
 Vejamos outros tipos de funções: 
 Para calcular 
( ) + dxxx
32 12
 temos que encontrar f(x) tal que f’(x) = 2x.( 
x2 + 1 )3, daí : 
 
◙ 
( )  xxx
dx
d
2.)1.(41 32
42 +=+
 ( Regra da Cadeia ). 
 
◙ ( )
xx
x
dx
d
2.)1(
4
1 32
42
+=







 + ( Dividir ambos os membros por 4 ). 
 
◙ ( ) ( ) dxxxCx  +=+
+ 32
42
12
4
1 ( Integrando ). 
 
 Note 2x no integrando ele é exatamente ( x2 + 1 )’ . 
 
 Fazendo x2 + 1 = u, temos du = 2x dx, logo : 
 
( )   +===+ C
u
duudx
dx
du
udxxx
4
.1.2
4
3332
. 
 
 ◙ Daí a Regra Geral da Potência para u função diferenciável de x ser ... 
 
 
 ++
=
+
C
n
u
dx
dx
du
u
n
n
1
.
1 , com n 

- 1 . 
 
 
 
 
 
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Exemplos : Calcule as seguintes integrais indefinidas : 
 
a ) 
C
xu
duudxxdxx +
−
===−=− 
5
5)13(
5
5
43.4)13(4)13.(3
. 
 





==
−=
dxdu
dx
du
xu
.33
13 
 b)
C
xx
C
u
duudxxxxdxxxx +
+
=+==++=++ 
2
2)2(
2
2
)12().2()2).(12(
( )




+=+=
+=
dxxdux
dx
du
xxu
1212
2 
 c) 
Cx
x
C
u
duudxxxdxxx +−=
−
=+==−=− 
3)23(.
3
2
2
3
)23(
2
3
2
3
2
1
23.2
1
)23(23.23
2
3
 





==
−=
dxxdux
dx
du
xu
2323
23 
 
d)
C
x
C
u
C
u
duudxxxdx
x
x
+
−
=+
−
 =+
−
== −−=
−
− −−−
12
11
1
)4()21(
)21(
4
2
1
222
22
 





−=−=
+−=
xdxdux
dx
du
xu
44
12 2
 
 
Exercícios : Calcule as seguintes integrais indefinidas : 
 
1 ) 
( ) dxx + 2.21 4
 2 ) 
dxxx − 10.45
2 
 
3 ) 
dx
xx
x

−+
+
22 )32(
1
 4 ) 
dx
xx
x

+−
−
34
2
2
 
 
5 ) 
dxx + )4sen(
 6) 
dxxx + )3sec(
2
 
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7) 
dxxx cos.sen
2
 8) 
dxxx −
42 2
 
 
9) 

++ 1362 xx
dx
 10) 
dx
x
x

+
−
1
2
 
 
APLICAÇÕES 
 
Nos exemplos que se seguem a taxa de variação é conhecida e o objetivo 
consiste em calcular a expressão da própria grandeza. Como a taxa de variação 
é a derivada, calculamos sua expressão por integração. 
 
7.1. Crescimento Populacional 
Exemplo: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade 
variará segundo a taxa de 
t62 +
 pessoas por mês. A população atual é de 
5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses? 
Solução: 
Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a 
taxa de variação da população em relação ao tempo, ou seja, 
t
dt
dP
62 +=
 
Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de 
t62 +
, ou seja, 
 
  ++=+== ,42)t6(2dt )( 2
3
kttdt
dt
dP
tP
para alguma constante k. 
 
Para determinar k, usamos a informação de que a população atual (quando t = 
0) é de 5.000, ou seja: 
 
,000.54020000.5 2
3
=++= kk
 
logo 
000.542)( 2
3
++= tttP
 e a população daqui a 9 meses será: 
 
126.5000.59492)9( 2
3
=++=P
 
7.2. Economia, administração, ciências contábeis e engenharia de 
produção 
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Nas aplicações à economia, se conhecemos a função marginal então podemos 
usar a integração indefinida para determinar a função custo total, conforme 
ilustram os exemplos a seguir: 
 
Exemplos: 
1) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades 
é de 3q2 – 60q + 400 reais por unidade. O custo de produção das duas 
primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das 
cinco primeiras unidades? 
Solução: 
Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total c(q). 
Logo, 
 
c’(q) = 3q2 – 60q + 400 
e, portanto, c(q) deve ser a primitiva 
 
  ++−=+−== ,40030 )400603( )(')( 
232 kqqqdqqqdqqcqc
para alguma 
constante k. 
 
O valor de k é determinado com base no fato de que c (2) = 900. 
 
Em particular, 900 = (2)3 – 30(2)2 + 400(2) + k 

 k = 212 
 
Então, c(q) = q3 – 30q2 + 400q + 212 
 
e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de: 
 
 
C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = R$ 1.587,00 
2) Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de 
uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da 
produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a função custo e o custo de 
produção de 100 unidades? 
Solução: Seja C a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de 
C em relação a x, isto é: 
 
C ’ (x) = 30 – 0,02x 
Logo 
kdxxdxxC +=−= 
20,01x -30x C(x) )02,030( )( ' 
 
para algum k. 
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Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos: 
 
35 = 30 – 0,01 + k, ou k = 5,01 
 
Consequentemente 
C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01 
 
Em particular, o custo da produção de 100 unidades é 
 
C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01 
 
3) Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores 
estarão adquirindo F(x) = 5.000 + 60
x
 bicicletas por mês ao preço de 
P(x) = 80 + 3
x
 u.m. (unidades monetárias) por bicicleta. Qual éa receita 
total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante os 
próximos 16 meses? Resposta: R’ (x) = F(x).P(x) 

 R (x) = ... assim, R(x) 
= 7.267.840 
 
Solução: 
 
R’ (x) = F(x).P(x) 

 R’ (x) = [5000 + 60
x
] . [80 + 3
x
] 
 
R’ (x) = 400.000 + 15.000 
x
 + 4800
x
 + 180x 

 R’ (x) = 400.000 + 19.800
x
 + 180x 
 
Assim, 
 ++ dxxx )180800.19000.400(
= 400.000x+19.800
2
3
2
3
x +
2
180 2x
+k=400.000x + 
13.200 x 23 + 90x2 + k 
R(x) = 400.000 x + 13.200 x 23 + 90x2 (produção nula 

 k = 0) 
 
Logo, 
R(16) = 400.000 

 (16) + 13.200 

(16) 23 + 90 

 (16)2 

 R(16) = 6.400.000 + 
844.800 + 23.040 
 

R(16) = 7.267.840 unidades monetárias. 
 
 
 
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 13 
 
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS À ENGENHARIA DE 
PRODUÇÃO 
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de 
Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p. 
Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e 
da receita total representam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) 
e receita marginal (RMg). Conhecendo-se o custo marginal e a receita marginal, 
através da integração dessas funções, podemos obter o custo total e a receita 
total, ou seja, 
✓ Função custo total: 
= dxxCMgxC )()(
 
✓ Função receita total: 
= dxxRMgxR )()(
 
Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo 
total essa constante pode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. 
No caso do cálculo da receita total, como geralmente a receita total é zero 
quando o número de unidades produzidas é zero, este resultado pode ser usado 
para calcular a constante de integração. 
Exemplos ilustrativos: 
1) Se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 80 - x + x2. Determine a 
função receita total e a função demanda. 
Solução: 
Função receita total: 
k
xx
xdxxxdxxRMgxR ++−=−−==  32
80)80()()(
32
2
. 
Como, para x = 0, R(0) = 0, então k = 0. 
Portanto, 
.
32
80)(
32 xx
xxR +−=
 
Função demanda: 
.
32
8032
80
)( 2
32
xx
x
xx
x
x
xR
p +−=
+−
== 
2) Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 
6x2 - 2x + 200 / unidade. O custo para produzir as três primeiras unidades 
foi R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades. 
Solução: 
Função custo total: 
kxxxkx
xx
dxxxdxxCMgxC ++−=++−=+−==  20022002
2
3
6
)20026()()( 23
23
2
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 14 
 
Para 
.555120032003321200)3(,3 23 ==++−== kkCx
 
Portanto, a função custo total é: 
kxxxxC ++−= 2002)( 23
 
Custo para produzir 
44554551020010102)10(,10 23 =++−== Cx
 
3) A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 20 + 
40x - 6x2. O custo fixo é 60. Determine: (a) a função custo total; (b) a função 
custo médio; (c) a função custo variável. 
Solução: 
 
4) Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 25 - 5x. 
Determine: (a) a receita total; (b) a função demanda. 
Solução: 
 
5) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o 
custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. 
Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. 
Solução: 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 15 
 
 
6) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por 
RMg(x) = 0,75x2-20x+10. 
Solução: 
 
Teoria e Exemplos - Adaptados de: HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar João. 
Matemática aplicada: Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo: 
Saraiva, 1999. 
 Análise Marginal 
Frequentemente, é necessário analisar uma variável econômica através do 
comportamento de sua derivada, procedimento denominado análise marginal. 
Em seção anterior, discutiu-se questões desta natureza para variáveis 
econômicas como custo total e receita total gerando respectivamente custo e 
receita marginais. Reciprocamente, em outros problemas, o que se procura é 
a recuperação de uma função total a partir de sua derivada, ou seja, de sua 
função marginal. Enquanto no primeiro caso utiliza-se o cálculo diferencial, no 
segundo recorre-se ao cálculo integral. 
Embora, anteriormente, tenha enfatizado particularmente custos e receitas 
marginais, cabe ressaltar que se pode definir variáveis marginais – e, 
reciprocamente, resgatar as variáveis totais correspondentes – para qualquer 
variável econômica. 
Por exemplo, variáveis marginais como imposto marginal, produtividade 
marginal, propensão marginal a consumir associam-se respectivamente a 
dx
dC
dx
dP
dx
dI
,,
 onde I representa o imposto total produzido pela venda de x 
mercadorias, P a produtividade em função do número de trabalhadores ou 
máquinas x e C o consumo total como função da renda nacional total x. Pode-
se ainda pensar em demanda marginal, eficiência marginal de investimentos, 
etc. Apresentaremos neste item alguns casos envolvendo variáveis econômicas 
marginais e totais e como proceder para resolver problemas deste tipo. 
Exemplos: 
1) Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à 
produção diária de automóveis P seja dada por 
x
dx
dP
1,02 −=
, onde x 
representa o número de vendedores. Supondo que a empresa possui 15 
vendedores, quantos vendedores são necessários contratar para atingir uma 
produção de 20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem 
empregados vendedores. 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 16 
 
Solução: 
Se 
2
*2
05,02
2
1,0
2)1,02()1,02(1,02 xxk
x
xdxxPdxxdPx
dx
dP
−=+−=−=−=−= 
 
* A produtividade é nula sem empregados vendedores. 
Se 
2004004002005,0205,022020 222 ==+−=−−−== xxxxxxxP
 
Como x representa o número de empregados, a empresa necessita contratar 
mais 5 vendedores. 
 
2) Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) 
em relação ao número de empregados é dada por dP/dx = 8 – 0,06x, quantos 
empregados são necessários para produzir 148 carros por dia? Considere 
que sem empregados não há produção. Resposta: 20 operários 
 
Sabemos que o lucro (L) é igual a receita (R) menos os custos (C), ou seja: L = 
R – C. Logo, seu valor será máximo quando a derivada desta diferença anular-
se, ou ainda, quando a receita marginal (Rm) igualar-se ao custo marginal (Cm). 
 
Justificativa matemática: 
mmmm CRCRLCRL ==−=−= 0'
* 
* Esta é a condição necessária de otimalidade (anulamento da derivada de 
primeira ordem). A condição suficiente é que, também 
,0'' L
 no ponto ótimo, o 
que, em geral pode ser facilmente verificado. 
Supondo que o lucro máximo ocorra quando a quantidade for qmáx e tendo em 
vista que o lucro é nulo se a quantidade é nula (constante de integração é nula, 
k = 0), temos: 
 −=−=−=−=
máxmáxmáx q
mmmáx
q
mm
L
mmmm dxCRLdxCRdLdxCRdLCR
dx
dL
000
)()()(
 
que representa a área abaixo do gráfico referente à receita marginal e acima do 
gráfico do custo marginal. 
Exemplos: 
1) Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. 
Assumindo que pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo 
marginal Cm (em mil reais) para empregar vendedores adicionais expressa-
se como função do número de vendedores adicionais x segundo o expressão 
xCm
5
48
=
 e a receita marginal Rm (em mil reais) propiciada por tais 
vendedores por 
4042 ++= xRm
, calcule o número de vendedores 
adicionaisnecessários a maximizar o lucro proveniente de tal contratação, 
bem como o valor do lucro máximo correspondente. 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 17 
 
Solução: 
A situação ótima mencionada ocorre quando Rm= Cm, ou seja, 
++++=++++=++==

104041
5
12
40440444
5
48
4042
5
48 4*
xxxxxxxxCR mm
 
+=+−+=−+++= )404(253025770494045557540455512 2
*
xxxxxxxx
 
* Elevando ao quadrado ambos os membros da equação. 
76,2~
49
135
1502025870491000100302577049 22 ====+−+=+− xexxxxxx
 
Retornando à equação original, verifica-se que 2,76 não é raiz (solução) 
enquanto 15 sim. Logo, o número de vendedores adicionais que maximiza o 
lucro associado é x = 15. 
De acordo com a expressão apresentada anteriormente, tal lucro será dado por: 
 =





−++=−=
15
00 5
48
4042)( dxxxLdxCRL máx
q
mmmáx
máx
 
50,34~0
6
64000
0120
6
1000
30
2
3
6,9
)6,9(
2
3
4
)404(
2
15
0
2
3
2
3
=+−−−+=











−

+
+=
xx
x 
Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro 
máximo de 34,50 mil reais. 
 
2) Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x 
respectivamente por Rm = 44 - 9x e Cm = 20 - 7x + 2x
2 encontre a quantidade 
produzida que maximiza o lucro assim como o lucro total correspondente sob 
condições de competição perfeita. Resposta: x=3 => L=45. 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de 
Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p. 
1) Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 
9x2 - 4x + 300 /unidade. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi 
R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades. 
Resposta: R$ 2.009,00 
2) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por 
RMg(x) = 0,6x2-10x+50. Resposta: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x 
3) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o 
custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. 
Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. 
Resposta: C(x) = x3 – 6x2 + 36x + 50 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 18 
 
4) Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 40 – 6x. 
Determine: (a) a receita total; (b) a função demanda. Resposta: (a) R(x) = 
40x – 3x2 (b) p = 40 – 3x; 
5) A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 30 + 
90x - 3x2. O custo fixo é 80. Determine: (a) a função custo total; (b) a função 
custo médio; (c) a função custo médio variável. Resposta: (a) C(x) = 30x + 
45x2 – x3 + 80; (b) CM(x) = 30 + 45x – x2 + 80/x; (c) Cv(x) = 45x – 
x2 + 80/x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 19 
 
ANEXOS 
 
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS 
 
Nesta tabela, f, g, u e v são funções deriváveis de x, e k, a e n são constantes 
 
1) [ k ] ’ = 0 
 
2) [ x ] ’ = 1 
 
3) [ k . f ] ’ = k. f ’ 
 
4) [ f  g] ’ = f ’  g ’ (sendo válida para mais de duas funções) 
 
5) [ f . g] ’ = f ’ . g + f . g ’ 
 
6) [ x n ] ’ = n . x n -1 
 
7) [ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’ 
 
8) 
2
' 
g
' g f - g ' f
 

=





g
f 
 
9) [ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a  1) 
 
10) [ e u ] ’ = u ' . eu 
 
11) [ 
u
alog
 ] ’ = 
aln u 
' 

u
 (para a > 0 e a  1e u > 0) 
 
12) [
u ln
] ’ = 
u
' u
 (para u > 0) 
 
13) [ 
vu
] ’ = 
' vu ln u 'u u v v1-v +
(para u > 0) 
 
14) [ sen u ] ’ = u ’ . cos u 
 
15) [ cos u ] ’ = - u ’ . sen u 
 
16) [ tg u ] ’ = u ’ . sec2 u 
 
17) [ cotg u ] ’ = - u ’ . cossec2 u 
 
18) [ sec u ] ’ = u ’ . sec u . tg u 
 
19) [ cossec u ] ’ = - u ’ . cossec u . cotg u 
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 20 
 
20) [ arc sen u ] ’ = u'
1 - u 2
 
 
21) [ arc tg u ] ’ = 
2u + 1
' u
 
 
22) [ arc cos u ] ’ = 
2u - 1
'u
−
 
 
23) [ arc cotg u ] ’ = 
2u + 1
'u
−
 
 
24) [ arc sec u ] ’ = 
1 - u u
'
2
u
 
 
25) [ arc cossec u ] ’ = 
 
1 - u u
'
 2
−
u
 
 
 
PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
(Neste quadro, u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado, k, a, m e n 
são constantes.) 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
1. 
ky =
 com 
k
 
0'=y
 
2. 
xy =
 
1'=y
 
3. 
uky =
 com 
k
 
'' uky =
 
4. 
vuy =
 
''' vuy =
 
5. 
muuuuy = ...321
 com 
*Nm
 
 
'...'''' 321 muuuuy =
 
6. 
nuy =
 com 
n
 
'' 1 uuny n = −
 
7. 
vuy =
 
''' vuvuy +=
 
8. 
muuuuy = ...321
 com 
*Nm
 '.........'...'' 321321321 mmm uuuuuuuuuuuuy +++= 
9. 
v
u
y =
 
)0( v
 
2
''
' 
v
vuvu
y
−
=
 
10. 
uay =
 com 
)10(  aea
 
aauy u ln'' =
 
11. 
uey =
 
ueuy = ''
 
12. 
u
alogy =
 com 
)0,10(  uaea
 
 
aln u
' 
 ' 

=
u
y
 
13. 
uy ln=
 com 
0)(u 
 
 
u
' u
 ' y =
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 21 
 
14. 
vuy =
 com 
0)(u 
 
u ln vu ' v 'u 1-vu v ' +=y
 
15. 
useny =
 
uuy cos'' =
 
16. 
uy cos=
 
usenuy −= ''
 
17. 
utgy =
 
uuy 2sec'' =
 
18. 
ugy cot=
 
uuy 2seccos'' −=
 
19. 
uy sec=
 
utguuy = sec''
 
20. 
uy seccos=
 
uguuy cotseccos'' −=
 
21. 
usenarcy =
 
 
 u - 1
'
'
2
u
y =
 
22. 
uarcy cos=
 
 
 u - 1
'
'
2
u
y −=
 
23. 
utgarcy =
 
 
2u + 1
' 
'
u
y =
 
 
 
• Definição de Derivada geral: 
x
xfxxf
x
y
dx
df
dx
dy
xfy
xx 
−+
=


====
→→
)()(
limlim)( ' ' 
00
 
 
• Definição de Derivada em um ponto p: 
px
)p(f)x(f
lim (p)' f
px −
−
=
→
 
 
• Velocidade Instantânea: 
)(' lim
0
ts
dt
ds
t
s
v
t
i ==


=
→
 
 
• Aceleração Instantânea: 
)('' (t)' lim
0
tsv
dt
dv
t
v
a
t
i ===


=
→
 
 
• Equação da reta tangente: 
)()(')( pxpfpfy −=−
 Normal: 
)(
)('
1
)( px
pf
pfy −−=−
 
 
 
FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS 
 
1) 
 = dx )(kdx )( xfxfk
 
2) 
 = dx )(dx )(dx )]()([ xgxfxgxf
 (sendo válida para mais de duas 
funções) 
3) 
k
n
nx
x +
+
+
= 1
1
dx n
 (para 
1−n
) 
4) 
k
x
x |x| lndx 
1
dx 1 - +==
 (para 
0x
) 
• Regra da Cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dy
=
 
• Derivada da função 
inversa: 
dx
dy
dy
dx
= 1
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 22 
 
5) 





=+
+
+
+
=
-1n se , |x|ln 
-1n se ,
1
1
dx n
k
k
n
nx
x
 (resumindo as fórmulas (3) e (4)) 
6) 
kx += dx 
 (caso particular da fórmula (3)) 
7) 
k
u
u
 |u| lndu 
' 
+=
 (extensão da fórmula (4) 
 += kuduu
ln
1
) 
8) 
kee x += dx 
x
 ou 
kedue uu +=
 
9) 
k
e
e += 


.x
.x dx 
 (consequência da fórmula (8))10) 
k
a
a += a ln
dx 
x
x
( caso geral da fórmula (8)) 
11) 
kee u += du u'
u
 (extensão da fórmula (8)) 
12) 
ku += cos- duu sen 
 
13) 
ku += sen duu cos
 
14) 
k |u cos|ln-duu tg +=
 
15) 
k |u sen |ln dxu cotg +=
 
16) 
k u tgduu sec2 +=
 
17) 
k u cotg-duu cossec2 +=
 
18) 
k u sec dxu tgu sec +=
 
19) 
k ucossec-duu cotgu cossec +=
 
20) 
k
u
 u tgarc du 
1
1
2
+=
+
 
21) 
k
au
 
a
u
 tgarc 
1
du 
a
1
22
+=
+
 (extensão da fórmula (20)) 
22) 
k
u
 usen arc du 
1
1
2
+=
−

 
23) 
k
u
 
a
u
sen arc du 
a
1
22
+=
−

(extensão da fórmula (22)) 
24) 
kaxdx
ax
+−=
−
||ln
1
 
25) 
 ++= kutguduu |sec|lnsec
 
26) 
 du sec
3 u
=
  kutguutgu +++ | sec|ln sec
2
1
 
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 23 
 
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS 
 
1) 
 = du )(du )( ufkufk
 
2) 
 = du )(du )(du )]()([ ugufuguf
 (sendo válida para mais de duas 
funções) 
3) 
k
n
nu
u +
+
+
= 1
1
du n
 (para 
1−n
) 
4) 
k
u
u |u| lndu 
1
du 1 - +==
 (para 
0u
) 
5) 





=+
+
+
+
=
-1n se , |u|ln 
-1n se ,
1
1
du n
k
k
n
nu
u
 (resumindo as fórmulas (3) e (4)) 
6) 
kedue uu +=
 
7) 
k
a
a += a ln
du 
u
u
 
8) 
ku += cos- duu sen 
 
9) 
ku += sen duu cos
 
10) 
k |u cos|ln-duu tg +=
 
11) 
k |u sen |ln dxu cotg +=
 
12) 
k u tgduu sec2 +=
 
13) 
k u cotg-duu cossec2 +=
 
14) 
k u sec dxu tgu sec +=
 
15) 
k ucossec-duu cotgu cossec +=
 
16) 
k
u
 u tgarc du 
1
1
2
+=
+
 e 
k
u
 
a
u
 tgarc 
a
1
du 
a
1
22
+





=
+
 
17) 
k
u
 usen arc du 
1
1
2
+=
−

 e 
k
u
 
a
u
sen arc du 
a
1
22
+





=
−

 
18) 
 ++= kutguduu |sec|lnsec
 e 
 +++= kutguutguduu ]|sec|ln[sec2
1
sec3
 
19) 
 = du v- vu dvu
 (integração por partes) 
20) 
kaxdx
ax
+−=
−
||ln
1
 
 
• Algumas aplicações das integrais: 
 
Unama – Engenharia de Produção – Prof Me Dioniso Sá 24 
 








+=+=
==
==



dy )]('[1oudx )]('[1ArcodeoCompriment
dy )]([Voudx )]([VVolume
dy )(oudx )(Área
22
22
d
c
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
yfCxfC
yfxf
yfAxfA

 
 
• 
1cos22 =+ sen 
 2cos
2
1
2
1
cos2 +=
 
 22 sec1 =+ tg
 
 
 
DEFINIÇÕES E FORMULÁRIO DE REVISÃO 
 
• Definição de Derivada geral: 
x
xfxxf
x
y
dx
df
dx
dy
xfy
xx 
−+
=


====
→→
)()(
limlim)( ' ' 
00
 
 
 
• Definição de Derivada em um ponto p: 
px
)p(f)x(f
lim (p)' f
px −
−
=
→
 
 
1) Equação da Reta Tangente: 
p)-(x (p) ' )( =− fpfy
 
 
• Equação da Reta Normal: 
)(
)(p' 
1
)( px
f
pfy −−=−
 
 
• Velocidade Instantânea: 
)(' lim
0
ts
dt
ds
t
s
v
t
i ==


=
→
 
 
• Aceleração Instantânea: 
)('' (t)' lim
0
tsv
dt
dv
t
v
a
t
i ===


=
→
 
 
• Variação da Função: 






=

0 (x) ' f edecrescent Função
0 (x) ' f constante Função
0 (x) ' f crescente Função
 
 
• Concavidade da Função: 





0 (x) '' f baixo para Voltada
0 (x) '' f cima para Voltada 
 
• Ponto de máximo local: 
0)(''0)(' = xfexf
 
 
• Ponto de mínimo local: 
0)(''0)(' = xfexf
 
 
• Ponto de inflexão: 
0)('''0)('' = xfexf
 
 
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• Regra da Cadeia: ( ) ( )




=
=
dx
du
du
dy
dx
dy
xgxgfxgf )(')(']')([ 
 
• Regra de L’Hospital: 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
0
0
xg
xf
xg
xf
px
ou
px →


→
=
 
 
• Derivada da função inversa: 
dy
dxdx
dy 1
=
 
 
• Derivação Implícita: 
dy
dF
dx
dF
dx
dy
yxF
−
== 0),( 
 
• Primitivas ou Antiderivadas: 
• 
 =+= )( f(x)(x) ' Fk F(x) dx )( fDomxxf
 
 
• Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): 
)()()]([ )( aFbFxFdxxf ba
b
a
−==
 
onde 
bxaxfxF = ),()('
 
 
 
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície 
limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b. 
=
b
a
dxxf )(Área
 
 
• Integrais aplicações:









=
==
==
==



FerraudoeRighettoVer
xf
tvd
xfA
b
a
b
a
b
a
Revolução de Superfície da Área
dx )]([VVolume
dt )(Distância
dx )(Área
2 
 
• Aplicação Física: 




==
==


)( ' )( pois ,dt )()(
)( ' )( pois ,dt )()(
tvtatatv
tstvtvts 
Nota: As constantes serão determinadas pelas condições iniciais. 
 
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• Integrais por partes:






=
=


du v- vu dvu
ou
dx g(x)(x)'f - g(x) f(x) dx (x)'gf(x)
 
 
• Integração por frações parciais: Seja 
 −−
dx
xx
xP
)()(
)(

, com 
 
 e 
P(x) um polinômio. Então: 
 
1) Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de 
P < 2), então: 
)()()()(
)(
 −+−=−− x
B
x
A
xx
xP
 
 e, assim, 
 −−
dx
xx
xP
)()(
)(

= 
kxBxA ||ln||ln +−+−  
 
Resumindo: Com 
 nm,,,, 
, temos: 
 
kxBxAdx
x
B
dx
x
A
dx
xx
nmx
+−+−=
−
+
−
=
−−
+
 ||ln||ln)()(

 
 
2) Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador, precisamos antes fazer 
a divisão. 
 
• ALGUMAS FÓRMULAS ÚTEIS EM CIRCUITOS E MEDIDAS: 
 
 TENSÃO CORRENTE POTÊNCIA 
 
RESISTÊNCIA 
iRv =
 
R
v
i =
 Riivp == 2
 
 
INDUTÂNCIA 
dt
di
Lv =
 
= dtvL
i
1
 
dt
di
iLivp ==
 
 
CAPACITÂNCIA = dtiCv
1
 
dt
dv
Ci =
 
dt
dv
vCivp ==
 
 
• POTÊNCIA MÉDIA: 
=
T
dtp
T
P
0
1
 onde T é o período e 


2
1
==
T
f
 
 
• ENERGIA: 
=
2
1
t
t
dtpW
 ou 
T
tW
P

=
 
 
• ALGUMAS APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL À 
FÍSICA 
 
tvss
tt
ss
t
s
v
t
+=
−
−
=


=
=
0
0
0
0
0
 e 
tavv
tt
vv
t
v
a
t
+=
−
−
=


=
=
0
0
0
0
0
 
 
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 Se 
tavv += 0
 e em 
,0=t
 temos 
,0ss =
 então: 
 
2
00
2
00
2
1
2
1
)(
0
tatvsskattvdttavs
sk
++=++=+=
=

 
 
 
- SÉRIE DE TAYLOR: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0  
I. O polinômio 
 
nn xxxf
n
xxxfxxxfxxxfxfxP )()(
!
1
...)()('''
!3
1
)()(''
!2
1
)()(')()( 00
)(3
00
2
00000 −++−+−+−+=
 
 
denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x0. 
 
 
• Definição de limites: 
 −−==
→
|)(|0||0/)(,0)(lim
px
LxfpxseLxf
 
 
• Limites especiais: 1) 
1lim
0
=
→ x
xsen
x
 2) 
e
x
x
x
=




+
+→
1
1lim
 

 
e
x
x
x
=





+
−→
1
1lim
 e 
( ) ex x
x
=+
→
1
0
1lim
 
 
• CONTINUIDADE: f é contínua em x = p 
)()(lim pfxf
px
=
→
 
 
• FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, 
com a  0 
 
1) 
 
2
 x: temos,4b doconsideran e 0 22
a
b
cacxbxaSe

−
=−==++
 
2) 
xx
xx
: temos0 
21
21
2






−=+
=
=++
a
b
a
c
cxbxaSe 
 
3) 
)()( 21
2 xxxxacxbxa −−=++
 
 
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 
 
2
 x x
 
2
x 21V
+
=

−=
a
b
e 
a

−=
4
yV
 
 
5) Decomposição de polinômios: 
)(...)()()()( 321 nn rxrxrxrxaxP −−−−=
 
 
6) Fatorações especiais: 
)...()( 122321 −−−−− +++++−=− nnnnnnn aaxaxaxxaxax
 
 
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• MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: 



−

=
0 xse x,
0 x se x,
 || x
 
 
• SOMATÓRIO: 
n
n
i
i xxxx +++=
=
...21
1
 
 
• GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 Prisma: 




=
+=
AlturaBasedaÁreaVolume
BasedaÁreaLateralÁreaTotalÁrea 2 
 
 Cilindro: 





=
+=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
hrLateralÁrearBaseÁrea
2
2
;2
2;


 
 
 Cone: 







=
+=
==
hrVolume
LateralÁreaBaseÁreaTotalÁrea
grLateralÁrearBaseÁrea
2
2
3
1
;
;


 
 
 Esfera: 





=
=
3
2
3
4
4
rVolume
rÁrea

 
 
 
• FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
 1a 0 a ay x = e,
 
 
 
• Propriedades das potências: 
 
1) 

n termos
 x ... x = xxn
 2) 
nmnm xxx =+
 3) 
 
n
m
nm
x
x
x =−
 
 
4) 
 
1
n
n
x
x =−
 5) 
nmm xx = )( n
 6) nmn m xx = 
 
7) 
)0(10 = aa
 
 
• FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 











+==
=
+→
..2,7182818.
1
1lim e :onde ,log x ln
,log
x
x
x
e
x
a
x
0 x e 1a e 0 a y
 
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• Propriedades logarítmicas: 
1) 
( ) ( ) ( )B log A log BA log aaa +=
 2) 
( ) ( )B log A log 
B
A 
 log aaa −=





 
 
2) 
( ) ( ) A log n A log n aa =
 4) 
base) de mudança como (conhecida 
B log
A log
 log
a
a=A
B
 
 
5) 
xa
x
a =log
 e por consequência 
xe x =ln
 
 
 
• GEOMETRIA ANALÍTICA: 
 
1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus 
coeficientes angulares forem iguais, isto é: 
 
sr mmsr =//
 
 
2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto 
de seus coeficientes angulares for igual a menos um, isto é: 
 
1 −=⊥ sr mmsr
 ou 
r
s
m
msr
1
 −=⊥
 
 
 
• A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r 
é dado por: 
222 )()( ryyxx cc =−+−
. 
 
• Considerando a circunferência com centro na origem, 
temos:
222 )0()0( ryx =−+−
 
 222 ryx =+
. 
 
 
 
 
2) Equação fundamental da reta: 
)x-(x p=− myy p
, onde 
x
y
tgm


== 
22 xry −=
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TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas 
Consequências: 
 
1) 
hip
co
hipotenusa
oposto cateto
==sen
 2) 
hip
ca
hipotenusa
adjacente cateto
cos ==
 
 
3) 
ca
co
adjacente cateto
oposto cateto
==tg
 ou 



cos
sen
tg =
 4) 



sen
g
cos
cot =
 ou 


tg
g
1
cot =
 
 
5) 


cos
1
sec =
 6)


sen
1
 cossec =
 
 
7) 
1 cos 22 =+ sen 8)  22 s tg 1 ec=+ 
 
9) 
 22 secctg1 osco =+
 
 
10) Soma de arcos: 







+=−
−=+
−=−
+=+
bsen asen b cos a cos)(cos
bsen asen b cos a cos)(cos
a cosbsen b cos a )(
a cosbsen b cos a )(
ba
ba
senbasen
senbasen
 
 
11) Arcos duplos: 



=
−=


cossen2 2
 cos 2cos 22
sen
sen
 
 
 
12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 




=−=−
=+


2222
22
cos1cos1
1cos
senesen
sen 
 
13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 






−=
+=


2cos
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
cos
2
2
sen
 
 
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14) Transformação de soma em produto: 


















 −





 +
−=−





 −





 +
=+





 +





 −
=−





 −





 +
=+
2
 
2
 2coscos
2
 cos 
2
 cos2coscos
 
2
 cos 
2
 2
 
2
 cos 
2
 2
qp
sen
qp
senqp
qpqp
qp
qpqp
senqsenpsen
qpqp
senqsenpsen
 
 
 
15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: 





−+=
==
Acbcba
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
ˆcos2
ˆˆ
222
