SOLUCAO P4-PROBEST_2014-2

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P4– Probabilidade e Estatística – 2014.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza e Alexandre Street 
 
Problema 1 (0.8 pt) 
a) (0.4 pt) Em estatística o que quer dizer “p valor” ou “p-value”? Dê um exemplo e use um 
desenho para auxiliar a explicação. 
SOLUÇÃO 
 
- Uma outra forma para realizar o teste de hipótese é através do “p value”. 
 
- O “p valor” (p-value) indica o menor nível de significância que levaria à rejeição da hipótese 
nula. 
- A hipótese nula é rejeitada se essa probabilidade (“p value”) for menor que o nível de 
significância definido para o teste. 
- Por exemplo, se o p-value é 0.04, a hipótese H0 seria rejeitada com nível 5%, mas não com 
nível 1%. 
 Área de aceitação 
 Área de rejeição 
 
 
 
 
 
05,0
 
01,0
 
 
 
 
 
 0,04 = “p-value” 
 
b) (0.4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=7 e DP(X)=4, onde DP(X) é o desvio 
padrão de X. Se Y=2X-3, quem é E(Y) e DP(Y). 
 
SOLUÇÃO 
 E(Y) = E(2x-3) 
 = 2E(7) - E(3) 
 = 14- 3 
 E(y) = 11 
 
 DP(Y) = 
 Var(Y) = Var(2x-3) 
 = 4(Var(X))-Var(3) 
 = 4x16 
 DP(Y) = = 8 
 
 
 
 
 
Problema 2 (1.8 pts) Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar 
aumentar a produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um certo tipo 
de catalisador “A”, mas um outro tipo de catalisador “B” é aceitável. 
Faz-se uma experiência com nA = 16 medidas para o catalisador “A” e nB = 18 medidas para o 
catalisador “B”. 
As médias e os desvios padrões amostrais são: 
 atalisador “A” X A = 88,52 SA= 1,96 
 atalisador “B” B = 92,38 SB = 2,01 
Pede-se: 
Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois catalisadores (μA – 
μB) ao nível de confiança de 93%. Pelo resultado pode-se afirmar que a média do catalisador 
“A” é estatisticamente menor do que a média do catalisador “B”? Justifique sua resposta. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 atalisador “A” n= X A = 88,52 SA= 1,96 
 atalisador “B” m= B = 92,38 SB = 2,01 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
 
g = n + m – 2 = 32 
 
tabela “Z” 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 93% 
 
 Tabela “Z” - 
8114,1035,0 z 
 (1-α)=0,93 
 
 
 
 035,0
2

 
 812,1035,0 z
 
 
 
 















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC .;.. 222  
 
Interpolando conforme tabela: 
 
1,80 - 0,9641 
 Z - 0,965 
1,82 - 0,9656 
 
   
 9641,09656,0
80,182,1965,09656,0
82,1



x
Z 
 
   
 
812,182,1
0015,0
02,00006,0

x
Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 0,6826 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -5,097 ; -2,623 ] 
 
R.: Sim, ao nível de significancia de 93%, a média do catalizador A é estatisticamente menor 
do que a média do catalizador B. Note que este intervalo não inclue o zero, isso indica que 
existe diferença real na produção média usando os catalisadores A e B, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   





 







32
01,21796,115
.
18
1
16
1 22 xx
R
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
    RtYXRtYXRtYXIC nnn 2;12;12/;1 ;   
IC
    6826,0812,138,9252,882 xRzYXIC  
 
Problema 3 (2.1 pts) ) Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de 
tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modeladas por uma variável 
aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 25 conexões por hora. 
Pergunta-se: 
a) (0.7 pt) Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
b) (0.7 pt) Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 
minutos? 
 
 
c) (0.7 pt) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão 
ocorrer seja igual a 0,9. Lembre-se que a distribuição se refere ao tempo entre duas 
conexões, ou seja, o tempo em que o sistema não recebe nenhuma conexão. 
 
 
 
 
 
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
   
 
x
xu e
x
eduuxXxF
0
.. 1
0
.exp.Pr)( 
    %2,8082,0
1,0
.25exp.25
60
6
Pr
1,0
1,0.25.25.25 







 

 eeedxxX x
  %81,141481,0
60
2
60
3
.25exp.25
60
3
60
2
Pr
60
3
60
2
)
60
2
.(25)
60
3
.(25
.25 














 

 eeedxxX x
      90,0Pr1Pr10,0Pr  xXxXxX
    10,01
0
.exp.Pr)(
0
..  

x
xu e
x
eduuxXxF 
 
min25,000421,0
25
10536,0
90,0ln.90,0lnln90,010,01Pr ...

 
xhorax
xeeexX xxx 
)1(
25
11
)( horatE 

  %2,8082,0
6
.
60
25
exp.
60
25
6Pr
6
6.
60
25
.
60
25
.
60
25

















 


eeedxxX
x
 
Problema 4 (2.1 pts) A vazão instantânea de um rio (m3/s) em um determinado momento do 
mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância 
iguais a 64. Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos 
do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes 
questões: 
a) (0.7 pt) Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na 
cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea 
do mês mais úmido que não é excedido com 98% de probabilidade. Calcule este valor. 
 
Solução 
 
X ~ (64;82) 
 
Φ(Z) = 2% = 0,02 
 98% 
 
Z = 2,045 Φ(Z) 
 
 Z = 

X 
 X = (2,054 x 8) + 64 = 80,432 
 
 X = 80,432 m3/s Z 
 
Interpolando conforme tabela: 
 
2,04 - 0,9793 
 Z - 0,98 
2,06 - 0,9803 
 
   
 9793,09803,0
04,206,298,09803,0
06,2



x
Z 
 
   
 
054,206,2
001,0
02,00003,0



x
Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (0.7 pt) Calcule a probabilidade da vazão de um dado momento do mês de março 
apresentar valores entre 65 e 70 m3/seg. 
 
Solução 
X ~ (64;82)Pr(X<65) Pr(X<70) 
 Pr
)7065(  X
 = Pr 




 




8
6470
8
64
8
6465 X 
 
 = Pr 




 


8
6470
8
6465
Z 
 
 
 48 64 80 
65 70 
 =Pr(0,125<Z<0,75) 
 
 
Tabela N(0,1)-lado esquerdo 
 
 
 
Pela tabela Ф (0, 25) = 0,5498 
 
Pela tabela Ф (0,75) = 0,7734 
 
 Zo=0,125 0 Zo=0,75 
Pr (65<X<70) = 0,7734-0,5498 = 0.2236 = 22,36% 
 
 
Interpolando conforme tabela: Z=0,125 Interpolando conforme tabela: Z=0,75 
 
0,12 - 0,5478 0,74 - 0,7704 
0,125 - X 0,75 - X 
0,14 - 0,5557 0,76 - 0,7764 
 
   
 12,014,0
5478,05557,0125,014,0
5557,0



x
Z
 
   
 12,014,0
7704,07764,075,076,0
7764,0



x
Z
 
   
 
5498,05557,0
02,0
0079,0015,0

x
Z
 
   
 
7734,07764,0
02,0
006,001,0

x
X
 
 
 
 
 
 
 
c) (0.7 pt) Suponha que tenhamos uma amostra de 5 medições de vazões instantâneas dos 
meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser inferior a 69 m3/seg. 
 
Solução 
X ~ (64;82) 
 
 
X
 ~ NORMAL 






5
8
,64
2 
 
 
)69Pr( X
 
 Pr
)69( X
 = Pr 













5
8
6469
5
8
64X 
 
 = Pr 












5
8
6469
Z 
 = Pr  3975,1Z 
 
 = 0,9188 = 91,88% 
 
 Pr 
)69( X
 = 91,88% 
 
Interpolando conforme tabela: Z=1,3975 
 
1,38 - 0,9162 
1,3975 - X 
1,40 - 0,9192 
 
   
 38,140,1
9162,09192,03975,140,1
9192,0



x
X 
 
   
 
9188,0
02,0
003,00025,0
9192,0 
x
Z 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5( 1.8 pts) A incidência de Câncer no pulmão causado pela poluição produzida na 
combustão de carvão é de 1 caso por 1000 da população. Como informação adicional, sabe-
se que de cada 7 casos de incidência desse câncer, 4 são suaves e 3 são crônicos. 
Um novo instrumento detector desta doença está sendo testado. Sabe-se que este aparelho 
detecta o câncer no estado crônico com certeza (com probabilidade 1), detecta o câncer no 
estado suave com probabilidade de 0,6 e acusa a presença da doença mesmo quando esta 
não existe com probabilidade de 0,02. 
Para avaliar o desempenho deste aparelho na detecção correta da existência desta doença, 
pede-se: 
a) (0.9 pt) Através do desempenho relatado nos dados do enunciado para este aparelho, 
qual a probabilidade do aparelho acusar um câncer em um exame qualquer? 
b) (0.9 pt) Dado que o aparelho detectou o câncer, qual a probabilidade dele ter câncer 
crônico e a probabilidade de ter câncer suave? 
 
SOLUÇÃO 
Sejam os eventos: 
B1 – Câncer crônico 
B2 – Câncer suave 
B3 – Sem câncer 
A – Câncer detectado 
 
Dado: 
1 caso / 1000 na população 
7 casos : - 4 suaves 
 - 3 crônicos 
 
Pr(B1) – 3/7000 = 0,0004286 
Pr(B2) - 4/7000 = 0,0005714 
Pr(B3) - 6993/7000 = 0,999 
 
Pr(A│B1) = 1 
Pr(A│B2) = 0,6 
Pr(A│B3) = 0,02 
 
a) (0.9 pt) Através do desempenho relatado nos dados do enunciado para este 
aparelho, qual a probabilidade do aparelho acusar um câncer em um exame 
qualquer? 
 
A = 
  1BA   2BA  3BA
 
Pr(A) = 
  1Pr BA   2Pr BA  3Pr BA
 
Pr(A) = x Pr(
1B
) + x Pr(
2B
) + x Pr(
3B
) 
 
 Pr(A) = 






7000
3
1x
 






7000
4
6,0 x
 






7000
6993
02,0 x
 = 0,02075 = 2,075% 
 
 2|Pr BA 1|Pr BA  3|Pr BA
 
 
 
 
 
b) (0.9 pt) Dado que o aparelho detectou o câncer, qual a probabilidade dele ter câncer 
crônico e a probabilidade de ter câncer suave? 
 
 
 
 
 
 
- Câncer crônico (B1): 
 
 
- Câncer suave (B2): 
 
 
 
- Sem câncer (B3): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
   
   
   






 




k
j
k
j
RRS
RRS
RRS
SR
S
SR
SR
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
  %07,20207,0
02075,0
7000
3
1
|Pr 1 
x
AB
  %65,10165,0
02075,0
7000
4
6,0
|Pr 2 
x
AB
  %28,969628,0
02075,0
7000
6993
02,0
|Pr 3 
x
AB
 
 
 
Problema 6 ( 1.4 pts) Sejam e v.a.'s contínuas com: 
 
1- Densidade conjunta 
 
 
2- Densidade marginal de : 
 
 
3- Densidade marginal de Y: 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) (0.4 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
SOLUÇÃO 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
x
x
yx
x
xXYf



2
.3
..2
2
.3
)(
2
2
 

 





 





 

2
.2.3
2
..43
)(
2
2
xx
yxx
xXYf 

 
2.3
4.3
)(



x
yx
xXYf
 
 
b) (1.0 pt) Ache a Média e a Variância condicional de dado . 
SOLUÇÃO 
  dyxyfyxXYE ).(.
1
0

 , onde 
]1,0(
]1,0(


y
x
 
  dy
x
yx
yxXYE .
2.3
4.3
1
0
 








 

 
   dyyxy
x
xXYE ..4.3
2.3
1
1
0
 

 
 
 
1
0
32
3
.4
2
..3
2.3
1 yyx
x
xXYE 


 

  




 


6
8.9
2.3
1 x
x
xXYE
 
 
 
12.18
8.9



x
x
xXYE
 
 
1y0 e 1 x < 0 onde,..2.
2
3
),( 2  yxxyxf
 1 x < 0 onde,
2
3
)( 2  xxxf X
 1 x < 0 onde,
2
1
)(  yyfY
 
 
 
 
 
  dyxXYfyxYYE
y
y
).(.
1
0
22  


 , onde 
]1,0(
]1,0(


y
x
 
 
  dy
x
yx
yxXYE .
2343
1
0
22
 








 

 
    

  dyyxyx
xXYE .43
23
1
1
0
322
  


1
0
43
2
4
4
3
3
23
1 yxy
x
xXYE    1.
23
12 

 x
x
xXYE
 

 
 
23
12



x
x
xXYE
 
 
 
   22 )()( xXYExXYExXYVAR 
 , onde 
]1,0(
]1,0(


y
x
 
 
2
1218
89
23
1

















x
x
x
x
xXYVAR
 
 
 
Boa Sorte!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
 
 
 
 
Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2
* .1


Sn

s
s
Y
Xf
2
2

)1,0(~
)()(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x
Yx





)1,0(~0 N
n
s
x
Z


)1,0(~0 N
n
x
Z





t
ns
x
t 

 0 
2~
11
)(




yx nn
Yx
c
t
nn
S
yx
t
   
2
.1.1
22



yx
yyxx
c
nn
SnSn
S
 
 
Tabelas 
 
 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
μ X 
σ
Z