Aula remota- IC281 06-07-2021 (1)

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Introdução a Bioestatística 
 Aula remota (01/06/2021) 
● Estatística - é a ciência que tem por objetivo coletar dados, tabular, analisar e 
interpretar informações e delas extrair conclusões válidas para a tomar 
decisões. 
● Estatística descritiva- ramo da estatística que aplica várias técnicas (baseada 
na matemática) para descrever e sumarizar um conjunto de dados. 
● Estatística inferencial- aplica várias técnicas (baseada na matemática), a partir 
de uma amostra, para tirar conclusões sobre uma população. 
● Bioestatística - aplicação da estatística nos campos relacionados a Saúde, 
Biologia, Biotecnologia, entre outros. 
● População-conjunto de quaisquer elementos (valores, pessoas, objetos, etc... 
.). 
● Amostra- é um subconjunto de uma população. 
● Amostra aleatória- os elementos da população são escolhidos de tal forma 
que cada um deles tenha igual chance de fazer parte da amostra. 
● Amostra Aleatória Simples de n elementos – escolhe-se, de maneira que toda 
a amostra de tamanho n possível tenha a mesma chance de ser escolhida. 
● Média aritmética, variância e desvio padrão. 
Ex: 1,2, e 3; 𝑁𝑜𝑡𝑎çã𝑜: 𝑁 = 3 (𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜); 𝑛 = 3 (𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎) 
Média: 
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖
𝑁
= 
𝑋1+𝑋2+𝑋3
𝑁
= 
1+2+3
3
= 2 (População); 
Média: 
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖
𝑛
= 
𝑋1+𝑋2+𝑋3
𝑛
= 
1+2+3
3
= 2 (Amostra). 
Variância: média das distâncias de cada valor da série em relação à média do 
grupo. 
Variância: 
∑ (𝑋𝑖−2)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
= 
(1−2)2+(2−2)2+(3−2)2
3
= 0,67; 
Desvio padrão: √
∑ (𝑋𝑖−µ)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
= √0,67=0,82. 
Notação 
Variância populacional: 𝜎2 = 
∑ (𝑋𝑖−µ)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
=
∑ 𝑋𝑖
2𝑁
𝑖=1
𝑁
− µ2; 
Variância Amostral: 𝑆2 = 
∑ (𝑋𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
=
∑ 𝑋𝑖
2−
(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
𝑁
𝑖=1
𝑛−1
. 
 
Desvio padrão: raiz quadrada da variância. 
Desvio Padrão Populacional: 𝜎 = √
∑ (𝑋𝑖−µ)
2𝑁
𝑖=1
𝑁
= √
∑ 𝑋𝑖
2𝑁
𝑖=1
𝑁
− µ2; 
Desvio Padrão Amostral: 𝑆 = √
∑ (𝑋𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
=
√∑ 𝑋𝑖2−
(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
𝑁
𝑖=1
𝑛−1
 . 
 
Exercício de interpretação 1: Interpretar os resultados da pressão arterial 
sistólica e diastólica de 2 de dois grupos de atletas (A e B) após uma mesma 
prova de esforço. 
A: médias 12/8 e variâncias: 0,005/0,004 
B: médias 12/8 e variâncias: 17,08/ 15,09 
Exercício 2: Determinar o peso médio, a variância e o desvio padrão de uma 
amostra aleatória de 10 recém-nascidos, em uma maternidade. Pesos em 
quilogramas, como mostrado a seguir: 
3,95 3,30 4,40 3,78 3,45 3,88 4,36 3,85 3,75 4,18 
Média: 
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖
𝑛
= 
𝑋1+𝑋2+𝑋3+𝑋4+𝑋5+𝑋6+𝑋7+𝑋8+𝑋9+𝑋10
𝑛
= 
3,95+3,30+4,40+3,78+3,45+3,88+4,36+3,85+3,75+4,18
10
= 3,89 
𝑆2 = 
∑ (𝑋𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
=
∑ 𝑋𝑖
2−
(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
𝑁
𝑖=1
𝑛−1
=
152,46−
(38,90)2
10
9
= 0,13 
S=√
∑ (𝑋𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛−1
=
√∑ 𝑋𝑖2−
(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
𝑁
𝑖=1
𝑛−1
= √
152,46−
(38,90)2
10
9
= 0,36 
Usando o BioEstat: Abrir BioEstat ►Planilha (Dados ►inserir os dados por coluna 
usando o ponto no lugar da vírgula-marcar dados) ► clicar em Estatísticas ►clicar em 
Estatística Descritiva ►clicar em Dados Quantitativos ►Abre quadro (Seleção de 
amostra para estatísticas Descritivas-Colunas disponíveis 1 #1) ►clicar em >> ►clicar 
em Executar Estatística (abre quadro com as Estatísticas) ►Editar ►Copiar resultados. 
- 1 - 
Tamanho da amostra = 10 
Mínimo 3.3000 
Máximo 4.4000 
Amplitude Total 1.1000 
Mediana 3.8650 
Primeiro Quartil (25%) 3.7575 
Terceiro Quartil (75%) 4.1225 
Desvio Interquartílico 0.3650 
Média Aritmética 3.8900 
Variância 0.1271 
Desvio Padrão 0.3565 
Erro Padrão 0.1127 
Coeficiente de Variação 9.16% 
Assimetria (g1) -0.1031 
Curtose (g2) -0.5189 
Média Harmônica = 3.8601 
N (média harmônica) = 10 
Média Geométrica = 3.8751 
N (média geométrica) = 10 
Variância (geom.) = 1.0037 
Desvio Padrão (geom.) = 1.0970 
Exercício 3: Dado o seguinte conjunto de tempos de reação (em segundos) de 
seis indivíduos a um estímulo, 4 2 3 3 6 3. Calcular a média, mediana, moda, a 
variância e o desvio padrão. 
Aula remota (08/06/2021) 
●Estudo observacional- verificamos e medimos características específicas, não 
tentamos modificar os elementos a serem estudados. 
Ex 1: Local da floresta onde os pássaros se alimentam. 
Estação do 
ano 
Árvores Arbusto Chão Total 
Primavera 30 20 9 59 
Outono 13 22 26 61 
Total 43 42 35 120 
 
Perguntas: 
Dado que estamos na primavera, qual a proporção dos que se alimentam no 
chão? 
Dado que os pássaros se alimentam no arbusto, qual a proporção na primavera? 
 
●Estudo experimental- aplicamos determinado tratamento e passamos, então 
a observar seus efeitos sobre a variável dos elementos a serem estudados. 
Ex2: Comparação da eficácia de 4 variedades (tratamentos) de um medicamento 
A B C D 
31 24 59 54 
23 19 74 46 
22 42 43 61 
45 33 42 37 
49 33 57 52 
 
 
 
Perguntas: 
Neste caso, quais são as unidades amostrais? 
Quais seriam algumas variáveis de interesse? 
 
● Tipos de variáveis 
Qualitativa 
(classificação-
categorica) 
Quantitativa (númerica) 
Nominal: sexo, estado 
civil, tipo sanguíneo, 
etc... . 
Discreta: número de 
pessoas doentes, 
número de filhos, nºde 
pessoas que usam 
ortodôntico, etc... . 
Ordinal: nível de 
escolaridade, 
intensidade do exercício 
físico, estágio de uma 
doença, etc.. . 
Contínua: peso de uma 
pessoa, estatura, idade, 
etc,... . 
 
● Tabulação: 
Variável qualitativa: Distribuição do sexo com relação ao habito de fumar 
Sexo Fumantes Não 
fumantes 
Ex-fumantes Total 
Masculino 60 (60%) 40 (40%) 50 (50%) 150 (50%) 
Feminino 40 (40%) 60 (60%) 50 (50%) 150 (50%) 
Total 100 100 100 300 
Tipo de gráficos: colunas, barras e setores. 
Perguntas: 
Considerando o grupo Masculino, qual o percentual de não fumantes? 
Qual o percentual de fumantes do sexo Feminino? 
Exercício 1: Construir gráficos para representar a tabela de dupla entrada acima. 
 
 
Variável quantitativa discreta: Nº de filhos por família em 25 domicílios de certa 
localidade 
Nº de Filhos Frequência (ni) fi 
0 1 0,04 
1 4 0,16 
2 10 0,40 
3 6 0,24 
4 2 0,08 
5 2 0,08 
Total 25 1,00 
 
Exercício 2: Construir o gráfico em barras. Sugestão: Use o Bioestat. 
 
 
 
 
Variável quantitativa contínua: Distribuição de frequência das alturas, 
expressas, em centímetros, de 30 atletas do sexo masculino de uma 
Universidade. 
Classe(cm) xi ni fi Ni Fi 
162 a 167 164,5 4 0,13 4 0,13 
167 a 172 169,5 9 0,30 13 0,43 
172 a 177 174,5 8 0,27 21 0,70 
177 a 182 179,5 6 0,20 27 0,90 
182 a 187 185,5 3 0,10 30 1,00 
 
● xi é o ponto médio da i-ésima classe; é a média dos pontos extremos da classe; 
● n é quantidade total de observações; 
● ni é a quantidade de observações, ou frequência, da i-ésima classe ( que se 
supõe concentrada no respectivo ponto médio); 
● fi é a frequência relativa da classe, obtida dividindo-se ni por n; 
● Ni é a frequência acumulada até a i-ésima classe, e indica a quantidade de 
observações inferiores ao limite superior da classe; é obtida somando-se os 
valores das frequências observadas; 
● Fi é a frequência relativa acumulada, obtida dividindo-se Ni pelo total de 
observações. 
Histograma e polígono de frequência: é um conjunto de retângulos com bases 
sobre um eixo dividido de acordo com os tamanhos de classe, centros nos 
pontos médios 
Exercício 3: Construir o Histograma das alturas em centímetros. 
168 172 170 181 169 173 164 175 182 177 176 173 170 186 183 170 168 166 
169 180 175 164 181 179 172 169 174 171 178 166 
Procedimento: Calcular a amplitude total: diferença entre o maior e o menor 
valor; dividi-la pelo nº de classes (neste caso, escolher entre 5 e 10 classes); o 
valor encontrado será o comprimento da classe, o qual deverá ser somado ao 
limite inferior da série para construção da 1ª classe, e assim por diante. Então, 
a 1ª classe se inicia nolimite inferior até o valor encontrado após a soma acima, 
exclusive. Sugiro, também, a construção deste histograma pelo Bioestat: clicar 
em gráficos e histograma. 
Usando o BioEstat: 
Abrir BioEstat ►Planilha (Dados ►inserir os dados por coluna-marcar dados) ► clicar 
em Gráficos ►clicar em Histograma ► Seleção de amostras para gráfico Histograma ( 
colunas disponíveis=1) ► clicar >> ► clicar em Executar Estatística (os dados estão 
distribuídos em intervalos de classe ►Não) ►Aparece um quadro: Especificação das 
classes preencha e clique em confirmar ) ►Histograma aparece ► clicar em Editar 
►Copiar (metafile). 
 
 
 
Medidas associadas a variáveis quantitativas e gráfico Box Plot 
Percentis- divide uma série de dados em 100 grupos (1% cada grupo). 
Posição (ordem) do percentil de ordem 𝐿 = (
𝐾
100
) × 𝑛 + 0,5 
Ex: 1 2 3 4 5 
𝐾 = 50►L = (
50
100
) × 5 + 0,5 = 3(3º 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎)►𝑃50
= 3(𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 50 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎); 𝑑𝑎í 𝑃25 = 1,75 𝑒 𝑃75
= 4,25. 
OBS: 𝑃25 = 1º 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙; 𝑃50 = 2º 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎; 𝑃75 = 3º 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 
 
Limites de discrepância: 
𝑃25 − 1,5(𝑃75 − 𝑃25); 𝑃75 + 1,5(𝑃75 − 𝑃25). 
Valores discrepantes ou outliers: 
< 𝑃25 − 1,5(𝑃75 − 𝑃25); > 𝑃75 + 1,5(𝑃75 − 𝑃25) 
 
 
 
 
 25% 25% 25% 25% 
 
 1º Q mediana 3º Q 
Diagrama em caixas (Box Plot): 
Ex 1: 1 2 3 4 5 
Abrir BioEstat ►Planilha (Dados ►inserir os dados por coluna-marcar dados) ►clicar 
em Gráficos ►clicar em Box-Plot: mediana e quartis ou média e desvios ►Seleção de 
amostras para gráfico Box-Plot (colunas disponíveis=1) ►clicar >> ►clicar em Executar 
Estatística ► Gráfico Box-Plot aparece ►clicar em Editar ►Copiar (metafile). 
 
Para revelar tendências centrais, dispersão, tipo de distribuição e a presença de 
outliers (valores extremos). 
Exercício 4: Usando o Box Plot comparar a eficácia das 4 variedades 
(tratamentos) Ex 2. Calcular a variância entre médias (MSR) e a variância total 
(MSE). Calcula F=MSR/MSE. 
Comentar: 
Assimetria: 
 �̅� < 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 < 𝑚𝑜𝑑𝑎► 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
�̅� = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑚𝑜𝑑𝑎 ►𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 
 𝑚𝑜𝑑𝑎 < 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 < �̅�► 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 assimétrica negativa simétrica assimétrica positiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendência de simetria 
 
Gráfico ramo – e – folhas: 
Exercício 5: A ingestão diária média, per capita, em gramas, de proteínas para 
33 países desenvolvidos é: 
81 94 116 108 74 79 101 87 93 105 109 93 106 103 100 93 100 78 101 101 95 90 
94 90 91 92 100 87 89 90 89 86 85 
Solução: Para fazer o ramo- e- folhas, começamos com uma linha vertical ou 
horizontal com a seguinte escala: Divide-se cada valor por 10 (10 gramas por 
classe) a partir de 70g. O ramo será a parte inteira e as folhas a fracionária. 
Somatório: 
Mostrar: ∑ (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 − ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1 
Aplicar: X =( 3,4,1,4,3,3,2) é o número de brotos por cepa de eucalipto; Y=( 10,1 
11,1 10,7 13,1 14,5, 13,5 12,5) é a altura das cepas. 
(3-10,1)+(4-11,1)+ ... . +(2-12,5)= -65,50 
(3+4+... .+3+2) – (10,1+11,1+... .13,5+ 12,5)=20-85,50=-65,5. 
Aula remota (10/06/2021) 
 
 Correlação (variável quantitativa) 
Introdução: 
• Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento 
conjunto de uma ou mais variáveis; 
 • Em muitos casos, a explicação de um fenômeno de interesse pode estar 
associada a outros fatores (variáveis) que contribuem de algum modo para a 
ocorrência deste fenômeno. 
• O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser 
observado por meio do gráfico de dispersão. 
Tipo de correlação: 
Perfeita negativa: r=-1; r é o coeficiente de correlação 
 
 
Correlação nula r=0 
 
Perfeita positiva r=1 
 
 Tabela de cálculo 
 
 
X y 𝑥2 𝑦2 xy 
1 1 1 1 1 
2 2 4 4 4 
3 4 9 16 12 
4 5 16 25 20 
5 8 25 64 40 
 
r= 
∑ 𝑥𝑦−
∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑛
√(∑ 𝑥2−
(∑ 𝑥)2
𝑛
)(∑ 𝑦2−
(∑ 𝑦)2
𝑛
)
= 
77−
15𝑥20
5
√(55−
152
5
)(110−
202
5
)
= 0,98 
 
Usando o BioEstat: 
Abrir BioEstat ►Planilha (Dados ►inserir os dados por coluna) ►Coluna da esquerda 
(Y) e Coluna da direita X (sempre marcar as colunas) ►clicar em Estatísticas ►clicar 
em Correlação ►Clicar em coef. De Correlação de Pearson ►Abre quadro: Seleção de 
amostras para Teste de Correlação Linear ►clicar em >> ► clicar em Executar 
Estatística ►Abre quadro: Teste de Correlação linear ►clicar em Editar ►Copiar 
Resultados: 
 Colunas 1 e 2 
n (pares) = 5 
r (Pearson) = 0.9815 
IC 95% = 0.74 a 1.00 
IC 99% = 0.47 a 1.00 
R2 = 0.9633 
t = 8.8780 
GL = 3 
(p) = 0.0030 
Poder 0.05 = 0.9515 
Poder 0.01 = 0.8361 
 
Continuando: 
Clicar em Gráfico (abre quadro) ►Editar ►Copiar (metafile) 
Diagrama de dispersão 
c 
 
 
 
 
Exercício 1: Calcular o coeficiente de correlação de Pearson 
Idade(X) Escore de Gesell (Y) 
15 95 
26 71 
10 83 
9 91 
15 102 
20 87 
18 93 
11 100 
8 104 
20 94 
7 113 
9 96 
10 83 
11 84 
11 102 
10 100 
12 105 
42 57 
17 121 
11 86 
10 100 
 
 
 
Teste de Gessel- Instrumento de avaliação do desenvolvimento infantil (a 
medida que aumenta a idade diminui a falta de habilidade mental) 
 
r= 
∑ 𝑥𝑦−
∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑛
√(∑ 𝑥2−
(∑ 𝑥)2
𝑛
)(∑ 𝑦2−
(∑ 𝑦)2
𝑛
)
=
26864−
302𝑥1967
21
√(5606−
3022
21
)(188155−
19672
𝑛
)
= −0,64 
Mede a grau de associação entre as duas variáveis 
Coeficiente de determinação: 𝑟2 = −0,642 = 0,41 ou 41% 
Em percentual especifica o quanto X explica da variação de Y 
 
 
 
 
Exercício 2: Elaborar o diagrama de dispersão, calcular r e 𝑟2 . Interpretar os 
resultados. Pressão sistólica (P.S) e idade de 15 participantes de pesquisa. 
 
Idade P.S 
39 144 
47 220 
45 138 
47 145 
65 162 
46 142 
67 170 
42 124 
67 158 
56 154 
64 162 
56 150 
59 140 
34 110 
42 128 
 
Exercício 3: Abaixo é apresentado um quadro que associa o número de vistos 
concedidos por vinte países no ano de 2011 e a entrada de turistas nestes países. 
Elaborar o diagrama de dispersão, calcular r e 𝑟2 . Interpretar os resultados. 
 
Número de vistos concedidos (em 
milhões) 
Entradas no País (em milhões) 
575 95 
525 85 
200 20 
455 71 
360 52 
350 50 
125 5 
425 65 
150 10 
500 80 
300 400 
125 5 
260 32 
290 38 
350 50 
575 95 
475 75 
375 55 
600 100 
225 25 
 
 
Aula remota (15/06/2021) 
Coeficiente de contingência (variável qualitativa) 
Em estatística, quando estudamos medidas de associação para variáveis 
qualitativas podemos associar variáveis com o objetivo de saber se existe um 
relacionamento entre suas características. Esse estudo, chamado de Análise 
Bidimensional. 
Ex: Sintomas(grau) de ansiedade 
 
 Sexo 
Sintomas Masculino Feminino Total 
Sim 𝑂11=50 𝐸11= 50 𝑂12=50 100 
Não 𝑂21=50 𝑂22=50 100 
Total 100 100 200 
𝑙 = 2; 𝑐 = 2 
𝑂𝑖𝑗= frequência observada. Ex: 𝑂11=50 
𝐸𝑖𝑗= frequência esperada calculada na hipótese de independência entre as variáveis. 
𝑖 = 1,2, … . 𝑙; 𝑗 = 1,2, … . 𝑐; 𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
Então: 𝐸𝑖𝑗 = 
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖×𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑗
𝑛
 ⇒ 𝐸11=
100×100
200
=50 
 
OBS: A frequência esperada na hipótese de independência, no Ex acima, é igual 
a frequência observada. Conclusão sobre as variáveis: 
Para medir o grau de dependência usaremos o Coeficiente de Contingência 𝐶 de 
Pearson.𝐶 = √
𝜒2
𝜒2+𝑛
, onde: 
n é o tamanho de observações da amostra; 
𝐶 é um número entre 0 e 1 (0 ≤ 𝐶 < 1). Se próximo de zero decidimos pela 
independência das variáveis; 
𝜒2é 𝑜 𝑄𝑢𝑖 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜. 
𝜒2 = ∑ ∑ (
(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)
2
𝐸𝑖𝑗
)
𝑙
1=1
𝑐
𝑗=1
 
 
(𝑂𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗)
2
é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 
Coeficiente de contingência corrigido: 𝐶∗ =
𝐶
√
𝑡−1
𝑡
 , 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 é 𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙 𝑒 𝑐. 
Para o Exemplo acima temos: 
𝜒2 =
(𝑂11 − 𝐸11)
2
𝐸11
+
(𝑂12 − 𝐸12)
2
𝐸12
+
(𝑂21 − 𝐸21)
2
𝐸21
+
(𝑂22 − 𝐸22)
2
𝐸22
= 0 
 
𝜒2 =
(50 − 50)2
50
+
(50 − 50)2
50
+
(50 − 50)2
50
+
(50 − 50)2
50
= 0 
 
𝐶 = √
𝜒2
𝜒2 + 𝑛
= √
0
0 + 200
= 0 
Conclusão: As variáveis são independentes, ou seja, o grau de ansiedade não 
depende do sexo. 
 
 
 
Exercício 1: Calcule e interprete o coeficiente de contingência 𝐶 em relação ao 
peso e o sexo de 600 pessoas que praticam atividade física. Os dados estão no 
quadro abaixo: 
 
𝐸11 =
170 × 300
600
= 85; 𝐸12 =
170 × 300
600
= 85; 𝐸21 =
250 × 300
600
; 𝐸22
=
250 × 300
600
= 125; 𝐸31 =
180 × 300
600
= 90; 𝐸32 = 90. 
𝜒2 =
(80 − 85)2
85
+
(90 − 85)2
85
+
(120 − 125)2
125
+
(130 − 125)2
125
. +
(100 − 90)2
90
+
(80 − 90)2
90
= 3,20; 
 𝐶 = √
3,20
3,20 + 600
= 0,07; 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜: 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
O peso das pessoas que praticam atividade física não depende do sexo 
Usando o BioEstat: 
Abrir BioEstat ►Planilha (Dados ►inserir os dados por coluna) ►sempre marcar as 
colunas ►clicar em Estatísticas ►clicar em Correlação ►Clicar em coef. de 
Contingência C ►Abre quadro: Seleção de amostras para Teste de Contingência C 
►clicar em >> ► clicar em Executar estatística ►Abre quadro: Teste de Contingência 
C ►clicar em Editar ►Copiar Resultados. 
Resultados: 
80 120 100 
90 130 80 
 
 
 
Peso Feminino Masculino Total 
Acima 80 85 90 85 170 
Normal 120 125 130 125 250 
Abaixo 100 90 80 90 180 
Total 300 300 600 
Resultados: 
Tabela de Contingência = 3 x 2 
Qui-quadrado = 3.2105 
Coef. de Contingência C = 0.0730 
Graus de liberdade = 2 
(p) = 0.2008 
 
Exercício 2: Foi feito um estudo multicêntrico para testar o efeito de um anti-
hipertensivo sobre a probabilidade de derrame recorrente. Um pesquisador 
suspeita de que os tratamentos coadjuvantes diferentes ministrados nos 
diversos centros, embora permitidos no protocolo, podem ter efeito sobre o 
risco de derrame recorrente. Calcule e interprete o coeficiente de contingência 
𝐶. Os dados estão apresentados no quadro abaixo: 
 
 
Exercício 3: Calcule e interprete o coeficiente de contingência 𝐶 em relação ao 
sexo e o hábito de fumar. Os dados estão apresentados no quadro abaixo: 
Sexo Fumantes Não 
fumantes 
Ex-fumantes Total 
Masculino 60 40 50 150 
Feminino 40 60 50 150 
Total 100 100 100 300 
 
 
 
 Derrame recorrente 
Centro Sim Não Total 
A 16 179 195 
B 12 70 82 
C 21 78 99 
D 12 54 66 
Total 61 381 442 
Exercício 4: Distribuição de portadores de prótese dupla segundo o grupo de 
renda, em salários mínimos (SM) e disfunção craniomandibular. 
 
 
Grupo de renda Nula Leve Moderada e 
severa 
Menos de 5 SM 19 21 10 
DE 5 a 10 SM 21 24 5 
Mais de 10 SM 25 21 2 
 
Caso 𝜒2 > 9,49 , 𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. Calcule e 
compare com o coeficiente 𝐶. 
 
Aula remota 17/06/2021 
Alguns conceitos de probabilidade 
Experimento Aleatório- apresenta mais de um resultado possível. 
EX 1: O nº de pessoas diagnosticados positivamente, em um 
município, após o teste de Covid-19 “RT-PCR” (seleção, p.ex, de 10 
funcionários); 
EX 2: O nº de pacientes atendidos na emergência de um centro de 
traumatologia (máx. de 24 pacientes); 
EX 3: As espécies de aves que são capturadas numa rede de uma 
floresta nativa; 
EX 4: Face, voltada para cima, no lançamento de uma moeda 3 
vezes. 
Espaço amostral (S) - conjunto dos resultados possíveis de um 
experimento aleatório. 
EX 1: S=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10); 
Disfunção craniomandibular 
EX4:S=(ca,ca,ca; ca,ca,co; ca,co,ca; co,ca,ca; ca,co,co; co,ca,co; 
co,co,ca; co,co,co). ca=cara; co=coroa 
Evento A,B... .) - subconjunto de um espaço amostral. 
EX 1: A=(2,5,9 ); 
EX 2: B= (0,10, 23). 
Obs- se o resultado é um elemento de A, dizemos que o evento A 
ocorre. 
Eventos mutuamente exclusivos ou excludentes- não podem 
ocorrer mesmo tempo. 
OBS 1: Complementar de A=�̅� 
A e B são complementares se P(A) + P(B) = P(S) = 1 
Conceito de probabilidade - é um nº P € [ 0, 1], associado a 
ocorrência de um evento. 
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; ii) P(S)= 1; iii) Se A e B são eventos mutuamente 
exclusivos ou excludentes, isto é, A∩B=Ǿ, então P(AUB)= P(A) + 
P(B). 
Obtenção da probabilidade: 
Conceito clássico- P(A)= 
𝑁º 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑆
 ; EX: 
joga-se uma moeda equilibrada, define-se A=(cara),daí 
S=(cara,coroa)⇒P(A)= 
1
2
 . 
 
Conceito frequência ou empírico- P(A)= 
𝑁º 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑛º 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
; Considerando o EX acima, joga-se 
a moeda várias vezes e observa-se o nº de caras, daí P(A)= 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠
𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑖 𝑗𝑜𝑔𝑎𝑑𝑎.
 . 
Lei dos grandes números- se repetimos um experimento um grande 
nº de vezes, a probabilidade pela frequência relativa (conceito 
frequência) de um evento tende para a probabilidade teórica (conceito 
clássico). 
Ex 1: Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser 
atingida por um raio este ano na região R. 
Solução: O espaço amostral consiste nestes dois eventos simples: A pessoa 
escolhida é atingida (A) ou não (B). Estes eventos não são igualmente prováveis. 
Porém, sabemos que em um ano recente, 10 pessoas foram atingidas por um 
raio nesta região. Considerando que a população da região é de 150.000 
pessoas, temos que: 
P(A)= 
10
150.000
= 0,00006666 ( conceito frequencial ou empírico) 
Ex 2: Em um teste uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas 
possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de 
sua resposta estar errada? 
S=( a, b, c, d, f), então P(resposta errada)= 
4
5
 ( conceito clássico) 
Exercício 1: Uma companhia de seguros estudou as causas de morte por 
acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 mortes 
causadas por quedas, 120 mortes causadas por envenenamento e 70 causadas 
por fogo e queimaduras. Selecione aleatoriamente um desses casos, qual é a 
probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento? 
Exercício 2: Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha 
exatamente 2 meninos. Suponha que as probabilidades de menino e menina 
sejam as mesmas, e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo 
de qualquer outra. 
Exercício 3: Ao escolher entre diversos fornecedores de equipamentos 
biomédicos, um comprador deseja saber a probabilidade de um equipamento 
falhar durante os dois primeiros anos. Qual conceito você usaria para obter esta 
probabilidade? Explique. 
Exercício 4: Em uma pesquisa entre pessoas de um município que tomaram a 1ª 
a dose da vacina contra a covid 19, 1162 afirmaram que tiveram sintomas, 
enquanto 2648 afirmaram que não tiveram. Selecionada aleatoriamente uma 
dessas pessoas, determine a probabilidade de ele ou ela ter tido sintomas. 
Exercício 5: Uma pesquisa originou os dados amostrais do quadro a seguir: 
Escovadas por dia Número 
1 
2 
3 
228 
672 
240 
 
Selecionado aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de 
obteralguém que escove os dentes três vezes por dia, conforme recomendam 
os dentistas? 
Exercício 6: Um casal planeja ter 3 filhos. 
a. Relacione os 8 resultados distintos possíveis de acordo com o sexo de 
cada criança. Suponha que estes resultados sejam igualmente prováveis. 
b. Determine a probabilidade de serem todas meninas. 
c. Determine a probabilidade de haver ao menos uma criança de cada sexo. 
d. Determine a probabilidade de exatamente 2 crianças de cada sexo. 
Exercício 7: Ambos os pais têm o par de genes castanho/azul da cor dos olhos, 
e cada um deles contribui com um gene para um filho. Suponha que se o filho 
tem ao menos um gene castanho, essa cor dominara e os olhos serão castanhos. 
a. Relacione os diferentes resultados possíveis, supondo-os igualmente 
prováveis. 
b. Qual a probabilidade de o filho ter olhos castanhos? 
Exercício 8: Admitindo que a probabilidade de uma criança ser menino (H) é 
0,50. Determinar a probabilidade de uma família de seis filhos ter: 
a) Ao menos um H 
b) Ao menos um Mulher (M) 
 
 
Regra da Adição 
P (A ou B) = P (ocorrência de A, ou B, ou ambos) 
P(AUB)= P(A)+P(B) – P(A∩B) P(A∩B) 
 P(A) 
 P(B) 
 Ss 
 
 
 
 
Definição: Os eventos A e B dizem-se mutuamente excludentes ou exclusivos se 
não podem ocorrer simultaneamente. 
 
P(AUB)= P(A)+P(B) P(A) 
 P(B) 
 
 
 
 
Exercício 1: Se um dos 2072 indivíduos do quadro abaixo é escolhido 
aleatoriamente. 
Ex 1:Teste de Seldane 
Sintoma Seldane Placebo Grupo de 
controle 
Total 
Dor de 
cabeça 
49 49 24 122 
Não-dor de 
cabeça 
732 616 602 1950 
Total 781 665 626 2072 
AA 
Determine as seguintes probabilidades: 
a. De ser obter alguém que fez uso de um placebo ou estava no grupo de 
controle. 
P (placebo ou controle) = 
665
2072
+
626
2072
=
1291
2072
= 0,623 
b. De ser obter alguém que fez uso de um placebo e estava no grupo de 
controle. 
P(Placebo e controle)= 
0
2072
= 0 
c. De ser obter alguém que tenha usado seldane ou estava no grupo de 
controle. 
P(seldane U grupo de controle)= P(seldane=A)+P(grupo de controle=B)-
P(sedane=A ∩ grupo de controle=B)= P(AUB)= P(A)+P(B)= 781
2072
+
626
2072
=
781+626
2072
=
1407
2072
= 0679 
 
Exercício 1: 
a) De ser obter alguém que tenha usado Seldane ou que não teve dor 
de cabeça 
b) Dado que o indivíduo usou Seldane, qual a probabilidade de ter tido 
dor de cabeça? 
 
https://www.passeidireto.com/arquivo/29450357/estatistica-aplicada-ao-
turismo 
Aula remota 22/06/2021) 
Probabilidade condicional- 
 
 A 
 BBB B 
 
 
P(A/B)= 
𝑃(𝐴∩B)
𝑃(𝐵)>0
 
https://www.passeidireto.com/arquivo/29450357/estatistica-aplicada-ao-turismo
https://www.passeidireto.com/arquivo/29450357/estatistica-aplicada-ao-turismo
Ex 1:Teste de Seldane 
Sintoma Seldane (B) Placebo (C) Grupo de 
controle 
Total 
Dor de 
cabeça (A) 
49 49 24 122 
Não-dor de 
cabeça 
732 616 602 1950 
Total 781 665 626 2072 
Calcular: a) P(AUB)=P(A)+P(B) - P(A∩B) = 
122
2072
+ 
781
2072
− 
49
2072
=
854
2072
= 0,412 𝑜𝑢 41,2% ; P(A/B) = 
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
= 
49
781
= 0,063; 
P(C/A) = 
𝑃(𝐶∩𝐴)
𝑃(𝐴)
= 
49
2072
122
2072
=
49
122
 
Exercício 1: Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão 
arterial de acordo com as proporções do quadro a seguir: 
 
Pressão/Peso Excesso 
(C) 
Normal (D) Deficiente 
(E) 
Total 
Alta (A) 100 8 2 110 
Normal (B) 150 54 20 224 
Total 250 62 22 334 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse 
grupo ter pressão alta (A), dado que tem peso Normal (D). 
b) Se se verifica que a pessoa escolhida tem excesso de peso (C), 
qual a probabilidade de ela ter também pressão alta (A)? 
c) Calcular: P(E/B); P(C/B); P(E/A). 
Eventos independentes: Sejam A e B eventos de S. Intuitivamente, 
A e B são independentes, daí 𝑃(𝐴/𝐵) = 
𝑃(A∩B)
𝑃(𝐵)
= 𝑃(𝐴) 
► 𝑃(𝐴 ∩ B) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵); 
𝑃(𝐵/𝐴) = 
𝑃(B∩A)
𝑃(𝐴)
= 𝑃(𝐵) ► 𝑃(𝐵 ∩ A) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴). 
Exercício 1: Uma família deseja ter 2 filhos. A probabilidade de 
nascer Homem ou Mulher em cada nascimento é igual 
1
2
 . Qual a 
probabilidade de nascer Homem no segundo nascimento dado que 
nasceu mulher no primeiro. Então temos os eventos: 
M=(nasceu mulher no primeiro nascimento); H (nascer homem no 
segundo nascimento) ►𝑃(𝐻) =
1
2
 𝑒 𝑃(𝑀) =
1
2
 
𝑃(𝐻/𝑀) =
𝑃(H∩M)
𝑃(𝑀)
= 𝑃(𝐻) =
1
2
►𝑃(H ∩ M) =
 𝑃(𝐻). 𝑃(𝑀) =
1
2
 x 
1
2
=
1
4
 
 
Exercício 2: Sejam A e B eventos tais que P(A)=0,2, P(B)=p e 
P(AUB)= 0,6. Calcular p considerando A e B: 
a) Mutuamente exclusivos; 
P(AUB)= P(A) + P(B) ⇒ 0,6 = 0,2 + p ⇒ p= 0,4 
b) Independentes. 
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A).P(B) ⇒ 0,6 = 0,2 + p - 0,2p ⇒ 
P=0,5. 
 
Exercício 3: Uma empresa de consultoria participa de duas 
concorrências para realizar estudos de impacto ambiental. A 
probabilidade de vencer a primeira concorrência é de 50% e de 
vencer a segunda é de 70%, enquanto que a probabilidade de vencer 
ambas concorrências é 40%. 
A= (vence a 1ª concorrência); B=(vence a 2ª concorrência) C=(vence 
ambas as concorrências). 
Qual a probabilidade de vencer a segunda concorrência dado que ela 
venceu a primeira? P(B/A) =
𝑃(B∩A)
𝑃(𝐴)
 = 
𝑃(𝐶)
𝑃(𝐴)
 = 
0,4
0,5
 =0,8 
OBS: A e B são eventos independentes se P(A∩B) = P(A). P(B) 
Exercício 4: Verifique a associação dos eventos CEGO (C) e SURDO 
(S), de acordo com as probabilidades do quadro abaixo: 
CEGO/SURDO 𝑆 𝑆̅ Toial 
𝐶 0,0004 0,0796 0,0800 
�̅� 0,0046 0,9154 0,9200 
Total 0,0050 0,9950 1,0000 
Calcule: P(S/C); P(C/S) e conclua. 
 
Aula remota 24/06/2021) 
 
Teorema de Bayes- Partição de um espaço amostral S (i=1,2,3,4) 
se: Ai∩Aj=Ǿ, B é um evento arbitrário. 
 A4 B 
 
 
 
 
 
B= A1∩B U A2∩B U A3∩B U A4∩B; 
P(B)= P(A1∩B) + P (A2∩B) + P(A3∩B) + P(A4∩B); 
P(B/A1)= 
𝑃(𝐴1∩𝐵)
𝑃(𝐴1)
 ► P(A1∩B)=P(A1).P(B/A1); 
P(A1/B)= 
𝑃(𝐴1∩𝐵)
𝑃(𝐵)
= 
P(A1).P(B/A1)
∑ P(Ai).P(B/Ai)4𝑖=1
= . 
 A1 
 
 
 
 A3 A2 
Sejam A1, A2,............,An eventos que formam uma partição de S. 
Seja B contido em S. Sejam conhecidas P(Ai) e P(B/Ai), i=1,.....n. 
Então: 
𝑃(𝐴𝑗/𝐵)= 
𝑃(𝐴𝑗.𝑃(𝐵/𝐴𝑗)
∑ 𝑃(𝐴𝑛𝑖=1 𝑖).𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
 j=1,......,n 
Exercício 1: Em uma indústria farmacêutica, 3 laboratórios L1, L2 e 
L3 produzem 30%, 45% e 25%, dos medicamentos, respectivamente. 
Sabe-se por experiências anteriores, que 2%, 3% e 2% dos 
medicamentos feitos por cada laboratório estão, respectivamente, 
fora das especificações. Suponha que um medicamento, já acabado, 
seja selecionado aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de que tal 
medicamento esteja fora da especificação? b) Qual a probabilidade 
de que tenha sido produzido pelo laboratório L1, dado que está fora 
da especificação? 
B=FE=(o medicamento está fora da especificação); A1=L1( o 
medicamento é proveniente do laboratório 1), A2=L2 (idem 
laboratório 2), A3 = L3 (idem laboratório 3). 
 
 
 
 FE 
 
 
FE= L1∩FE U L2∩FEU L3∩FE; 
P(FE)= P(L1∩FE) + P (L2∩FE) + P(L3∩FE); 
P(FE/L1) = 
𝑃(𝐿1∩𝐹𝐸)
𝑃(𝐿1)
 ► P(L1∩FE)=P(L1).P(FE/L1); 
 L1 
 
 
 
 L2 L3 
P(FE/L2) = 
𝑃(𝐿2∩𝐹𝐸)
𝑃(𝐿2)
 ► P(L2∩FE)=P(L2).P(FE/L2); 
P(FE/L3) = 
𝑃(𝐿3∩𝐹𝐸)
𝑃(𝐿3)
 ► P(L3∩FE)=P(L3).P(FE/L3). 
P(FE)= P(L1). P(FE/L1) + P(L2). P(FE/L2) + P(L3). P(FE/L3) 
a) P(FE)= (0,30 x 0,02 + 0,45 x 0,03 + 0,25 x 0,02) = 0,02450. 
b) P(L1/FE) = 
𝑃(L1∩FE)
𝑃(𝐹𝐸)
 = 
0,30× 0,02 
0,02450
= 0,24490 
 
Exercício 2: Suponha um teste para Covid em que 95% dos que têm 
o mal reagem positivamente, enquanto 3% dos que não têm o mal 
reagem positivamente. Suponha ainda que 2% dos hospedes de um 
hotel tenham Covid. Qual a probabilidade de um doente escolhido ao 
acaso, e que reaja positivamente ao teste, ter de fato o mal? 
Exercício 3: Em uma localidade, 8% dos adultos de mais de 50 anos 
têm diabetes. Se um médico local diagnostica corretamente 95% das 
pessoas que tem a doença, e diagnostica erroneamente 2% dos que 
não a têm, qual a probabilidade de um adulto de mais de 50 anos 
diagnosticado como portador da doença, ter de fato o mal? 
 
Aula remota 24/06/2021) 
●Variável aleatória X 
É uma função que associa a cada, elemento de um espaço amostral 
um número real. 
EX1: Escolhe-se aleatoriamente três nascituros em uma maternidade 
(verificação da ocorrência do sexo). Então: 
S= (𝑀𝑀𝑀, 𝑀𝑀𝐹, 𝑀𝐹𝑀, 𝐹𝑀𝑀, 𝑀𝐹𝐹, 𝐹𝑀𝐹, 𝐹𝐹𝑀, 𝐹𝐹𝐹) 
Seja X o número o número de homens. 
𝑋(𝑀𝑀𝑀) = 3; 𝑋(𝑀𝑀𝐹) = 2; 𝑋(𝑀𝐹𝑀) = 2; 𝑋(𝐹𝑀𝑀)
= 2; 𝑋(𝑀𝐹𝐹) = 1; 𝑋(𝐹𝑀𝐹) = 1; 𝑋(𝐹𝐹𝑀)
= 1; 𝑋(𝐹𝐹𝐹) = 0 
Distribuição de probabilidade de X 
X 𝑋2 P(X) 
0 0 1/8 
1 1 3/8 
2 4 3/8 
3 9 1/8 
Total - 1 
p=1/2, n=3 
E(X)= ∑ 𝑋. 𝑃(𝑋)= (0×1/8)+ (1×3/8)+ (2×3/8) +(3×1/8)=1,5 
V(X)= E(𝑋2) – (𝐸(𝑋))
2
= (0×1/8)+ (1×3/8) + (12×3/8) +(9×1/8)- 
(1,5)2 = 0,75 
APP- Probability Distributions 
 
● Distribuição Binomial (Variável Aleatória Discreta) e o Modelo 
Probabilístico Normal (Distribuição Contínua) 
Definições: 
1- Variável Aleatória (V.A) 
 
Seja E um experimento e S o conjunto de todos os resultados 
possíveis associados ao experimento. Uma função X , que associe a 
cada elemento sS um número real ,X(s) , é denominada variável 
aleatória. 
Ex. Considere o experimento de se jogar uma moeda duas vezes. 
Consideremos, o espaço S abaixo, associado a este experimento. 
S=[caracara, caracoroa, coroacara, coroacoroa]; Seja X a v.a que 
representa o número de caras .Daí, 
X(caracara)=2,X(caracoroa)=X(coroacara)=1,X(coroacoroa)=0. 
 
 caracara 2 
 
 
 caracoroa 
 1 
 coroacara 
 0 
 coroacoroa 
 Domínio(S) R x 
2- Variável Aleatória Discreta e Contínua 
 Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis 
de X (contradomínio-R x ) for finito ou infinito numerável, 
denominamos X de variável aleatória discreta. Suponha-se que o 
contradomínio de X, seja um intervalo, isto é, X possa tomar todos os 
valores possíveis no intervalo, então, diremos que X é uma variável 
aleatória contínua. 
 Associadas as variáveis aleatórias temos as suas funções 
de probabilidades. 
3-Distribuição Binomial (Distribuição Discreta) - As probabilidades 
são constantes e independentes na repetição da experiência 
aleatória. 
𝑋(𝑐𝑐𝑐̅) = 2; 𝑋(𝑐𝑐̅𝑐) = 2; 𝑋(𝑐̅𝑐𝑐) 
P(X=2)= 𝐶3
2 (
1
2
)
2
(1 −
1
2
)
3−2
 = 3/8 
; V(X)= np(1-p); 1-p=q. 
P(X=x)= 𝐶𝑛
𝑥(𝑝)𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 ; X= 0,1,…… n 
Exercício 1: 
a) Em um hospital 70% dos profissionais de saúde estão com 
suspeita da covid-19. Seleciona-se uma amostra de 8(oito) 
profissionais. Elaborar a distribuição de probabilidade. Calcular o 
valor esperado, variância e desvio padrão. 
P(X=0) = 𝐶8
0 (0,70)0(1 − 0,70)8−0= 0,00007 
P(X=1) = 𝐶8
1 (0,70)1(1 − 0,70)8−1 = 0,0012. Na tabela: n=8, 
p=0,7, x=1. 
 
 
 Na APP: n= p= 
 x= p(X=x) 
 
. 
. 
. 
Valor esperado= E(X)= np= 8x0,70=5,6 
Variância= V(X)= np(1-p)=8× 0,70x0,30= 1,68 
b) Em uma amostra de 10 profissionais de saúde, qual é a 
probabilidade de que pelo menos 3 profissionais estejam com 
suspeita da doença? 
8 0,7 
1 0.00122 
Exercício 2: De acordo com uma pesquisa, um de cada quatro 
profissionais de saúde de um hospital são hipertensivos. Considere 
uma amostra de 20 profissionais. 
a) Calcule a probabilidade de que exatamente quatro sejam 
hipertensivos. 𝑝 =
1
4
= 0,25; 𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶20
4 (0,25)4(1 −
0,25)20−4 = = 𝐶20
4 (0,25)4(0,75)16 = 0,18969 =
18,97%. 
APP: n= p= X= p(X=x)= 
b) Calcule a probabilidade de que pelo menos dois profissionais 
sejam hipertensivos. 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 
c) Se descobrisse que exatamente 12 dos profissionais sejam 
hipertensivos, você duvidaria da exatidão dos resultados desse 
estudo? 
d) Calcule o número esperado de profissionais hipertensivos do 
hospital. 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 20 × 0,25 = 5 
Exercício 3: A probabilidade de um menino ser daltônico é de 8%. 
Qual é a probabilidade de serem daltônicos todos os 4 meninos que 
se apresentam, em determinado dia, para um exame oftalmológico? 
Exercício 4: Um exame é constituído de dez testes tipo certo-errado. 
Quantos testes acerta, em média, um aluno que nada sabe sobre a 
matéria do exame? 
Exercício 5: Suponha que determinado medicamento usado para o 
diagnóstico precoce da gravidez é capaz de confirmar casos positivos 
em apenas 90% das gestantes muito jovens. Isto porque, em 10%, 
das gestantes muito jovens, ocorre uma escamação do epitélio do 
útero, que é confundida com a menstruação. Nestas condições, qual 
é a probabilidade de 2, de 3 gestantes muito jovens que fizeram uso 
desse medicamento, não terem confirmado precocemente a 
gravidez? 
20 0,25 4 0.18969 
4 - O Modelo Normal 
 Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de 
probabilidade (fdp), é uma função f, que satisfaz às seguintes 
condições: 
 
 f(x)  x,0 R x , 
 
  
RX
dxxf 1)( 
Além disso ,definimos para qualquer c<d (em R x ), P(c <X< d) = 
d
c
dxxf )(
,onde P representa a probabilidade de X está compreendida no 
intervalo (c,d). 
 
Definição- A variável aleatória X , que tome todos os valores reais 
 x , com parâmetros   e  20  tem uma 
distribuição normal (ou gaussiana), se sua fdp é dada por: 
 

xxf e
x
,
2
1
)( 2
2
2
)(



 
 
 f(X) 
(b) Gráfico- 
 
 
 
 
 
      X 
(c) Momentos- Pode-se demonstrar que: 
E(X)=  ; 
V(X)= 2 ; 
f(x) quando x  ; 
  e   são os pontos de inflexão de f(x); 
 x=  é o valor para o qual ocorre o máximo da função, isto é, f(x)=
 2
1 ; 
 f(x) é simétrica em torno de  ,isto é, 
 f(   )= f(   ), x  x 
%;73,993%;45,952%;27,68  
3;0 43   curtoseiadeassimetredemomentoCoeficient 


 7979,0
2
oDesviomedi 
 A área total limitada pela curva e pelo eixo dos x é igual a 1; 
portanto a área sob a curva ,compreendida entre as duas 
coordenadas X=a e X=b, em que a<b, representa a probabilidade de 
X estar situado entre a e b, representada por P(a<X<b). Se X tem 
distribuição normal , média  e variância 2 ,escrevemos:X : N(  , 2 ). 
 
 Quando  =0 e 2 =1, temos uma normal padrão ou reduzida, e 
escrevemos N(0,1). 
 Se X : N(  , 2 ) então a v.a Z = 

X , terá uma distribuição 
N(0,1). 
Aplicando o operador E(esperança matemática) à variável Z, temos. 
 


dxxxfXE )()( 
 
E(Z)=E(

X )= 

)()( EXE  =

  =

00  =0 
 
1)(
1
)()(
2
2
2
2
22 







XE
X
EZE , isto é, Z tem média 0 e 
variância 1.(prova-se também a normalidade). 
 
4.1- Tabulação da Distribuição Normal (X : N(  , 2 ). 
 
 P(a<X<b)= dxe
xb
a
2
2
2
)(
2
1




 
 
 A integral não pode ser calculada exatamente, e a probabilidade 
acima é obtida aproximadamente por métodos numéricos. No entanto 
,para cada valor de  e cada valor de  , teríamos que obter P(a<X<b) 
para diversos valores de a e b. Isto pode ser contornado reduzindo a 
variável X nos moldes de Z, gerando desta forma a tabela para a 
distribuição normal padrão N(0,1), a saber: 
 
P(a<X<b)= )()()()( abbZaPbXaP 









 , onde 
 representa a Função de Distribuição(fdp) da curva normal 
reduzida, isto é: 
)(
2
1
)( 2
2
zZPdxez
z z
 



 
 
 )(1)( xx  
 )(z 
 
 
 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 



z s
dsezzZP 2
2
2
1
)()(

 
 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
- 3,0 0 , 0 0 1 3 0 , 0 0 1 0 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 
- 2,9 0 , 0 0 1 9 0 , 0 0 1 8 0 , 0 0 1 7 0 , 0 0 1 7 0 , 0 0 1 6 0 , 0 0 1 6 0 , 0 0 1 5 0 , 0 0 1 5 0 , 0 0 1 4 0 , 0 0 1 4 
- 2,8 0 , 0 0 2 6 0 , 0 0 2 5 0 , 0 0 2 4 0 , 0 0 2 3 0 , 0 0 2 3 0 , 0 0 2 2 0 , 0 0 2 1 0 , 0 0 2 0 0 , 0 0 2 0 0 , 0 0 1 9 
- 2,7 0 , 0 0 3 5 0 , 0 0 3 4 0 , 0 0 3 3 0 , 0 0 3 2 0 , 0 0 3 1 0 , 0 0 3 0 0 , 0 0 2 9 0 , 0 0 2 8 0 , 0 0 2 7 0 , 0 0 2 6 
- 2,6 0 , 0 0 4 7 0 , 0 0 4 5 0 , 0 0 4 4 0 , 0 0 4 3 0 , 0 0 4 1 0 , 0 0 4 0 0 , 0 0 3 9 0 , 0 0 3 8 0 , 0 0 3 7 0 , 0 0 3 6 
- 2,5 0 , 0 0 6 2 0 , 0 0 6 0 0 , 0 0 5 9 0 , 0 0 5 7 0 , 0 0 5 5 0 , 0 0 5 4 0 , 0 0 5 2 0 , 0 0 5 1 0 , 0 0 4 9 0 , 0 0 4 8 
- 2,4 0 , 0 0 8 2 0 , 0 0 8 0 0 , 0 0 7 8 0 , 0 0 7 5 0 , 0 0 7 3 0 , 0 0 7 1 0 , 0 0 6 9 0 , 0 0 6 8 0 , 0 0 6 6 0 , 0 0 6 4 
- 2,3 0 , 0 1 0 7 0 , 0 1 0 4 0 , 0 1 0 2 0 , 0 0 9 9 0 , 0 0 9 6 0 , 0 0 9 4 0 , 0 0 9 1 0 , 0 0 8 9 0 , 0 0 8 7 0 , 0 0 8 4 
- 2,2 0 , 0 1 3 9 0 , 0 1 3 6 0 , 0 1 3 2 0 , 0 1 2 9 0 , 0 1 2 6 0 , 0 1 2 2 0 , 0 1 1 9 0 , 0 1 1 6 0 , 0 1 1 3 0 , 0 1 1 0 
- 2,1 0 , 0 1 7 9 0 , 0 1 7 4 0 , 0 1 7 0 0 , 0 1 6 6 0 , 0 1 6 2 0 , 0 1 5 8 0 , 0 1 5 4 0 , 0 1 5 0 0 , 0 1 4 6 0 , 0 1 4 3 
- 2,0 0 , 0 2 2 8 0 , 0 2 2 2 0 , 0 2 1 7 0 , 0 2 1 2 0 , 0 2 0 7 0 , 0 2 0 2 0 , 0 1 9 7 0 , 0 1 9 2 0 , 0 1 8 8 0 , 0 1 8 3 
- 1,9 0 , 0 2 8 7 0 , 0 2 8 1 0 , 0 2 7 4 0 , 0 2 6 8 0 , 0 2 6 2 0 , 0 2 5 6 0 , 0 2 5 0 0 , 0 2 4 4 0 , 0 2 3 8 0 , 0 2 3 3 
- 1,8 0 , 0 3 5 9 0 , 0 3 5 2 0 , 0 3 4 4 0 , 0 3 3 6 0 , 0 3 2 9 0 , 0 3 2 2 0 , 0 3 1 4 0 . 0 3 0 7 0 , 0 3 0 0 0 , 0 2 9 4 
- 1,7 0 , 0 4 4 6 0 , 0 4 3 6 0 , 0 4 2 7 0 , 0 4 1 8 0 , 0 4 0 9 0 , 0 4 0 1 0 , 0 3 9 2 0 , 0 3 8 4 0 , 0 3 7 5 0 , 0 3 6 7 
- 1,6 0 , 0 5 4 8 0 , 0 5 3 7 0 , 0 5 2 6 0 , 0 5 1 6 0 , 0 5 0 5 0 , 0 4 9 5 0 , 0 4 8 5 0 , 0 4 7 5 0 , 0 4 6 5 0 , 0 4 5 5 
- 1,5 0 , 0 6 6 8 0 , 0 6 5 5 0 , 0 6 4 3 0 , 0 6 3 0 0 , 0 6 1 8 0 , 0 6 0 6 0 , 0 5 9 4 0 , 0 5 8 2 0 , 0 5 7 0 0 , 0 5 5 9 
- 1,4 0 , 0 8 0 8 0 , 0 7 9 3 0 , 0 7 7 8 0 , 0 7 6 4 0 , 0 7 4 9 0 , 0 7 3 5 0 , 0 7 2 2 0 , 0 7 0 8 0 , 0 6 9 4 0 , 0 6 8 1 
- 1,3 0 , 0 9 6 8 0 , 0 9 5 1 0 , 0 9 3 4 0 , 0 9 1 8 0 , 0 9 0 1 0 , 0 8 8 5 0 , 0 8 6 9 0 , 0 8 5 3 0 , 0 8 3 8 0 , 0 8 2 3 
- 1,2 0 , 1 1 5 1 0 , 1 1 3 1 0 , 1 1 1 2 0 , 1 0 9 3 0 , 1 0 7 5 0 , 1 0 5 6 0 , 1 0 3 8 0 , 1 0 2 0 0 , 1 0 0 3 0 , 0 9 8 5 
- 1,1 0 , 1 3 5 7 0 , 1 3 3 5 0 , 1 3 1 4 0 , 1 2 9 2 0 , 1 2 7 1 0 , 1 2 5 1 0 , 1 2 3 0 0 , 1 2 1 0 0 , 1 1 9 0 0 , 1 1 7 0 
- 1,0 0 , 1 5 8 7 0 , 1 5 6 2 0 , 1 5 3 9 0 , 1 5 1 5 0 , 1 4 9 2 0 , 1 4 6 9 0 , 1 4 4 6 0 , 1 4 2 3 0 , 1 4 0 1 0 , 1 3 7 9 
- 0,9 0 , 1 8 4 1 0 , 1 8 1 4 0 , 1 7 8 8 0 , 1 7 6 2 0 , 1 7 3 6 0 , 1 7 1 1 0 , 1 6 8 5 0 , 1 6 6 0 0 , 1 6 3 5 0 , 1 6 1 1 
- 0,8 0 , 2 1 1 9 0 , 2 0 9 0 0 , 2 0 6 1 0 , 2 0 3 3 0 , 2 0 0 5 0 , 1 9 7 7 0 , 1 9 4 9 0 , 1 9 2 2 0 , 1 8 9 4 0 , 1 8 6 7 
- 0,7 0 , 2 4 2 0 0 , 2 3 8 9 0 , 2 3 5 8 0 , 2 3 2 7 0 , 2 2 9 7 0 , 2 2 6 6 0 , 2 2 3 6 0 , 2 2 0 6 0 , 2 1 7 7 0 , 2 1 4 8 
- 0,6 0 , 2 7 4 3 0 , 2 7 0 9 0 , 2 6 7 6 0 , 2 6 4 3 0 , 2 6 1 1 0 , 2 5 7 8 0 , 2 5 4 6 0 , 2 5 1 4 0 , 2 4 8 3 0 , 2 4 5 1 
- 0,5 0 , 3 0 8 5 0 , 3 0 5 0 0 , 3 0 1 5 0 , 2 9 8 1 0 , 2 9 4 6 0 , 2 9 1 2 0 , 2 8 7 7 0 , 2 8 4 3 0 , 2 8 1 0 0 , 2 7 7 6 
- 0,4 0 , 3 4 4 6 0 , 3 4 0 9 0 , 3 3 7 2 0 , 3 3 3 6 0 , 3 3 0 0 0 , 3 2 6 4 0 , 3 2 2 8 0 , 3 1 9 2 0 , 3 1 5 6 0 , 3 1 2 1 
- 0,3 0 , 3 8 2 1 0 , 3 7 8 3 0 , 3 7 4 5 0 , 3 7 0 7 0 , 3 6 6 9 0 , 3 6 3 2 0 , 3 5 9 4 0 , 3 5 5 7 0 , 3 5 2 0 0 , 3 4 8 3 
- 0,2 0 , 4 2 0 7 0 , 4 1 6 8 0 , 4 1 2 9 0 , 4 0 9 0 0 , 4 0 5 2 0 , 4 0 1 3 0 , 3 9 7 4 0 , 3 9 3 6 0 , 3 8 9 7 0 , 3 8 5 9 
- 0,1 0 , 4 6 0 2 0 , 4 5 6 2 0 , 4 5 2 2 0 , 4 4 8 3 0 , 4 4 4 3 0 , 4 4 0 4 0 , 4 3 6 4 0 , 4 3 2 5 0 , 4 2 8 6 0 , 4 2 4 7 
- 0,0 0 , 5 0 0 0 0 , 4 9 6 0 0 , 4 9 2 0 0 , 4 8 8 0 0 , 4 8 4 0 0 , 4 8 0 1 0 , 4 7 6 1 0 , 4 7 2 1 0 , 4 6 8 1 0 , 4 6 4 1 
0,0 0 , 5 0 0 0 0 , 5 0 4 0 0 , 5 0 8 0 0 , 5 1 2 0 0 , 5 1 6 0 0 , 5 1 9 9 0 , 5 2 3 9 0 , 5 2 7 9 0 , 5 3 1 9 0 , 5 3 5 9 
 0,1 0 , 5 3 9 8 0 , 5 4 3 8 0 , 5 4 7 8 0 , 5 5 1 7 0 , 5 5 5 7 0 , 5 5 9 6 0 , 5 6 3 6 0 , 5 6 7 5 0 , 5 7 1 4 0 , 5 7 5 3 
0,2 0 , 5 7 9 3 0 , 5 8 3 2 0 , 5 8 7 1 0 , 5 9 1 0 0 , 5 9 4 8 0 , 5 9 8 7 0 , 6 0 2 6 0 , 6 0 6 4 0 , 6 1 0 3 0 , 6 1 4 1 
0,3 0 , 6 1 7 9 0 , 6 2 1 7 0 , 6 2 5 5 0 , 6 2 9 3 0 , 6 3 3 1 0 , 6 3 6 8 0 , 6 4 0 6 0 , 6 4 4 3 0 , 6 4 8 0 0 , 6 5 1 7 
0,4 0 , 6 5 5 4 0 , 6 5 9 1 0 , 6 6 2 8 0 , 6 6 6 4 0 , 6 7 0 0 0 , 6 7 3 6 0 , 6 7 7 2 0 , 6 8 0 8 0 , 6 8 4 4 0 , 6 8 7 9 
 0,5 0 , 6 9 1 5 0 , 6 9 5 0 0 , 6 9 8 5 0 , 7 0 1 9 0 , 7 0 5 4 0 , 7 0 8 8 0 , 7 1 2 3 0 , 7 1 5 7 0 , 7 1 9 0 0 , 7 2 2 4 
0,6 0 , 7 2 5 7 0 , 7 2 9 1 0 , 7 3 2 4 0 , 7 3 5 7 0 , 7 3 8 9 0 , 7 4 2 2 0 , 7 4 5 4 0 , 7 4 8 6 0 , 7 5 1 7 0 , 7 5 4 9 
 0,7 0 , 7 5 8 0 0 , 7 6 1 1 0 , 7 6 4 2 0 , 7 6 7 3 0 , 7 7 0 3 0 , 7 7 3 4 0 , 7 7 6 4 0 , 7 7 9 4 0 , 7 8 2 3 0 , 7 8 5 3 
 0,8 0 , 7 8 8 1 0 , 7 9 1 0 0 , 7 9 3 9 0 , 7 9 6 7 0 , 7 9 9 5 0 , 8 0 2 3 0 , 8 0 5 1 0 , 8 0 7 8 0 , 8 1 0 6 0 , 8 1 3 3 
0,9 0 , 8 1 5 9 0 , 8 1 8 6 0 , 8 2 1 2 0 , 8 2 3 8 0 , 8 2 6 4 0 , 8 2 8 9 0 , 8 3 1 5 0 , 8 3 4 0 0 , 8 3 6 5 0 , 8 3 8 9 
 1,0 0 , 8 4 1 3 0 , 8 4 3 8 0 , 8 4 6 1 0 , 8 4 8 5 0 , 8 5 0 8 0 , 8 5 3 1 0 , 8 5 5 4 0 , 8 5 7 7 0 , 8 5 9 9 0 , 8 6 2 1 
 1,1 0 , 8 6 4 3 0 , 8 6 6 5 0 , 8 6 8 6 0 , 8 7 0 8 0 , 8 7 2 9 0 , 8 7 4 9 0 , 8 7 7 0 0 , 8 7 9 0 0 , 8 8 1 0 0 , 8 8 3 0 
 1,2 0 , 8 8 4 9 0 , 8 8 6 9 0 , 8 8 8 8 0 , 8 9 0 7 0 , 8 9 2 5 0 , 8 9 4 4 0 , 8 9 6 2 0 . 8 9 8 0 0 , 8 9 9 7 0 , 9 0 1 5 
 1,3 0 , 9 0 3 2 0 , 9 0 4 9 0 , 9 0 6 6 0 , 9 0 8 2 0 , 9 0 9 9 0 , 9 1 1 5 0 , 9 1 3 1 0 , 9 1 4 7 0 , 9 1 6 2 0 , 9 1 7 7 
 1,4 0 , 9 1 9 2 0 , 9 2 0 7 0 , 9 2 2 2 0 , 9 2 3 6 0 , 9 2 5 1 0 , 9 2 6 5 0 , 9 2 7 8 0 , 9 2 9 2 0 , 9 3 0 6 0 , 9 3 1 9 
 1,5 0 , 9 3 3 2 0 , 9 3 4 5 0 ,9 3 5 7 0 , 9 3 7 0 0 , 9 3 8 2 0 , 9 3 9 4 0 , 9 4 0 6 0 , 9 4 1 8 0 , 9 4 3 0 0 , 9 4 4 1 
 1,6 0 , 9 4 5 2 0 , 9 4 6 3 0 , 9 4 7 4 0 , 9 4 8 4 0 , 9 4 9 5 0 , 9 5 0 5 0 , 9 5 1 5 0 , 9 5 2 5 0 , 9 5 3 5 0 , 9 5 4 5 
 1,7 0 , 9 5 5 4 0 , 9 5 6 4 0 , 9 5 7 3 0 , 9 5 8 2 0 , 9 5 9 1 0 , 9 5 9 9 0 , 9 6 0 8 0 , 9 6 1 6 0 , 9 6 2 5 0 , 9 6 3 3 
 1,8 0 , 9 6 4 1 0 , 9 6 4 8 0 , 9 6 5 6 0 , 9 6 6 4 0 , 9 6 7 1 0 , 9 6 7 8 0 , 9 6 8 6 0 , 9 6 9 3 0 , 9 7 0 0 0 , 9 7 0 6 
 1,9 0 , 9 7 1 3 0 , 9 7 1 9 0 , 9 7 2 6 0 , 9 7 3 2 0 , 9 7 3 8 0 , 9 7 4 4 0 , 9 7 5 0 0 , 9 7 5 6 0 , 9 7 6 2 0 , 9 7 6 7 
 2,0 0 , 9 7 7 2 0 , 9 7 7 8 0 , 9 7 8 3 0 , 9 7 8 8 0 , 9 7 9 3 0 , 9 7 9 8 0 , 9 8 0 3 0 , 9 8 0 8 0 , 9 8 1 2 0 , 9 8 1 7 
 2,1 0 , 9 8 2 1 0 , 9 8 2 6 0 , 9 8 3 0 0 , 9 8 3 4 0 , 9 8 3 8 0 , 9 8 4 2 0 , 9 8 4 6 0 , 9 8 5 0 0 , 9 8 5 4 0 , 9 8 5 7 
 2,2 0 , 9 8 6 1 0 , 9 8 6 4 0 , 9 8 6 8 0 , 9 8 7 1 0 , 9 8 7 4 0 , 9 8 7 8 0 , 9 8 8 1 0 , 9 8 8 4 0 , 9 8 8 7 0 , 9 8 9 0 
 2,3 0 , 9 8 9 3 0 , 9 8 9 6 0 , 9 8 9 8 0 , 9 9 0 1 0 , 9 9 0 4 0 , 9 9 0 6 0 , 9 9 0 9 0 , 9 9 1 1 0 , 9 9 1 3 0 , 9 9 1 6 
 2,4 0 , 9 9 1 8 0 , 9 9 2 0 0 , 9 9 2 2 0 , 9 9 2 5 0 , 9 9 2 7 0 , 9 9 2 9 0 , 9 9 3 1 0 , 9 9 3 2 0 , 9 9 3 4 0 , 9 9 3 6 
 2,5 0 , 9 9 3 8 0 , 9 9 4 0 0 , 9 9 4 1 0 , 9 9 4 3 0 , 9 9 4 5 0 , 9 9 4 6 0 , 9 9 4 8 0 , 9 9 4 9 0 , 9 9 5 1 0 , 9 9 5 2 
 2,6 0 , 9 9 5 3 0 , 9 9 5 5 0 , 9 9 5 6 0 , 9 9 5 7 0 , 9 9 5 9 0 , 9 9 6 0 0 , 9 9 6 1 0 , 9 9 6 2 0 , 9 9 6 3 0 , 9 9 6 4 
 2,7 0 , 9 9 6 5 0 , 9 9 6 6 0 , 9 9 6 7 0 , 9 9 6 8 0 , 9 9 6 9 0 , 9 9 7 0 0 , 9 9 7 1 0 , 9 9 7 2 0 , 9 9 7 3 0 , 9 9 7 4 
 2,8 0 , 9 9 7 4 0 , 9 9 7 5 0 , 9 9 7 6 0 , 9 9 7 7 0 , 9 9 7 7 0 , 9 9 7 8 0 , 9 9 7 9 0 , 9 9 7 9 0 , 9 9 8 0 0 , 9 9 8 1 
 2,9 0 , 9 9 8 1 0 , 9 9 8 2 0 , 9 9 8 2 0 , 9 9 8 3 0 , 9 9 8 4 0 , 9 9 8 4 0 , 9 9 8 5 0 , 9 9 8 5 0 , 9 9 8 6 0 , 9 9 8 6 
3,0 0 , 9 9 8 7 0 , 9 9 9 0 0 , 9 9 9 3 0 , 9 9 9 5 0 , 9 9 9 7 0 , 9 9 9 8 0 , 9 9 9 8 0 , 9 9 9 9 0 , 9 9 9 9 1 , 0 0 0 0 
 
Exercício 2: Utilizando esta tabela encontre as seguintes 
probabilidades: 
a) P(Z > 1,96) = 1-P(Z ≤ 1,96)= 1- 0,9750=0,02500 
b) P(Z < 1,96) = 0,9750 
c) P(Z < - 1,96) = 0,02500 ⇒APP: 
µ= σ= 
 
x= p(X<x)= 
 
 
 
 
 
 -0.0250 
 
 -1,96 0 
 
d) P( -2,50 < Z < 2,50 ) = 𝑃(𝑋 < 2,5) − 𝑃(𝑋 < −2,5) =
0,9938 − 0,0062 = 09876 𝑜𝑢 98,78%. 
 
 
 
 
 
 98,78% 
 
 
 -2,5 2,5 
 
 
APP: µ= σ= X= 𝑃(𝑋 < 𝑥)= 
 X= 𝑃(𝑋 < 𝑥)= 
0 1 
-1.96 0.0250
0 
0 1 2,5 0,99379 
-2,5 0,00621 
P( -2,50 < Z < 2,50 ) = 𝑃(𝑋 < 2,5) − 𝑃(𝑋 < −2,5) =
0,99379 − 0,00621 = 0,98758 
e) P( 0,50 < Z < 1,50 ) = 
f) P( Z < z ) = 0.75 ⇒ z = ? 0,67(tabela); 0,67449 (APP-Probaility 
Distribution). 
g) P(-z1 < Z < z1 ) = 0.75 ⇒ z1 = ? 
h) P( 0.27 < Z < z2 ) = 0.50 ⇒ z2 = ? 
Exercício 3: A média do preço das consultas das empresas médicas 
de um município segue uma distribuição Normal com média 23 e 
desvio padrão 7 . Pede-se: 
a) Esquematize o gráfico da distribuição. 
b) Qual a proporção de empresas com preço acima de 28? 
e) Qual a proporção de empresas com preço entre 20 e 25? 
f) Qual a proporção de empresas com preço entre 16 e 30cm? 
g) Qual a proporção de empresas com preço entre 25 e 30cm? 
h) Se 25% das menores empresas médicas forem cortadas, qual o 
preço mínimo das empresas médicas remanescentes? 
i) Qual a preço mínimo para uma empresa médica estar entre as 1% 
com maiores preços de consultas? 
 
 
 1%=0,01 
 99%=0,99 
 
 
 x 
P(X≥x)=0,01⇒P(Z≥
𝑥−23
7
) = 0,01 ⇒ 𝑝 (𝑍 ≤
𝑥−23
7
) = 0,99 ⇒
𝑥−23
7
= 2,33 ⇒ 𝑥 = 39,31;APP:µ=23,σ=7, 
P(x>x)=0,01⇒x=39.284444 
 
 
2020-1 (aula 24/03/2021) 
 
●Distribuição amostral das médias e da variância 
 
Em uma amostra aleatória os elementos da população são 
escolhidos de tal forma que cada um deles tenha igual chance de 
figurar na amostra. Escolhe-se uma amostra aleatória simples de 
elementos, de maneira que toda a amostra de tamanho “n” possível 
tenha a mesma chance de ser escolhida. 
Ex: S=espaço amostral=conjunto de todas as amostras possíveis, 
p.ex,de tamanho n=4⇒ (𝑥1,𝑥23,𝑥50,𝑥5),(𝑥100,𝑥230,𝑥501, 
𝑥92).......𝑘 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 ⇒ �̅�1,�̅�2,............. �̅�𝑘 ⇒ nº de médias=nº de 
amostras possíveis. 
Se amostras aleatórias de tamanho n (com reposição) forem 
tomadas de uma população com média µ e desvio padrão σ, então a 
distribuição amostral de �̅�𝑛: �̅�1,�̅�2,............. �̅�𝑘 tem as seguintes 
propriedades: 
 
1. 𝑬(�̅�) = µ�̅� = µ ⇒ �̅�𝒏 é um estimador não tendencioso de 
µ; 
2. √𝑉(�̅�) = 𝜎�̅� = 
𝜎
√𝑛
 (𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑒 �̅�) 
3. �̅�𝒏 ~𝑵 (µ; 
𝜎
√𝑛
 ); �̅�𝒏 ~𝑵 (µ; 
𝑠
√𝑛
 ) ; 𝒏 > 𝟑𝟎 
 OBS 1: Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a 
distribuição das médias amostrais (distribuição amostral das médias) 
tende para uma distribuição normal (Teorema do Limite central). 
OBS 2: Também, se o tamanho da amostra cresce ⇒ o desvio padrão 
da média 
𝜎
√𝑛
 ou erro amostral decresce. 
 
Exercício 1: Para a população P= (1, 2, 3) n=2 (com reposição), 
mostrar que 𝑬(�̅�) = µ�̅� 𝒆 √𝑉(�̅�) = 𝜎�̅� = 
𝜎
√𝑛
 . 
Amostragem sem reposição 
 
√𝑉(�̅�) = 𝜎�̅� = √
𝑁−𝑛
𝑁−1
 
𝜎
√𝑛
 (𝜎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜) 
 
√𝑉(�̅�) = 𝜎�̅� = √
𝑁−𝑛
𝑁
 
𝑆
√𝑛
 (𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜) 
 
Se (𝑛 ≤ 5%𝑁 ) podemos usar 
𝜎
√𝑛
 
Para n > 5%N ⇒ usa-se o fator de correção para população finita 
(amostragem sem reposição). 
 
Exercício 2: Mostrar que: 
 
 𝐥𝐢𝐦
𝑵→∞
𝜎�̅� = √
𝑁−𝑛
𝑁−1
 
𝜎
√𝑛
= √𝑉(�̅�) = 𝜎�̅� = 
𝜎
√𝑛
 
Comentar: 
Exercício 3: Foi realizada uma pesquisa de opinião de profissionais 
da área de saúde dos 30 maiores hospitais de uma certa região. A 
pesquisa revelou que o salário anual médio de homens e mulheres, 
eram $168 mil e $117 mil, respectivamente. Suponha que o desvio 
padrão para os homens seja $ 40 mil, e para as mulheres seja $ 168 
mil. 
a) Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 40 
mulheres, produzir uma média amostral dentro do intervalo de 
$10 mil em torno da média populacional, $117 mil? 
P( 117-10< �̅� < 117+10)=P( 107< �̅� < 127)= P( �̅� <127) - 
P(�̅� < 107) 
 
 
 
 
 
 P( �̅� <127)- P(�̅� < 107) 
 
 
 
 
 107 µ= 117 127 �̅� 
 
 
P( 117-10< �̅� < 117+10)=P( 107< �̅� < 127)= P( �̅� <127) - P(�̅�<107)= P( �̅� <127)- P(�̅�<107)= 
P(𝑃 (X̅−117
168
√40
<
127−117
168
√40
) − 𝑃 (
X̅−117
168
√40
<
107−117
168
√40
) = 𝑃(𝑍 <0,38)-P(-0,38)=0,6480-0,3520= 
0,2960 
 
 
 
 
 
 P( �̅� <127)- P(�̅� < 107) 
 
 
 
 
 107 µ= 117 127 �̅� 
 
 
 
 
 P( Z<0,38) - P(Z< −0,38) 
 
 
 
 
 -0,38 µ=0 0,38 Z 
APP 
µ= σ= 
 
 �̅� = p(X<x)= 0,646 
 
 
µ= σ= 
 
 �̅� = p(X<x)= 
 
P( �̅� <127) - P(�̅�<107)= 0,64673-0,35327 =0,2940 
 
 
b) Idem para 40 homens. 
 
Exercício 4: Seja X o consumo de proteína por família numa região 
metropolitana. Suponha que X tem média igual a 2.2 e desvio padrão 
igual a 1.4. Seja �̅� o número médio do consumo de proteína por 
família para uma amostra de n=100. 
 
a) Qual a distribuição de �̅� ? Desenhe um gráfico e explique. 
 
b) Qual a probabilidade de o consumo médio por família seja menor 
do que 2? 
 
c) Qual a probabilidade de o consumo médio estar acima da média 
mais três desvios padrões? 
 
Exercício 5: Para as mulheres na faixa etária de 18 a 24, a pressão 
sistólica do sangue (em mm Hg) tem distribuição normal com média 
de 114,8 e desvio-padrão de 13,1. 
a) Selecionada aleatoriamente uma mulher nessa faixa etária, 
determine a probabilidade de a sua pressão sistólica ser 
superior a 120. 
117 26,56 
127 0,64673 
117 26,56 
107 0,35327
7 
b) Selecionadas aleatoriamente 12 mulheres nessa faixa etária, 
determine a probabilidade de a pressão sistólica média ser 
superior a 120. 
c) Dado que a parte (b) envolve uma amostra de tamanho não 
superior a 30, por que podemos usar o teorema central do 
limite? 
 
Exercício 6: As durações da gravidez têm distribuição normal com 
média de 268 dias e desvio de 15 dias. 
a) Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a 
probabilidade de a duração de sua gravidez ser inferior a 260 
dias. 
b) Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a 
uma dieta especial a partir do dia em que engravidam, 
determine a probabilidade de os prazos de duração de sua 
gravidez terem média inferior a 260 dias (admitindo que a dieta 
não produza efeito). 
c) Se 25 mulheres têm média realmente média inferior a 260 
dias, há razão de preocupação para os supervisores médicos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
●Distribuição amostral de proporções 
 
Seja “p” é a proporção das unidades de uma população que 
possui uma certa característica (proporção de “sucessos”). 
 
EXs :a) Proporção de pessoas do sexo masculino atendidas na 
emergência de um hospital b) Proporção de consumidores que leem 
a lista dos ingredientes enumerados no rótulo de produtos c) % das 
residências que compram mais de $ 100 por semana em 
medicamentos. 
 
Considere amostras aleatórias de tamanho n⇒ 
1. 𝐸(�̂�𝑛) = 𝑝 
2. 𝑉𝐴𝑅(�̂�𝑛) =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
 
3. Para n grande, n>30 ⇒ �̂�𝑛 enquanto variável aleatória tem 
distribuição aproximadamente normal, isto é: �̂�𝑛~𝑁(𝑝,
𝑝(1−𝑝)
𝑛
) 
 
Exercício1 : Uma proporção de 37% dos visitantes de um parque 
para a prática de esportes favorece a cobrança de taxas de entrada. 
Uma amostra aleatória de 200 visitantes foi tomada: 
a) Qual é o parâmetro? 37% 
b) Qual é a estatística? (0,37)(200)=74 
c) Qual é a probabilidade que em uma amostra de 200 visitantes 
pelo menos 40% favoreçam a cobrança de taxa? 
 
𝑃(�̂�𝑛 ≥ 0,40) = 1 − 𝑃(�̂�𝑛 < 0,40) = 1 −
𝑃 (
�̂�𝑛−𝑝
√
(𝑝(1−𝑝))
𝑝
 <
0,40−0,37
√
(0,37)(1−0,37)
200
) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0,882) =
1 − 0,8106 = 0,189; APP: µ=0.37; σ=0.034; 𝑃(𝑋 > 𝑥) =
0.18879 
Exercício 2: Um Instituto de pesquisa mostrou que 17% das 
residências investem mais de $ 100 por semana em medicamentos. 
Suponha que a proporção populacional (residências) seja p=0,17 e 
que uma amostra aleatória simples de 800 residências será 
selecionada a partir da população. 
a) Mostre a distribuição amostral de �̂�𝑛 , a proporção amostral de 
residências que gastam mais de $ 100 por semana em 
medicamentos. 
b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral esteja dentro 
do intervalo de +- 0,02 em torno da proporção populacional? 
P(0,02 ≤ �̂�𝑛 − 0,17 ≤ 0,02) = P(
−0,02
√
0,17(1−0,17)
800
≤ 
�̂�𝑛−0,17
√
0,17(1−0,17)
800
 
 ≤ 
−0,02
√
0,17(1−0,17)
800
)= P( -151≤ Z ≤ 1,51)= 0,9345 – 0,0655= 0,8690 
ou 86,9%. 
 
APP: P ( 0,02 ≤ �̂�𝑛 − 0,17 ≤ 0,02) = P ( 0.15 ≤ �̂�𝑛 ≤ 0.19) 
 
 µ= σ= 
 
 
x= p(X<x)= 
 ⇒P(�̂�𝑛 ≤ 0.19) − (�̂�𝑛 ≤ 0.15) = 
0.93396 – 0.06604= 0.86792 ou 86,79%. 
 
µ= σ= 
 
 
x= p(X<x)= 
 
 
 
c) Responda ao item (b) para uma amostra de 1.600 residências. 
0.17 0.0132806 
0.19 0.93396 
0.17 0.0132806 
0.15 0.06604 
●1. Estimação Intervalar 
 
Média populacional: 
Z=
�̅�−µ
𝜎
√𝑛
⇒ 𝑃 (−𝑧𝛼
2
≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼
2
) = 1 − 𝛼⇒ 𝑃 (−𝑧𝛼
2
≤
�̅�−µ
𝜎
√𝑛
≤
 𝑧𝛼
2
) = 1 − 𝛼 ⇒ 𝑃 (−𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
≤ �̅� − µ ≤ 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
) = 1 − 𝛼 ⇒
𝑃 (−�̅� − 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
≤ −µ ≤ �̅� + 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
) = 1 − 𝛼 ⇒ 𝑃 (�̅� −
𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
≤ µ ≤ �̅� + 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
) = 1 − 𝛼 
 
𝐼𝐶µ = (�̅� − 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
; �̅� + 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
)⇒𝐼𝐶µ = �̅� ± 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
 
 
𝛼 = 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑖𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎; = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 
𝐸 = 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
= 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜; 𝑛 = (
𝑧𝛼
2
𝜎
𝐸
)
2
 
 
OBS :Se 𝑛 > 30, podemos, podemos substituir σ pelo desvio 
padrão 𝑠. Se n≤ 30, a população deve ter distribuição normal, e 
devemos conhecer σ para aplicar as fórmulas acima. Para o caso de 
pequenas amostras e σ desconhecido (𝑛 ≤
30) 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡. 
Proporção populacional: 
 
𝐼𝐶𝑝 = �̂� ± 𝑧𝛼
2
√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
 
𝐸 = 𝑧𝛼
2
√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
= 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜; 𝑛
=
(𝑧𝛼
2
)
2
�̂� (1 − �̂�)
𝐸2
 
 
Exercício 1: Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em 
uma média amostral 25. O desvio padrão populacional é σ= 5. 
a) Qual o erro padrão da média, 𝜎�̅� = 
𝜎
√𝑛
= 
5
√40
= 0,79 
b) Para um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro? 
 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
= 1,96(0,79) = 5,55 
c) Qual o 𝐼𝐶µ? 
𝐼𝐶µ = �̅� ± 𝑧𝛼
2
𝜎
√𝑛
= 25±1,96(0,79) = (25 − 1,55; 25 +
1,55) = (23,45; 26,55) 
 
 
 95% 
 
 0,025% 
 
 
 -1,95996 µ= 0 1,95996 
 
 
µ= σ=x= p(X<x)= 
 
 
0 1 
1,95996 0,975 
Exercício 2: Em um esforço para estimar a quantia média que cada 
pessoa gasta com plano de saúde em um município, foram coletados 
dados de uma amostra de 49 indivíduos. Suponha um desvio padrão 
populacional de $5,00. 
a) Para um grau de confiança de 95%, qual é a margem de erro? 
 
E= 
1,96×5
√49
=
9,80
7
= 1,40 
 
b) Se a média amostral é $ 24,80, qual é o intervalo de confiança 
de 95% para a média populacional? 
𝐼𝐶µ = 28,80 ± 1,40 = (27,40; 30,20) 
 
 
Exercício 3: De um município, sorteou-se 31 domicílios com a 
finalidade de estimar o rendimento mensal domiciliar (população 
aprox.normal). Foram encontradas as seguintes estatísticas na 
amostra:�̅� = 1881,57; 𝑠 = 373,97. 𝐶alcule: 
a) 𝐼𝐶µ(95%)= (1881,57 −
1,96×373,97
√31
; 1881,57 +
1,96×373,97
√31
) = (1749,92; 2013,22); 
b) 𝐼𝐶µ(99%) = 1881,57± 
2,58×373,97
√31
. 
 
 
 99% 
 
 0,5% 
 
 
 -2,57583 µ= 0 2,57583 
 
 
 
µ= σ= 
 
 
x= p(X<x)= 
 
 
c) Qual o tamanho da amostra necessário para estimar a renda 
média se o erro máximo provável (margem de erro) deve ser de 
121,54 da média? Considere 𝜶=5% (95% de grau de 
confiança). 
 
𝑛 = (
1,96 × 373,97
121,54
)
2
= 36,37~37 
 
d) Quais as margens de erro do 𝐼𝐶µ(95%); 𝐼𝐶µ(99%) ? 
𝐼𝐶µ(95%) ⇒ 𝐸 = 
1,96 × 373,97
√31
= 131,65 
 𝐼𝐶µ(99%) ⇒ 𝐸 = 
2,58×373,97
√31
= 173,29 
 
Exercício 4: Os resultados de um estudo envolvendo 2000 adultos 
mostraram que 1.760 dos respondentes acreditam que o futuro 
equilíbrio do Seguro Social é uma importante preocupação de 
economia da saúde. a) Qual é a estimativa pontual da proporção 
populacional de adultos que acreditam que o futuro equilíbrio do 
Seguro Social é uma importante preocupação de economia da 
saúde? b) Com 90% de confiança, qual é a margem de erro? c) 
Desenvolva um intervalo de confiança de 90% para a proporção 
populacional de adultos que pensam que o futuro equilíbrio do Seguro 
Social é uma importante preocupação de economia da saúde. d) 
Desenvolva um 𝐼𝐶µ(95%) para essa proporção populacional. 
0 1 
2.57583
3 
0,995 
Exercício 5: De uma população normal com 𝜎2=16 levantou-se uma 
amostra, obtendo-se as observações 10, 5, 10, 7. Determinar ao nível 
de 5% um 𝐼𝐶µ para a média da população. 
 
�̅�=
10+5+10+7
4
= 8,00; 𝑠 = √
(10−8)2+(5−8)2+(10−8)2+(7−8)2
4=1
=
2,45; 𝜎 = √16 = 4 ; E=
1,96×4
√4
= 3,92 
 
𝐼𝐶µ = 8 ±3,92= (4,08; 11,92) 
 
Exercício 6: De acordo com um relatório empresarial, a maioria dos 
planos de saúde relatou lucros que superam as estimativas. Uma 
amostra de 162 planos mostrou que 104 destas ultrapassaram as 
estimativas. 
 
a) Qual é a estimativa pontual da proporção dos planos de saúde 
que ultrapassaram as estimativas? 
�̂� =
104
162
= 0,642 
b) Determine a margem de erro e forneça um intervalo de 
confiança de 95% para a proporção dos planos de saúde que 
ultrapassaram as estimativas. 
𝐸 = 𝑧𝛼
2
√�̂�(1 − �̂�)
𝑛 = 1,96
√
0,642(1 − 0,642)
162
= 0,074; 𝐼𝐶𝑝
= (�̂� ± 𝐸) = (0,642 ± 0,074) = (0,568; 0,716). 
c) Qual deve ser o tamanho da amostra se a margem de erro 
desejada for de 0,05? 
 
 𝑛 =
(𝑧𝛼
2
)
2
�̂� (1−�̂�)
𝐸2
= 
1,962×0,642×0,358
0,052
= 353,18. 
 
 
 
2020-1 (aula 07/04/2021) 
● Revisão 
 
2020-1 (aula 14/04/2021) 
● Revisão 
 
 
 
	4 - O Modelo Normal
	E(X)= ;
	Se X : N(,) então a v.a Z = , terá uma distribuição N(0,1).
	Aplicando o operador E(esperança matemática) à variável Z, temos.
	E(Z)=E()= ===0
	P(a<X<b)=
	A integral não pode ser calculada exatamente, e a probabilidade acima é obtida aproximadamente por métodos numéricos. No entanto ,para cada valor de e cada valor de , teríamos que obter P(a<X<b) para diversos valores de a e b. Isto pode ser c...