Unidade II – Cinemática das Partículas slide

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Física Geral I
Unidade II – Cinemática das Partículas
2.1 – Introdução 2.2 – Movimento Retilíneo
Prof. MSc. Edson S. C. Silva
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2.2 – Movimento Retilíneo
 2.2.1 – Posição e Deslocamento
 2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
 2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) 
 2.2.4 – Aceleração Média e Instantânea
 2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
 2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
 2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre	 
 2.2.8 – Velocidade e Posição por Integração
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2.2.1 – Posição e Deslocamento
 Define-se posição como a distância entre um corpo e um marco de referência, podendo ser positiva ou negativa de acordo com a orientação do eixo.
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2.2.1 – Posição e Deslocamento
 Na Fig. 2.1, o deslocamento (ou variação de espaço) do ponto A para o ponto B corresponde à diferença entre essas posições B e A (50 – 30 = 20 m).
 O instante de tempo t0 é tipicamente zero, mas pode ser positivo ou mesmo negativo. O intervalo de tempo Δt não pode ser negativo.
 Assim, a variação de espaço é dada por: 
 A variação de tempo (intervalo de tempo) é dada por: 
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
 A velocidade média é definida como o quociente entre o espaço percorrido e o intervalo de tempo necessário.
 EA2.1 – Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das velocidades). Calcule a velocidade média de um atleta ao longo de uma pista retilínea nos seguintes casos: (a) O atleta anda 300 m com velocidade 1,50 m/s e depois corre 200 m com velocidade de 4,00 m/s. (b) O atleta anda 4,00 min com velocidade 1,50 m/s e corre durante 6,00 min a 4,00 m/s.
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
 Sol. EA2.1 – Para o item a, temos:
 Média das velocidades:
 Velocidade Média:
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
 Sol. EA2.1 – Para o item b, temos:
 Velocidade Média:
 = 240 s = 360 s
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
 A velocidade instantânea é definida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero, isto é, pela derivada da posição com o tempo.
 A equação 2.4 pode ser interpretada da seguinte forma: a velocidade em um instante t é igual a inclinação (slope) da reta tangente ao gráfico s-t (ou x-t) nesse instante, como mostra a Fig. 2.2.
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
Fig. 2.2 – Quanto maior a inclinação (positiva ou negativa) de um corpo no gráfico x-t, maior será sua velocidade na direção positiva ou negativa de x.
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2.2.2 – Velocidade Média e Instantânea
 EA2.2 – O gráfico x-t de uma partícula é apresentado na Fig. 2.3. (a) Ordene os valores de velocidade da partícula nos pontos P, Q, R e S a partir do mais positivo para o mais negativo. (b) Em que pontos a velocidade é positiva, em que pontos a é negativa e em que pontos a velocidade é nula? 
Fig. 2.3 – Gráfico x-t do movimento de uma partícula para análise.
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
 No MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) a velocidade instantânea é constante e a aceleração nula, assim temos:
 EA2.3 – Um veículo percorre um trecho de rodovia plana e reta com a função cruise (Fig. 2.4) ativada em 80 km/h. Em t = 0 o veículo se encontra no marco 10,0 km. (a) Qual a posição do carro após 2,0 horas? (b) Quanto tempo mais será necessário para atingir o km 410 da rodovia?
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
 Sol EA2.3 – A função cruise permite ao veículo mover-se com velocidade constante v = 80 km/h (MRU) e sua posição inicial é s0 = 10 km, logo:
item a:
item b:
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
 EA2.4 – Em determinado instante um caça que voa horizontalmente com velocidade constante v passa na mesma vertical de um observador a uma altura h dos ouvidos deste. Algum tempo depois, o cone de som de abertura , produzido pelo avião, toca a cabeça do observador. Nesse instante, qual a distância horizontal entre o observador e o avião? Justifique com desenhos e cálculos.
(a) h/sen (/2)			(d) 2h tg () 	
(b) h/cos (/2) 			(e) h tg (/2)
(c) h/tg (/2) 			
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2.2.3 – Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
 Sol. EA2.4 – Observando o triângulo retângulo com vértices centrados no avião e na cabeça do observador, temos:
Fig. 2.5 – Cone de som 
de um caça 
(alternativa c)
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2.2.4 – Aceleração Média e Instantânea
 A aceleração média é definida como o quociente entre a variação de velocidade e o intervalo de tempo necessário para este feito.
 A aceleração instantânea é definida como o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero, isto é, pela derivada da velocidade no tempo.
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2.2.4 – Aceleração Média e Instantânea
Fig. 2.6 – Quanto maior a inclinação (positiva ou negativa) de um corpo no gráfico v-t, maior será sua aceleração na direção positiva ou negativa de x.
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
 No MRUV (Movimento Retilíneo Uniforme Variado) a aceleração instantânea é constante, assim temos:
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
 Pela definição de velocidade instantânea, temos:
 Isolando o tempo t em 2.8 e levando em 2.9, temos:
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
 Isolando a aceleração em 2.8 e levando em 2.10, vem:
 EA2.5 – O carro se move em linha reta e em um curto intervalo de tempo com velocidade dada pela função v = (20 + 4t) m/s (t em segundos). Seja s = 50 m em t = 0. Obter sua posição e aceleração em t = 20 s. 
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
 Sol. EA2.5 – Por comparação entre equações, temos:
 Como s = 50 m em t = 0, temos s0 = 50 m, logo: 
 A posição em t = 20 s é obtida através da equação 2.9: 
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2.2.5 – Movimento Retilíneo Uniforme Variado
Fig. 2.8 – Em experimentos realizados pela USAF (Força Aérea dos EUA) na década de 1940 e 1950, seres humanos em um foguete trenó foram submetidos a acelerações muito grandes, de até 440 m/s2 (44 g). As fotos de 1-3 ao lado mostram o físico da USAF John Stapp acelerando do repouso até 188 m/s (678 km/h) em apenas 5 s. As fotos 4-6 mostram o efeito da frenagem do foguete.
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
 EA2.6 – Um veículo trafega com velocidade de 108 km/h em uma estrada plana e reta quando depara com um obstáculo à frente. O motorista demora 0,5 s entre o instante de observação do perigo e o acionamento dos freios. O atrito entre os pneus e a pista permite desaceleração de 5 m/s2. (a) Qual o espaço percorrido desde o instante de observação do obstáculo até que o veículo pare completamente? (b) Quanto tempo após o acionamento dos freios o veículo entra em repouso?
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
 Sol. EA2.6 – Temos dois trechos: 1º é MRU e o 2º
MRUV.
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
 Prob2.1 – O gráfico da posição versus tempo de um trem é o da Fig. 2.9. Construa os gráficos da velocidade versus tempo (v-t) e da da aceleração versus tempo (a-t).
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2.2.6 – Equações da Cinemática (MRU e MRUV)
 Prob2.2 – O gráfico da velocidade versus tempo (v-t) de um carro durante uma viagem ao longo de uma estrada é mostrado na Fig. 2.10. Desenhe os gráficos da posição versus tempo (s-t) e da da aceleração versus tempo (a-t).
4t
20
60 – 2t 
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 A aceleração da gravidade g varia com a altura. Para pequenas distâncias, podemos considerar a aceleração da gravidade constante.
 O movimento de corpos em lançamento vertical ou em queda livre aproxima-se de um MRUV com a = ±g. Ao nível do mar a aceleração da gravidade vale g = 9,8 m/s2. 
 O sinal + ou – depende do sentido adotado e do tipo de movimento, se queda livre, lançamento vertical para baixo ou lançamento vertical para cima. 
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 Para corpos em queda livre (v0 = 0), temos:
 Adotando a = ±g nas equações 2.8, 2.9 e 2.10, temos:
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 EA2.7 – Uma moeda de um euro cai da Torre Inclinada de Pisa livremente a partir do repouso. Quais são suas posições e velocidades após 1,0 s, 2,0 s e 3,0 s de queda?
Fig. 2.11 – Gotas de chuva em queda livre
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 Sol. EA2.7 – No instante t após a moeda cair, sua posição y e velocidade vy são dadas por:
abaixo da origem 
sentido negativo
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 EA2.8 – Gotas de chuva estão caindo de uma laje em intervalos de tempo iguais. Uma fotografia registra a distância entre três gotas consecutivas, como ilustra a Fig. 2.11. Determine (a) o intervalo de tempo entre as quedas de gotas consecutivas, (b) o espaço percorrido, a velocidade e o tempo de queda da gota 1 e (c) a distância entre a gota 3 e a gota imediatamente abaixo. Considere a origem y0 = 0 na laje e o sentido positivo para baixo, logo a = +g.
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 Sol. EA2.8 – Aplicando a eq. 2.15 entre as posições 1 e 2:
t1 
t
t
y1, v1
y2, v2
 Para o trecho entre as posições 1 e 3:
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 Sol. EA2.8 – Isolando v1 na equação I, temos:
t1 
t
t
y1, v1
y2, v2
 Para trecho entre a laje e a posição 1:
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2.2.7 – Lançamento Vertical e Queda Livre
 Sol. EA2.8 – Para o trecho entre a laje e a gota imediatamente abaixo da gota 3, temos:
t1 
t
t
y1, v1
y2, v2
 Seja d34 a distância entre as gotas 3 e 4:
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2.2.8 – Velocidade e Posição por Integração
Fig. 2.12 – Quando você pisa até o fundo no pedal do acelerador do seu carro, a aceleração resultante não é constante: quanto maior a velocidade do carro, mais lentamente ele ganha velocidade adicional. Para um carro comum, o tempo para acelerar de 50 km/h a 100 km/h é igual ao dobro do tempo necessário para acelerar de 0 a 50 km/h.
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2.2.8 – Velocidade e Posição por Integração
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Referências
 Young, H. D.; Freedman, R. A.; 
University Physics, Addison-Wesley, 2012, 13th Ed.
 Halliday, D.; Resnick, R.; Walker, J.
Fundamentals of Physics Extended, Wiley, 2008, 8th Ed.
www.feiradeciencias.com.br
www.walter-fendt.de/ph14br/