ANALISE DE CIRCUITOS

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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR 
DEPARTAMENTO DE ENGª ELECTROMECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS 
 
 
 
 
JOÃO PAULO DA SILVA CATALÃO 
 
 
 
 
 
FEVEREIRO 2009
 
 
Índice 
 
 
 
 
Capítulo 1 Definições e Unidades .................................................1 
 1.1 Sistema Internacional de Unidades .................................1 
 1.2 Carga Eléctrica......................................................3 
 1.3 Corrente Eléctrica...................................................4 
 1.4 Tensão Eléctrica ....................................................5 
 1.5 Potência e Energia ..................................................6 
 
 
 
 
Capítulo 2 Leis Experimentais e Circuitos Simples............................7 
 2.1 Elementos Eléctricos................................................7 
 2.2 Leis de Kirchhoff ..................................................12 
 2.3 Circuitos com uma só malha ......................................13 
 2.4 Circuitos com apenas um par de nós ..............................14 
 2.5 Dualidade ..........................................................15 
 2.6 Associações de Elementos ........................................15 
 2.7 Transformação Triângulo-Estrela .................................18 
 2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente .........................19 
 
 
 
 
Capítulo 3 Técnicas Simples de Análise de Circuitos ........................21 
 3.1 Número de Equações Independentes..............................21 
 3.2 Método dos Nós ...................................................22 
 3.3 Método das Malhas................................................24 
 3.4 Linearidade e Sobreposição .......................................25 
 
 
 
Capítulo 4 Técnicas de Simplificação de Circuitos ...........................28 
 4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais ......................28 
 4.2 Fontes Equivalentes ...............................................30 
 4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton ..............................32 
 4.4 Transferência Máxima de Potência ...............................36 
 
 
 
 
Capítulo 5 Amplificador Operacional ..........................................38 
 5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional .............38 
 5.2 Características Reais do Amplificador Operacional .............39 
 5.3 Circuito Inversor...................................................43 
 5.4 Circuito Não Inversor .............................................44 
 
 
 
 
Capítulo 6 Sinais ...................................................................45 
 6.1 Função Escalão Unitário ..........................................45 
 6.2 Função Impulso Unitário .........................................45 
 6.3 Função Rampa Unitária ...........................................46 
 6.4 Função Exponencial ..............................................47 
 6.5 Função Sinusoidal ................................................47 
 
 
 
 
Capítulo 7 Capacidade e Auto-Indução ........................................48 
 7.1 Condensador ......................................................48 
 7.2 Bobina .............................................................51 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 8 Circuitos de Primeira Ordem ......................................54 
 8.1 Circuitos RL e RC Simples .......................................54 
 8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador .............................56 
 8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC .......................58 
 
 
 
 
Capítulo 9 Circuitos de Segunda Ordem.......................................61 
 9.1 Circuito RLC ......................................................61 
 
 
 
Definições e Unidades 
 1
 
 
 
 
Capítulo 1 – Definições e Unidades 
 
1.1 Sistema Internacional de Unidades 
 
Unidades Básicas (7) 
• m (metro) distância 
• kg (quilograma) massa 
• s (segundo) tempo 
• A (Ampere) corrente eléctrica 
• K (Kelvin) temperatura 
• mol (mole) quantidade de matéria 
• cd (candela) intensidade luminosa 
 
Unidades Suplementares (2) 
• rad (radiano) ângulo plano 
• sr (esterradiano) ângulo sólido 
 
Algumas Regras 
• Não se deve usar plural dos nomes (ou dos símbolos). 
• Os símbolos de unidades com nomes de pessoas devem ser escritos com letras 
maiúsculas, mas o nome da unidade não necessariamente. 
 
 
 
 
 
Definições e Unidades 
 2
Nota 
• O caso do kg (quilograma) é singular pois é a unidade básica do SI para massa e 
é múltiplo de uma outra unidade, o g (grama), que foi a unidade básica de 
massa do sistema CGS, que o SI veio a substituir. 
 
Múltiplos e Submúltiplos 
• deca (da) = 10× deci (d) = 110−× 
• hecto (h) = 210× centi (c) = 210−× 
• quilo (k) = 310× mili (m) = 310−× 
• mega (M) = 610× micro (μ ) = 610−× 
• giga (G) = 910× nano (n) = 910−× 
• tera (T) = 1210× pico (p) = 1210−× 
• peta (P) = 1510× fento (f) = 1510−× 
• exa (E) = 1810× ato (a) = 1810−× 
• zeta (Z) = 2110× zepto (z) = 2110−× 
• yota (Y) = 2410× yocto (y) = 2410−× 
 
Alguns Exemplos e Contra-Exemplos 
• h h. hs 
• mm 
• Aμ 
• TJ 
• 1 km2 = 106 m2 
• 0,2 nm, e não 0,2 mμm (não se deve usar mais de um prefixo) 
• 1 GHz, e não 1 kMHz (não se deve usar mais de um prefixo) 
• 20 μm, e não 20 μ (um prefixo associa-se sempre a uma unidade) 
• 20 kg, e não 20 k (um prefixo associa-se sempre a uma unidade) 
• 10 m/s2 ou 10 m.s-2, mas não 10 m/s/s 
• N.m ou Nm 
Definições e Unidades 
 3
Unidades usadas no SI sem lhe pertencerem 
• min (minuto) = 60 s 
• h (hora) = 60 min = 3600 s 
• d (dia) 24 h = 86400 s 
• º (grau) = (π /180) rad 
• ´ (minuto) = (1/60)º = (π /10800) rad 
• ´´ (segundo) = (1/60)´= (π /648000) rad 
• l, L (litro) = 1 dm3 = 10-3 m3 
• t (tonelada) = 103 kg 
 
Unidades derivadas do SI (usadas em Análise de Circuitos) 
• Hz (Hertz) = s-1 p/ frequência 
• N (Newton) = kg.m/s2 p/ força 
• J (Joule) = N.m p/ trabalho, energia 
• W (Watt) = J s-1 p/ potência 
• V (Volt) = J/C p/ tensão ou diferença de potencial 
• Ω (Ohm) = V/A p/ resistência eléctrica 
• (Mho) = Ω -1 p/ condutância eléctrica 
• C (Coulomb) = A.s p/ quantidade de energia eléctrica 
• H (Henry) = V.s / A = J/A2 p/ indutância eléctrica 
• F (Farad) = C/V = A3s2 / J p/ capacitância eléctrica 
 
 
1.2 Carga Eléctrica 
 
• É uma propriedade intrínseca da matéria. 
• Representa a quantidade de electricidade responsável por fenómenos eléctricos. 
• Unidade: C (Coulomb) em homenagem a Charles Coulomb, cientista francês 
(1736-1806); carga de um electrão = – 1,602 1910−× C; pelo que, 1 C representa 
a carga combinada de cerca de 6,24 1810× electrões. 
• Símbolo: Q (quando não varia no tempo); q ou q(t) (quando varia no tempo). 
Definições e Unidades 
 4
• Tem magnitude e polaridade (“+” ou “-”); cargas iguais repelem-se, cargas 
diferentes atraem-se. 
• Carga eléctrica em movimento representa uma corrente eléctrica. 
 
 
1.3 Corrente Eléctrica 
 
• Taxa de variação, no tempo, da carga eléctrica que passa por um determinado 
ponto de referência. 
• Unidade: A (Ampere) em homenagem a André-Marie Ampere, cientista francês 
(1755-1836). 
• Símbolo: i(t) 
• 
td
qd)t(i = 1 A = 1 C/s 
• Tem magnitude e sentido. 
 
 3 A ⇔ - 3 A (a seta indica o sentido do fluxo de corrente) 
 
• Relação carga - corrente eléctrica: 
A carga eléctrica transferida entre os instantes t0 e t pode serexpressa como 
dtiq)t(q)t(q
t
t
t
t0 00 ∫==− 
A carga eléctrica total transferida ao longo de todo o tempo é obtida 
)t(qdti)t(q 0
t
t0
+= ∫ 
• Alguns tipos de corrente eléctrica: 
i (t) 
 
 
 
 
 
 0 t 
Corrente contínua (corrente que circula sempre no mesmo sentido com uma 
intensidade constante) 
Definições e Unidades 
 5
i (t) 
 
 
 
 
 
 0 t 
 
 
Corrente alternada (corrente de sentido variável) 
 
 
1.4 Tensão Eléctrica 
 
Considere o seguinte elemento: 
Terminal A 
 
A corrente pode entrar ou sair de um elemento por 
dois caminhos diferentes: de A para B; de B para A. 
 
Terminal B 
 
• A tensão eléctrica é o trabalho (ou energia) necessário para mover uma carga 
positiva de 1 C através do elemento, de um terminal para o outro. 
• Unidade: V (Volt) 
• Símbolo: V ou v(t) 
• 
qd
wd)t(v = 1 V = 1 J/C 
• Tem magnitude e direcção. Pode ser positiva ou negativa. 
 
 - vBA + 
 A B vAB = - vBA 
 + vAB - 
 
os sinais “+” e “-”, ou a seta, indicam o sentido positivo da diferença de 
potencial 
Definições e Unidades 
 6
A energia dispendida para fazer a corrente passar pelo elemento pode manifestar-se de 
várias formas: armazenada para ser usada (baterias); calor (resistências); energia 
acústica; luz (lâmpadas). 
 
 
1.5 Potência e Energia 
 i(t) 
 A 
 + 
 
 v(t) 
 
 
 - 
 B 
 
• Potência: )t(i)t(v)t(p = ou ivp = 
• Unidade: W (Watt) em homenagem a James Watt, inventor escocês (1736-
1819). 
• A potência mede a taxa de variação, no tempo, da energia transformada. 
• iv
td
qd.
qd
wd
td
wd)t(p === 1 W = 1 J/s 
Convenção passiva: Se a corrente atravessa o elemento de A para B, a tensão 
criada vai ter o pólo positivo em A, e o pólo negativo em B; neste caso, a potência 
ivp = diz-se como sendo “absorvida” pelo elemento, se for positiva; de outro 
modo, diz-se que a potência é “fornecida” pelo elemento. 
 i1 i2 
 
 + + 
 
 v1 v2 
 
 - - 
 
 
111 ivp ×= potência absorvida )i(vp 222 −×= potência absorvida 
 222 ivp ×= potência fornecida 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 7
 + 
vs 
 
 – 
 + 
6 V 
 
 – 
 + 
6 V 
 
 – 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 
2.1 Elementos Eléctricos 
 
• Elementos Activos – São elementos que, normalmente, fornecem potência para 
outros elementos do circuito. Exemplos: Fontes de Tensão; Fontes de Corrente. 
• Elementos Passivos – São elementos que absorvem potência. Exemplos: 
Resistências. 
 
Fonte de Tensão (ideal) 
 i 
A tensão nos terminais do elemento (i.e., da fonte de tensão) 
é totalmente independente da corrente que passa por ele. 
 
Portanto, se vs (t) = 10 t2 V, então, em t = 1 s, vs (t) = 10 V; 
em t = 2 s, vs (t) = 40 V, seja qual for o fluxo de corrente que 
passa pelo elemento. Potência fornecida pela fonte de tensão: 
ivp s ×= 
 
Fonte de tensão constante ou bateria 
 
 
 ou 
 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 8
 + 
 12 V 
 
 – 
 + 
1 2 V 
 
 – 
 
is 
 
 
+ – 
 v 
 
 
 2 A 2 A 
 
 
 
 
 
 
A bateria está a fornecer A bateria está a absorver 
 24 W de potência 24 W de potência 
 (descarregar) (recarregar) 
 
Fonte de Corrente (ideal) 
 
A corrente que atravessa o elemento (i.e., a fonte de corrente) 
é totalmente independente da diferença de potencial nos seus 
terminais. 
Se is é constante fonte de corrente contínua. 
 
Resistência 
 i R 
Lei de Ohm: iRv = 
 R = Resistência constante de proporcionalidade 
 
 
Unidade: Ω (Ohm) em homenagem a George Simon Ohm, 
físico alemão (1787-1854); 1 Ω = 1 V/A. 
 
 Potência absorvida pela resistência: R/viRivp 22 === 
 
Um curto-circuito corresponde a uma resistência nula – fio 
ideal; um circuito aberto corresponde a uma resistência 
infinita. 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 9
+ – 
 v 
 
 
Código de cores para as resistências: os valores das 
resistências disponíveis no mercado são identificados por um 
conjunto de riscas coloridas obedecendo a uma codificação 
pré-definida. 
Cor 1ª e 2ª 
Cor 
3ª Cor 
(nº de zeros) 
Preto 
Castanho 
Vermelho 
Laranja 
Amarelo 
Verde 
Azul 
Violeta 
Cinzento 
Branco 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
 
0 
00 
000 
0 000 
00 000 
000 000 
0 000 000 
00 000 000 
000 000 000 
 
Cor Tolerância 
Prateado 
Dourado 
10 % 
5% 
 
 
Condutância 
 i R=1/G 
A condutância é o inverso da resistência: G = 1/R 
 
Unidade: (Mho) ou S (Siemens) = Ω -1 
 
A Lei de Ohm fica: vGi = ; potência absorvida pela 
resistência: G/ivGivp 22 === 
 
A ligação de dois ou mais elementos denomina-se rede. Se a rede possui pelo menos 
um caminho fechado, de modo a que a corrente eléctrica possa fluir continuamente, 
denomina-se circuito eléctrico. Portanto, todo o circuito é uma rede, mas nem toda a 
rede é um circuito. A rede que possui pelo menos um elemento activo denomina-se 
rede activa. Se a rede não contém qualquer elemento activo denomina-se rede passiva. 
 
 
Tolerância
3ª cor
2ª cor
1ª cor
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 10
 + 
 v R2 R3 
 
 – 
1 
 
 
 
 
2 
1 
 
 
 
 
2 
 + 
 vs 
 
 
1vα – 
 
 
 is 
2iγ 
=
 + 
 vs 
 
 
1iβ – 
= =
 
 is 
2vδ 
=
 + 
 vs 
 
 
1vα – 
 
 
 is 
2iγ 
=
 + 
 vs 
 
 
1iβ – 
= =
 
 is 
2vδ 
=
Um nó é um ponto onde dois ou mais elementos se conectam. Uma malha ou 
circulação é um percurso fechado quando nós vamos de nó em nó, começando e 
acabando no mesmo nó. Um ramo é um caminho com apenas um elemento. Ou seja, 
um ramo consiste em um elemento e os dois nós (um em cada terminal). Um caminho 
é um percurso sem repetir o mesmo nó. Uma malha independente é uma malha que 
não inclui no seu interior nenhuma outra circulação. 
 
Um grafo orientado do circuito consiste num redesenho do circuito com cada ramo 
substituído por uma linha que contém apenas o sentido da corrente segundo a 
convenção passiva. 
 
 R1 
 
 
 
 
 
Fontes Dependentes 
 
Uma fonte dependente fornece uma tensão/corrente de saída que depende de alguma 
outra variável do circuito. Assim, podemos ter: 
 
 
 
 
onde v1, v2, i1 e i2 são tensões e correntes em outra parte do circuito. A seguinte 
notação também pode ser usada: 
 
 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 11
+ – 
 v 
+ – 
 v+ 
 U 
 
 – 
 
 + 
 I0 v 
 
 – 
 
I0 
Características Tensão-Corrente 
 
Resistência Díodo 
 i R i 
 
 
i i 
 
 
 R/1tg =θ 
 θ 
 0 v 0 v 
 
O díodo permite efectuar a rectificação da 
corrente eléctrica. O díodo deixa passar a 
corrente num dos sentidos e impede a sua 
passagem em sentido inverso. A partir de um 
dado valor positivo da tensão o díodo começa 
a conduzir, mas não de uma forma linear. 
 
 Fonte de Tensão (ideal) Fonte de Corrente (ideal) 
 i 
 
 
i i 
 
 
 
 
 0 U v 0 v 
 
 
 
 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 12
 + – 
 v1 1 2 v2 
 
 – + 
 
 
+ – 
 v3 
3 
2.2 Leis de Kirchhoff 
 
As duas Leis de Kirchhoff são as ferramentas básicas para a análise de circuitos, e as 
suas aplicações simplificam esta análise. Geralmente faz-se uso dessas leis para 
encontrar correntes e tensões desconhecidas. 
 
Lei dos Nós (KCL) – Baseada na conservação de cargas, i.e., não há acréscimo ou 
desaparecimento de cargas num nó; no nó a carga é constante: 
 
DCBA iiii +=+ iA iB 
 
A soma das correntes que entram em iC iD 
um nó é igual à soma das correntes 
que saem desse mesmo nó 
 
Equivalentemente: 0iiii DCBA =−−+ (considerando positivas as correntes 
que entram e negativas as que saem) 
ou 0iiii DCBA =++−− (vice-versa) 
 
Ou seja, a Lei dos Nós fica: 0i
N
1n
n =∑
=
 
 
Lei das Malhas (KVL) – A conservação da energia requer que por qualquer percurso 
fechado, ou malha, a soma algébrica das tensões seja igual a zero: 
 
0vvv 321 =−+ 
 
 
 
Ou seja, a Lei das Malhas fica: 0v
N
1n
n =∑
=
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 13
 + + 
 v1 R2 2Rv 
 
 – (1) – 
+ – 
 
 R1 
 
 
 i 
 + – 
2.3 Circuitos com uma só malha 
 
Considere o seguinte circuito simples, com uma só malha (1): 
 
 
1R
v v2 
 
 
 
 
 
As resistências nos fios são desprezáveis ou estão incluídas nas resistências R1 e R2. 
Os valores de v1, v2, R1 e R2 são conhecidos. Pretende-se determinar: tensões 1Rv e 
2R
v ; corrente que passa por cada elemento; potência absorvida por cada elemento. 
 
Pelas Lei dos Nós, a corrente i é a mesma para todos os elementos deste circuito. 
Pelo que, Elementos em Série têm a "mesma" corrente. 
Aplicando a Lei das Malhas (considerando o sentido dos ponteiros do relógio como 
sendo positivo), e a Lei de Ohm, obtém-se: 
21
21
2211R2R1 RR
vvi0iRviRv0vvvv
21 +
−=⇔=+++−⇔=+++− 
Se Ω= 30R1 , Ω= 15R2 , V120v1 = , V30v2 = , então: 
 A2i = , V60v
1R
= , V30v
2R
= . 
Potência absorvida pela fonte de 120 V: W240)2(120p −=−×= (fornece 240 W) 
Potência absorvida pela fonte de 30 V: W60230p =×= 
Potência absorvida pela resistência de Ω30 : W120260ivp
1R
=×== 
 ou W120230iRp 221 =×== 
Potência absorvida pela resistência de Ω15 : W60230ivp
2R
=×== 
 ou W60215iRp 222 =×== 
Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: W06012060240 =+++− 
É importante observar que se a corrente i tivesse sido escolhida com o sentido 
contrário, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo. 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 14
 
 i1 G1 G2 
 
 
 i2 
 
 
1G
i 
2G
i + 
 v 
 
 – 
A 
B 
2.4 Circuitos com apenas um par de nós 
 
Considere o seguinte circuito simples, com apenas um par de nós (A-B): 
 
 
 
 
 
 
Os valores de i1, i2, G1 e G2 são conhecidos. Pretende-se determinar: correntes 1Gi e 
2G
i ; tensão nos terminais de cada elemento; potência absorvida por cada elemento. 
 
Pelas Lei das Malhas, a tensão v é a mesma para todos os elementos deste circuito. 
Pelo que, Elementos em Paralelo têm a "mesma" tensão. 
Aplicando a Lei dos Nós (considerando, para o nó A, positivas as correntes que entram 
e negativas as que saem), e a Lei de Ohm, obtém-se: 
21
21
2211G2G1 GG
iiv0vGivGi0iiii
21 +
−=⇔=−−−⇔=−−− 
Se Ω= 30G1 , Ω= 15G2 , A120i1 = , A30i2 = , então: 
 V2v = , A60i
1G
= , A30i
2G
= . 
Potência absorvida pela fonte de 120 A: W240)120(2p −=−×= (fornece 240 W) 
Potência absorvida pela fonte de 30 A: W60302p =×= 
Potência absorvida pela condutância de Ω30 : W120602ivp
1G
=×== 
 ou W120230vGp 221 =×== 
Potência absorvida pela resistência de Ω15 : W60302ivp
2G
=×== 
 ou W60215vGp 222 =×== 
Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: W06012060240 =+++− 
É importante observar que se a tensão v tivesse sido escolhida com a polaridade 
contrária, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo. 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 15
 + + 
 v R2 2v 
 
 – – 
+ – 
 
 R1 
 
 
 i 
 
 3v 
– + 
 
 R3 
 
 
2.5 Dualidade 
 
O estudo de um circuito simples está sempre ligado a uma dualidade. De facto, se 
substituirmos correntes por tensões (e vice-versa), resistências por condutâncias 
(e vice-versa), par de nós por malha única (e vice-versa), Lei dos Nós por Lei das 
Malhas (e vice-versa), paralelo por série (e vice-versa), obtemos num e noutro caso as 
mesmas equações, as mesmas conclusões e até os mesmos resultados numéricos. 
 
Esta propriedade que acompanha permanentemente a análise de circuitos designa-se 
por dualidade. A dualidade ajuda-nos a melhor compreender e assimilar as técnicas de 
análise de circuitos. 
 
 
2.6 Associações de Elementos 
 
Resistências em Série 
 
 1v 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei das Malhas e a Lei de Ohm, obtém-se: 
iRvi)RRR(viRiRiRv0vvvv eq321321321 =⇔++=⇔++=⇔=+++− 
 
Portanto, as resistências em série (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito por: 
321eq RRRR ++= 
 
De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em série é 
dada por: ∑
=
= I
1i
ieq RR 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 16
 + 
 v1 R 
 
 – 
 + – 
 
 
 
 
 i 
 – + 
 + 
 veq R 
 
 – 
 i 
 
 
 i R1 R2 R3 
 
i1 i3 + 
 v
 
–
i2 
Fontes de Tensão (ideais) em Série 
 
As fontes de tensão em série também podem ser combinadas, devendo-se ter em conta 
a polaridade da tensão.Considere, por exemplo, o seguinte circuito: 
 
 v2 3v 
 
 
 
 
 
Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por: 
 
 
 
 
 
 
sendo: 321eq vvvv +−= 
 
Resistências em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Nós e a Lei de Ohm, obtém-se: 
v
R
1iv
R
1
R
1
R
1i
R
v
R
v
R
vi0iiii
eq321321
321 =⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=⇔++=⇔=−−− 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 17
 
 i1 i2 R 
 
 
 i3 
 
 
 + 
 v
 
–
 
 ieq R 
 
 
 + 
 v
 
–
Portanto, as resistências em paralelo (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito 
por: 
321
eq
R
1
R
1
R
1
1R
++
= 
 
Em termos de condutância, têm-se: 321eq GGGG ++= 
 
De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em paralelo é 
dada por: 
∑
=
= I
1i i
eq
R
1
1R 
 
No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, tem-se: 
21
21
eq RR
RRR +
×= 
 
Fontes de Corrente (ideais) em Paralelo 
 
As fontes de corrente em paralelo também podem ser combinadas, devendo-se ter em 
conta o sentido da corrente. Considere, por exemplo, o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por: 
 
 
 
 
 
 
sendo: 321eq iiii −+= 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 18
 
 
 RB 
 
 
 RA RC 
 α α 
β 
 γ 
β 
γ 
 
 
 R1 R3 
 
 
 
 
 
 R2 
 
⇔ 
2.7 Transformação Triângulo-Estrela 
 
 Triângulo Estrela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )CBA RR//RR +=β−α 21 RRR +=β−α 
 ( )BAC RR//RR +=γ−β 32 RRR +=γ−β 
 ( )CAB RR//RR +=γ−α 31 RRR +=γ−α 
 
Para que os dois circuitos sejam equivalentes, tem-se que: 
( )
21
CBA
CBA RR
RRR
RRR +=++
+× 
( )
32
CBA
BAC RR
RRR
RRR +=++
+× 
( )
31
CBA
CAB RR
RRR
RRR +=++
+× 
 
Assim, uma ligação em triângulo pode ser substituída por uma ligação em estrela, e 
vice-versa, atendendo a que: 
 
3
323121
A R
RRRRRRR ++= 
CBA
BA
1 RRR
RRR ++= 
 
2
323121
B R
RRRRRRR ++= 
CBA
CA
2 RRR
RRR ++= 
 
1
323121
C R
RRRRRRR ++= 
CBA
CB
3 RRR
RRR ++= 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 19
 + + 
 v R2 2v 
 
 – – 
+ – 
 
 R1 
 
 
 i 
 
 
i i R1 R2 
 
i1 i2 + 
 v
 
–
As relações anteriores podem ser obtidas pelas duas regras seguintes: 
• Transformação Δ−Υ : Qualquer resistência do triângulo é igual à soma dos 
produtos, dois a dois, das resistências da estrela, dividida pela resistência da 
estrela que lhe é oposta. 
• Transformação Υ−Δ : Qualquer resistência da estrela é igual ao produto das 
duas resistências adjacentes do triângulo, dividido pela soma das três 
resistências do triângulo. 
 
 
2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente 
 
Divisor de Tensão 
 
 1v 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: iRv 22 = 
A resistência equivalente é dada por: 21eq RRR += 
Logo: v
RR
Rv
R
vi
21
2
2
eq +
=⇒= 
De forma semelhante: v
RR
Rv
21
1
1 += 
 
Divisor de Corrente 
 
 
 
 
 
 
Leis Experimentais e Circuitos Simples 
 20
Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: 
2
2 R
vi = 
A resistência equivalente é dada por: 
21
21
eq RR
RRR +
×= 
Logo: i
RR
Rii
R
RR
RR
iiRv
21
1
2
2
21
21
2eq +=⇔
+
×
=⇒= ou i
GG
Gi
21
2
2 += 
De forma semelhante: i
RR
Ri
21
2
1 += ou iGG
Gi
21
1
1 += 
 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 21
 
 
 
 
Capítulo 3 – Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 
3.1 Número de Equações Independentes 
 
Considere um determinado circuito em que: 
• N = nº de nós 
• B = nº de ramos = nº de elementos 
 
Circuito Planar – Se é possível desenhar o diagrama do circuito numa superfície plana 
de tal forma que nenhum ramo cruze outro ramo. 
 
Teorema 1 
Existem exactamente ( )1N − equações independentes extraídas da Lei dos Nós 
aplicada em ( )1N − nós do circuito. 
 
Teorema 2 
Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos de apenas ( )1N − tensões 
nodais independentes. 
 
Teorema 3 
Existem exactamente ( )1NBL +−= equações independentes extraídas da Lei das 
Malhas aplicada em ( )1NBL +−= malhas do circuito. Se o circuito é planar, então 
L corresponde ao número de malhas independentes. 
 
 
 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 22
 
 3 A 2Ω 1Ω 
 
 
 – 2 A 
 
 
5Ω 
 
 3 A 2Ω 1Ω 
 
 
 – 2 A 
 
 
 1v 2v
5Ω 
Teorema 4 
Todas as correntes nos ramos podem ser expressas em termos de apenas 
( )1NBL +−= correntes de malha independentes. 
 
Um circuito pode ser resolvido por um sistema de ( )1N − equações, se usarmos o 
Método dos Nós, ou por um sistema de ( )1NBL +−= equações, se usarmos o 
Método das Malhas. Ou seja, dependendo da topologia do circuito, pode ser mais fácil 
resolvê-lo pelo Método dos Nós ou pelo Método das Malhas. Estes métodos são 
seguidamente descritos em mais pormenor. 
 
 
3.2 Método dos Nós 
 
Um circuito com N nós terá ( )1N − tensões nodais como incógnitas e ( )1N − 
equações. Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós: 
 
 
 
 
 
 
Vamos enumerar os nós e definir 2 tensões nodais como incógnitas: 1v é a tensão 
entre os nós 1 e 3; 2v é a tensão entre os nós 2 e 3. Assim, o nó 3 é designado por nó 
de referência, o que nos permitirá simplificar a representação das tensões no circuito. 
 
 
 
 
 
 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 23
A tensão entre os nós 1 e 2 é dada por: ( )21 vv − ; a tensão entre os nós 2 e 1 é dada 
por: ( )12 vv − ; a tensão entre os nós 3 e 1 é dada por: 1v− ; a tensão entre os nós 3 e 2 
é dada por: 2v− . 
 
Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos: 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
=−+
2
5
vv
1
v
3
5
vv
2
v
122
211
 
 
ou seja: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
2v2,1v2,0
3v2,0v7,0
21
21
 
 
o que dá o seguinte resultado: 
V5v1 = ; V5,2v2 = 
 
e a tensão entre os nós 1 e 2 é: 
( ) V5,2vv 21 =− 
 
Agora qualquer corrente ou potência associadas com elementos deste circuito podem 
ser determinadas. 
 
Por exemplo, a corrente na resistência de Ω2 é dada por: 
A5,2
2
vi 1 == 
 
sendo a potência absorvida pela resistência de Ω2 dada por: 
W5,12i2
2
vp 21
2
1 === 
 
 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 24
 + – 
 42 V 3Ω 10 V 
 
 – + 
 + –42 V i1 3Ω i2 10 V 
 
 – + 
3.3 Método das Malhas 
 
Um circuito com N nós e B ramos/elementos terá ( )1NBL +−= correntes de malha 
como incógnitas e ( )1NBL +−= equações. Considere, por exemplo, o seguinte 
circuito com 2 malhas independentes: 
 
 6Ω 4Ω 
 
 
 
 
 
Neste circuito tem-se 5B = e 4N = , pelo que, 2L = . Vamos definir 2 correntes de 
malha como incógnitas: 1i é a corrente na malha da esquerda; 2i é a corrente na malha 
da direita. 
 
 6Ω 4Ω 
 
 
 
 
 
A corrente na resistência de Ω3 , no sentido descendente, é dada por: ( )21 ii − ; 
a corrente na resistência de Ω3 , no sentido ascendente, é dada por: ( )12 ii − . Pelo que, 
a corrente de ramo é a combinação algébrica das correntes de malha que passam nesse 
ramo. 
 
Aplicando a Lei das Malhas para as duas malhas independentes deste circuito temos: 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
=−++−
010i4ii3
0ii3i642
212
211
 
 
 
 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 25
ou seja: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
10i7i3
42i3i9
21
21
 
o que dá o seguinte resultado: 
A6i1 = ; A4i2 = 
 
e a corrente na resistência de Ω3 , no sentido descendente, é dada por: 
( ) A2iii 213 =−= 
 
Agora qualquer tensão ou potência associadas com elementos deste circuito podem ser 
determinadas. 
 
Por exemplo, a tensão na resistência de Ω3 é dada por: 
V6i3v 3 == 
 
sendo a potência absorvida pela resistência de Ω3 dada por: 
W12
3
vi3p
2
2
3 === 
 
 
3.4 Linearidade e Sobreposição 
 
Um circuito linear que contenha duas ou mais fontes independentes pode ser analisado 
para obter as várias tensões e correntes nos ramos fazendo com que as fontes actuem 
uma de cada vez e daí sobrepondo os resultados. 
 
O Princípio da Sobreposição afirma então que a resposta (uma determinada corrente 
ou tensão) em qualquer elemento de uma rede linear, contendo mais de uma fonte, 
pode ser obtida pela soma das respostas produzidas por cada fonte actuando 
isoladamente. 
 
Este princípio aplica-se devido à relação linear entre corrente e tensão. 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 26
 
 ia 2Ω 1Ω 
 
 
 ib 
 
 
 1v 2v
5Ω 
• Fontes de tensão que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são 
substituídas por curto-circuitos. 
• Fontes de corrente que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são 
substituídas por circuitos abertos. 
 
A sobreposição não pode ser directamente aplicada ao cálculo da potência, visto que, a 
potência é proporcional ao quadrado da corrente ou ao quadrado da tensão, não sendo 
assim linear. 
 
Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós: 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos: 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
=−+
b
122
a
211
i
5
vv
1
v
i
5
vv
2
v
 
 
ou seja: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
b21
a21
iv2,1v2,0
iv2,0v7,0
 
 
e a solução destas equações dá-nos as tensões 1v e 2v . 
 
Estas mesmas equações, e portanto, o mesmo resultado seria obtido se resolvêssemos o 
problema separadamente com 0ia = (circuito aberto), e depois com 0ib = (circuito 
aberto), e finalmente somássemos. 
Técnicas Simples de Análise de Circuitos 
 27
Para 0ia = : Para 0ib = : 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
=−+
b
'
1
'
2
'
2
'
2
'
1
'
1
i
5
vv
1
v
0
5
vv
2
v
 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+
=−+
0
5
vv
1
v
i
5
vv
2
v
''
1
''
2
''
2
a
''
2
''
1
''
1
 
 
ou seja: ou seja: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
b
'
2
'
1
'
2
'
1
iv2,1v2,0
0v2,0v7,0
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
0v2,1v2,0
iv2,0v7,0
''
2
''
1
a
''
2
''
1
 
 
o que nós dará '1v e 
'
2v o que nós dará 
''
1v e 
''
2v 
 
As tensões 1v e 2v do circuito completo podem ser obtidas somando-se: 
''
1
'
11 vvv += e ''2'22 vvv += 
 
e isto pode ser verificado somando-se as equações anteriores: 
 1v 2v 
( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++−
=+−+
b
''
2
'
2
''
1
'
1
a
''
2
'
2
''
1
'
1
ivv2,1vv2,0
ivv2,0vv7,0
 
 1v 2v 
que é o sistema de equações do circuito completo. 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 28
 + 
1 V R 
 
 – 
 i 
 
 + + 
 12 V RL vL 
 
 
 
 – – 
 0,01 Ω iL 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 – Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 
4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais 
 
Considere a fonte de tensão ideal de 1 V abaixo indicada: 
 
Se R = 1 k Ω ⇒ i = 0,001 A 
Se R = 1 Ω ⇒ i = 1 A 
Se R = 1 m Ω ⇒ i = 1000 A 
Se R = 1 µ Ω ⇒ i = 1000000 A 
 
Na prática, no mundo físico real, não existe uma fonte que se comporte desta forma. 
Na prática, somente para correntes ou potências relativamente pequenas é que a fonte 
se comporta como ideal. 
 
 Fonte de Tensão (real) 
 
 
 
 
 
 
 
 
considera-se uma resistência em série, embutida, que absorve parte da tensão que vai 
para a carga RL. 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 29
 12 V 
 
 6 V 
 
 fonte ideal 
 
 fonte real 
 + + 
 vs RL vL 
 
 
 
 – – 
 Ri iL 
 
vL 
 
 
 
 
 
 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 RL 
 
Neste exemplo, quando a carga RL é igual à resistência interna de 0,01 Ω, a tensão de 
12 V divide-se em 6 V para a resistência interna e 6 V para a carga. 
 
Portanto, na prática, representa-se uma fonte de tensão real como uma fonte de tensão 
ideal com uma resistência interna Ri: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte de Tensão Carga 
 
s
Li
L
L vRR
Rv += 
pelo que, 
2
vv sL = quando iL RR = 
ainda, s
Li
L vRR
1i += 
 
Uma fonte de corrente ideal também não existe. Na prática, a corrente que vai para a 
carga RL vai decrescendo à medida que a carga aumenta. 
 
 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 30
 + 
 is RL vL 
 
 
 
 – 
 Ri' 
 iL 
 
 is 
 
 
2
is 
 
 fonte ideal 
 
 fonte real 
 Fonte de Corrente (real) 
 
 
 
 
 
 
 
 
considera-se uma resistência em paralelo, embutida, que absorve parte da corrente que 
vai para a carga RL. 
 
 iL 
 
 
 
 
 
 0 Ri' 2Ri' 3Ri' 4Ri' 5Ri' RL 
 
s
L
'
i
'
i
L iRR
Ri += 
pelo que, 
2
ii sL = quando 'iL RR = 
ainda, s
L
'
i
L
'
iL iRR
RRv += 
 
 
4.2 Fontes Equivalentes 
 
Duas fontes são equivalentes se elas produzem correntes e tensões idênticas, e portanto 
potências idênticas, para qualquer carga ligada aos seus terminais. 
 
 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 31
 
 3 A 
 
 
 
 2 Ω 
icc icc 
 + 
 6 V 
 
 
 
 –
 2 Ω 
 é equivalente a: 
 
 is 
 
 
 
 Ri 
 + 
 vs 
 
 
 
 –
 Ri 
 
 is 
 
 
 
 Ri 
 + 
 vs 
 
 
 
 –
 Ri 
 + 
 vca 
 
 
 
 – 
 + 
 vca 
 
 
 
 – 
Assim, para cargas RL iguais, a fonte de tensão e a fonte de corrente reais são 
equivalentes se: 
s
L
'
i
'
i
s
Li
i
RR
Rv
RR
1
+=+ ou sL'i
L
'
i
s
Li
L i
RR
RRv
RR
R
+=+ 
então: 
'
ii RR = e sis iRv = 
 
Por exemplo: 
 
 
 
 
 
Corrente de Curto-Circuito (RL = 0): 
 
 
 
 
 
 
Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se: 
i
s
scc R
vii == , ou seja, sis iRv = 
 
Tensão de Circuito Aberto (RL = ∞): 
 
 
 
 
 
 
Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se: 
sisca iRvv == 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 32
 + + 
 12 V 6Ω vL RL 
 
 
 
 – – 
 3 Ω 7Ω
A B
 + 
 4 A 3Ω 6Ω vL RL 
 
 
 
 – 
7Ω
A B
 + + 
 8 V vL RL 
 
 
 
 – –
7Ω
A B
2Ω
4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton 
 
Os Teoremas de Thévenin e de Norton permitem realizar uma análise parcial do 
circuito, nomeadamente, determinar a corrente, a tensão e a potência absorvida por 
uma simples resistência RL. O Teorema de Thévenin diz que é possível substituir tudo 
menos a resistência RL por um circuito equivalente que contém apenas uma fonte de 
tensão em série com uma resistência. Considere, por exemplo, o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se transformarmos primeiro a fonte de 12 V com a resistência de 3 Ω em série temos o 
circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora transformando a fonte de 4 A com a resistência de 2 Ω (3 Ω // 6 Ω) em paralelo 
temos o circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 33
 + + 
 8 V vL RL 
 
 
 
 – –
A B
9Ω 
 
 9Ω RL 
 
 
 
 
A B
A
9
8 
iL 
O circuito anterior equivale a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de tensão (8 V) em 
série com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Thévenin. 
 
Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Thévenin é equivalente à parte A 
do circuito original. A tensão em RL e a potência absorvida são dadas por: 
8
R9
Rv
L
L
L ×+= 
L
2
LL
2
L
L
L
2
L
L RR9
8
R
8
R9
R
R
vp ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×+== 
 
Se RL = ∞ (circuito aberto), vL = 8 V. 
 
O Teorema de Norton é semelhante ao Teorema de Thévenin, na verdade é um 
corolário deste. Diz que é possível substituir tudo menos a resistência RL por um 
circuito equivalente que contém apenas uma fonte de corrente em paralelo com uma 
resistência. Considerando o exemplo anterior, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 34
 + 
 vca 
 
 
 
 –
 RTh 
 
 icc RTh 
 
 
 
 
ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de corrente (8/9 A) 
em paralelo com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Norton. 
 
Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Norton é equivalente à parte A 
do circuito original. A corrente em RL é dada por: 
9
8
R9
9i
L
L ×+= 
 
Se RL = 0 (curto-circuito), iL = 8/9 A. 
 
Assim, tem-se que: 
• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por 
um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de tensão 
(vca) em série com uma resistência ( ThR ) – Equivalente de Thévenin. 
• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por 
um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de corrente 
(icc) em paralelo com uma resistência ( ThR ) – Equivalente de Norton. 
 
O Equivalente de Thévenin é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
em que vca é a tensão de circuito aberto, e ThR é a resistência de Thévenin. 
 
O Equivalente de Norton é dado por: 
 
 
 
 
 
em que icc é a corrente de curto-circuito, e ThR é a resistência de Thévenin. 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 35
 + 
 Rede v 1 A 
 
 –
 + 
 Rede 1 V 
 
 –
 i 
 
Assim, o Equivalente de Thévenin e o Equivalente de Norton podem ser obtidos um a 
partir do outro por transformação da fonte: ccThca iRv = 
 
A resistência de Thévenin, ThR , é a resistência equivalente obtida quando todas as 
fontes são suprimidas (as fontes de tensão são substituídas por curto-circuitos, 
enquanto que as fontes de corrente são substituídas por circuitos abertos). 
 
No caso de redes onde existem fontes independentes e dependentes, ThR apenas pode 
ser calculada através de: 
cc
ca
Th i
vR = . Pelo que, neste caso é necessário determinar cav e 
cci , sendo ThR obtida pela equação anterior. 
 
No caso de redes onde existem apenas fontes dependentes, ThR pode ser calculada 
considerando: 
• Uma fonte externa de corrente de 1 A nos terminais da rede: 
 
 
 
 
 
 
sendo 
1
vRTh = 
• Uma fonte externa de tensão de 1 V nos terminais da rede: 
 
 
 
 
 
 
sendo 
i
1RTh = 
 
 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 36
 + + 
 vca vL RL– –
RTh iL 
 
No caso anterior (apenas fontes dependentes), o Equivalente de Thévenin não tem 
fonte de tensão ( 0vac = ), e o Equivalente de Norton não tem fonte de corrente 
( 0icc = ). Ou seja, ambos os Equivalentes de Thévenin e de Norton são constituídos 
apenas por ThR . 
 
 
4.4 Transferência Máxima de Potência 
 
Considere o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
A potência absorvida pela resistência RL é dada por: 
2
LLL iRp = 
 
O valor da resistência RL para o qual a potência absorvida é máxima é determinado 
através de: 
( ) 0
R
iR0
R
p
L
2
LL
L
L =∂
∂⇔=∂
∂ 
 
Sendo 
ThL
ca
L RR
vi += tem-se que: 
( ) ⇔=∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+∂⇔=∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+∂
0
R
RR
R
v0
R
RR
vR
L
2
ThL
L
2
ca
L
2
ThL
ca
L
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⇔=+−+⇔=+
+−+⇔ 0
RR
R2
RR
10
RR
RRR2RR
3
ThL
L
2
ThL
4
ThL
LThL
2
LThL 
Técnicas de Simplificação de Circuitos 
 37
Th
2
ca
R4
v 
( ) ( ) ⇔+=⇔=+⇔+=+⇔ ThLLThL
L
2
ThL
3
ThL
L RRR21
RR
R2
RR
1
RR
R2 
ThL RR =⇔ 
 
Pelo que, a transferência máxima de potência ocorre quando ThL RR = 
 
A potência máxima é então dada por: 
2
ca2
Th
Th
L
2
Th
ca
ThL
2
ThTh
ca
ThL
2
LThL vR4
Rp
R2
vRp
RR
vRpiRp =⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=⇔= 
Th
2
ca
L R4
vp =⇔ 
 
pL 
 
 
 
 
 
 
 0 RTh RL 
 
 
Amplificador Operacional 
 38
 – 
 
 + 
 i – 
 
 
 
 i + 
Entrada inversora v – 
 
Alimentação (+15V) 
 
+ v CC
Entrada não inversora v + 
 
– v CC 
 
Alimentação (–15V)
 i – 
 
 
 
 i + 
 v o 
 
 i o 
 
 
 
 
 
Capítulo 5 – Amplificador Operacional 
 
5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional 
 
O Amplificador Operacional (AMPOP) é um circuito integrado activo com ganho 
elevado. O AMPOP pode ser visto como uma fonte dependente de tensão, em que a 
tensão de saída é a amplificação da "tensão-diferença" de entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )−+ −=⇔= vvAvvAv 0i0 , sendo 
i
0
v
vA = o ganho do AMPOP 
O AMPOP ideal tem as seguintes características: 
• Resistência de entrada infinita (Ri = ∞); 
• Resistência de saída nula (Ro = 0); 
• Ganho de tensão infinito (A = ∞); 
• Largura de banda infinita (BW = ∞); i.e., o AMPOP responde igualmente para 
todas as frequências, sendo o ganho independente da frequência; 
• Tensão de offset nula; i.e., quando −+ = vv ( 0vi = ) tem-se que 0vo = ; 
• Drift nulo; i.e., quando tei cv = tem-se que teo cv = ; 
• Tempo de resposta nulo. 
Amplificador Operacional 
 39
Destas características ideais podemos deduzir duas propriedades muito importantes: 
• Tensão diferencial de entrada nula (v – = v +); 
• Corrente nos terminais de entrada nula (i – = 0 e i + = 0). 
 
A primeira propriedade determina que os terminais de entrada estão ao mesmo 
potencial, i.e., em curto-circuito. Contudo, a segunda propriedade faz o curto-circuito 
como não condutor de corrente, ou como sendo um circuito aberto. Pelo que, diz-se 
um curto-circuito virtual, sendo um conceito muito importante na análise de circuitos 
com AMPOP’s. 
 
 
5.2 Características Reais do Amplificador Operacional 
 
No AMPOP real nem a resistência de entrada é infinita nem a resistência de saída é 
nula. Tipicamente, a resistência de entrada apresenta valores que vão desde alguns 
M Ω até aos T Ω, enquanto a resistência de saída apresenta valores que vão desde 
algumas centenas de Ω até apenas alguns Ω. 
 
O ganho a que se referiu anteriormente é o chamado ganho em malha aberta, i.e., o 
ganho do amplificador em si. O valor do ganho pode ser modificado por convenientes 
ligações exteriores, obtendo-se nesse caso o chamado ganho em malha fechada. 
 
Obviamente um ganho infinito não é possível, mas esse ganho é efectivamente muito 
elevado: tipicamente, entre 10000 e 10000000. 
 
Ainda, deve notar-se que a tensão de saída é limitada pela tensão de alimentação: não 
podemos ter uma tensão de saída com uma amplitude maior do que – v CC a + v CC. 
 
Os valores de v CC são, em geral, inferiores a 20 V: tipicamente 15 V. Quando a tensão 
de saída atinge + v CC ou – v CC ela satura e aí permanece, e quanto maior for o 
ganho mais depressa satura. 
 
Amplificador Operacional 
 40
 + v CC 
 
 A = declive da recta (Ganho) 
 Saturação 
negativa 
 Saturação 
positiva 
 – v CC 
 
Zona de 
funcionamento 
 linear 
A
vCC+
 
 
A
vCC−
 
 
Por exemplo, seja 510A = e a tensão de alimentação V15± . A máxima variação 
permitida à tensão de entrada, antes de se entrar em saturação, é portanto neste caso 
dada por: 
mV15,0
10
15v 5i == 
Se o ganho fosse 410 , a tensão de entrada já poderia ser 10 vezes superior, i.e., 
1,5 mV. Portanto, para se ter um funcionamento linear de um AMPOP, a tensão de 
entrada tem que ser da ordem dos mV. 
 
Seguidamente, é apresentada a característica de transferência de um AMPOP, i.e., o 
traçado da tensão de saída em função da tensão de entrada: 
 
 vo 
 
 
 
 
 
 vi 
 
 
 
 
 
 
• 
A
vv CCi < ⇒ ( )−+ −=⇔= vvAvvAv 0i0 ; zona de funcionamento linear; 
• 
A
vv CCi
+> ⇒ CC0 vv += ; AMPOP saturado positivamente; 
• 
A
vv CCi
−< ⇒ CC0 vv −= ; AMPOP saturado negativamente. 
 
Amplificador Operacional 
 41
O ganho do AMPOP pode traduzir-se numa distorção do sinal à entrada, sendo tanto 
maior essa distorção quanto maior for o ganho. Contudo, o valor do ganho poderá ser 
controlado mediante ligações externas, dando assim ao AMPOP maior flexibilidade. 
 
No AMPOP real a largura de banda (espectro de frequências ao longo do qual o 
AMPOP funciona com as suas características nominais) é finita. Além disso, não se 
pode ter num AMPOP real um ganho elevado com uma largura de banda também 
elevada. Aliás, estas duas características são naturalmente incompatíveis. Verifica-se 
no entanto que em geral, para cada AMPOP, o produto do ganho pela largura de banda 
é sensivelmente constante, constituindo um parâmetro característico: factor de mérito 
(gain bandwidth). 
 
Anteriormente foi referido que o AMPOP amplifica a "tensão-diferença" entre as 
entradas não inversora e inversora. Contudo, se existir uma componente comum às 
duas entradas, de acordo com a equação ( )−+ −= vvAv0 essa componente não 
aparecia na saída. 
 
Na realidade a tensão de saída depende não só da diferença das tensões de entrada, 
mas também da semi-soma das tensões de entrada. Assim, num AMPOP real tem-se 
que: 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−= −+−+ 2
vvAvvAv cd0 
sendo dA o ganho de modo diferencial e cA o ganho de modo comum. 
 
O facto da tensão de saída depender de cA é tipicamente indesejável, pelo que se 
procura ter cd AA >> de modo a minimizar a influência de cA na tensão de saída. 
A razão entre os dois ganhos é denominada de factor de rejeição do modo comum 
(CMRR – Common Mode Rejection Ratio): 
c
d
A
ACMRR = 
Amplificador Operacional 
 42
Um elevado CMRR é particularmente importante quando se pretende amplificar 
pequenas diferenças de sinal na presença deum elevado sinal comum, i.e., na presença 
de elevados valores de ruído. 
 
A suposição de que nos terminais de entrada do AMPOP não há corrente também não 
é real. Os valores típicos para esta corrente variam entre 300 e 1500 nA. 
 
Um caso particular do funcionamento em modo comum é aquele em que os terminais 
de entrada são curto-circuitados. Nessas condições seria de esperar que a tensão de 
saída fosse nula. Na prática tal não acontece, pelo que deve ser aplicada uma tensão 
diferencial à entrada de modo a fazer com que a tensão de saída seja nula. A esta 
tensão que aparece sobreposta a qualquer sinal de saída do amplificador dá-se o nome 
de tensão de desequilíbrio à entrada (input offset voltage). Esta tensão é variável com 
a temperatura, sendo denominada input offset voltage drift. 
 
Num AMPOP ideal a tensão de saída segue, sem atraso, a tensão de entrada. Num 
AMPOP real há sempre atrasos, i.e., taxas de crescimento temporal limitadas. 
 
É costume definir uma grandeza (slew rate) que traduz a velocidade máxima de 
resposta da saída a sinais de grande variação. Por exemplo, um slew rate de s/V5,0 μ 
significa que o AMPOP demora s20 μ a variar V10 a sua tensão de saída. O efeito 
do slew rate é distorcer o sinal quando este ultrapassa a capacidade de resposta do 
AMPOP. 
 
Dada a importância das montagens de AMPOP’s com realimentação (feedback), 
apresentam-se a seguir algumas montagens, que servem para exemplificar como se 
pode obter a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada. 
 
Deste modo, consegue-se que as características de um AMPOP dependam de 
componentes passivos e não de componentes activos (cujas características são sempre 
mais difíceis de controlar). Contudo, o ganho com realimentação é menor do que sem 
realimentação. 
 
Amplificador Operacional 
 43
 – 
 
 + 
 v o 
 + 
vi 
 
 – 
i1 R1
i2 R2 
5.3 Circuito Inversor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o AMPOP ideal, tem-se: 
• v – = v + ⇒ v – = 0 V 
• i – = 0 ⇒ i1 = i2 
 
Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se: 
2
i
222i R
vi0iRv =⇔=+− 
1
o
1o11 R
vi0viR −=⇔=+ 
 
Pelo que, obtém-se: 
i
2
1
o
2
i
1
o
21 vR
Rv
R
v
R
vii −=⇔=−⇔= 
 
Assim, o ganho é exclusivamente definido por componentes externos (R1 e R2) e não 
depende do próprio AMPOP, i.e., das suas características e componentes internos. 
 
O AMPOP funciona na zona linear (i.e., não está saturado) quando: 
21
CC
iCCi
2
1
CCo R/R
v
vvv
R
Rvv <⇔<−⇔< 
 
A realimentação permite então projectar o ganho para o valor desejado, muito embora 
com redução do ganho global, além de permitir uma tensão de entrada vi 
correspondentemente maior, sem saturação. 
Amplificador Operacional 
 44
 + 
 
 – 
 v o 
 
 + 
vi 
 
 – 
i1 R1
i3 R3 
R2
i2 
5.4 Circuito Não Inversor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o AMPOP ideal, tem-se: 
• v – = v + 
• i – = 0 ⇒ i1 = i2 
• i + = 0 ⇒ v + = vi 
 
Atendendo ao divisor de tensão, tem-se: 
o
21
2 v
RR
Rv +=− 
 
Pelo que, obtém-se: 
i
2
1
oi
2
21
oio
21
2 v
R
R1vv
R
RRvvv
RR
R
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⇔+=⇔=+ 
 
O AMPOP funciona na zona linear quando: 
CC
21
2
iCCi
2
1
CCo vRR
Rvvv
R
R1vv +<⇔<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⇔< 
 
 
Sinais 
 45
 
 
 
 
Capítulo 6 – Sinais 
 
6.1 Função Escalão Unitário 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<
=
0t,V
0t,0
)t(v
0
 
 
 v (t) 
 
 V0 
 
 
 
 0 t 
 
 
Escalão unitário: )t(u1 ⇒ Amplitude = 1 
 
 
6.2 Função Impulso Unitário 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><
≤≤
=
1
10
tte0t,0
tt0,V
)t(v 
 
 
 
Sinais 
 46
 v (t) 
 
 V0 
 
 
 
 0 t1 t 
 
 
Impulso ⇒ 0t1 → e ∞→0V 
Impulso unitário: )t(u0 ⇒ Área = 1 
 
 
6.3 Função Rampa Unitária 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<
=
0t,tk
0t,0
)t(v 
 
 v (t) 
 
 
 
 
 
 0 t 
 
 
Rampa unitária: )t(u2 ⇒ Declive = 1 
 
As funções singulares podem ser expressas em função de )t(u 0 , )t(u1 e )t(u2 . 
 
Ainda, de notar que: 
td
)t(ud)t(u 10 = td
)t(ud)t(u 21 = 
 
Sinais 
 47
6.4 Função Exponencial 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<
=
− 0t,eV
0t,0
)t(v
at
0
 
 
 v (t) 
 
 V0 
 
 
 
 
 0 t 
 
 
 
 
6.5 Função Sinusoidal 
 
)wtsin(V)t(v 0 θ+= 
 
 v (t) 
 
 V0 
 
 
 
 0 t 
 -V0 
 
 
 
 
 
 
Capacidade e Auto-Indução 
 48
i 
 + 
 . 
 ε v 
 
 – 
i 
 + 
 
 v C 
 
 – 
A 
 
 
 
 
Capítulo 7 – Capacidade e Auto-Indução 
 
7.1 Condensador 
 
 
 
 d 
 
 
 
d
AC ε= 
sendo: 
• C ⇒ Capacitância 
Unidade: F (Farad) em homenagem a Michael Faraday, cientista britânico 
(1791-1867) 
1 F = 1 C/V 
v
qC = 
• A ⇒ Área das placas 
• d ⇒ Distância entre placas 
• ε ⇒ Permitividade ou constante dieléctrica 
para o vazio: m/F10
36
1 9
0
−×π=ε 
Atendendo a que: vCq = e 
td
qd)t(i = ⇒ a corrente é dada por: 
td
vdC)t(i = 
Capacidade e Auto-Indução 
 49
 + + 
 v C2 2v 
 
 – – 
+ – 
 
 C1 
 
 
 i 
 
 3v 
– + 
 
 C3 
 
 
Assim, se a tensão é constante, a corrente é nula. Neste caso, o condensador é um 
circuito aberto. Por outro lado, a tensão não pode variar instantaneamente, pois isto 
exigiria uma corrente infinita. 
 
A tensão é dada por: 
)t(vdti
C
1)t(v 0
t
t0
+= ∫ 
 
A potência é dada por: 
td
vdvCpivp =⇔= 
 
A energia armazenada no condensador é dada por: 
[ ])t(v)t(vC
2
1WdvvCWdt
td
vdvCWdtpW 0
22)t(v
)t(v
t
t
t
t 000
−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫ 
assumindo que 0)t(v 0 = , então tem-se que: 
2vC
2
1W = 
 
Condensadores em Série 
 
 1v 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se: 
)t(vdti
C
1)t(vdti
C
1)t(vdti
C
1v0vvvv 03
t
t
3
02
t
t
2
01
t
t
1
321
000
+++++=⇔=+++− ∫∫∫ 
 
considerando: )t(v)t(v)t(v)t(v 0030201 =++ , tem-se que: 
Capacidade e Auto-Indução 
 50
 
 i C1 C2 C3 
 
i1 i3 + 
 v
 
–
i2 
)t(vdti
C
1v)t(vdti
C
1
C
1
C
1v 0
t
t
eq
0
t
t
321
00
+=⇔+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++= ∫∫ 
 
Portanto, os condensadores em série (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no circuito 
por: 
321
eq
C
1
C
1
C
1
1C
++
= 
 
De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em série 
é dado por: 
∑
=
= I
1i i
eq
C
1
1C 
 
No caso particular de apenas dois condensadores em série, tem-se: 
21
21
eq CC
CCC +
×= 
 
Condensadores em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se: 
( )
td
vdCi
td
vdCCCi
td
vdC
td
vdC
td
vdCi0iiii eq321321321 =⇔++=⇔++=⇔=−−− 
 
Portanto, os condensadores em paralelo (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no 
circuitopor: 321eq CCCC ++= 
 
De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em 
paralelo é dado por: ∑
=
= I
1i
ieq CC 
 
 
Capacidade e Auto-Indução 
 51
i 
 + 
 
 N v 
 
 – 
i 
 + 
 
 v L 
 
 – 
A 
7.2 Bobina 
 
 
 
 l 
 
 
 
l
ANL
2μ= 
sendo: 
• L ⇒ Indutância 
Unidade: H (Henry) em homenagem a Joseph Henry, cientista norte-americano 
(1797-1878) 
1 H = 1 V.s / A 
• μ ⇒ Permeabilidade 
para o vazio: m/H104 70
−×π=μ 
• N ⇒ Número de espiras 
• A ⇒ Área seccional 
• l ⇒ Comprimento 
 
A tensão é dada por: 
td
idL)t(v = 
 
Assim, se a corrente é constante, a tensão é nula. Neste caso, a bobina é um 
curto-circuito. Por outro lado, a corrente não pode variar instantaneamente, pois isto 
exigiria uma tensão infinita. 
 
A corrente é dada por: 
)t(idtv
L
1)t(i 0
t
t0
+= ∫ 
Capacidade e Auto-Indução 
 52
 + + 
 v L2 2v 
 
 – – 
 + – 
 L1 
 
 
 v3 
 i 
 
 – + 
 L3 
 
 
A potência é dada por: 
td
idiLpivp =⇔= 
 
A energia armazenada na bobina é dada por: 
[ ])t(i)t(iL
2
1WdiiLWdt
td
idiLWdtpW 0
22)t(i
)t(i
t
t
t
t 000
−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫ 
assumindo que 0)t(i 0 = , então tem-se que: 
2iL
2
1W = 
 
Bobinas em Série 
 
 1v 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se: 
td
id)LLL(v
td
idL
td
idL
td
idLv0vvvv 321321321 ++=⇔++=⇔=+++− 
td
idLv eq=⇔ 
 
Portanto, as bobinas em série (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por: 
321eq LLLL ++= 
 
De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em série é dada por: 
∑
=
= I
1i
ieq LL 
 
 
 
Capacidade e Auto-Indução 
 53
 
 i L1 L2 L3 
 
i1 i3 + 
 v
 
–
i2 
Bobinas em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se: 
)t(idtv
L
1)t(idtv
L
1)t(idtv
L
1i0iiii 03
t
t
3
02
t
t
2
01
t
t
1
321
000
+++++=⇔=+++− ∫∫∫ 
 
considerando: )t(i)t(i)t(i)t(i 0030201 =++ , tem-se que: 
)t(idtv
L
1v)t(idtv
L
1
L
1
L
1i 0
t
t
eq
0
t
t
321
00
+=⇔+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++= ∫∫ 
 
Portanto, as bobinas em paralelo (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por: 
321
eq
L
1
L
1
L
1
1L
++
= 
 
De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em paralelo é dada 
por: 
∑
=
= I
1i i
eq
L
1
1L 
No caso particular de apenas duas bobinas em paralelo, tem-se: 
21
21
eq LL
LLL +
×= 
 
 
 
 
 
 
Circuitos de Primeira Ordem 
 54
 – + 
 vR R L vL 
 
 
 
 + – 
i 
 
 
 
 
Capítulo 8 – Circuitos de Primeira Ordem 
 
8.1 Circuitos RL e RC Simples 
 
Quando um circuito é comutado de uma condição para outra ocorre um período de 
transição. Depois desse período transitório, diz-se que o circuito atinge o estado 
estacionário. 
 
A aplicação das Leis de Kirchhoff a um circuito que contenha elementos capazes de 
armazenar energia resulta em uma equação diferencial. 
 
Seguidamente, é analisada a resposta transitória ou resposta natural de circuitos 
simples RL e RC (com energia armazenada na bobina, para o circuito RL, e no 
condensador, para o circuito RC) e sem fontes. 
 
Circuito RL Simples 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se: 
0i
L
R
td
id0
td
idLiR0vv LR =+⇔=+⇔=+ 
 
Circuitos de Primeira Ordem 
 55
 + 
 
 R v C 
 
 
 
 –
iC iR 
resolvendo a equação diferencial, obtém-se: 
τ−− =⇔=
t
0
t
L
R
0 eI)t(ieI)t(i 
 
 i (t) 
 
 I0 
 
 
 
 
 0 τ t 
 
 
 
)0(iI0 = representa a energia armazenada 
R
L=τ é a constante de tempo 
 
A energia total transformada em calor na resistência é dada por: 
2
0IL2
1W = 
que corresponde à energia total armazenada na bobina no instante inicial 0t = . 
 
Circuito RC Simples 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Nós (para o nó superior), obtém-se: 
0
CR
v
td
vd0
td
vdC
R
v0ii CR =+⇔=+⇔=+ 
 
 
Circuitos de Primeira Ordem 
 56
 – 
 
 + 
 v o 
 + 
vi 
 
 – 
i2 R
 C 
i1 
+ – 
 vC 
 
 
resolvendo a equação diferencial, obtém-se: 
τ−
− =⇔=
t
0
CR
t
0 eV)t(veV)t(v 
 
 v (t) 
 
 V0 
 
 
 
 
 0 τ t 
 
 
 
)0(vV0 = representa a energia armazenada 
CR=τ é a constante de tempo 
 
A energia total transformada em calor na resistência é dada por: 
2
0VC2
1W = 
que corresponde à energia total armazenada no condensador no instante inicial 0t = . 
 
 
8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador 
 
Circuito Diferenciador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos de Primeira Ordem 
 57
 – 
 
 + 
 v o 
 + 
vi 
 
 – 
i1 R 
 C 
i2 
+ – 
 vC 
Considerando o AMPOP ideal, tem-se: 
• v – = v + ⇒ v – = 0 V 
• i – = 0 ⇒ i1 = i2 
 
Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se: 
iCCi vv0vv =⇔=+− 
R
vi0viR o2o2 −=⇔=+ 
 
Ainda: 
td
vdCi
td
vdCi i1C1 =⇔= 
 
Pelo que, obtém-se: 
td
vdCRv
R
v
td
vdCii iooi21 −=⇔−=⇔= 
 
Se 1CR = tem-se: 
td
vdv io −= 
 
Deste modo, a tensão de saída é proporcional à derivada da tensão de entrada. 
 
Circuito Integrador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos de Primeira Ordem 
 58
Considerando o AMPOP ideal, tem-se: 
• v – = v + ⇒ v – = 0 V 
• i – = 0 ⇒ i1 = i2 
 
Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se: 
R
vi0iRv i11i =⇔=+− 
CooC vv0vv −=⇔=+ 
 
 
Ainda: 
td
vdCi
td
vdCi o2C2 −=⇔= 
 
Pelo que, obtém-se: 
)t(vdtv
CR
1v
CR
v
td
vd
td
vdC
R
vii 0C
t
t io
iooi
21
0
+−=⇔−=⇔−=⇔= ∫ 
 
Se 1CR = e 0)t(v 0C = tem-se: 
dtvv
t
t io 0∫−= 
 
Deste modo, a tensão de saída é proporcional ao integral da tensão de entrada. 
 
 
8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC 
 
A resposta completa de um circuito é composta de duas partes: 
• resposta natural ou resposta transitória; 
• resposta forçada ou resposta estacionária. 
A resposta natural é a solução geral da equação diferencial que representa o circuito, 
quando a entrada é nula. A resposta forçada é a solução particular da equação 
diferencial que representa o circuito. 
 
Seguidamente, são consideradas dois tipos de entradas, constante e variável. 
Circuitos de Primeira Ordem 
 59
 + 
 C v (t) 
 – 
 +vca 
 
 – 
RTh 
 
 icc RTh L 
 
i 
Entrada Constante 
 
Devem usar-se os Equivalentes de Thévenin e de Norton para simplificar a análise do 
circuito. Posteriormente, um de dois tipos de circuitos pode ser considerado: 
 
• Circuito de primeira ordem com condensador 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a tensão no condensador é dada por: 
( ) τ−−+= tcaca ev)0(vv)t(v 
sendo: )t(vcompletaresposta = ; 
 cavforçadaresposta = ; 
 ( ) τ−−= tca ev)0(vnaturalresposta ; 
 CR=τ 
 
• Circuito de primeira ordem com bobina 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a corrente na bobina é dada por: 
( ) τ−−+= tcccc ei)0(ii)t(i
 
sendo: )t(icompletaresposta = ; 
 cciforçadaresposta = ; 
 ( ) τ−−= tcc ei)0(inaturalresposta ; 
 
R
L=τ 
Circuitos de Primeira Ordem 
 60
Entrada Variável 
 
A equação diferencial que descreve um circuito RL ou RC é representada de forma 
genérica por: 
)t(y)t(xa
td
)t(xd =+ 
 
A solução genérica é dada por: 
fn
tatata xxxdteyeeKx +=⇔+= ∫−− 
 
A resposta natural é sempre dada por: tan eKx
−= ; K obtém-se das condições iniciais. 
 
A resposta forçada é dada por: 
• 
a
Mxf = , se M)t(y = 
• 
ba
ex
tb
f += , se 
tbe)t(y = 
• wtcosBwtsinAxf += , se )wtsin(M)t(y θ+= 
 
 
 
 
 
 
 
Circuitos de Segunda Ordem 
 61
 
 
 
 
Capítulo 9 – Circuitos de Segunda Ordem 
 
9.1 Circuito RLC 
 
Neste capítulo é determinada a resposta completa de um circuito com dois elementos 
capazes de armazenar de energia (L e C). Este circuito é descrito por uma equação 
diferencial de segunda ordem, que pode ser dada genericamente por: 
)t(f)t(x)t(x
td
d2)t(x
td
d 2
02
2
=ω+α+ 
em que: 
• α é o coeficiente de amortecimento 
• 0ω é a frequência de ressonância 
 
Usando o operador diferencial: n
n
n
td
ds = , obtém-se a equação característica de um 
circuito de segunda ordem, dada por: 0s2s 20
2 =ω+α+ 
 
Esta equação característica tem duas soluções: 1s e 2s . Estas soluções são denominadas 
de frequências naturais do circuito de segunda ordem. 
 
Um circuito de segunda ordem pode ser caracterizado como: 
• Sobreamortecido, se 1s e 2s são reais e diferentes, ou, 0ω>α ; 
• Criticamente amortecido, se 1s e 2s são reais e iguais (pólo duplo), ou, 0ω=α ; 
• Subamortecido, se 1s e 2s são complexos conjugados, ou, 0ω<α . 
Circuitos de Segunda Ordem 
 62
A resposta completa de um circuito de segunda ordem é a soma da resposta natural 
com a resposta forçada: fn xxx += 
 
A resposta natural depende das frequências naturais do circuito. No caso de um 
circuito: 
• Sobreamortecido, 20221 s,s ω−α±α−= ⇒ ts2ts1n 21 eAeAx −− += ; 
• Criticamente amortecido, α−=21 s,s ⇒ ( ) t21n etAAx α−+= ; 
• Subamortecido, d22021 jjs,s ω±α−=α−ω±α−= 
 ⇒ ( ) td2d1n etsenAtcosAx α−ω+ω= . 
 
A resposta forçada depende da entrada do circuito, sendo dada por: 
• Axf = , se K)t(f = (constante) 
• tBAxf += , se tK)t(f = (rampa) 
• tsenBtcosAxf ω+ω= , se tcosK)t(f ω= ou tsenK)t(f ω= (sinusoidal) 
• btf eAx −= , se bteK)t(f −= (exponencial)