ESPAÇOS AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS

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ESPAÇOS AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS
Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer relacionando o número de casos favoráveis com o número de casos possíveis.
EXEMPLO 1: Ao lançarmos por duas vezes sucessivas um dado, qual a probabilidade de:
a) ocorrer 2 no primeiro lançamento e um número impar no segundo?
Precisamos que aconteça o seguinte evento: (2,1), (2,3), (2,5). Assim, temos que a probabilidade é de 3 chances em 36.
P(E) = 3/36 = 1/12.
b) a multiplicação entre os números for maior que 10?
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).
P(E) = 16/36 = 4/9
EXEMPLO 2: Sorteando ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4?
Temos que os múltiplos de 4 compreendidos entre 1 e 50, são: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}, então:
P(E) =12/50 = 6/25
EXEMPLO 3: Um baralho possui 52 cartas. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de ser sorteada:
a) a carta com o rei de copas?
P(E) = 1/52
b) uma carta de espadas.
O baralho é formado por quatro naipes: copas, ouro, espadas, paus. Dessa forma temos 13 cartas de copas, 13 cartas de ouro, 13 cartas de espadas e 13 cartas de paus. A probabilidade de retirar uma carta de espadas é dada por:
P(E) = 13/52 = 1/4
c) uma carta que não seja o 6?
Cada número está associado a um naipe, portanto, temos quatro cartas com numeração 6. Então 52 – 4 = 48
P(E) = 48/52 = 12/13
INTERSEÇÃO DE DOIS EVENTOS
A probabilidade da intersecção de dois eventos ou probabilidade de eventos sucessivos determina a chance, a possibilidade, de dois eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente.
EVENTOS INDEPENDENTES
EXEMPLO 1: Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4?
Solução: O que determina a utilização da fórmula da intersecção para resolução desse problema é a palavra “e” na frase “a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4”. Lembre-se que na matemática “e” representa intersecção, enquanto “ou” representa união.
Note que a ocorrência de um dos eventos não interfere na ocorrência do outro. Temos, então, dois eventos independentes. Vamos identificar cada um dos eventos.
Evento A: sair um número ímpar = {1, 3, 5}
Evento B: sair o número 4 = {4}
Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Temos que:
Assim, teremos:
EVENTOS DEPENDENTES
EXEMPLO 2: Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de ter saído um número par e um múltiplo de 5?
Solução: Primeiro passo é identificar os eventos e o espaço amostral.
Evento A: sair um número par = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Evento B: sair um múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20}
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Como as duas bolinhas foram retiradas uma após a outra e não houve reposição, ou seja, não foram devolvidas à urna, a ocorrência do evento A interfere na ocorrência do B, pois haverá na urna somente 19 bolinhas após a retirada da primeira. Logo, os eventos são dependentes.
Assim, temos que:
Após a retirada da primeira bola, ficamos com 19 bolinhas na urna. Logo, teremos:
UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Considere os seguintes problemas:
PROBLEMA 1: Considere o experimento: lançamento de um dado. Qual a probabilidade de sair um número maior que 5 ou um número ímpar?
Solução: Temos que:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamaremos de A o evento: sair um número maior que 5.
A = {6}
Chamaremos de B o evento: sair um número ímpar.
B = {1, 3, 5}
Note que A∩B = ø.
Assim, teremos:
PROBLEMA 2: Em uma empresa com 25 funcionários, 15 são mulheres e 10 são homens. Das mulheres, 3 são vegetarianas, e há apenas 1 homem vegetariano.
Se um funcionário for sorteado, qual a probabilidade de que seja uma mulher (M) OU uma pessoa vegetariana (V)?
Primeiro, iremos calcular a probabilidade de a sorteada ser mulher:
E agora a probabilidade de o sorteado ser vegetariano:
Porém há 3 pessoas que são mulheres E vegetarianas, que estão sendo contadas duas vezes; é aí que devemos subtrair a interseção:
Portanto há uma probabilidade de 64% de que o sorteado seja uma mulher ou uma pessoa vegetariana.
PROBABILIDADE CONDICIONAL
No estudo das probabilidades existem casos de eventos de um espaço amostral que ocorrem independentes dos outros, e eventos que apresentam relações de dependências com os demais que possam ocorrer. A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um evento A, sabendo da ocorrência de outro evento B, ambos sendo eventos de um espaço amostral S finito. A ocorrência de A está condicionada ao fato de B já ter ocorrido, ou seja, a ocorrência do evento B interfere na do evento A.
Exemplo 1: Em uma urna há um total de 10 bolas, sendo 3 amarelas, 4 azuis e 3 verdes. É retirada uma bola dessa urna, ao acaso, e verifica-se que ela é verde. Qual a probabilidade de se retirar uma bola azul sabendo que a bola verde retirada inicialmente não foi reposta?
Solução: o primeiro passo é identificar os eventos em questão.
Evento A: sair uma bola azul
Evento B: sair uma bola verde
Resolver o exercício consiste em determinar a probabilidade de se retirar uma bola azul da urna sabendo que já foi retirada uma bola verde. Observe que a ocorrência do evento A está condicionada à ocorrência do evento B. Esse é o caso mais simples de problemas envolvendo probabilidade condicional, não sendo necessária a aplicação da fórmula. Veja:
Após a retirada da bola verde, restaram na urna 9 das 10 bolas. Dessas 9 bolas, 4 são azuis. Assim, temos que:
Exemplo 2: Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos determinar P(A|B) e sabemos que o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10000.
Temos, também, que:
n(A∩B) = 2000
Segue que:
Mas
Da teoria de conjunto, temos que:
n(B) = 6500 – n(A∩B) = 6500 – 2000 = 4500
Assim, teremos:
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