Álgebra - Caderno 10

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
10
CAPA_SER_CAD10_MP_MAT_Algebra.indd 1 10/27/15 5:01 PM
Probabilidade
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1
MATEMÁTICA ÁlGebra
Luiz Roberto Dante
 PROBABILIDADE
1 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos. . . . .6
Cálculo de probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Definição teórica de probabilidade e consequências . . . .12
O método binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Aplicações de probabilidade à Genética. . . . . . . . . . . . .28
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2130336 (PR)
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MÓDULO
probabilidade
Cariacus albinos (veado-de-cauda-branca) com seu 
filhote. O albinismo é uma anomalia genética que causa 
ausência parcial ou total da pigmentação da pele, dos pe-
los, dos olhos e dos cabelos devido a um defeito na produ-
ção de melanina. É uma característica hereditária trans-
mitida quando os pais são portadores do gene recessivo.
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refletinDo sobre a iMaGeM
Considerado o “pai da Genética”, os trabalhos 
de Gregor Johann Mendel (1822-1884) sobre as 
leis que regem a transmissão de caracteres he-
reditários (conhecidas atualmente como leis de 
Mendel) se embasam no raciocínio matemático 
dos princípios básicos da Probabilidade.
Você sabe o que é um evento aleatório? E o que é 
um evento independente? Sabe calcular a pro-
babilidade de um casal gerar um filhote albino? 
www.ser.com.br
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4 Probabilidade
CAPÍTULO
1 Probabilidade
Objetivos:
c Conceituar 
probabilidade.
c Calcular probabilidade 
de diversos tipos de 
eventos.
c Calcular probabilidade 
condicional.
c Aplicar o mŽtodo 
binominal no c‡lculo 
de probabilidades.
c Reconhecer aplica•›es 
de probabilidade ˆ 
GenŽtica.
eXercÍcios resolViDos
A teoria das probabilidades e sua aplicação serão objeto de estudo deste capítulo.
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob con-
dições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda 
perfeita, o resultado é imprevisível: não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não sabemos 
se sairá cara ou coroa. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fen™menos 
aleat—rios (ou casuais).
Por exemplo, são aleatórios os seguintes fenômenos:
 lançamento de um dado “não viciado”;
 número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina;
 resultado de um jogo de roleta;
 número de pessoas que ganharão na loteria;
 número de chamadas telefônicas que serão efetuadas em uma cidade no Dia das Mães.
O fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório faz com que busquemos 
os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de determinado resultado ocorrer. A Teoria 
das Probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar 
experimentos ou fenômenos aleatórios.
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados 
possíveis é chamado espa•o amostral (V – letra grega “ômega” maiúscula). Qualquer subconjunto 
do espaço amostral é chamado de evento.
Vamos analisar a seguir alguns exemplos de fenômenos (ou experimentos) aleat—rios:
1o) Lançamento de um dado e registro do resultado.
Conjunto de todos os resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Um subconjunto dele é {1, 3, 5}, que pode ser identificado por “ocorrer número ímpar no 
lançamento de um dado”.
 espa•o amostral: V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 evento A: “ocorrer número ímpar no lançamento de um dado” → A 5 {1, 3, 5}
2o) Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e registrar seu naipe.
Considerando C 5 copas, E 5 espadas, O 5 ouros e P 5 paus, temos:
Conjunto de todos os resultados possíveis: {C, E, O, P}
Um subconjunto dele é {O}, que pode ser identificado por “retirar uma carta cujo naipe seja ouros”.
 espa•o amostral: V 5 {C, E, O, P}
 evento A: “retirar uma carta cujo naipe seja ouros” → A 5 {O}
Observa•‹o: Quando um evento é formado apenas por um elemento do espaço amostral, ele 
é chamado evento elementar.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Qual é o significado de expres-
sões como “moeda perfeita” ou 
dado “não viciado”?
para
refletir
1 No lançamento de uma moeda, determine o espaço amostral e o evento “sair cara”.
resolução:
Denotamos “cara” por C e “coroa” por C. Logo:
espaço amostral: V 5 {C, C}
evento A: “sair cara” → A 5 {C}
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Probabilidade
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2 No experimento de registrar o número de peças defeituosas fabri-
cadas por uma máquina em um dia, determine o espaço amostral 
e os eventos A: “número de peças defeituosas em um dia é 8” e 
B: “número de peças defeituosas em um dia é maior que 5”.
resolução:
Se representarmos por n o número total de peças fabricadas 
em um dia, teremos:
espaço amostral: V 5 {0, 1, 2, 3, …, n}
evento A: “número de peças defeituosas em um dia é 8” → 
→ A 5 {8}
evento B: “número de peças defeituosas em um dia é maior 
que 5” → B 5 {6, 7, 8, …, n}
3 No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e 
um vermelho, determine o espaço amostral e os eventos A: 
“sair o mesmo número em ambos os dados”, B: “sair soma 7”, 
C: “sair soma maior que 10”, D: “sair soma menor que 5”, 
E: “sair soma maior que 12” e F: “sair soma maior que 1 e 
menor que 13”.
resolução:
Nesse caso, podemos representar o espaço amostral por 
meio de um diagrama:
(1, 6)
(1, 5)
(1, 4)
(1, 3)
(1, 2)
(1, 1)
(2, 6)
(2, 5)
(2, 4)
(2, 3)
(2, 2)
(2, 1)
(3, 6)
(3, 5)
(3, 4)
(3, 3)
(3, 2)
(3, 1)
(4, 6)
(4, 5)
(4, 4)
(4, 3)
(4, 2)
(4, 1)
(5, 6)
(5, 5)
(5, 4)
(5, 3)
(5, 2)
(5, 1)
(6, 6)
(6, 5)
(6, 4)
(6, 3)
(6, 2)
(6, 1)
Dado branco
D
a
d
o
 v
e
rm
e
lh
o
O espaço amostral depende do 
experimento.
Veja a diferença quando se tem 
o lançamento de um dado e de 
dois dados. 
para
refletir
O espaço amostral é formado por 36 elementos:
V 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), 
(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), 
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), 
(5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
evento A (“sair o mesmo número em ambos os dados”):
A 5 {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
evento B (“sair soma 7”):
B 5 {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
evento C (“sair soma maior que 10”):
C 5 {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}
evento D (“sair soma menor que 5”):
D 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}
evento E (“sair soma maior que 12”):
E 5 [
evento F (“sair soma maior que 1 e menor que 13”):
F 5 {(1,1), (1, 2), (1, 3), …, (6, 5), (6, 6)} 5 V
4 No lançamento simultâneo de 3 moedas distinguíveis (ou no 
lançamento de uma moeda três vezes), determine o espaço 
amostral e os eventos A: “sair 3 caras”, B: “sair mais de uma cara” 
e C: “sair exatamente 2 coroas”.
resolução:
Nesse caso, um diagrama que auxilia na determinação do es-
paço amostral é o diagrama de árvore:
C
C.
C
C
C.
C C C
C CC.
CC.C
CC.C .
C.
C
1á moeda 2á moeda 3á moeda
C
C.
C
C
C.
C.CC
C.CC.
C.C .C
C. C. C.
C.
C.
Portanto:
espaço amostral: V 5 {(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C)}
evento A: “sair 3 caras” → A 5 {(C, C, C)}
evento B: “sair mais de uma cara” → B 5 {(C, C, C), (C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C)}
evento C: “sair exatamente 2 coroas” → C 5 {(C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C)}
5 Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas. Defina oespa-
ço amostral do experimento “retirar uma bola ao acaso” e os 
eventos A: “retirar bola verde” e B: “retirar bola amarela”.
resolução:
Nesse caso, o espaço amostral é:
V 5 {V
1
, V
2
, A
1
, A
2
, A
3
, A
4
}
evento A: “retirar bola verde” → A 5 {V
1
, V
2
}
evento B: “retirar bola amarela” → B 5 {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
}
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6 Probabilidade
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 6
para construir
1 Em uma caixa há fichas numeradas de 1 a 10. Defina o espaço amostral do experimento “retirar fichas ao acaso da caixa” e defina 
os eventos A: “ocorrência de número ímpar”, B: “ocorrência de número primo” e C: “ocorrência de número maior que 4”.
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; A 5 {1, 3, 5, 7, 9};
B 5 {2, 3, 5, 7}; C 5 {5, 6, 7, 8, 9, 10}
2 Em relação ao lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, faça um diagrama, defina o espaço amostral e os eventos A: 
“ocorrência de cara e número par”, B: “ocorrência de coroa e múltiplo de 3” e C: “ocorrência de coroa e número ímpar”.
C
1
2
3
4
5
6
C
1
2
3
4
5
6
V 5 {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6)}; A 5 {(C, 2), (C, 4), (C, 6)};
B 5 {(C, 3), (C, 6)}; C 5 {(C, 1), (C, 3), (C, 5)}
3 Uma urna contém uma bola vermelha e três azuis. Defina o espaço amostral do experimento “retirar uma bola ao acaso” e os even-
tos A: “retirar bola vermelha” e B: “retirar bola azul”.
V 5 {V, A
1
, A
2
, A
3
}; A 5 {V}; B 5 {A
1
, A
2
, A
3
}
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-3
 eVentos certo, iMpossÍVel e MutuaMente 
eXclusiVos
No experimento aleatório “lançar um dado e registrar o resultado”, temos:
 espaço amostral V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 evento A: “ocorrência de um número menor que 7” → A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Portanto, A 5 V.
 evento B: “ocorrência de um número maior que 6” → no dado não existe número maior que 6
Portanto, B 5 [.
Dizemos que:
Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo (proba-
bilidade de ocorrência é 100%). Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível 
(probabilidade de ocorrência é nula).
O evento A acima é um evento certo e o evento B, um evento impossível.
união de eventos, intersecção de eventos e complementar de
um evento
Consideremos, no exemplo do lançamento de um dado, os eventos:
 C: “ocorrência de número par” → C 5 {2, 4, 6}
 D: “ocorrência de múltiplo de 3” → D 5 {3, 6}
 E: “ocorrência de número par ou número múltiplo de 3” → E 5 C < D 5 {2, 4, 6} < {3, 6} 5 
5 {2, 3, 4, 6} (união de eventos)
 F: “ocorrência de número par e múltiplo de 3” → F 5 C > D 5 {2, 4, 6} > {3, 6} 5 {6} 
(intersecção de eventos)
 G: “ocorrência de número ímpar” → G 5 {1, 3, 5}
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste 
“selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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Probabilidade
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ç
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B
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7
para construir
Indicamos assim: G 5 C 5 c
Ω
C
 (complementar de C em rela•‹o a V)
C e G s‹o chamados eventos complementares. Observe que C > G 5 [ e C < G 5 V.
Quando a intersec•‹o de dois eventos Ž o conjunto vazio, eles s‹o chamados eventos mutua-
mente exclusivos.
4 Qual é a probabilidade de:
a) jogarmos dois dados e a soma dos números das faces voltadas para cima ser igual a 1? Dê nome ao tipo de evento.
A probabilidade é nula. Esse evento é chamado evento imposs’vel.
b) jogarmos dois dados e a soma dos números das faces voltadas para cima ser maior que 1? Dê nome ao tipo de evento.
A probabilidade é 100%. Esse evento é chamado evento certo.
5 Dois alunos, para treinar a multiplicação de números, decidiram jogar par ou ímpar, mas o número considerado, em vez da soma, 
é o resultado da multiplicação dos valores obtidos.
a) Qual é a probabilidade de um aluno que colocou um número par e pediu par ganhar? Dê nome ao tipo de evento.
A probabilidade é 100%. Esse evento é chamado evento certo.
b) Qual é a probabilidade de um aluno que colocou um número par e pediu ímpar ganhar? Dê nome ao tipo de evento.
A probabilidade é nula. Esse evento é chamado evento imposs’vel.
6 Os eventos “jogar um dado e obter um número ímpar” e “jogar um dado e obter um número par” são chamados de eventos 
mutuamente exclusivos. .
 cÁlculo De probabiliDaDes
Quando em um fen™meno (ou experimento) aleatório, com espa•o amostral finito, considera-
mos que todo evento elementar tem a mesma ÒchanceÓ de ocorrer (o espa•o Ž equiprov‡vel), ent‹o 
a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p(A), Ž um nœmero que mede essa chance 
e Ž dado por:
p(A) 5 
nœmero de elementos de A
nœmero de elementos de V
 5 
n(A)
n( )V
ou
p(A) 5 
número de resultados favoráveis
número total de resultados possíveis
 
Nesse caso, os eventos elementares s‹o chamados de eventos equiprov‡veis, pois todos têm a 
mesma chance de ocorrer.
Lembre-se: evento elementar é 
aquele formado por apenas um 
elemento do espaço amostral.
para
refletir
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
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8 Probabilidade
eXercÍcios resolViDos
6 Consideremos o experimento aleatório do lançamento de 
uma moeda perfeita. Qual é a probabilidade de sair cara?
resolução:
Tanto “sair cara” como “sair coroa” (que são eventos elementa-
res) têm a mesma “chance” de ocorrer. Assim, temos:
espaço amostral: V 5{C, C} ⇒ n(V) 5 2
evento A: “ocorrência de cara” → A 5 {C} ⇒ n(A) 5 1
Portanto, p(A) 5 
V
n(A)
n( )
 5 
1
2
.
Como 
1
2
 5 
50
100
 5 50%, temos que, no lançamento de uma 
moeda, a probabilidade de sair cara é 
1
2
 ou 50%. Isso não 
significa que, se jogarmos duas vezes a moeda, em uma das 
jogadas sairá cara e na outra sairá coroa. Significa sim que, 
após um grande número de jogadas, em aproximadamen-
te 50% (metade) delas sairá cara.
7 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade 
de sair um número maior que 4?
resolução:
Nesse caso, temos:
espaço amostral: V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(V) 5 6
evento A: “ocorrência de número maior que 4” → 
→ A 5 {5, 6} ⇒ n(A) 5 2
Logo, p(A) 5 
V
n(A)
n( )
 5 
2
6
 5 
1
3
.
Como 
1
3
 5 1 : 3 . 0,33, então 
1
3
 . 33%. Portanto, a probabi-
lidade de obtermos um número maior que 4 no lançamento 
de um dado é de 1
3
 (ou 33%, aproximadamente).
8 Qual é a probabilidade de sair um “dois” ao retirar, ao acaso, 
uma carta de um baralho de 52 cartas?
resolução:
Em um baralho, há 4 “dois” (copas, espadas, ouros e paus). 
Como há um total de 52 cartas, temos:
n(V) 5 52
evento A: “retirar uma carta de número 2” → n(A) 5 4
p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
4
52
 5 
1
13
 . 8% (pois 1 : 13 . 0,08)
Portanto, a probabilidade de sair um “dois” é de 
1
13
 ou, apro-
ximadamente, 8%.
9 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguí-
veis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) pelo menos 2 caras?
b) exatamente 2 caras?
Qual é a diferença em dizer “pelo 
menos duas” e “exatamente duas”?
para
refletir
resolução:
Nesse caso, é conveniente usar o diagrama de árvore:
C
C.
C
C
C.
(C, C, C)
(C, C, C.)
(C, C., C)
(C, C., C.)
C.
C
C
C.
C
C
C.
(C., C, C)
(C., C, C.)
(C., C., C)
(C., C., C.)
C.
C.
V 5 {(C, C, C), (C, C, C) (C, C C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C)} ⇒ n(V) 5 8
a) evento A: obter pelo menos 2 caras → A 5 {(C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C)} ⇒ n(A) 5 4
 p(A) 5 
V
n (A)
n ( )
 5 
4
8
 5 
1
2
 5 50%
b) evento B: obter exatamente 2 caras → B 5 {(C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C)} ⇒ n(B) 5 3p(B) 5 
n(B)
n( )V
 5 
3
8
 5 37,5%, pois 3 : 8 5 0,375
10 No lançamento simultâneo de dois tetraedros distinguíveis 
perfeitos (ver observação do exercício 4 da seção “Para prati-
car”), cujas faces estão numeradas de 1 a 4, qual é a probabi-
lidade de que:
a) o mesmo número apareça em ambos os tetraedros?
b) a soma dos números seja maior que 5?
c) a soma dos números seja maior que 1?
d) a soma dos números seja menor que 1?
e) a soma dos números seja 7?
f ) a soma dos números seja divisível por 3?
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Probabilidade
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M
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E
B
R
A
9
resolução:
Nesse caso, o espaço amostral pode ser representado pelo 
diagrama a seguir:
(1, 4)
(1, 3)
(1, 2)
(1, 1)
1
1
2
3
4
2 3 4
(2, 4)
(2, 3)
(2, 2)
(2, 1)
(3, 4)
(3, 3)
(3, 2)
(3, 1)
(4, 4)
(4, 3)
(4, 2)
(4, 1)
2
o
 t
e
tr
a
e
d
ro
1o tetraedro
Logo:
V 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), 
(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} ⇒ n(V) 5 16
a) evento A 5 {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ⇒ n(A) 5 4
 p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
4
16
 5 
1
4
 5 25%
b) evento B 5 {(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} ⇒ n(B) 5 6
 p(B) 5 
n(B)
n( )V
 5 
6
16
 5 
3
8
 5 37,5% (pois 3 : 8 5 0,375)
c) evento C 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), 
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} ⇒ C 5 V ⇒ 
⇒ n(C) 5 n(V) 5 16
 p(C) 5 
n(C)
n( )V
 5 
16
16
 5 1 (100%)
d) evento D 5 [ ⇒ n(D) 5 0
 p(D) 5 
n(D)
n( )V
 5 
0
16
 5 0 (0%)
e) evento E 5 {(3, 4), (4, 3)} ⇒ n(E) 5 2
 p(E) 5 
n(E)
n( )V
 5 
2
16
 5 
1
8
 5 12,5% (pois 1 : 8 5 0,125)
f ) evento F 5 {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} ⇒ n(F) 5 5
 p(F) 5 
n(F)
n( )V
 5 
5
16
 . 31% (pois 5 : 16 . 0,31)
11 Forme todos os números de 3 algarismos distintos, permu-
tando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhen-
do um número desses ao acaso, ele ser:
a) ímpar?
b) par? 
c) múltiplo de 6?
d) múltiplo de 4?
e) maior que 780?
resolução:
V 5 {789, 798, 879, 897, 978, 987} ⇒ n(V) 5 6
a) evento A: ser ímpar → A 5 {789, 879, 897, 987} ⇒ n(A) 5 4
 p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
4
6
 5 
2
3
 . 66% (pois 2 : 3 . 0,66)
b) evento B: ser par → B 5 {798, 978} ⇒ n(B) 5 2
 p(B) 5 
n(B)
n( )V
 5 
2
6
 5 
1
3
 . 33% (pois 1 : 3 . 0,33)
c) evento C: ser múltiplo de 6 → C 5 {798, 978} ⇒ n(C) 5 2
 p(C) 5 
n(C)
n( )V
 5 
2
6
 5 
1
3
 . 33%
d) evento D: ser múltiplo de 4 → D 5 [ (nenhum desses 
números é múltiplo de 4) ⇒ n(D) 5 0
 p(D) 5 
n(D)
n( )V
 5 
0
6
 5 0 (0%)
e) evento E: ser maior que 780 → E 5 V ⇒ n(E) 5 6
 p(E) 5 
n(E)
n( )V
 5 
6
6
 5 1 (100%)
Observação:
Para determinar n(V) e n(A) e depois calcular p(A) 5 
n(A)
n( )V
,
não se deve necessariamente determinar V e A. Veja os exer-
cícios a seguir.
12 Considere todos os números naturais de 4 algarismos distin-
tos que é possível formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. 
Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair 
um número que comece por 3 e termine em 7?
resolução:
? ? ? ? n( ) A 6 5 4 3 360
3 ? ? 7 n(A) A 4 3 12
6, 4
4, 2
→ ⋅ ⋅ ⋅
→ ⋅



V 5 5 5
5 5 5
 ⇒ p(A) 5 
12
360
 5 
1
30
 
13 Em um grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e 
leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de mú-
sica e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam so-
mente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 gostam 
somente de leitura.
a) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses 
jovens, ele gostar de música?
b) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses 
jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?
resolução:
Nesse caso, elaboramos o dia-
grama de Venn ao lado, consi-
derando:
M 5 música
E 5 esporte
L 5 leitura
5
6
16
8
6
M E
L11
9
14
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 9 10/26/15 3:56 PM
10 Probabilidade
para construir
Observamos que:
 6 1 8 1 16 1 14 5 44 gostam de música.
 75 – (6 1 9 1 5 1 8 1 6 1 14 1 16) 5 75 – 64 5 11 não gostam de nenhuma dessas atividades.
Como n(V) 5 75, temos:
a) probabilidade de gostar de música:
 p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
44
75
 . 59%
b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades:
 p(B) 5 
n(B)
n( )V
 5 
11
75
 . 15%
Logo, ao se apontar ao acaso um desses jovens, a probabilidade de ele gostar de música é 
44
75
 . 59%, e a probabilidade de ele 
não gostar de nenhuma dessas atividades é de 11
75
 . 15%.
certeza e impossibilidade
Vamos agora relacionar a probabilidade do evento impossível e do evento certo com os demais 
eventos.
Os conjuntos [, A e V estão sempre relacionados por:
[ , A , V
Relacionando o número de elementos desses conjuntos, temos:
n([) < n(A) < n(V)
Dividindo esses três números por n(V) . 0, encontramos:
[
V
n( )
n( )
 < 
n(A)
n( )V
 < 
n( )
n( )
V
V
Como n([) 5 0, 
n(A)
n( )V
 5 p(A) e 
n( )
n( )
V
V
 5 1, concluímos que:
0 < p(A) < 1
Isso significa que a probabilidade pode assumir valores de 0 a 1.
Quando p(A) 5 0, o evento A é o evento impossível; não há possibilidade de que ele venha a ocorrer.
Quando p(A) 5 1, o evento A é o evento certo, e há certeza de que ele ocorrerá.
7 No lançamento simultâneo de 4 moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) pelo menos 3 caras?
 
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
1
2
3
4
4
3
4
4
2
3
4
4
3
4
4
 
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
1
2
3
4
4
3
4
4
2
3
4
4
3
4
4
En
em
C-7
H-2
8
V 5 {(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
 ), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
 C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
)} ⇒ n(V)5 16
A 5 {(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
)}
n(A) 5 5
p(A) 5 
5
16
 . 31,2%
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 10 10/26/15 3:56 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
11
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 7 a 14 Para aprimorar: 1
b) exatamente 2 caras?
B 5 {(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), 
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
)}
n(B) 5 6
p(B) 5 
6
16
 5 
3
8
 . 37,5%
c) exatamente 3 coroas?
C 5 {(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3 
, C
4
)}
n(C) 5 4
p(C) 5 
4
16
 5 
1
4
 5 25%
d) pelo menos 2 coroas?
D 5 {(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
),
(C
1
, C
2
, C
3
, C
4
), (C
1
, C
2
, C
3
, C
4
)}
n(D) 5 11
p(D) 5 
11
16
 5 68,75%
8 (UFSM-RS) A tabela a seguir mostra o número de interna-
ções hospitalares da população idosa (60 ou mais anos de 
idade), numa determinada região, de acordo com as causas 
da internação.
Causas No de interna•›es
Doen•as card’acas 80
Doen•as cerebrovasculares 49
Doen•as pulmonares 43
Doen•as renais 42
Diabetes melito 35
Fraturas de f•mur e ossos dos membros 26
Hipertens‹o arterial 24
Infec•‹o de pele e tecido subcut‰neo 11
Pneumonia bacteriana 77
òlcera 13
Considere que hipertensão arterial, doenças renais, doen-
ças cardíacas e osteoporose estão associadas ao consumo 
excessivo de sódio e que as fraturas de fêmur e ossos dos 
membros são causadas pela osteoporose.
Assim, a probabilidadede um idoso internado, escolhido ao 
acaso, ter como diagnóstico principal uma doença associada 
ao consumo excessivo de sódio, de acordo com a tabela, é 
igual a: a
a) 0,430.
b) 0,370.
c) 0,365.
d) 0,325.
e) 0,230.
p
80 42 26 24
80 49 43 42 35 26 24 11 77 13
172
400
0,4305
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 5
9 (UFRGS-RS) Escolhe-se aleatoriamente um número formado 
somente por algarismos pares distintos, maior do que 200 e 
menor do que 500.
Assinale a alternativa que indica a melhor aproximação para 
a probabilidade de que esse número seja divisível por 6. e
a) 20%
b) 24%
c) 30%
d) 34%
e) 50%
Nœmeros formados por algarismos pares distintos, maiores que 
200 e menores que 500, dever‹o come•ar apenas por 2 ou por 4:
2 ? 4 ? 3 5 24.
Dos nœmeros considerados, temos:
Nœmeros divis’veis por 6 que come•am por 2: 204, 240, 246 e 264.
Nœmeros divis’veis por 6 que come•am por 4: 402, 420, 426, 462, 
408, 480, 468 e 486.
Portanto, a probabilidade pedida ser‡ p
12
24
1
2
5 5 5 50%.
10 (UFRGS-RS) Um jogo consiste em responder corretamente às 
perguntas sorteadas, ao girar um ponteiro sobre uma roleta 
numerada de 1 a 10, no sentido horário. O número no qual 
o ponteiro parar corresponde à pergunta a ser respondida. A 
cada número corresponde somente uma pergunta, e cada 
pergunta só pode ser sorteada uma vez. Caso o ponteiro pare 
sobre um número que já foi sorteado, o participante deve res-
ponder à próxima pergunta não sorteada, no sentido horário.
Em um jogo, já foram sorteadas as perguntas 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 
10. Assim, a probabilidade de que a pergunta 4 seja a próxi-
ma a ser respondida é de: c
a) 
1
4
. b) 
1
3
. c) 
1
2
. d) 
2
3
. e) 3
4
.
Nœmeros que, se sorteados, possibilitam a resposta da quest‹o 4: 
{1, 2, 3, 4 ,10}.
Portanto, a probabilidade pedida ser‡ p
5
10
1
2
5 5 .
En
em
C-6
H-8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
9
somente por algarismos pares distintos, maior do que 200 e 
En
em
C-7
H-2
8
perguntas sorteadas, ao girar um ponteiro sobre uma roleta 
numerada de 1 a 10, no sentido horário. O número no qual 
o ponteiro parar corresponde à pergunta a ser respondida. A 
En
em
C-2
H-8
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 11 10/26/15 3:56 PM
12 Probabilidade
 Definição teórica De probabiliDaDe 
e consequências
Vamos analisar o fenômeno aleatório lan•amento de uma moeda perfeita.
Nesse caso, temos:
 V 5 {C, C} ⇒ p(V) 5 1;
 Os subconjuntos de V são: [, {C}, {C} e {C, C}.
Assim:
p([) 5 0
p({C}) 5 
1
2
p({C}) 5 
1
2
p({C, C}) 5 1
Vemos que p(A) > 0, para todo A , V.
Considerando A 5 {C} e B 5 {C}, vemos que A > B 5 [ e p(A < B) 5 p({C}) < p({C}) 5
 5 p({C, C}) 5 p(V) 5 1 5 
1
2
 1 
1
2
 5 p({C}) 1 p({C}) 5 p(A) 1 p(B).
Assim, podemos teoricamente considerar probabilidade como uma função, definida nas partes 
de um conjunto (espaço amostral V), que assume valores reais, satisfazendo as seguintes propriedades:
 P
1
: p(A) > 0, para qualquer A , V
 P
2
: p(V) 5 1
 P
3
: p(A < B) 5 p(A) 1 p(B), quando A > B 5 [ (eventos mutuamente exclusivos)
Observe que essas três propriedades são satisfeitas no exemplo anterior.
consequências da definição
Como consequências da definição teórica de probabilidade, temos as seguintes propriedades:
1a propriedade: Impossibilidade ou p([) 5 0
Como qualquer evento A (A subconjunto de V) pode ser escrito como A < [ e como 
A > [ 5 [, podemos aplicar a propriedade P
3
 e temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒5 [ 5 1 [ [ 5<p A p A
P
p A p p 0
3
 
)(p 0[ 5
2a propriedade: Probabilidade do evento complementar
Observe que, sendo A a notação para “complementar de A”, temos:
A < A 5 V e A > A 5 [
Logo:
p(V) 5 p(A < A)
Aplicando P
2
 e P
3
, temos:
1 5 p(A) 1 p(A) ou, equivalentemente, p(A) 5 1 2 p(A)
p(A) 5 1 2 p(A)
3a propriedade: Probabilidade da união de dois eventos
Conhecemos as probabilidades de ocorrência de dois 
eventos quaisquer A e B e procuramos a probabilidade de 
ocorrer o evento A < B. Ou seja, conhecemos p(A) e p(B) e 
procuramos uma expressão que nos dê p(A < B). Vejamos qual 
é essa expressão.
A. > BA > B.
BA
V
A > B
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 12 10/26/15 3:56 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
eXercÍcios resolViDos
J‡ sabemos, pela propriedade P
3
, que, se A > B 5 [, ent‹o p(A < B) 5 p(A) 1 p(B).
Sabemos tambŽm que, se A e B s‹o conjuntos quaisquer, temos:
A < B 5 (A > B) < (A > B) < (A > B) (I)
A 5 (A > B) < (A > B) e B 5 (A > B) < (A > B) (II)
Como (A > B), (A > B) e (A > B) s‹o dois a dois disjuntos, podemos aplicar P
3
 e obtemos:
p(A < B) 5 p(A > B) 1 p(A > B) 1 p(A > B) (III)
Considerando as probabilidades dos eventos A e B em (II), temos:
p(A) 5 p(A > B) 1 p(A > B) ⇔ p(A > B) 5 p(A) 2 p(A > B) (IV)
p(B) 5 p(A > B) 1 p(A > B) ⇔ p(A > B) 5 p(B) 2 p(A > B) (V)
Substituindo (IV) e (V) em (III), conclu’mos que a probabilidade da uni‹o de dois eventos Ž dada por:
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B)
14 No lan•amento simult‰neo de dois dados perfeitos distinguí-
veis, qual Ž a probabilidade de n‹o sair soma 5?
resolução:
Nesse caso, j‡ vimos que V tem 36 elementos:
V 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (6, 5), (6, 6)} ⇒ n(V) 5 36
Seja A o evento Òsair soma 5Ó:
A 5 {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} ⇒ n(A) 5 4
p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
4
36
 5 
1
9
 
p(A) 5 1 2 p(A) 5 1 2 
1
9
 5 
9
9
 2 
1
9
 5 
8
9
 
A probabilidade de n‹o sair soma 5 Ž 
8
9
.
15 No lan•amento simult‰neo de dois dados perfeitos distinguí-
veis, qual Ž a probabilidade de se obter soma par ou soma 
mœltipla de 3?
A soma de dois nœmeros natu-
rais Ž par nos seguintes casos: 
par 1 par; ímpar 1 ímpar.
para
refletir
resolução:
J‡ sabemos que, nesse caso:
V 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (6, 5), (6, 6)} ⇒ n(V)5 36
evento A: Òsair soma parÓ →
→ A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), 
(3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), 
(6, 2), (6, 4), (6, 6)} ⇒ n(A) 5 18
evento B: Òsair soma mœltipla de 3Ó →
→ B 5 {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), 
(4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)} ⇒ n(B) 5 12
A > B 5 {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)} ⇒ 
⇒ n(A > B) 5 6
Logo:
p(A) 5 
18
36
 5 
1
2
 
p(B) 5 
12
36
 5 
1
3
 
p(A > B) 5 
6
36
 5 
1
6
 
Assim, a probabilidade de se obter Òsoma par ou soma mœlti-
pla de 3Ó Ž dada por:
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) 5
1
2
1
3
1
6
probabilidade
de se obter
soma par
probabilidade de
se obter soma
mœltipla de 3
probabilidade de
se obter soma par
e mœltipla de 3
5 1 2 5
3
6
2
6
1
6
4
6
2
3
5 1 2 5 5
 
16 No lan•amento de um dado perfeito, determine as probabili-
dades de ocorrer cada evento a seguir:
a) sair nœmero par;
b) sair nœmero mœltiplo de 3;
c) sair nœmero par e mœltiplo de 3;
d) sair nœmero par ou mœltiplo de 3;
e) n‹o sair par nem mœltiplo de 3;
f ) n‹o sair par ou n‹o sair mœltiplo de 3.
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 13 10/26/15 3:56 PM
14 Probabilidade
resolução:
Nesse caso, temos: V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(V) 5 6
a) evento Òsair nœmero parÓ → A 5 {2, 4, 6} ⇒ n(A) 5 3
 p(A) 5 
3
6
 5 
1
2
 
b) evento Òsair mœltiplo de 3Ó → B 5 {3, 6} ⇒ n(B) 5 2
 p(B) 5 
2
6
 5 
1
3
 
c) evento Òsair nœmero par e mœltiplo de 3Ó → A > B 5 {6} ⇒ 
⇒ n(A > B) 5 1
 p(A > B) 5 
1
6
 
d) evento Òsair nœmero par ou mœltiplo de 3Ó → A < B
 p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) 5 
1
2
 1 
1
3
 2 
1
6
 5 
2
3
 
e) evento Òn‹o sair par nem mœltiplo de 3Ó → A > B.
 Sabemos pela teoria dos conjuntos que A > B 5 <A B 
 Logo:
 p(A > B) 5 p(A < B) 5 1 2 p(A < B) 5
 5 1 2 2
3
 5 3
3
 2 2
3
 5 1
3
 
f ) evento Òn‹o sair par ou n‹o sair mœltiplo de 3Ó → A < B
 p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) 5
 5 [1 2 p(A)] 1 [1 2 p(B)] 2 p(A > B)5
 5 ( )1 122 1 ( )1 132 2 13 5 12 1 23 2 13 5
 5 
3
6
 1 
4
6
 2 
2
6
 5 
5
6
 
Outra solu•‹o:
Sabemos pela teoria dos conjuntos que A < B 5 A > B
Logo: p(A < B) 5 p(A Bù ) 5 1 2 p(A > B) 5
5 1 2 
1
65 
6
6
 2 
1
6
 5 
5
6
17 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual Ž a pro-
babilidade de que essa carta seja vermelha ou um ‡s?
resolução:
evento V : Òa carta Ž vermelhaÓ; evento A: Òa carta Ž ‡sÓ
evento (V < A): Òa carta Ž vermelha ou ‡sÓ
p(V < A) 5 p(V) 1 p(A) 2 p(V > A)
Em um baralho de 52 cartas, h‡ 26 cartas vermelhas e 26 car-
tas pretas. H‡ tambŽm 4 ases, dos quais 2 s‹o vermelhos.
Logo:
p(V) 5 
26
52
 5 
1
2
 
p(A) 5 
4
52
 5 
1
13
 
p(V > A) 5 
2
52
 5 
1
26
 
Assim:
p(V < A) 5 1
2
 1 
1
13
 2 
1
26
 5 
14
26
 5 
7
13
 
A probabilidade de a carta retirada ser vermelha ou ‡s Ž 
de 
7
13
.
18 Se A e B s‹o eventos mutuamente exclusivos e p(A) 5 0,25 
e p(B) 5 0,5, determine:
a) p( <A B)
b) p(A < B) 
c) p(A)
d) p(B)
e) a probabilidade do evento ÒA mas n‹o B Ó
resolução:
a) p( <A B) 5 1 2 p(A < B) 5
 5 1 2 [p(A) 1 p(B) 2 p(A > B)]
Temos:
p(A) 5 0,25
p(B) 5 0,5
p(A > B) 5 0, pois (A > B) 5 [ (mutuamente exclusivos)
Logo, p( <A B) 5 1 2 (0,25 1 0,5) 5 0,25.
b) p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) 5
 5 0,25 1 0,5 2 0 5 0,75
c) p(A) 5 1 2 p(A) 5 1 2 0,25 5 0,75
d) p(B) 5 1 2 p(B) 5 1 2 0,5 5 0,5
e) ÒA mas n‹o B Ó Ž equivalente a ÒA e n‹o B Ó:
 A > B
 Como A > B 5 A 2 (A > B), temos:
 p(A > B) 5 p(A) 2 p(A > B) 5 0,25 2 0 5 0,25
19 Uma m‡quina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defei-
tuosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual Ž a probabilidade 
de que:
a) os tr•s sejam perfeitos?
b) os tr•s sejam defeituosos?
c) pelo menos dois sejam defeituosos?
d) pelo menos um seja defeituoso?
resolução:
n(V) 5 nœmero de combina•›es de 50 elementos tomados 
3 a 3
n(V) 5 
50!
3!47!
 5 
50 49 48 47 !
3 2 47 !
? ? ?
? ?
 50 49 85 ? ?
a) evento A: Òos tr•s parafusos s‹o perfeitosÓ
 n(A) 5 
45
3




 5 
45!
3!42!
 5
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 14 10/26/15 3:56 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
15
 5 
45 44 43 42 !
3 2 42 !
? ? ?
? ?
 15 22 435 ? ?
 p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
15 22 43
50 49 8
? ?
? ?
 5 0,72398
b) evento B: “os três parafusos são defeituosos”, o que pode 
ocorrer de 
5
3




 maneiras. Logo:
 n(B) 5 
5
3




 5 
5!
3!2!
 5 5 ? 2 5 10
 p(B) 5 
n(B)
n( )V
 5 
10
50 49 8? ?
 5 
1
1960
 . 0,005
c) evento C : “pelo menos 2 são defeituosos”, ou seja, ou 2 ou 
3 são defeituosos. Chamando de D o evento “2 são defei-
tuosos” e de B o “três são defeituosos”, temos C 5 D < B.
 p(C) 5 p(D < B) 5 p(D) 1 p(B) 2 p(D > B)
 Como D > B 5 [, p(D > B) 5 0. Logo, 
 p(C) 5 p(D) 1 p(B). Basta, então, calcular p(D).
 Para cada 
5
2




 escolhas de 2 defeituosos, existem 
45
1




 
possibilidades para o outro parafuso ser perfeito, ou seja, 
n(D) 5 
5
2
45
1








.
 Logo:
 p(D) 5 
5
2
45
1
50
3












 5 
5!
2!3!
45!
44!
50!
3!47!
?
 5
 5 
9
392
 5 0,02296
 p(C) 5 p(D) 1 p(B) . 0,02296 1 0,0005 5 0,02346
d) evento E : “pelo menos um é defeituoso”, que é o comple-
mentar do evento A: “os três são perfeitos” (que é o mes-
mo que “nenhum é defeituoso”). Logo:
 p(E) 5 p(A) 5 1 2 p(A) 5 1 2 0,72398 5 0,27602
20 Cada uma das 20 classes de um colégio de Ensino Médio tem 
3 representantes. Uma comissão de 20 alunos representantes 
de classe, escolhida ao acaso, deverá ser formada para dina-
mizar a parte cultural e esportiva do colégio. Consideremos 
os eventos:
A: o 2o ano A está representado na comissão;
B: todas as classes estão representadas.
a) Determine p(A).
b) Determine p(B).
resolução:
a) Nesse caso, n(V) 5 C
60, 20
 → número total de comissões 
possíveis de 20 alunos, formadas de um total de 60 alunos.
 Calculamos p(A) e usamos a propriedade p(A) 5 1 2 p(A).
 A: o 2o ano A não está representado na comissão. Há, en-
tão, 60 representantes, dos quais 57 não são do 2o ano A.
 Logo:
p(A) 5 
n(A)
n( )V
 5 
C
C
57, 20
60, 20
 5 
57!
37!20!
60!
40!20!
 5 
57!
37!
40!
60!
? 5 
40 39 38
60 59 58
? ?
? ?
 5 
5 
59 280
205 320
 . 0,28872
Portanto: p(A) 5 1 2 p(A) . 1 2 0,28872 . 0,71128.
b) Nesse caso, também n(V) 5 C
60, 20
.
 n(B) 5 320, pois há 320 maneiras diferentes de se escolher 
uma comissão, incluindo um representante de cada clas-
se. Portanto:
 p(B) 5 
3
C
20
60, 20
 5 
3
60!
40!20!
20
 5
 5 
40!20! 3
60!
20
?
 5 
…
20! 3
60 59 41
20
?
? ? ?
 
21 Em uma moeda viciada, a probabilidade de sair cara é o do-
bro da probabilidade de sair coroa. Qual é a probabilidade de 
sair cara? 
resolução:
Quando a moeda é viciada, os eventos elementares não são 
equiprováveis. Porém sabemos que p(V) 5 1. Assim:
p(C) 1 p(C) 5 1 (propriedade)
p(C) 5 2 ? p(C) (enunciado)
Logo, 3 ? p(C) 5 1 e p(C) 5 
1
3
. 
Portanto:
p(C) 5 1 2 p(C) 5 
2
3
Quando um experimento é dito 
“viciado” ou “não honesto”, os 
eventos elementares do espaço 
amostral não são equiprováveis.
para
refletir
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 15 10/26/15 3:56 PM
16 Probabilidade
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 a 27 Para aprimorar: 2
para construir
resumo das probabilidades calculadas
Evento Probabilidade
A p(A) 5 
n(A)
n( )V
A 1 2 p(A)
A : B p(A) 1 p(B) 2 p(A > B)
A " B p(A < B)
A : B p(A > B)
A " B p(A) 2 p(A > B)
11 (UFPR) Um programa de computador usa as vogais do alfabeto para gerar aleatoriamente senhas de 5 letras. Por exemplo: EEIOA 
e AEIOU são duas senhas possíveis. 
a) Calcule a quantidade total de senhas que podem ser geradas pelo programa.
b) Uma senha é dita insegura se possuir a mesma vogal em posições consecutivas. Por exemplo: AAEIO, EIIIO e UOUUO são senhas 
inseguras. Qual é a probabilidade de o programa gerar aleatoriamente uma senha insegura? 
a) Para cada posição temos 5 escolhas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, podem ser geradas 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 3 125 senhas.
b) Temos 5 escolhas para a primeira posição, 4 escolhas para a segunda posição, 4 escolhas para a terceira posição e assim por diante, até a quinta 
posição. Daí, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 5 1 280 senhas seguras. Portanto, a probabilidade de o programa gerar uma 
senha insegura é:
1
1280
3125
1
256
625
369
625
2 5 2 5
12 (UFSM-RS) A tabela mostra o resultado de uma pesquisa sobre tipos sanguíneos em que foram testadas 600 pessoas. 
Tipo de sangue O1 A1 B1 AB1 O2 A2 B2 AB2
Nœmero de 
pessoas
228 216 48 15 30 48 12 3
Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter sangue do tipo A1 ou A2? e
a) 
2
25
b) 
11
50
c) 
9
25
d) 
19
50
e) 
11
25
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
9
En
em
C-5
H-1
7
p(A A ) p(A ) p(A )
216
600
48
600
264
600
11
25
<
1 2 1 2
5 1 5 1 5 5
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 16 10/26/15 3:56 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
17
eXercÍcios resolViDos
probabilidade condicional
Analisemos a situação a seguir:
Uma moeda é lançada três vezes. Já vimos que nesse caso o espaço amostral é:
V 5 {C C C, C C C, C C C, C C C, C C C, C C C, C C C, C C C}
Consideremos o evento A: “sair cara exatamente duas vezes”.
Então:
A 5 {C C C, C C C, C C C} ⇒ p(A) 5 
3
8
Agora, consideremos que, ao ser lançada a moeda três vezes, “o resultado do primeiro lança-
mento foi cara”. Qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes?
O espaço amostral passa a ser B com:
B 5 {C C C, C C C, C C C, C C C} e A’ 5 {C C C, C C C}
em que A' 5 A > B e a probabilidade pedida é:
p(A') 5 
n(A')
n(B)
 5 
2
4
 5 
1
2
Observe que a probabilidade do evento “sair cara exatamente duas vezes” foi modificada pela 
presença do evento condicionante “o resultado do primeiro lançamento foi cara”.
Definimos:
 evento A: “exatamente dois dos três lançamentos dão cara” → A 5 {C C C, C C C, C C C}
 evento B: “o primeiro lançamento dá cara” → {C C C, C C C, C C C, C C C}
e denotamos por A/B o “evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu” e por p(A/B)a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.
No exemplo dado, p(A/B) é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes, tendo saído 
cara no primeiro lançamento.
Vimos que:
p(A/B) 5 p(A’) 5 
1
2
 
Então:
p(A/B) 5 
n(A')
n(B)
 5 
n(A B)
n(B)
>
 
Dividindo ambos os termos da fração por n(V) Þ 0, temos:
p(A/B) 5 
n(A B)
n( )
n(B)
n( )
V
V
>
 5 
p(A B)
p(B)
>
 
Logo:
p(A/B) 5 
p(A B)
p(B)
>
 ou p(A > B) 5 p(A/B) ? p(B)
22 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um ás vermelho sabendo que a carta é de copas?
resolução:
Nesse caso, temos n(V) 5 52.
evento A: “sair ás vermelho”
evento B : “sair copas”
O que o problema pede é p(A/B), ou seja, a probabilidade de sair ás vermelho tendo saído copas.
evento A: {ás de copas, ás de ouros}
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 17 10/26/15 3:56 PM
18 Probabilidade
para construir
evento B : {cartas de copas} → n(B) 5 13
A > B 5 {ás de copas} → n(A > B) 5 1
Logo, p(A > B) 5 
1
52
 e p(B) 5 
13
52
. Portanto:
p(A/B) 5 
p(A B)
p(B)
>
 5 
1
52
13
52
 5 
1
13
 
Assim, ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a proba-
bilidade de sair ás vermelho sabendo que ela é de copas é de 
1
13
.
23 Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade 
de que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança 
que nasceu é homem?
resolução:
Nesse caso, chamando M: mulher e H: homem, temos:
V 5 {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH, HMH, MHM} ⇒ 
⇒ n(V) 5 8
evento A: “a família tem 3 homens” → A 5 {HHH}
evento B: “a primeira criança é homem” → B 5 {HHH, HHM, 
HMH, HMM}
A > B 5 {HHH}; p(A > B) 5 
1
8
; p(B) 5 
4
8
 5 
1
2
 
p(A/B) 5 
1
8
1
2
 5 1
4
 
24 Dois dados perfeitos são lançados. Qual é a probabilidade de 
sair soma 8 se ocorreu o 3 no primeiro dado?
resolução:
V 5 {(1, 1), (1, 2), …, (6, 5), (6, 6)} → n(V) 5 36
evento A: “sair soma 8” → A 5 {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
evento B: “sair 3 no primeiro dado” → B 5 {(3, 1), (3, 2), (3, 3), 
(3, 4), (3, 5), (3, 6)}
A > B 5 {(3, 5)}; p(A > B) 5 
1
36
; p(B) 5 
6
36
 5 
1
6
 
p(A/B) 5 
p(A B)
p(B)
>
 5 
1
36
1
6
 5 
1
6
 
25 Em uma população de 500 pessoas, 280 são mulheres e 60 
exercem a profissão de advogado, sendo 20 do sexo femini-
no. Tomando ao acaso uma dessas pessoas, qual é a probabi-
lidade de que, sendo mulher, seja advogada?
resolução:
Consideremos:
evento A: “a pessoa exerce advocacia”
evento B: “a pessoa é do sexo feminino”
Procuramos p(A/B).







p(B)
280
500
14
25
n(A B) 20
p(A B)
20
500
1
25
5 5
5
5 5
>
>
 5 p(A/B) 5 
1
25
14
25
5 
1
14
 
Outra maneira:
Em vez de estudar a população toda, poderíamos nos res-
tringir às mulheres e perguntar qual é a probabilidade de ser 
advogada uma mulher tomada ao acaso. Teríamos:
p(A/B) 5 
20
280
 5 
1
14
 
26 As pesquisas de opinião apontam que 20% da população é 
constituída de mulheres que votam no partido X. Sabendo 
que 56% da população é feminina, qual é a probabilidade 
de que uma mulher selecionada ao acaso da população 
toda vote no partido X?
resolução:
evento B: "a pessoa escolhida é mulher"
evento A: "a pessoa vota no partido X"
A > B: "mulher que vota no partido X"
Procuramos p(A/B).
p(B) 5 0,56, que é equivalente a dizer que 56% da população 
é feminina.
p(A > B) 5 0,2, que é equivalente a dizer que 20% da popu-
lação são mulheres que votam no partido X.
Portanto, p(A/B) 5 
0,2
0,56
 . 0,36, que é equivalente a dizer que 
aproximadamente 36% das mulheres votam no partido X.
13 Um levantamento revela as seguintes informações sobre um grupo de pessoas:
Gosta de mœsica Gosta de TV Gosta de cinema
Homens 50 40 30
Mulheres 30 60 40
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-7
H-2
8
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 18 10/26/15 3:56 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
19
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 28 a 35 Para aprimorar: 3
Definindo que H: homem, M: mulher, A: gosta de música, 
B: gosta de TV e C: gosta de cinema, e supondo que cada 
pessoa deu uma única resposta, determine:
a) p(M/C);
p(M/C) 5 
>p(M C)
p(C)
 5 
40
250
70
250
 5 
4
7
 
b) p(B/M);
p(B/M) 5 
>p(B M)
p(M)
 5 
60
250
130
250
 5 
6
13
 
c) p(H/A);
p(H/A) 5 
>p(H A)
p(A)
 5 
50
250
80
250
 5 
5
8
 
d) p(A/H);
p(A/H) 5 
>p(A H)
p(H)
 5 
50
250
120
250
 5 
5
12
 
e) p(C/H).
p(C/H) 5 
>p(C H)
p(H)
 5 
30
250
120
250
 5 
1
4
 
14 (UFPE) O vírus X aparece nas variantes X
1
 e X
2
. Se um indiví-
duo tem esse vírus, a probabilidade de ser a variante X
1
 é de 
3
5
. Se o indivíduo tem o vírus X
1
, a probabilidade de esse in-
divíduo sobreviver é de 
2
3
, mas, se o indivíduo tem o vírus X
2
, 
a probabilidade de ele sobreviver é de 5
6
. Nessas condições, 
qual é a probabilidade de o indivíduo portador do vírus X 
sobreviver? e
a) 
1
3
b) 
7
15
c) 
3
5
d) 
2
3
e) 
11
15
p(X
1
) 5 
3
5
 
p(X
2
) 5 1 2 p(X
1
) 5 1 2 
3
5
 5 
2
5
 
Logo, a probabilidade de o indiv’duo portador do v’rus X sobreviver Ž:
3
5
 ? 
2
3
 1 
2
5
 ? 
5
6
 5 
2
5
 1 
1
3
 5 
16 5
15
 5 
11
15
 
15 (UEL-PR) No diagrama a seguir, o espaço amostral S represen-
ta um grupo de amigos que farão uma viagem. O conjun-
to A indica a quantidade de pessoas que já foram a Maceió 
e o conjunto B, a quantidade de pessoas que já foram a For-
taleza.
S
B A
A empresa de turismo que está organizando a viagem fará o 
sorteio de uma passagem gratuita. Considerando que a pes-
soa sorteada já tenha ido para Fortaleza, assinale a alternativa 
que indica a probabilidade de que ela também já tenha ido 
para Maceió. b
a) 18,75%
b) 30%
c) 33,33%
d) 50%
e) 60%
O nœmero de pessoas que j‡ foram para Fortaleza Ž 10.
O nœmero de pessoas que j‡ foram para Fortaleza e Macei— Ž 3.
Logo, a probabilidade pedida Ž 
3
10
 5 0,3 5 30%.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 19 10/26/15 3:57 PM
20 Probabilidade
eXercÍcios resolViDos
eventos independentes
O conceito de independência de eventos é muito importante em probabilidade. Após analisar 
um exemplo, definiremos o que são eventos independentes.
Consideremos o experimento “lançar dois dados perfeitos de cores diferentes”. Seja A o evento 
“sair o 6 no 1o dado” e B, o “sair o 3 no 2o dado”. Observemos que:
 n(V) 5 36 
 A 5 {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
 B 5 {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
 p(A) 5 
6
36
 5 
1
6
 
 p(B) 5 
6
36
 5 
1
6
 
 A > B 5 {(6, 3)} ⇒ p(A > B) 5 
1
36
 
 p(B/A) 5 
•p(B A)
p(A)
 5 
1
36
1
6
 5 
1
6
 
Assim, p(B) 5 p(B/A) 5 
1
6
, ou seja, a probabilidade de “sair 3” no 2o dado não foi afetada pelo 
fato de “sair 6” no 1o dado, ou, ainda, a probabilidade de ocorrer B n‹o dependeu da ocorrência de A.
Nesse caso, dizemos que A e B são eventos independentes. A probabilidade de ocorrer um deles 
não depende do fato de ter ou não ocorrido o outro.
Dessa forma, também é verdade que p(A) 5 p(A/B).
Assim, como p(A/B) 5 
•p(B A)
p(B)
, temos:
p(A > B) 5 p(A/B)
p(A)
{
 ? p(B) 5 p(A) ? p(B)
Logo, o fato de A e B serem eventos independentes é equivalente a dizer que p(A > B) 5
5 p(A) ? p(B). Podemos, então, dar a definição:
Dois eventos A e B de um espaço amostral V (com p(A) Þ 0 e p(B) Þ 0) são independen-
tes se, e somente se, p(A/B) 5 p(A) ou, de modo equivalente:
p(A > B) 5 p(A) ? p(B)
Com isso, podemos afirmar que dois eventos A e B são dependentes quando p(A > B) Þ p(A) ? p(B).
27 Uma moeda perfeita Ž lan•ada duas vezes. Considerando os 
eventos A: Òsair cara na 1a jogadaÓ e B: Òsair cara na 2a jogadaÓ, 
demonstre que os eventos A e B s‹o independentes.
resolução:
V 5 {C C, C C, C C, C C}
A 5 {C C, C C} ⇒ p(A) 5 
2
4
 5 
1
2
 
B 5 {C C, C C} ⇒ p(B) 5 
2
4
 5 
1
2
 
A > B 5 {C C} ⇒ p(A > B) 5 
1
4
 
Como 
1
4
 5 
1
2
 ? 
1
2
, ent‹o p(A > B) 5 p(A) ? p(B).
Logo, A e B s‹o independentes.Outra maneira:
p(A/B) 5 
p(A B)
p(B)
>
 5 
1
4
1
2
 5 
1
2
 
Como p(A) 5 
1
2
, ent‹o p(A/B) 5 p(A) e os eventos A e B s‹o 
independentes.
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 20 10/26/15 3:57 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
21
28 Consideremos uma cria de cachorros com 3 filhotes. Sejam 
os eventos A: Òobten•‹o de pelo menos dois machosÓ e B: Òob-
ten•‹o de pelo menos um de cada sexoÓ. Os eventos A e B 
s‹o independentes? Por qu•?
resolução:
m: macho; f: f•mea
V 5 {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff }
A 5 {mmm, mmf, mfm, fmm} ⇒ p(A) 5 
1
2
B 5 {mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm} ⇒ p(B) 5 3
4
A > B 5 {mmf, mfm, fmm} ⇒ p(A > B) 5 
3
8
Vemos que 
3
8
 5 
1
2
 ? 
3
4
.
Como p(A > B) 5 p(A) ? p(B), temos que A e B s‹o indepen-
dentes.
29 Uma f‡brica produz tr•s produtos, A, B e C. Qual Ž a probabili-
dade de se selecionar, ao acaso, um produto defeituoso A, se 
Ž sabido que 30% dos produtos produzidos pela f‡brica s‹o 
produtos A e 5% dos produtos A s‹o defeituosos?
resolução:
D: selecionar produto defeituoso
D > A: selecionar produto defeituoso A
p(A) 5 
30
100
 5 
3
10
 
p(D/A) 5 
5
100
 5 
1
20
 
p(D > A) 5 p(D/A) ? p(A) 5 
1
20
 ? 
3
10
 5 
3
200
 5 1,5%
Portanto, p(D > A) 5 1,5%.
30 S‹o realizados dois lan•amentos sucessivos de um dado per-
feito. Qual Ž a probabilidade de ocorrer, nos dois casos, o nœ-
mero 5?
resolução:
A: ocorr•ncia de 5 no 1o lan•amento ⇒ p(A) 5 
1
6
 
B: ocorr•ncia de 5 no 2o lan•amento ⇒ p(B) 5 
1
6
A e B s‹o independentes. Procuramos p(A > B).
p(A > B) 5 p(A) ? p(B) 5 
1
6
 ? 
1
6
 5 
1
36
 
31 Um brinquedo conhecido como Blocos l—gicos consiste em 
v‡rias pe•as de formas, tamanhos, espessuras e cores varia-
das. S‹o 48 pe•as constru’das combinando-se 3 cores (azul, 
vermelha e amarela), 4 formas (triangular, quadrada, retangu-
lar e circular), 2 tamanhos (grande e pequeno) e 2 espessuras 
(grossa e fina). Cada pe•a tem apenas uma cor, uma forma, 
um tamanho e uma espessura e existem pe•as para todas 
as combina•›es poss’veis. Escolhendo uma pe•a ao acaso, o 
que Ž mais prov‡vel tirar:
a) uma pe•a azul e grande ou uma pe•a quadrada e fina?
b) uma pe•a circular ou uma pe•a grande e grossa?
resolução:
a) Pe•a azul e grande: p 5 
1
3
 ? 
1
2
 5 
1
6
 
 Pe•a quadrada e fina: p 5 
1
4
 ? 
1
2
 5 
1
8
 
 Como 
1
6
 . 
1
8
, ent‹o Ž mais prov‡vel tirar uma pe•a azul e 
grande.
b) Pe•a circular: p 5 
1
4
 Pe•a grande e grossa: p 5 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
 
 Como 
1
4
 5 
1
4
, ent‹o a probabilidade Ž a mesma para os 
dois eventos.
32 (Vunesp) Os 500 estudantes de um colŽgio responderam a 
uma pergunta sobre qual a sua ‡rea de conhecimento prefe-
rida, entre exatas, humanidades e biol—gicas. As respostas fo-
ram computadas e alguns dados foram colocados na tabela.
Sexo
çrea Masculino (M) Feminino (F) Total
Exatas (E) 120 200
Humanidades (H) 80 125
Biológicas (B) 100 175
Total 500
a) Sabendo que cada estudante escolheu uma œnica ‡rea, 
copie a tabela em seu caderno e complete-a com os da-
dos que est‹o faltando.
b) Um estudante Ž escolhido ao acaso. Sabendo que Ž do 
sexo feminino, determine a probabilidade de essa estu-
dante preferir humanidades ou biol—gicas.
resolução:
a)
Sexo
çrea Masculino (M) Feminino (F) Total
Exatas (E) 120 80 200
Humanidades (H) 45 80 125
Biológicas (B) 100 75 175
Total 265 235 500
b) p 5 
80 75
235
1
 5 
155
235
 5 
31
47
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 21 10/26/15 3:57 PM
22 Probabilidade
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 36 a 47 Para aprimorar: 4 e 5
para construir
16 (FGV-SP) Dois eventos A e B de um espa•o amostral s‹o in-
dependentes. A probabilidade do evento A Ž p(A) 0,45 e a 
probabilidade da uni‹o de A com B Ž ( )p A B 0,85< .
Pode-se concluir que a probabilidade do evento B Ž: d
a) 
5
6
. b) 
4
5
. c) 
3
4
. d) 
2
3
. e) 
1
2
. 
Desde que A e B são independentes, tem-se p(A B) p(A) p(B)5 ?>  . 
Portanto, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
⇒
⇒ ⇒
⇒
p A B p A p B p A B
0,8 0,4 p B 0,4 p B
p B
0,4
0,6
2
3
5 1 2
5 1 2 ?
5 5
< >
17 Se A e B s‹o eventos de tal forma que p(A) 5 
1
3
 , p(B) 5 
3
4
 e 
p(A > B) 5 
1
4
, eles s‹o independentes?
p(A) 5 
1
3
, p(B) 5 
3
4
, p(A > B) 5 
1
4
Note que p(A) ? p(B) 5 
1
3
 ? 
3
4
 5 
1
4
 e p(A > B) 5 
1
4
.
Logo, A e B são independentes.
18 (UPE) Dois atiradores, AndrŽ e Bruno, disparam simultanea-
mente sobre um alvo.
 A probabilidade de AndrŽ acertar no alvo Ž de 80%. 
 A probabilidade de Bruno acertar no alvo Ž de 60%. 
Se os eventos ÒAndrŽ acerta no alvoÓ e ÒBruno acerta no alvoÓ, 
s‹o independentes, qual Ž a probabilidade de o alvo n‹o ser 
atingido? a
a) 8% b) 16% c) 18% d) 30% e) 92%
Como os eventos são independentes, a probabilidade pedida é dada 
por:
(1 0,8) (1 0,6) 0,08 8%2 ? 2 5 5
19 Tr•s moedas s‹o lan•adas. Consideremos os eventos A: Òsair 
pelo menos 2 coroasÓ, B: Òsair no m‡ximo 1 coroaÓ e C: Òsair 
3 caras ou sair 3 coroasÓ. Pergunta-se:
a) A e B s‹o eventos independentes?
V 5 {(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), 
(C, C, C), (C, C, C)}
A: pelo menos duas coroas → {(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C),
(C, C, C)} ⇒ p(A) 5 
4
8
 5 
1
2
 
B: sair no máximo uma coroa → {(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), 
(C, C, C)} ⇒ p(B)5 
4
8
 5 
1
2
 
C: três caras ou três coroas → {(C, C, C), (C, C, C)} ⇒ p(C) 5 
2
8
 5 
1
4
 
p(A > B) 5 p({[}) 5 
0
8
 5 0
p(A) ? p(B) 5 
1
2
 ? 
1
2
 Þ 0
Então, A e B não são independentes.
b) B e C s‹o eventos independentes?
p(B > C) 5 p({(C, C, C)}) 5 
1
8
 
p(B) ? p(C) 5 
1
2
 ? 
1
4
 5 
1
8
 
Então, B e C são independentes.
c) A e C s‹o eventos independentes?
p(A > C) 5 p({(C, C, C)}) 5 
1
8
p(A) ? p(C) 5 
1
2
 ? 
1
4
 5 
1
8
 
Então, A e C são independentes.
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
 o MÉtoDo binoMial
O método do produto de probabilidades é usado, por exemplo, quando se quer saber qual é a 
probabilidade de, em uma família, todas as crian•as serem meninos ou todas serem meninas. Se um 
casal planejou ter 4 filhos, a probabilidade de que todos sejam meninos é:
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
16
 
Quando há mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 menina, 2 meninos e 2 meninas, etc. 
e não se especifica a ordem de ocorrência, podemos usar o mŽtodo binomial. Para isso, vamos 
inicialmente retomar as potências do bin™mio (a 1 b)n, conhecidas como bin™mio de Newton:
(a 1 b)1 5 1a 1 1b
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2 5 1a2 1 2ab 1 1b2
(a 1 b)3 5 (a 1 b)2(a 1 b) 5 1a3 1 3a2b 1 3ab2 1 1b3
(a 1 b)4 5 (a 1 b)3(a 1 b) 5 1a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 1b4
(a 1 b)5 5 (a 1 b)4(a 1 b) 5 1a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 1b5
En
em
C-7
H-2
8
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 22 10/26/15 3:57 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
23
Os coeficientes s‹o os elementos do tri‰ngulo de Pascal, conhecidos como nœmeros binomiais:
que pode ser escrito assim:
É






























































































0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
em que, como j‡ sabemos, 




n
k
 5 
n!
k!(n k)!2
 ou 




n
k
 5 
A
k!
n, k
 Ž o nœmero total de combina•›es 
de n objetos tomados k a k, ou seja, Ž o nœmero de subconjuntos de k elementos tomados de um 
conjunto com n elementos.
Vejamos agora, por meio de exemplos, no que consiste o mŽtodo binomial e quando podemos us‡-lo.
1o) Consideremos uma fam’lia com duas crian•as. Se representamos o nascimento de um me-
nino por M e o nascimento de uma menina por F, temos:
 





p(M) p
1
2
p(F) q
1
2
p q 1
5 5
5 5
15
 V 5 {MM, MF, FM, FF}
 Como experimentalmente sabemos que cada nascimento Ž independente de nascimen-
tos anteriores, temos:
 p(MM) 5 p(M) ? p(M) 5 p ? p 5 p2 5 
1
4
 p(MF) 5 p(M) ? p(F) 5 p ? q 5 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
 p(FM) 5 p(F) ? p(M) 5 q ? p 5 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
 
 p(FF) 5 p(F) ? p(F) 5 q ? q 5 q2 5 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
Observe que a probabilidade total Ž igual a 1:
1
4
 1 
1
4
 1 
1
4
 1 
1
4
 5 1
Se n‹o consideramos a ordem em que ocorreram os nascimentos, podemos escrever:
p 2pq q 12
probabilidade
de nascerem
dois meninos
MM
probabilidade
de nascerem
1 menino e
1 menina
MF ou FM
2
probabilidade
de nascerem
duas meninas
FF
1 1 5
Assim:
 a probabilidade de nascerem dois meninos Ž p2, ou seja: 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
É
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 23 10/26/15 3:57 PM
24 Probabilidade
 a probabilidade de nascerem um menino e uma menina (sem considerar a ordem) 
Ž 2pq, ou seja: 2 ? 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
2
 a probabilidade de nascerem duas meninas Ž q2, ou seja: 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
4
Observemos que:
1p2 1 2pq 1 1q2 5 




2
0
 p2 1 




2
1
 pq 1 




2
2
 q2 5 (p 1 q)2 5 12 5 1
2o) Consideremos o nascimento de tr•s crian•as e as mesmas representa•›es do exemplo 
anterior.
Agora, as possibilidades de nascimento s‹o dadas por:
V 5 {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
Assim:
 p(MMM) 5 p(M) ? p(M) ? p(M) 5 p ? p ? p 5 p3 p(MFF) 5 pqq 5 pq2
 p(MMF) 5 ppq 5 p2q p(FMF) 5 qpq 5 pq2
 p(MFM) 5 pqp 5 p2q p(FFM) 5 qqp 5 pq2
 p(FMM) 5 qpp 5 p2q p(FFF) 5 qqq 5 q3
Se n‹o consideramos a ordem dos nascimentos, as possibilidades se reduzem a MMM, 
MMF, MFF e FFF, e as probabilidades correspondentes a:
 p(MMM) 5 p3 p(MMF) 5 3p2q p(MFF) 5 3pq2 p(FFF) 5 q3
e escrevemos:
p3 1 3p2q 1 3pq2 1 q3 5 1
que Ž a express‹o do bin™mio (p 1 q)3 5 1.
Portanto, podemos dizer que:
 a probabilidade de que as 3 crian•as sejam meninos Ž: p3 5 p ? p ? p 5 
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
8
 a probabilidade de que nas•am 2 meninos e 1 menina Ž: 3p2q 5 3ppq 5 3 ? 
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 5 
3
8
 a probabilidade de que nas•am 1 menino e 2 meninas Ž: 3pq2 5 3pqq 5 3 ? 
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 5 
3
8
 a probabilidade de que nas•am 3 meninas Ž: q3 5 qqq 5 
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 5 
1
8
e notamos que: 
1
8
 1 
3
8
 1 
3
8
 1 
1
8
 5 
8
8
 5 1
Observamos ainda que:
1p3 1 3p2q 1 3pq2 1 1q3 5 






3
0
 p3 1 




3
1
 p2q 1 




3
2
 pq2 1 






3
3
 q3
Generalizando:
Em uma fam’lia, a probabilidade de nascerem n crian•as, das quais k sejam meninos 
e n 2 k sejam meninas, Ž dada por:
p(k meninos, n 2 k meninas) 5 




n
k
 pkqn 2 k
Quando usamos essa f—rmula, dizemos que estamos aplicando o mŽtodo binomial.
Essa probabilidade Ž um termo da expans‹o binomial (p 1 q)n.
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 24 10/26/15 3:57 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
25
eXercÍcio resolViDo
33 Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual Ž a probabi-
lidade de nascerem:
a) 4 meninos;
b) 3 meninos e 1 menina;
c) 2 meninos e 2 meninas;
d) 1 menino e 3 meninas;
e) 4 meninas.
resolução:
Nesse caso, n 5 4. H‡ duas maneiras de resolver este problema:
1a maneira:
Desenvolver (p 1 q)4, obtendo p4 1 4p3q 1 6p2q2 1 4pq3 1 
1 q4 e efetuar os c‡lculos.
Vejamos:
a) 4 meninos: a probabilidade Ž dada por p4.
 Como p 5 
1
2
, temos 



1
2
4
 5 
1
16
.
b) 3 meninos e 1 menina: a probabilidade Ž dada por 4p3q. 
Observe a correspond•ncia:
 
p
3 meninos
o expoente de Ž 3
↓
 e 
q
1 menina
o expoente de Ž 1
↓
 
 Como p 5 q 5 
1
2
, temos 4p3q 5 4 




1
2
3
 ? 
1
2
 5 
1
4
.
c) 2 meninos e 2 meninas: a probabilidade Ž dada por 6p2q2.
 Observe a correspond•ncia outra vez. Isso sempre 
ocorre.
 Como p 5 q 5 
1
2
, temos 6p2q2 5 




1
2
2
 




1
2
2
 5 
3
8
.
d) 1 menino e 3 meninas: a probabilidade Ž dada por 4pq3 5 
5 4 




1
2




1
2
3
 5 
1
4
.
e) 4 meninas: a probabilidade Ž dada por q4 5 




1
2
4
 5 
1
16
.
 Observe que:
 
1
16
 1 
1
4
 1 
3
8
 1 
1
4
 1 
1
16
 5 1
2a maneira:
Fazemos as devidas substitui•›es na f—rmula geral e os c‡l-
culos.
Para exemplificar, vamos resolver apenas o item b: qual Ž a 
probabilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina?
Nesse caso, n 5 4, k 5 3, n 2 k 5 4 2 3 5 1 e
p 5 q 5 
1
2
. Assim:
p(3M, 1F) 5 
4
3








1
2
3




1
2
 5 
4!
3!(4 Ð 3)!
 ? 
1
8
 ? 
1
2
 5 
1
4
 
outras aplicações do método binomial
O método binomial pode ser usado em outros assuntos, nos quais os problemas tenham es-
trutura análoga à dos exemplos dados a seguir.
1o) Um dado é jogado 7 vezes. Qual é a probabilidade de sair o número 5 quatro vezes?
Probabilidade de sair o 5 em cada jogada: p 5 
1
6
Probabilidade de não sair o 5 em cada jogada: q 5 1 2 p 5 
5
6
Probabilidade de sair o 5 em 4 das 7 jogadas:












7
4
1
6
5
6
4 3
2o) Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de teste com 5 alternativas em cada 
teste. Se um aluno “chutar” todas as respostas, qual é a probabilidade de ele acertar 6 exer-
cícios?
Probabilidade de acertar cada questão: p 5 
1
5
Probabilidade de errar (não acertar) cada questão: q 5 1 2 p 5 
4
5
Probabilidade de acertar 6 das 10 questões:












10
6
1
5
4
5
6 4
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 25 10/26/15 3:57 PM
26 Probabilidade
para construir
eXercÍcio resolViDo
34 Uma moeda Ž lan•ada 8 vezes. Qual Ž a probabilidade de sair cara 5 vezes?
Observa•‹o: n‹o sair cara equivale a sair coroa.
resolução:
Em cada lan•amento:
 a probabilidade de sair cara Ž p 5 
1
2
;
 a probabilidade de n‹o sair cara Ž q 5 1 2 
1
2
 5 
1
2
.
Ent‹o, a probabilidade de sair cara 5 vezes Ž:
8
5




 
1
2
5








1
2
3
 5 
8!
5! 3!
1
32
1
8
? ? 5 
8 7 6 5 4
5 4 3 2 1
? ? ? ?
? ? ? ?
 ? 
1
32
 ? 
1
8
 5 
7
32
 5 0,21875 5 21,875%
Portanto, ao lan•ar uma moeda 8 vezes, a probabilidade de sair cara 5 vezes Ž de 
7
32
 (aproximadamente 22%).
20 (Unicamp-SP) Em Matem‡tica, um nœmero natural a Ž chamado pal’ndromo se seus algarismos, escritos em ordem inversa, pro-
duzem o mesmo nœmero. Por exemplo, 8, 22 e 373 s‹o pal’ndromos. Pergunta-se:
a) Quantos nœmeros naturais pal’ndromos existem entre 1 e 9 999?
Pal’ndromos com 1 algarismo: 9
Pal’ndromos com 2 algarismos: 9 ? 1
Pal’ndromos com 3 algarismos: 9 ? 10 ? 1
Pal’ndromos com 4 algarismos: 9 ? 10 ? 1 ? 1
9 1 9 ? 1 1 9 ? 10 ? 1 1 9 ? 10 ? 1 ? 1 5 198 nœmeros
b) Escolhendo-se ao acaso um nœmero natural de 1 a 9 999, qual Ž a probabilidade de que esse nœmero seja pal’ndromo? Tal 
probabilidade Ž maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta.
198
9 999
 5 
2
101
 
ƒ menor que 2%, pois 2% 5 
2
100
.
21 (Fuvest-SP) Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo Ž levar uma pe•a da casa infe-
rior esquerda (casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta pe•a deve mover-se, de 
cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente ˆ direita. Se apenas uma destas casas exis-
tir, a pe•a ir‡ mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos poss’veis para completar 
o trajeto s‹o (1, 1) → (1, 2) → (2, 2) → (2, 3) → (3, 3) → (3, 4) → (4, 4) e (1, 1) → (2, 1) → (2, 2) → (3, 2) → 
→ (4, 2) → (4, 3) → (4, 4).
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
Generalizando:
 Uma experi•ncia Ž realizada n vezes independentemente.
 Em cada uma das n vezes, um evento A tem probabilidade p de ocorrer.
 A probabilidade de A n‹o ocorrer em cada vez Ž q 5 1 2 p.
 A probabilidade de A ocorrer em k das n vezes Ž dada por: 




n
k
 pkqn 2 k
4
3
2
1
1 2 3 4
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 26 10/26/15 3:57 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
RA
27
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 48 a 53
a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto?
Com as condi•›es apresentadas no enunciado, a pe•a deve realizar seis movimentos para sair de 
(1, 1) e chegar a (4, 4): tr•s movimentos para a direita e tr•s para cima, independentemente da or-
dem. Assim, aplicando a express‹o de permuta•‹o com repeti•‹o de elementos, temos a seguinte 
quantidade de caminhos distintos:
P
6!
3!3!
206
3, 3
5 5
b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opç›es de movimento, lança-
-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para a casa ˆ direita e, se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta 
forma, cada caminho contado no item a ter‡ uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que t•m maior 
probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade.
Quando a pe•a alcan•a a borda superior ou a borda direita do tabuleiro, h‡ apenas uma op•‹o de movimento (para o lado, se a pe•a estiver na 
borda superior; ou para cima, se a pe•a estiver na borda direita). Nas outras casas, h‡ sempre duas op•›es de movimento. Portanto, o cami-
nho mais curto atŽ a borda ser‡ tambŽm o mais prov‡vel de acontecer, nas condi•›es apresentadas no enunciado. No caso, h‡ dois desses 
caminhos: o que percorre totalmente a borda esquerda (atŽ chegar ˆ borda superior) e o que percorre totalmente a borda inferior (atŽ chegar ˆ 
borda direita). Usando a nota•‹o proposta no enunciado, s‹o eles:
(1, 1) → (1, 2) → (1, 3) → (1, 4) → (2, 4) → (3, 4) → (4, 4)
(1, 1) → (2, 1) → (3, 1) → (4, 1) → (4, 2) → (4, 3) → (4, 4) 
A probabilidade de esses trajetos acontecerem Ž:
1
2
 ? 
1
2
 ? 
1
2
 ? 1 ? 1 ? 1 5 
1
8
 
22 (Fuvest-SP) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de 
copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por tr•s cartas escolhidas ao acaso dentre as 
23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é: c
a) 
1
130
.
b) 
1
420
.
c) 
10
1771
.
d) 
25
7117
.
e) 
52
8117
.
Lu’s pode receber 3 cartas de ouros de 5
?
5
5
3
5!
3! 2!
10




 maneiras e 5 cartas quaisquer de 5
?
5
23
3
23!
3! 20!
1771




 modos. Portanto, segue 
que a probabilidade pedida Ž igual a 
10
1771
.
En
em
C-7
H-2
8
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 27 10/26/15 3:57 PM
28 Probabilidade
eXercÍcios resolViDos
 aplicaçÕes De probabiliDaDe À GenÉtica
A GenŽtica Ž, talvez, o ramo da Biologia que mais utiliza os conceitos matem‡ticos envolvidos na teoria das probabilidades. Isso porque, 
em Probabilidade, trabalhamos com os eventos chamados aleat—rios, e um bom exemplo de evento aleat—rio Ž o encontro de dois tipos de 
gametas com determinados genes. Um indiv’duo heterozigoto para determinada caracter’stica (Aa) forma dois tipos de espermatozoides, 
A e a. Se uma mulher tambŽm for heterozigota, poder‡ formar —vulos A e a. Depende apenas do acaso o fato de ser o espermatozoide A 
ou a o respons‡vel pela fecunda•‹o, assim como tambŽm depende apenas do acaso o fato de ser a cŽlula feminina A ou a a fecundada.
Assim, temos o seguinte esquema:
Pais
Gametas
(50% A
e 50% a)
Geração F1
Aa 3
A
AA
a
Aa
A
Aa
a
aa
Aa
1
4
1
4
1
4
1
4
e o quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:
 
 
A p(A) 5 
1
2
a p(a) 5 
1
2
A p(A) 5 
1
2
AA p(A, A) 5 
1
4
Aa p(A, a) 5 
1
4
a p(a) 5 
1
2
Aa p(A, a) 5 
1
4
aa p(a, a) 5
1
4
35 Um casal heterozigoto com pigmenta•‹o normal teve como primeiro descendente uma crian•a albina. Responda:
a) Qual Ž a probabilidade de que seus pr—ximos dois filhos sejam albinos?
b) Qual Ž a probabilidade de que seus pr—ximos dois filhos tenham pigmenta•‹o normal?
c) Qual Ž a probabilidade de, pelo menos, um dos seus pr—ximos dois filhos ser albino e menino?
resolução:
a) O fato de a primeira crian•a ser albina n‹o influenciar‡, nesse aspecto, a hereditariedade das futuras crian•as. S‹o, portanto, eventos 
independentes. Lembramos que o albinismo Ž heredit‡rio e determinado pela combina•‹o de pais portadores do gene recessivo a.
Pais
Gametas
(50% A 
e 50% a)
Gera•‹o F1
Aa
A
AA
AA Aa aa (albino)
a
Aa
A
Aa
a
aa
Aa
1
4
1
2
1
4
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 28 10/26/15 3:57 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
29
 Nesse caso, a probabilidade de cada criança ser albina em 
qualquer nascimento é 
1
4
 ou 25%. Portanto:
 p(segunda criança ser albina) 5 
1
4
 p(terceira criança ser albina) 5 
1
4
 p(segunda e terceira crianças serem albinas) 5 
1
4
 ? 
1
4
 5 
5 
1
16
 . 6,2%
b) A probabilidade de que cada um, separadamente, dos 
seus próximos dois filhos tenha pigmentação normal é 3
4
 
ou 75%, pois:
 1
4
 AA 1 
1
2
 Aa, ou seja 
1
4
 1 
1
2
 5 
3
4
 
 Logo:
 p(segunda e terceira crianças terem pigmentação nor-
mal) 5 
3
4
 ? 
3
4
 5 
9
16
 . 56%
c) A probabilidade de pelo menos um dos próximos dois fi-
lhos ser albino é:
 1 2 
9
16
 5 
7
16
 . 44%
 Como a probabilidade de ser menino é 
1
2
, então a probabi-
lidade de pelo menos uma criança ser menino e albina é:
 
1
2
 ? 
7
16
 5 
7
32
 . 22%
36 Em um cruzamento Aa 3 Aa, sabemos que as combinações 
AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis, cada uma com pro-
babilidade 
1
4
. Sabemos também que Aa e aA não podem ser 
distinguidas biologicamente. Qual é a probabilidade de ocor-
rer Aa ou aA?
resolução:
p(Aa) 5 
1
4
; p(aA) 5 
1
4
Aa e aA são mutuamente exclusivos ⇒ p(Aa > aA) 5 0. Logo:
p(Aa ou aA) 5 
1
4
 1 
1
4
 2 0 5 
2
4
 5 
1
2
 
37 Em uma população humana a probabilidade de ser mudo é es-
timada em 0,005, a probabilidade de ser cego é 0,0085 e a pro-
babilidade de ser mudo e cego é 0,0006. Qual é a probabilidade 
de que um indivíduo, tomado ao acaso, seja mudo ou cego?
resolução:
Nesse caso, “ser mudo” não exclui a possibilidade de “ser cego”; 
portanto, os eventos não são mutuamente exclusivos. Logo:
p(ser mudo ou ser cego) 5 p(A ou B) 5 p(A) 1 p(B) 2 
2 p(A e B) 5 0,0050 1 0,0085 2 0,0006 5 0,0129
38 João e sua esposa, Maria, têm pigmentação normal. João é 
filho de um homem normal e mulher albina; Maria é filha de 
uma mulher normal e pai albino. Qual é a probabilidade de 
João e Maria terem uma criança albina do sexo masculino?
resolução:
 
João Maria
Aa 3 Aa
aa (albino)
1
4
1
2
1
4
AA Aa Aa
Logo:
p(criança albina) 5 
1
4
 e p(sexo masculino) 5 
1
2
 
Como os eventos “ser criança albina” e “ser do sexo masculino” 
são independentes, temos:
p(ser criança albina do sexo masculino) 5 
1
2
 ? 
1
4
 5 
1
8
 ou 12,5%
39 A queratose (uma anomalia na pele) ocorre por causa de um 
gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo pai 
tinha pigmentação normal, casa-se com um homem com 
queratose, cuja mãe tinha pigmentação normal. Se esse casal 
tiver 2 filhos, qual é a probabilidade de os dois apresentarem 
queratose?
resolução:
mulher homem
Qq 3 Qq
QQ Qq Qq
1
4
Q é dominante  
3
4
 (queratose)→
qq
Assim, p(cada criança ter queratose) 5 
3
4
. Como o evento 
“primeira criança ter queratose” é independente do evento 
“segunda criança ter queratose”, temos:
p(as duas crianças terem queratose) 5 
3
4
 ? 
3
4
 5 
9
16
 . 56%
40 No homem, o albinismo é determinado por um gene reces-
sivo a, enquanto a pele com pigmentação normal é deter-
minada pelo alelo dominante A. Um casal com pigmentação 
normal tem um filho albino.
a) Qual é a probabilidade de aparecer na descendência uma 
filha com pigmentação normal?
b) Se o casal tiver 4 filhos, qual é a probabilidade de 3 terem 
pigmentação normal e 1 ser albino?
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 29 10/26/15 3:57 PM
30 Probabilidade
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 54 a 57
para construir
23 (Fuvest-SP) O geneautossômico que condiciona pelos curtos no coelho é dominante em relação ao gene que determina pelos 
longos. Do cruzamento entre coelhos heterozigotos nasceram 480 coelhinhos, dos quais 360 tinham pelos curtos. Entre esses 
coelhinhos de pelos curtos, o número esperado de heterozigotos é: b
a) 180.
b) 240.
c) 90.
d) 170.
e) 360.
Metade dos 480 coelhinhos Ž heterozigota; portanto, 240 coelhinhos.
24 (Fuvest-SP) O albinismo (ausência de pigmentação da epiderme) é condicionado por gene recessivo. O alelo dominante condicio-
na pigmentação normal. Dois indivíduos normais, netos de uma mesma avó albina e, portanto, primos em primeiro grau, tiveram 
um filho albino. Qual a probabilidade de ser albina uma outra criança que esse casal venha a ter? b 
a) 0%
b) 25%
c) 50%
d) 75%
e) 100%
Se os primos s‹o normais, mas j‡ tiveram um filho albino, ent‹o ambos t•m o gene recessivo. Portanto, a probabilidade Ž 25%.
25 (Cefet-MG) A queratose (anomalia da pele) é derivada de um gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo pai era normal, 
casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal. Se esse casal tiver quatro filhos, a probabilidade de todos eles apre-
sentarem queratose é de: d
a) 15,6%.
b) 24,6%.
c) 12,5%.
d) 31,6%.
e) 28,1%.
O casal Ž heterozigoto, ent‹o a chance de um filho ter queratose Ž 75% e de quatro filhos terem Ž (0,75)4 . 0,3164. Portanto, 31,6%.
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
En
em
C-7
H-2
8
 Situação genética:
1
4
AA        
2
4
Aa       
1
4
aa
3
4
 normais albino
Pai 3 Mãe
Aa Aa
A__ 5 p 5 3
4
 5 normais
aa 5 q 5 
1
4
 5 albino
resolução:
a) Filha normal
 Probabilidade de ser do sexo feminino 5 
1
2
 
 Probabilidade de ser normal 5 
3
4
 
 Probabilidade combinada 5 
3
4
 ? 
1
2
 5 
3
8
 
b) 4 filhos: 3 normais e 1 albino
 (p 1 q)4 5 p4 1 4p3q 1 6p2q2 1 4pq3 1 q4
 4p3q 5 4 ? 


3
4
3
 ? 
1
4
 5 4 ? 27
64
 ? 
1
4
 5 
27
64
 
 ou
 
4
3




 


3
4
3
 


1
4
1
 5 4 ? 
27
64
 ? 
1
4
 5 
27
64
 
SER1_CAD10_MAT_ALG_C1.indd 30 10/26/15 3:57 PM
Probabilidade
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
31
tarefa para casa
Veja, no Guia do Professor, as respostas da ÒTarefa para casaÓ. As resolu•›es encontram-se no portal, em Resolu•›es e Gabaritos.
PARA PRATICARpara praticar
1 No lançamento de um dado, defina o espaço amostral e 
os eventos A: “ocorrência de número par”, B: “ocorrência de 
um número menor que 4”, C: “ocorrência de múltiplo de 3”, 
D: “ocorrência de um número menor que 1” e E: “ocorrência 
de um número maior que zero e menor que 7”.
2 Ao girar a “roleta” a seguir, defina o espaço amostral e os 
eventos A: “ocorrência do número 2” e B: “ocorrência de nú-
mero ímpar”.
3 1
2
3 No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, 
defina o espaço amostral e os eventos A: “ocorrência de 
exatamente uma cara”, B: “ocorrência de coroa em ambas” e
C: “ocorrência de pelo menos uma cara”.
4 No lançamento de um tetraedro (pirâmide de quatro faces 
triangulares congruentes), cujas faces estão numeradas de 1 
a 4, defina o espaço amostral e os eventos A: “ocorrência de 
número par”, B: “ocorrência do número 3” e C: “ocorrência de 
número menor que 4”. (Observa•‹o: Considera-se que “saiu 
o número 3” se a face com o número 3 está apoiada na mesa 
após o lançamento.)
3
5 Defina o espaço amostral do experimento “retirar uma carta, 
ao acaso, de um baralho de 52 cartas” e os eventos A: “ocor-
rência de ás”, B: “ocorrência de ás de ouros” e C: “ocorrência do 
número 2”.
6 Usando um diagrama de árvore e chamando de M: filho do 
sexo masculino e de F: filho do sexo feminino, defina o es-
paço amostral expondo todos os arranjos possíveis de meni-
nos e meninas em uma família com, exatamente, 3 crianças. 
Determine os eventos A: “todas as crianças são meninos”,
B: “nenhuma criança é menino” e C: “todas as crianças são do 
mesmo sexo”.
7 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade 
de que o resultado seja:
a) um número par?
b) um número primo?
c) o número 3?
d) um número menor que 3?
e) um número menor que 1?
f ) um número menor que 7?
8 (UEMG) Em uma empresa, foi feita uma pré-seleção para sor-
teio de uma viagem. Esta pré-seleção se iniciou com a dis-
tribuição, entre os funcionários, de fichas numeradas de 1 a 
23. Em seguida, foram selecionados os funcionários com as 
fichas numeradas com as seguintes regras: 
 Fichas com um algarismo: o algarismo tem que ser primo; 
 Fichas com dois algarismos: a soma dos algarismos deverá 
ser um número primo. 
Após essa pré-seleção, Glorinha foi classificada para o sorteio.
A probabilidade de Glorinha ganhar essa viagem no sorteio é 
de, aproximadamente:
a) 7%.
b) 8%.
c) 9%.
d) 10%.
9 (UEG-GO) A tabela a seguir apresenta a preferência de ho-
mens e mulheres em relação a um prato, que pode ser doce 
ou salgado, típico de certa região do estado de Goiás.
Sexo
Prefer•ncias
Doce Salgado
Masculino 80 20
Feminino 60 40
Considerando-se os dados apresentados na tabela, a proba-
bilidade de um desses indivíduos preferir o prato típico doce, 
sabendo-se que ele é do sexo feminino, é de:
a) 0,43.
b) 0,50.
c) 0,60.
d) 0,70.
10 Qual é a probabilidade de, ao retirar ao acaso uma carta de 
um baralho de 52 cartas, obter:
a) uma carta de copas?
b) um ás?
c) um ás de copas?
d) uma carta com naipe vermelho?
e) um “três” vermelho?
En
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8
En
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C-2
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En
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32 Probabilidade
En
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11 Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 13. 
Dobre-os igualmente, de modo que qualquer um deles te-
nha a mesma “chance” de ser retirado de uma caixa. Qual é a 
probabilidade de que o número retirado seja:
a) par?
b) divisível por 3?
c) um número primo?
d) maior que 8?
e) menor que 10?
f ) um número entre 5 e 10?
g) múltiplo de 4?
12 No lançamento simult‰neo de duas moedas perfeitas e dis-
tinguíveis, qual é a probabilidade de que:
a) em ambas ocorra cara?
b) em uma ocorra cara e na outra, coroa?
c) não ocorra nenhuma cara?
d) ocorra exatamente uma coroa?
13 No lançamento simult‰neo de dois dados perfeitos, sendo 
um branco e outro vermelho, qual é a probabilidade de que:
a) a soma seja 7?
b) a soma seja par?
c) a soma seja um número primo?
d) a soma seja maior que 1 e menor que 8?
e) ambos os números sejam pares?
f ) ambos os números sejam iguais?
g) o primeiro número seja múltiplo do segundo?
14 Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Faça um diagra-
ma de árvore para mostrar todos os possíveis arranjos de me-
ninos e meninas. Qual é a probabilidade de que:
a) duas crianças sejam meninos e a outra, menina?
b) todas as crianças sejam meninas?
c) pelo menos uma criança seja menino?
d) todas as crianças sejam do mesmo sexo?
e) nenhuma criança seja menina?
15 Suponhamos que A e B sejam eventos de um mesmo espaço 
amostral e que p(A) 5 0,4, p(B) 5 0,3 e p(A > B) 5 0,1. Deter-
mine a probabilidade de cada um dos eventos a seguir:
a) A < B
b) A B<
c) A
d) B
e) A B>
f ) A mas não B
g) B mas não A
h) nem A nem B
16 Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 17. Qualquer 
uma delas tem a mesma chance de ser retirada. Qual é a pro-
babilidade de se retirar uma bola cujo número seja:
a) par?
b) primo?
c) par ou primo?
d) par e primo?
e) nem par nem primo?
f ) par mas não primo?
g) primo mas não par?
17 No lançamento de um dado viciado, a probabilidade de 
sair um número n é representada por p(n) n p(1)5 ? , sendo 
n [ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calcule a probabilidade de sair:
a) o número 3;
b) o número 2 ou 4;
c) um número par.
18 Em determinada região, a chance de uma grávida ter um fi-
lho do sexo masculino