PROBABILIDADE_AULA

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AULA DE PROBABEILIDADE(HOJE) Prof. Rogério Matos 
É a parte da matemática que calculamos as chances de ocorrer os experimentos 
É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou 
coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas. De modo geral podemos dizer 
que a probabilidade é a possibilidade matemática de alguma coisa acontecer. 
Os experimentos da estatística podem ser: 
• Aleatórios – possuem uma certa variabilidade de sua ocorrência, como num lançamento de um 
dado 
• Determinísticos – possui valor que podemos determinar, como calcular o tempo de queda de uma 
pedra. 
Espaço amostral 
O conjunto de possíveis resultados para um evento é chamado de espaço amostral. Ao jogar uma 
moeda para cima, por exemplo, você tem um conjunto com dois elementos possíveis, que é {cara, 
coroa}. Quando lança o dado, tem seis possibilidades, que são {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Evento 
Cada resultado possível é um evento, ou seja, dentro de um conjunto que representa o espaço amostral 
de um experimento, cada elemento é um evento. 
 
https://www.stoodi.com.br/materias/matematica/teoria-dos-conjuntos/
https://www.stoodi.com.br/resumos/matematica/conjuntos-numericos/
Tipos de Eventos 
 
Evento união (AUB) 
 
É quando você amplia o leque de possibilidades. Ou seja, se você diz: qual a possibilidade de, jogando uma 
moeda para cima, o resultado dar cara OU coroa? Ora bolas! Se as chances de dar cara são 50% e de dar 
coroa são outros 50%, a possibilidade de dar cara OU coroa é 50% + 50% = 100%. 
Evento intersecção (A∩B) 
 
É quando você exige que dois resultados sejam simultâneos. É preciso que aconteça o primeiro e o segundo. 
Note que assim, as chances se reduzem, porque seu nível de exigência aumentou. Então, veja o seguinte 
exemplo: qual a possibilidade de, jogando uma moeda para cima duas vezes, o resultado ser coroa em ambas? 
Nesse caso, você faz uma multiplicação para alcançar o resultado: 50% . 50% = 25%. 
 
Eventos mutuamente exclusivos 
 
Ocorre, por outro lado, quando não há um resultado possível para ambos simultaneamente. Nesse caso, A∩B 
= Ø. Quer um exemplo? Ao jogar uma moeda, quais as chances de ela cair com a face cara e coroa ao mesmo 
tempo para cima? Nenhuma! Ou é um resultado ou é outro. 
EVENTOS COMPLEMENTARES 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a 
probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: 
p + q = 1. q = 1 - q 
Cálculo da Probabilidade 
Probabilidade para um evento simples 
 
A probabilidade é um número que representa a chance que um evento possui de acontecer. O cálculo desse 
número é feito da seguinte maneira: seja A um evento qualquer dentro do espaço amostral Ω, a probabilidade 
P(A) desse evento acontecer é dada por: 
P(A) = n(A) 
 n(Ω) 
Dessa maneira, a probabilidade de um evento A, dentro do espaço amostral Ω ocorrer está entre o intervalo: 
0 ≤ P(A) ≤ 1 
Eventos independentes 
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não 
depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. 
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) 
Exemplo: 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a 
sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 
Resolução: 
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda 
retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja: 
P(A e B) = P(A).P(B). 
Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. 
Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30 = 2/9. 
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) 
=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela 
foi reposta na urna. 
 
Probabilidade Condicional 
 
Dado o espaço amostral Ω e os eventos A e B em Ω, faça a suposição de que o evento A já ocorreu. A 
probabilidade de que o evento B ocorra é chamada de probabilidade condicional de B sobre A e é 
denotada da seguinte maneira: 
P(B|A) 
Essa probabilidade recebe esse nome porque a condição para que B ocorra é a ocorrência de A. A 
expressão usada para o cálculo dessa probabilidade é a seguinte: 
P(B|A) = P(B∩A) 
 P(A) 
Probabilidade condicional é aquela que calcula as chances de um evento B acontecer, considerando 
que um evento A, ligado a ele, já ocorreu 
Há diversos exemplos que podemos usar para ilustrar a probabilidade condicional. Por exemplo: as 
chances de um bebê nascer menina é um evento A. Agora, a probabilidade de essa criança apresentar 
doença celíaca, que é intolerância ao glúten, é um evento B. 
Essa situação pode ser considerada uma probabilidade condicional porque a doença celíaca atinge 
mais mulheres. Se as chances fossem iguais para pessoas de ambos os gêneros, os eventos não 
estariam condicionados, então essa seria uma probabilidade marginal ou incondicional, porque a 
possibilidade de que um deles ocorra, não influencia na do outro. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/probabilidade-condicional.htm
https://www.stoodi.com.br/materias/matematica/probabilidades/
https://www.h9j.com.br/centro-de-medicina-especializada/Paginas/patologias/intolerancia-ao-gluten-atinge-mais-mulheres.aspx
https://www.h9j.com.br/centro-de-medicina-especializada/Paginas/patologias/intolerancia-ao-gluten-atinge-mais-mulheres.aspx
Se os eventos forem independentes, a probabilidade não é condicional. Você representa a probabilidade 
condicional com a seguinte expressão: P (A|B), que se lê “a probabilidade condicional de A em relação a B”. E 
a fórmula para calculá-la é: 
P (A|B) = P(A∩B)/P(B) 
Quando dois eventos são INDEPENDENTES, a probabilidade de ocorrerem ao mesmo tempo é dada por: 
P(A∩B) = P(A).P(B) 
 
Se colocarmos isso na fórmula da probabilidade condicional, temos: 
P (A|B) = P(A∩B)/P(B) 
P (A|B) = P(A).P(B)/P(B) 
P (A|B) = P(A).P(B)/P(B) 
P(A|B) = P(A) 
 
Ou seja, a probabilidade de A ocorrer não se altera. 
Probabilidade condicional: 
Probabilidade condicional no lançamento de dados 
O evento A é a soma dos dados dar 6, enquanto o evento B é que os dois apresentem um resultado par, certo? 
Os possíveis resultados para as faces são 36 (seis opções para o primeiro dado x seis opções para o segundo). 
As seguintes combinações somam 6: {1,5}, {2;4}, {3;3}, {4;2} e {5;1}. Ou seja, 5/36. Esse é P(A) 
Já as possibilidades de os dois darem resultado par são: {2,2}, {2,4}, {2,6}, {4,2}, {4,4}, {4,6}, {6,2}, {6,4}, {6,6}. 
No fim das contas, são 9/36 chances. Esse é P(B). 
 
Agora, quais as opções que atendem aos dois requisitos? Somente {2,4} e {4,2}, certo? São 2/36. Esse resultado 
é P(A∩B). Colocando isso na fórmula, temos: 
 
P (A|B) = P(A∩B)/P(B) 
P (A|B) = (2/36)/(9/36) 
P (A|B) = (2/36).(36/9) 
P (A|B) = (2/36).(36/9) 
P (A|B) = 2/9 
 
 
 
 
 
Então o resultado da probabilidade condicional para essa questão é 2/9 de chances. 
 
 
1) Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) Sair um número ímpar. 
Solução. Agora o evento é A = {1, 3, 5} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será P(A) = 
.
2
1
6
3
=
 
b) Sair um múltiplo de 2. 
Solução. O evento A = {2, 4, 6} com 3 elementos. Logo a probabilidade será P(A) = 3/6 = 1/2 
2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 
 
 Todos os pares obtidos no lançamento de dois dados 
 
a) Sair a soma 9 
Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados(i,j), onde i = 
número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) 
onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6. O mesmo ocorrendo com j. 
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 
elementos. Logo, a probabilidade será igual a P(A) = 4/36 ou 1/9 
b) Sair a soma 10. 
Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (4,6),(5,5),(6,4). Portanto, a probabilidade procurada será 
igual a P(A) = 3/36 ou 1/12 
3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, 
calcule as probabilidades seguintes: 
a) Sair bola vermelha. 
Solução. 
%.5050,0
2
1
20
10
)( ====AP
 
 b) Sair bola amarela. 
Solução. 
%.2020,0
5
1
20
4
)( ====AP
 
Probabilidade da União de dois Eventos 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
O Número de elementos de A U B é igual à soma do número de elementos de A com o número de elementos 
de B, menos uma vez o número de elementos de A ∩ B Assim temos: 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
4) Em um bairro de Sobral existem dois jornais A e B. Sabe-se que 4000 pessoas são assinantes do jornal A, 
3000 são assinantes de B, 1500 são assinantes de ambos e 500 não leem jornal. Qual a probabilidade de que 
uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? 
 
Solução. Usar diagrama de Veen facilita 
 
 Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço 
amostral. Teremos: 
n(U) = N(AU B) + N.º de pessoas que não lêem jornais. 
n(U) = n(A) + N(B) – N(A n B) + 800 
n(U) = 4000 + 3000 – 1500 + 500 
n(U) = 6000 
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 
P = 1500/6000 = 15/60 = 1/4. 
Logo, p = 0,25 = 25%. 
OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa do 
bairro, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 
25%.(contra 75% de probabilidade de não ser). 
5) Uma caixa possui quatro bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: 
 
a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois 
uma bola branca (B). 
Solução. Lembrando a fórmula: )/().()( VBPVPBVP = temos: 
P(v)= 4/6 (4 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola 
vermelha na primeira, ficaram 5 bolas na urna. Calculamos, então P(B/V)= 
2/5, Substituindo na fórmula temos: P(V n B) = P(V) x P(B/V) = 4/6 x 2/5 = 
8/30 = 4/15 
b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois 
uma bola branca. 
Solução. Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam 
independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como: P(V n B) 
= P(V) x P(B/V) = 4/6 x 2/6 =8/36 =2/9 
Conhecendo o baralho 
 
 
 
 
6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer um Rei? 
 
Solução: 
Todas as cartas do baralho correspondem ao espaço amostral possuindo 52 itens (um 
baralho tem cinqüenta e duas cartas). O evento desejado (um Rei) possui 4 elementos 
(ouros, copas, paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é: 
.
13
1
52
4
)( ==DP
 
 
7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola 
preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da 
segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? 
 
Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam: 
Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta. 
 
1ª possibilidade: a bola transferida é verde. 
Probabilidade de que a bola transferida seja verde: .
3
2
6
4
)( ==VP (4 bolas verdes em 6). 
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor 
VERDE, será igual a: .
5
4
)'/( =VVP (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde 
transferida + 1 bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5). 
Pela regra da probabilidade condicional, vem: .
15
8
5
4
.
3
2
)'/().()'( === VVPVPVVP 
2ª possibilidade: a bola transferida é preta. 
Probabilidade de que a bola transferida seja preta: 
.
3
1
6
2
)( ==PP
 (2 bolas pretas e 4 verdes). 
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA, 
será igual a: 
.
5
3
)/( =PVP
 (2ª caixa = 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola preta). 
 Daí, vem: .5
1
5
3
.
3
1
)/().()( === PVPPPPVP 
 Finalmente vem: 
.
15
11
15
3
15
8
5
1
15
8
)()'()]()'[( =+=+=+= PVPVVPPVVVP
 
 
8) Uma fábrica produziu 40 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 2 parafusos 
dessa amostra, determine a probabilidade de que os 2 parafusos sejam defeituosos. 
 
Solução. Podemos selecionar 2 parafusos dentre 40 de 
formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de 
 
 formas. Logo, P(defeituosos)=. 
 
 
Rogério Magalhaes
9) Em uma caixa contém 6 bolas brancas e 4 bolas amarelas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a 
probabilidade de as duas primeiras serem brancas e a terceira amarela? 
Solução: Probabilidade Condicional 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). 
Onde : 
- P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; 
- P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; 
- P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e 
E2...En-1. 
Logo, não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas na urna. Os eventos são 
independentes. Veja a tabela. 
 
1ª 
retirada 
2ª 
retirada 
3ª 
retirada 
 BRANCA BRANCA VERMELHA 
 6 5 4 
TOTAL 10 9 8 
 
Logo, P( BΩBΩA) = P(B). P(B). P(A) = 
𝟔
𝟏𝟎
.
𝟓
𝟗
.
𝟒
𝟖
=
𝟏𝟐𝟎
𝟕𝟐𝟎
=
𝟏𝟐
𝟕𝟐
=
𝟏
𝟔
= 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟕 𝐨𝐮 𝟏𝟔, 𝟔𝟕% 
10.Uma Indústria no Ceará, possui duas máquinas que produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a 
máquina X produz 1 000 peças e a máquina Y produz 2 000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, 
sabe-se que 90 peças, das 2 000 produzidas pela máquina X, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 
110 peças, das 2 000 produzidas pela máquina Y, também apresentam defeitos. Um trabalhador da fábrica 
escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa. Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça 
defeituosa escolhida tenha sido produzida pela máquina X? 
 
Solução. Probabilidade condicional (Probabilidade condicional é um segundo evento de um espaço 
amostral que ocorre em um evento depois que já tenha ocorrido o primeiro). 
Observando as informações na tabela, temos: 
 Defeituosas(D) Não defeituosas TOTAL 
Máquina X 90 910 1 000 
Máquina Y 110 1 890 2 000 
TOTAL 200 2 800 3 000 
 
A probabilidade é condicional, pois ao verificar que a peça é defeituosa, as perfeitas foram descartadas, 
isto é, o espaço amostral passa a ser de 180. A probabilidade será: 
P(X/D) = 90/200 = 9/20 = 0,45 ou 45% 
	Espaço amostral
	Evento
	Evento união (AUB)
	Evento intersecção (A∩B)
	Eventos mutuamente exclusivos
	Eventos independentes
	Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
	Exemplo:
	Resolução:
	Probabilidade condicional:
	Probabilidade condicional no lançamento de dados
	Probabilidade da União de dois Eventos
	9) Em uma caixa contém 6 bolas brancas e 4 bolas amarelas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem brancas e a terceira amarela? Solução: Probabilidade Condicional