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Curso Técnico em Eletrotécnica
Eletricidade – Prof. Fábio Costa Pereira
Trabalho desenvolvido para dar suporte técnico e teórico à disciplina de
Eletricidade, ministrada pelo Centro Técnico Lusíadas aos alunos do curso Técnico
em Eletrotécnica.
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APRESENTAÇÃO
Este trabalho esta dividido em duas unidades com um total de dez capítulos. A
primeira unidade faz uma pequena abordagem sobre os circuitos alimentados por
fontes contínuas e discorre sobre conceitos básicos de eletricidade. A segunda
fornecer trata dos os circuitos alimentados por fontes alternadas.
Recomendamos utilizado como referencial teórico, não dispensando outras fontes.
A parte prática fica a cargo dos professores durante o desenvolvimento dos
assuntos.
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UNIDADE I: ELETRICIDADE EM CORRENTE CONTÍNUA
1. INTRODUÇÃO
Os fenômenos elétricos tiveram suas primeiras descobertas na Grécia antiga. O
filosofo e matemático Thales, que vivia em Mileto no século VI a.C., observou que
um pedaço de âmbar (pedra amarelada, que se origina da fossilização de árvores
de madeira macia), após ser atritado contra a pele de um animal, adquiria a
propriedade de atrair corpos leves (pedaços de palha e sementes de grama).
Somente cerca de 2000 anos mais tarde é que começaram a ser feitas observações
sistemáticas e cuidadosas. Daí surgiu muitos estudos, onde se destacaram alguns
cientistas como o médico inglês William Gilbert (1544-1603), Gilbert observou que
outros corpos ao serem atritados, se comportavam como o âmbar e que a atração
exercida por eles se manifestava em qualquer corpo, mesmo que este não fosse
leve. Como o termo grego correspondente a âmbar é eléctron, surgiram às
expressões “eletrização” “eletricidade”.
Outros nomes importantes, destaque no campo da eletricidade, são os de:
Benjamin Franklin (1706-1790), Chalés Augustin de Coulomb (1736-1806), Michael
Faraday (1791-1867), Alessandro Volta (1745-1827), André-Marie ampère (1775-
1836), Geord Simom Ohm (1781-1854), Robert J van de Graaff (1901 – 1967),
Robert Andrews Millikan (1869 – 1953), Thomas Edison (1847-1931), entre outros.
Figura 1 – Thales de Mileto: o pioneiro pesquisador da eletricidade.
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2. ELETRICIDADE
2.1 CARGA ELÉTRICA
Figura 2 – A estrutura de um átomo.
Mesmos com muitos estudos sendo realizados como o objetivo de estudar mais a
fundo a estrutura da matéria, vamos entender o átomo (figura 2) como a menor
parte da matéria. Todos os átomos têm partículas chamadas elétrons, que
descrevem uma órbita ao redor de um núcleo com prótons e nêutrons. Cada
elemento tem sua própria estrutura atômica, porém cada átomo de um mesmo
elemento tem igual número de prótons e elétrons.
Essas partículas têm determinadas cargas Prótons - cargas positivas (+) e Elétrons
- cargas negativas (-). Os prótons, no núcleo, atraem os elétrons, mantendo-os em
órbita. Desde que a carga positiva dos prótons seja igual à carga negativa dos
elétrons, o átomo é eletricamente neutro. Entretanto, essa igualdade de cargas
pode ser alterada; se elétrons são retirados do átomo, este se torna carregado
positivamente (+), ou caso contrario, se forem acrescidos ele torna-se carregado
negativamente (-).
Procurando uma explicação para este fato, Benjamin Franklin formulou a teoria,
segundo a qual os fenômenos elétricos estariam presentes em todos os corpos e
que a eletrização consistia na transferência de um fluido elétrico entre os corpos
que se atritam. Entretanto, esta transferência não era obtida através do fluido
elétrico imaginado por ele, mas, sim, pela passagem de elétrons de um corpo para
o outro.
2.2 FORÇA ELÉTRICA
Já sabemos então que quando um corpo esta eletrizado, ele possui um excesso de
prótons (carga positiva) ou um excesso de elétrons (carga negativa). O unidade de
medida da carga de um corpo, no Sistema Internacional (S.I.), é denominada 1
Coulomb = 1 C . Quando dizemos que um corpo possui uma carga de 1 C, isto
significa que este corpo perdeu (carga positiva) ou ganhou (carga negativa) 6,24 x
1018 elétrons.
Na eletrostática, geralmente lidamos com cargas muito menores do que 1 C. Nesse
caso, é comum expressarmos os valores das cargas em mC (1mC = 10-3 C) ou em
µC (1 µC = 10-6 C) .
NÚCLEO
CONTENDO PRÓTONS E
NÊUTRONS.
E
ELETROSFERA
COM SEUS ELÉTRONS.
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Quando dois corpos eletrizados estão próximos um do outro vai haver entre eles
uma força de atração ou repulsão. Caso a cargas sejam de mesmo sinal, haverá
uma força de repulsão e se forem de sinais opostos haverá uma força de atração
entre os corpos.
Chalés Augustin de Coulomb dedicou-se a pesquisas cientificas, tendo inventado a
balança de Coulomb, dispositivo que lhe permitiu medir as forças elétricas com
enorme precisão, levando-o a estabelecer sua celebre lei.
Figura 4 – Cargas com sinais opostos se atraem
Figura 3 – Cargas com sinais iguais se repelem
Lei de Coulomb
Duas cargas puntuais, Q1 e Q2, separadas por uma distância r, situadas no
vácuo, se atraem ou se repelem com uma força F dada por
F = (Q1Q2/ r
2)k0 onde k0, no SI, tem o valor K0 = 9,0x10
9 N.m2/C2
Se estas cargas forem mergulhadas em um meio material, o valor das
forças entre elas torna-se K vezes menor, onde K é a constante dielétrica
deste meio.
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2.3 CAMPO ELÉTRICO
Suponha que uma carga Q fixa (positiva) colocada no centro de uma mesa, como
mostra a figura 06. Se colocarmos outra carga q (positiva) em um ponto qualquer
da mesa, ponto P1, a uma certa distância de Q, uma força elétrica F, de repulsão,
atuará sobre a carga q. Imagine que a carga q fosse retirada, mesmo sem a carga,
em qualquer ponto do espaço em torno de Q existiria um campo elétrico criado por
esta carga e quanto mais próximo de Q maior será a intensidade do campo elétrico.
Podemos resumir o que foi dito dizendo que:
Figura 5 – Representação da Lei de Coulomb
Figura 6 – Campo Elétrico criado por uma carga Q
Sendo F o módulo da força elétrica que atua sobre uma carga q, colocada
em um ponto do espaço, o vetor campo elétrico E neste ponto tem uma
intensidade obtida por:
E = F/q [N/C]
A direção e o sentido do campo elétrico E são dados pela direção e sentido
da força que atua na carga positiva colocada naquele ponto.
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2.4 POTENCIAL ELÉTRICO OU TENSÃO ELÉTRICA
Olhando para a figura 7, observamos o campo elétrico criado pela carga elétrica Q
(positiva) em torno dela. Se nesse campo for colocada uma carga de prova q,
positiva, no ponto A, sobre ela atuará uma força elétrica F – de repulsão, visto que
as cargas possuem a mesma polaridade – que deslocará a carga q até o ponto B.
Para que esse deslocamento acontecesse, a força elétrica precisou realizar um
trabalho, TAB, para deslocar a carga q do ponto A até o ponto B.
O trabalho realizado, por um campo elétrico, no deslocamento de umacarga de um
ponto A para um ponto B é chamando de diferença de potencial (ou tensão elétrica)
VAB (Ler-se: diferença de potencial entre o ponto A e o ponto B, representado
também pela expressão: VAB = VA – VB). Seu valor é obtido dividindo-se o trabalho
realizado pelo valor da carga que foi deslocada, isto é:
A unidade de tensão elétrica no S.I. é 1 J/C. Esta unidade é denominada 1 volt = 1
V, em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta.
Figura 7 – Trabalho realizado por um Campo Elétrico
J
C
1V
=
1
TAB
q
VAB =
[J/C]
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2.5 CORRENTE ELÉTRICA
2.5.1 CONCEITO DE CORRENTE ELÉTRICA
Quando um campo elétrico é estabelecido em um condutor qualquer, as cargas
livres aí presentes entram em movimento sob a ação deste campo. Dizemos que
este deslocamento de cargas constitui uma corrente elétrica.
Nos metais, a corrente elétrica é constituída por elétrons livres em movimento. Nos
líquidos, as cargas livres que se movimentam são íons positivos e íons negativos
enquanto, nos gases, são íons positivos, íons negativos e também elétrons livres.
2.5.2 ESTABELECIMENTO DE UMA CORRENTE ELÉTRICA
Alguns materiais possuem encontrados na natureza, ou mesmo produzidos pelo
homem, que se opõe mais ou menos a circulação de corrente elétrica. Aqueles com
maior oposição são chamados de isolantes e de menor oposição são chamados de
condutores.
O elemento cobre é muito empregado em sistemas elétricos, porque é um bom
condutor de eletricidade. Possui 29 prótons e 29 elétrons. Os elétrons estão
distribuídos em quatro camadas ou anéis. Deve-se notar, porém, que existe apenas
um elétron na última camada, também chamada de camada de valência (anel
exterior). Esse é o segredo de um bom condutor de eletricidade.
Os elétrons mais próximos do núcleo têm maior dificuldade de se desprenderem de
suas órbitas, devido à atração exercida pelo núcleo. Já os elétrons mais distantes
do núcleo (última camada) têm maior facilidade de se desprenderem de suas
órbitas porque a atração exercida pelo núcleo é pequena; assim recebem o nome
de elétrons livres. Portanto, os elétrons livres se deslocam de um átomo para outro
de forma desordenada, nos materiais condutores.
Considerando-se que nos terminais do material da figura 8, aplicamos uma tensão
elétrica proveniente de uma bateria, por exemplo. Assim, temos de lado um pólo
positivo e de outro um pólo negativo, o movimento dos elétrons toma um
determinado sentido, da seguinte maneira:
Figura 8 – Fio de cobre ligado a uma fonte.
Um desses elétrons próximo ao pólo positivo seria atraído por essa carga e
abandonaria seu átomo. Esse átomo se tornaria carregado positivamente e atrairia
um elétron do próximo, que se carregaria positivamente e assim por toda a
extensão do condutor. O resultado integrado é uma movimentação (fluxo)
ordenado (em um único sentido) de elétrons através do condutor entre o pólo
negativo (-) e o pólo positivo (+). A este movimento ordenado de elétrons damos o
nome de CORRENTE ELÉTRICA.
Esse fluxo ou corrente de elétrons continuará, enquanto a diferença de potencial,
tensão elétrica, for mantida nos extremos do fio.
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2.5.3 TIPOS DE CORRENTE ELÉTRICA
A corrente elétrica fornecida a um circuito consumidor pode ser contínua (C.C) ou
alternada (C.A), sendo que neste último caso ela ainda poderá ser monofásica (1
fase) ou trifásica (3 fases).
Pode-se observar, na figura 9, que a corrente contínua mantém sua polaridade
constante (+ ou -) em relação ao tempo, enquanto que a corrente alternada é
variável tanto na polaridade (+ ou -) quanto na intensidade (valores medidos).
Figura 9 – Tipos de corrente elétrica
2.5.4 SENTIDO DA CORRENTE ELÉTRICA
Analisando a movimentação de uma carga elétrica negativa, os elétrons em nosso
caso, em um campo elétrico, concluímos que o sentido real da corrente elétrica é
do menor para o maior potencial. Porém se uma carga negativa movendo-se com
certa velocidade dirigida, por exemplo, para a esquerda. Verifica-se que este
movimento é equivalente ao movimento de uma carga positiva, de mesmo valor,
deslocando-se com a mesma velocidade, porém em sentido contrário.
Esta constatação levou os físicos a estabelecerem a convenção seguinte que iria
facilitar o estudo das correntes elétricas: uma carga negativa em movimento será
sempre imaginada como se fosse uma carga positiva movendo-se em sentido
contrário. Em virtude desta convenção, em uma corrente elétrica qualquer, as
cargas negativas em movimento deverão ser substituídas, em nossa imaginação,
por cargas positivas movendo-se em sentido contrário. Então se pode supor que
qualquer corrente elétrica seja constituída apenas por cargas positivas. Esta
corrente imaginária, que é equivalente à corrente real, é denominada corrente
convencional.
2.5.5 INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA
A figura 9 está representando um fio condutor no qual foi estabelecida uma
corrente elétrica (na figura está representada a corrente convencional).
Figura 9 – Quantidade de carga que passa, por unidade de tempo, através da
secção de um condutor.
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Considere uma secção transversal S qualquer do condutor e suponha que durante
um intervalo de tempo ∆t, a quantidade de carga que passou através desta secção
tenha sido ∆Q. Denomina-se intensidade da corrente através da secção S a relação
entre a quantidade de carga ∆Q e o intervalo de tempo ∆t. Designado por I
esta grandeza temos que:
3. CIRCUITOS ELÉTRICOS
3.1 DEFINIÇÃO
Vimos anteriormente que a corrente elétrica é o movimento ordenado de elétrons
num fio condutor. Entretanto para que haja corrente elétrica é necessário que uma
diferença de potencial (tensão elétrica) seja aplicada entre os terminais de uma
carga.
Vamos fazer uma analogia com a instalação hidráulica mostrada na figura 10. O
reservatório A está mais cheio que o reservatório B, portanto o reservatório A tem
maior pressão hidráulica. Ligando-se os reservatórios A e B com um cano, a
pressão hidráulica de A ”empurra” a água para B, até que se igualem as pressões
hidráulicas.
Figura 10 – Diferença de pressão entre A e B.
O mesmo efeito ocorre com a Eletricidade. Quando ligamos um aparelho na tomada
de nossa casa uma tensão elétrica é exercida sobre os elétrons para que eles se
movimentem através do fio e do aparelho (foi estabelecida uma corrente elétrica),
e este entra em funcionamento. Para mantermos essa corrente elétrica e
consequentemente o aparelho funcionando devemos manter também a diferença de
potencial (tensão elétrica) nos terminais do aparelho. A figura 11 mostra um
circuito elétrico simples, formado por fontes (de tensão ou corrente) e receptores
(cargas) por onde circula uma corrente elétrica.
∆Q
∆t
I =
A B
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Figura 11 – Circuito elétrico simples.
3.2 NOMENCLATURA DE UM CIRCUITO ELÉTRICO
Através da figura 12, vamos definir algumas partes de um circuito:
Nó: representa o ponto de conexão entre três ou mais condutores de um
circuito elétrico;
Ramo: representa o espaço compreendido entre dois nós consecutivos, sem
derivação entre si, de modo que a corrente seja a mesma em todosos
pontos;
Malha: conjunto de ramos que formam um circuito fechado.
3.3 LEI DE OHM
Nascido na Bavária, o físico alemão Georg Simon Ohm publicou o resultado de seu
trabalho mais importante “o circuito galvânico examinado matematicamente”.
Nesta publicação ele apresentava a lei sobre a resistência dos condutores, que mais
tarde foi denominada lei de Ohm.
A lei OHM determina a seguinte relação: ”A corrente elétrica num circuito é
diretamente proporcional à tensão aplicada e inversamente proporcional à
resistência do circuito”. E é expressa pela seguinte formula:
Figura 12 – Partes de um circuito
elétrico.
MALHAS: ABCEFDA; ABCDA; CEFDC.
RAMOS: DABC; CD; CEFD.
NÓS: C; D.
V = R x I
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3.3.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA
Um condutor ligado a uma bateria, como mostra a figura 13. Sabemos que a
bateria estabelece uma diferença de potencial nas extremidades deste condutor
e, conseqüentemente, uma corrente I passará através dele.
As cargas móveis que constituem a corrente elétrica, aceleradas pela diferença de
potencial VAB, realizarão colisões contra os átomos ou moléculas do condutor,
havendo, então, uma oposição oferecida pelo fio á passagem da corrente elétrica
através dele. Esta oposição poderá ser maior ou menor, dependendo da natureza
do condutor que foi ligado entre pólos da bateria. Evidentemente, a corrente I no
condutor será maior ou menor dependendo desta oposição. Para caracterizar a
oposição que um condutor oferece a passagem de corrente através dele, define-se
uma grandeza, denominada resistência elétrica, R, do condutor, da seguinte
maneira:
Para um dado valor de VAB, quanto menor for o valor da corrente I, maior será o
valor de R, isto é, maior será a oposição que o condutor oferece a passagem de
corrente através dele. Observando a definição de resistência, podemos concluir que
a unidade desta grandeza, no S.I., será 1 volt/ampere = 1 V/A. Esta unidade é
denominada 1 ohm( representa-se pela letra grega Ω), em homenagem ao físico
alemão do século XIX, Georg Ohm, que colaborou no estudo de fenômenos
relacionados com a corrente elétrica. Logo, temos:
3.3.2 RESISTIVIDADE DE UM MATERIAL
Se tomarmos um fio condutor como o da figura 14, o valor de sua resistência
dependerá de seu comprimento L e da área de sua secção reta A.
Figura 13 – Resistência de um
condutor.
VAB
I
R =
1Ω 1
V
A
= 1ohm
m
=
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Realizando medidas cuidadosas, verifica-se que a resistência, R, do fio é
diretamente proporcional ao seu comprimento L. Por outro lado, verifica-se que a
resistência do fio é inversamente proporcional á área, A, de sua secção reta.
Portanto, quanto mais grosso for o fio, menor será a sua resistência.
Introduzindo uma constante de proporcionalidade apropriada, podemos transformar
a relação anterior em uma igualdade. Esta constante que se representa pela letra
grega ρ, é denominada resistividade. Virá então;
A resistividade é uma grandeza característica do material que constitui o fio, isto é,
cada substância possui um valor diferente para a resistividade ρ. Se consultarmos
uma tabela de resistividade, encontramos que o cobre, na temperatura ambiente,
possui uma resistividade de 1,72x10-8 Ω.m.
3.4 ENERGIA E POTÊNCIA ELÉTRICA
Vamos imaginar dois motores elétricos. Os dois levantariam o mesmo peso a uma
mesma altura. Um dos motores levanta com menor tempo a carga, então, dizemos
que ele é mais potente, pois realiza um mesmo trabalho em um tempo menor.
Dessa forma conceituamos potência como: “capacidade de realizar trabalho na
unidade de tempo”. Então:
L
A
Figura 14 – Resistência de um
condutor.
[Ω] R
L
A
=
ρ
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Como já vimos anteriormente, o trabalho para transportar uma carga q de um p
Então,
Outras formulas relacionadas à potência:
P
P
q VAB
t
=
TAB = q(VA – VB), como
TAB = E = q(VAB)
e P = E/t,
logo
P= V x I
P= R x I2
P =
V2
R
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3.4.1 EFEITO JOULE
O efeito Joule consiste na transformação de energia elétrica em energia térmica em
uma resistência percorrida por uma corrente elétrica.
3.5 CIRCUITOS ELÉTRICOS COM UMA FONTE DE TENSÃO
3.5.1 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE
É aquela onde o terminal final de um resistor é conectado ao terminal inicial do
seguinte, como mostra a figura 15.
Esse tipo de circuito possui as seguintes características:
A corrente vai do maior para o menor potencial (sentido convencional).
Então: VA > VB > VC > VD;
A corrente é a mesma em todos os resistores;
A tensão aplicada no circuito é igual à soma das quedas de tensão nos
resistores (V = V1 + V2 + V3 + V4);
Circuito conhecido como divisor de tensão.
3.5.1.1 RESISTÊNCIA EQUIVALENTE
Cálculo da resistência equivalente:
A resistência equivalente de uma em série é igual á soma de todas as resistências
da associação.
Figura 15: Associação de resistores em série
Req = (R1 + R2 + R3 + ... + Rn)
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3.5.1.2 CIRCUITO EQUIVALENTE
Dois circuitos são equivalentes quando sujeitos a mesma tensão, são percorridos
por correntes iguais. A figura 16 mostra o circuito equivalente de associação em
série.
3.5.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO
É aquela onde o terminal final de um resistor é conectado os mesmos dois pontos
do circuito, como mostra a figura 17.
Esse tipo de circuito possui as seguintes características:
A diferença de potencial (tensão) é a mesma em todos os resistores. Então:
V = V1 = V2;
A corrente total no circuito é igual a soma das correntes nos resistores que
compõe a associação (I = I1 + I2);
Circuito conhecido como divisor de corrente.
Figura 16: Circuito equivalente
Figura 17: Associação de resistores em paralelo.
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3.5.2.1 RESISTÊNCIA EQUIVALENTE
Cálculo da resistência equivalente:
A resistência equivalente de uma em série é igual á soma de todas as resistências
da associação.
3.5.2.2 CIRCUITO EQUIVALENTE
Dois circuitos são equivalentes quando sujeitos a mesma tensão, são percorridos
por correntes iguais. A figura 16 mostra o circuito equivalente de associação em
série.
3.5.3 ASSOCIAÇÃO MISTA DE RESISTORES
As associações mistas, figura que incluem ligações séries e paralelas em um
mesmo circuito. Neste caso, a determinação da resistência equivalente é feita por
etapas, divididas em trechos séries e paralelos.
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ... + 1/Rn)
Figura 18: Circuito equivalente
Figura 19: Associaçãomista de resistores.
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3.5.3.1 CIRCUITO EM ESTRELA (Y) E EM TRIANGULO (∆)
Alguns circuitos não nos permitem reduzi-los a uma única resistência equivalente
usando os métodos discutidos até agora para combinar resistores em série e em
paralelo. Entretanto os resistores dos circuitos da figura 20 podem ser reduzidos a
um único resistor equivalente através de uma transformação ∆-Y. Essas
configurações recebem esses nomes porque lembram uma estrela e um triângulo.
CONVERSÕES
a) Conversão Delta em Y :
b)
b) Conversão Y em Delta (D):
Figura 20: Circuitos configurados em ∆-Y.
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3.6 CIRCUITOS ELÉTRICOS COM MAIS DE UMA FONTE DE TENSÃO
Neste capitulo serão consideradas algumas técnicas de resolução de circuitos
alimentados por mais de uma fonte, seja de tensão ou corrente.
3.6.1 LEIS DE KIRCHHOFF
As leis de Kirchhoff, devidas ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff são à base do
estudo de circuitos elétricos.
3.6.2 MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA.
A Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT), ou Lei das Malhas, pode ser escrita como: "a
tensão aplicada a um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão naquele
circuito", isto é:
Tensão aplicada = soma das quedas de tensão.
Para o circuito da Figura 20, por exemplo, onde temos três resistores conectados
em série, pode-se escrever, de acordo com a LKT:
onde :
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Escrita matematicamente, a LKT simplesmente é:
3.6.3 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ.
A Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) nos diz que "a soma das correntes que
entram em um nó deve ser igual à soma das correntes que saem deste mesmo nó".
Para o circuito da Figura 21, por exemplo, onde temos três resistores conectados
em série, pode-se escrever, de acordo com a LKT:
onde :
I é a corrente total no circuito e
I1 e I2 são as corrente em cada ramo do circuito.
Escrita matematicamente, a LKC simplesmente é:
4. OUTRAS TÉCNICAS GERAIS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
A Tabela 1 sintetiza as principais técnicas empregadas na análise e solução de
circuitos.
Tabela 1: Técnicas para análise de circuitos.
I = I1 + I2
Figura 21: Corrente em cada ramo do circuito
I + I1 + I2 = 0
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1. Teorema de Thévenin 2. Teorema de Norton
Figura 4
Figura 5
RTH: é a resistência vista por trás dos terminais
da carga quando todas as fontes são curto-
circuitadas.
VTH: é a tensão que aparece nos terminais da
carga (AB) quando se desconecta o resistor RL.
É chamada também de tensão de circuito
aberto.
O teorema de Norton é utilizado
para simplificar uma rede em
termos de correntes em vez de
tensões.
A Resistência RN é obtida da
mesma forma que RTH.
4. Teorema da Superposição
"Numa rede com duas ou mais fontes, a corrente ou a tensão para qualquer
componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando
independentemente." A fim de se usar uma fonte de cada vez, todas as outras
fontes são retiradas do circuito. Ao se retirar uma fonte de tensão, faz-se no seu
lugar um curto-circuito; ao se retirar uma fonte de corrente, esta é substituída por
um circuito aberto.
Passos (veja o circuito com duas malhas ao lado)
1) Calcule as correntes produzidas somente pela fonte
de tensão V1;
2) Calcule as correntes produzidas somente pela fonte
de tensão V2; Figura 7 - Circuito com
duas malhas (aplicação
do Teorema da
Superposição).
3) Some algebricamente as correntes individuais para
determinar as correntes produzidas pelas duas fontes
V1 e V2.
Correntes:
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UNIDADE II: ELETRICIDADE EM CORRENTE ALTERNADA
5. INTRODUÇÃO
A energia elétrica que alimenta as indústrias, comércio e nossos lares é gerada
principalmente em usinas hidrelétricas, onde a passagem da água por turbinas
geradoras transformam a energia mecânica, originada pela queda d‘água, em
energia elétrica.
No Brasil a GERAÇÃO de energia elétrica é 80% produzida a partir de hidrelétricas,
11% por termoelétricas e o restante por outros processos. A partir da usina a
energia é transformada, em subestações elétricas, e elevada a níveis de tensão
(69/88/138/240/440 kV) e transportada em corrente alternada (60 Hertz) através
de cabos elétricos, até as subestações abaixadoras, delimitando a fase de
Transmissão.
Já na fase de Distribuição (11,9 / 13,8 / 23 kV), nas proximidades dos centros de
consumo, a energia elétrica é tratada nas subestações, com seu nível de tensão
rebaixado e sua qualidade controlada, sendo transportada por redes elétricas
aéreas ou subterrâneas, constituídas por estruturas (postes, torres, dutos
subterrâneos e seus acessórios), cabos elétricos e transformadores para novos
rebaixamentos (110 / 127 / 220 / 380 V), e finalmente entregue aos clientes
industriais, comerciais, de serviços e residenciais em níveis de tensão variáveis, de
acordo com a capacidade de consumo instalada de cada cliente.
Figura 22 – Sistema Elétrico Brasileiro.
Quando falamos em setor elétrico, referimo-nos normalmente ao Sistema Elétrico
de Potência (SEP), definido como o conjunto de todas as instalações e
equipamentos destinados à geração, transmissão e distribuição de energia elétrica
até a medição inclusive, figura 22.
Com o objetivo de uniformizar o entendimento é importante informar que o SEP
trabalha com vários níveis de tensão, classificadas em alta e baixa tensão e
normalmente com corrente elétrica alternada (60 Hz).
Conforme definição dada pela ABNT através das NBR (Normas Brasileiras
Regulamentadoras) considera-se baixa tensão, a tensão superior a 50 volts em
corrente alternada ou 120 volts em corrente contínua e igual ou inferior a 1000
volts em corrente alternada ou 1500 volts em corrente contínua, entre fases ou
entre fase e terra. Da mesma forma considera-se alta tensão, a tensão superior a
1000 volts em corrente alternada ou 1500 volts em corrente contínua, entre fases
ou entre fase e terra.
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6. CARACTERISTICAS DA ONDA ALTERNADA SENOIDAL
6.1 FORMAS DE ONDA
Uma tensão alternada (CA) é aquela cujo módulo varia continuamente e cuja
polaridade é invertida periodicamente, tendo como referencia o eixo zero, que é
uma linha horizontal que passa pelo centro do gráfico. As variações verticais na
onda de tensão mostram as variações do módulo. As tensões acima do eixo
horizontal têm polaridade positiva (+), enquanto as tensões abaixo do eixo
horizontal têm polaridade negativa (-).
A figura 23 nos mostra algumas formas de onda alternada
6.2 FONTES SENOIDAIS
Uma fonte de tensão senoidal (independente ou dependente) produz uma tensão
que varia com o tempo. Uma fonte de corrente senoidal (independente ou
dependente) produz uma corrente que varia senoidalmente com o tempo. O nosso
estudo sobre circuitos senoidais vai tomar como referencia uma fonte de tensãosenoidal, mas as mesmas observações também se aplicam as fontes de corrente
senoidais.
6.3 GERAÇÃO DE UMA TENSÃO SENOIDAIS (CA)
Uma fonte de tensão CA pode ser produzida por um gerador, denominado de
alternador. Considerando o gerador elementar da figura 24, a espira condutora gira
através do campo magnético uniforme, cria pelos pólos norte e sul do imã
permanente, interceptando suas linhas de força e conseqüentemente gerando uma
tensão CA induzida em seus terminais.
Figura 24 – Gerador
elementar.
Figura 23: Formas de onda - a) Triangular, b) quadrada, c) Senoidal
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A forma de onda da tensão gerada, figura 25, é chamada de onda senoidal, que se
caracteriza por possuir módulo que varia com o tempo e a polaridade é invertida
constantemente. O valor instantâneo da tensão em qualquer ponto da onda
senoidal é dado pela equação:
Onde:
V = valor instantâneo da tensão, em volt [V]
VM = valor máximo da tensão, em volt [V]
α = ângulo de rotação, graus.
Figura 25 – Onda senoidal gerada.
6.4 EQUAÇÃO DA FUNÇÃO SENOIDAL
Podemos expressar uma função senoidal através de uma função seno ou da função
co-seno. Embora as duas funções sejam equivalentes, não podemos usá-las ao
mesmo tempo. Para nossa discussão vamos analisar a função cosseno.
Onde:
VM: é a amplitude da função senoidal, também chamada de valor de pico da
tensão (valor máximo que a tensão). Como a função seno varia entre -1 e
+1, a função da equação varia entre – VM e + VM;
ω: é a freqüência angular (em rad/s);
Ф: é o angulo de fase inicial, determina o valor da função em t = 0.
Para facilitar o entendimento, veja o gráfico de uma tensão em função do tempo,
figura 26 (b). No instante t = 0 a função começa na origem do gráfico (Ф = 0) e
como o passar do tempo o valor de v(t) cresce de 0V á +10V, sendo +10V o valor
V = VM senα
V(t) = VMcos(ωt +
Ф)
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máximo positivo (+VM)da função. Depois de alcançar o valor máximo positivo a
função decresce de + 10V, passa por 0V e chega a -10 V, que é o seu valor
máximo negativo (-VM), votando a crescer até retornar a 0V. Observe que uma
função senoidal se repete a intervalos regulares. As funções com esta propriedade
são chamadas de periódicas.
6.5 FREQUÊNCIA E PERÍODO
Observamos que um dos parâmetros de interesse de uma função senoidal é o
tempo necessário para que a função senoidal complete um ciclo, ou seja, passe
uma vez por todos os valores possíveis. Este tempo é chamado de período (T) da
função.
Figura 26 – Uma tensão senoidal em função do tempo.
A figura 26 (a) mostra um ciclo trigonométrico, cujo raio é o vetor AO. O módulo
desse vetor representa o valor máximo da tensão. Considere que o vetor AO gire
em velocidade constante no sentido anti-horário. O ângulo formado entre o vetor e
o eixo horizontal, varia com o tempo.
Ângulo por unidade de tempo representa a velocidade angular ou frequência
angular, que representamos pela letra grega ω, a mesma da equação da tensão.
Sendo que:
α: é o ângulo formado entre o vetor e o eixo horizontal, expresso em
radianos (rad);
t: Tempo em segundos;
(a) (b)
ω =
α
t
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(ciclos) completados em um segundo (ciclos/segundos) é chamado de freqüência
(f), sendo expresso em Hertz (Hz).
A relação entre período (T) e freqüência (f) é da por:
Assim, para α = 2 rad, t = T. Teremos:
A equação da tensão pode ser descrita como:
6.6 VALORES CARATERÍSTICOS DE UMA ONDA SENOIDAL
Uma onda senoidal CA de tensão ou de corrente possui vários valores instantâneos
ao longo do ciclo, é conveniente especificar os módulos para efeito de comparação
de uma onda com a outra.
V(t) = VMcos(2 ft + Ф)
1
f
T =
Nº DE CICLOS TEMPO (t)
1 T
f 1
Logo,
ou f
=
1
T
2
T
ω =
ou
2 = ωT ;
ω =2 f
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Figura 27 – Valores de uma onda senoidal de tensão ou corrente.
Valor de pico (Vp): É o valor de máximo da onda (VM ou IM). É aplicado
tanto ao pico negativo (-VM ou - IM) quanto ao positivo (+VM ou +IM);
Valor de pico a pico (Vpp): É o soma dos módulos do pico negativos e do
pico positivo. Também pode corresponde ao dobro do valor de pico quando,
os picos positivos e negativos são simétricos (Vpp = 2. VM ou Ipp = 2. IM).
Valor eficaz ou valor rms: É o valor médio quadrático da função senoidal,
ou seja, é a raiz quadrada do valor médio do quadrado da função. Em
termos matemáticos pode ser obtido por meio de uma integral, não
demonstraremos os cálculos em nosso curso, mas essa é uma característica
importante de uma função senoidal.
Em termos de potência em circuitos senoidais, o valor eficaz de uma
tensão alternada, é: o valor da intensidade da tensão alternada, que produz
em uma resistência, a mesma dissipação de potência que uma tensão
contínua produziria nessa mesma resistência, no mesmo intervalo de tempo.
Uma tensão alternada com um valor rms de 115 V, por exemplo, tem
exatamente a mesma eficiência no aquecimento do filamento de uma
lâmpada incandescente que os 115 V provenientes de uma fonte de tensão
contínua fixa.
Para realçar a importância do valor eficaz, os voltímetros e amperímetros
nos indicam, ao medirem grandezas senoidais, os valores eficazes da tensão
ou da corrente que esta sendo medida. A expressão matemática que define
o valor eficaz é:
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A mesma expressão aplicada para calcular o valor eficaz da tensão é aplicada para
corrente.
Valor Médio: Corresponde a média aritmética sobre todos os valores em
uma onda senoidal para um meio ciclo. O meio ciclo é usado para a média,
porque sobre um ciclo completo o valor médio seria zero. A expressão para
determinar o valor médio é dada por:
Para o caso de correntes alternadas senoidais:
6.7 DIAGRAMA FASORIAL
Consideremos uma corrente alternada senoidal. Esta terá uma frequência, um
determinado período, além disso, existirá um valor máximo e em cada instante
teremos um valor instantâneo. Se a onda senoidal não começar na origem do
referencial, teremos de definir um ângulo Ф, que é o ângulo que a onda faz com a
origem da contagem dos ângulos, no instante inicial. A esse ângulo, dá-se o nome
de ângulo de fase. Deste modo, uma forma alternativa para representação de
correntes e tensões alternadas senoidais é fazendo uso do fasor.
O fasor é uma entidade com módulo e sentido. O comprimento do fasor representa
o módulo da tensão/corrente alternada. O ângulo em relação ao eixo horizontal
indica ao ângulo de fase. Na figura 28 o vetor AO gira com velocidade angular ω no
sentido anti-horário. Quando o Ângulo α, entre o vetor AO e o eixo horizontal,
VM
√2
VEF =
ou VEF =0,707 VM
IM
√2
IEF =
ou IEF =0,707 VM
2
Vméd
=
ou Vméd =0,637 VM
VM
2
Iméd =
ou Iméd =0,637 IM
IM
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vária, a projeção do vetor AO no eixo vertical, mostrará uma sucessão de valores
instantâneos da grandeza senoidal. O lado esquerdo da figura é chamado de
diagrama fasorial e o lado direito de onda senoidal correspondente.
Figura 28 – Valores de uma onda senoidal de tensão ou corrente.
Imaginemos dois fasores, VA e VB. O fasor VA representa à onda de tensão A com
ângulo de fase de 0º - tendo como referência o eixo horizontal e considerado como
anti-horário o sentido de giro do fasor - e o fasor VB representa à onda de tensão B
com ângulo de fase de 90º. A figura 29 mostra que o ângulo de fase entre as ondas
B e A é de 90º, em outras palavras, podemos dizer que VB esta adiantada 90º em
relação à VA.
Figura 29 – Relação de fase entre as ondas VA e VB.
Para visualizarmos melhor estas posições, consideremos duas ainda as duas ondas
VA e VB. Na figura abaixo 30, vemos que enquanto a onda A começa com seu valor
máximo e cai para zero em 90º, a onda B atinge o seu valor máximo 90º na frente
de A. Este ângulo de fase de 90º entre as ondas B e A é mantido durante o ciclo
completo e todos os ciclos sucessivos.
O
A
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Figura 30 – A onda B esta adiantada 90º da onda A
O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma freqüência é a diferença
angular num dado instante, no nosso caso 90º. Os pontos mais convenientes para
analisar o defasamento entre ondas são os pontos de máximo, os pontos de
mínimo e dos zeros de cada onda.
7. ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA
Se realizarmos a experiência de verificação da lei de Ohm, mas aplicando agora
grandezas alternadas, chegaremos à conclusão que se mantém constante o
quociente V/I. A este cociente chamaremos de impedância do circuito ao qual
aplicamos a tensão alternada e que se representa por Z. A sua unidade é
igualmente o Ω ohm.
Assim, a lei de Ohm assume a forma, que é designada por Lei de Ohm
generalizada.
A diferença entre Z e R deve-se ao fato de Z depender da frequência. Assim, em
corrente alternada, a relação entre a tensão e a corrente depende, para uma dada
frequência, da impedância Z e ângulo de defasamento Ф. Por definição designar-se-
á: Z cos (Ф) - por resistência R e Z sem (Ф) - por reatância X. Representação
gráfica da resistência e reatância, figura 31.
Figura 31 – A onda B esta adiantada 90º da onda A
V = Z x I
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Em seguida, estudaremos os circuitos em que surgem correntes alternadas
senoidais, que são formadas por resistências, bobinas e capacitores.
7.1 CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO
São circuitos em corrente alternada somente com resistência. A característica
principal é que a tensão e corrente neste circuito estão em fase. Esta relação entre
V e I em fase, significa que este circuito pode ser analisado pelos métodos usados
para os circuitos em corrente contínua. A impedância total do circuito vai ser Z = R
= ρ(L/A). A Figura 32, mostra o comportamento da tensão e da corrente alternada
em um circuito puramente resistivo.
Figura 32 – Circuito puramente resistivo.
7.2 CIRCUITO PURAMENTE INDUTIVO
Neste tipo de circuito a tensão e corrente neste circuito não estão em fase. Observe
a figura 33 (a), se esse circuito fosse alimentando por uma fonte de tensão
contínua, a corrente surgiria de imediato. Mas se ele for alimentado por uma fonte
de tensão alternada, isso não acontece. Pela lei de Lenz, a corrente induzida no
circuito tem um sentido cujos efeitos se opõem à causa que a originou, com isso a
corrente surgirá com certo atraso, ou seja, um tempo depois que a tensão foi
aplicada. O mesmo acontece quando o circuito é desenergizado, pelas mesmas
razões, a corrente não cessa imediatamente. A diminuição da corrente é retardada.
Figura 33 – Curva da tensão e da corrente sobre um indutor.
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A característica principal de um circuito puramente indutivo é que a corrente que
passa pelo indutor (IL), estará atrasada da tensão aplicado sobre o indutor (VL), de
2 radianos ou 90º, como podemos ver na figura 33 (b) e no diagrama fasorial,
figura 33 (c). Esta oposição à circulação da corrente é feita pela força eletromotriz
(f.e.m.) de auto-indução da bobina, também chamada de indutância, através da
sua reatância indutiva (XL) expressa em ohm (Ω). A reatância indutiva (XL)
dependerá da freqüência, com uma grande freqüência, logo um período pequeno, a
corrente não tem tempo de atingir o seu valor máximo, pois a tensão aplicada
inverte mais rapidamente a sua polaridade. Com uma freqüência menor, logo um
período maior, a corrente atinge um valor mais elevado, já que o período da tensão
aplicada é maior. Portanto, quanto maior a freqüência, menor será a corrente
elétrica.
Dá Lei de Ohm virá:
Sendo o valor de XL dado por:
XL = 2 f L
como:
ω = 2 f
Podemos expressar XL também como:
XL = ω L
Onde:
XL - reatância indutiva -Ohm (Ω)
f - frequência - Hertz (Hz)
L - coeficiente de auto - indução ou indutância - Henry
7.3 CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO
Também neste tipo de circuito a tensão e corrente não estão em fase. Observe a
figura 34. Um capacitor é um dispositivo elétrico formado por duas placas
condutoras de metal separadas por um material isolante chamado dielétrico e que
armazena carga elétrica, capacitância, no dielétrico.
Embora um capacitor bloqueie a corrente contínua, ele afeta um circuito de
corrente alternada de maneira diferente, não permitindo que a tensão entre suas
V = XL x
I
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placas se iguale à tensão da fonte. Esse impedimento fará com que a corrente no
circuito esteja adiantada da tensão de 2 radianos ou 90º
Figura 34 – Curva da tensão e da corrente sobre um capacitor.
A oposição à circulação da corrente alimentado por uma fonte alternada é feita
pela capacitância do circuito, através da sua reatância capacitiva (XC) expressa em
ohm (Ω). A reatância indutiva (XC) dependerá da frequência, oferecendo maior
resistência às baixas frequências, e tendo menor resistência às altas frequências,
permitindo a sua passagem com mais facilidade. Portanto, a reatância capacitiva é
inversamente proporcional à frequência aplicada: quanto maior a frequência, menor
a sua reatância (resistência).
Dá Lei de Ohm virá:
Sendo o valor de XC dado por:
como:
ω = 2 f
Podemos expressar XC também como:
V = XC x
I
1
XC =
2 f C
1
XC =
ω C
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Onde:
XC - reatância capacitiva -Ohm (Ω)
f - frequência - Hertz (Hz)
C - Capacitância -Farad (F)
8. ANÁLISE FASORIAL DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA
Os circuitos reais não são constituídos somente por resistências, bobinas ou
condensadores. Na prática encontramos todos esses elementos conjugados em um
circuito. Vamosanalisar algumas combinações de componentes como: resistor e
indutor (circuitos RL), resistor e capacitor (circuitos RC) e resistor, indutor e
capacitor (circuitos RLC)
8.1 CIRCUITOS RL
8.1.1 CIRCUITO RL EM SÉRIE
A corrente em um circuito RL em séria, como o da figura 35 (a) encontra dois tipos
de oposição: a oferecida pela resistência e a oferecida pela reatância indutiva.
Figura 35 – Relação entre tensões em um circuito RL em série.
A resistência tende a colocar a tensão da fonte (VT) em fase com a corrente (I),
enquanto a indutância tende a defasá-las de 90º. A corrente no circuito continua
atrasada em relação à tensão, mas com um ângulo menor que 90º. Encontramos o
ângulo de defasamento entre corrente e tensão da fonte (VT) através da soma
vetorial da tensão sobre o resistor (VR) e da tensão sobre o indutor (VL),
usualmente chamado de triângulo das tensões, figura 35 (c).
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Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das tensões, temos:
Do triângulo das tensões podemos obter o triângulo das impedâncias, dividindo
todas as tensões por I, uma vez que VL = Z x I.
Figura 36 – Triângulo das impedâncias.
8.1.2 CIRCUITOS RL EM PARALELO
Para circuitos com R e L em paralelo, figura 37 (a), a mesma tensão VT está
aplicada a eles. Portanto esta tensão será usada como fasor de referência para
analisarmos o comportamento da corrente.
VT
2 = VR
2 + VL
2
VT = √ VR 2 + VL 2
VT
2 = VR
2 + VL
2
[(Z x I)/ I]
2 = [(R x I)/I]
2 + [(XL x I)/I]
2
Z
2 = R
2 + XL
2
Z = √ R 2 + XL 2
θ
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Figura 37 – Relação entre correntes em um circuito RL em paralelo.
Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das correntes, figura 37 (b), temos:
Do triângulo das correntes podemos obter o triângulo das impedâncias, figura 38,
dividindo todas as correntes por VT.
Figura 38 – Triângulo das impedâncias.
IT
2 = IR
2 + IL
2
IT = √ IR 2 + IL 2
IT
2 = IR
2 + IL
2
(IT/ VT )
2 = (IR/ VT )
2+ (IL/ VT )
2
1/Z
2 = 1/R
2 + 1/XL
2
√ R 2 + XL 2
R . XL
Z =
θ
θ
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8.1.3 POTÊNCIA EM CIRCUITOS RL.
Num circuito alimentado por uma fonte alternada contendo resistência e reatância
indutiva, a corrente está atrasada em relação à tensão aplicada. Por isso existem,
neste caso, três tipos de potência: Potência ativa, Potência Reativa e a Potência
Aparente ou Total.
Vamos voltar ao triângulo das tensões da figura 35 (c) e multiplicar todas as
tensões por I.
Onde:
R x I2 = P = Potência Ativa = Potência dissipada (W);
XL x I
2 = Potência Reativa = (VAr – Volt-ampere-Reativo);
VL x I
= Potência Aparente ou Total= é a potência fornecida ao
circuito (VA – Volt-ampere).
Ainda temos que:
N
2 = P
2 + Q
2 ;
P = N cos θ
P = N sen θ
A razão entre a Potência Ativa e a Potência Aparente é
chamado de fator de potência (FP). FP = cos θ
VT
2 = VR
2 + VL
2
(VT x I)
2 = [(R x I) x I]
2 + [(XL x I) x I]
2
N
2 = P
2 + Q
2
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8.2 CIRCUITOS RC
8.2.1 CIRCUITO RC EM SÉRIE
A corrente em um circuito RC em séria, como o da figura 39 (a) encontra dois tipos
de oposição: a oferecida pela resistência e a oferecida pela reatância capacitiva.
Figura 39 – Relação entre tensões em um circuito RC em série.
A resistência tende a colocar a tensão da fonte (VT) em fase com a corrente (I),
enquanto a indutância tende a defasá-las de - 90º. A corrente no circuito continua
atrasada em relação à tensão, mas com um ângulo menor que 90º. Encontramos o
ângulo de defasamento entre corrente e tensão da fonte (VT) através da soma
vetorial da tensão sobre o resistor (VR) e da tensão sobre o capacitor (VC),
usualmente chamado de triângulo das tensões, figura 38 (c).
Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das tensões, temos:
Do triângulo das tensões podemos obter o triângulo das impedâncias, figura 40,
dividindo todas as tensões por I, uma vez que VC = Z x I.
Figura 40 – Triângulo das impedâncias.
VT
2 = VR
2 + VC
2
VT = √ VR 2 + VC 2
θ
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8.2.2 CIRCUITOS RC EM PARALELO.
Para circuitos com R e C em paralelo, figura 41 (a), a mesma tensão VT está
aplicada a eles. Portanto esta tensão será usada como fasor de referência para
analisarmos o comportamento da corrente.
Figura 41 – Relação entre correntes em um circuito RC em paralelo.
Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das correntes, figura 41 (b), temos:
Do triângulo das correntes podemos obter o triângulo das impedâncias, figura 42,
dividindo todas as correntes por VT.
VT
2 = VR
2 + VL
2
[(Z x I)/ I]
2 = [(R x I)/I]
2 + [(XC x I)/I]
2
Z
2 = R
2 + XC
2
Z = √ R 2 + XC 2
IT
2 = IR
2 + IC
2
IT = √ IR 2 + IC 2
(a)
(b)
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Figura 42 – Triângulo das impedâncias.
8.2.3 POTÊNCIA EM CIRCUITOS RC
Num circuito alimentado por uma fonte alternada contendo resistência e reatância
capacitiva, a corrente está adiantada em relação à tensão aplicada. Por isso
existem, no circuito RC, três tipos de potência: Potência ativa, Potência Reativa e a
Potência Aparente ou Total.
Vamos voltar ao triângulo das tensões da figura 39 (c) e multiplicar todas as
tensões por I.
IT
2 = IR
2 + IC
2
(IT/ VT )
2 = (IR/ VT )
2+ (IC/ VT )
2
1/Z
2 = 1/R
2 + 1/XC
2
√ R 2 + XC 2
R . XC
Z =
VT
2 = VR
2 + VC
2
(VT x I)
2 = [(R x I) x I]
2 + [(XC x I) x I]
2
N
2 = P
2 + Q
2
θ
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Onde:
R x I2 = P = Potência Ativa = Potência dissipada (W);
XC x I
2 = Potência Reativa = (VAr – Volt-ampere-Reativo);
VL x I
= Potência Aparente ou Total= é a potência fornecida ao
circuito (VA – Volt-ampere).
Ainda temos que:
N
2 = P
2 + Q
2 ;
P = N cos θ
P = N sen θ
A razão entre a Potência Ativa e a Potência Aparente é
chamado de fator de potência (FP). FP = cos θ
8.3 CIRCUITOS RLC
8.3.1 CIRCUITO RLC EM SÉRIE
A corrente em um circuito RLC em séria, como o da figura 43 (a) encontra três
tipos de oposição: a oferecida pela resistência, a oferecida pela reatância indutiva,
e a oferecida pela reatância capacitiva.
Figura 43 – Relação entre tensõesem um circuito RLC em série.
A resistência tende a colocar a tensão da fonte (VT) em fase com a corrente (I),
enquanto a indutância tende a defasá-las de + 90º e a indutância tende a defasá-
las de - 90º. A corrente no circuito continua atrasada em relação à tensão, mas
com um ângulo menor que 90º. Encontramos o ângulo de defasamento entre
corrente e tensão da fonte (VT) através da soma vetorial da tensão sobre o resistor
(VR), da tensão sobre o indutor (VL) e da tensão sobre o indutor (VC), figura 43 (b).
(a)
(b)
VT
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Observe que na figura 43 (b) as tensões VL e VC estão defasadas de 180º. Para
somar as três tensões primeiramente somamos VL com VC, como o defasamento de
180º a adição dos dois vetores é simplesmente VL - VC.
Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das tensões, figura 44, temos:
Figura 44 – Relação entre tensões em um circuito RLC em série.
Da mesma forma demonstrada para encontrarmos as impedâncias nos circuitos RL
e RC, servem para encontramos as impedâncias nos circuitos RLC.
8.3.2 CIRCUITOS RLC EM PARALELO.
Para circuitos com R, L e C em paralelo, figura 45 (a), a mesma tensão VT está
aplicada a eles. Portanto esta tensão será usada como fasor de referência para
analisarmos o comportamento da corrente.
Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das correntes, figura 45 (b), temos:
Figura 41 – Relação entre correntes em um circuito RLC em paralelo.
VT
2 = VR
2 + (VC - VC)
2
VT = √ VR 2 + (VC - VC) 2
Z = √ R 2 + (XL - XC) 2
θ
θ
(a) (b)
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Aplicando o teorema Pitágoras ao triângulo das correntes, figura 37 (b), temos:
Da mesma forma demonstrada para encontrarmos as impedâncias nos circuitos RL
e RC, servem para encontramos as impedâncias nos circuitos RLC.
8.3.3 FREQUÊNCIA DE RESSONÂNCIA EM CIRCUITOS RLC
Se XL = XC na expressão da impedância obteremos Z=R, isto é, o circuito será
puramente resistivo sendo esta situação chamada de ressonância e isso ocorre na
freqüência f0 dada por:
8.3.4 POTÊNCIA EM CIRCUITOS RLC
Onde:
R x I2 = P = Potência Ativa = Potência dissipada (W);
(XL - XC) x I
2 = Potência Reativa = (VAr – Volt-ampere-
Reativo);
VL x I
= Potência Aparente ou Total= é a potência fornecida ao
circuito (VA – Volt-ampere).
Ainda temos que:
N
2 = P
2 + Q
2 ;
P = N cos θ
P = N sen θ
A razão entre a Potência Ativa e a Potência Aparente é
chamado de fator de potência (FP). FP = cos θ
IT
2 = IR
2 + IC
2
IT = √ IR 2 + IC 2
√ R 2 + (XC - XC) 2
R . XC
Z =
N
2 = P
2 + Q
2
2 √ (LC)
1
f0 =
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9. REFERÊNCIAS
[1] BARTKOWIAK, Robert A. Circuitos Elétricos. São Paulo: Makron Books,
1994.
[2] MÁXIMO, Antônio. ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. 5ª ed. São Paulo:
Scipione, 2000. 432p.
[3] GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. Circuitos Elétricos. 2a ed. rev. e
ampl. São Paulo: Makron Books, 1996.
[4] NILSSON, W. James, RIEDEL, Susan A. 6a ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
[5] Apostila de Eletricidade I /IFES. Espírito Santo,2002.
[6] Apostila de Eletricidade II /IFES. Espírito Santo,2002.
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SMS – Segurança, Meio Ambiente e Saúde
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Histórico
Quando estudamos documentos relacionados à Segurança do Trabalho vemos algumas
referências aos riscos profissionais. Hipócrates, quatro séculos antes de Cristo, fez menção à
existência de moléstias entre mineiros e metalúrgicos. Plínio, o Velho, no início da Era Cristã,
descreveu moléstias do pulmão e envenenamento entre mineiros, pelo manuseio do enxofre e
do zinco. Galeno, no século II, citou moléstias profissionais entre trabalhadores das ilhas do
Mediterrâneo.
Georgius Agrícola (forma latina de Georg Bauer). Médico, era estudioso de todos os aspectos
da mineralogia e da indústria metalúrgica e iniciou um estudo de 25 anos que culminou na sua
obra-prima publicada postumamente: “De re metallica” (1556), um tratado de mineralogia e
metalurgia. O tratado, com doze capítulos, inclui 292 gravuras em madeira cuidadosamente
entalhadas e estuda problemas relacionados à extração e à fundição da prata e do ouro. A
obra discute acidentes do trabalho e doenças comuns entre mineiros, destacando-se a “asma
dos mineiros”, provocada por poeiras que Agrícola denominava “corrosivas”. A descrição dos
sintomas indica que se tratava de silicose.
Ainda no século XVI, Paracelso escreveu a primeira monografia sobre a relação entre trabalho
e doença: “Von Der Birgsucht Und Anderen Bergrank Heiten”. Nela foram mostrados os
sintomas da intoxicação pelo mercúrio.
Em 1700 publicou-se na Itália “De Morbis Artificum Dia Triba” do médico Bernardino
Ramazzini, “o pai da medicina do trabalho”. Nessa obra foram descritas cerca de cem
profissões e os riscos específicos de cada uma delas. Descrições baseadas nas observações
clínicas do autor que sempre perguntava aos pacientes: ”Qual a sua ocupação ?”.
Com a invenção da máquina de fiar, ocorreu na Inglaterra a Revolução Industrial. Até aí, o
artesão era dono dos seus meios de produção. O alto custo das máquinas não mais permitiu
que o artesão as possuísse. Quando os capitalistas viram as chances de lucro, decidiram
comprar máquinas e empregar pessoas para fazê-las funcionar. Surgiram assim as primeiras
fábricas de tecidos e, com elas, o Capital e o Trabalho.
Com o advento das máquinas a vapor, a indústria, que não precisava mais dos rios para fazer
as máquinas movimentarem-se, veio para as cidades, onde havia farta mão-de-obra. No
crescimento desenfreado das fábricas não havia cuidados quanto à saúde da mão-de-obra,
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constituída de homens, mulheres e crianças. Chegou-se ao cúmulo de se vender crianças para
suprir a mão de obra. No final do século XVIII, a indústria inglesa ofereceu melhores salários
mas causou problemas ocupacionais sérios: altos índices de acidentes e de moléstias
profissionais eram causados pelo trabalho em máquinas sem proteção, pelo trabalho
executado em ambientes fechados onde a ventilação era precária e o ruído atingia limites
altíssimos e pela inexistência de limites de horas de trabalho.
Em 1802 o Parlamento Britânico aprovou a 1ª lei de proteção ao trabalhador: a “Lei de Saúde e
Moral dos Aprendizes”, que estabeleceu o limite de 12 horas de trabalho por dia, proibiu o
trabalho noturno, obrigou os empregadores a lavar as paredes das fábricas duas vezes por ano
e tornou obrigatória a ventilação destas.
Três décadas mais tarde, uma comissão parlamentar de inquérito sobre doenças do trabalho
elaborou um relatório que concluía: “Diante desta Comissão desfilou longa procissão de
trabalhadores - homens e mulheres, meninas, abobalhados, doentes, deformados, degradados
na sua qualidade humana. Cada um deles era a evidência de uma vida arruinada, um quadro
vivo de uma crueldade humanado homem para com o homem, uma impiedosa condenação
daqueles legisladores que, quando em suas mãos detinham poder imenso, abandonaram os
fracos à capacidade dos fortes”.
A denúncia da Comissão fez com que, em 1833, surgisse a 1ª lei realmente eficiente de
proteção ao trabalhador: a “Lei das Fábricas” (Factory Act). Criava restrições às empresas
têxteis em que fosse usada a força hidráulica ou a vapor; proibia o trabalho noturno aos
menores de 18 anos e limitava as horas de trabalho destes a 12 por dia e 60 por semana; as
fábricas eram obrigadas a ter escolas, que seriam freqüentadas pelos trabalhadores menores
de 13 anos; a idade mínima para o trabalho era de 9 anos, e um médico devia atestar que o
desenvolvimento físico da criança correspondia à sua idade.
Em 1867 incluiu-se nesta lei mais moléstias e estipulou-se a proteção das máquinas e a
ventilação mecânica para o controle de poeiras; proibiu-se a ingestão de alimentos nos
ambientes sob atmosferas nocivas da fábrica. Foi na Grã-Bretanha onde primeiro foram
registradas medidas em atenção à boa saúde do trabalhador. Lá foi criado o 1º órgão
fiscalizador do Ministério do Trabalho para apurar doenças profissionais e realizar exames
médicos pré-admissionais e periódicos.
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A evolução da Revolução Industrial resultou no aparecimento dos serviços de saúde
ocupacional em vários países europeus. Na França, em 1946, tornou-se obrigatória a existência
de serviços de saúde ocupacional em estabelecimentos, industriais ou comerciais, onde
trabalhassem mais de dez pessoas. Mais recentemente, na Espanha e em Portugal, outras leis
obrigaram à criação de serviços de saúde ocupacional em empresas com mais de quinhentos
trabalhadores.
Nos Estados Unidos os serviços de saúde ocupacional não existiam até a entrada em vigor de
leis sobre indenizações em casos de acidente de trabalho. Por isso, os empregadores
estabeleceram, no início deste século, os primeiros serviços de saúde ocupacional com o
principal objetivo de reduzir o custo das indenizações.
Em meados do século a importância da proteção dos trabalhadores atingiu a Organização
Internacional do Trabalho (OIT) e a Organização Mundial de Saúde (OMS). Assim, a 43ª
Conferência Internacional do Trabalho estabeleceu a “Recomendação para os serviços de
saúde ocupacional, 1959” que determinava serem objetivos dos serviços de saúde ocupacional
instalados em um estabelecimento de trabalho, ou em suas proximidades:
1) Proteger os trabalhadores contra riscos à sua saúde, que possam decorrer do seu
trabalho ou das condições em que este é realizado.
2) Contribuir para o ajustamento físico e mental do trabalhador, obtido especialmente
pela adaptação do trabalho aos trabalhadores, e pela colocação destes em atividades
profissionais para as quais tenham aptidões.
3) Contribuir para o estabelecimento e a manutenção do mais alto grau possível de bem-
estar físico e mental dos trabalhadores.
No Brasil as estatísticas sobre doenças profissionais e sobre acidentes do trabalho eram tão
alarmantes que o Governo Federal baixou a portaria 3.237, de 17 de julho de 1972, que tornou
obrigatória a existência de Serviços de Medicina do Trabalho e de Engenharia de Segurança do
Trabalho em todas as empresas com mais de cem trabalhadores. A Lei nº 6.514, de 22 de
dezembro de 1977 e as normas regulamentadoras aprovadas pela portaria nº 3.214, de 8 de
junho de 1978 dão continuidade à legislação de proteção ao trabalhador brasileiro.
Atualmente são trinta e cinco as normas regulamentadoras do trabalho:
NR – 01 - Disposições GeraisNR – 02 - Inspeção Prévia
NR – 03 - Embargo ou interdição
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NR – 04 - Serviços Especializados em Engenharia de Segurança e Medicina do Trabalho –
SESMT
NR – 05 - Comissão Interna de Prevenção de Acidentes – CIPA
NR – 06 - Equipamento de proteção Individual – EPI
NR – 07 - Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional – PCMSO
NR – 08 - Edificações
NR – 09 - Programa de prevenção de riscos ambientais – PPRA
NR – 10 –Segurança em instalações e serviços em eletricidade
NR – 11 - Transporte, movimentação, armazenagem e manuseio de materiais
NR – 12 –Segurança no trabalho em máquinas e equipamentos
NR – 13 - Caldeiras e vasos de pressão
NR – 14 - Fornos
NR – 15 - Atividades e operações insalubres
NR – 16 - Atividades e operações perigosas
NR – 17 - Ergonomia
NR – 18 - Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção.
NR – 19 - Explosivos
NR – 20 - Líquidos combustíveis e inflamáveis
NR – 21 - Trabalho a céu aberto
NR – 22 – Segurança e saúde ocupacional na mineração
NR – 23 - Proteção contra incêndios
NR – 24 - Condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho
NR – 25 - Resíduos industriais
NR – 26 - Sinalização de segurança
NR – 27 - Registro profissional do técnico de segurança do trabalho no Ministério do Trabalho
NR – 28 - Fiscalização e penalidades
NR – 29 – Segurança e saúde no trabalho portuário
NR - 30 – Segurança e saúde no trabalho aquaviário
NR – 31 – Segurança e saúde no trabalho na agricultura, pecuária, silvicultura, exploração
florestal e aquicultura
NR – 32 – Segurança e saúde no trabalho em serviços de saúde
NR – 33 – Segurança e saúde nos trabalhos em espaços confinados
NR – 34 – Condições e meio ambiente de trabalho na indústria da construção civil e reparação
naval
NR – 35 – Trabalho em altura
ACIDENTES DO TRABALHO
2.1 - ACIDENTES DO TRABALHO
Os acidentes no trabalho causam, em qualquer comunidade, prejuízos que são um sério
obstáculo ao desenvolvimento sócio-econômico de um país porque debilitam o trabalhador,
restringem a sua capacidade de produção além de poderem causar danos às máquinas,
equipamentos e instalações de uma empresa.
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Para se determinar e combater as causas dos acidentes do trabalho é necessário,
primeiramente, conhecermos as definições de acidente do trabalho.
2.1.1 - CONCEITO LEGAL
No Brasil, o Decreto nº 61.784 de 28 de novembro de 1967, em seu Art. 3º assim define
acidente de trabalho:
2.1.2 - CONCEITO PREVENCIONISTA
De acordo com o conceito prevencionista: Ex.: A queda de um objeto do empilhamento mal
feito, sem vítima. No conceito legal o legislador se interessou em definir o acidente para
proteger o trabalhador acidentado garantindo-lhe o pagamento do salário enquanto estiver
impossibilitado de trabalhar, ou indenizando-o quando houver lesão incapacitante
permanente. O conceito prevencionista, alertanos que o ferimento é apenas uma das
conseqüências do acidente, pois o acidente pode ocorrer sem provocar lesões.
Estatísticas mostram que em cada 300 acidentes do trabalho, 272 são acidentes sem lesões, 27
são acidentes que causam lesões leves e apenas 1 causa lesões graves.
Acidente do Trabalho será aquele que ocorrer pelo exercício do trabalho, a serviço da empresa,
provocando lesão corporal, perturbação funcional ou doença que cause a morte ou a perda ou
redução permanente ou temporária, da capacidade para o trabalho.
Acidente do Trabalho é um fato inesperado, não planejado, que interrompe ou interfere num
processo normal de trabalho, resultando em lesão e/ou danos materiais e/ou perda de tempo.
Como não podemos prever se de um acidente vai resultar, ou não, uma lesão no trabalhador,
concluímos que devemos tentar evitar todo e qualquer tipo de acidente.
2.1.3 - CASOS CONSIDERADOS COMO ACIDENTES DO TRABALHO
O acidente sofrido no local e no horário dotrabalho em consequência de:
ato de agressão, sabotagem ou terrorismo praticado por terceiros ou companheiros de
trabalho;
ofensa física intencional, inclusive de terceiro, por motivo de disputa relacionada ao
trabalho;
ato de imprudência, de negligência ou de imperícia de terceiros ou de companheiro de
trabalho;
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ato de pessoa privada do uso da razão;
desabamento, inundações, incêndio e outros casos fortuitos ou decorrentes de força
maior;
A doença proveniente de contaminação acidental do empregado no exercício de sua
atividade;
O acidente sofrido pelo segurado, ainda que fora do local e horário de trabalho:
na execução de ordem ou na realização de serviço sob a autoridade da empresa;
na prestação espontânea de qualquer serviço à empresa para lhe evitar prejuízo ou
proporcionar proveito;
em viagem a serviço da empresa, inclusive para estudo quando financiada por estar
dentro de seus planos para melhor capacitação da mão-de-obra, independentemente
do meio de locomoção utilizado, inclusive veículo de propriedade do segurado;
no percurso da residência para o local de trabalho ou deste para aquela, qualquer que
seja o meio de locomoção, inclusive veículo de propriedade do segurado.
Entende-se como percurso o trajeto usual da residência ou do local de refeição para o
trabalho, ou deste para aqueles, locomovendo-se o empregado a pé ou valendo-se de
transporte da empresa ou próprio ou da condução normal. O Decreto estabelece ainda, que no
período destinado à refeição ou descanso, ou por ocasião de satisfação de outra necessidade
fisiológica, no local ou durante o horário de trabalho, o empregado será considerado a serviço
da empresa.
Para fins legais, equipara-se ainda ao acidente do trabalho:
doença profissional, assim entendida a produzida ou desencadeada pelo exercício do
trabalho peculiar a determinada atividade e constante da relação elaborada pelo
Ministério do Trabalho e da Previdência Social.
doença do trabalho, assim entendida a adquirida ou desencadeada em função de
condições especiais em que o trabalho é realizado e com ele se relacione diretamente.
Segundo a legislação em vigor, doença profissional é aquela inerente a determinado ramo de
atividade. Podem ser relacionadas como doenças do trabalho, resultantes das condições
especiais em que a atividade se realiza: a epilepsia, quando decorre de um acidente de
trabalho; a lepra, quando o trabalho obriga o contato permanente com hansenianos; o câncer,
quando o trabalhador está sujeito às poeiras ou trabalho em ambiente cancerígeno; a neurose,
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quando a sua manifestação ocorre ao tempo do trabalho ou é atribuída às condições em que
ele se realiza.
A doença profissional ou do trabalho, para que se equipare a o acidente do trabalho, deverá
acarretar incapacidade temporária ou permanente para o trabalho.
Não são consideradas como doença do trabalho:
a doença degenerativa;
a inerente ao grupo etário;
a que não produza incapacidade laborativa;
a doença endêmica adquirida por segurado habitante de região em que ela se desenvolva
salvo comprovação de que é resultante de exposição ou contato direto determinado pela
natureza do trabalho.
IMPORTANTE: Todo o acidente do trabalho, por mais leve que seja, deverá ser comunicado à
empresa, que providenciará a CAT - Comunicação de Acidente do Trabalho, até o primeiro dia
útil seguinte ao da ocorrência e, em caso de morte, de imediato.
A CAT deverá ser preenchida em seis vias, com a seguinte destinação:
1ª via - ao INSS;
2ª via - à empresa;
3ª via - ao segurado ou dependente;
4ª via - ao sindicato de classe do trabalhador;
5ª via - ao Sistema Único de Saúde-SUS;
6ª via - à Delegacia Regional do Trabalho.
A entrega das vias da CAT compete ao emitente da mesma, cabendo a este comunicar ao
segurado ou seus dependentes em qual Agência da Previdência Social foi registrada. A
Comunicação de Acidente do Trabalho deverá ser feita pela empresa, ou na falta desta o
próprio acidentado, seus dependentes, a entidade sindical competente, o médico assistente
ou qualquer autoridade pública.
No caso de doença profissional ou do trabalho, considera-se como dia do acidente a data da
comunicação desta à empresa ou, na sua falta, a da entrada do pedido do benefício no INSS, a
partir de quando serão devidas as prestações cabíveis.
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No final deste capítulo, você encontrará um formulário de CAT
2.1.3.1 - DIFERENÇA ENTRE DOENÇA E ACIDENTE DO TRABALHO
Entre o acidente do trabalho e a doença profissional há uma tênue diferença que, muitas
vezes, é impossível descobrir.
O acidente pode ser provocado intencionalmente pelo empregado.
O acidente acontece de modo instantâneo e violento.
A doença pode ser simulada mas não pode ser criada pelo empregado. Tem uma duração.
Não aparece num momento, provocando a lesão corporal, ou a perturbação funcional, ou
a morte. Ela se apresenta internamente num processo silencioso.
A causa do acidente-tipo é externa.
2.2 – CAUSAS DOS ACIDENTES DO TRABALHO
Do ponto de vista prevencionista, causa de acidente é qualquer fator que, se fosse eliminado,
teria evitado o acidente. As causas dos acidentes podem decorrer de fatores pessoais ou
materiais.
O reconhecimento das causas pode ser fácil, como no caso de um degrau quebrado de uma
escada, ou difícil, quando se precisa determinar as causas de uma sequência em cadeia que
originaram o acidente. Pode-se dizer que a maioria dos acidentes tem mais de uma causa.
As causas fundamentais dos acidentes do trabalho são classificadas como atos inseguros,
condições inseguras e fatores pessoais de insegurança.
2.2.1 – ATOS INSEGUROS
Atos inseguros são as ações ou omissões, maneiras pelas quais o trabalhador se expõe,
voluntariamente ou não, a riscos de acidentes.
Responsáveis por 80% dos acidentes, os atos inseguros mais comuns são:
Brincadeiras em serviço (ofender, distrair, assustar, discutir, jogar objetos, gritar, etc.);
Desconhecimento das regras de segurança ou dos métodos seguros de trabalho;
Emprego incorreto das ferramentas ou de ferramentas sabidamente defeituosas;
Excesso de confiança dos que se julgam imunes a acidentes;
Fadiga física ou mental, que pode prejudicar os reflexos normais do trabalhador.
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Falta de habilidade para o desempenho da atividade (pode ocorrer por treinamento
insuficiente);
Levantamento de cargas de forma imprópria;
Negligência, como no caso do trabalhador que não usa os EPI’s recomendados;
Permanecer sob cargas suspensas ou em locais perigosos, junto a máquinas ou à passagem
de veículos;
Remover dispositivos de proteção ou alterar o seu funcionamento, tornando-os
ineficientes;
Realizar operações para as quais não esteja devidamente autorizado;
Trabalhar, sem necessidade, com equipamento em movimento ou perigoso (manutenção,
reparo e lubrificação de máquinas em movimento e realização de trabalhos em
equipamentos elétricos energizados);
Usar vestimentas inadequadas (salto alto, mangas compridas, gravatas soltas, cabelos
compridos soltos, anéis, pulseiras, etc.);
Uso inadequado de equipamentos (sobrecarregar veículos, andaimes, etc.);
Velocidades perigosas (operar máquinas em suasvelocidades limites ou em velocidades
inseguras, pular de locais elevados, atirar materiais ao invés de transportá-los, etc.).
Não são considerados como atos inseguros os que emanarem da chefia ou as ações realizadas
em obediência às instruções de superiores. Estes casos devem ser considerados como
condições inseguras.
2.2.2 – CONDIÇÕES INSEGURAS
São responsáveis por 18% dos acidentes.
Exemplos de condições inseguras:
Condições inseguras de um ambiente de trabalho são as falhas, defeitos, irregularidades
técnicas, carências de dispositivos de segurança, e outras que põem em risco a integridade
física ou a saúde do trabalhador ou a própria segurança das instalações e equipamentos.
Arranjos físicos e arrumações perigosas (empilhamento perigoso, armazenagem irregular
ou perigosa, passagens obstruídas, etc.);
Condições defeituosas dos equipamentos (grosseiro, cortante, corroído, fraturado, de
qualidade inferior, etc.);
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Condições precárias das instalações físicas (escadas, tubulações, rampas, instalações e
pisos escorregadios, corroídos, sobrecarregados, mal conservados ou quebrados);
Construções ou projetos inseguros;
Equipamentos de proteção defeituosos ou mal sinalizados (extintores descarregados ou
com a carga vencida);
Iluminação ou ventilação incorreta ou inadequada;
Má distribuição de horários e tarefas;
Material mal identificado ou não identificado;
Proteção mecânica ou elétrica inadequada (falta de aterramento em instalações elétricas);
Operações e processos perigosos;
Riscos naturais provenientes de irregularidades e instabilidades dos solos, intempéries,
animais selvagens (nos trabalhos externos ou “a céu aberto”).
Importante: Não devemos confundir a condição insegura com o risco inerente de certas
operações industriais. Por exemplo: a corrente elétrica é um risco inerente aos serviços que
envolvem eletricidade. Instalações elétricas mal feitas ou improvisadas, fios expostos, etc., são
condições inseguras.
2.2.3 – FATOR PESSOAL DE INSEGURANÇA
A caracterização do fator pessoal de insegurança não é fácil, exigindo o exame apurado das
circunstâncias em que ocorreu o acidente. O fator pessoal de insegurança, como o ato
inseguro, não é necessariamente causado pelo trabalhador acidentado, podendo ser
provocado por terceiros.
Os fatores pessoais de insegurança predominantes são:
Alcoolismo ou uso de substâncias tóxicas ou de drogas;
Conhecimento ou treinamento insuficiente;
Defeito físico ou incapacidade física para o serviço executado (principalmente órgãos do
sentido);
Desconhecimento do risco ou de práticas seguras para a execução do serviço;
Desrespeito às instituições e normas de segurança;
Falta de interesse pela atividade que desempenha;
Má interpretação do perigo;
Nervosismo ou excesso de confiança;
Preocupação com outros problemas;
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Problemas de saúde não tratados (mentais e nervosos);
Problemas diversos de ordem social;
Problemas familiares.
Fator pessoal de insegurança é a característica mental ou física que leva o trabalhador à
prática do ato inseguro.
2.3 - CONSEQÜÊNCIAS DOS ACIDENTES DO TRABALHO
Muitas vezes, pior que o próprio acidente são as suas consequências. Todos perdem. Perde o
empregador, com a perda da mão-de-obra, de material, de equipamentos, de tempo, e,
consequentemente, com a elevação dos custos operacionais. Perde o governo, com o número
crescente de inválidos e dependentes da Previdência Social. Perde o empregado, que fica
incapacitado temporária ou permanentemente para o trabalho, de forma total ou parcial, e a
sua família que passa a ter o padrão de vida afetado pela falta dos ganhos normais.
Um acidente do trabalho pode levar o trabalhador a se ausentar da empresa por apenas
algumas horas, quando é chamado de acidente sem afastamento. É o que ocorre, por
exemplo, quando o acidente resulta num pequeno corte no dedo, e o trabalhador retorna em
seguida. Outras vezes, um acidente pode deixar o trabalhador impedido de realizar suas
atividades por dias seguidos, ou meses, ou de forma definitiva. Se o trabalhador não retornar
ao trabalho imediatamente ou até a jornada seguinte temos o chamado acidente com
afastamento, que pode resultar:
a) Na incapacidade temporária, que é a perda da capacidade para o trabalho por um
período limitado de tempo, após o qual o trabalhador retorna às suas atividades
normais.
b) Na incapacidade total e permanente, que é a invalidez para o trabalho.
c) Na incapacidade parcial permanente, que é a diminuição, para o resto da vida, da
capacidade física total para o trabalho desenvolvido. É o que acontece, por exemplo,
quando ocorre a perda de um dedo ou de uma vista.
2.3.1 - PREJUÍZOS IMEDIATOS PARA O GOVERNO
a) Pagamento, através do INSS, de benefícios previdenciários ao trabalhador acidentado
ou a seus dependentes.
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b) pagamento de despesas médico-hospitalares no tratamento do acidentado, inclusive
com o fornecimento de próteses.
c) despesas com a reabilitação profissional do trabalhador acidentado.
d) assistência reeducativa e readaptativa profissional: Reeducativa quando, depois da
assistência, o funcionário retorna para a mesma função; Readaptativa quando, após a
assistência, o funcionário vai para outra função.
Os principais benefícios concedidos pela Previdência Social, através do INSS quando da
ocorrência de acidentes do trabalho são: (Regulamento dos “Benefícios da Previdência Social”
aprovado pelo decreto no. 2.172, de 05/03/97)
Reabilitação Profissional: Serviço que o INSS coloca à disposição de seus segurados,
inclusive aposentados e dependentes. Tem como objetivo proporcionar aos segurados e
dependentes incapacitados (parcial ou totalmente), os meios indicados para a
(re)educação e (re)adaptação profissional e social, de modo que possam voltar a participar
do mercado de trabalho. O atendimento é feito por uma equipe multidisciplinar, que
envolve médicos, assistentes sociais, psicólogos, sociólogos, fisioterapeutas, entre outros.
O serviço é extensivo aos dependentes, de acordo com as disponibilidades técnico-
financeiras do INSS.
Auxílio-doença: Beneficio previdenciário devido ao segurado que ficar temporariamente
incapacitado para o seu trabalho ou atividade habitual por mais de 15 dias consecutivos. A
empresa paga os primeiros 15 dias de afastamento. O INSS paga a partir do 16° dia de
afastamento. O valor do auxílio doença acidentário corresponde a 91% do salário de
benefício.
O auxílio-doença deixa de ser pago:
quando o segurado recupera a capacidade para o trabalho;
quando este benefício se transformar em aposentadoria por invalidez;
quando o segurado solicita e tem a concordância da perícia do INSS;
quando o segurado volta voluntariamente ao trabalho.
OBS.: Não são devidas as prestações relativas ao acidente do trabalho:
ao empregado doméstico;
ao contribuinte individual;
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ao facultativo.
Auxílio-acidente: benefício que é concedido, como indenização, ao segurado empregado,
trabalhador avulso, segurado especial e ao médico residente que estiver recebendo
auxílio-doença, quando a consolidação das lesões decorrentes de acidente de trabalho
resultarem em sequela definitiva que implique reduçãoda capacidade para o trabalho
e/ou impossibilite o desempenho da atividade exercida na época do acidente. O auxílio-
acidente será devido a partir do dia imediato ao da cessação do auxílio-doença. O seu valor
corresponde a 50% do salário de benefício que deu origem ao auxílio doença do segurado,
corrigido até o mês anterior ao do início do auxílio acidente e será devido até a véspera de
início de qualquer aposentadoria ou até a data do óbito do segurado.
Aposentadoria por invalidez: É o benefício a que tem direito o segurado que, estando ou
não recebendo auxílio-doença, for considerado incapaz para o trabalho e não sujeito à
reabilitação para o exercício de atividade que lhe garanta a subsistência. Não é concedida
aposentadoria por invalidez ao segurado que, ao filiar-se ao Regime Geral de Previdência
Social, já era portador da doença ou da lesão que geraria o benefício, salvo quando a
incapacidade decorreu de progressão ou agravamento dessa doença ou lesão.
A aposentadoria por invalidez começa a ser paga:
A contar do dia imediato ao da cessação do auxílio-doença, caso o segurado o esteja
recebendo.
Para o segurado que não recebe auxílio-doença:
para o segurado empregado a partir do 16º dia de afastamento da atividade ou a partir da
data da entrada do requerimento, se entre o afastamento e a entrada do requerimento
decorrerem mais de 30 dias.
para os demais segurados a partir da data do início da incapacidade ou;
a partir da data da entrada do requerimento, quando requerido após o 30º dia do
afastamento da atividade.
A aposentadoria por invalidez deixa de ser paga:
quando o segurado recupera a capacidade para o trabalho;
quando o segurado volta voluntariamente ao trabalho;
quando o segurado solicita e tem a concordância da perícia médica do INSS.
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O valor da aposentadoria por invalidez é 100% do salário de benefício, caso o segurado não
estivesse recebendo auxílio-doença. Se o segurado necessitar de assistência permanente de
outra pessoa, a critério da perícia médica, o valor será aumentado em 25% a partir da data de
sua solicitação.
Aposentadoria especial - É o benefício a que tem direito o segurado, que tiver trabalhado
durante 15, 20 ou 25 anos, conforme o caso, sujeito a condições especiais que
prejudiquem a sua saúde ou integridade física. O segurado deverá comprovar, além do
tempo de trabalho, efetiva exposição aos agentes nocivos químicos, físicos, biológicos ou
associação de agentes prejudiciais a saúde ou integridade física, pelo período equivalente
ao exigido para a concessão do benefício.
Considera-se tempo de trabalho, os períodos correspondentes ao exercício de atividade
permanente e habitual (não ocasional nem intermitente), durante toda a jornada de trabalho.
A comprovação da efetiva exposição do segurado aos agentes nocivos será feita em formulário
próprio do INSS, preenchido pela empresa ou seu preposto com base em laudo técnico de
condições ambientais de trabalho, expedido por médico do trabalho ou engenheiro de
segurança do trabalho, nos termos da legislação trabalhista.
O INSS exige carência para este benefício:
180 contribuições mensais para o segurado inscrito a partir de 25.07.91;
Os inscritos até 24.07.91 devem obedecer a uma tabela progressiva de carência.
A aposentadoria especial começa a ser paga:
Para o segurado empregado:
a partir da data do desligamento do emprego, quando requerida até 90 dias após o
desligamento.
a partir da data da entrada do requerimento, quando não houver desligamento do
emprego ou quando for requerida após 90 dias do desligamento.
Para o trabalhador avulso:
a partir da data da entrada do requerimento.
O valor da aposentadoria especial é 100% do salário de benefício. O aposentado por tempo de
contribuição, especial ou idade pelo Regime Geral de Previdência Social que permanecer ou
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retornar à atividade sujeita a este regime, não fará jus a prestação alguma da Previdência
Social em decorrência do exercício dessa atividade, exceto ao salário família, salário
maternidade e à reabilitação profissional.
Pensão por morte: É o benefício a que têm direito os dependentes do segurado que
falecer.
Há três classes de dependentes:
Classe I: o cônjuge, a companheira, o companheiro e o filho não emancipado, de qualquer
condição, menor de 21 anos ou inválido;
Classe II: os pais;
Classe III: o irmão, não emancipado, de qualquer condição, menor de 21 anos ou inválido.
Observações: Por determinação judicial proferida em Ação Civil Pública também fará jus a
pensão por morte quando requerida por companheiro ou companheira homossexual.
A condição de invalidez do dependente maior de 21 anos deverá ser atestada pela perícia do
INSS. Enteados e tutelados equiparam-se a filhos. Havendo dependentes de uma classe, os
dependentes da classe seguinte perdem o direito à pensão por morte. Também perde o direito
ao benefício o dependente que passar à condição de emancipado.
A pensão por morte começa a ser paga:
a partir da data do óbito do segurado, se requerida até 30 dias do falecimento;
a partir da data do requerimento, se requerida após 30 dias do falecimento;
a partir da data da decisão judicial, quando se tratar de morte presumida.
A pensão por morte deixa de ser paga:
Pelo falecimento do pensionista;
Pela extinção da cota do último pensionista;
Se quem recebe a pensão é o filho ou o irmão, o benefício deixa de ser pago quando esse
dependente se torna emancipado, ou completa 21 anos (a menos que seja inválido);
Se quem recebe a pensão é inválido, o benefício deixa de ser pago cessar a invalidez.
O valor da pensão por morte corresponde a 100% do valor da aposentadoria que o segurado
recebia quando faleceu ou 100% da aposentadoria por invalidez a que teria direito na data do
óbito.
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Todos os benefícios baseiam-se no salário-beneficio (SB) que é igual:
à média aritmética simples dos 80% maiores salários de contribuição, corrigidos
monetariamente, a partir do mês 07/94 - para os inscritos até 28/11/99
à média aritmética simples dos maiores salários de contribuição correspondentes a 80% de
todo o período contributivo - para os inscritos a partir de 29/11/99
Observação: O trabalhador que sofrer acidente de trabalho tem garantia da manutenção do
contrato de trabalho até 12 meses após a cessação do acidente do trabalho.
2.3.1.1 – A DOENÇA E O ACIDENTE DO TRABALHO NO CONTRATO DE
EXPERIÊNCIA E NO AVISO PRÉVIO
Se, durante o contrato de experiência o empregado adoecer, a empresa pagará os primeiros
15 dias e ele entrará em auxílio-doença no INSS, do qual não sairá antes de vencidos os 90 dias
do contrato.
Se, a doença se aparecer no 80° dia do contrato, a empresa deverá pagar apenas os 10 dias
que faltam para o contrato terminar. O doente desempregado deverá passar a receber, de
imediato, o auxílio-doença.
De acordo com o Pleno do Tribunal Superior do Trabalho “O contrato por prazo determinado
não tem seu termo prorrogado em virtude de licença médica do empregado, salvo se houver
prévia estipulação das partes contratantes” (AC-TP 1975/85, DOU de 8/11/85).
Se, o empregado adoecer ou se acidentar no 20º dia do aviso prévio, a empresa deverá pagar-
lhe os 10 dias restantes e o contrato ficará rescindido. O INSS deverá, de imediato, conceder-
lhe o auxílio-doença. Porém, se a doença se apresentarno 10° dia do aviso prévio, a empresa
pagará os primeiros 15 dias e o empregado entrará em auxílio-doença. No trigésimo dia do
aviso prévio o contrato estará rescindido de acordo com o artigo 489 da CLT.
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RISCOS AMBIENTAIS
Como visto no capítulo anterior, os riscos de operação, como por exemplo, máquinas
desprotegidas, pisos escorregadios e empilhamentos precários são chamados de condições
inseguras.
As condições inseguras relativas ao ambiente de trabalho, como por exemplo, a presença de
vapores tóxicos no processo de trabalho, o calor intenso ou o frio excessivo, são chamados de
riscos ambientais. Assim, definimos:
Estes riscos podem afetar o trabalhador de imediato ou a longo prazo, provocando acidentes
com lesões ou doenças do trabalho. A ocorrência das doenças do trabalho dependerá sempre
da ação simultânea de fatores relativos ao agente ambiental, à atividade profissional e a
susceptibilidade do indivíduo ao agente ambiental. Por causa disto, estes três fatores deverão
ser sempre estudados em conjunto para uma análise real do risco que os agentes ambientais
oferecem à saúde dos trabalhadores.
A legislação obriga que os riscos ambientais sejam eliminados ou minimizados em sua
intensidade ou exposição e assegura aos trabalhadores a percepção de adicionais por
insalubridade de até 40% sobre o salário mínimo sempre que a concentração, a intensidade ou
a exposição aos agentes nocivos exceder os limites de tolerância determinados na NR-15-
Atividades e Operações Insalubres.
3.1 – AGENTES AMBIENTAIS
Os fatores que originam as doenças do trabalho são chamados agentes ambientais e são
classificados, de acordo com a sua natureza e forma de atuação no organismo humano como
agentes físicos, agentes químicos, agentes biológicos, agentes ergonômicos e os riscos de
acidentes (mecânicos).
3.2 - RISCOS FÍSICOS
Os riscos físicos, causados pelos AGENTES FÍSICOS, normalmente estão relacionados com os
equipamentos utilizados no processo produtivo. São
RISCOS AMBIENTAIS são os riscos existentes nos ambientes de trabalho capazes de causar
danos à saúde do trabalhador em função de sua natureza, concentração ou intensidade e
tempo de exposição.
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São eles: os ruídos, as vibrações mecânicas, as radiações ionizantes e as não ionizantes, o frio
ou o calor extremo, as pressões anormais e a umidade.
3.2.1 - O Ruído
Embora seja o risco profissional mais freqüente na indústria, nem sempre recebe a atenção
que merece. O ruído produz redução da capacidade auditiva do trabalhador e sua exposição
intensa e prolongada atua desfavoravelmente sobre o estado emocional do indivíduo.
3.2.2 - As Vibrações Mecânicas
De relativa freqüência na indústria, a vibração mecânica é subdividida em duas categorias:
vibrações localizadas e vibrações de corpo inteiro. As vibrações localizadas são características
de operações com ferramentas manuais elétricas ou pneumáticas e podem produzir, a longo
prazo, alterações neuro-vasculares nas mãos dos trabalhadores, problemas nas articulações
das mãos e braços além da osteoporose (perda da substância óssea).
As vibrações de corpo inteiro, a que estão sujeitos os operadores de grandes máquinas e
motoristas de caminhões e tratores, podem produzir problemas na coluna vertebral, dores
lombares, além de haver suspeita de causarem lesões nos rins.
3.2.3 - As Radiações ionizantes e não-ionizantes
As radiações são chamadas ionizantes porque produzem, nos materiais sobre os quais incidem,
a subdivisão de partículas inicialmente neutras em partículas eletricamente carregadas. São
provenientes de materiais radioativos como os raios Alfa, Beta e Gama ou são produzidas
artificialmente em equipamentos como o de raios X. A sua manipulação deve obedecer a
rigorosas normas de segurança e de proteção individual.
Os raios Alfa e Beta possuem menor poder de penetração nos organismos e oferecem menor
risco; mas os raios X e Gama, de natureza eletromagnética, possuem alto poder de penetração
e podem causar a anemia, a leucemia, o câncer e outras alterações genéticas que podem
comprometer fisicamente gerações futuras.
As radiações não-ionizantes são as de natureza eletromagnética e os seus efeitos dependem
de fatores como a duração, a intensidade de exposição, o comprimento de onda, etc.
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Como exemplo temos:
Radiação infravermelha, ou calor radiante. É encontrada em siderúrgicas, metalúrgicas, na
fabricação do vidro e em trabalhos ao ar livre onde os operários ficam expostos à radiação
solar. Além da sobrecarga térmica imposta ao trabalhador pode causar queimaduras e
catarata.
A radiação ultravioleta é encontrada em operações com solda elétrica, fusão de metais e
no controle de qualidade de peças com lâmpadas especiais. Além de estar relacionada ao
câncer de pele, pode causar queimaduras, eritema e conjuntivite.
A radiação laser é utilizada largamente na indústria, nos trabalhos topográficos e
geodésicos, na medicina e nas telecomunicações. Os principais efeitos são as queimaduras
na pele e nos olhos que variam de gravidade de acordo com a intensidade e a duração da
exposição.
As micro-ondas são produzidas em instalações de radio transmissão e de radar e utilizadas
em telecomunicações, alguns processos de secagem de materiais. De acordo com a
intensidade das estações de transmissão ou com a energia liberada nos processos de
secagem, os operadores podem estar sujeitos à catarata, ao superaquecimento dos órgãos
internos, hipertensão, alterações no sistema nervoso central, aumento da atividade da
glândula tireoide, etc.
3.2.4 - Temperaturas extremas
São as condições térmicas rigorosas em que são realizadas diversas atividades profissionais.
O calor extremo é responsável por uma série de problemas que afetam a saúde e o
rendimento do trabalhador como a intermação ou insolação, a prostração térmica, a
desidratação e as câimbras de calor.
O frio intenso pode provocar o enregelamento dos membros, a hipotermia (queda da
temperatura do núcleo do corpo) além de lesões na epiderme do trabalhador, conhecidas
como ulcerações de frio.
3.2.5 - Pressões Anormais
Encontradas em trabalhos submersos ou realizados abaixo do nível do lençol freático. Dos
problemas que mais comumente afetam os trabalhadores sujeitos a pressões elevadas, está a
embolia. As principais medidas de controle aos riscos físicos são os Equipamentos de Proteção
Coletiva (EPC’s) e Individual (EPI’s) a sinalização eficiente.
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3.3 - RISCOS QUÍMICOS
Os riscos químicos são causados por AGENTES QUÍMICOS, encontrados nas formas sólida,
líquida ou gasosa e que penetram no corpo humano por três vias básicas: a via respiratória, a
cutânea e a digestória.
O grau de toxidade de um agente químico vai depender do seu estado físico, da sua
solubilidade, do seu PH e da via de penetração no organismo. Algumas substâncias são
inflamáveis ou apresentam risco de explosão quando em determinada proporção no ar
atmosférico, ameaçando a integridade física do trabalhador.
Quanto ao seu estado físico, os agentes químicos podem ser:
Sólidos, como as poeiras, de origem mineral (a de sílica produz asilicose), vegetal (a fibra
de algodão produz a bissinose) ou animal, como as provenientes do pelo ou do couro de
animais.
Os agentes em estado líquido, constituídos por ácidos e solventes. Podem causar danos ao
sistema respiratório quando em suspensão no ar, além de queimaduras e irritações
quando em contato com a pele.
A maioria das exposições aos agentes químicos na indústria se dá quando estes se
encontram na forma gasosa. Os agentes mais comuns são o dióxido de enxofre, os óxidos
de nitrogênio, o monóxido de carbono e os vapores de solventes. De efeitos bastante
diversos, chegam a causar a morte, mesmo em pequenas concentrações, como no caso do
ácido cianídrico.
Quando em suspensão ou dispersão no ar, são chamados de contaminantes atmosféricos e são
classificados em:
Aerodispersóides, como são chamadas as poeiras, os fumos, as fumaças, as névoas e as
neblinas;
Gases;
Vapores.
Segundo a reação causada no organismo humano podemos dividir, a grosso modo, os
contaminantes atmosféricos em:
1) Irritantes, os que têm a propriedade de produzir inflamação nos tecidos com os quais
entram em contato (amônia, ácido sulfídrico e cloro);
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2) Anestésicos, que apresentam ação depressiva no sistema nervoso central (acetona,
éteres e álcoois);
3) Asfixiantes, que podem provocar asfixia por reduzir a concentração de oxigênio no ar
ou por interferir no processo de absorção de oxigênio no sangue ou tecidos (Metano,
Hélio, Cianuretos, Hidrogênio e Nitrogênio);
4) Intoxicantes Sistêmicos, que tanto causam as lesões agudas como as crônicas:
a. podem causar lesões nos órgãos (tetracloreto de carbono e cloreto de vinila),
b. lesões no sistema formador do sangue (benzeno, tolueno e xileno),
c. lesões no sistema nervoso (álcoois metílico e etílico);
5) Compostos tóxicos inorgânicos, que são sais de não metais (cianureto de sódio ou de
potássio, compostos de arsênico, e fluoretos) e metais tóxicos, que podem produzir
dermatoses, alterações no sistema nervoso central, câncer, além de intoxicações
graves (chumbo, mercúrio, cádmio, manganês, cromo, etc).
6) Material particulado, que são as poeiras, fumos e névoas que não foram classificadas
como contaminantes sistêmicos. Podem ser classificadas como:
a. Poeiras produtoras de fibroses, que causam endurecimento e perda de
flexibilidade dos tecidos pulmonares como a poeira de sílica, que causa a
silicose, e a poeira de amianto, causadora de asbestose.
b. Poeiras inertes, as que ficam retidas nos pulmões e só apresentam problemas
quando presentes em grandes concentrações, como a dos sais complexos de
alumínio e a do carvão.
c. Partículas alergizantes e irritantes, podem atuar na pele, como a poeira da
caviúna, de partículas de óleo de castanha de caju, de cromatos, etc., ou no
sistema respiratório como pólens, e as poeiras das sementes de mamona.
Como principais medidas de controle temos a mudança de processo, a mudança de matérias-
primas, o enclausuramento do processo, a ventilação local adequada, os exames médicos
frequentes, os Equipamentos de Proteção Coletiva e Individual e a sinalização eficiente.
3.4 - RISCOS BIOLÓGICOS
Causadores dos riscos biológicos, os AGENTES BIOLÓGICOS são microrganismos invisíveis a
olho nu que podem estar presentes na atmosfera do ambiente de trabalho ou podem ser
transmitidos por outros seres vivos. Provocam doenças, mau cheiro, deterioração de
alimentos, etc.
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São eles os Vírus, as Bactérias, os Protozoários, os Fungos, os Parasitas e os Bacilos.
Entre as doenças profissionais causadas por agentes biológicos estão a tuberculose, a
brucelose, o tétano, a malária, a febre tifoide, a febre amarela e o carbúnculo.
As medidas de controle mais comuns nos ambientes onde há o risco biológico são a vacinação;
a esterilização; o confinamento do processo; a rigorosa higiene pessoal, das roupas e dos
ambientes de trabalho; os Equipamentos de Proteção Coletiva; a ventilação adequada e o
controle médico permanente.
3.5 - RISCOS ERGONÔMICOS
Os RISCOS ERGONÔMICOS são aqueles relacionados a fatores fisiológicos e psicológicos.
Dentre eles destacamos o esforço físico intenso; o levantamento e o transporte manual de
cargas; a necessidade de posturas inadequadas; a atenção, a preocupação e a
responsabilidade; os controles rígidos de produtividade; os ritmos excessivos de trabalho; os
trabalhos em turnos e os noturnos; as jornadas de trabalho prolongadas; a monotonia; a
repetitividade além de outras situações causadoras de fadiga física e/ou psíquica.
Das medidas de controle no caso dos riscos ergonômicos citamos a conscientização dos riscos,
o projeto de máquinas e equipamentos perfeitamente adaptados ao operário, o treinamento
adequado, a assistência médico psicológica do empregado, a adoção de ritmos e posições
adequadas de trabalho, as pausas durante a jornada de trabalho, etc.
3.6 - RISCOS DE ACIDENTES
Os RISCOS DE ACIDENTES (mecânicos) estão relacionados aos equipamentos utilizados e às
condições físicas do local de trabalho, como por exemplo:
Arranjo físico inadequado,
A eletricidade,
Probabilidade de incêndio ou explosão,
Armazenamento inadequado,
Sinalização inadequada ou deficiente,
Animais peçonhentos e outras situações de risco que poderão contribuir para a ocorrência
de acidentes.
Para controlar os riscos de acidentes devemos estudar arranjos físicos mais adequados, utilizar
Equipamentos de Proteção Coletiva, só utilizar ferramentas na função para a qual elas foram
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projetadas e eliminá-las quando defeituosas, determinar os níveis ideais de iluminamento de
cada ambiente de trabalho, treinar o pessoal no combate aos princípios de incêndio, além de
manter uma sinalização de segurança eficiente.
4.5 – PPRA - PROGRAMA DE PREVENÇÃO DE RISCOS AMBIENTAIS
A NR-09 obriga a elaboração do Programa de Prevenção de Riscos Ambientais – PPRA, através
da antecipação do reconhecimento, da avaliação e do controle da ocorrência de riscos
ambientais existentes, ou que venham a existir, no ambiente de trabalho, considerando a
proteção do meio ambiente e dos recursos naturais.
O PPRA é desenvolvido sob a responsabilidade do empregador, com a participação dos
trabalhadores e sua profundidade depende das características dos riscos e das necessidades
de controle.
A NR-09 considera riscos ambientais os agentes físicos, químicos e biológicos, existentes nos
ambientes de trabalho, que causam danos à saúde do trabalhador. Consideram-se agentes
físicos as formas de energia a que possam estar expostos os trabalhadores, como vibrações,
pressões anormais, temperaturas extremas, ruído, radiações ionizantes e não ionizantes, infra-
som e ultra-som.
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Consideram-se agentes químicos as substâncias, compostos ou produtos que penetram no
organismo pela via respiratória, nas formas de poeiras, fumos, névoas, neblinas, gases ou
vapores, ou que sejam absorvidos através da pele ou por ingestão.
Consideram-se agentes biológicos as bactérias, fungos, bacilos, parasitas, protozoários, vírus,
entre outros. O PPRA deve conter a seguinte estrutura:
a) planejamento anual com metas, prioridades e cronograma indicando os prazos para
desenvolvimento das etapas e cumprimento das suas metas;
b) estratégia e metodologiade ação;
c) forma de registro, manutenção e divulgação dos dados;
d) periodicidade e forma de avaliação do seu desenvolvimento.
Deve ser efetuada, pelo menos uma vez ao ano, uma análise global do PPRA para avaliação do
desenvolvimento e estabelecimento de novas metas e prioridades.
O PPRA deve estar descrito num documento-base, cujas alterações e complementações são
discutidas na CIPA. O PPRA inclui as seguintes etapas:
a) antecipação e reconhecimento dos riscos;
b) estabelecimento de prioridades e metas de avaliação e controle;
c) avaliação dos riscos e da exposição dos trabalhadores;
d) implantação de medidas de controle e avaliação de sua eficácia;
e) monitoramento da exposição aos riscos;
f) registro e divulgação dos dados.
A elaboração, implementação, acompanhamento e avaliação do PPRA são feitas pelo SESMT
ou por pessoa ou equipe de pessoas capazes de desenvolver o disposto na NR-09. A
antecipação envolve a análise dos métodos de trabalho das instalações novas ou da
modificação dos existentes, identificando os riscos e introduzindo medidas para sua
eliminação.
O reconhecimento dos riscos ambientais consta de:
a) sua identificação;
b) determinação e localização das fontes geradoras;
c) identificação das trajetórias e dos meios de propagação dos agentes no ambiente de
trabalho;
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d) identificação das funções e do número de trabalhadores expostos;
e) caracterização das atividades e do tipo de exposição;
f) obtenção de dados existentes na empresa, que indicam comprometimento da saúde
decorrente do trabalho;
g) danos à saúde relacionados aos riscos identificados, disponíveis na literatura técnica;
h) descrição das medidas de controle existentes.
A avaliação quantitativa é realizada para:
a) comprovar o controle da exposição ou a inexistência dos riscos identificados na etapa
de reconhecimento;
b) dimensionar a exposição dos trabalhadores;
c) subsidiar o equacionamento das medidas de controle.
São adotadas medidas para a eliminação ou a minimização dos riscos ambientais sempre que
verificadas uma das seguintes situações:
a) identificação, na fase de antecipação, de risco potencial à saúde;
b) constatação, na fase de reconhecimento, de risco evidente à saúde
c) quando os resultados das avaliações quantitativas excedem os valores previstos na NR-
15 ou, na ausência destes, os valores de exposição adotados pela American
Conference of Governmental Industrial Higyenists, ou aqueles que forem
estabelecidos, desde que mais rigorosos;
d) quando fica caracterizado o nexo causal entre danos à saúde dos trabalhadores e o
trabalho desenvolvido.
O estudo, desenvolvimento e implantação de medidas de proteção coletiva obedece à
seguinte hierarquia:
a) medidas que eliminam ou reduzem a formação de agentes prejudiciais à saúde;
b) medidas que previnem a liberação desses agentes no ambiente;
c) medidas que reduzem a concentração desses agentes no ambiente.
A implantação de medidas de caráter coletivo deve ser acompanhada do treinamento dos
trabalhadores quanto aos procedimentos que asseguram a sua eficiência e de informação
sobre as limitações de proteção que oferecem. Quando comprovada a inviabilidade técnica da
adoção de medidas de proteção coletiva, ou quando estas não forem suficientes ou
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encontrarem-se em fase de estudo, planejamento ou implantação, ou ainda em caráter
complementar ou emergencial, devem ser adotadas outras medidas, obedecendo à seguinte
hierarquia:
a) medidas de caráter administrativo ou de organização do trabalho;
b) utilização de equipamento de proteção individual - EPI.
A utilização de EPI deve considerar as Normas Legais em vigor e envolver:
a) seleção de EPI adequado ao risco e à atividade exercida, considerando a eficiência e o
conforto oferecido, segundo avaliação do usuário;
b) treinamento dos trabalhadores quanto à utilização e às limitações de proteção do EPI;
c) estabelecimento de normas para o fornecimento, o uso, a guarda, a higienização, a
conservação, a manutenção e a reposição do EPI;
d) caracterização das atividades dos trabalhadores, com a identificação dos EPI's
utilizados para os riscos ambientais.
O PPRA estabelece critérios de avaliação da eficácia das medidas de proteção implantadas
considerando os dados obtidos nas avaliações realizadas e no PCMSO.
O empregador deve manter um registro de dados, de forma a constituir um histórico técnico e
administrativo do desenvolvimento do PPRA. Esses dados devem ser mantidos por um período
de 20 anos e estar sempre disponíveis aos trabalhadores ou seus representantes e às
autoridades competentes. É responsabilidade do empregador estabelecer, implementar e
assegurar o cumprimento do PPRA como atividade permanente da empresa.
É responsabilidade dos trabalhadores:
a) colaborar e participar na implantação e execução do PPRA;
b) seguir as orientações recebidas nos treinamentos do PPRA;
c) informar ao seu superior ocorrências que impliquem riscos à saúde.
Os trabalhadores têm o direito de apresentar propostas e receber informações que assegurem
proteção aos riscos ambientais identificados pelo PPRA.
Os empregadores devem informar aos trabalhadores dos riscos ambientais que possam
originar nos locais de trabalho e dos meios para preveni-los ou protegerem-se dos mesmos.
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Quando vários empregadores realizam simultaneamente atividades no mesmo local de
trabalho devem executar ações integradas para aplicar as medidas previstas no PPRA visando a
proteção de todos os trabalhadores expostos aos riscos ambientais gerados.
O conhecimento que os trabalhadores têm dos processos de trabalho e dos riscos ambientais
presentes devem ser considerados, assim como o Mapa de Riscos, na execução do PPRA.
O empregador deve garantir que, na ocorrência de riscos ambientais que coloquem em
situação de risco um ou mais trabalhadores, os mesmos possam interromper imediatamente
as suas atividades, comunicando o fato ao seu superior para as providências.
4.6 - INSPEÇÃO DE SEGURANÇA
Tipicamente preventiva, a inspeção de segurança é uma forma antiga e bastante eficaz de se
evitar acidentes. Ela possibilita a determinação dos riscos e de seus meios preventivos antes da
ocorrência dos acidentes, para podermos propor medidas que impeçam a ação desses riscos.
De acordo com a frequência, as inspeções podem ser:
a) Rotineiras, quando estabelecidas por normas de segurança ou por procedimentos de
trabalho. Ex.: Cordas, escadas, ferramentas manuais.
b) Periódicas, quando efetuadas, conforme prévia programação, em intervalos regulares.
Podem ser diárias, anuais, quinzenais, etc. Visam apontar riscos previstos que possam
surgir de quando em quando devido a desgastes, exposição, etc. Ex.: Extintores,
caldeiras, elevadores.
c) Eventuais quando caracterizadas por ato espontâneo, não planejado. Não têm dia
certo ou período estabelecido. Devem ser feitas em conjunto com o pessoal do SESMT.
Para impedir as situações de risco e as condições inseguras encontradas pelas inspeções de
segurança, elaboramos um Relatório de Inspeção. Neste relatório, que deve ser conciso, são
anotadas as condições inseguras e são abordados os pontos principais da inspeção: condições
de meio-ambiente, equipamentos de combate a incêndios, EPI’s, EPC’s, máquinas,
ferramentas, equipamentos, veículos, etc. O relatório aponta com clareza o tipo de risco a sercorrigido. Riscos susceptíveis de correção imediata assim como os que implicam em perigo
imediato devem ser resolvidos no ato da inspeção.
Nunca deverá ser arquivado um Relatório de Inspeção que contenha recomendações ou
medidas pendentes de execução.
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4.7 - INVESTIGAÇÃO DE ACIDENTES
A CIPA tem como uma das mais importantes atribuições a de investigar os acidentes para que
eles não se repitam. Uma investigação de acidentes bem feita tem grande importância na
prevenção de acidentes futuros.
Para essa investigação os membros da CIPA devem estar aptos a apurar o que teria ocorrido
para provocar o acidente. A experiência dos membros do SESMT, bem como a de todos os
trabalhadores da empresa, ajudará, com certeza, a descobrir a melhor medida de controle a
ser adotada.
Quanto maior a quantidade das fontes de informação e pesquisa, melhor será o resultado da
investigação. Para isso as empresas devem manter arquivos de dados estatísticos sobre
segurança do trabalho para que todos tenham acesso às informações.
Quando investigamos um acidente devemos seguir algumas diretrizes: investigar o acidente
imediatamente após a sua ocorrência; obter os fatos; registrar o ocorrido em relatório,
analisar os fatos sem preconceitos, propor medidas para que o fato não se repita.
Para encontrar as causas dos acidentes devemos analisá-los com as seguintes perguntas: “o
que?”, “porque?”, “quando?”, “onde?”, “com quem?”, “como?” o acidente ocorreu e para isso
necessitamos saber: nome do acidentado; idade; ocupação; seção em que trabalha; descrição
do acidente; parte do corpo atingida.
Durante a investigação são apurados os fatores básicos: o agente da lesão, fatores pessoais, o
tipo de acidente, as condições inseguras e os atos inseguros.
Os agentes da lesão são as máquinas, peças ou materiais em processo, os produtos químicos, a
eletricidade, os pisos, as escadas, as ferramentas, etc. Os tipos de acidente são as batidas
contra, as batidas por, a queda de objetos ou de pessoas, os contatos com temperaturas
extremas ou com a eletricidade, a prensagem entre objetos, etc.
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COLETIVA e INDIVIDUAL
5.1 – DEFINIÇÃO
É importante observar que o E.P.I. não evita o acidente, mas impede ou atenua uma lesão
sofrida pelo trabalhador como consequência de um acidente.
O E.P.I. adequado ao risco e em perfeito estado de conservação e funcionamento, deve ser
fornecido pela empresa aos empregados, gratuitamente, nas seguintes circunstâncias:
a) sempre que as medidas de proteção coletiva forem tecnicamente inviáveis ou não
oferecerem completa proteção contra os riscos de acidentes do trabalho e/ou de
doenças profissionais e do trabalho;
b) enquanto as medidas de proteção coletiva estiverem sendo implantadas;
c) para atender às situações de emergência.
As recomendações ao empregador, quanto ao E.P.I. adequado ao risco existente em
determinada atividade, são de competência do SESMT ou da CIPA, caso a empresa esteja
desobrigada de manter o SESMT. Nas empresas desobrigadas de manterem CIPA, cabe ao
empregador, mediante orientação técnica, fornecer e determinar o E.P.I. adequado.
O E.P.I., de fabricação nacional ou estrangeira, só poderá ser colocado à venda, comercializado
ou utilizado, quando possuir Certificado de Aprovação – CA, expedido pelo Ministério do
Trabalho e da Administração – MTA. O fabricante é responsável pela manutenção da mesma
qualidade do E.P.I.- padrão que deu origem ao CA.
5.2 - EXIGÊNCIAS LEGAIS FEITAS À EMPRESA E AO EMPREGADO
Obriga-se a Empresa, quanto ao E.P.I., a:
a) adquirir o tipo adequado à atividade do empregado. Conforme estipulado na NR-06,
Equipamento de Proteção Individual é todo o dispositivo de uso individual, de
fabricação nacional ou estrangeira, destinado a proteger a saúde e a integridade física
do trabalhador.
b) fornecer ao empregado somente E.P.I. aprovado pelo MTA e de fabricantes
cadastrados no DNSST/MTA;
c) treinar o trabalhador sobre seu uso adequado;
d) tornar obrigatório o seu uso;
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e) substituí-lo, imediatamente, quando danificado ou extraviado;
f) responsabilizar-se pela sua higienização e manutenção periódicas;
g) comunicar ao MTA qualquer irregularidade observada no E.P.I..
Obriga-se o empregado, quanto ao E.P.I., a:
a) usá-lo apenas para a finalidade a que se destina;
b) responsabilizar-se por sua guarda e conservação;
c) comunicar ao empregador qualquer alteração que o torne impróprio para o uso.
5.3 - RELAÇÃO DOS E.P.I.s MAIS COMUNS E SUA UTILIZAÇÃO
5.3.1 - PROTEÇÃO PARA A CABEÇA
a) Protetores faciais destinados à proteção dos olhos e da face contra lesões ocasionadas
por partículas, respingos, vapores de produtos químicos e radiações luminosas
intensas;
b) Óculos de segurança para trabalhos em que haja o risco de ferimentos nos olhos,
provenientes de: impacto de partículas; respingos de líquidos agressivos e metais em
fusão; irritação por poeiras ou pela ação de radiações perigosas;
c) Máscaras para soldadores nos trabalhos de soldagem e corte ao arco elétrico;
d) Capacetes de segurança para proteção do crânio nos trabalhos sujeitos a: agentes
meteorológicos; impactos provenientes de quedas ou projeção de objetos;
queimaduras ou choque elétrico.
Óculos de Segurança, Protetores Faciais e Capacete de Segurança
5.3.2 - PROTEÇÃO PARA OS MEMBROS SUPERIORES
Luvas e/ou mangas de proteção e/ou cremes protetores devem ser usados em trabalhos onde
haja perigo de lesão provocada por: materiais ou objetos escoriantes, abrasivos, cortantes ou
perfurantes; produtos químicos corrosivos, cáusticos, tóxicos, alergênicos, oleosos, graxos,
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solventes orgânicos e derivados de petróleo; materiais ou objetos aquecidos; choque elétrico;
radiações perigosas; frio e agentes biológicos.
5.3.3 - PROTEÇÃO PARA OS MEMBROS INFERIORES
calçados de proteção contra riscos de origem mecânica; impermeáveis, para trabalhos em
locais úmidos, lamacentos ou encharcados; resistentes a agentes químicos agressivos;
contra riscos de origem térmica; contra radiações perigosas; contra agentes biológicos;
contra riscos de origem elétrica;
perneiras de proteção contra riscos de origem mecânica; contra riscos de origem térmica;
contra radiações perigosas;
A NR-06 determina ainda que todo o empregado deve trabalhar calçado, ficando proibido o
uso de tamancos ou chinelos. As sandálias só serão utilizadas, em casos especiais, quando a
autoridade do MTE permitir-lhes o uso e se comprovado que, pela atividade desenvolvida, não
oferecem riscos à integridade física do trabalhador.
5.3.4 - PROTEÇÃO CONTRA QUEDAS COM DIFERENÇA DE NÍVEL
a) Cintos de segurança para trabalhos realizados em altura superior a 2 (dois) metros,
onde haja risco de queda;
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b) Trava-quedas de segurança acoplado ao cinto de segurança ligado a um cabo de
segurança independente, para trabalhos realizados com movimentação vertical em
andaimes suspensos de qualquer tipo.
c) Cadeiras suspensas para trabalhos em alturas em que haja necessidade de
deslocamento vertical, quando a natureza do trabalho assim o indicar;
5.3.5 - PROTEÇÃO AUDITIVA
Protetores auriculares e abafadores, paratrabalhos realizados em locais onde o nível de ruído
seja superior a 85 dB (A), para oito horas de exposição contínua. (NR-15, Anexos 1 e 2).
Protetor auricular e abafador de ruído
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5.3.6 - PROTEÇÃO RESPIRATÓRIA
Para exposições a agentes ambientais em concentrações prejudiciais à saúde do trabalhador,
de acordo com os limites estabelecidos na NR-15:
a) respiradores contra poeiras, para trabalhos que implicam na produção de poeiras;
b) máscaras para trabalhos de limpeza por abrasão, através do jateamento de areia;
c) respiradores e máscaras de filtro químico para a exposição a agentes químicos
prejudiciais à saúde;
d) aparelhos de isolamento (autônomos ou de adução de ar), para locais de trabalho
onde o teor de oxigênio seja inferior a 18% em volume.
5.3.7 - PROTEÇÃO PARA O TRONCO
Aventais, jaquetas, capas e outras vestimentas especiais de proteção para trabalhos nos quais
haja perigo de lesões provocadas por: riscos de origem térmica; riscos de origem radioativa;
riscos de origem mecânica; agentes químicos; agentes meteorológicos; umidade.
5.3.8 - PROTEÇÃO PARA O CORPO INTEIRO
Aparelhos de isolamento (autônomos ou de adução de ar) para locais de trabalho onde haja
exposição a agentes químicos absorvíveis pela pele, pelas vias respiratória e digestiva, ou
prejudiciais à saúde.
5.3.9 - PROTEÇÃO PARA A PELE
Cremes Protetores para prevenir contra riscos de agentes químicos absorvíveis pela pele.
Se você vir alguém preso num carro em chamas tente tirar a pessoa dali, desde que você
não corra perigo.
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Bibliografia
TELERJ. Primeiros Socorros. Telerj, 1974
Ribeiro Fº, Leonídio Francisco. Técnicas de Segurança do Trabalho. Cultura Editora, 1974
FINEP. Primeiros Socorros. Finep, 1979
PETROBRÁS. Primeiros Socorros. Petrobrás, 1979
PHILCO. Segurança no Trabalho. Philco, 1980
Universidade Santa Úrsula - Engenharia de Segurança do Trabalho - Conduta em Primeiros
Socorros. USU, 1982
Lima, Sérgio de Assis. Organização e Segurança no Trabalho. ETER – Mecânica, 1997
Porto, João Venceslau. Organização e Segurança no Trabalho. ETER - Informática, 1998
Ministério do Trabalho. Normas de Higiene e Segurança no Trabalho, 2003.
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Física Aplicada
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FÍSICA
Física é a ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais. O termo
vem do grego φύσις (physiké), que significa natureza. Atualmente, é dificílimo
definir qual o campo de atuação da física, pois ela aparece em diferentes campos
do conhecimento que, à primeira vista, parecem completamente
descorrelacionados.
Como ciência, faz uso do método científico. Baseia-se essencialmente na
matemática e na lógica quando da formulação de seus conceitos.
O que faz a Física
A física estuda a natureza. Entretanto, outras ciências também o fazem: a Química,
a Biologia, a Geologia, a Economia (ainda que seja a natureza humana), etc. Como
definir a área de atuação de cada uma delas? Esta é uma pergunta difícil, sem
resposta consensual. Ainda mais quando áreas interdisciplinares aparecem aos
montes: Físico-Química, Biofísica, Geofísica, Econofísica, etc.
Alguns dizem que físicos estão interessados em determinar a natureza do espaço,
do tempo, da matéria, da energia e das suas interações. Esta definição excluiria
certas áreas mais novas da física que trabalham com a biologia, por exemplo.
Outros dizem que Física é a única ciência fundamental e que estas divisões são
artificiais, ainda que tenham utilidade prática. Seu argumento é simples: a Física
descreve a dinâmica e configuração das partículas fundamentais do universo. O
universo é tudo que existe e é composto destas partículas. Então todos os
fenômenos, eventualmente abordados em outras ciências, poderiam ser explicados
em termos da física destas partículas. Seria como dizer que todos os resultados das
outras ciências podem ser derivados em bases físicas. Isso já contece com
explicações de fenômenos antes demonstrados pela Química e hoje explicados pela
Física (Veja Química Quântica). Entretanto, ainda não é muito fácil explicar a
grande maioria dos fenômenos de outros ramos da ciência, pois isto envolve
campos ainda não explorados e uma matemática muito elaborada.
Com base nisso, alguns chegam a sugerir que até mesmo o cérebro um dia poderá
ser descrito por uma equação ou um conjunto de equações matemáticas (muito
provavelmente envolvendo muitos argumentos de probabilidade).
Há os que argumentam que as divisões da ciência têm origem social e histórica e
que definições de física são forjadas para tentar reunir todas as pessoas que são
aceitas como físicos pela sociedade.
Talvez quem esteja certo seja quem acredite na máxima:
Físicos são pessoas diferentes, em lugares diferentes, fazendo coisas diferentes.
Divisões
Como outras ciências, a Física é dividida de acordo com diversos critérios. Em
primeiro lugar há uma divisão fundamental entre física teórica, física experimental
e física aplicada. (Os dois primeiros ramos se reúnem sob a denominação pesquisa
básica.)
* A física teórica procura definir novas teorias que condensem o conhecimento
advindo das experiências; também vai procurar formular as perguntas e os
experimentos que permitam expandir o conhecimento.
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* A física experimental conduz experimentos capazes de validar ou não teorias
científicas, ou mesmo corrigir aspectos defeituosos destas teorias.
* A física aplicada trata do uso das teorias físicas na vida cotidiana.
Uma outra divisão pode ser feita pela magnitude do objeto em análise. A física
quântica trata do universo do muito pequeno, dos átomos e das partículas que
compõem os átomos; a física clássica trata dos objetos que encontramos no nosso
dia-a-dia; e a física relativística trata de situações que envolvem grandes
quantidades de matéria e energia.
Mas a divisão mais tradicional é aquela feita de acordo com as propriedades mais
estudadas nos fenômenos. Daí temos a Mecânica, quando se estudam objetos a
partir de seu movimento ou ausência de movimento, e também as condições que
provocam esse movimento; a Termodinâmica, quando se estudam o (calor), o
trabalho, as propriedades das substâncias, os processos que as envolvem e as
transformações de uma forma de energia em outra; o Electromagnetismo quando
se analisam as propriedades elétricas, aquelas que existem em função do fluxo de
elétrons nos corpos; a Ondulatória, que estuda a propagação de energia pelo
espaço; a Óptica, que estuda os objetos a partir de suas impressões visuais; a
Acústica, que estuda os objetos a partir das impressões sonoras; e mais algumas
outras divisões menores.
UNIDADES DE MEDIDAS
Para melhor conhecer as grandezas que interferem num fenômeno, a Física recorre
a medidas.
Unidade de medida é uma quantidade específica de determinada grandeza física
e que serve de padrão para eventuais comparações, e que serve de padrão para
outras medidas.
Sistema internacional de unidades (SI): Por longo tempo, cada região, país
teve um sistema de medidas diferente, criando muitos problemaspara o comércio
devido à falta de padronização de tais medidas. Para resolver o problema foi criado
o Sistema Métrico Decimal que adotou inicialmente adotou três unidades básicas:
metro, litro e quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento tecnológico e científico exigiu um sistema padrão de
unidades que tivesse maior precisão nas medidas. Foi então que em 1960, foi
criado o Sistema Internacional de unidades(SI). Hoje, o SI é o sistema de medidas
mais utilizado em todo o mundo.
Existem sete unidades básicas do SI que estão na tabela abaixo:
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma q
Tempo segundo s
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Corrente Elétrica Ampère A
Temperatura kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
Segue abaixo as grandezas Físicas e suas unidades no sistema internacional. São
grandezas cujas unidades são derivadas das unidades básicas do SI.
Grandeza Unidade Símbolo
Unidade
sintética
UnidadesBásicas
Área — m² — —
Volume — m³ — —
Densidade — Kg/m³ — —
Concentração — mol/m³ — —
Aceleração — m/s² — —
Campo magnético — A/m — —
Velocidade — m² — —
Velocidade angular — Rad/s Hz 1/s
Aceleração angular — Rad/s² Hz² 1/s²
Calor específico — J/kg.K N.m/K.Kg m²/(s².K)
Condutividade térmica — W/m.K J/s.m.K Kg.m/
Momento de Força — N/m — Kg.m²/s²
Força Newton N — Kg.m/s²
Freqüência Hertz Hz — 1
Ângulo radiano rad m/m 1
Pressão Pascal Pa N/m² Kg/(m.s²)
Energia Joule J N.m Kg.m²/s²
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Potência Watt W J/s Kgm²/s³
Carga elétrica Coloumb C — A.s
Tensão elétrica Volt V W/A Kg.m²/s³.A
Resistência elétrica Ohm Ώ V/A Kg.m²/(s³.A²)
Capacitância Farad F A.s/V A².(s^4)/kg.m²
Indutância Henry H Wb/A Kg.m²/(s².A²)
Fluxo magnético Webwe Wb V.s Kg.m²/s².A
Densidade do Fluxo mag. Tesla T Wb/m² Kg/s².A
Prefixos do Sistema Internacional: os principais prefixos são:
Nano(n): 10^-9
Micro(μ):10^-6
Mili(m): 10^-3
Kilo(k): 10^3
Mega(M): 10^6
Giga(G): 10^9
TRABALHO ENERGIA E POTENCIA
Energia é a capacidade que um corpo, uma substância ou um sistema físico têm
de realizar trabalho.
1) Trabalho de uma força
O trabalho de uma força é a sua componente, na direção do movimento,
multiplicado pela distância percorrida.
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trabalho será positivo se a componente da força for no mesmo sentido do
movimento e negativo se for no sentido contrário.
gráfico de uma força variável em função da distância
trabalho da força peso
trabalho da força elástica
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2) Potência
3) Energia
TRABALHO
Para se colocar algum objeto em movimento, é necessária a aplicação de uma força
e, simultaneamente, uma transformação de energia. Quando há a aplicação de uma
força e um deslocamento do ponto de aplicação dessa força, pode-se dizer que
houve uma realização de trabalho.
Note que, para realizar-se um trabalho, existe a necessidade de um deslocamento.
Caso algum objeto esteja sob a ação de uma força, mas em repouso, não haverá a
realização de trabalho. As forças que atuam sobre uma pessoa parada segurando
uma mala não realizam trabalho pois não há deslocamento do ponto de aplicação
dessas forças.
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Considere um objeto que está submetido a uma força e, devido a essa força,
esse objeto sofre um deslocamento , como se vê abaixo:
A força pode ser dividida em dois componentes, e , como se mostra a
seguir:
Observe que o componente de que realiza o trabalho é , pois é o que tem a
mesma direção do deslocamento. O componente não realiza trabalho, pois é
perpendicular ao deslocamento e, por isso, não interfere diretamente no
movimento.
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O trabalho é definido como sendo o produto do componente pelo deslocamento
sofrido pelo objeto e como , teremos a seguinte definição matemática
para o trabalho:
No Sistema Internacional, a unidade de trabalho é o joule (J).
No exemplo citado, a força mostrada é causadora do movimento do objeto, mas
existem casos em que a força é de oposição ao movimento, como por exemplo o
atrito. Nessas situações o trabalho será negativo. Observe o quadro abaixo:
Uma força que merece uma atenção especial, ao realizar trabalho, é a força da
gravidade. Considere um corpo que é abandonado de certa altura. Durante o
movimento de queda temos um deslocamento para baixo e uma força, a gravidade,
que também é direcionada para baixo. Sabemos que, se há uma força e um
deslocamento do ponto de aplicação, haverá a realização de trabalho. Nesse caso o
trabalho será determinado pelo produto da força da gravidade pela altura de queda
do objeto:
É importante salientar que o trabalho da força da gravidade independe da trajetória
descrita durante o movimento e por isso ela é classificada como força conservativa.
A força da gravidade também é conhecida como força peso que é constante quando
se está próximo da superfície da Terra e é calculada com o produto da massa do
objeto pela a aceleração da gravidade local.
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Em uma descida, o trabalho da força da gravidade é positivo, pois ela está
contribuindo com o movimento, mas, em uma subida, o trabalho da força da
gravidade será negativo, pois agora ela é de oposição ao movimento.
é o vetor que indica deslocamento.
ENERGIA CINÉTICA
Considere um corpo inicialmente em repouso, como por exemplo, uma bicicleta.
Para colocá-la em movimento será necessária a aplicação de uma força e, com isso,
a realização de trabalho. Se essa força for paralela ao deslocamento, o trabalho
será determinado pelo produto da força pelo deslocamento.
A força aplicada é determinada pela Segunda lei de Newton, ou seja:
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Considerando que a força aplicada foi constante e que a bicicleta partiu do repouso,
então a ela realizará um movimento uniformemente variado e o seu deslocamento
e a sua velocidade serão determinadas da seguinte forma:
Substituindo as equações de força e deslocamento na definição de trabalho,
teremos:
Lembre que v = a.t e então chegaremos à equação que determina o trabalho
realizado pela força aplicada a essa bicicleta, para que ela atinja a velocidade v.
A expressão acima é definida como energia cinética, e expressa a capacidade de
um corpo em movimento para realizar trabalho.
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ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Estamos todos submetidos a uma força da gravidade e essa força é praticamente
constante quando se está próximo à superfície do planeta. Agora,imagine-se
segurando uma pedra a certa altura do solo. Para fazê-la entrar em movimento,
basta largá-la e durante a queda haverá a realização de trabalho pela força
gravitacional.
Observe que quanto maior for a altura inicial da pedra, tanto maior será o trabalho
realizado pela força da gravidade, pois maior será o deslocamento realizado por ela.
É importante perceber que a pedra entra em movimento espontâneo, ou seja, você
não precisa forçar o movimento. Se isso ocorre, é porque na pedra existe uma
energia armazenada que será utilizada na realização de trabalho. Essa energia é
definida como energia potencial e, no caso descrito, isto é, em que a força da
gravidade realiza trabalho, essa energia é definida como energia potencial
gravitacional.
A energia potencial depende da posição do objeto. No caso da energia potencial
gravitacional a posição é definida pela a altura em que o objeto se encontra de um
nível horizontal definido como nível de referência.
Para determinar o valor da energia potencial gravitacional, basta sabermos o valor
do trabalho realizado pela força peso, ou seja, a energia potencial gravitacional é
numericamente igual ao trabalho da força peso.
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ENERGIA MECÂNICA
Considere novamente um corpo em queda. Durante esse movimento, observamos
que, ao longo do trabalho realizado pela força peso, ocorre um aumento da energia
cinética, pois há um aumento de velocidade. O trabalho da força peso realizado
durante esse movimento pode ser determinado pela variação da energia cinética,
ou seja:
A expressão matemática anterior é conhecida como o Teorema da Energia Cinética.
Observe também, que durante a queda, a energia potencial do corpo diminui, pois
se tomarmos como nível de referência o solo, a altura do corpo em relação ao
mesmo, está diminuindo. Nesse caso, o trabalho realizado pela força peso pode ser
determinado pelo decréscimo da energia potencial, isto é:
As duas equações mencionadas aqui são usadas para o mesmo fim, que é a
determinação do trabalho da força peso, e por isso elas são iguais. Igualando a
primeira equação com a segunda, teremos:
Isolando os termos de energia cinética dos termos de energia potencial, chegamos
ao seguinte resultado:
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A soma da energia cinética com a energia potencial é definida como energia
mecânica, e a expressão anterior mostra a sua conservação durante qualquer
movimento sob ação exclusiva de forças conservativas, como por exemplo, na
mecânica, a força peso e a força elástica. Sistemas físicos que se encontram sob
essa situação são definidos como sistemas conservativos.
No nosso dia-a-dia, é muito difícil encontrarmos um sistema conservativo. Em uma
queda real existe o atrito com o ar e isso fará com que a energia mecânica inicial
seja diferente da energia mecânica final, e tal diferença ocorre porque o atrito
provoca a dissipação em forma de calor. Essa energia dissipada tem o seu valor,
em módulo, igual à diferença da energia mecânica inicial pela energia mecânica
final.
CENTRO DE GRAVIDADE
Quando um objeto encontra-se numa região onde atua um campo gravitacional,
este sofre a ação da força peso, dada pelo produto de sua massa m pela respectiva
aceleração gravitacional local, g. Geralmente, usa-se o módulo da aceleração
gravitacional, uma vez que se sabe, a exemplo da Terra, que a aceleração
gravitacional tem direção radial e nos sistemas de referências utilizados as
grandezas positivas apontam do centro da Terra para fora, consequentemente, o
campo gravitacional g é negativo para baixo. Desta forma temos,
matematicamente, o módulo do peso do objeto dado pela equação:
P = m.g
Se considerarmos um objeto sobre uma superfície plana, teremos para cada
partícula que constitui o referido corpo, uma força peso atuante. É o que expressa a
equação:
ΣF = Σmi.g
Temos vários corpos de massa m. Mas podemos fazer o somatório de todas as
forças que atuam sobre o corpo, e deste modo teremos uma equação para a força
total atuante sobre o corpo em termos de sua massa total e a aceleração
gravitacional local, expressa a seguir:
ΣF = g.Σmi = M.g
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Para que este corpo esteja em equilíbrio estático, é necessário que esteja suspenso
por uma tração T em algum ponto, ou com sua base apoiada sobre uma superfície,
ou seja, apoiada vários pontos, conforme mostra a figura 01.
Deste modo, na vertical, o somatório das forças seria nulo. Para um objeto sobre
uma superfície teremos:
ΣF = N – g.Σmi = N – M.g = 0
E para o caso de um objeto suspenso por uma força de tração teremos:
ΣF = T – g.Σmi = T – M.g = 0
O torque resultante sobre o corpo é dado por:
Στ = Σ(ri x mi.g) = Σ(mi.ri x g) = M.rcm x g = rcm x Mg
A quantidade mi.ri , expressa em função das massas das partículas que constituem
o corpo, mi, e das respectivas posições ocupadas por cada uma, ri, pode ser escrita
em função da massa total M e da posição do centro de massa rcm conforme
mostrado na figura 02.
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Para uma condição de equilíbrio o somatório dos torques em relação ao centro de
massa tem de ser nulo. Ou seja, matematicamente, teremos:
Στ = rcm x Mg = 0
Desta forma, todas as porções de massa que estiverem fora da base de apoio,
aplicarão um torque sobre em torno extremidade da respectiva base de apoio.
Para determinar o centro de massa rcm de um objeto plano é muito simples: basta
suspendê-lo em um ponto, por uma força de tração criada por um fio, por exemplo
e riscar desde o ponto de suspensão até a extremidade inferior do objeto, como
para determinar o centro de gravidade. Depois, escolhe-se outro ponto de
suspensão em um dos lados, esquerdo ou direito do corpo, aproximadamente à
meia altura. Novamente, risca-se na vertical. Na intersecção entre os dois riscos,
ou seja, no cruzamento das linhas, localiza-se o centro de massa do objeto,
mostrado na figura 03.
Se for um objeto ao qual seja necessário considerar as três dimensões, é
necessário efetuar mais um risco, perpendicular aos outros dois, num terceiro eixo
de coordenadas considerado para aquele objeto. Neste caso, teremos um ponto
localizado no interior do objeto, dependendo de sua forma. Para alguns casos, o
centro de massa está fora do volume preenchido pelo objeto. Por exemplo, o centro
de gravidade de um objeto de determinada substância e em forma de anel é
localizado aproximadamente no centro, na região vazia.
CINEMÁTICA ESCALAR
É a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos, sem se preocupar com
as causas destes movimentos.
CONCEITOS
Ponto material: na cinemática, em geral, não levamos em conta as dimensões do
corpo cujo movimento está em estudo e assim esse corpo é denominado ponto
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material. Um automóvel é um ponto material em relação à Terra, que é um ponto
material em relação ao Universo.
Movimento: um corpo está em movimento quando sua posição varia em relação a
um referencial à medida que o tempo passa. Do contrário, o corpo está em
repouso.
Referencial: é o ponto ou conjuntode pontos usado para estudar o movimento de
um corpo. Exemplo: o motorista de um veículo numa estrada está em movimento
em relação à uma pessoa parada no acostamento, mas está parado em relação ao
banco do carro. Dependendo do referencial, o corpo pode estar em movimento ou
não. Daí dizermos que o movimento de um corpo é relativo ou dependente do
referencial.
Móvel: é o corpo que está em movimento
Trajetória: é a linha determinada pelas diversas posições que um corpo ocupa no
decorrer do tempo. A trajetória também depende do referencial. Por exemplo, um
objeto lançado por um avião, cai numa trajetória parabólica para um observador
terrestre, mas para um observador dentro do avião a trajetória é vertical.
Geralmente, o estudo dos movimentos contempla trajetória retilínea (linha reta) e
curvilínea (curva, incluindo o circular)
Distância percorrida (d): é o comprimento do percurso que um móvel realiza
num dado movimento.
Posição (x ou s – nós vamos usar a letra s para descrever a posição do corpo): é
uma medida que fornece a distância entre o ponto da trajetória em que o corpo
está e o ponto escolhido como referência). A unidade internacional de distância é o
metro (m).
Deslocamento: é a medida do segmento que representa a distância entre a
posição inicial e a posição final do movimento estudado.
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Exercícios
A) Observe a figura e responda
Qual a posição do corpo no instante t=1h? e no instante t=2h? Qual ponto
representa a origem das posições ou dos espaços? Um carro partiu da origem
s0=0Km, foi até a posição s1=5km, voltou à origem e foi até a posição s2=-3Km.
Responda: a) qual a distância percorrida? B) qual o deslocamento realizado?
B) Um garoto percorre os lados de um terreno retangular de dimensões 40m e
80m. Qual a distância percorrida em duas voltas completas? Qual a distância
percorrida e o deslocamento no percurso
Velocidade Escalar Média: é a divisão do espaço percorrido pelo tempo gasto no
percurso. Exemplo: um atleta corre 18 Km em 1h e 30 min. Qual sua velocidade
escalar média? V=18 1,5 =12 Km/h. No Sistema Internacional de Medidas a
velocidade é dada em m/s. Calcule no exemplo acima a velocidade do atleta em
m/s.
Conversão de Km/h em m/s -> divide pelo fator 3,6 e para converter de m/s
em km/h multiplica por 3,6.
A fórmula clássica da velocidade escalar média é:
Vm=Δ𝑺 Δ𝒕=𝑺𝟐−𝑺𝟏 𝒕𝟐−𝒕𝟏 ,
onde ΔS é o espaço percorrido e Δt é o tempo gasto no percurso
Exercícios:
A) Um atleta percorre uma milha terrestre em 5 minutos. Sabendo que uma milha
terrestre equivale a 1609m, qual a velocidade escalar média desse atleta em:
milhas/hora? Em Km/h? Em m/s?
B) Quando se diz que a velocidade de um navio é 10 nós, queremos dizer que a sua
velocidade é de 10 milhas marítimas por hora. Sabendo-se que uma milha marítima
é igual a 1852m, qual a velocidade desse navio em km/h? e em m/s?
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C) Um veículo percorre, inicialmente, 40 Km de uma estrada em 0,5h. A seguir
percorre mais 60Km, em 1h e 30 min. Determine a velocidade escalar média do
veículo, em km/h, durante todo o percurso.
D) A Figura representa a trajetória de um caminhão de entregas que parte de A, vai
até B e retorna a A. No trajeto de A a B o caminhão mantém uma velocidade
escalar média de 30Km/h; na volta, de B até A gasta 6,0 minutos. Qual o tempo
gasto pelo caminhão para ir de A até B? Qual a velocidade escalar média do
caminhão quando vai de B para A?
Aceleração Escalar (a): é uma grandeza que representa a variação da
velocidade dividida pelo tempo em que esta variação acontece. É calculada por
a = Vinicial Vfinal
t
Exemplo: a) Uma aceleração de 2m/s2 significa que a velocidade do móvel
aumenta 2 m/s a cada segundo de movimento. Se ele parte do repouso, em dois
segundos sua velocidade será de 4m/s. E em 5s? b) Se um móvel possui uma
velocidade inicial de 20m/s e, de repente, passa a ter uma aceleração constante de
5 m/s2, podemos dizer que, em um segundo, a nova velocidade é de 25 m/s.
DINÂMICA - LEIS DE NEWTON
PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA: na ausência de
forças, um corpo em repouso permanecerá em repouso e um corpo em movimento
estará se movimentando em linha reta e com velocidade constante.
Exemplos: Um ônibus lotado com velocidade de 120Km/h. De repente ele pára. Os
passageiros são atirados para a frente como se uma força os empurrasse. Na
realidade, não há força atuando. O que ocorre é que os passageiros estavam com a
velocidade de 120 Km/h e a tendência deles é continuar nessa velocidade. Dizemos
que a tendência é manter-se em movimento. Isso se chama inércia. Os passageiros
somente irão parar se uma força atuar sobre eles, no caso o choque com a pessoa
da frente ou com os assentos do ônibus.
SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DAS MASSAS: a aceleração de um
corpo é proporcional à resultante das forças nele aplicada e tem a mesma direção e
sentido que esta resultante.
Então: F=m.a (onde F é a resultante das forças, m é a massa do corpo e a é a
aceleração).
A unidade de força no S.I é Newton (N), a massa é dada em Kg(quilogramas) e a
aceleração em m/s2.
Peso e massa: Peso ou força gravitacional é a força que o planeta aplica sobre os
corpos, puxando-os para baixo. O peso depende da aceleração da gravidade (g) no
local onde está o corpo. É uma grandeza vetorial cuja direção e sentido dirigem-se
ao centro de gravidade do corpo responsável pela gravidade. No caso da Terra, o
Peso sempre é aplicado no centro da Terra.
Peso=massa (Kg).aceleração da gravidade(m/s2) ou P=m.g
TERCEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO: sempre que
um corpo exerce uma força (ação) sobre outro, este exerce sobre o primeiro uma
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força de mesmo valor em módulo, mesma direção e sentido contrário ao da força
original (reação). Algumas coisas a serem lembradas sobre os pares ação-reação:
As forças de ação e reação nunca se anulam pois são aplicadas em corpos
diferentes
Tem o mesmo valor numérico
Possuem sempre a mesma direção, mas sentidos contrários
Exemplos: Quando chutamos uma bola, ela exerce uma força igual em módulo no
nosso pé. Nos aviões a propulsão a jato, os gases saem pelas turbinas num sentido
(ação) e o avião se movimenta no sentido oposto (reação). Quando caminhamos
exercemos uma força sobre o chão e este exerce uma força igual em nossos pés. A
Terra atrai a Lua com uma força de intensidade igual à que a Lua atrai a Terra.
Exercícios:
A) Qual a aceleração adquirida por um móvel de 12Kg, submetido a uma força
constante de 45N?
B) Um corpo de massa 10Kg com movimento retilíneo e velocidade inicial de 3m/s
adquire em 5s a velocidade de 45 m/s. Qual o valor da força aplicada?
C) Num corpo colocado sobre uma superfície sem atrito, atuam duas forças, F1 e
F2, que valem respectivamente 12N e 4N. Sabendo-se que a massa do bloco vale
2Kg, calcular:
a. A força resultante
b. A aceleração do sistema
D) Considere dois blocos m1 e m2, respectivamente , com massas iguais a 6Kg e
4Kg, colocados num plano horizontal da figura. Sabendo-se que a força F aplicada
vale 50N, calcular:
a. A aceleração do sistema
b. A tensão no cabo que une os dois blocos
E) Na figura m1 e m2 valem, respectivamente,8Kg e 2Kg. Sabendo-se que não
existe atrito, calcular:
a. A força resultante
b. A aceleração do sistema
c. A tensão da corda que une os blocos
F) Qual seria o peso de uma pessoa que tem massa de 60 Kg
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Matemática Aplicada
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Unidades de Comprimento
A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em
que essa unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é
muito pequena, por outro lado se queremos medir extensões muito "pequenas", a
unidade metro é muito "grande".
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de
comprimento.
Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor
correspondente em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a
10 vezes a unidade da comprimento imediatamente inferior (à direita). Em
conseqüência, cada unidade de comprimento corresponde a 1 décimo da unidade
imediatamente superior (à esquerda).
Quilômetro
km
Hectômetro
hm
Decâmetro
dam
Metro
m
Decímetro
dm
Centímetro
cm
Milímetro
mm
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Regras Práticas:
Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos
fazer uma multiplicação por 10.
Ex : 1 m = 10 dm
Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos
fazer uma divisão por 10.
Ex : 1 m = 0,1 dam
Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas
vezes uma das regras anteriores.
Ex : 1 m = 100 cm
1 m = 0,001 km
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Uidades de Área
Quilômetro
quadrado
km2
Hectômetro
quadrado
hm2
Decâmetro
quadrado
dam2
Metro
quadrado
m2
Decímetro
quadrado
dm2
Centímetro
quadrado
cm2
Milímetro quadrado
mm2
1x106 m2 1x104 m2 1x102 m2 1 m2 1x10-2 m2 1x10-4 m2 1x10-6 m2
Regras Práticas:
Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos
fazer uma multiplicação por 100.
Ex : 1 m2 = 100 dm2
Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devmos
fazer uma divisão por 100.
Ex : 1 m2 = 0,01 dam2
Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas
vezes uma das regras anteriores.
Uidades de Volume
Quilômetro
cúbico
km3
Hectômetro
cúbico
hm3
Decâmetro
cúbico
dam3
Metro
cúbico
m3
Decímetro
cúbico
dm3
Centímetro
cúbico
cm3
Milímetro cúbico
mm3
1x109 m3 1x106 m3 1x103 m3 1 m3 1x10-3 m3 1x10-6 m3 1x10-9 m3
Regras Práticas:
Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos
fazer uma multiplicação por 1000.
Ex : 1 m3 = 1000 dm3
Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos
fazer uma divisão por 1000.
Ex : 1 m3 = 0,001 dam3
Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas
vezes uma das regras anteriores.
Litro
O litro( l ) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm3.
1 litro = 0,001 m3 => 1 m3 = 1000 litros
1 litro = 1 dm3
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1 litro = 1.000 cm3
1 litro = 1.000.000 mm3
Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades é baseado em 6 unidades fundamentais. A
unidade fundamental de comprimento é o metro. Para cada unidade existem as
unidades secundárias, que são expressas através da adição de um prefixo ao nome
correspondente à unidade principal, de acordo com a proporção da medida.
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Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar
um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com
motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.
Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma
outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
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2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso,
se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade
(Km/h)
Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma
outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se
comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
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Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou
determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5
horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia
Prazo para término
(dias)
8 20
5 x
Observeque: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo
para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar
que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de
mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem:
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Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª
coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número
de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na
1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de
caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª
coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras
razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias.
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.
Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
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Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto
a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura.
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo
necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente
proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente
proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
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Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10
torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de
carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair
5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir
um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando
9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a
uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para
entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta:
10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com
90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20
centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025
metros.
Exercícios de regra de três simples e composta
As respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de
trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá
podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão
necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para
atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes
?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg
dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas
serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá
em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais
necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá
em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
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10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos
litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo
levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54
dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de
forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto
ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o
lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades
diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35
m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade
permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de
30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por
24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-
Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de
música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas
estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos
diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade deágua que
cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que
tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova
fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse
mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio
?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80
cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de
12 m ?
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25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação
ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no
mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a
quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento.
Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual
será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem
40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m
de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam
usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a
212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos,
uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a
temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
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Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente
entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.
Exemplo:
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o
número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)
Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças
e rapazes.
Lendo Razões
Termos de uma Razão
Grandezas Especiais
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Exemplo:
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um
segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos
calcular a escala deste mapa.
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As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto.
(observe que neste caso as unidades são diferentes)
Exemplo:
Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro.
Velocidade= 320/4 = 80
Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.
Exemplo:
O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800
habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
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Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda.
Observe que o conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda.
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1
Dizemos que as razões são inversas.
Proporções - Introdução
Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu
cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que
a igualdade é uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
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Questões
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Assunto: Razão e proporção.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8 = 2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
X = 56/2
X = 28
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de
comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:
Assunto: Escala e noção de proporção.
Resolução:
Escala: 1
20
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Sabendo que 1m = 100 cm.
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
O comprimento no desenho será:
500 x 1 = 500 / 20 =
20
25 cm
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do
desenho será 25 cm.
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se
o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa
quantas moças ficariam sem par ?
Assunto: Razão e proporção
Resolução:
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por
Y.
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
x + y = 45 (Soma total de alunos)
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
x 5
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45/x = 9/5
45 x 5 = 9x
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças
que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma
professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:
a) 12,0
b) 15,2
c) 16,0
d) 20,4
e) 24,0
Assunto: Regra de três
Resolução:
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1 copo ---------------> 250 ml
48 copos ------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
1x = 48 x 250
X = 12000 ml
Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a
alternativa correta é a letra “a” = 12,00
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4
segundos, o disco dá :
a) 3 voltas b) 5 voltas c) 6 voltas d) 9 voltas e) 12 voltas
Assunto: Regra de três
Obs.:É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.
Resolução:
60 s ---------------> 45 voltas
4 s ----------------> x
Resolvendo a regra de três acima :
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60x = 45 x 5
60x = 180
X = 180/60
X = 3 voltas
Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.
6) Do meu salário líquido dedico:
25% ao aluguel,
30% à alimentação,
5% à compra de medicamento,
15% pagamento de mensalidades.
O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que
meu salário é no valor de :
a) R$ 1.200,00
b) R$ 785,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.250,00
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e) R$ 650,00
Assunto: Porcentagem e regra de três
Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%
Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.
Montando uma regra de três:
550,00 -------> 25
X -------> 100
25x = 55000
X = 55000/ 25
X = 2200
Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.
7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado
tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a
porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5%
Assunto: Regra de três e noção de porcentagem
Resolução:
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Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
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23x = 100 x 27,6
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%
Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.
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PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma
sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o
número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente
evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1,
2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a
partir do primeiro, da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq
2 ... a1xq
19
a1xq
n-
1
...
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado
enésimo termo, para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x q
n-1
Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:
an = 2 x (1/2)
n-1
Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula,
obtemos:
a5 = 2 x (1/2)
5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é
aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no
momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se
somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões
geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um
mesmo número. As diferenças não param aí.
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r >
0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão
crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão
negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez
com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor
absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a
velocidade de crescimento e vice-versa.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros
termos Sn, vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
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Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a
fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições,
podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula
anterior, encontraremos:
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo
na fórmula, vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
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Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo
retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também
dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do
Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade
já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas
por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito
simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a
trigonometria se torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte,
o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma
montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele
demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
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Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é,um dos seus ângulos mede
noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos
medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados
complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois
ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são
dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo
reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os
catetos.
Termo Origem da palavra
Cateto
Cathetós:
(perpendicular)
Hipotenusa
Hypoteinusa:
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa
A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao
ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto,
indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C,
indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
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Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos
no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e
trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e
minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos
agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa
(lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade
num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que
este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas
no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura
(ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura
relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à
base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB,
indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
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3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início
deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra
que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as
projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas
por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média
geométrica.
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Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo
ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A
será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando
c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
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Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do
triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da
trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Função Notação Definição
seno sen(x)
medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
cosseno cos(x)
medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
tangente tan(x)
medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então
o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o
seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão
entre seno e cosseno desse ângulo.
sen(x)=
CO
H
=
CO
1
cos(x)=
CA
H
=
CA
1
tan(x)=
CO
CA
=
sen(x)
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante
relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
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PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em
preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns
exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o
total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a umdeterminado valor.
Exemplos:
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Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a
porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por
diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou
Lucro
Fator de
Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
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Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator de
Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
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O que é o Teorema de Pitágoras?
O teorema diz basicamente o seguinte: A soma do quadrado dos catetos é igual ao
quadrado hipotenusa. Contudo, o que é hipotenusa e o que é cateto?
O lado em vermelho representa a hipotenusa, e os dois lados em azul são os
catetos.
Portanto, a fórmula fica da seguinte forma:
Como resolver exercícios
É importante ter em mente que o Teorema de Pitágoras se aplica apenas quando
temos um triângulo retângulo.
Vamos resolver o problema abaixo:
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10²= x² + 6²
100= x² + 36
-x²= -100 + 36
x²= 64
x=√64
x=8
Exercícios resolvidos
Na página "Demonstração do Teorema de Pitágoras", observas-te como se
enuncia o teorema. Agora vais ver vários exemplos de aplicações do
mesmo e em seguida, irás resolver alguns exercícios propostos numa
ficha.
Exemplo 1:
Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo,
indica, justificando, aqueles que são rectângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
Resolução:
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de
Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos
triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a)
logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.
b)
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logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Exemplo 2:
Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:
a)
b)
Resolução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
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Exemplo 3:
Calcula as áreas das seguintes figuras.
a)
b)
Resolução:
a)
b)
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Exemplo 4:
a) Qual era a altura do poste?
Resolução:
h = 4 + 5 = 9
Resposta: A altura do poste era de 9 m.
b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
Resolução:
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Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:
265 cm = 2,65 m.
Exercício 5:
O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como indica a figura:
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.
Qual o comprimento do balancé?
Resolução do exercício 5:
Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um
ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.
Então vem:
1,8 m = 180 cm
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Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é,
1,9 m.
Exercício 6:
A figura representa um barco à vela.
6.1.) Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
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Números Inteiros
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos
números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este
conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode
ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Subconjuntos notáveis de Z
Z + = {0,1,2,3,4,...} Inteiros não negativos
Z - = { ..., - 3, -2, -1, 0} Inteiros não positivos
Z+* = {1,2,3,4,...} Inteiros positivos
Z-* = {...,-3,-2,-1} Inteiros negativos
Ausência do zero nos dois últimos e presença nos dois primeiros é por que são
nulos
Módulo (ou valor absoluto)
{+5} = 5 {-8}= 8
Adição
(- 5) + (-8) = -5-8 = -13
(+5) + (-8) = +5-8=-3
(-5) + (+8)= -5+8= +3
Simétrico (oposto)
Simétrico de X → - x → - x + x = 0
O Simétrico de – 3 é + 3 → (-3) + (+3) = 0
O Simétrico de 0 é 0 → 0 +0 = 0
Exemplo: a figura mostra a distância da escola a casa e papelaria
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Subtração:
(+5) – (-8) = + 5 + 8 = +13
(-5) –(+8)= -5 - 8 = -13
Multiplicação
Sinais Iguais → (+) sempre positivos
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(+5) x (+8) =+40
(- 5) x (- 8) = +40
Sinais contrários → ( - ) sempre negativo
(+5) x ( - 8) = - 40
(- 5) x (+ 8) = - 40
Comparação de números inteiros
˂ Menor que
˃ Maior que
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NÚMEROS FRACIONARIOS E DECIMAIS
Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o homem
utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando situações mais
difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao rio Nilo
eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e
demarcavam os terrenos.
Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Em muitos
casos, principalmente para efetuar medições, precisou criar outros números que
não fossem apenas os números naturais. Surgiram assim, os números fracionários
ou racionais.
Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a
fração. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por
b com o símbolo a : b ou, ainda a/b
Chamamos o símbolo a/b de fração.
Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2
Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador
Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5.
Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2.
Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um número natural. Logo ¾ não é
um número natural. A fração envolve a ideia de alguma coisa que foi dividida em
partes iguais.
Agenor comeu ¾ de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate Agenor
comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou?
Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos;
Agenor comeu ¾ , portanto sobrou ¼
LEITURA DE UMA FRAÇÃO
Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores
2,3,4,5,6,7,8,9
½ um meio
¼ um quarto
1/6 um sexto
1/8 um oitavo
2/5 dois quintos
9/8 nove oitavos
1/3 um terço
1/5 um quinto
1/7 um sétimo
1/9 um nono
4/9 quatro nonos
16/9 dezesseis nonos
as que tem denominadores 10, 100, 1000, etc.............
1/10 um décimo
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo
7/100 sete centésimos
as decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos :
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1/11 um onze avos
7/120 sete cento e vinte avos
4/13 quatro treze avos
1/300 um trezentos avos
5/19 cinco dezenove avos
6/220 seis duzentos e vinte avos
EXERCÍCIOS
1) indique as divisões em forma de fração:
a) 14 : 7 =
b) 18 : 8 =
c) 5 : 1 =
d) 15 : 5 =
e) 18 : 9 =
f) 64 : 8 =
2) Calcule o quociente das divisões
a) 12/3 =
b) 42/21 =
c) 8/4 =
d) 100/10 =
e) 56/7 =
f) 64/8 =
3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6
a) Em quantas partes o todo foi dividido?
b) Quantas partes do todo foram consideradas?
4) Escreva como se lêem as seguintes frações:
a) 5/8
b) 9/10
c) 1/5
d) 4/200
e) 7/1000
f) 6/32
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.
Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador
Exemplo: 3/2, 5/5
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do
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denominador
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7
EXERCÍCIO
1) Classifique as frações em própria, imprópria ou aparente:
a) 8/9
b) 10/10
c) 26/13
d) 10/20
e) 37/19
f) 100/400
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele
comeu?
Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que
Cláudio comeu 2/4 da pizza.
A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:
4/8 : 2/2 = 2/4
Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração
equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma
de fração de denominadores iguais
Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
c) 3/5 – 1/5 = 2/5
Exercícios
1) Efetue as adições
a) 3/6 + 2/6 =
b) 13/7 + 1/7 =
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 =
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d) 4/10 + 1/10 + 3/10 =
e) 5/6 + 1/6 =
f) 8/6 + 6/6 =
g) 3/5 + 1/5 =
2) Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9 =
b) 9/5 -2/5 =
c) 2/3 – 1/3 =
d) 8/3 – 2/3 =
e) 5/6 – 1/6 =
f) 5/5 – 2/5 =
g) 5/7 – 2/7 =
3) Efetue as operações:
a) 5/4 + ¾ - ¼ =
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 =
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 =
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 =
e) 1/8 + 9/8 -3/8=
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 =
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 =
2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma
de fração de denominadores diferentes
conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos
denominadores .
exemplo:
a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ---2 . 3 = 6
b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12
3, 4 I 2
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12
Exercícios
1) Efetue as adições:
a) 1/3 + 1/5 =
b) ¾ + ½ =
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c) 2/4 + 2/3 =
d) 2/5 + 3/10 =
e) 5/3 + 1/6 =
f) ¼ + 2/3 + ½ =
g) ½ + 1/7 + 5/7 =
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 =
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 =
j) 1/3 + 5/6 + ¾ =
k) ½ + 1/3 + 1/6 =
l) 10 + 1/8 + ¾ =
m) 1/3 + 3/5 =
n) ¾ + 6/7 =
o) 5/7 + ½ =
p) ½ + 1/3 =
q) 3/14 + 3/7 =
r) 3/5 + ¾ + ½ =
s) 1/12 + 5/6 + ¾ =
t) 8 + 1/5 + 4/5 =
2) Efetue as subtrações
a) 5/4 – ½ =
b) 3/5 – 2/7 =
c) 8/10 – 1/5 =
d) 5/6 – 2/3 =
e) 4/3 – ½ =
f) 13/4 – 5/6 =
g) 7/8 – 1/6 =
h) 4/5 – 1/3 =
i) 3/5 – ¼ =
j) 10/11 – ½ =
l) 6/4 – 2/3 =
m) 5/8 – ½ =
n) 4/5 – ¼ =
o) ¾ - 5/8 =
p) 9/11 – ½ =
q) 7 – 2/3 =
r) 4/2 - 2/3 =
s) 3/2 - 2/3 =
t) 1/2 - 1/3 =
u) 3/2 - 1/4 =
3) Efetue
a) 2 + 5/3 =
b) 7 + ½ =
c) 3/5 + 4 =
d) 6/7 + 1 =
e) 8 + 7/9 =
f) 5 – ¾ =
g) 2 – ½ =
h) 7/2 – 3 =
i) 11/2 – 3 =
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j) 7/4 – 1 =
l) ½ - 1/3 =
m) ½ + ¼ =
n) 1 + 1/5 =
o) 1 – 1/5 =
4) Calcule o valor das expressões:
a) 3/5 + ½ - 2/4 =
b) 2/3 + 5/6 – ¼ =
c) 4/5 – ½ + ¾ =
d) 5/7 – 1/3 + ½ =
e) 1/3 + ½ - ¼ =
f) ¾ - ½ + 1/3 =
g) 5/6 – ½ + 2/3 =
h) 4/5 – ¾ + ½ =
i) ½ + 2/3 + 2/5 + 1/3 =
j) 6/5 – ¾ + ½ - 2/3 =
l) 1/6 + 5/4 + 2/3 =
MULTIPLICAÇÃO
Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15
Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si
Exemplo:
a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando
EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) ½ x 8/8 =
b) 4/7 x 2/5 =
c) 5/3 x 2/7 =
d) 3/7 x 1/5 =
e) 1/8 x 1/9 =
f) 7/5 x 2/3 =
g) 3/5 x ½ =
h) 7/8 x 3/2 =
i) 1/3 x5/6 =
j) 2/5 x 8/7 =
k) 7/6 x 7/6 =
l) 3/7 x 5/2 =
m) 3/10 x 5/9 =
n) 2/3 x ¼ x 5/2 =
o) 7 x ½ x 1/3 =
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2) Efetue as multiplicações
a) 4/3 x ½ x 2/5 =
b) 1/5 x ¾ x 5/3 =
c) ½ x 3/7 x 1/5 =
d) 3/2 x 5/8 x ¼ =
e) 5/4 x 1/3 x 4/7 =
3) Efetue as multiplicações
a) 2 x 5/3 =
b) 3 x 2/5 =
c) 1/8 x 5 =
d) 6/7 x 3 =
e) 2 x 2/3 x 1/7 =
f) 2/5 x 3 x 4/8 =
g) 5 x 2/3 x 7 =
h) 7/5 x 2 x 4 =
i) 8 x 2/3 =
j) 5/9 x 0/6 =
k) 1/7 x 40 =
l) ½ x 1/3 x ¼ x 1/5 =
m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 =
DIVISÃO
Vamos calcular ½ : 1/6
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa
da segunda
Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3
Exemplos:
a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9
c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28
Exercícios
1) Efetue as divisões
a) ¾ : 2/5 =
b) 5/7 : 2/3 =
c) 4/5 : 3/7 =
d) 2/9 : 7/8 =
e) 1/6 : 5/3 =
f) 7/8 : ¾ =
g) 8/7 : 9/3 =
h) 4/5 : 2/5 =
i) 5/8 : ¾ =
j) 2/9 : 4/7 =
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2) Efetue as divisões :
a) 5 : 2/3 =
b) 4 : 1/7 =
c) 8/9 : 5 =
d) 3/7 : 3 =
e) 7/3 : 4/7 =
f) 2/3 : ½ =
g) 4/5 : 2/3 =
h) 2/7 : 5/3 =
i) 3/7 : 2 =
j) 3/2 : 5/7 =
k) 3/8 : 4/7 =
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Elimine os parênteses
a) -(+5) =
b) -(-2) =
c) - (+4) =
d) -(-7) =
e) -(+12) =
f) -(-15) =
g) -(-42) =
h) -(+56) =
2) Calcule:
a) (+7) - (+3) =
b) (+5) - (-2) =
c) (-3) - ( +8) =
d) (-1) -(-4) =
e) (+3) - (+8) =
f) (+9) - (+9) =
g) (-8) - ( +5) =
h) (+5) - (-6) =
i) (-2) - (-4) =
j) (-7) - (-8) =
l) (+4) -(+4) =
m) (-3) - ( +2) =
n) -7 + 6 =
o) -8 -7 =
p) 10 -2 =
q) 7 -13 =
r) -1 -0 =
s) 16 - 20 =
t) -18 -9 =
u) 5 - 45 =
v) -15 -7 =
x) -8 +12 =
z) -32 -18 =
3) Calcule:
a) 7 - (-2) =
b) 7 - (+2) =
c) 2 - (-9) =
d) -5 - (-1) =
e) -5 -(+1) =
f) -4 - (+3) =
g) 8 - (-5) =
h) 7 - (+4) =
i) 26 - 45 =
j) -72 -72 =
l) -84 + 84 =
m) -10 -100 =
n) -2 -4 -1 =
o) -8 +6 -1 =
p) 12-7 + 3 =
q) 4 + 13 - 21 =
r) -8 +8 + 1 =
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s) -7 + 6 + 9 =
t) -5 -3 -4 - 1 =
u) +10 - 43 -17 =
v) -6 -6 + 73 =
x) -30 +30 - 40 =
z) -60 - 18 +50 =
4) Calcule:
a) (-4) -(-2)+(-6) =
b) (-7)-(-5)+(-8) =
c) (+7)-(-6)-(-8) =
d) (-8) + (-6) -(+3) =
e) (-4) + (-3) - (+6) =
f) 20 - (-6) - (-8) =
g) 5 - 6 - (+7) + 1 =
h) -10 - (-3) - (-4) =
i) (+5) + (-8) =
j) (-2) - (-3) =
l) (-3) -(-9) =
m) (-7) - (-8) =
n) (-8) + (-6) - (-7) =
o) (-4) + (-6) + (-3) =
p) 15 -(-3) - (-1) =
q) 32 - (+1) -(-5) =
5) Calcule:
a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) =
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) =
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) =
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) =
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) =
f) 9 - (-7) -11 =
g) -2 + (-1) -6 =
h) -(+7) -4 -12 =
i) 15 -(+9) -(-2) =
j) -25 - ( -5) -30 =
l) -50 - (+7) -43 =
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) =
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) =
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 =
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 =
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) =
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 =
ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES
1) parênteses precedidos pelo sinal +
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os
sinais dos números contidos nesses parênteses.
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exemplo
a) + (-4 + 5) = -4 + 5
b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7
2) Parênteses precedidos pelo sinal -
Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os
sinais dos números contidos nesses parênteses.
exemplo
a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3
b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1
EXERCICIOS
1) Elimine os parênteses:
a) +(-3 +8) =
b) -(-3 + 8) =
c) +(5 - 6) =
d) -(-3-1) =
e) -(-6 + 4 - 1) =
f) +(-3 -2 -1) =
g) -(4 -6 +8) =
h) + (2 + 5 - 1) =
2) Elimine os parênteses e calcule:
a) + 5 + ( 7 - 3) =
b) 8 - (-2-1) =
c) -6 - (-3 +2) =
d) 18 - ( -5 -2 -3 ) =
e) 30 - (6 - 1 +7) =
f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) =
g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) =
h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) =
i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) =
j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) =
3) Calcule:
a) 10 - ( 15 + 25) =
b) 1 - (25 -18) =
c) 40 -18 - ( 10 +12) =
d) (2 - 7) - (8 -13) =
e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 =
f) -15 - ( 3 + 25) + 4 =
g) -32 -1 - ( -12 + 14) =
h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) =
i) -(+4-6) + (2 - 3) =
j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 =
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Disciplina: Matemática instrumental
Exercícios de revisão
Adição
6683
4172
5441
1514
5689
108
9108
880
5432
6936
6168
5848
8799
6265
11
6613
Subtração
1262
4990
5788
3786
219
3632
3571
341
7445
4344
100
3959
2679
126
89
673
9603
1290
3459
2345
8869
2343
1023
5435
Multiplicação
63 x 4=
60x94=
70x83=
60x91=
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13x13=
61x81=
67x11=
30x96=
45x89=
8765x6785=
345436x7866=
8987x765=
Divisão
885 / 295=
429 /143=
536 / 268 =
660 / 220=
256 / 64=
648 / 54 =
910 / 70=
998 /1=
750 /30=
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1 – Calcule:
2 – Calcule:
( (
( (
( (
( (
( ( (
( ( (
Questões
1 – José depositou em sua conta bancária as importâncias de R$ 300,00 e R$
200,00. Posteriormente, retirou R$ 350,00 e R$ 250,00. O saldo de sua conta
corrente representado com números relativos é de quanto?
2 – Uma pessoatem R$ 500,00 na sua conta bancária e faz, sucessivamente, as
seguintes operações bancárias:
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Coloca R$ 200,00
Retira R$ 900,00
Coloca R$ 600,00
Retira R$ 700,00
Qual é o seu saldo final?
Multiplicação e divisão em Z
1 – Calcule os seguintes produtos:
a) ( (
b) ( (
c) ( (
d) ( (
e) ( ( (
f) ( ( (
2 – Calcule o valor das expressões:
a)
b) (
c) (
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d) ( (
e) ( (
f) ( (
3 – Calcule:
a) ( (
b) ( (
c) ( (
d) ( (
e) ( (
f) ( (
1. ELETROTECNICA - Eletricidade.pdf
2. Apostila SMS eletrotecnica.pdf
3. fisica - eletrotecnica.pdf
4. matematica aplicada - eletrotecnica.pdfMais conteúdos dessa disciplina
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a) Forca eletromotriz termica
b) Potencial galvanico
c) Potencial de ionizacao
d...
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a) Ele e um efeito fisico reversivel
b) Pode ser usado para medir temperatura ...
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