5 Simuladão Polinômios (1)

Prévia do material em texto

Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 1 de 13 
 
 
1. Qual das equações abaixo tem como solução dois números cuja soma é 
7
 e cujo produto é 
8?
 
a) 
2x 7x 8 0  
 
b) 
2x 7x 8 0  
 
c) 
2x 8x 7 0  
 
d) 
2x 8x 7 0  
 
e) 
2x 7x 8 0  
 
 
2. O valor numérico da expressão 
2
3
xy xy
E ,
x x



 para 
x 4
 e 
y 3, 
 é 
a) 
1
5

 
b) 
2
5
 
c) 
3
5

 
d) 
4
5
 
 
3. Sabendo que 
5
2
 é uma raiz do polinômio 
3 2P(x) 2x 3x 9x 10,   
 a soma das outras 
raízes é igual a: 
a) 
2
 
b) 
0
 
c) 
10
 
d) 
1
 
e) 
1
 
 
4. Considere a equação 
2a x b x c 0,    
 
a 0.
 Sabemos que 
a b c 0  
 e que 
x 3
 é 
raiz da equação. Quanto vale o produto das duas raízes da equação? 
a) 
6
 
b) 
3
 
c) 
3
 
d) 
6
 
e) 
9
 
 
5. Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
3 2p(x) 2x ax 2x,  
 podemos afirmar que 
p(x)
 é igual 
a: 
a) 
 22x x 2
 
b) 
  2x x 1 x 1 
 
c) 
 22x x 2
 
d) 
  x x 1 x 1 
 
e) 
 2x 2x 2x 1 
 
 
6. O trinômio 
2x ax b 
 é divisível por 
x 2
 e por 
x 1.
 O valor de 
a b
 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 2 de 13 
 
d) 3 
e) 4 
 
7. O resto da divisão do polinômio 
5 2x 3x 1 
 pelo polinômio 2x 1 é: 
a) x – 1 
b) x + 2 
c) 2x – 1 
d) x + 1 
e) x – 2 
 
8. A divisão do polinômio 
3 2x 2x – 5x – 6
 por 
  x 1 x – 2
 é igual a: 
a) x – 3 
b) x + 3 
c) x – 6 
d) x + 6 
 
9. Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 
       3 2A x B x 3x 2x x 1.
 Sabendo-se que 
1
 
é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então 
    A 3 B 1
 é igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
10. Para que o resto da divisão de 
4 32x 3x mx 2  
 por 3x 1 seja independente de x, 
devemos ter: 
a) 
m 2 
 
b) 
m 2
 
c) 
m 4
 
d) 
m 0
 
e) 
m 3
 
 
11. Se 3 e 
1
3
 são as raízes da equação 
2ax – 6x p 0 
, então o valor de a + p é 
a) -5 
b) 
9
5

 
c) 0 
d) 
18
5
 
e) 4 
 
12. Os restos da divisão do polinômio 
4 3 21 1p(x) 2x x 2x x 1
2 2
    
 pelos polinômios 
q(x) x 2 
 e 
h(x) x 8 
 são 
r
 e 
s
, respectivamente. Dessa forma, 
r s
 é 
a) 
0
 
b) 
10
 
c) 
127
 
d) 
137
 
e) 
161
 
 
13. As raízes do polinômio 
4P(x) x 1 
 são 
a) 
{i; i; 0}.
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 3 de 13 
 
b) 
{1; 1; 0}.
 
c) 
{1; 1; i; i}. 
 
d) 
{i; i;1 i;1 i}.  
 
e) 
{i; i; 1 i; 1 i}.    
 
 
14. O resto da divisão do polinômio 
10p(x) x 1 
 pelo polinômio 
0,2q(x) x 2 
 é: 
a) 
0.
 
b) 
1.
 
c) 
2.
 
d) 
3.
 
e) 
4.
 
 
15. Considere o polinômio 
3 2P(x) 4x x (5 m)x 3.    
 
 
Sabendo que o resto da divisão de 
P
 pelo monômio 
x 2
 é 
7,
 determine o valor de 
m.
 
a) 
0
 
b) 
15
 
c) 
2
 
d) 
7
 
e) 
21
 
 
16. O resto da divisão de um polinômio do terceiro grau 
p(x)
 por 
(x 3)
 é igual a 
24.
 Sabendo 
que as raízes do polinômio 
p(x)
 são 
3,1
 e 
2,
 o valor de 
p(0)
 é 
a) 
12.
 
b) 
15.
 
c) 
18.
 
d) 
21.
 
e) 
24.
 
 
17. Se 
2x x 3, 
 a expressão 
3x x 3 
 é igual a: 
a) 
2x 9
 
b) 
x 6
 
c) 2x 2x 1  
d) 
2x 6x 1 
 
e) 
2x 2x 3 
 
 
18. Considere 
x
 o resultado da operação 
2 2525 523 .
 
 
Assinale a alternativa CORRETA, que representa a soma dos algarismos de 
x.
 
a) 
18
 
b) 
13
 
c) 
02
 
d) 
17
 
e) 
04
 
 
19. Dados 
A x y, 
 
B x y 
 e 
C x y, 
 para 
x y,
 
x 0
 e 
y 0.
 Simplificando a 
expressão algébrica 2 2A B
,
C

 obtém-se: 
a) 
0.
 
b) 
2y
.
x
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 4 de 13 
 
c) 
4.
 
d) 
2x
.
y

 
e) 
2x
.
y

 
 
20. Considerando-se que o polinômio 
3 2P(x) x ax bx c   
 tem 
1
 como raiz dupla e 
3
 como 
raiz simples, é correto afirmar que o resto da divisão de 
P(x)
 por 
(x 1)
 é 
a) 
20
 
b) 
18
 
c) 
16
 
d) 
14
 
e) 
2
 
 
21. O termo independente de 
x
 no desenvolvimento da expressão algébrica 
2 3 2 2(x 1) (x x 2)   
 é 
a) 
4.
 
b) 
4.
 
c) 
8.
 
d) 
8.
 
 
22. Sejam 
Q(x)
 e 
R(x)
 o quociente e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio 
3 2x 6x 9x 3  
 pelo polinômio 
2x 5x 6, 
 em que x é real. 
 
O gráfico que melhor representa a função real definida por 
P(x) Q(x) R(x) 
 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 5 de 13 
 
23. Um fazendeiro possui dois terrenos quadrados de lados 
a
 e 
b,
 sendo 
a b.
 Represente 
na forma de um produto notável a diferença das áreas destes quadrados. 
a) 
(a b) (a b)  
 
b) 
(a b) (a b)  
 
c) 
(a b) (a b)  
 
d) 
2(a b)
 
e) 
2(a b)
 
 
24. Quando resolvemos a expressão 
2 2(7.777) (2.223) ,
 encontramos o seguinte resultado: 
a) 
05,554 10
 
b) 
25,554 10
 
c) 
45,554 10
 
d) 
75,554 10
 
e) 
85,554 10
 
 
25. Simplificando as expressões 
2
2
2
y
1 x
x
A
( x y) 2 xy
  
   
   

 
 e 2x xy
B ,
2x


 nas quais 
y x 0, 
 é 
correto afirmar que 
a) 
1A 2
B

 
b) B/A é inteiro 
c) 
A B 0 
 
d) 
A B 0 
 
 
26. Se 
x
 e 
y
 são dois números reais positivos, então a expressão 2
y x
M x y
x y
 
   
 
 é 
equivalente a 
a) 
xy.
 
b) 
2xy.
 
c) 
4xy.
 
d) 
2 xy.
 
 
27. Determine o valor do produto 
2(3x 2y) ,
 sabendo que 
2 29x 4y 25 
 e 
xy 2.
 
a) 
27.
 
b) 
31.
 
c) 
38.
 
d) 
49.
 
e) 
54.
 
 
28. Se 
x y 2 
 e 
2 2x y 8, 
 então 
3 3x y
 é igual a 
a) 
12.
 
b) 
14.
 
c) 
16.
 
d) 
18.
 
e) 
20.
 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 6 de 13 
 
29. Efetuando-se 
2 2(2.341) (2.340) ,
 obtém-se: 
a) 
6.489
 
b) 
1
 
c) 
4.681
 
d) 
2.681
 
e) 
8.689
 
 
30. O polinômio 
3 2p(x) ax bx cx,  
 nos reais, é divisível por 
(x 1).
 Podemos afirmar que 
p(p(1))
 é 
a) 
1
 
b) 
0
 
c) 
1
 
d) 
a b c 
 
e) 
a b c  
 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 7 de 13 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
PelasRelações de Girard, as únicas equações que possuem soma das raízes igual a 
7
 são 
2x 7x 8 0  
 e 
2x 7x 8 0.  
 Por outro lado, apenas esta última apresenta produto das 
raízes igual a 
8.
 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Substituindo os valores 
x 4
 e 
y 3 
 na expressão temos: 2 2
3 3
xy xy 4 ( 3) 4 ( 3)
E
x x 4 4
4 9 12 36 12 48
E
64 4 64 4 60
4
E
5
     
 
 
  
  
 

 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Sejam 
a
 e 
b
 as outras raízes de 
P(x).
 Pelas Relações de Girard, temos: 
5 3
a b a b 1.
2 2

       
 
 
Portanto, segue o resultado. 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Tomando 
x 1,
 vem 
2a 1 b 1 c a b c 0.       
 Logo, segue que 
x 1
 é raiz da equação e, 
portanto, a resposta é 
1 3 3. 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Se 
p(1) 0,
 então 
3 22 1 a 1 2 1 0.     
 Logo, 
a 0
 e, portanto, 
 
3
2
p(x) 2x 2x
2x(x 1)
2x(x 1)(x 1).
 
 
  
 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
Tem-se que 
 
2
2
x ax b (x 2)(x 1)
x x 2.
    
  
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 8 de 13 
 
 
Daí segue que 
a 1,
 
b 2 
 e, portanto, 
a b 1 ( 2) 3.    
 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Dividindo 
5 2x 3x 1 
 por 
2x 1,
 obtemos 
 
5 2 2
5 3 3
3 2
3
2
2
x 3x 1 x 1
x x x x 3
x 3x 1
x x
3x x 1
3x 3
x 2
  
   
 
 
  


 
 
Portanto, o resto é 
x 2.
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos 
 
 1 1 2 5 6
2 1 1 6 0
1 3 0
  

 
 
Logo, 
3 2x 2x 5x 6 (x 1)(x 2)(x 3)      
 e, portanto, a divisão do polinômio 
3 2x 2x 5x 6  
 por 
(x 1)(x 2) 
 é igual a 
x 3.
 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Como 
1
 é raiz de 
A(x)
 e 
3
 é raiz de 
B(x),
 segue que 
A( 1) 0 
 e 
B(3) 0.
 Logo, 
 
3 2A( 1) B( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 B( 1) 1              
 
e 
3 2A(3) B(3) 3 3 2 3 3 1 A(3) 103.        
 
 
Portanto, 
 
A(3) B( 1) 103 1 102.    
 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Dividindo 
4 32x 3x mx 2  
 por 
3x 1,
 obtemos 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 9 de 13 
 
4 3 3
4
3
3
2x 3x mx 2 x 1
2x 2x 2x 3
3x (m 2)x 2
3x 3
(m 2)x 1
   
  
   

 
 
 
Portanto, para que o resto 
(m 2)x 1 
 independa de 
x,
 deve-se ter 
m 2.
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Das Relações de Girard, temos que 
1 6 a 3 9
3 a
3 a 6 10 5
     
 e 
1 p 9
3 p a .
3 a 5
    
 
Portanto, 
18
a p 2a .
5
  
 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
De acordo com o Teorema do resto, podemos escrever: 
4 3 21 1
r p( 2) 2 2 2 2 2 2 1
2 2
r 8 2 4 1 1 10
     
     
 
 
4 3 21 1
s p( 8) 2 8 8 2 8 8 1
2 2
s 128 16 16 2 1 127
     
     
 
 
 
Portanto, 
r s 137. 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
As raízes de 
  4P x x 1 
 são dadas pela equação abaixo: 
 
   
4
2
2 2
2 2
2
x 1 0
x 1 0
x 1 x 1 0
x 1 0 x i
 
 
   
    
 
 
ou 
2x 1 0 x 1    
 
 
Assim, as raízes de 
  4P x x 1 
 formam o conjunto 
 1; 1; i; i . 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
A raiz de 
q(x)
 é dada por: 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 10 de 13 
 
0,2
0,2
x 2 0
x 2
 

 
 
Sendo 
r
 o resto pedido, temos:  
 
0,2
10
0,2
2
r p 2
r 2 1
r 2 1
r 3

 
 

 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Como o resto da divisão de P por 
x 2
 é 7, 
 P 2 7. 
 
Daí, 
       
3 2
7 4 2 2 5 m 2 3
7 32 4 10 2m 3
2m 30
m 15
         
     


 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Do enunciado, temos:        
 
     
p x a x 3 x 1 x 2 , a 0
p 3 24,
24 a 3 3 3 1 3 2
24 12a
a 2
       

      


 
 
Assim, 
       
       
 
p x 2 x 3 x 1 x 2
p 0 2 0 3 0 1 0 2
p 0 12
      
      

 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
De 
2x x 3, 
 
 2
3 2
3 2
3 2
x x x x 3
x x 3x
x x 3 x 3x x 3
x x 3 x 2x 3
   
 
     
    
 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 11 de 13 
 
   
2 2x 525 523
x 525 523 525 523
x 2 1048
x 2096
 
   
 

 
 
Portanto, a soma dos algarismos será: 
2 0 9 6 17.   
 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
A B (x y) (x y)
C x y
x 2xy y x 2xy y
x y
x 2xy y x 2xy y
x y
4x y
4
x y
   
 

    
 

    
 


 

 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
As raízes são 
3,
 1 e 
1,
 portanto o polinômio poderá ser escrito na forma fatorada por: 
P(x) 1 (x 1) (x 1) (x 3)      
 
 
Portanto, o resto da divisão de 
P(x)
 por 
(x 1)
 será dado por 
P( 1).
 
P( 1) 1 ( 1 1) ( 1 1) ( 1 3) 16            
 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir 
x 0.
 Portanto, o 
termo independente de 
2 3 2 2(x 1) (x x 2)   
 será dado por: 
2 3 2 2(0 1) (0 0 2) 1 4 4        
 
 
Resposta da questão 22: 
 [A] 
 
Efetuando a divisão dos polinômios, temos: 
 
3 2 2
3 2
x 6x 9x 3 x 5x 6
x 5x 6x x 1
    
   
2
2
x 3x 3
x 5x 6
  
 
2x 3 
 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 12 de 13 
 
Portanto, 
P(x) x 1 2x 3
P(x) x 2
   
  
 
 
Construindo o gráfico de 
P(x),
 temos: 
 
 
 
Portanto, a melhor opção é a letra [A]. 
 
Resposta da questão 23: 
 [B] 
 
Sendo a área do quadrado o produto do seus lados, temos que: 
2
Área terreno 1 a a
Área terreno 1 a
 

 
 
2
Área terreno 2 b b
Área terreno 2 b
 

 
 
Logo, como 
a b,
 a diferença entre as áreas é dada por: 
2 2
2 2
Área terreno 1 Área terreno 2 a b
a b (a b) (a b)
  
    
 
 
Resposta da questão 24: 
 [D] 
 
   2 2
7
(7.777) (2.223) 7.777 2.223 7.777 2.223
10000 5.554 5,554 10
     
  
 
 
Resposta da questão 25: 
 [C] 
 
 
 
2
2 22
2
2 22
2
2
y x y1 x xx x y (x y) (x y)xA x y
x y x yx 2 xy y 2 xyx y 2 x y
x x yx xy x y
B
2x 2x 2
       
       
     
     
  
  
 
 
Simuladão Equaciona - POLINÔMIOS – Prof. Paulo Pereira 
 
Página 13 de 13 
 
Como 
y x 0, 
 concluímos que 
A 0
 e 
B 0,
 portanto, 
A B 0. 
 
 
Resposta da questão 26: 
 [C] 
 
2 2 2
2 2
2 2
y x y y x x
M x y x 2 x y y
x y x x y y
y x
x 2 x y y x y 2 x y x y 4 x y
x y
 
         
 
               
 
 
Resposta da questão27: 
 [D] 
 
Aplicando a fórmula do quadrado perfeito temos: 
2 2 2
2 2 2
(3x 2y) (3x) 2 3x 2y (2y)
(3x 2y) 9x 4y 12xy
     
   
 
 
Sabendo que 
2 29x 4y 25 
 e 
xy 2.
 
2(3x 2y) 25 12 2 49    
 
 
Resposta da questão 28: 
 [E] 
 
2 2 2x y 2 (x y) 4 x y 2xy 4 8 2xy 4 xy 2             
 
 
Logo, 
3 3 2 2x y (x y) (x y xy) 2 (8 2) 20         
 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
Sabendo que temos uma diferença de quadrados, temos a seguinte lei: 
2 2a b (a b)(a b)   
 
 
Dessa maneira, segundo a expressão, podemos reescrevê-la: 
2 2(2.341) (2.340) (2341 2340)(2341 2340) 4681 1 4681      
 
 
Resposta da questão 30: 
 [B] 
 
Se 
p(x)
 é divisível por 
(x 1),
 então, 
p(1) 0.
 
Logo, 
3 2p(p(1)) p(0) a 0 b 0 c 0 0.       