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Matemática ENEM MÓDULO 1 Números Naturais As descobertas e o desenvolvimento delas sempre aparecem junto com uma dificuldade ou desafio. Um bebê, por exemplo, mesmo sem conhecer os números, com o tempo começa a perceber a diferença de quantidades. Percebe quando tem pouca ou muita gente em determinado local. Historicamente, o homem também não conhecia os números como conhecemos hoje, e também ao sentir a necessidade de distinguir quantidade, foi criando e desenvolvendo os sistemas de numeração. O sistema de numeração que usamos é o chamado: sistema de numeração decimal indo-arábico. Mas a dificuldade era contar objetos, animais ou pessoas, assim o homem começou relacionar quantidades com símbolos. Depois de muitos e muitos séculos de dificuldades, chegou se a um conjunto numérico, onde cada símbolo deste conjunto corresponde a uma determinada quantidade. Estes símbolos são os que chamamos hoje de números naturais, que foram colocados em um conjunto. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} OBS 1: Perceba que o conjunto dos números naturais é infinito. OBS 2: A notação N* indica o conjunto dos números naturais não-nulos. Assim, podemos denotar: N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = {a 0} Descreveremos agora os elementos que compõem as seis operações fundament Adição: Subtração: parcela + parcela + .... + parcela = soma minuendo – subtraendo = diferença Números Naturais As descobertas e o desenvolvimento delas sempre aparecem junto com uma dificuldade ou desafio. Um bebê, por exemplo, mesmo sem conhecer os números, com o tempo começa a perceber a diferença de quantidades. Percebe ca ou muita gente em Historicamente, o homem também não conhecia os números como conhecemos hoje, e também ao sentir a necessidade de distinguir quantidade, foi criando e desenvolvendo os sistemas de numeração. O sistema de numeração sistema de Mas a dificuldade era contar objetos, animais ou pessoas, assim o homem começou relacionar quantidades com símbolos. Depois de muitos e muitos séculos de dificuldades, chegou- to numérico, onde cada símbolo deste conjunto corresponde a uma determinada quantidade. Estes símbolos são os que chamamos , que foram colocados Perceba que o conjunto dos números indica o conjunto dos . Assim, podemos denotar: N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = {aN / a ≠ Descreveremos agora os elementos que compõem as seis operações fundamentais. Multiplicação Divisão Números Inteiros Com o surgimento do comércio surgiram também algumas dificuldades matemáticas. Uma delas foi como representar uma dívida com símbolos. Percebeu-se que existe o cinco objetos, que é dever cinco objetos. A quantia é a mesma, mas ter e dever são situações opostas. Definiu-se então que toda vez que a quantia representasse uma dívida, menos deveria vir antes do número. Com o tempo, a palavra menos foi substituída pelo sinal usado para indicar a operação de subtração ( Todo número que aparece sinal é chamado de número negativo Juntaram-se aos números números que representavam quantidades negativas (- 1, -5, -23, etc.). Este novo conjunto é o conjunto dos números inteiros Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} OBS 1: O conjunto dos números inteiros é infinito. OBS 2: A notação Z* indic números inteiros não-nulos denotar: Z* = {... , -2, -1, 1, 2, ...} ou Z* = {a parcela + parcela + .... + parcela = soma subtraendo = diferença fator . fator . ... . fator = produto Quociente ATENÇÃO!!! Na divisão, sempre temos que o divisor é diferente de zero e o resto é menor que o divis DivisorDividendo Resto Página 1 Multiplicação: Divisão: Números Inteiros Com o surgimento do comércio surgiram também algumas dificuldades matemáticas. Uma i como representar uma dívida com se que existe o oposto de ter cinco objetos, que é dever cinco objetos. A quantia é a mesma, mas ter e dever são situações se então que toda vez que a quantia representasse uma dívida, a palavra deveria vir antes do número. Com o foi substituída pelo sinal usado para indicar a operação de subtração ( - ). Todo número que aparece acompanhado deste número negativo. se aos números naturais, os números que representavam quantidades 23, etc.). Este novo conjunto é números inteiros. 1, 0, 1, 2, 3, ...} O conjunto dos números inteiros é indica o conjunto dos nulos. Assim, podemos 1, 1, 2, ...} ou Z* = {aZ / a ≠ 0}. fator . fator . ... . fator = produto Quociente ATENÇÃO!!! Na divisão, sempre temos que o divisor é diferente de zero e o resto é menor que o divisor. Divisor Matemática ENEM Números Racionais O conjunto dos números inteiros não satisfaz a necessidade de representar uma parte de algum coisa inteira. Por exemplo, quando repartimos uma pizza em oito pedaços e comemos apenas três, estamos comendo uma parte da pizza, ou ainda, uma fração da pizza. Mas, essa pizza não conseguimos representar com números inteiros. Para representar qualquer que seja a parte, ou, as partes de alguma coisa, usamos números da forma b a (que chamamos de fração que a seja qualquer número inteiro e qualquer número inteiro diferente de zero conjunto de todos os números que podem ser escritos desta forma é chamado de conjunto dos números racionais (Q). Podemos representar: Q = { b a | aZ e bZ* } Portanto, uma fração é sempre escrita Exemplos: a) 3 2 do retângulo: b) 5 7 de R$ 1250,00: R$ 1750,00 - b representa o denominador, que indica em quantas partes o inteiro deve ser dividido. - a representa o numerador, que indica quantas partes serão consideradas. adordeno numerador min Cada figura R$ 1250,00 Dividindo cada figura em 5 partes iguais temos que cada parte vale R$ 250,00 { Números Racionais O conjunto dos números inteiros não satisfaz a necessidade de representar uma parte de alguma coisa inteira. Por exemplo, quando repartimos uma pizza em oito pedaços e comemos apenas três, estamos comendo uma parte da pizza, ou da pizza. Mas, essa fração da pizza não conseguimos representar com números r qualquer que seja a parte, ou, as partes de alguma coisa, usamos números fração), de modo seja qualquer número inteiro e b seja diferente de zero. O os que podem ser escritos desta forma é chamado de conjunto dos . Podemos representar: da forma: do retângulo: Dízimas periódicas Números com infinitas casas decimais, mas que apresentam um período determinado “ponto”. Exemplo: a) 3,2222... ou 2,3 é uma simples, pois o período aparece logo após a vírgula. b) 0,3456565656... ou 34,0 periódica composta, pois o período logo após a vírgula. OBS: Toda dízima periódica é um número RACIONAL, pois pode ser escrito na forma para quaisquer p e q, com q FRAÇÃO GERATRIZ É a fração que gera a dízima periódica. Veja como encontrar uma fração geratriz a partir de uma dízima periódica. Exemplos: a) Considere a dízima 0,333... Igualando esta fração a x, temos: x = 0,333... (1) Multiplicando ambos os membros da equação (1) por 10, temos: 10x = 3,333... (2) Subtraindo a equação (2) pela equação (1), simplificaremos as infinitas casas decimais iguais a 3. Logo, teremos: 9x = 3 , e portanto, Assimsendo, 3 1 é a fração geratriz da dízima 0,333... b) Para encontrar a fração geratriz de 2,3434... utilizaremos processo análogo: 3434,2x Multiplicando os dois membros por 100, temos: 3434,234100 x Subtraindo a 2ª equação pela 1ª: Logo, 99 232 é a fração geratriz de 2,3434... , que indica em quantas partes o inteiro deve que indica Cada figura vale R$ 1250,00 Dividindo cada figura em 5 partes iguais temos R$ 250,00 { Página 2 Dízimas periódicas Números com infinitas casas decimais, mas período a partir de um é uma dízima periódica , pois o período aparece logo após a 5634 é uma dízima , pois o período NÃO aparece Toda dízima periódica é um número RACIONAL, pois pode ser escrito na forma q p 0 . FRAÇÃO GERATRIZ dízima periódica. Veja como encontrar uma fração geratriz a partir de a) Considere a dízima 0,333... , temos: x = 0,333... (1) Multiplicando ambos os membros da equação (1) 0x = 3,333... (2) Subtraindo a equação (2) pela equação (1), simplificaremos as infinitas casas decimais iguais 9x = 3 , e portanto, 3 1 9 3 x é a fração geratriz da dízima b) Para encontrar a fração geratriz de 2,3434... utilizaremos processo análogo: ...3434 Multiplicando os dois membros por 100, temos: ...3434 Subtraindo a 2ª equação pela 1ª: 23299 x é a fração geratriz de 2,3434... Matemática ENEM Números Irracionais Raízes não exatas e dízimas não periódicas em geral. Exemplos: a) 3,12325609... b) c) 5 Números Reais O conjunto dos números reais é a UNIÃO entre o conjunto dos números Racionais e o conjunto dos números Irracionais. IR Q Ir Z IN IR → Conjunto dos números reais. Q → Conjunto dos números racionais. Ir → Conjunto dos números irracionais. Z → Conjunto dos números inteiros. IN → Conjunto dos números naturais. Sistema legal de medidas Tabela 1: Unidades de medidas de comprimento mm → milímetro cm → centímetro dm → decímetro m → metro dam → decâmetro hm → hectômetro km → quilômetro km hm dam m dm cm ← 10 ← 10 ← 10 ← 10 ← 10 ← → x10 → x10 → x10 → x10 → x10 → x10 Números Irracionais Raízes não exatas e dízimas não periódicas em Números Reais UNIÃO entre o conjunto dos números Racionais e o conjunto meros racionais. → Conjunto dos números irracionais. → Conjunto dos números inteiros. → Conjunto dos números naturais. Sistema legal de medidas : Unidades de medidas de cm mm ← 10 ← 10 → x10 → x10 Tabela 2: Unidades de medidas de área mm² → milímetro ao quadrado cm² → centímetro ao quadrado dm² → decímetro ao quadrado m² → metro ao quadrado dam² → decâmetro ao quadrado hm² → hectômetro ao quadrado km² → quilômetro ao quadrado km² hm² dam² m² ← 100 ← 100 ← 100 ← 100 → x100 → x100 → x100 → x100 Tabela 3: Unidades de medidas de Volume mm³ → milímetro ao cubo cm³ → centímetro ao cubo dm³ → decímetro ao cubo m³ → metro ao cubo dam³ → decâmetro ao cubo hm³ → hectômetro ao cubo km³ → quilômetro ao cubo km³ hm³ dam³ m³ ← 1000 ← 1000 ← 1000 ← 1000 → X1000 → x1000 → x1000 → x1000 Observação: 1 litro = 1 dm³ Medidas de tempo 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos Página 3 : Unidades de medidas de área → milímetro ao quadrado ao quadrado → decímetro ao quadrado ao quadrado ao quadrado ao quadrado dm² cm² mm² ← 100 ← 100 ← 100 → x100 → x100 → x100 : Unidades de medidas de dm³ cm³ mm³ ← 1000 ← 1000 ← 1000 → x1000 → x1000 → x1000 : 1 litro = 1 dm³ Medidas de tempo 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos Matemática ENEM EXERCÍCIOS 1 - (ENEM/2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico. Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? a) 75,28 d) 45,76 b) 64,09 e) 30,07 c) 56,95 2 - (ENEM/2013) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa. O empresário decidiu comprar a empresa a) F. b) G. c) H. d) M. e) P. 3 - (ENEM/2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será e de Guarulhos (SP) tem o do Brasil, além do maior aeroporto Em proporção, possui a economia indústrias, conforme mostra o Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a e o menor centro em Cinco empresas de gêneros se à venda. Um empresário, ampliar os seus investimentos, deseja uma dessas empresas. Para escolher qual irá comprar, analisa o lucro (em milhões de de cada uma delas, em função de seus tempos anos) de existência, decidindo comprar a ente o maior lucro médio anual. nta o lucro (em milhões de reais) ao longo do tempo (em anos) de Para o reflorestamento de uma totalmente, com tela, os lados de lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém de comprimento. A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6. b) 7. c) 8 d) 11. e) 4 - (ENEM/2013) O índice de eficiê um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite intervalo entre partos (em meses). a vaca é qualificada como eficiente índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a a) Malhada. d) Mateira. b) Mamona. e) Mimo c) Maravilha. 5 - (ENEM/2014) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de avião entre as duas cidades é de pega um voo que sai de A às 15h e às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve Página 4 para confecção da cerca contém 48 metros A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada e) 12. O índice de eficiência utilizado por para qualificar suas vacas é dado de lactação (em dias) pela (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses).Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo outros). Na comparação de ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a d) Mateira. e) Mimosa. executivo sempre viaja entre as estão localizadas em fusos duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). vo chegue à cidade A no horário que não haja atrasos, ele deve Matemática ENEM pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) a) 16h. b) 10h. c) 7h. d) 4h. e) 1h. 6 - (ENEM/2014) Durante uma epidemia de uma gripe viral, o secretário de saúde de um município comprou 16 galões de álcool em gel, com 4 litros de capacidade cada um, para distribuir igualmente em recipientes para 10 escolas públicas do município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos de recipientes, com suas respectivas capacidades listadas: - Recipiente I: 0,125 litro - Recipiente II: 0,250 litro - Recipiente III: 0,320 litro - Recipiente IV: 0,500 litro - Recipiente V: 0,800 litro O secretário de saúde comprará recipientes de mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada escola, abastecidos com álcool em gel na sua capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos galões de uma só vez. Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve comprar? a) I b) II c) III d) IV e) V 7 - (ENEM/2014) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2 453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura base decimal, é a cidade B, em horário local de Durante uma epidemia de uma de saúde de um município em gel, com 4 litros de igualmente em município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos de om suas respectivas capacidades de comprará recipientes de um mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada ecidos com álcool em gel na sua forma a utilizar todo o gel dos Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve olveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, número decimal 2 453. Para posição, não se da Figura 2, em a) 364. d) 3 640. b) 463. e) 4 603. c) 3 064. 8 - (ENEM/2015) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta cada jogador recebe em mãos formar pares de cartas, sendo mesa e a segunda, uma carta na tenha um valor equivalente àquele da mesa. O objetivo do jogo é verificar consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa um jogador são como no esquema: Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa? a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 9 - (ENEM/2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012. Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012 A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de a) 4,129 x 103 d) 4,129 x 10 b) 4,129 x 106 e) 4,129 x 10 c) 4,129 x 109 10 - (ENEM/2015) A expressão é utilizada para calcular a dose medicamento, dada a dose do adulto: (em criança da idade (em criança da idade criança de dose Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é de 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da cr mas identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 mg de medicamento Y, cuja dosagem Sabe-se que a dose da medicação Y criança estava correta. Página 5 3 640. 4 603. No contexto da matemática iversos materiais didáticos uma professora organizou baralho modificado. No se uma carta do baralho na mesa e nove cartas. Deseja-se a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado e as cartas da mão de jogador são como no esquema: do jogo, quantas cartas da mão jogador podem formar um par com a carta da e) 3 s exportações de soja do Brasil milhões de toneladas no mês de e registraram um aumento em relação de 2011, embora tenha havido uma ao mês de maio de 2012. Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012. quilogramas, de soja exportada rasil no mês de julho de 2012 foi de 4,129 x 1012 4,129 x 1015 expressão "Fórmula de Young" é utilizada para calcular a dose infantil de um do adulto: adulto do dose . 12 anos) (em anos) (em Uma enfermeira deve administrar um medicamento sciente, cuja dosagem de adulto fermeira não consegue descobrir está registrada a idade da criança no prontuário, identifica que, algumas horas antes, foi uma dose de 14 mg de um medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. se que a dose da medicação Y administrada à Matemática ENEM Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a a) 15. b) 20. c) 30. d) 36. e) 40. 11 - (ENEM/2015) A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra imagem. Para controle das aplicações, definiu-se a unidade insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? a) 25 b) 15 c) 13 d) 12 e) 8 12 - (ENEM/2015) Alguns exames médicos requerem uma ingestão de água maior do que a habitual. Por recomendação médica, antes do horário do exame, uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 mililitros a cada meia hora, durante as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foi supermercado comprar água e verificou que havia garrafasdos seguintes tipos: - Garrafa I: 0,15 litro - Garrafa II: 0,30 litro - Garrafa III: 0,75 litro - Garrafa IV: 1,50 litro - Garrafa V: 3,00 litros A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo tipo, procurando atender à recomendação médica ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas garrafas antes do exame. Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente? a) I b) II c) III d) IV e) V 13 - (ENEM/2015) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia na maior pontuação na quinta etapa. ministrar uma dosagem do A insulina é utilizada no com diabetes para o controle aplicação, foi esenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra a se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é na, de forma A um paciente foram diárias: 10 unidades de Qual o número máximo de aplicações por refil que o paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? Alguns exames médicos requerem água maior do que a habitual. Por antes do horário do exame, 1 copo de água de 150 as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foi a um supermercado comprar água e verificou que havia comprar duas garrafas do mesmo o atender à recomendação médica e, ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas la paciente? Um concurso é composto por Cada etapa vale 100 pontos. A candidato é a média de suas ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se A ordem de classificação final desse concurso é a) A, B, C, E, D. b) B, A, C, E, D. c) C, B, E, A, D. 14 - (ENEM/2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, realizado por um ônibus nessa rota dois de seus atuais pontos de parada, por P e Q. Os estudos indicam que o novo ponto instalado, nesse percurso, entre as paradas existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos os pontos T e Q sejam iguais. dados, as coordenadas do novo ponto a) (290 ; 20). d) (440 ; 0) b) (410 ; 0). e) (440 ; 20). c) (410 ; 20). . 15 - (ENEM/2015) Deseja-se comprar óculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa l escolhida será, em milímetros, de a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. 16 - (ENEM/2015) Para economizar em suas contas mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja Página 6 A ordem de classificação final desse concurso é d) C, B, E, D, A. e) E, C, D, B, A. Devido ao aumento do fluxo de empresa de transporte coletivo estudos para a implantação de em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já , de modo que as distâncias idas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre sejam iguais. De acordo com os s, as coordenadas do novo ponto de parada são (440 ; 0) (440 ; 20). se comprar lentes para devem ter espessuras mais próximas 3 mm. No estoque de uma loja, 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura rá, em milímetros, de 3,021. d) 3,07. e) 3,10. Para economizar em suas contas água, uma família de 10 pessoas deseja Matemática ENEM construir um reservatório para armazenar a água captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente para abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família consome, diariamente, 0,08 m³ de água. Para que os objetivos da família sejam atingidos, a capacidade mínima, em litros, do reservatório a ser construído deve ser a) 16. b) 800. c) 1 600. d)) 8 000. e) 17 - (ENEM/2015) A figura representa a vista superior de uma bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação d elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade do seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento vertical. Considere que o volume aproximado dessa bola é dado por V = 4ab². O volume dessa bola, em função apenas de por a) 8b³ b) 6b³ c) 5b³ d) 4b³ e) 2b³ 18 - (ENEM/2015) Alguns medicamentos para felinos são administrados com base na superfície corporal do animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície corporal. O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas, e a área de sua superfície corporal, em metros quadrados. A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de um reservatório para armazenar a água tenha capacidade suficiente a família por 20 dias. Cada pessoa da de água. s da família sejam atingidos, a reservatório a ser e) 16 000. A figura representa a vista americano, cuja forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e te, a metade do seu comprimento de do seu comprimento vertical. diferença entre os comprimentos vertical é igual à metade do comprimento volume aproximado dessa bola é O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado Alguns medicamentos para administrados com base na superfície elino pesando medicamento na dosagem diária de 250 mg uadrado de superfície corporal. elação entre a massa do felino, rea de sua superfície corporal, miligramas, que esse felino deverá a) 0,624. b) 52,0. c) 156,0. d) 19 - (ENEM/2014) Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V – Derrubou t vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho? a) I b) II c) III d) IV 20 - (ENEM/2015) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina? a) 8 b) 80 c) 800 d) 8 000 Gabarito 1 – C 11 – A 2 – B 12 – D 3 – C 13 – B 4 – D 14 – E 5 – D 15 – C 6 – C 16 – E 7 – C 17 - B 8 – E 18 - B 9 – C 19 - D 10 – B 20 - E Página 7 d) 750,0. e) 1 201,9. Boliche é um jogo em que se sobre uma pista para atingir dez formação de base triangular, número de pinos. A razão o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadasdetermina seu Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: rrubou todos os pinos 50 vezes Derrubou todos os pinos 40 Derrubou todos os pinos 20 Derrubou todos os pinos 30 Derrubou todos os pinos 48 Qual desses jogadores apresentou maior e) V A maior piscina do mundo, está localizada no Chile, Mar, cobrindo um terreno de 8 tare corresponde a 1 hectômetro Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta 8 000 e) 80 000 Matemática ENEM MÓDULO 2 Porcentagem Vamos supor que uma prova tenha 60 questões e um aluno acertou 45 destas questões. Podemos dizer então que o aluno acertou questões da prova. Lembrando do que foi estudado sobre frações equivalentes, podemos verificar que: Ou seja, acertar 45 em 60 é equivalente a acertar 75 em 100. Diariamente fazemos esta equivalência, porém utilizamos a representação 75% (setenta e cinco por cento). Logo, * Curiosidade: Este símbolo % ( significa centésimo. Acredita-se que foi derivado da forma abreviada “per %”, para a expressão por cento, utilizada no século XVII. Definição: Dados dois números com b ≠ 0, a taxa porcentual ou porcentagem de a sobre b é a razão 100 x tal que x 100 Podemos indicar 100 x por x% Razão Constantemente comparamos quantidades em nossas vidas. Por exemplo: Você tem R$36,00 e seu irmão R$12,00. É possível comparar essas quantidades através de uma divisão: 36 : 12 = 3. Ou na forma de fração: 3 1 3 12 36 Podemos então dizer que para cada 3 reais que você tem, seu irmão tem 1 real; ou, então, que a razão entre o que você tem e o que seu irmão tem é uma razão de 3 para 1 100 75 60 45 %75 100 75 Vamos supor que uma prova tenha 60 questões e um aluno acertou 45 destas questões. Podemos dizer então que o aluno acertou 60 45 das Lembrando do que foi estudado sobre tes, podemos verificar que: Ou seja, acertar 45 em 60 é equivalente a acertar 75 em 100. Diariamente fazemos esta equivalência, porém utilizamos a representação 75% (setenta e cinco por cento). Logo, Este símbolo % (por cento) se que foi derivado da forma abreviada “per %”, para a expressão Dados dois números a e b, , a taxa porcentual ou porcentagem de b a . Constantemente comparamos quantidades $36,00 e seu irmão R$12,00. É possível comparar essas quantidades através de uma divisão: 36 : 12 = 3. Ou na forma de fração: Podemos então dizer que para cada 3 reais que você tem, seu irmão tem 1 real; ou, o que você tem e o que razão de 3 para 1. OBS: A palavra razão vem de ratio, que em latim, significa divisão. Razões são representadas forma de fração, mas podem também aparecer na forma decimal. Por exemplo, uma r para cinco pode ser representada por 0,4. Proporção Proporção é uma igualdade entre razões. Dados quatro números a, diferentes de zero, dizemos que proporcionais a c e d se, e Lemos esta proporção do seguinte modo: para b assim como c está para d” Exemplo 1: Os números 10, 14, 15 e 21 formam, nesta ordem, uma proporção, pois: 21 15 14 10 De fato: 7 5 14 10 e 21 15 Exemplo 2: Os números 6, 8, 9 e 15 NÃO formam, nesta ordem, uma proporção, pois: 15 9 8 6 De fato: 4 3 8 6 e 15 9 Exemplo 3: Prepara combustível, utilizando metanol quantidades proporcionais a 4 e 9. Com 2700 litros de gasolina, quantos litros de metanol devem ser misturados? Definição: Chamamos de razão de um número a por um número quociente de a por b. Indicamos b a e podemos ler: “ Página 8 OBS: A palavra razão vem de ratio, que em são representadas normalmente na mas podem também aparecer na forma decimal. Por exemplo, uma razão de dois para cinco pode ser representada por 5 2 ou por Proporção Proporção é uma igualdade entre razões. , b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que a e b são se, e somente se d c b a . Lemos esta proporção do seguinte modo: “a está para b assim como c está para d”. Os números 10, 14, 15 e 21 formam, nesta ordem, uma proporção, pois: 7 5 21 15 Os números 6, 8, 9 e 15 formam, nesta ordem, uma proporção, 5 3 Prepara-se determinado combustível, utilizando metanol e gasolina em quantidades proporcionais a 4 e 9. Com 2700 litros de gasolina, quantos litros de metanol Chamamos de razão de um por um número b, com b ≠ 0, o e podemos ler: “a está para b” Matemática ENEM Resolução: Chame de y a quantidade de metanol. Devemos ter as quantidades de metanol e gasolina proporcionais a 4 e 9, portanto: 9 10800 2700.49 9 4 2700 yy y Portanto, temos que misturar 1200 litros de metanol. Grandezas diretamente proporcionais Segundo o dicionário da língua portuguesa: Grandeza: “tudo o que é susceptível de aumento ou diminuição”. A velocidade e a distância perc um carro são grandezas. Perceba que num mesmo espaço de tempo, quanto maior for a velocidade, maior será a distância percorrida, e quanto menor for a velocidade, menor será a distância percorrida. Por exemplo, se viajarmos durante 1 hora e meia a uma velocidade média de 80 percorreremos a distância de 120 km. Porém, na mesma 1 hora e meia, se viajarmos a uma velocidade média de 120 hkm , percorreremos 180 km. Note que a velocidade varia na razão e a distância percorrida na razão 180 120 . Perceba que essas duas razões são iguais a 3 2 . Se verificarmos outros valores, chegaremos a conclusão de que a velocidade média e a distância percorrida em um mesmo espaço de tempo, variam sempre na mesma razão. Por isso dizemos que essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Em alguns casos duas grandezas variam sempre na mesma razão. Nesses casos, dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais. a quantidade de metanol. Devemos ter as quantidades de metanol e gasolina proporcionais a 4 e 9, portanto: 1200 9 10800 Portanto, temos que misturar 1200 litros de Grandezas diretamente Segundo o dicionário da língua “tudo o que é susceptível de aumento ou diminuição”. A velocidade e a distância percorrida por um carro são grandezas. Perceba que num mesmo espaço de tempo, quanto maior for a velocidade, maior será a distância percorrida, e quanto menor for a velocidade, menor será a Por exemplo, se viajarmos durante 1 hora a uma velocidade média de 80 hkm , percorreremos a distância de 120 km. Porém, na mesma 1 hora e meia, se viajarmos a uma , percorreremos Note que a velocidade varia na razão 120 80 . Perceba que essas duas razões são iguais . Se verificarmos outros valores, chegaremos a conclusão de que a velocidade média e a o espaço de tempo, variam sempre na mesma razão. Por isso dizemos que essas duas grandezas são Grandezas inversamente proporcionais Suponha que vamos fazer uma viagem de 180 km. Perceba que quanto maior for a velocidade média, menor será o tempo gasto na viagem; e quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo gasto na viagem. Se, por exemplo, fizermos essa viagem a uma velocidade média de 120 hkm , levaremos 1 hora e meia para chegar. Porém, se fizermos a viagem a uma velocidade média de 90 km horas. Note que a velocidade varia na razão e o tempo na razão 2 5,1 . Perceba: 4 3 2 5,1 , ou seja, em uma mesma distância percorrida, a velocidade média e o tempo gasto variam uma na razão inversa da outra. Dizemos então que essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Regra de três simples Podemos utilizar uma regra de tr simples quando relacionamos duas grandezas que variam de maneira proporcional. Mas sabemos que duas grandezas podem ser inversamente proporcionais levado em consideração antes mesmo de iniciar qualquer tipo de cálculo. Veja o método prático de resolução de regra de três simples, tanto com grandezas diretamente proporcionais, quanto com grandezas inversamente proporcionais. Em alguns casos duas grandezas variam mesma razão. Nesses casos, diretamente Em alguns casos duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra. Nesses casos, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais Página 9 Grandezas inversamente proporcionais Suponha que vamos fazer uma viagem de 180 km. Perceba que quanto maior for a idade média, menor será o tempo gasto na viagem; e quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo gasto na viagem. Se, por exemplo, fizermos essa viagem a uma velocidade , levaremos 1 hora e meia m, se fizermos a viagem a uma hkm , levaremos 2 Note que a velocidade varia na razão 90 120 . Perceba: 3 4 90 120 e , ou seja, em uma mesma distância percorrida, a velocidade média e o tempo gasto variam uma na razão inversa da outra. Dizemos então que essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Regra de três simples Podemos utilizar uma regra de três simples quando relacionamos duas grandezas que variam de maneira proporcional. Mas sabemos que duas grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais, e isso deve ser levado em consideração antes mesmo de iniciar eja o método prático de resolução de regra de três simples, tanto com grandezas diretamente proporcionais, quanto com grandezas inversamente proporcionais. Em alguns casos duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra. Nesses casos, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais. Matemática ENEM Exemplo 1: Uma máquina copiadora faz 120 cópias em 5 minutos. Quantas cópias ela fará em 8 minutos? Resolução: Primeiramente devemos colocar os dados em uma tabela e definir se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. Perceba que, como a máquina é a mesma, quanto mais cópia tiver que fazer, tempo irá gastar, ou seja, as grandezas são diretamente proporcionais. Como temos grandezas diretamente proporcionais, podemos igualar as razões diretas. 8 5120 x Multiplicando em cruz: 192 5 960 9605 8.1205 x x x x Resposta: Fará 192 cópias em 8 minutos. Exemplo 2: Doze operários fazem certa obra em 6 dias. Se três destes operários ficarem doentes, em quantos dias a obra ficará pronta? Resolução: Neste caso, podemos perceber que quanto menos operários trabalhando, mais obra levará para ficar pronta. Assim, grandezas inversamente proporcionais. Como três operários ficaram doentes, passamos a ter 9 operários. Ou seja, Sendo as grandezas inversamente proporcionais, devemos igualar as razões invertendo uma delas, ou seja: Cópias ↑ Tempo (min) 120 x 5 8 Operários ↓ Dias ↑ 12 9 6 x Uma máquina copiadora faz 120 cópias em 5 minutos. Quantas cópias ela fará Primeiramente devemos colocar os dados em uma tabela e definir se as grandezas diretamente ou inversamente . Perceba que, como a máquina é a cópia tiver que fazer, mais ja, as grandezas são Como temos grandezas diretamente proporcionais, podemos igualar as razões diretas. Fará 192 cópias em 8 minutos. oze operários fazem certa obra em 6 dias. Se três destes operários ficarem doentes, em quantos dias a obra ficará pronta? Neste caso, podemos perceber que mais dias a obra levará para ficar pronta. Assim, temos inversamente proporcionais. Como três operários ficaram doentes, passamos Sendo as grandezas inversamente proporcionais, devemos igualar as razões 8 9 72 729 6.129 69 12 x x x x x Resposta: Ficará pronta em 8 dias Regra de três composta Quando o problema apres duas grandezas envolvidas, devemos utilizar a regra de três composta. O método prático de resolução é muito parecido com o da regra de três simples. Veja nos exemplos: Exemplo 1: (FCC) Em 3 dias, 72000 bombons são embalados, usando embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108000 bombons? Resolução: Na regra de três composta temos mais grandezas envolvidas e assim, “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a variável e verificar se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas. Veja, Assim, podemos fazer: . 108000 720003 x Fazendo as simplificações, temos 3 12 3 4 33 xx x x Resposta: Em 4 dias. Tempo (min) ↑ Dias↑ Bombons ↑ Máq. 3 x 72000 108000 Página 10 6 Ficará pronta em 8 dias Regra de três composta Quando o problema apresenta mais de duas grandezas envolvidas, devemos utilizar a O método prático de resolução é muito parecido com o da regra de três simples. Veja nos (FCC) Em 3 dias, 72000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108000 bombons? Na regra de três composta temos mais grandezas envolvidas e assim, devemos “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a variável e verificar se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas. Veja, 8 6 . 2 3 Fazendo as simplificações, temos 4 12 Máq. ↓ h/dia ↓ 2 3 8 6 Matemática ENEM Exemplo 2: (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em quanto tempo? Resolução: Da mesma forma, temos que “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a variável e verificar se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma das outras grandezas. Perceba que tivemos um aumento de 50% nos boletos. Trabalhando com porcentagem, podemos montar da seguinte forma: Assim sendo, 5,1 2 3 32 1 23 1 3 . 150 1003 xx x x x Resposta: Realizarão o trabalho em 1,5 horas, ou seja, 1h30min. EXERCÍCIOS 1 - (ENEM/2013) Muitos processos fisioló bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por da expressão: a) MkS . c) 3 1 3 1 .MkS e)S b) 3 1 .MkS d) 3 2 3 1 .MkS Impressoras↓ Boletos (%)↑ 1 3 100 150 (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o temos que “fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a se esta grandeza é diretamente ou inversamente proporcional a cada Perceba que tivemos um aumento de 50% nos boletos. Trabalhando com porcentagem, Realizarão o trabalho em 1,5 horas, Muitos processos fisiológicos e batimentos cardíacos e taxa as construídas a partir massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera área S da superfície de um mamífero é massa M”. . São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). a dizer que, para uma constante k > em função de M por meio ².3 1 MkS 2 - (ENEM/2013) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não fo A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é a) 70 17 b) 53 17 c) 70 53 d) 3 - (ENEM/2013) Uma indústria tem um de água com capacidade para 900 m necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um n capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo rese igual a a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. 4 - (ENEM/2013) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de a) R$ 900,00. b) R$ 1 200,00. c) R$ 2 100,00. d) R$ 3 900,00. e) R$ 5 100,00. Horas↑ 3 X Página 11 m um certo teatro, as poltronas res. A figura apresenta a vista no qual as cadeiras escuras não foram vendidas. A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras d) 17 53 e) 17 70 (ENEM/2013) Uma indústria tem um reservatório capacidade para 900 m³. Quando há de limpeza do reservatório, toda a água escoada. O escoamento da água é feito por horas quando o reservatório está Esta indústria construirá um novo reservatório, com ³, cujo escoamento da água realizado em 4 horas, quando o io. Os ralos utilizados no novo ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser 8. e) 9. contribuinte que vende mais de em Bolsa de Valores em um mês de Renda. O pagamento para a em 15% do lucro obtido Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). vende por R$ 34 mil um lote de 26 mil terá de pagar de Imposto à Receita Federal o valor de Matemática ENEM 5 - (ENEM/2013) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m³ de concreto. Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00 6 - (ENEM/2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm desconto adicional de 10% sobre o valor total compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. 7 - (ENEM/2013) Um dos grandes probl enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? a) 300 tijolos d) 480 tijolos b) 360 tijolos e) 600 tijolos c) 400 tijolos 8 - (ENEM/2013) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL). a se construir um contrapiso, é onstituição do concreto, se utilizar na seguinte proporção: 1 parte areia e 2 partes de brita. Para de uma garagem, uma caminhão betoneira com na carga de 8,00 ra aumentar as vendas no início de departamentos remarcou os 20% abaixo do preço os clientes que direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas Um cliente deseja comprar um produto que custava a remarcação de preços. Ele não possuísse o cartão fidelidade da obteria ao efetuar a 5,00. e) 4,00. Um dos grandes problemas brasileiras é o excesso de caminhões. Dimensionado limites legais de carga, o com o peso excessivo excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas Ciente dessa responsabilidade e com base na ncia adquirida com pesagens, um sabe que seu caminhão pode carregar, Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a Nos Estados Unidos a unidade de volume mais utilizada em latas de onça fluida (fl oz), que equivale a Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do l que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL. Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de a) 0,83. b) 1,20. c) 12,03. d) 104,73. e) 120,34. 9 - (ENEM/2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas. Há interesse em estimar o número de vezes que ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é a) menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20. c) maior que 20 e menor que 30. d) maior que 30 e menor que 40. e) maior que 40. 10 - (ENEM/2013) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, defeituosos. Por sua vez, 1000 produzidos no mesmo mês pela máquin defeituosos.O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. Página 12 se que o centilitro é a centésima parte do litro e rante usualmente comercializada Brasil tem capacidade de 355 mL. lume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de figura apresenta dois mapas, em Rio de Janeiro é visto em diferentes Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no maior que 10 e menor que 20. maior que 20 e menor que 30. maior que 30 e menor que 40. Uma fábrica de parafusos possui I e II, para a produção de certo tipo de quina I produziu 100 54 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, 1000 25 eram 1000 38 dos parafusos mês pela máquina II eram ho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a parafuso escolhido ao acaso ser Matemática ENEM O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como a) excelente. d) ruim. b) bom. e) péssimo. c) regular. 11 - (ENEM/2013) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do t apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, e reais, de cada produto comercializado. Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, a) A, A, A, A. d) B, A, A, B. b) A, B, A, B. e) B, B, B, B. c) A, B, B, A. 12 - (ENEM/2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliz cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias. O desempenho conjunto dessas máquinas, em Um comerciante visita um centro cotação de preços dos produtos Verifica que se aproveita 100% de produtos do tipo A, mas tipo B. Esse comerciante de produtos, obtendo um deles. O quadro reais, de cada jão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, A Secretaria de Saúde de um rograma que disponibiliza, para escola municipal, uma bicicleta, trajeto de ida e volta, entre sua de implantação do programa, distante da escola realizou na figura, na período de cinco dias. Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 13 - (ENEM/2014) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto central receberá 60% da carga da ponte, da carga será distribuído igualmente entre os dois pontos de sustentação. máxima, as cargas recebidas pelos três sustentação serão, respectivamente, a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t. b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t. c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t. d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t. e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t. 14 - (ENEM/2014) A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica demográfica tabela apresenta os dados obtidos pelos 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, fecundidade no Brasil. Suponha que a variação percentual relativa na taxa fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020. Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil estará mais próxima de a) 1,14. b) 1,42. c) 1,52. d) 15 - (ENEM/2014) Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$ 400 000,00, distribuídos de 1. No ano seguinte, a empresa funcionários, mantendo o mesmo cada categoria. Os demais custos da permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução está no Gráfico 2. Página 13 esse aluno percorreu na fase de 20 e) 40 Uma ponte precisa ser possa ter três pontos de carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros No caso de carga as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente, xa de fecundidade é um condição reprodutiva média e é importante para uma análise da dinâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de ção percentual relativa na taxa de odo de 2000 a 2010 se repita no Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil d) 1,70. e) 1,80. Uma empresa de alimentos diferentes de remuneração a seus acordo com o grau de instrução cargo. No ano de 2013, a de 10 milhões de reais por com a folha salarial de acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para goria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau Matemática ENEM Qual deve ser o aumento na receita da em que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de a) R$ 114 285,00 d) R$ 210 000,00 b) R$ 130 000,00 e) R$ 213 333,00 c) R$ 160 000,00 16 - (ENEM/2014) Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de sem nenhum tratamento são lançados todos os nas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser a) 72% d) 54% b) 68% e) 18% c) 64% Qual deve ser o aumento na receita da empresa para o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013? Uma organização não levantamento de dados brasileiras sobre indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias ra melhorar o saneamento básico ades tem como meta a redução da de esgoto lançado nas águas diariamente, tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e se concretizar, o percentual 17 - (ENEM/2014) A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem o cálculo da velocidade média desenvolvida por um veículo em um trecho da via. As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a calculada como sendo a razã percorrida e o tempo gasto para percorrê O teste realizado mostrouque o tempo que permite uma condução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1 minuto e 24 segundos. Com isso, a CET prec instalar uma placa antes do primeiro informando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os que atendem às condições de condução segura observadas. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado). A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a essas condições é Página 14 A Companhia de Engenharia de São Paulo testou em 2013 novos cálculo da velocidade média em um trecho da via. cidade deixariam de ocorrer de se passar pelo radar, e seriam da velocidade média no trecho, gasto no percurso entre um se que a velocidade média é calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. mostrou que o tempo que permite ura de deslocamento no percurso es deveria ser de, no mínimo, 1 om isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar locidade média máxima permitida O valor a ser exibido na placa ssível, entre os que atendem às condução segura observadas. 1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado). ão que informa a velocidade que Matemática ENEM 18 - (ENEM/2014) Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão: O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador? a) 134,1 b) 135,0 c) 137,1 d) 138,6 19 - (ENEM/2014) O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recur naturais, dispondo de umadas maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram 470 milhões de hectares. Aproximadamente milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões pastagens e 80 milhões para a agricultura, lavouras anuais e as perenes, como o café fruticultura. FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de a) 32,8% b) 28,6% c) 10,7% d) 9,4% 20 - (ENEM/2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. Em uma cidade, o valor total da elétrica é obtido pelo produto entre o e o valor da tarifa do kWh (com Cosip (contribuição para conforme a fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. , em uma residência, todo mês o seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com R$ 0,50. O morador dessa residência seu consumo mensal de energia reduzir o custo total da áximo, em kWh, dessa para produzir a redução pretendida pelo e) 143,1 O Brasil é um país com uma clara no terreno dos recursos das maiores áreas com Especialistas calculam do país, as cidades, preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a ernativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011. ados apresentados, o percentual a utilizada para agricultura em tório brasileiro é mais próximo 9,4% e) 8,0% Para analisar o desempenho de se estudos em ios e doentes. distintas podem acontecer nesse ça e o resultado do 2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de um diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico para doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos. Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de a) 47,5%. d) 94,4%. b) 85,0%. e) 95,0%. c) 86,3%. 21 - (ENEM/2014) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, - 25% são para tomar banho, lavar as mã escovar os dentes. - 33% são utilizados em descarga de banheiro. - 27% são para cozinhar e beber. - 15% são para demais atividades. No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consum água por pessoa, por dia, em algumas atividades. Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água, a) 30,0. b) 69,6. c) 100,4. d) 130,4. e) 170,0. Página 15 2) Paciente TEM a doença e o resultado do O TEM a doença e o resultado 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado a avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a tado do teste ser POSITIVO paciente estiver com a doença. se a um teste diagnóstico para a ado em uma amostra composta por Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade De acordo com a ONU, da água 25% são para tomar banho, lavar as mãos e 33% são utilizados em descarga de 27% são para cozinhar e beber. 15% são para demais atividades. mo de água por pessoa chega, em O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades. otar o consumo de água indicado endo o mesmo consumo nas demais tão economizará diariamente, em Matemática ENEM 22 - (ENEM/2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era a) R$ 166,00. d) R$ 46,00. b) R$ 156,00. e) R$ 24,00. c) R$ 84,00. 23 - (ENEM/2014) Os vidros para veículo produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa,atravessa o vidro e a película. De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é a) [35 ; 63]. d) [50 ; 90]. b) [40 ; 63]. e) [70 ; 90]. c) [50 ; 70]. 24 - (ENEM/2015) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o de pessoas que venham a desenvolver câncer de de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Uma pessoa compra loja, sempre a mesma custa R$ 10,00 a gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária de eventuais chegar à loja, produto havia concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade A quantia que essa pessoa levava semanalmente para Os vidros para veículos têm transparências fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue lo. Os veículos equipados com vidros desse taladas, nos vidros das portas, cuja transparência, dependendo tará entre 50% e 70%. Considere da intensidade da luz, de uma fonte externa, atravessa o vidro e as informações, o intervalo das ue representam a variação total O HPV é uma doença Uma vacina com eficácia de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número m a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada alvo de meninas se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina faixa etária, escolhida ao acaso, vir a doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: Proposta I: vacinação de 90% d Proposta II: vacinação de 55,8% do público Proposta III: vacinação de 88,2% do público Proposta IV: vacinação de 49% do público Proposta V: vacinação de 95,9% do público Para diminuir os custos, a propost ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas. Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado). A proposta implementada foi a de número a) I. b) II. c) III. d) IV. 25 - (ENEM/2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado seguinte, investiu em tecnologia adquirindo máquinas e aumentou a produção em 50%. que esse aumento percentual se repita nos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funciona Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas função de t, para t ≥1? a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000 b) P(t) = 50 · t -1 + 8 000 c) P(t) = 4 000 · t -1 + 8 000 d) P(t) = 8 000 · (0,5) t -1 e) P(t) = 8 000 · (1,5) t -1 26 - (ENEM/2015) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180 000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, efetiva de 1% ao mês. A primeira um mês após a liberação dos recu prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de a) 2 075,00. b) 2 093,00. c) 2 138,00. d) 2 255,00. e) 2 300,00. Página 16 de cobertura, de modo a Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. s, a proposta escolhida deveria ue vacinasse a menor quantidade Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado). A proposta implementada foi a de número e) V. O acréscimo de tecnologias no industrial tem por objetivo reduzir produtividade. No primeiro ano indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano stiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. a quantidade anual de produtos de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em Um casal realiza um R$ 180 000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do que, a cada pagamento, o saldo m R$ 500,00 e considere que não o dessa forma, o valor, em ser pago ao banco na décima prestação é de Matemática ENEM 27 - (ENEM/2015) Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos dessa população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total. Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado). Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faix mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres? a) 240,40 b) 548,11 c) 1 723,67 d) 4 026,70 e) 5 216,68 28 - (ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento ( pegada, na fotografia, estão indicados no esquema. A largura e o comprimento reais da centímetros, são, respectivamente, iguais a a) 4,9 e 7,6. b) 8,6 e 9,8. c) 14,2 e 15,4. d) 26,4 e 40,8. e) 27,5 e 42,5. 29 - (ENEM/2015) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas). Segundo dados apurados no população de 101,8 milhões de ou mais de idade e que teve 2010, a renda média A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres as 1,1% do total de rendimentos nto que a soma rendimentos mensais dos 10% mais ricos Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado). , em reais, entre a renda média iro que estava na faixa dos 10% sileiro que estava na faixa dos (ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma uma caneta de 16,8 cm de uma pegada. O comprimento ) e o comprimento (C) da indicados no esquema.
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