Lista de exercícios

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Lista de exercícios 
Esta lista não é para entregar, só para estudo
Calcule as derivadas , , , , 
 Calcule a as derivadas parciais e , no ponto .
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Um pouco de teoria
Dois produtos são chamados de produtos substitutos se o aumento da demanda de um resulta na diminuição da demanda do outro. Produtos substitutos são competitivos, como, por exemplo, manteiga e margarina.
Dois produtos são chamados complementares se o aumento da demanda de um resulta no aumento da demanda do outro; é o caso, por exemplo, de computadores e impressoras. 
As derivadas parciais podem ser usadas para verificar se dois produtos são substitutos ou complementares. 
Agora, suponha que unidades de um produto 1 e unidades de um produto 2 sejam vendidas quando os preços unitários dos dois produtos são , onde é o preço do produto 1 e é o preço do produto 2.
É de se esperar que as demandas diminuam quando os preços aumentam; quando isto ocorre quando as derivadas parciais de primeira ordem são negativas, ou seja, espera-se que:
 , isto é, a derivada parcial da função da demanda do produto 1 em relação o preço que é o preço do produto 1 é negativa.
e , isto é, a derivada parcial da função da demanda do produto 2 em relação o preço que é o preço do produto 2 é negativa.
No entanto, no caso de produtos substitutos, a demanda de um produto aumenta quando o preço do outro aumenta, ou seja, quando o preço do produto 2 aumenta, a demanda (isto é, o interesse) do produto 1 aumenta, do mesmo modo quando o preço do produto 1 aumenta, a demanda (isto é, o interesse) do produto 2 é que aumenta. 
Em termos matemáticos, Isto significa que a derivada parcial da função de demanda em relação a (preço do produto 2) é positiva quando o preço aumenta, isto é,
Do mesmo, modo, a derivada parcial da função de demanda em relação a (preço do produto 1) é positiva quando o preço aumenta, isto é,
 Agora, se os produtos são complementares, a demanda de um produto diminui quando o preço do outro aumenta. 
Em termos matemáticos, isto significa que a derivada parcial da função de demanda do produto 1 em relação ao preço do produto 2 é negativa, quando o preço do produto 2 aumenta e a derivada parcial da função de demanda do produto 2 é negativa quando preço do produto 1 aumenta, ou seja, 
 e 
Exemplo: A demanda de farinha de trigo em um certa cidade é dada por:
Enquanto que a demanda de pão é dada por
Em que, é o preço do quilo de farinha de trigo e é o preço do pão francês de 50 gramas. Verifique se o pão e a farinha são produtos substitutos ou complementares. 
Solução 
Calculando as derivadas parciais relevantes (veja a teoria acima) temos 
Como as duas derivadas parciais são sempre negativas, a conclusão que se chega é que a farinha e o pão são bens complementares. (note que neste caso não importa o preço dos produtos, a derivadas parciais das funções de demandas de ambos os produtos são sempre negativas).
Exercícios
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