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HIDRÁULICA II UNIDADE: Análise de Condutos Livres Estácio FIB. Coordenação de Engenharia Civil 12/03/2019 Docente: Audenice Silva audenicesilva.silva@gmail.com CONTEÚDO 2.0 Análise de Condutos livres 2.1 Análise e Caracterização do escoamento em condutos livres 2.2 Medição e Controle de Vazão em Condutos Livres 2.3 Dimensionamento de Canais 3.0 Bibliografia 2.0 Análise de Condutos Livres 2.1 Análise e caracterização do escoamento em conduto livre • Os condutos livres apresentam superfície livre onde atua a pressão atmosférica, enquanto que, nos condutos forçados, o fluído enche totalmente a seção e escoa com pressão diferente da atmosférica. • Os rios e ribeiras (cursos d’água naturais) são os melhores exemplos de condutos livres; além destes, os canais de irrigação, os coletores de esgotos, os aquedutos, etc., funcionam também sob regime de escoamento livre. • Portanto, canais são todos os condutos que conduzem águas com uma superfície livre, com seção aberta ou fechada, e o escoamento se dá pela ação da força gravitacional. • De acordo com a forma geométrica da seção transversal: – Seções Prismáticas: possuem seção transversal e declividade de fundo constantes ao longo do comprimento - Seção retangular, Trapezoidal, Triangular, circular, etc. – Seções Não Prismática: Seções não uniformes - Canais naturais Classificação dos canais Dificuldades para o cálculo em canais • Apesar da hipotética semelhança nos escoamentos livres e sob pressão, os problemas apresentados pelos canais são mais difíceis de resolverem porque a superfície livre (SL) pode variar no espaço e no tempo e portanto variam também a profundidade de escoamento, a vazão, sendo a inclinação do fundo e a inclinação da superfície livre grandezas interdependentes. São de difícil obtenção os dados experimentais sobre condutos livres. Constituem propriedades da seção transversal do canal, as quais podem ser caracterizadas pela forma geométrica e pela altura da água. Elementos geométricos da seção transversal Seção ou área molhada (A): seção transversal perpendicular à direção de escoamento que é ocupada pelo líquido. Perímetro molhado (P): comprimento da linha de contorno relativo ao contato do líquido com o conduto. Largura superficial (B): Largura da superfície líquida em contato com a atmosfera. Profundidade (y): É a distância do ponto mais profundo da seção do canal e a linha da superfície livre. Raio Hidráulico (Rh): É a razão entre a área molhada e o perímetro molhado. 𝑅ℎ = 𝐴𝑀 𝑃𝑀 Profundidade hidráulica/média (yh): Razão entre a área molhada (AM) e a largura superficial (B). 𝑌ℎ = 𝐴𝑀 𝐵 Azevedo Netto, 1998 Declividade recomendas para taludes de Canais • Para obter estabilidade das paredes laterais dos canais não-revestidos, a declividade dos taludes deve ser determinada em função da estabilidade do material com o qual se construirá o canal. Na Tabela a seguir estão relacionadas as declividades de taludes mais usuais para canais não revestidos, de diversos materiais. Atividade 1. Determine os elementos geométricos da seção transversal abaixo com inclinação dos taludes 1:0,58. Gabarito: AM= 4,32m 2, PM=5,62m, Rh= 0,77m e B = 3,32m – Nos canais, o atrito entre a superfície livre e o ar acentua as diferenças das velocidades nos diversos pontos da seção transversal. – As velocidades aumentam da margem para o centro e do fundo para a superfície. 2.1.2 Variação da velocidade Limites aconselháveis de Velocidades para Escoamentos Livres Energia Total na Seção Transversal de um Canal • A energia correspondente a uma seção transversal (HT) de um canal é dada pela soma de três cargas: Cinética, Altimétrica e Piezométrica. • 𝐻𝑇 = 𝑍 + 𝑦 +∝ 𝑣2 2𝑔 • 𝐻𝑇 = 𝑍 + 𝑦 + 𝑣2 2𝑔 Na prática adota-se o valor ∝=1, com aproximação razoável, resultando : Energia Total • A energia específica (He) representa a energia medida a partir do fundo do canal para uma dada vazão (Q). Energia específica Energia Específica 𝐻𝑒 = 𝑦 + 𝑣2 2𝑔 , 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝑣 = 𝑄 𝐴 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑣2 = 𝑄2 𝐴2 , 𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝐻𝑒 = 𝑦 + 𝑄2 2𝑔𝐴2 Energia Potencial Energia Cinética Azevedo Netto, 1998 Regimes de Escoamento Sendo a vazão constante e a área da seção em função da profundidade, A = f(y), a energia específica (He) dependerá apenas de y, logo: Esta expressão permite estudar a variação da energia específica em função da profundidade para uma vazão constante. 𝐻𝑒 = 𝑦 + 𝑄2 2𝑔 𝑓 𝑦 2 • Desta forma, estudando a variação de energia específica, em função da profundidade, resultará num gráfico típico, conforme abaixo. Regimes de Escoamento a) A partir do gráfico verifica-se que o valor mínimo da energia específica 𝑦 + 𝑣2 2𝑔 ocorre no ponto C, que corresponde ao valor da profundidade crítica (yc). A profundidade crítica é aquela para qual ocorre a maior vazão quando se tem uma carga específica estabelecida (neste caso o Número de Froude é igual a 1). Num canal retangular a 𝒚𝒄 ≅ 𝟎, 𝟒𝟕𝑸 𝟐/𝟑 b) Para dado valor E > Ec da energia específica, existem dois valores de profundidade yf e yt. Regimes de Escoamento yf > yc Regime Fluvial ou Subcrítico, que tem como características: Baixas velocidades “v” Altas profundidades “y” yt < yc Regime Torrencial ou Supercrítico, que tem como características: Altas velocidades “v” Baixas profundidades “y” Y = yc Regime Crítico • Como Q e A é a mesma, o que irá determinar o regime do escoamento será a declividade (i) do fundo do canal. A Declividade Crítica (ic) é aquela que estabelece a Profundidade Crítica, portanto o regime segundo a declividade, será: Regimes de Escoamento Para I = Ic Declividade crítica, o regime é crítico Para I < Ic O regime é subcrítico Para I > Ic O regime é supercrítico • A caracterização dos regimes de escoamento quanto a energia é efetuada através de um número adimensional denominado Número de Froude (Fr). Esse número é estimado pela seguinte equação: 𝐹𝑟 = 𝑣 𝑔𝑦ℎ , 𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑣 = a velocidade de escoamento (m/s); 𝑔 = a aceleração da gravidade (m/s2); 𝑦ℎ = a profundidade hidráulica (m). Para Fr = 1 O regime de escoamento é crítico Para Fr < 1 O regime é subcrítico Para Fr > 1 O regime é supercrítico Caracterização dos regimes de escoamento quanto a energia para a dimensão característica da seção L = ym, obtém: Sabendo-se que ym = Am/B e v = Q/A 𝐹𝑟 = 𝑣 𝑔×𝑦𝑚 ∴ 𝐹𝑟 = 𝑄 𝐴𝑚 𝑔× 𝐴𝑚 𝐵 ∴ 𝐹𝑟 = 𝑄2×𝐵 𝑔×𝐴3 Caracterização dos regimes de escoamento quanto a energia Lg v Fr . m r yg v F . • Escoamento critico – Uma maneira básica de se calcular a altura critica em um conduto livre. É o cálculo direto baseado no número de Froude igual a 1, que é o mais preciso. • Para Fr = 1 a velocidade média crítica será: • Como a vc 2 = g.ym , vc = Qc/A e ym = AM /B. Então: m r yg v F . myg v . 1 mc ygv . B A g A Qc 2 2 B Ag Q AgBQ c c 3 2 32 . .. Caracterização dos regimes de escoamento quanto a energia ∴ 𝑄𝐶 = 𝑔 × 𝐴3 𝐵 • Outras Classificações para escoamentos – Número de Reynolds – Re – Considerando-se o comprimento (L) a dimensãotípica linear, a equação: – νH2O = 0,000001 m 2/s ou 1.10-6 m2/s (T = 200C) • Para o Diâmetro (D) como dimensão típica linear, a equação: • Para as seções não circulares a dimensão típica linear DH = 4RH , a equação: • Tratando-se de canais ou condutos livres, H como termo linear, a equação: • Classificando-se os escoamentos em: Re ≤ 2000 - escoamento laminar; 2000 < Re < 4000 - escoamento de transição/crítica e Re > 4000 escoamento turbulento. Regimes de Escoamento Lv Re vD Re H e Rv R 4 Hv Re Dimensionamento em Condutos livres - Canais 2.1.4 Dimensionamento hidráulico – Escoamento permanente e uniforme – Entre as equações empíricas válidas para o dimensionamento de condutos livres ou canais em regime de escoamento permanente e uniforme, sem dúvida a equação de Manning é a mais tradicional. A equação fundamental da qual se originaram as demais foi apresentada por Chézy em 1769, conforme a equação: 𝒗 = 𝑪 𝑹𝒉 × 𝑰 , onde: v: velocidade de escoamento, em m.s-1; Rh: raio hidráulico (m) I : declividade do canal, m.m-1. 𝐼 = ∆𝐻(𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑚 𝑜 𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜 𝑒 𝑜 𝑓𝑖𝑚 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙) 𝐿 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠) C: Coeficiente de Chézy (natureza e estado das paredes e da forma). • Manning propôs (1890) que o Coeficiente C fosse calculado por : 𝐶 = 𝑅ℎ 1/6 𝑛 ∴ 𝑣 = 1 𝑛 × 𝑅ℎ 2/3 × 𝐼1/2 𝑒 𝑄 = 1 𝑛 × 𝐴𝑚 × 𝑅ℎ 2/3 × 𝐼1/2 (m3/s) O coeficiente de rugosidade de Manning “n” Dimensionamento em Condutos livres - Canais Natureza das Paredes Condições Muito boas Boas Regulares Más Condutos de aduelas de madeira 0,010 0,011 0,012 0,013 Calhas de pranchas de madeira aplainada 0,010 0,012* 0,013 0,014 Idem, não aplainada 0,011 0,013* 0,014 0,015 Idem, com pranchões 0,012 0,015* 0,016 - Canais com revestimento de concreto 0,012 0,014* 0,016 0,018 Alvenaria de pedra argamassada 0,017 0,020 0,025 0,030 Alvenaria de pedra seca 0,025 0,033 0,033 0,035 Alvenaria de pedra aparelhada 0,013 0,014 0,015 0,017 Calhas metálicas lisas (semicirculares) 0,011 0,012 0,013 0,015 Idem corrugadas 0,0225 0,025 0,0275 0,030 Canais de terra, retilíneos e uniformes 0,017 0,020 0,0225* 0,025 Canais abertos em rocha, uniformes 0,025 0,030 0,033* 0,035 Idem, irregulares; ou de paredes de pedras 0,035 0,040 0,045 - Canais dragados 0,025 0,0275* 0,030 0,033 Canais curvilíneos e lamosos 0,0225 0,025* 0,0275 0,030 Canais com leito pedregoso e vegetação nos taludes 0,025 0,030 0,035* 0,040 Canais com fundo de terra e taludes empedrados 0,028 0,030 0,033 0,035 Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto E s c o a m e n to P e rm a n e n te e U n if o rm e - V a lo re s d e n p / M a n n in g Em função do diâmetro (D), a fórmula tem as seguintes expressões para condutos funcionando à seção plena: 𝑣 = 1 𝑛 × 0,397. 𝐷2/3 × 𝐼1/2 𝑄 = 1 𝑛 × 0,312𝐷8/3 × 𝐼1/2 Apesar da fórmula de Manning ter sido estabelecida para condutos livres, também se aplica ao cálculo dos condutos forçados. Dimensionamento em Condutos livres - Canais No dimensionamento de um conduto circular com escoamento permanente, aceita-se como a máxima relação y/D o valor 0,80, ou seja não se deve aproveitar o acréscimo da capacidade de transporte que se verifica para a relação y/D até 0,94, pois o instabilidade da superfície pode afogar o escoamento diminuindo a capacidade de transporte. Exercícios 1. Qual a vazão de um canal retangular, com reboco de cimento não muito alisado(n=0,016), com 1,20 m de largura, com uma declividade de 4,0 m em 10.000 m e uma profundidade d’água de 0,60 m? Gabarito: Q = 0,403 m3/s 2. Em um laboratório hidráulico foi medida uma vazão de 0,393 m3/s em um canal retangular de 1,20 m de largura e 0,6 m de profundidade. Se a declividade do canal era 0,0004 m/m, qual o fator de rugosidade para o revestimento do canal ? Gabarito: n=0,0164 3. Qual a declividade que deverá ser dada a uma tubulação de manilha de barro vitrificado em boas condições, de 60cm de diâmetro para que circulem 0,162 m3/s quando a tubulação está semicheia? Gabarito: I = 6,948.10-4m/m 4) Por um canal trapezoidal de 6,0 m de largura de fundo e inclinação das paredes 1:1 (𝜃 = 450), circula água com 1,20 m de profundidade. Sabendo-se que a declividade do canal é 0,0009 m/m e que n = 0,025, qual a vazão? E verifique a influência das forças viscosa e da gravidade avaliando os regimes do escoamento através da determinação dos números de Reynolds e Froude. Gabarito:Q = 9,805m3/s Exercícios Problemas Hidraulicamente Determinados • Diz-se que um problema é hidraulicamente determinado quando, dos dados deduz-se (apenas com a equação do movimento e a equação da continuidade) de maneira unívoca o elemento desconhecido (Azevedo,1998). – Conhecidos n, A, RH , há uma infinidade de vazões Q que satisfazem a equação do movimento, ficando associada a cada vazão uma declividade I. Então o problema de cálculo da vazão, com valores de n, A e RH, como dados, é hidraulicamente indeterminado. • São três os problemas hidraulicamente determinados que, para qualquer tipo de canal, ficam resolvidos com a fórmula de Chézy com coeficiente de Manning. 1. Dados n, RH e I calcula-se: Q; 2. Dados n, RH, e Q calcula-se I. 3. Dados n, Q e I calcula-se: A e RH; que apresenta dificuldade de ordem prática, pois a solução da equação: 𝑛𝑄 𝐼 = 𝐴 × 𝑅𝐻 2/3 Mesmo nos casos simples, é bastante trabalhosa. É o problema de dimensionamento geométrico do canal. Resolvendo-se da seguinte forma: Problemas Hidraulicamente Determinados Azevedo Netto, 1998 • Seja um canal de forma qualquer, porém conhecida: • Pode-se organizar uma tabela conforme abaixo onde P e A são funções geométricas de y. Problemas Hidraulicamente Determinados 𝑅𝐻 𝑦 = 𝐴(𝑦) 𝑃(𝑦) Calcula-se inicialmente 𝑛𝑄 𝐼 y A(y) P(y) RH RH 2/3 f(y) = A.RH 2/3 Azevedo Netto, 1998 • Representa-se graficamente 𝑓(𝑦) = 𝐴. 𝑅𝐻 2/3; entra-se com o valor 𝑛.𝑄 𝐼 em ordenada e tira-se o valor de y em abcissa, o que resolve o problema (dai pode-se calcular A e RH). Problemas Hidraulicamente Determinados I nQ Azevedo Netto, 1998 Exercícios 1. Calcular a altura de água e a velocidade de escoamento em um canal cuja seção transversal tem a forma da figura abaixo, para escoar a vazão de 0,2 m3/s, sabendo-se que a declividade é de 0,0004m/m e o coeficiente de rugosidade de Manning é de 0,013. Gabarito: y = 0,315m; V = 0,54 m/s Canais Retangulares e Trapezoidal Parâmetros do adimensional 𝑄𝜂 𝑏8/3×𝐼1/2 desenvolvido para abreviar os cálculos no dimensionamento de canais utilizando a fórmula de Chézy com coeficiente de Manning. Foram desenvolvidas tabelas para canais de seção transversal trapezoidal, retangular e circular (Nuvolari & Ito). Para se ter os parâmetros adimensionais, divide-se ambos os membros por uma dimensão linear elevada a potência 8/3. Adotando-se a largura b como dimensão linear, chega-se a seguinte expressão para canal trapezoidal: 3/2 2 2 2 2/13/8 121 m b y b y m b y b y m b y Ib nQ 3/2 2/1 H RA I nQ b = largura do canal (m); Y = profundidade de escoamento (m); m = indicador horizontal do talude. • Para um canal retangular (m=0), então, a expressão torna-se mais simples: • A equação de resistência, conforme Manning, apresenta a seguinte forma com v = Q/A: Canais Retangulares e Trapezoidal 3/2 2/13/8 21 b y b y b y Ib nQ 2/13/21 IR n v H v = velocidade média (m/s); n = coeficiente de rugosidade de Manning; RH = raio hidráulico (m); I = declividade do fundo do canal (m/m) • Tem-se então: • Dividindo-se ambos os membros por uma dimensão linear elevada a potência 2/3, tem-se os parâmetros adimensionais. Adotando-se a largura b como dimensão linear, chega-se a seguinte expressão para um canal trapezoidal: Canais Retangulares e Trapezoidal 3/2 2/1 H R I vn 3/2 2 2/13/2 121 1 b y m b y b y m Ib vn • Para seção uma seção Retangular m = 0 a expressão reduz-se a: • As tabelas 14.1 a 14.4 foram preparadas considerando-se o escoamento em regime permanente uniforme, com os valores do parâmetro adimensional y/b variando 0,001 a 1. • Nas tabelas 14.1 e 14.3, a dimensão linear considerada é a largura do canal b, enquanto que nas tabelas 14.2 e 14.4 a dimensão linear é a profundidade de escoamento y. Canais Retangulares e Trapezoidal 3/2 2/13/2 21 1 b y b yIb vn EXERCÍCIOS 1) Calcular a vazão e a velocidade de canal trapezoidal (m=1), com dimensões b = 2,0 m e y = 1,0 m. A declividade longitudinal é de 0,0004 m/m e a rugosidade n = 0,018. Gabarito: Q = 2,4 m3/s e v = 0,81 m/s 2) Qual a declividade de um canal trapezoidal (m=1) e coeficiente de rugosidade n = 0,018, com as dimensões b = 2,0 m e y = 1,0 m, que conduz uma vazão de 2,4 m3/s e com velocidade de 0,81m/s? Gabarito: I = 0,0004 m/m 3) Qual é a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (m=1) que aduz uma vazão de 2,4m3/s e com velocidade de escoamento de 0,81 m/s? Dado: n = 0,018, b = 2,0 m e I = 0,0004 m/m. Gabarito: y = 1 m Solução 1. Dados: I = 0,0004 m/m 𝜂 = 0,018 Primeiro: determina-se 𝑦 𝑏 = 1 2 = 0,50 Segundo: da tabela 14.1 com m=1, obtém-se o valor do adimensional 𝑄×𝜂 𝑏8/3×𝐼1/2 = 0,3439 ∴ 𝑄 × 𝜂 = 0,3439 × 𝑏 8/3 × 𝐼 1/2 ∴ 𝑄 = 0,3439 × 2 8/3 × 0,0004 1/2 0,018 = 2,426𝑚3/𝑠 Continuação da resolução 1 • Terceiro: da tabela 14.3 com m=1; obtém-se o valor do adimensional 𝑣×𝜂 𝑏2/3×𝐼1/2 = 0,4587 ∴ 𝑣 × 𝜂 = 0,4587 × 𝑏 2/3 × 𝐼 1/2 ∴ 𝑣 = 0,4587 × 2 2/3 × 0,0004 1/2 0,018 ≅ 0,81𝑚/𝑠 Canais Circulares • Num canal circular, as dimensões geométricas são a profundidade de escoamento (y) e o diâmetro (D). • As tabelas 14.5 a 14.8 foram preparadas considerando-se o escoamento em regime permanente uniforme, com os valores do parâmetro adimensional y/D variando 0,001 a 1. y D Exercícios 1) Determinar a profundidade de escoamento num canal circular (D = 2,0 m) que conduz uma vazão de 3 m3/s, conhecendo-se a I = 0,0004 m/m e coeficiente de rugosidade n = 0,013. Qual a velocidade de escoamento? Gabarito: y = 1,62 m e v= 1,10 m/s Solução 1. Dados: D = 2,0 m Q = 3,0 m3/s I = 0,0004 m/m 𝜂 = 0,013 Pede-se: y e v Primeiro: determina-se o valor do adimensional 𝑄×𝜂 𝐷8/3×𝐼1/2 ∴ 3×0,013 28/3×0,00041/2 = 0,3071 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 14.5 o valor próximo é 0,3083 Segundo: da tabela 14.5 encontra-se 𝑦 𝐷 = 0,81 • Terceiro: Calcula-se o valor da profundidade de escoamento no canal circular. • Quarto: Calcula-se a velocidade pelo valor do adimensional 𝑦 𝐷 = 0,81 ∴ 𝑦 = 0,81 × 𝐷 = 0,81 × 2 ∴ 𝑦 = 1,62 𝑚 𝑣 × 𝜂 𝐷2/3 × 𝐼1/2 = 0,4524 ∴ 𝑣 × 𝜂 = 0,4524 × 𝐷 2/3 × 𝐼 1/2 ∴ 𝑣 = 0,4524 × 2 2/3 × 0,0004 1/2 0,013 = 1,10 𝑚/𝑠 Continuação da resolução 1 EXERCÍCIOS 1. Um canal tem taludes com m=1,5, declividade de fundo de 1/1600 e largura de fundo igual a 4m. Se a profundidade é igual a 1,20 m calcule a vazão, a largura superficial e a profundidade média para os seguintes casos: a) Canal de terra com n=0,025 (Manning) b) Canal revestido com lajes de concreto; n=0,013 2. Calcule a profundidade do movimento uniforme em um canal circular, para os seguintes dados: Diâmetro interno: D = 0,200m, Declividade: I = 0,9 %, Vazão: Q = 23,5l/s, Rugosidade de Manning: n = 0,013. Gabarito: y = 0,13m Gabarito: a) Q = 6,18m3/s; B = 7,60m; yh = 0,92 m; b) Q = 11,9m3/s; B = 7,60m; yh = 0,92 m 3. Tem-se um canal triangular como indica a figura abaixo, onde escoa uma vazão Q = 2 m3/s e cuja declividade é de 0,003 m/m com n = 0,012. Determinar a altura d’água. Gabarito: y = 0,95 m 4. Calcular em um canal retangular que tem base 5,0m e declividade 0,005m/m a profundidade crítica yc, a velocidade crítica e o número de Froude, para uma vazão de 50m3/s. 1. AZEVEDO NETTO, J. M.; ARAÚJO, R. Manual de hidráulica. 8a ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1998. 669 p. 2. BAPTISTA, M. C.; COELHO, M. Fundamentos de Engenharia hidráulica. Belo Horizonte: UFMG, 2003. 437 p. 3. Nascimento, G. Nota de aula: Escoamento em canais. UFF. pdf. 4. NEVES, E. T. Curso de Hidráulica. 2a ed. Editora Globo, Porto Alegre, RS. 1974. 578 p. 5. PORTO, R. de M. “Hidráulica Básica”. EESC-USP, SP, 1998. ... 1. 2. 4. 5. 2. Bibliografia CONSIDERAÇÕES FINAIS OBRIGADA!! Audenicesilva.silva@gmail.com “Se tens de lidar com água, consulta primeiro a experiência, e depois a razão.” Leonardo da Vinci (1452-1519)
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