1-Cálculo Diferencial

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Faculdade de Tecnologia de Guaratinguetá – Prof. João Mod 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
2
SUMÁRIO 
 
1. Derivadas ..................................................................................................................................... 3 
1.1. Introdução ............................................................................................................................. 3 
1.2. Conceito de Derivada ........................................................................................................... 5 
1.2.1. Derivada da função f no ponto 0x ................................................................................ 6 
1.2.2. Interpretação geométrica da derivada ......................................................................... 6 
1.3. Derivadas das principais funções elementares ................................................................... 8 
1.3.1. Derivada da função constante ...................................................................................... 8 
1.3.2. Derivada da função potência ........................................................................................ 8 
1.3.3. Derivada da função logarítmica .................................................................................... 9 
1.4. Regras de derivação ............................................................................................................ 10 
1.4.1. Derivada da soma e da diferença ............................................................................... 10 
1.4.2. Derivada de constante vezes função .......................................................................... 10 
1.4.3. Derivada de um produto ............................................................................................. 11 
1.4.4. Derivada de um quociente .......................................................................................... 11 
1.5. Regra da cadeia ................................................................................................................... 12 
1.4.2 Função composta ........................................................................................................ 14 
2.4.2 Regra da cadeia (função composta) ........................................................................... 14 
1.6. Derivada da função exponencial ........................................................................................ 16 
1.7. Derivadas das funções trigonométricas ............................................................................. 17 
1.8. Derivadas sucessivas .......................................................................................................... 19 
1.9. Aplicações de derivadas ..................................................................................................... 20 
1.9.1. Crescimento e decrescimento de funções ..................................................................... 20 
1.9.2. Concavidade e ponto de inflexão ................................................................................... 22 
1.9.3. Aplicação a máximos e mínimos de funções ................................................................. 24 
1.9.4. Problemas de otimização ................................................................................................ 25 
2. Bibliografia ................................................................................................................................. 29 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
3
1. Derivadas 
1.1. Introdução 
 O conceito de derivada foi introduzido em meados do século XVII em estudos de 
problemas da Física associados à pesquisa dos movimentos. 
• Isaac Newton 
• Leibiniz 
• Lagrange 
 
Taxa média de variação de uma função f 
f∆
x∆
x1x0x
)( 1xf
)( 0xf
)(xf
 
Figura 1.1 
 
 Seja a função ( )xf e sejam 0x e 1x dois pontos de seu domínio; sejam ( )0xf e ( )1xf as 
correspondentes imagens. 
 
 A taxa média de variação de f , para x variando de 0x até 1x é dada por: 
( ) ( )
01
01
xx
xfxf
−
−
 
 
Essa taxa mede a variação da imagem em relação à variação de x . 
 
 A taxa média de variação depende do ponto de partida 0x e da variação de x , dada por 
01 xx − . 
( ) ( )
01
01
xx
xfxf
x
f
−
−
=
∆
∆
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
4
Exemplo: Seja ( ) 2xxf = , 10 =x e 31 =x 
x1
9
1
)(xf
3
 
Figura 1.2 
 
( ) ( ) 4
2
8
13
19
01
01
==
−
−
=
−
−
=
∆
∆
xx
xfxf
x
f
 
 
Reta tangente 
x
)(xf
)( 0xf
0x
 
Figura 1.3 
 
( )( )
( )( )
PQ
xfxQ
xfxP
≠
=
=
,
, 00
 
 
Fazendo Q se aproximar de P, a reta PQ tende a uma posição limite: a reta t . 
t é chamada reta tangente à função f no ponto P, desde que seja não vertical. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
5
Q se aproxima de P tanto pela esquerda quanto pela direita. Em ambos os casos, a reta PQ tende a 
t . 
 
 
 
Figura 1.4 
 
 A figura 1.4 mostra um caso em que a reta tangente ao ponto P de ( )xf não existe, pois 
( )( )00 , xfxP = é um ponto anguloso (bico). 
 
1.2. Conceito de Derivada 
 Para calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )00 , xfxP = , 
procede-se da seguinte forma: 
 
x∆
xxx ∆+00x
)( 0 xxf ∆+
)( 0xf
)(xf
 
Figura 1.5 
x
)(xf
)( 0xf
0x
P
1t 2t
.
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
6
Tomamos o ponto ( )( )xxfxxQ ∆+∆+= 00 , e calculamos: 
 
( )( ) ( )( ) ( )( ))(,,, 000000 xfxxfxxfxxxfxxPQ −∆+∆=−∆+∆+=− 
 
A inclinação da secante PQ é dada por: 
 
( ) ( )
x
xfxxf
mPQ ∆
−∆+
=
00 
 
 Fazendo-se Q se aproximar de P, fazendo 0→∆x , a reta secante PQ tenderá à reta t 
tangente ao gráfico de f em P. Dessa forma, a inclinação m . 
 
( ) ( )
x
xfxxf
mPQ ∆
−∆+
==
→∆→∆
00
0x0x
lim
 
lim
 m 
 
O segundo membro recebe o nome de derivada de f em 0x . 
 
1.2.1. Derivada da função f no ponto 0x 
 
 Seja ( )xf uma função e 0x um ponto de seu domínio. Define-se derivada da função f no 
ponto 0x , e se indica por ( )0xf ′ , como sendo o número: 
 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆
00
0 0
lim
 
 
Supondo que o limite existe e é finito, caso em que a função f é derivável no ponto 0x . Indica-se 
a derivada de ( )xf no ponto 0x por ( )0xf ′ ou ( )0xdx
df
 ou ainda 
( )0x
dx
dy
. 
 
 
1.2.2. Interpretação geométrica da derivada 
 
( )0xf ′ é a inclinação da reta tangente ao gráfico f no ponto ( )( )00 , xfxP = . 
 
Exemplo: Calcule, pela definição, a derivada de ( ) 5=xf . 
 
Resolução: 
Pela definição, ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=′
→∆ 0
lim
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
7
)(xf
xx xx ∆+
5)()( =∆+= xxfxf
 
Figura 1.6 
 
( ) ( )
( ) 00
0
lim0
0
lim
055
=
→∆
=
∆→∆
=′
=−=−∆+
xxx
xf
xfxxf
 
 
 
Exemplo: Calcule, pela definição, a derivada de ( ) Rbabaxxf ∈+= ,; . 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) axf
aa
x
xf
x
xa
xx
xfxxf
x
xf
xabaxbxaaxbaxbxxaxfxxf
=′
=
→∆
=′=
∆
∆
→∆
=
∆
−∆+
→∆
=′
∆=−−+∆+=+−+∆+=−∆+
0
lim
0
lim
0
lim
)(
 
 
Exemplo: Calcule, pela definição, a derivada de ( ) 2xxf = . 
 
( ) ( ) ( ) 222222222 222)( xxxxxxxxxxxxxxxxxfxxf ∆+∆=−∆+∆+=−∆+∆+=−∆+=−∆+ 
 
( ) )2()( xxxxfxxf ∆+∆=−∆+ 
 
( ) ( ) ( ) xxxx
xx
xxx
xx
xfxxf
x
xf 202)2(
0
lim)2(
0
lim
0
lim
=+=∆+
→∆
=
∆
∆+∆
→∆
=
∆
−∆+
→∆
=′ 
 
Se quisermos aderivada no ponto 20 =x , por exemplo, basta calcularmos ( ) 4222 =×=′f 
 
Exercício: Dada a função 3)( xxf = , mostre, usando a definição de derivada, que 23)( xxf
dx
d
= . 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
8
1.3. Derivadas das principais funções elementares 
 
1.3.1. Derivada da função constante 
 
Se ( ) cxf = (função constante), então ( ) 0=′ xf , para todo x . 
 
Demonstração: 
 
( ) ( ) ( ) 00
0
lim
0
lim
0
lim
=
→∆
=
∆
−
→∆
=
∆
−∆+
→∆
=′
xx
cc
xx
xfxxf
x
xf 
para todo o x . 
 
Exemplos: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
05
1
2
=′⇒=
=′⇒=
=′⇒=
− xfexf
xfxf
xfxf
pi 
 
 
1.3.2. Derivada da função potência 
 
Se ( ) nxxf = , então ( ) 1−=′ nxnxf 
 
Demonstração: 
 
Consideremos n e N 
 
( ) ( ) ( ) nn xxxxfxxff −∆+=−∆+=∆ 
 
Usando a fórmula do Binômio de Newton, 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 121121
112211
1
...
11
1
...
21
−−
−−
−
−−
∆+∆





−
++∆





+





=
∆
∆
−∆−∆





−
++∆





+∆





+=∆
nnnn
nnnnnn
xxx
n
n
xx
n
x
n
x
f
xxxx
n
n
xx
n
xx
n
xf
 
 
Quando 0→∆x , todos os termos do segundo membro tendem a zero exceto o primeiro. 
 
( )
111
!1!1
!
10
lim
−−−
=
−
=





=
∆
∆
→∆
nnn xnx
n
n
x
n
x
f
x
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
9
Exemplos: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
x
x
x
xx
xxxxxxf
x
xxfx
x
xf
xxxxf
xx
dx
d
xxf
xxfxxf
22
1
2
1
2
1
2
1
331
2
5
3
2
1
2
1
2
1 1
4
43
3
22
455
23
=====
′
⇒==
=−=′⇒==
=
′
⇒=
=⇒=
=′⇒=
−−
−− 
 
 
1.3.3. Derivada da função logarítmica 
 
Se ( ) xxf ln= , então ( )
x
xf 1=′ (para )0>x . 
 
Demonstração: 
 
 
 
Fazendo 
x
x
m
∆
= , então , quando x∆ tende a 0, m também tende a 0. Portanto: 
 
( ) ( )
( ) ( ) 





+
→
=+
→
=
=





+
→
=+
→
=
∆
∆
→∆
mm
mmx
m
mx
m
mx
m
xm
m
mx
f
x
11
11
1
0
lim
ln11ln
0
lim1
1ln1
0
lim
1ln
0
lim
0
lim
 
 
Por definição, ( ) em
m
m
=+
→
1
1
0
lim
, então 
x
e
xx
f
m
1ln1
0
lim
==
∆
∆
→
, ou seja, ( )
x
xf 1=′ 
 
( )
x
x
x
x
x
xx
f
x
x
x
xx
xxxf
∆





 ∆
+=




 ∆
+
∆
=
∆
∆





 ∆
+=




 ∆+
=−∆+=∆
1
1ln1ln1
1lnlnlnln
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
10 
1.4. Regras de derivação 
 
1.4.1. Derivada da soma e da diferença 
 
Se f e g são deriváveis: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgf
xgxfxgf
′−′=
′
−
′+′=′+
 
 
Obs: Essa propriedade pode ser estendida a uma soma de n funções, ou seja: 
 
Se ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf n+++= ...21 , 
 
então ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf n′++′+′=′ ...21 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de ( ) 25 xxxf += 
 
( ) xxxxxf 25)'()'( 425 +=+=′ 
 
Exemplo 2: Calcule a derivada de ( ) 12 += xxf 
 
( ) 202)'1()'2( =+=+=′ xxf 
 
Exercício: Demonstre, pela definição, a regra da soma e da diferença. 
 
 
1.4.2. Derivada de constante vezes função 
 
Se f é derivável em x e k uma constante: 
( ) ( ) ( )xfkxfk ′=' 
 
Exemplo 1: ( ) 31333 =×== x
dx
d
x
dx
d
 
 
Exemplo 2: ( ) ( ) ( ) 6677 1407202020 xxxx =×=′=′ 
 
Exemplo 3: xxx
dx
dx
dx
d
4
12
8
1)(
8
1
8
2
2
===





 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
11 
1.4.3. Derivada de um produto 
 
Se u e v são deriváveis em x : ( ) vuxf = 
( ) ( ) '''' vuvuvuxf +== 
 
Exemplo 1: ( ) ( )( )1332 −+= xxxh . Calcule 
dx
dh
. 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
712
9626
332132
13321332
+=
++−=
++−=
′
−++−′+=′
x
xx
xx
xxxxxh
 
 
Exemplo 2: ( ) ( ) xxxf ln12 −= . Calcule ( )xf ′ . 
 
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
x
xx
x
xxx
x
x
xx
x
xxx
xxxxxf
11ln2
1ln21ln2
11ln2
ln1ln1
2
222
2
22
−+
=
−+
=
−
+=
−+⋅=
′
−+
′
−=′
 
 
1.4.4. Derivada de um quociente 
 
Se u e v são deriváveis em x : ( )
v
u
xf = 
( ) 2 '''
'
'
v
vuvu
v
u
xf −=





= 
 
Exemplo 1: Calcule a derivada de 





+
−
=
3
1)(
2
x
x
xf . 
 
Exercícios: Calcule as derivadas das funções a seguir: 
 
1) xxxf += 30)( 
2) 1)( 10 +−= xxxf 
3) 3)( 2 −= uuf 
4) 1)( 925 +−= tttf 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
12 
 
5) 
421)( xxxf −+= 
6) 
2100)( xxf = 
7) 4
)(
4
x
xf = 
8) xxf 7)( = 
9) ( )( )11)( 210 −+= xxxf 
10) 




+





+−=
9
1
7
23)( 42 xxxxxf 
11) xxxf ln)( = 
12) xxxf ln23)( 2 −= 
13) 1
3)(
+
=
x
xf 
14) 1
)( 2
−
=
x
x
xf 
15) 10
31)( 2 +−= xx
xf 
 
 
1.5. Regra da cadeia 
 
Dada a função )1(ln)( 2 += xxf , como calcular )(' xf ? 
Ou, ainda, se 100)12()( += xxf , como calcular 
dx
df
? 
 
Nenhuma das regras aprendidas nos itens 1.3 e 1.4 ajuda a resolver os problemas acima. 
 
É claro que )1ln( 2 +x
dx
d
 NÃO é igual a 
1
1
2 +x
 
e que 100)12( +x
dx
d
 NÃO é igual a 99)12(100 +x 
Exemplo: Para calcular )1ln( 2 +x
dx
d
, procedemos da seguinte maneira: 
 
• Fazemos )1(ln)( 2 += xxf . 
Chamamos 12 += xu . Então, uuf ln)( = 
• Aplicamos a regra da cadeia: ').(')(' uufxf = 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
13 
• 
1
11)('ln)( 2 +
==⇒=
xu
ufuuf 
• xuxu 2'12 =⇒+= 
1
22
1
1)(' 22 +
=
+
=∴
x
x
x
x
xf 
 
 
Exemplo: Calcular a derivada de 100)12()( += xxf . 
 
• Fazemos 12 += xu . Então, 100)( uuf = . 
• Aplicamos a regra da cadeia: ').(')(' uufxf = 
• 
99100)(' uuf = 
• 2' =u 
( )999999 122002002100)(' +==⋅=∴ xuuxf 
 
Exercícios : Calcule as derivadas de: 
 
1) ( )431)( xxf −= 
2) ( )342 1)( ++= xxxf 
3) ( )1ln)( 2 −= xxf 
4) 
4
2
2
1
1)( 





+
−
=
x
x
xf 
5) ( )33
7)(
+
=
x
xf 
6) ( )421
1)(
x
xf
−
= 
7) ( )3222 51
2
3
3
4)( xxxxf −





+= 
8) 
( )
1
3)( 2
22
+
−
=
x
xx
xf 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
14 
1.4.2 Função composta 
 
x )(xg
•••
))(( xgf
gf o
 
 
Sejam f e g funções tais que, para todo x do domínio A de ( )xgg, está no domínio de f . 
Define-se função composta de f e g , indicada por gf o , como sendo a função de domínio A 
dada por: 
 
( )( ) ( )( )xgfxgf =o 
 
Exemplo 1: Se ( ) xxf ln= e ( ) 12 += xxg , então: 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1ln1 22 +=+== xxfxgfxgf o 
 
Exemplo 2 : se ( ) 100xxf = e ( ) 12 += xxg , então 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1001212 +=+== xxfxgfxgf o 
 
Exercício: Calcule gf o e fg o nos casos: 
a) ( ) xxf += 1 e ( ) 52xxg = 
 ( )( ) ( )( ) ( ) 55 212 xxfxgfxgf +===o 
 ( )( ) ( )( ) ( )512)1( xxgxfgxfg +=+==o 
 
b) ( ) xxf ln= e ( ) 124 ++= xxxg 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1ln1 2424 ++=++== xxxxfxgfxgf o 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1lnln)(ln 24 +==== xxgxgxfgxfg o 
 
 
2.4.2 Regra da cadeia (função composta) 
Se g é derivável em x , f é derivável em ( )xg , e gf o está definida, então 
( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxgf ′⋅′=′o 
 
Exemplo 1: se ( ) xxfln= e ( ) 12 += xxg , então 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
15 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1ln1 22 +=+== xxfxgfxgf o 
 ( ) ( )( ) ( ) 1
111
2 +
==′⇒=′
xxg
xgf
x
xf 
 ( ) xxg 2=′ 
 ( ) ( ) ( )( )
1
22
1
11ln 22
2
+
=
+
=
′
+=′
x
x
x
x
xxgf o 
 
Exemplo 2: Se ( ) 100xxf = e ( ) 12 += xxg , então 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1001212 +=+== xxfxgfxgf o 
 ( ) ( )( ) ( )9999 12100100 +=′⇒=′ xxgfxxf 
 ( ) xxg 2=′ 
 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )9999100 1220021210012 +=×+=′+=′ xxxxgf o 
 
Exercícios: Calcule a derivada de 
1) ( ) 4113)( −= xxf 
2) ( ) 321)( 2 += xxf 
3) ( ) 5123)( xxxf −= 
4) ( )10025)( xxxf −= 
5) ( ) 142)( −+= xxf 
6) 1)( 4 += xxf 
 
Exercícios: Calcule a derivada de 
1) ( )4ln)( 2 += xxf 
2) ( )62ln)( += xxf 
3) ( )2ln)( xxf = 
4) ( )4ln)( +−= xxf 
5) xxf 2ln)( = 
6) ( )xxf −= ln)( 
7) 





+=
x
xf 11ln)( 
8) 3 2ln)( xxf = 
9) ( )xxf lnln)( = 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
16 
1.6. Derivada da função exponencial 
( ) ( ) aaxfaxf xx ln=′⇒= 
 Rx ∈∀ (com 0>a e 1≠a ). 
 
Demonstração: 
xaxf =)( 
Aplicando ln em ambos os lados da equação, teremos: 
axaxf x lnln)(ln == 
axxgxgaxxf ln)()(ln)(ln =⇒== 
Aplicando a regra da cadeia, 
)(')(
1)(' xf
xfxg = 
Por outro lado, axg ln)(' = . Consequentemente, 
aaaxfxfa
xf
xf x lnln)()('ln)(
)('
==⇒= 
 
Exemplo: xexf =)( 
1ln,ln)(' === epoiseeexf xx 
Exemplo: xxf 3)( = 
3ln3)(' xxf = 
 
Exemplo: 53
2)( −+= xxexf 
Empregando a regra da cadeia, 
532 −+= xxu 
ueuf =)( 
dx
du
du
df
dx
df
= 
ue
du
df
= 
32 += x
dx
du
 
)32()32( 532 +=+= −+ xexe
dx
df xxu 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
17 
Exercícios: Calcule as derivadas das funções abaixo 
1) 





+
=
1
ln
x
xy 
2) 2
2
2
)2(ln
x
xy
+
+
= 
3) 
x
xy
−
−
=
1
)12( 2
 
4) 
x
xey
x
x
23
)2(ln 13
+
+
=
+
 
 
 
1.7. Derivadas das funções trigonométricas 
 
)(xf )(' xf 
gx
x
x
tgx
x
senx
cot
sec
seccos
cos
 
x
tgxx
gxx
x
senx
x
2
2
seccos
sec
cotseccos
sec
cos
−
−
−
 
 
Onde x ângulo medido em radianos. 
Exemplo: 2)( senxxf = . Calcule 
dx
df
 
2
2
cos22cos
2
cos
)(
xxxu
dx
df
x
dx
du
u
dx
df
usenuf
xu
dx
du
dx
df
dx
df
=⋅=
=
=
=
=
=
 
 
Exemplo: 






+
⋅





+
−=






+
=
11
.
1
cos)(
x
x
dx
d
x
x
sen
dx
df
dx
dfCalcule
x
x
xf
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
18 
( )
( ) ( ) ( )
( )2
222
1
1
1
1
1
1
11
1
111
1
+






+
−=
+
=
+
⋅+
=
+
⋅−+⋅
=





+
xx
x
sen
dx
df
xx
x
x
xx
x
x
dx
d
 
Exercícios: Calcule as derivadas das funções trigonométricas abaixo: 
 
1) xsenxxf 3)( −= 
2) xsenxxf =)( 
3) xtgxseny 10+= 
4) xxconsy cos5sec2 += 
5) ( ) tttg cos3= 
6) ( ) ttgttg += sec4 
7) 
xtg
xy
−
=
2
 
8) 
xx
xseny
cos
1
+
+
= 
9) 2x
xseny = 
10) 





=
2
1
cosy 
11) 





=
x
y 1cos 
 
Exercícios: Calcule as derivadas a seguir 
 
1) ( ) xxxf 63 22 += 
2) ( )
13
2
−
=
x
x
xf 
3) ( ) ( )xxexf x 522 += 
4) ( ) xexf x 3cos2= 
5) ( ) 





−
+
=
x
x
xf
1
1ln 
6) ( ) ( ) 2102 163 xxxxf −+= 
7) ( ) ( ) ( )36 1325 −−= xxxf 
8) ( ) ( )47ln
2
1 2
−= xxf 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
19 
1.8. Derivadas sucessivas 
 Seja f uma função definida num certo intervalo. A sua derivada f ′ é também uma função, 
definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na derivada da função f ′ . 
Definição 
 Seja f uma função derivável. Se f ′ for derivável, então a derivada é chamada derivada 
segunda de f e é representada por 2
2
dx
fd
ouf ′′ . 
 
Exemplo 1 
( )
( )
6
86
183 2
=′′
+=′
++=
f
xxf
xxxf
 
 
Exemplo 2 
( )
( )
( ) tgxxtgxxxxf
xxf
xtgxf
⋅=⋅⋅=′′
=′
=
2
2
sec2secsec2
sec 
 
Exemplo 3 
( )
( )
( )
( )
( ) xsenxf
xxf
xsenxf
xxf
xsenxf
IV
=
−
′′′
−=′′′
=′
=
cos
cos
 
Exercícios: Calcule as derivadas feff ′′′′′′, . 
1. ( ) )1ln( += xxf 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )332
2
21
1
21121
1
1111
1
1
1
11
1
1
+
=⋅+=+−=′′′
+
−
=⋅+−=+=





+
=′′
+
=⋅
+
=′
−−
x
xx
dx
d
xf
x
xx
dx
d
xdx
d
xf
xx
xf
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
20 
2. ( ) 4;1 == n
e
xf
x
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
x
xIV
x
x
x
xx
x
xx
e
exf
e
exf
e
eexf
e
ee
dx
d
xf
1
1
11
1
==
−=−=′′′
==−−=′′
−
=−==′
−
−
−−
−−
 
 
1.9. Aplicações de derivadas 
 As derivadas têm inúmeras aplicações, dentre elas, crescimento e decrescimento de 
funções, maximização e minimização de funções, concavidade e pontos de inflexão. 
1.9.1. Crescimento e decrescimento de funções 
 Seja f uma função com derivada positiva em todos os pontos de um intervalo I . Como 
)(xf ′ é a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ))(,( xfx , então qualquer reta tangente 
ao gráfico no intervalo I tem inclinação positiva. Logo a função é crescente em I . 
 Analogamente, se 0)( <′ xf para todo x no intervalo I , então a função f é decrescente. 
 
 Função crescente Função decrescente 
 Basta examinar o sinal da derivada nos pontos do intervalo I que não são extremidades do 
mesmo. Tal conjunto recebe o nome de interior de I . 
Se ],[ baI = , o interior de I é ),( ba . 
Critério da derivada primeira para o crescimento e decrescimento 
• Se 0)( >′ xf para todo x do interior de I , então f é crescente em I . 
• Se 0)( <′ xf para todo x do interior de I , então f é decrescente em I . 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
21 
Exemplos: 
a) 32)( += xxf 
Rxxf ∈∀>= ,02)(' 
f∴ é crescente em R 
 
 
 
 
32)( +−= xxf 
Rxxf ∈∀<−= ,02)(' 
f∴ é decrescente em R 
 
 
 
 
Exemplos. Estude quanto ao crescimento e decrescimento a função f em cada um dos casos: 
a) 33)( += xxf 
Rxxf ∈∀>= ,03)(' 
f∴ é crescente em R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 24)( +−= xxf 
Rxxf ∈∀<−= ,04)(' 
f∴ é decrescente em R 
 
 
 
 
 
 
c) 2)( xxf = 
x
y
-2 -1
3
2
1
x
y
21
3
2
1
x
y
-2 -1
3
2
1
x
y
21
3
2
1
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
22 
xxf 2)(' = 
Se 0)('0 <⇒< xfx 
f∴ é decrescente em ( ]0,∞− 
Se 0)('0 >⇒> xfx 
f∴ é crescente em [ )+∞,0 
 
 
 
 
Exercícios. Estude quanto ao crescimento e decrescimento a função f em cada um dos casos 
abaixo: 
a) 25)( xxf −= 
b) 44)( xxf = 
c) 86)( xxf −= 
d) 242)( 2 +−= xxxf 
e) 34)( 2 −+−= xxxf 
f) 
x
xf 1)( = 
g) 
x
xf 1)( −= 
h) 
1
1)(
−
+
=
x
x
xf 
i) 
x
xxf 1)( −= 
j) 
x
xxf 1)( += 
k) 2
4 1)(
x
x
xf −= 
 
Exercício. Mostre que a função 3)( xxf = é crescente. 
1.9.2. Concavidade e ponto de inflexão 
 O gráfico de uma função )(xf , derivável, é côncavo para cima, no intervalo ( )ba, , se 
( )bax ,∈∀ , o gráfico da função nesse intervalo (exceto no ponto de abscissa x ) permanece acima 
da tangenteao gráfico no ponto de abscissa x . 
 O gráfico de uma função )(xf , derivável, é côncavo para baixo, no intervalo ( )ba, , se 
( )bax ,∈∀ , o gráfico da função nesse intervalo (exceto no ponto de abscissa x ) permanece abaixo 
da tangente ao gráfico no ponto de abscissa x . 
 
x
y
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade para cima Concavidade para baixo 
• Se f tem concavidade para cima, 'f é crescente em ),( ba . 
Vale a recíproca do resultado acima: 
• Se 'f é crescente ),( ba , f tem concavidade para cima. 
Critério da derivada primeira para a concavidade 
Seja f uma função derivável no intervalo ),( ba . 
• f tem concavidade para cima em ),( ba se e somente se 'f é crescente em ),( ba . 
• f tem concavidade para baixo em ),( ba se e somente se 'f é decrescente em ),( ba . 
 Suponhamos que f tenha derivada segunda em ),( ba e que ''f seja positiva em ),( ba . 
Então, 'f é crescente em ),( ba e f tem concavidade para cima em ),( ba . 
 Resultado análogo vale caso ''f seja negativa em ),( ba . 
Critério da derivada segunda para a concavidade 
Seja f uma função derivável duas vezes em ),( ba . 
• Se 0)('' >xf , ),( bax ∈∀ , então f tem concavidade para cima em ),( ba . 
• Se 0)('' <xf , ),( bax ∈∀ , então f tem concavidade para baixo em ),( ba . 
 
Exemplo. Estude, quanto à concavidade, a função f dada por xxxf −= 3)( 
Solução: 
13)(' 2 −= xxf 
xxf 6)('' = 
Se 0)(''0 <⇒< xfx 
f∴ tem concavidade para baixo em ( ]0,∞− 
Se 0)(''0 >⇒> xfx 
f∴ tem concavidade para cima em [ )+∞,0 
x
y
a b x
y
a b
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
24 
Ponto de inflexão 
 Um ponto do domínio de uma função em relação ao qual há uma mudança de concavidade 
chama-se ponto de inflexão da função. 
1.9.3. Aplicação a máximos e mínimos de funções 
• Se f tem concavidade para cima em ( )ba, , e 0)(' 0 =xf para todo ),(0 bax ∈ , então 0x é 
ponto de mínimo de f . 
• Se f tem concavidade para baixo em ( )ba, , e 0)(' 0 =xf para todo ),(0 bax ∈ , então 0x é 
ponto de máximo de f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto de mínimo Ponto de máximo 
 
Exemplo. Seja 22 1)( xxxf ++= . Mostre que f tem um ponto de mínimo e determine esse 
mínimo. 
Solução: 
( ) 221222 11)( xxxxxf ++=++= 
( ) xxxxf 221
2
1)(' 212 ++= − x
x
x 2
12
+
+
= 
( ) 21
1)('' 3
2
+
+
=
x
xf 
Claramente, 0)('' >xf , Rx ∈∀ . Então f tem concavidade para cima. 
Por outro lado, fazendo 0)(' =xf 
⇒=+
+
02
12
x
x
x 02
1
1
2
=







+
+x
x 
∴ 0=x é ponto de mínimo da função f . 
1010)0( 22 =++=f 
1)0( =f é o mínimo solicitado. 
x
y
a b x
y
a b
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
25 
1.9.4. Problemas de otimização 
Exemplo. A parte lateral de uma caixa é obtida dobrando-se uma faixa retangular de papelão de 
comprimento 60cm e largura 20cm. Determine as dimensões x e y para que o volume seja 
máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 BhxV =)( , onde :B área da base da caixa 
 :h altura da caixa = 20 cm 
xyB = 
xyBhxV 20)( == (1) 
xyyx −=⇒=+ 306022 (2) 
Subst. (2) em (1): 
220600)30(20)( xxxxxV −=−= 
xxxV 60020)( 2 +−= 
60040)(' +−= xxV 
040)('' <−=xV V∴ tem concavidade para baixo (ponto de máximo) 
Fazendo 0)(' =xV , teremos: 
1560040060040 =⇒=⇒=+− xxx , ( )30;0∈x 
151530 =−=y 
 
cmy
cmx
15
15
=
=
 
 
 
Exemplo. Deseja-se construir um espaço de lazer com formato retangular e 1.600m2 de área. 
Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo? 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
A área é dada por: 
x
yyxA 16001600 =⇒== (1) 
x y x y
60 cm
x
y
cm20
y
x
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
26 
O perímetro é dado por: 
yxP 22 += (2) 
 
Subst. (1) em (2): 
x
xxP 160022)( += 
x
xxP 32002)( += 
2
32002)('
x
xP −= 
401600320020320020)(' 222 ±=⇒=⇒=⇒=−⇒= xxxxxP 
0
40
6400)40(''6400)('' 33 >=⇒= PxxP 
40=∴ x é ponto de mínimo 
 
40
40
16001600
===
x
y 
mymx 4040 == 
 
 
Exemplo. Uma caixa com tampa quadrada usa um material para a tampa e para o fundo, que custa 
R$ 4,00/m2 e um outro para lateral, que custa R$ 2,00/m2. O custo de cada caixa deve ser de R$ 
8,00. Quais devem ser as dimensões para que o volume da caixa seja máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
:LA área da lateral da caixa 
:Lc custo/m
2 da lateral da caixa 
:LC custo da lateral da caixa 
:TA área da tampa da caixa 
:Tc custo/m
2 da tampa da caixa 
:TC custo da tampa da caixa 
:FA área do fundo da caixa 
:Fc custo/m
2 do fundo da caixa 
:FC custo do fundo da caixa 
:C custo total da caixa = R$ 8,00 
x
x
h
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
27 
Lateral 
 
 
 
 
xhAL 4= 
=Lc R$ 2,00/m
2 
xhxhAC LL 8422 =⋅== 
 
Tampa e fundo 
 
 
 
 
 
 
 
 
2xAA FT == 
== FT cc R$ 4,00/m
2 
244 xAC TT == 
244 xAC FF == 
 
xhxxhxxCCCC LFT 88844 222 +=++=++= 
Como =C R$ 8,00 
x
xhxhxxhx
2
22 11888 −=⇒+=⇒+= (1) 
Como 0>h , 1<x e 0≠x 
hxhxxBhxV 2)( =⋅⋅== (2) 
Subst. (1) em (2): 
( ) 3222 11)( xxxx
x
x
xxV −=−=−= 
3)( xxxV −= 
231 x
dx
dV
−= x
dx
Vd 62
2
−= 
 
Em ( )1,0 , a derivada segunda é negativa para 0>x , o que significa que V tem 
concavidade para baixo. 
3
3
3
3
3
1310310 22 ==⇒=⇒=−⇒= xxx
dx
dV
 
x x x x
h
x
x
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
28 
3
32
3
3
3
2
39
36
3
3
9
6
3
3
9
31
3
3
3
31
1
2
2
==
⋅
==
−
=








−
=
−
=
x
xh 
3
32
3
3
== hx 
 
 
Exemplo. Uma indústria farmacêutica deseja fabricar potes cilíndricos de 300ml de volume, para 
armazenar um certo tipo de produto. Sabe-se que estes potes devem ter área mínima, para 
reduzir o custo de impressão dos rótulos. De todos os cilindros de volume igual a 300ml, qual 
possui menor área total (raio e altura)? 
Solução: 
Abrindo o cilindro temos: 
 
hrBhV 2pi== volume do cilindro 
rhrA pipi 22 2 += área total 
 2
2 300300
r
hhrV
pi
pi =⇒== 
r
r
r
rrA 600230022 22
2 +=+= pi
pi
pipi 
r
rA 6002 2 += pi 
2
6004'
r
rA −= pi 
pipi
pipi
150
4
6006004060040' 322 ==⇒=⇒=−⇒= r
r
r
r
rA 
⇒=⇒= 33
150150
pipi
rr 6,3=r cm 
⇒= 26,3
300
pi
h 2,7=h cm 
cmhcmr 2,76,3 ==
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
29 
2. Bibliografia 
BOULOS, P., Calculo Diferencial e Integral + Pré-Cálculo, Volume 1. Makron, 2006. 
BOULOS, P., ABUD, Z. I., Calculo Diferencial e Integral, Volume 2. Makron, 2002. 
HAZZAN; MORETTIN; BUSSAB. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e 
Contabilidade. Saraiva, 2009. 
LARSON, R. Cálculo Aplicado - Curso rápido. CENGAGE Learning, 2011. 
MEDEIROS, V. Z.; CALDEIRA, A. M.; SILVA, L. M. O.; MACHADO, M. A. S. Pré-Cálculo, 2ª edição. 
CENGAGE Learning, 2010. 
SILVA, F. C. M.; ABRÃO, M. Matemática Básica para Decisões Administrativas, 2ª edição. 
Editora Atlas, 2008. 
SPIEGEL, M. R., WREDE, R. C., Cálculo Avançado. 2ª ed., Coleção SCHAUM Bookman, 2003. 
STEWART, J., et al. Cálculo, Volume I, 5ª edição. Thomson Learning, 2009.