Apostila_Completa_de_Calculo_Diferencial

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Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.1 
 
 
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Unesp Unesp Unesp Unesp –––– Campus de GuaratinguetáCampus de GuaratinguetáCampus de GuaratinguetáCampus de Guaratinguetá 
 
 
 
 
C á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a lC á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a lC á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a lC á l c u l o D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l IIII 
 
N o t a s d e A u l aN o t a s d e A u l aN o t a s d e A u l aN o t a s d e A u l a 
 
PrPrPrProfofofof. Dr. Aury de Sá Leite. Dr. Aury de Sá Leite. Dr. Aury de Sá Leite. Dr. Aury de Sá Leite 
Departamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaDepartamento de Matemática 
UNESP UNESP UNESP UNESP ---- GuaratinguetáGuaratinguetáGuaratinguetáGuaratinguetá 
 
Última revisão: janeiro/2000Última revisão: janeiro/2000Última revisão: janeiro/2000Última revisão: janeiro/2000 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.2 
UNESP/GuarUNESP/GuarUNESP/GuarUNESP/Guaratinguetá atinguetá atinguetá atinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I 
Material Auxiliar #01 – Modularização de gráficos de funções 
Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
 
 [1] A função y = f(x) = x e a função y=f(x) = | x | 
 
 
[2] A função y = f(x) = x - 3 e a função y=f(x) = | x - 3 | 
 
(0,-3)
(0,3)
(3,0)
(3,0)
 
 
[3] A função y = f(x) = x2 - 10 e a função y=f(x) = | x2 - 10 | 
(0,10)
(0,-10)
y = f(x) < 0
(0,-10)
 
 
 
 
1 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.3 
UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I 
Material Auxiliar #02 Módulo de uma Função Assintótica - Exemplo 
Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
 
Função: 3
2
1
)( +
−
==
x
xfy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 3
|2|
1
3
2
1
)( +
−
=+
−
==
xx
xfy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10 -5 5 10
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
(2,0) 
(0,3) 
Assíntota 
Horizontal 
y = 3 
Assíntota 
Vertical: 
x = 2 
-10 -5 5 10
2
4
6
8
10
12
2 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.4 
UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I 
Material Auxiliar #03 - Limites, Continuidade e Assíntotas 
Prof. Aury de Sá Leite – aury.leite@ig.com.br 
 
 
[1] Definição de Limite 
⇔=
→
Lxf
ax
)(lim ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 tal que para 
todo x∈D(f) que satisfaça à condição 0 < | x - a 
| < δ ocorre obrigatoriamente: |f(x) - L | < ε. 
[2] Existência do Limite (Teorema) 
)(lim)(lim)(lim xfxfxf
axaxax →→→
∃⇒=
−+
 
 
[3] Propriedades dos Limites 
• Quando existem )(lim xf
ax→
e )(lim xg
ax→
: 
1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
+=+ 
2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
−=− 
3. )(lim.)](.[lim xfkxfk
axax →→
= (k uma 
constante) 
4. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
×=× 
 
• Quando existem )(lim xf
ax→
e )(lim xg
ax→
, com 
0)(lim ≠
→
xg
ax
: 
 5. 
)(lim
)(lim
)(
 )(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
= 
 
• Quando )(lim Lxf
ax
=
→
e k é um número 
real para o qual Lk está definido: 
6. kk
ax
k
ax
Lxfxf ==
→→
)](lim[)]([lim 
 
• Para qualquer constante k: 
 7. kk
ax
=
→
lim e 8. kx
kx
=
→
lim 
 
• Se P(x) e Q(x) são polinômios, então 
 
9. )()(lim aPxP
ax
=
→
 
 
 10. 0)a(Q se ,
)a(Q
)a(P
)x(Q
 )x(P
lim
ax
≠=
→
 
 
 
 
 [4] Símbolos de Indeterminação 
∞−∞ ; 0×∞ ; 
0
0
; 
∞
∞
; 0∞ ; 00 ; ±∞1 
• Quando, durante o cálculo de um limite, 
aparecerem os símbolos de indeterminação, 
a indeterminação deverá ser "levantada", 
isto é, ela deverá ser eliminada mediante 
operações de simplificação das expressões 
envolvidas naquele limite. 
 
 
[5] Continuidade: Uma função f é contínua em 
a , se 
(1o) f(a) está definida; 
(2o) )(lim xf
ax→
∃ ; 
(3o) )()(lim afxf
ax
=
→
 
• Quando f(x) não é contínua no ponto a 
diz-se que há uma descontinuidade de f 
neste ponto. 
 
• Uma função f(x) é contínua num 
intervalo aberto 
a < x < b ( x ∈ ]a,b[ ) se, e somente se, ela 
for contínua em cada um dos pontos x deste 
intervalo. 
 
[6] Limites no Infinito 
• Quando existem )(lim xf
x ∞→
e )(lim xg
x ∞→
: 
1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
xxx ∞→∞→∞→
+=+ 
2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
xxx ∞→∞→∞→
−=− 
3. )(lim.)](.[lim xfkxfk
xx ∞→∞→
= (k uma constante) 
4. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
xxx ∞→∞→∞→
×=× 
5. 
)(lim
)(lim
)(
 )(
lim
xg
xf
xg
xf
x
x
x
∞→
∞→
∞→
= , com 0)(lim ≠
∞→
xg
x
 
3 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.5 
6. Se k
x
xf )](lim[
∞→
 está definido para um número 
k, então : k
x
k
x
xfxf )](lim[)]([lim
∞→∞→
= 
 
7. )(lim)...(lim )(lim 10
n
n
x
n
n
xx
xaxaxaaxP
∞→∞→∞→
=+++= 
 
NOTA: Esta propriedade pode ser utilizada 
em todos os casos de limite no infinito 
mostrados acima. 
 
[7] Exercícios Básicos de Limites 
[7.1.] Calcule os seguintes limites graficamente: 
a) x
x
2lim
+∞→
 e x
x
2lim
−∞→
 
b) x
x
)2/1(lim
+∞→
 e x
x
)2/1(lim
−∞→
 
c) 
3
1
lim
3 −−→ xx
; 
3
1
lim
3 −+→ xx
 e 
3
1
lim
3 −→ xx
 
d) 
|3|
1
lim
3 −→ xx
 e)
1
1
lim
2
1 −
−
→ x
x
x
 f) 3lim
2→x
 
g) )1(lim 3
2
0
+
→
x
x
 h) )32(lim
0
+
→
x
x
 
i) )(loglim 2
1
x
x→
 e )(loglim 2
0
x
x +→
 
Respostas: a) +∞ e 0+; b) 0+ e +∞; c) 
limites laterais: -∞ e +∞, a função não tem 
limite no ponto 3; d) +∞; e) 2; f) 3; g) 1; 
h) 4; i) 0 e -∞. 
 
[7.2.] Calcule os limites: 
a) )32(lim
5
+
→
x
x
 b) 
3
1
lim
2
3
1 +
+
→ x
x
x
 
c) 
2
2
2 )2(
1
lim
−
++
+→ x
xx
x
 d) 
7
4
lim
+∞→ xx
 
e) 
2
7
lim
2 +
+
+−→ x
x
x
 f) 
3
4
lim
2
3 −
+
−→ x
x
x
 
Respostas: a) 13; b) 1/2 ; c) sugestão: adotar 
2+ = 2+ε, +∞; d) 0+; e) -2+ = -2+ε; Resp: +∞; 
f) 3- = 3-ε; Resp:-∞. 
 
[7.3] Calcule os limites 
a) 
2
2
0 4
5
lim
x
x
x→
 b) 
x
x
x 4
7
lim
2
0→
 
c) 
20 4
5
lim
x
x
x→
 d) 
2
2
4
5
lim
x
x
x ∞→
 
e) 
x
x
x 4
7
lim
2
∞→
 f) 
24
5
lim
x
x
x ∞→
 
g) 
2
208
lim
2
2
2 −−
−+
→ xx
xx
x
 h) 
45
16
lim
2
2
4 +−
−
→ xx
x
x
 
i)
935
18218
lim
23
23
3 −++
+++
→ xxx
xxx
x
 
j)
353
142
lim
23
23
1 ++−
+−+
→ xxx
xxx
x
 
l)
132
243
lim
23
23
1 +−
++−
→ xx
xxx
x
 
 
Respostas: a) 5/4; b) 0; c) ∞ ; d) 5/4; e) ∞; f) 
0; g) 4; 
 h) 8/3; i) 5/2; j) 0; l) ∞. 
 
[7.4.] Calcule os limites: 
a) 
xx
x
x +∞→ 1
lim
2
 b) 
2
22
lim
2
+
+−
∞→ x
xx
x
 
c) 
1
lim
2
2
+
+
∞→ x
xx
x
 
Observação: em caso de indeterminação, 
dividir o numerador e o denominador pela 
maior potência de x que figure na função. 
 Respostas: a) ∞; b) 0; c) 1 
 
 
[8] Produtos notáveis envolvendo radicais: 
Os produtos notáveis a seguir são muito 
importantes. Veja que a finalidade do segundo 
fator, que é denominado "conjugado" do 
primeiro fator, é conduzir o produto sempre a 
um mesmo resultado: a - b 
(a) ba)b()a()ba).(ba( 22 −=−=+− . 
(b) ba)b)aba).(ba( 3 233 233 −=++− 
[8.1] Calcule os limites: 
a) 
3
21
lim
3 −
−+
→ x
x
x
 b) 
11
lim
1 −
−
→ x
x
x
 
c) 
x
xx
x
−
→
2
lim
0
 d) 
x
x
x
11
lim
3
0
−+
→
 
e) 
4
8
lim
364 −
−
→ x
x
x
 f) 
1
1
lim
31 −
−
→ x
x
x
 
g) )4(lim 2 +−
∞→
xx
x
 
h) )11(lim 22 −−+
∞→
xx
x
 
i) )32(lim 2 xxx
x
−++
∞→
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.6 
Respostas: a)1/4; b) 1/2; c) ∞; d) 1/3; e) 
3; f) 1/3; 
 g) 0; h) 0; i) 1. 
 
[9] Limites Fundamentais 
1
sen
lim
0
=
→ x
x
x
 e
x
x
x
=+
∞→
)
1
1(lim 
 
[9.1] Calcule os limites: 
 
a) 
x
x
x
2
0
sen
lim
→
 b) 
x
tgx
x 0
lim
→
 c) 
x
kx
x
sen
lim
0→
 
d) x
x x
3)
1
1(lim +
∞→
 e) x
x x
)
1
1(lim −
−∞→
 f) 
x
x x
)
2
1(lim +
∞→
 
Sugestões: em (e) fazer -1/x =1/n ⇒ x = -n, 
como x→-∞ então n→∞; em (f) fazer 
nx
12
= 
de onde x = 2n. 
Respostas: a) 0; b) 1 ; c) k; d) e3; e) e-1; f) 
e2. 
[10] Aplicações da Noção de Continuidade 
 
• Teorema do Valor Intermediário: Se f(x) 
é uma função contínua num intervalo 
fechado [a,b] e se f(a) ≠ f(b) então existe 
pelo menos um valor c pertencente a [a,b] 
tal que f(c) pertence ao intervalo [f(a), f(c)]. 
 
1o Caso: 
f(c)
c
f(a)
f(b)
b
a
 
2o Caso: 
f(c)
c
f(a)
f(b)
ba
 
Note que no 2o caso nem todos os valores 
pertencentes ao intervalo [a,b] satisfazem ao 
teorema, no entanto o que o teorema assegura 
é a existência de pelo menos um ponto que 
satisfaça aquela condição. 
 
A seguir apresenta-se um corolário (um 
teorema conseqüente) do teorema anterior: 
 
• Teorema de Bolzano: Se f(x) é contínua num 
intervalo [a,b], e f(a).f(b)<0, então existe c 
pertencente a [a,b] tal que f(c) = 0. 
 
Observar que: Para que o produto de f(a) por 
f(b) seja negativo, isto é, f(a).f(b) < 0, é 
necessário que f(a) e f(b) possuam sinais 
contrários. 
(c,0) pois f(c) = 0
c
f(a) < 0
f(b) > 0
b
a
Como f(a) < 0 e f(b) > 0: f(a).f(b) < 0 
[11] Aplicação de Limites no Infinito 
• Cálculo das assíntotas de uma curva 
Exemplo 1: Esboçar o gráfico de y = f(x) = 
2
73
+
+
x
x 
Tem-se que x ≠ 2, ou seja D(f)= R-{2} ⇒ Im(f) 
= R-{3} 
Assíntota vetical x = -2
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
20 Assíntota horizontal y = 3
33lim
3
lim
2
73
lim
33lim
3
lim
2
73
lim
===
+
+
===
+
+
−∞→−∞→−∞→
+∞→+∞→+∞→
xxx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
A reta y = 3 é a assíntota
horizontal de f(x)
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.7 
−∞==
+−
+−
=
+
+
+∞==
+−
+−
=
+
+
−−
−
−→
++
+
−→
−
+
0
1
2)2(
7)2(3
2
73
lim
0
1
2)2(
7)2(3
2
73
lim
2
2
x
x
x
x
x
x
A reta x = -2 é a assíntota
vertical de f(x)
 
• Para plotar o gráfico, traçar as assíntotas e 
atribuir valores coerentes para x obtendo os 
valores de y. 
 Exemplo 2: Dar o gráfico de y = f(x) = 
)12)(15(
7
+− xx
 
-1 -0.5 0.2 1
-20
y=-7
 
Calcule os limites e confira as suas respostas: 
+∞=
+
→
)(lim
5
1
xf
x
 e −∞=
−
→
)(lim
5
1
xf
x
−∞=
+
−→
)(lim
2
1
xf
x
 e +∞=
−
−→
)(lim
2
1
xf
x
+
+∞→
= 0)(lim xf
x
 e 
+
−∞→
= 0)(lim xf
x
 
 
• Observar: quando x = 0 tem-se que: y = -7 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.8 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.9
4 
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Material Auxiliar #04 - Derivadas 
Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
 
[1] Definição de Derivada 
 A derivada de uma função y = f(x), indicada 
por y' = f'(x)=Dxf(x) ou ainda por f ' , 
relativamente a valores de x∈ D(f), é dada por: 
x
xfxxf
dx
dy
x
y
xf
xx ∆
−∆+
==
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)('
00
 
quando o limite existe e é finito. 
αtgyxf
dx
dy
=== ')(' 
permite calcular o coeficiente angular das retas 
tangentes à curva y = f(x) em cada um dos 
pontos desta curva. 
 
1.1.- Teorema: Se a função y = f(x) é 
diferenciável em x1, então ela é contínua em x1. 
Observar que: uma função pode ser contínua 
num ponto, mas pode não ser diferenciável 
neste ponto. Veja por exemplo a função f(x) = 
3
2
x no ponto x = 0 
 [2] Tabela de Derivadas - Parte 1: 
1. y = c 1. y ' = 0 
2. y = x 2. y' = 1 
3. y = u + v - w 3. y' = u' + v' - w' 
4. y = xn 4. y' = n.xn-1 
5. y = u.v 5. y' = u'v + v'u 
6. y = 
v
u
 6. y' = 
2v
u v'- vu'
 
7. vuy = 7. lnu)v'
u
vu'
(uy' v += 
Observar: c= constante; u, v e w funções de x. 
 
Exercícios: Calcule a derivada de cada uma das 
seguintes funções usando a tabela anterior. 
 
1) y= 7x5 - 2x2 - 5x + 7 y'= 35x4 - 4x - 5 
2) 2
1
xyxy =⇒= 
x
x
x
y
22
1
' == 
3) 3
23 2 xxy == 
x
x
x
y
3
2
3
2
'
3 2
3
== 
4) 3
2
3 2
1 −
== x
x
y 
2
3
3 23 5 3
2
3
2
3
2
'
x
x
xxx
y
−
=
−
=
−
= 
5) y=(x + 1).(x - 1) y'= 2x 
 
 
6) y= (x2+2).(x3+2x+1) y'= 5x4+12x2+2x + 4 
7) 
12 +
=
x
x
y 
1
1
'
24
2
++
+−
=
xx
x
y 
8) 
1
2
2
2
−
+
=
x
x
y 
22 )1(
6
'
−
−
=
x
x
y 
 
[3] Tabela de Derivadas - Parte 2: 
8. y = un 8. y = n.un-1.u' 
9. y = eu 9. y' = u'.eu 
10. y = ln u 10. y' = 
u
u'
 
11. y = logb u 11. y' = logb e. 
u
u'
 
 
[3.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada 
uma das seguintes funções usando a tabela 
anterior. 
 
9) y = (x3+2x-1)3 y' = 3. (x3+2x-1)2.(3x2+2) 
10) y = 5e4x y' = 20.e4x 
11) y = -4e-3x y' = 12e-3x 
12) y = ln(5x3 + 2x + 1) 
125
215
'
3
2
++
+
=
xx
x
y 
13) 32 )23(log += xy 3
2
2
)23(
)23(9
.log'
+
+
=
x
x
ey 
14) 3 25 3xxy −= 
)65()3(
3
1
' 43
225 xxxxy −−=
−
 
 
[3.2] Exercícios: Derivar e entregar com a 
resolução e as respostas na seguinte data: 
____/____/_______. 
 
1) 6
52
510
++=
xx
y 2) 
xx
y
43
2
+= 
3) y=3x-2 - 7x-1 + 6 4) 
13
72
−
+
=
x
x
y 
5) y = (5 - 2x)10 6) 
5)14(
1
+
=
x
y 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.10
7) 
3
2
13





 +
=
x
x
y (*) 8)
x
y
1
= 
9) 122 −+= xxy 10) )2).(( xxxxy −+= 
11) )ln(3 2xy = 12)
323 .5 xexy = (*) 
13) )12ln(.3 −= xxy (*) 14) 
x
x
y
ln
2
= (*) 
15) 
x
x
y
−
+
=
1
1 (*) 
 
IMPORTANTÍSSIMO: Os exercícios 
marcados com (*) são muito importantes e você 
deve conferir tanto a resolução dos mesmos 
como a resposta encontradas com os (as) seus 
(suas) colegas. 
[4] Tabela de Derivadas - Parte 3 
12. y = sen u 12. y' = cos u .u' 
13. y = cos u 13. y' = -sen u.u' 
14. y = tg u 14. y' = sec2u.u' 
15. y = cotg u 14 y' = -cossec2u.u' 
15. y = sec u 15. y' = sec u. tg u. u' 
16. y = cossec 
u 
16. y' = -cossec u. cotg u. u' 
 
[4.1] Exercícios: Calcule a derivada de cada 
uma das seguintes funções usando a tabela 
anterior. 
 
1) xy 2sen= xxxy 2sencossen2' == 
2) )4(sen 23 xy = 
)x4cos()x4(xsen24'y 222= 
3) xxy cos.sen= xxxy 2cossencos' 22 =−= 
4) xxy 4sen5 2= xxxxy 4cos.204sen.10' 2+= 
5) xtgxy −= xtgxy 22 1sec' =−= 
6) 
tgx
tgx
y
+
−
=
1
1 
????
)cos(sen
2
)1(
sec
'
22
2
xxtgx
x
y
+
−
=
+
= 
resolver o exercício 6 de outro modo, fazendo 
antes: 
xx
xx
x
x
x
x
tgx
tgx
y
sencos
sencos
cos
sen
1
cos
sen
1
1
1
+
−
=
+
−
=
+
−
= 
 
[4.2] Exercícios: Derivar e entregar com a 
resolução e as respostas na seguinte data: 
____/____/_______. 
 
1) xxy cos3sen5 += 
2) xxy cot.= 
3) xxxy cossen−= 
4) 
x
xxx
y
cos
cossen −
= (*) 
5) xxxxy cos)2(sen2 2 −−= 
6) 
xx
xx
y
cossen
cossen
−
+
= (*) 
7) xey
2sen= 
8) )92sec( += xy 
9) xy sen= 
10) xy cos= 
[5] Derivação Implícita 
[5.1] Exercícios: Calcule a derivadade cada 
uma das seguintes funções implícitas 
1) 3649 22 =+ yx 
y
x
y
4
9
'
−
= 
2) 7222 =+− xxyyx 
xyx
yxyx
y
2
22
'
2
2
−
+−−
= 
3) 54 =+ xyyx 
xxyx
yxyyx
y
+
−−
=
4
3
2
8
' 
 
[5.2] Exercícios: Derivar e entregar com a 
resolução e as respostas na seguinte data: 
____/____/_______. 
1) 33 22 =+− yxyx 
2) 16=+ xyyx 
3) 5=+
x
y
y
x 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #04 – Derivadas 4.11
 
[6] Exercícios Resolvidos 
1) 
7
5
+
−
=
x
x
y 
2) 22
22
)464(
)464(
1 −−+=
−+
= xx
xx
y 
3) 322
3 22
)43(
)43(
1 −
−=
−
= xx
xx
y 
4) 32 sen5 xxy = 
5) 323 2 )3cos43()3cos43( xxy −=−= 
6) 
xcos1
x2sen5
y
−
= 
7) xexy 32 −= 
8) xexy sen.cos= 
9) 
1
ln
2
2
+
=
x
x
e
e
y 
10) 
x
x
y
ln
2
= 
11) 53 )(ln xy = 
12) xxey x += 
13) 
237 xexy = 
14) 07544 3223 =+++ yxyx 
RESOLUÇÃO & RESPOSTA: Analise as 
resoluções e resposta dadas na página seguinte 
com os (as) seus (suas) colegas. 
Cálculo Diferencial e Integral I - RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material auxiliar #04 - Derivadas 4 resp. 12 
RESOLUÇÃO & RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS 
PROPOSTO NO ÍTEM [6] : 
 
1) 
22 )7(
12
)7(
)5.(1)7.(1
'
+
=
+
−−+
=
xx
xx
y 
2) 
32
32
)464(
1216
)68.()464.(2'
−+
−−
=+−+−= −
xx
x
xxxy
 
3) 
3 52
3
52
)433
812
)46.()43.(
3
2
'
xx
x
xxxy
−
+−
=−−
−
=
− 
4) 
3433223 cos15sen10cos.3.5sen10' xxxxxxxxxy +=+=
 
5) 
3
3
1
x3cos43
x3sen8
x3sen12.)x3cos43(
3
2
'y
−
=−=
−
 
6) 
2)cos1(
)2sen5(sen)cos1(2cos10
'
x
xxxx
y
−
−−
= 
7) xxxx exxeexxey 323323 32)3(2' −−−− −=−+= 
8) ( )xxeexexy xxx 2sensen2sen cossen.cos.sen' +−=+−=
 
9) 
22
2
22
424
22
2222
2
2
)1(
2
)1(
222
)1(
)(2)1(2
)'
1
('
+
=
+
−+
=
+
−+
=
+
=
x
x
x
xxx
x
xxxx
x
x
e
e
e
eee
e
eeee
e
e
u
 logo, 
como: 
'
'
u
u
y = podemos escrever, 
finalmente: 
1
2
)1(
)1(
2
'
2
2
2
22
2
+
=
+
+
=
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
y 
10)
22
2
)(ln
.ln2
)(ln
.
1
ln2
'
x
xxx
x
x
x
xx
y
−
=
−
= 
11) 43
3
2
43 )(ln
153
)(ln5' x
xx
x
xy == 
12) 
xxe
xee
xeexxey
x
xx
xxx
+
++
=+++=
−
2
1
)1.()(
2
1
' 2
1
 
13) 67(..6.7..6.7'
22222 3638363736 exexexexxexy xxxxx +=+=+=
 
14) 232322 12)158(0158812 yyx
dx
dy
dx
dy
yx
dx
dy
yxyx −=+⇒=+++
 
Observações: 
[1] As séries de exercícios que têm data de 
entrega programada devem ser 
entregues exatamente na data marcada. 
[2] Você deve guardar um rascunho da 
resolução dos exercícios (de preferência 
uma cópia xerox do material que foi 
entregue) ou deve anotar as respostas 
para poder conferi-las com que será 
fornecido pelo professor no final da 
aula, exatamente na data marcada para a 
entrega dos exercícios resolvidos. 
Cálculo Diferencial e Integral I - RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material auxiliar #04 - Derivadas 4 resp. 13 
 
UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS do Material Auxiliar #04 - Derivadas 
Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
Exercício [3.2]: 
1) 6
52
510
++=
xx
y y' = 5x9 + x4 
2) 
xx
y
43
2
+= 
23
46
'
xx
y −−= 
3) y=3x-1 - 7x-1 + 6=-4x-1 y' = -4x-2 
 
Se: y=3x-2 - 7x-1 + 6 
23
23
76
76
' −− +−=+−= xx
xx
y 
4) 
13
72
−
+
=
x
x
y 
22 )13(
23
)13(
)72(3)13(2
'
−
−
=
−
+−−
=
xx
xx
y 
5) y = (5 - 2x)10 9)25(20' xy −−=
 
6) 
5)14(
1
+
=
x
y 
6)14(
20
'
+
−
=
x
y 
7) 
3
2
13





 +
=
x
x
y 
7
2 )23()13(3
'
x
xx
y
++−
= 
8) 
x
y
1
= 
23 22
1
2
1
'
x
x
xxx
y
−
=
−
=
−
= 
9) 122 −+= xxy 
12
1
'
2 −+
+
=
xx
x
y
 )2).(( xxxxy −+= xxy
2
3
22' −−= 
10) )ln()ln( 3
23 2 xxy == 
x
y
3
2
' = 
11) 
323 .5 xexy = 
)21(15)3015(' 322522
33
xexxxey xx +=+= 
12) )12ln(.3 −= xxy 
 
12
6
)12ln(3'
−
+−=
x
x
xy 
13) 
x
x
y
ln
2
= 
2)(ln
ln.2
'
x
xxx
y
−
= 
14) 
x
x
y
−
+
=
1
1 
2
2
1
)1(
'
x
x
y
−
=
−
 
 
Exercício [4.2] : 
 
11) xxy cos3sen5 += xxy sen3cos5' −= 
12) xxy cot.= 
x
x
xy
2sen
cot' −= 
13) xxxy cossen−= xy 2sen2' = 
14) 
x
xxx
y
cos
cossen −
= xtgy 2' = 
15) xxxxy cos)2(sen2 2 −−= xxy sen' 2= 
16) 
xx
xx
y
cossen
cossen
−
+
= 
2)(sen
2
'
coxx
y
−
−
= 
17) xey
2sen= xexy
2sen.2sen' = 
18) )92sec( += xy )92tan().92sec(2' ++= xxy 
19) xy sen= 
x
x
y
2
cos
' = 
20) xy cos= y'= 
x
x
y
cos2
sen
'
−
= 
 
 
Exercício [5.2]: 
 
4) 33 22 =+− yxyx 
xy
xy
y
dx
dy
32
23
'
−
−
== 
5) 16=+ xyyx 
xxyx
yyxy
y
+
+
=
2
2
' 
6) 5=+
x
y
y
x 
x
y
y =' 
 
 
 
 
 
 
4r 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 14
UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I 
Material Auxiliar #05 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
Prof. Aury de Sá Leite – aury.leite@ig.com.br 
 
[
1] Equações de Retas Tangentes e Normais 
 
Problema Modelo 1.1: Achar a equação da 
reta tangente à curva 
22
12
+
−
=
x
x
y que passa por 
um dos pontos desta curva cuja abscissa é 3. 
• Pré-requisitos: 
[1] equação da reta por um ponto (x0,y0) é dada 
por 
r: y - y0 = m(x - x0) 
[2] onde m é o coeficiente angular da reta r: m 
= tg α 
[3]se x0 = 3 e 
22
1
0
2
0
0
+
−
=
x
x
y ⇒ 1
8
8
23.2
132
0 ==
+
−
=y , 
logo a reta deve passar por (x0,y0) = (3,1). 
• Resolução: 
αtgm
x
xx
y ==
+
++
=
2
2
)22(
242
' coeficiente angular 
genérico válido para todas as retas que 
tangenciam a curva dada. 
Logo, para x =3 tem-se y' = m = 1/2 e r: 
2
1−
=
x
y . 
Problema Modelo 1.2: Achar a equação da 
reta normal à curva xxy 52 += , tal que a 
tangente a esta curva faça um ângulo de 45o 
com o eixo y = 0. 
• Pré-requisitos: 
[1] O coeficiente angular de uma reta s 
perpendicular a uma reta r de coeficiente 
angular mr = tg α é dado por 
ms =
rmtg
11
−=
−
α
, ou seja, mr × ms = -1. 
[2] tg 45o = tg 1
4
=
π 
• Resolução: 
Sendo r: xxy 52 += ⇒ ⇒=+= 1 e 52' rmxy 
2152 00 −=⇒=+⇒ xx e 
61045 0
2
00 −=−=+= xxy . 
Como 111 −=⇒−=⇒= s
s
rr mm
mm . 
. 6)2(16)()( 00 −−=⇒+−=+⇒−=− xyxyxxmyy s 
 
Exercício 1.1 - Com Resposta: Achar as 
equações das retas tangente e normal à curva de 
equação 3xy + x2 = x3- 4y , no ponto onde x = 
1. 
Resposta: Ponto (xo, yo) = (1,0), 
αtgm
dx
dy
===
7
1 , de onde x −7y −1=0 e 7x + y 
− 7=0 
 
���� Vide um problema muito interessante 
no material auxiliar 5E sobre reta normal a 
uma curva, mas que deve ser paralela a outra 
curva dada. 
 [2] Taxas Relacionadas 
Problema Modelo 2.1: Uma escada de 5 
metros de altura está encostada em uma parede 
vertical. Se a base da escada está se afastando 
da parede à razão de 8m/s, a que velocidade 
desliza a parte superior ao longo da parede, 
quando a base se encontrar a 3 m da parede? 
Resolução: vide notas de aula. 
Resposta: - 6m/s. 
(o sinal negativo indica que y decresce com 
relação a t) 
 
Problema Modelo 2.2: Um papagaio de papel 
está voando a uma altura constante de 40m. O 
garoto está empinando o papagaio de tal modo 
que este se move à razão de 3m/s. Se a linha 
está esticada, com que razão o garoto deve 
soltá-la quando o comprimento da mesma 
atingir 50 metros para manter a altura constante 
de 40m? 
Resolução: vide notas de aula. 
Resposta: 
5
9 m/s. 
Problema Modelo 2.3: Um tanque tem a forma 
de um cone invertido tendo uma altura de 5m e 
para raio da base 1m. O tanque se enche de 
água à razão de 2m3/min. Calcule a velocidade 
em que sobe o nível da água quando esta 
atingiu 2,5 m de altura. 
Resolução: vide notas de aula. 
Resposta: m/min8
π
 
5 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 15
Problema Modelo 2.4 - Com Resposta: Dois 
carros, um indo para leste à razão de 72 km/h, e 
outro, para o sul, à razão de 54 km/h, vão se 
encontrar na interseção das duas rodovias. A 
que razão os carros aproximam-se um do outro, 
no momento em que o primeiro estiver a 400m 
da interseção e o segundo, a 300m? Resolução: 
vide notas de aula. Resposta: −1500m/min ( a 
variação é negativa poque a distância diminui 
com o tempo) . 
 
Exercício 2.1 - Com Resposta: Uma régua com 
20 cm de comprimento está apoiada numa 
parede vertical e sua extremidade inferior está 
sendo afastada desta parede a 12 m/s. A que 
velocidade desliza a parte superior, quando a 
base estiver a 12 cm da parede? 
• Respostas: - 9m/s 
Exercício 2.2 - Com Resposta: Um menino 
mantém um papagaio empinado a uma altura de 
300m e, o vento, o afasta do menino à razão de 
25 m/s. Com que velocidade deve o menino, 
dar linha, quando o papagaio está a 500 m 
dele? 
• Resposta: 20m/s. 
Exercício 2.3 - Com Resposta: Acumula-se 
areia em um monte de forma cônica à razão de 
0,5 m3/min. O raio da base do monte é, sempre 
igual à metade de sua altura. Com que 
velocidade está crescendo a altura deste monte 
de areia quando este alcança 2m? 
Resposta: m/min 
2
1
π
 
Exercício 2.4 - Com Resposta: 
Duas rodovias interceptam-se 
perpendicularmente. O automóvel A numa 
destas rodovias está a 0,5 km da interseção e se 
move à razão de 96 km/h enquanto o carro B, 
na outra rodovia está a 1 km da interseção e se 
move à razão de 120 km/h. A que razão está 
variando a distância entre os dois carros no 
instante em que x=1 e y = 1/2, de acordo com o 
diagrama seguinte: 
 
D
D2 = x2 + y2
B
A
y
x
 
 
Resposta: -150,26 km/h aproximadamente 
 
 
 
Exercício 2.5 - Com Roteiro de Resolução e 
Resposta: Se o raio de um círculo cresce à taxa 
de 30 cm/s. A que taxa estará crescendo a área 
com relação ao tempo quando o raio atingir 120 
cm? Qual a taxa do crescimento da 
circunferência neste mesmo instante? 
 
Roteiro para Resolução: 
(1) A= 
dt
dR
R
dt
dA
R ππ 22 =⇒ ⇒ 
seg
cm
dt
dA 2
720030.120.2 ππ ==⇒ 
(2) scm
dt
dR
dt
dC
RC /6022 πππ ==⇒= 
 
Exercício 2.6 - Com Roteiro de Resolução e 
Resposta: Uma bola esférica de gelo com 8 cm 
de diâmetro está derretendo à taxa de 10/π cm3 
por minuto. Com que velocidade se reduz a 
bola quando ela estiver com 2 cm de raio? 
 
Roteiro para Resolução: 
dt
dR
R
dt
dV
RVesfera
23 4
3
4
ππ =⇒= 
 R= 4cm e min/10 3cm
dt
dR
π
= 
min/ 160)2 ( 3cmcmRpara
dt
dV
== 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 16
[3] Análise de Gráficos de Funções 
Pré-requisitos: Valores numéricos da tangente 
de ângulos notáveis; diferenciabiliade de f(x); 
derivadas sucessivas. 
[3.1] Diferenciabilidade 
A derivada de uma função f(x) é definida 
naqueles pontos onde o limite f ' (x) 
=
x
y
x ∆
∆
→∆ 0
lim existe. Esses pontos são chamados 
pontos de diferenciabilidade (ou de 
derivabilidade) para f e os pontos onde isto não 
ocorre são chamados pontos de não-
difenciabilidade para f. 
Exercícios: Trace os gráficos das seguintes 
funções, verifique os pontos de não 
diferenciabilidade de cada uma delas, 
justificando analíticamente sua resposta: 
 a) y = 3
2
x b) y = 3
1
x 
c)y= 3
1
)2( −x 
OBSERVAR: Os pontos onde f ' (x)= 0 
ou os pontos onde f é não diferenciável 
são denominados pontos críticos. 
Geometricamente os pontos que 
admitem difencial são aqueles em que 
a curva admite uma reta tangente. 
 [3.2] Diferencial de y e Cálculos Aproximados 
Definição: Se a função y = f(x) admite 
derivada f’(x) num dado ponto x, denomina-se 
diferencial desta função à expressão : dy = 
f’(x) ×××× ∆∆∆∆x. 
y=x2+2
½ +∆x
γ∆x
∆y
dy= f’(x). ∆x
dx=∆x
½
Seja y= f(x) = x2 + 2, então f’(1/2) = 1= tg 
4
π
(0,2)
 
���� Analise o gráfico anterior para x 
= 1  
 
Considerações: 
Já se viu que, se y = f(x) é derivável num intervalo [a,b]: 
αtg
dx
dy
x
y
xf
x
==
∆
∆
=
→∆ 0
lim)(' 
Note que a fração 
x
y
∆
∆ tende a um valor 
numérico f’(x) quando ∆x→0. Assim, 
x
y
∆
∆ 
difere da derivada f’(x) por uma quantidade 
infinitamente pequena, o que nos permite 
escrever: 
x
y
∆
∆ = f’(x) + γ (1) 
De (1) pode-se obter: 
 
∆y = f’(x).∆x + γ.∆x (2) 
Da definição de diferencial de y ( dy = f’(x).∆x 
) dada acima e da expressão (2) anterior pode-
se escrever: 
 ∆y = dy + γ.∆x (3) 
como γ é uma quantidade infinatamente pequena 
cosstuma-se adotar em certos cálculos numéricos a 
seguinte igualdade aproximada: ∆y ≅ dy 
(4) 
ou ainda: xxfxfxxff ∆≅−∆+=∆ )(')()( (5) 
que nos permite calcular o valor aproximado da variação 
de uma função y = f(x) a partir do acréscimo dado à 
variável independente. 
 
Problema de Aplicação 1: Seja calcular y = x2 
a área de um quadrado de lado x. Sendo dados 
x = 20 cm e ∆x= 0,1cm calcule ∆y e o valor 
aproximado de dy. 
Resposta: ∆y=f(x+∆x)-f(x)= (x+∆x)2 - x2 ⇒ 
∆y = 4,01 cm e 
 dy ≅ f’(x). ∆x= 2x∆x ⇒ dy = 4,00 
cm. 
Problema de Aplicação 2: Dada a função 
3
2
xy = , calcule através de diferenciais, qual a 
variação aproximada da mesma, quando x 
decresce de 8 para 7,8. 
Respostas: =∆≅∆ x).x('fy −0,066947576 (valor 
aproximado); 
 ∆y=∆f=3,9333... − 4 = −0,0666... (valor exato). 
 
[3.3] Teorema do Valor Médio 
Primeiramente vamos apresentar o Teorema de 
Rolle que é um caso especial do Teorema do 
Valor Médio: 
: 
Teorema de Rolle: Seja y= f(x) uma função 
diferenciável no intervalo aberto ]a,b[ e 
contínua no intervalo fechado [a,b]. Se f(a) = 
f(b) = 0, então há pelo menos um ponto c ∈ 
]a,b[ tal que f'(c) = 0. 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 17
ba
ba
 
Teorema do Valor Médio: Seja y = f(x) uma 
função diferenciável em ]a,b[ e contínua no em 
[a,b]. Então existe pelo menos um ponto c ∈ 
]a,b[ tal que: 
 
α=
∆
∆
=
−
−
= tg
x
y
ab
)a(f)b(f
)c('f . 
 
C
y = f(x)
B
A
c ba
Na figura acima: A = (a, f(a)) e B= (b,f(b) )
f(a)
f(b)
 
• O Teorema da Média afirma que entre dois 
pontos quaisquer A e B sobre o gráfico de 
um função y = f(x) diferenciável, deve 
haver pelo menos um lugar onde a reta 
tangente à curva é paralela à reta secante 
que passa por A e B. É bom que se observe 
que a expressão 
ab
afbf
−
− )()( fornece o 
coeficiente angular da reta secante que 
passa por A e B e que f'(c) fornece o valor 
da tgα que é exatamente a inclinação da 
reta tangente que passa por C. 
 
 
[3.4] As Derivadas Sucessivas 
Se a derivada f’(x) de uma função f(x), for 
ainda diferenciável, então a derivada de f’(x) 
será notada como f”(x), sendo chamada 
derivada Segunda, ou derivada de Segunda 
ordem, de f(x). À medida que a 
diferenciabilidade ainda seja possível, 
poderemos continuar este processo de 
derivação sucessiva. 
 Notação: f’(x) = 
dx
dy ; f”(x)= 
2
2
dx
yd ; f’’’(x) 
=
3
3
dx
yd ; f(4)(x) = 
4
4
dx
yd ... f(n)(x) = 
)]([ xf
dx
d
dx
yd
n
n
n
n
= . 
Exemplo: 
f(x) = 5x3- 7x2 + 4x – 5 ⇒ f’(x) = 15x2-14x+ 4 
⇒ 
⇒ f”(x) = 30x – 14 ⇒ f’’’(x) = 30 ⇒ f(4)(x) = 
0⇒ 
⇒ f(5)(x) = 0⇒ f (n)(x) = 0, ∀∀∀∀n∈∈∈∈N, n ≥≥≥≥ 4 
 
[3.5] Estudo de Sinais das Derivadas 
Para se provar o teorema a seguir utiliza-se o 
Teorema do Valor Médio. 
 
TEOREMA: Dada uma função y = f(x) contínua num 
intervalo [a,b] (isto é: a ≤ x ≤ b) e diferenciável no 
intervalo ]a,b[ (isto é: a < x < b) 
• Se f '(x) > 0 no intervalo a < x < b então 
f(x) é crescente neste intervalo. 
• Se f '(x) < 0 no intervalo a < x < b então 
f(x) é decrescente neste intervalo. 
• Se f '(x) = 0 no intervalo a < x < b então 
f(x) é constante neste intervalo. 
 
Eainda: 
 
• Se f"(x) > 0 no intervalo a < x < b então 
f(x) tem concavidade para cima. 
 
• Se f"(x) < 0 no intervalo a < x < b então 
f(x) tem concavidade para baixo. 
 
[3.6] Máximos e Mínimos relativos 
• Teorema: Se uma função y = f(x) tiver 
extremos (máximo ou mínimo) relativos 
(ou locais), então eles ocorrem ou em 
pontos onde f ' (x) = 0 ou em pontos de 
não-diferenciabilidade. 
 
[3.6.1.] Teste da derivada Primeira 
• Se f '(x0 - ε) > 0 e f '(x0 + ε) < 0 então f tem 
um máximo relativo (máximo local) em x0. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 18
• Se f '(x0 - ε) < 0 e f '(x0 + ε) > 0 então f tem 
um mínimo relativo (mínimo local) em x0. 
 
[3.6.2.] Teste da derivada Segunda 
Teorema: Supondo que f(x) é duas vezes 
diferenciável em um ponto x0 com f '(x0) = 0, 
então 
 
(a) se f "(x0) > 0 então f tem um mínimo 
relativo em x0. 
(b) se f "(x0) < 0 então f tem um máximo 
relativo em x0. 
(c) se f "(x0) = 0 nada se pode afirmar . 
 
Exercício 3.6.2.1 - Com Roteiro de Resolução 
e Resposta: 
Localize os extremos relativos da função f(x) = 
x4 - 2x2. 
Roteiro para Resolução: 
[1] Fazendo f(x) = 0 vem: f(x) = x4 - 2x2 = 
x2.(x2-2) = 0 onde as raízes reais desta equação 
são: 0 (uma raiz dupla) e 2± . 
[2] O gráfico desta função é o seguinte: 
 
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
1.5
 
 
[3] f '(x) = 4x3 - 4x e f "(x) = 12x2 - 4 
[4] fazendo f '(x) = 0 vem: f '(x) = 4x3 - 4x = 0. 
A equação 4x. (x2 - 1) = 0 tem para raízes: 0, 
+1 e -1. 
[5] Nos pontos onde x = 0, x = 1 e x = -1, as 
derivadas segundas valem: 
f "(-1)= 8 > 0 ⇒ f tem um ponto de mínimo 
relativo em x=-1 
f "(0) =-4 < 0 ⇒ f tem um ponto de máximo 
relativo em x=0 
f "(1)= 8 > 0 ⇒ f tem um ponto de mínimo 
relativo em x=1 
 
Exercício 3.6.2.1 - Com Resposta: encontre os 
pontos de máximo e mínimo da função y= 2x3 
+ 3x2 - 12 x - 7. 
 
Resposta: (-2,13) é um ponto de máximo 
relativo e (1,-14) um ponto de mínimo relativo. 
[3.7] Pontos de inflexão 
Os pontos xo onde f ‘(xo) = 0 são ditos pontos 
críticos, mas nem todo ponto crítico e ponto de 
máximo relativo ou de mínimo relativo. Veja 
as funções y = x1/3e y = x3, que têm um ponto 
crítico em (0,0), mas que não são pontos nem 
de máximo nem de mínimo, são pontos de 
inflexã.o 
-2
- 8
8
2
-2
2
8
- 8
(0,0) é um ponto de imflexão
(0,0) é um ponto de imflexão
 
 
[3.8] Problemas de Máximos e Mínimos 
Problema Modelo 3.8.1: Ache 
o retângulo de maior área 
possível sabendo que o seu 
perímetro é 100 m. 
 
Roteiro para Resolução: 
 
[1] Perímetro do retângulo: 2x + 2y = 100 
[2] Área do retângulo: A= x.y 
[3] Substituir y em [2] e derivar. 
[4] Calcular (igualando a derivada 1a a zero) e 
analisar o ponto crítico da função, através da 
derivada segunda. 
 
Resolução: 
A= - x2 + 50 x; 502 +−= x
dx
dA ; fazendo 
0=
dx
dA obtém-se x = 25; 02
2
2
<−=
dx
Ad de onde A 
tem um ponto de máxima em x = 25 (verifique 
no gráfico a seguir). 
 
x
x
y y
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 19
10 20 30 40 50
100
200
300
400
500
600
 
 
Resposta: Como 2x + 2y = 100 vem que y = 
25. Assim o retângulo de máxima área que 
satisfaz às condições do problema é o quadrado 
de lado igual a 25m. 
 
Problema Modelo 3.8.2: Uma caixa deve ser 
feita com uma folha de papel cartão medindo 
16cm × 30 cm. Quer-se obter uma caixa de 
maior volume possível recortando-se a 
cartolina de acordo com o desenho abaixo. 
Qual o valor de x? 
 
x
x
Algumas Informações: 
Algumas Informações: 
Vparalelepípedo= área da base × altura = 4x
3 -92x2 + 
480x 
480184x12x
dx
dV 2 +−= e
12ou x 
3
10
x0
dx
dV
==⇒= 
18424
2
2
−= x
dx
dV
 
0327218434561841224)12( 2
2
2
>=−=−×=
dx
dV
 12 é um ponto de mínima 
010418480184
3
10
24)
3
10
(
2
2
<−=−=−×=
dx
dV
 ⇒ este é um ponto de máxima 
 
 Resposta: x = 10/3 cm é ponto de máxima 
 
Problema Modelo 3.8.3: Uma ilha está num 
ponto A, a 6 km de um ponto B na margem de 
um rio. A sua casa está num ponto C, a 7km de 
B. Se uma pessoa pode remar à taxa de 4 km/h 
e caminhar à taxa de 5 km/h onde ele deveria 
desembarcar (ponto D) para ir da ilha até sua 
casa no menor espaço de tempo possível? 
Algumas Informações: 
T(x) =
5
7
4
36
54
2 xxCdistânciaDDdistânciaA −
+
+
=+ 
T'(x) = 
5
1
364 2
−
+x
x T'(x) = 0 ⇒x=± 8 que não 
pertence ao intervalo [0,7], assim não existem 
pontos críticos em T(x) e o mínimo absoluto de 
T(x) deve ocorrer em um dos extremos do 
intervalo x= 0 ou x= 7. Verifique o valor de 
tempo mínimo comparando T(0) e T(7). 
 
 
[4] Fórmula de Taylor-Mclaurin 
Pré-requisitos: 
• Notação de fatorial de n: n!=1 × 2 × 3 × 
... × (n-1) × n 
Exemplo: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 
• Notação de somatório - alguns exemplos: 
54321
5
1
aaaaaa
i
i ++++=∑
=
 
9753113)12(
4
2
+++++−−=+∑
−=n
n 
 
[4.1] Vamos partir da suposição que uma 
função f = f(x) possa ser escrita sob a forma de 
uma série (somatório) de potências, isto é: 
f = f(x) = ∑
+∞
=
−
0
)(
n
n
n axc com a-r < x < a+r, 
onde c é uma constante real e r é denominado raio de 
convergência da série. 
Teorema: 
Se f é uma função tal que f = f(x) = 
∑
+∞
=
−
0
)(
n
n
n axc para todo x em um intervalo aberto 
que contenha a, então: 
+
−
+
−
+−+=
!3
))(('"
2
))(("
))((')()(
32 axafaxaf
axafafxf
+ )(
!
))((
...
!4
))(( )(4)(
xR
n
axafaxaf
n
nnIV
+
−
++
− . 
Observação: a fórmula acima, uma série de 
potências, é denominada série de Taylor e o 
termo Rn(x) é denominado resto de Lagrange. 
O resto de Lagrange permite exprimir o resíduo 
ou resto após o enésimo termo da série. 
• Este Teorema será provado em sala de 
aula 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 20
[4.2] Corolário do Teorema anterior: 
Se f(x) = ∑
+∞
=
×
0n
n
n xc para todo -r < x < r então 
f(x) pode ser escrita como sendo: 
...
!
)0)(0(
...
!4
)0(
!3
)0('"
2
)0("
)0(')0(
)(4)(32
+
−
+++++⋅+
n
xfxfxfxf
xff
nnIV
(que é denominada série de Mclaurin). 
•••• A prova deste corolário (conseqüência) é baseada na 
prova do Teorema anterior, bastando tomar naquele: a = 0. 
 
Exercícios Importantes: 
1) Determinar as série de Mclarin para: 
(a) ex = (b) sen x = (c) cos x = 
(d) ln x = para 0 < x ≤2 (e) 
x−1
1 
para |x| <1 
Respostas 
(a) ex = ∑
∞
=
=++++
0
32
!
...
!3!2
1
n
n
n
xxx
x , ∀x 
(b) sen x = ∑
∞
=
+
+
−=+−+−
0
12753
)!12(
)1(...
!7!5!3 n
n
n
n
xxxx
x , 
∀x 
(c) cos x = 
∑
∞
=
+−=+−+−
0
2
1
642
)!2(
)1(...
!6!4!2
1
n
n
n
n
xxxx ,∀x 
(d) ln x = =−−+−−− ...)1(
3
1
)1(
2
1
)1( 32 xxx 
2
1
1
)1(
)1(
−
−
=∑
∞
=
+
x
nn
n
, que converge para ln x quando 
0<x≤2. 
(e) ∑
∞
=
=+++=
− 0
2 ...1
1
1
n
nxxx
x
, para |x| <1 
 
2) Determine a série de Taylor para a função f(x) = sen x 
com a = ππππ/6. 
Resposta: 
...
!4
)
6
(
2
1
!3
)
6
(
2
3
!2
)
6
(
2
1
)
6
(
2
3
2
1
sen
432
+
−
+
−
−
−
−−+=
πππ
π
xxx
xx
 
[5] NOTAS SOBRE AS DERIVADAS: 
 
[5.1] Regra de L'Hôspital 
Se 
0)(lim =
→
xf
ax
 e 0)(lim =
→
xg
ax
, 
ou se 
∞=
→
)(lim xf
ax
 e ∞=
→
)(lim xg
ax
 
então 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax →→
= 
 
Exercícios de Aplicação da Regra de 
L'Hôspital 
 
1) Calcular os seguintes limites utilizando a 
regra de L'Hôspital: 
a) =
→ x
x
x
sen
lim
0
 b) =−
→ x
x
x
cos1
lim
0
 c) 
=
−
−
→ 2
4
lim
2
2 x
x
x
 
d) =−
→ 30
1
lim
x
e x
x
 e) =
−
+∞→ )/1sen(
lim
3/4
x
x
x
 
Respostas: a) 1; b) 0; c) 4; d) +∞; e) 0 
 
Calcular os seguintes limites utilizando a regra 
de L'Hôspital: 
a) =
+∞→ xx e
x
lim 
b) 
)u u.cotg cossec.(
1
lim
 cossec
ln
lim
00 −
=
++ →→ xx
x
xx
 
Respostas: a) 0; b) 
00.1lim.
sen
lim
00
=−=





−
++ →→
tgx
x
x
xx
 
 
 [5.2] Regra da CadeiaSuponha que y seja uma função 
derivável em u, e seja u uma função derivável 
em x. Então y é uma função composta de x e: 
Exemplos: 
[1] Calcular 
dx
dy sendo y = u3 - 3u2 + 5 com u = 
x2 + 2. 
Resolução: uu
du
dy
63 2 −= e x
dx
du
2= temos 
que 
)2(6)2)(63( 232 +=−== xxxuu
dx
du
du
dy
dx
dy 
Tente substituir a expressão u na expressão y e 
derivar para verificar o resultado anterior. 
 
[2] Calcular 
dx
dy quando x = 1 sendo dados y 
=
1
1
+u
 e 
u = 3x2 - 1. 
Resposta: 
 
222 )13(
6
)1(
6
−
=
+
=
x
x
u
x
dx
dy e 
3
2
9
6
)1( ===x
dx
dy 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 21
 
[5.3] Derivada das 
 Funções Trigonométricas Inversas 
 
[5.3.1] Dada a f(x) = y = arc sen x, com 
f: [-1,1] → [
2
,
2
ππ
− ], podemos rescrevê-la 
como sendo: 
 x = sen y com y ∈[
2
,
2
ππ
− ] (1) 
Derivando a expressão (1) em relação a x vem: 
 
y
yyy
dx
yd
dx
xd
cos
1
''.cos1
)(sen)(
=⇒=⇒= (2) 
Como sen2 y + cos2 y = 1 podemos escrever: 
 cos y = y2sen1− (3) 
substituindo (3) em (2) obtém-se: 
 
y
y
2sen1
1
'
−
= (4) 
substituindo (1) em (4) obtém-se: 
21
1
'
x
y
−
= . 
Generalizando: 
' .
1
1
' s arc
2
u
u
yueny
−
=⇔= 
[5.3.2] Para f(x) = y = arc cos x, f: [-1,1] → 
[0,π ], de forma análoga a anterior, pode-se 
obter: 
' .
1
1
'u cos arc
2
u
u
yy
−
−
=⇔= 
[5.3.3] Para f(x) = y = arc tgx, f: R → 
[
2
,
2
ππ
− ] 
podemos reescrevê-la como: 
 x = tg y com y ∈[
2
,
2
ππ
− ] 
(1) 
Derivando a expressão (1) em relação a x vem: 
 
y
yyy
dx
ytgd
dx
xd
2
2
sec
1
''.sec1
) ()(
=⇒=⇒= 
(2) 
Como sec2 y = tg2 y + 1 podemos escrever: 
 
1
1
'
1
1
'
22 +
=⇒
+
=
x
y
ytg
y 
 
Generalizando: ' .
1
1
'u tgarc
2
u
u
yy
+
=⇔= 
[5.3.4] Para f(x) = y = arc cotgx, f: R →[ π,0 ], 
de forma análoga a anterior, pode-se obter: 
 
' .
1
1
'u cotg arc
2
u
u
yy
+
−
=⇔= 
Tabela de Derivadas de 
Funções Trigonométricas Inversas 
15. y = arc sen u 16. ' .
1
1
'
2
u
u
y
−
= 
16. y = arc cos u 17. ' .
1
1
'
2
u
u
y
−
−
= 
17. y = arc tg u 18. ' .
1
1
'
2
u
u
y
+
= 
18. y = arc cotg u 19. ' .
1
1
'
2
u
u
y
+
−
= 
19. y = arc sec u 20. ' .
1.||
1
'
2
u
uu
y
−
= 
20. y = arc cosec 
u 
21. ' .
1.||
1
'
2
u
uu
y
−
−
= 
Observação importante: As derivadas acima indicadas como u' 
devem ser entendidas como 'xu , isto é, derivadas com relação a 
x. 
 
[5.4] Derivada das Funções Hiperbólicas 
As funções hiperbólicas fundamentais são: 
1) O seno hiperbólico de x: 
2
senh
xx ee
x
−−
= 
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
 
2) O co-seno hiperbólico de x: 
2
cosh
xx ee
x
−+
= 
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
 
3) A tangente hiperbólica de x: 
xx
xx
ee
ee
x
x
xtgh
−
−
+
−
==
cosh
senh
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #05 - Aplicações de Derivadas 
 
 
 
5. 22
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
 
Observação: As funções hiperbólicas inversas 
são definidas a seguir: 
xcosh
1
x hsec = 
senhx
1
x hseccos = 
senhx
xcosh
xcotgh = 
 
 
 
Tabela de derivadas das Funções Hiperbólicas: 
y= senh u 
dx
du
u
dx
dy
cosh= 
y= cosh u 
dx
du
u
dx
dy
senh= 
y= tgh u 
dx
du
uh
dx
dy 2sec= 
y= sech u 
dx
du
uu
dx
dy
 tgh sech −= 
y= cossech u 
dx
du
uu
dx
dy
cotgh sech cos−= 
y= cotgh u 
dx
du
u
dx
dy 2cosech−= 
Algumas propriedades das funções 
hiperbólicas: 
• cosh2x - senh2 x = 1 
• 1 - tgh2 x = sech2 x 
• cotgh2 x - 1= cossech2 x 
Cálculo da Derivada de Funções Hiperbólicas 
Inversas 
Seja: y = arg senh x ⇔ x = senh y 
y
yyy
dx
yd
dx
xd
cosh
1
''.cosh1
)(senh)(
=⇒=⇒= 
como cosh2x - senh2 x = 1, podemos escrever 
que: 
22 1
1
'
senh1
1
cosh
1
'
x
y
xy
y
+
=⇒
+
==
 de onde: 
y = arg senh u '.
1
1
'
2
u
u
y
+
= 
y = arg cosh u '.
1
1
'
2
u
u
y
−
= com u > 
1 
 
A Catenária: As funções hiperbólicas têm grandes 
aplicações na modelagem de problemas mecânicos 
que envolvam movimentos vibratórios e onde a 
energia mecânica seja gradualmente absorvida pelo 
meio ambiente. Elas também ocorrem nos casos em 
que cabos flexíveis e homogêneos sejam suspensos 
entre dois pontos, como os casos de linhas de 
transmissão de energia elétrica e cabos telefônicos. 
A curva formada por estes cabos é denominada 
catenária (do latim: catena - cadeia). Pode-se 
mostrar utilizando-se princípios da Física que a 
equação da catenária é 
b
x
ay cosh.= . 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #06 – Integrais 
 
6.23 
6 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #06 - Integrais 
Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
 
NOTAR QUE: 
O que se estudou até agora foi o Cálculo 
Diferencial, a partir daqui estaremos estudando o 
Cálculo Integral. 
[1] O Conceito de Integral Indefinida 
[1.1] A Antiderivada 
Definição: Uma função F é chamada 
antiderivada de uma função f em um dado 
intervalo I se F '(x) = f(x) para todo x∈I. 
Exemplo: a função F(x) = 5x2 + 4x - 6 é a 
antiderivada de f(x) = 10x + 4 = F’(x) no 
intervalo ]−∞, +∞[. No entanto, F(x) não é a 
única antiderivada possível para f(x) neste 
intervalo. Note que F(x) = 5x2 + 4x + c, para 
qualquer valor real de c também satisfaz à 
condição. Assim, poderíamos ter que: F(x) = 
5x2 + 4x –10, F(x) = 5x2 + 4x ou F(x) = 5x2 + 
4x + 3 poderiam ser a antiderivada de f(x)= 
10x + 4. 
 
TEOREMA: Se F(x) for qualquer 
antiderivada(*) de f(x) em um intervalo I, então 
para qualquer constante c a função F(x) + c é 
também uma antiderivada de f(x) naquele 
intervalo. 
 
Exercícios: Calcule as antiderivadas das 
funções abaixo 
a) f(x) = 5
5
1
x ⇒ F(x) = 
b) f(x) = sen x ⇒ F(x) = 
c) f(x) = 6x2 - 4x + 5 ⇒ F(x) = 
d) f(x)= 3
6
5
43
23
+−+
xxx
 ⇒ F(x) = 
NOTAR QUE: O processo de encontrar antiderivadas é chamado 
de antidiferenciação ou integração. 
[1.2] Integrais - Fórmulas Imediatas e 
Propriedades 
1. ∫ += cxdx 
2. ∫ ∫= dxxfcdxxfc )(.)(. 
 
(*) A antiderivada de f(x) é também chamada primitiva de f(x). 
3. ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 
4. ∫ ∫∫ +=+ dxxgcdxxfcdxxgcxfc )()()](.)(.[ 2121 
5. 
∫ ++=
+
c
n
x
dxx
n
n
1
1
 
[1.3] Exercícios: Calcule as integrais 
a) ∫ =+ dxx )53( b) ∫ =dxx
3 2 
c) =+∫ dxxx
)
11
(
44
 d) =−∫ dxxx )35(
24 
 
 
[2] Integração por Substituição (u,du) 
 Como obter a primitiva de f(x) para a 
seguinte integral: 
I = dxxxdxxf ∫∫ +=
212)( ? 
Note que nenhuma das fórmulas anteriores 
serviria para calcular a primitiva da f(x). No 
entanto pode-se utilizar um artifício que 
permitirá a obtenção do que foi pedido. 
• Podemos fazer uma mudança de variáveis: 
seja adotar: 1+x2 = u ⇒ du = 2x dx, assim 
teremos: 
=+===+= ∫∫∫ c
u
duuduudxxxI
2
3
 12
2
3
2
12 
c
xx
c
x
cx +
++
=+
+
==++=
3
1).1.(2
3
)1(2
)1(
3
2 22
32
2
32
���� Tente derivar a primitiva F(x) para obter f(x). 
IMPORTANTE: Resolver: I= 
=+∫ dxxx
213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #06 – Integrais 
 
6.24 
[2.1] Exercícios: Calcule as integrais 
a) ∫ =+ dxx 43 b) ∫ =+ dttt
82 )35( 
c) =−∫ dxxx
5 32 47 . d) =
−∫ 25x
dx 
Respostas: 
a) cx ++ 2
3
)43(
9
2 b) ct ++ 92 )35(
54
1 
c) cx +−− 5
6
3 )47(
72
5 d) cx +− 25
5
2 
[2.2] Exercícios para fazer e conferir: Calcule as integrais 
através da substituição do tipo "u,du" 
 
a) cxdxxx +−=−∫ 80
)35(
)35( . 
83
72b) cxdxxxdxxx +−
−
=−=− ∫∫
32242 )41(
12
1
41.4 
c) cxxdx
xx
xx
+++=
++
+
∫ 2
123
23
2
)13(
3
2
 
13
2
 
 
[2.3] Exercícios: Calcular as integrais utilizando as 
substituições indicadas em cada caso: 
a) Exercício importante 
I= ∫ =− dxxx 1. a1) adotando u = 1−x 
 a2) adotando u = x − 
1 
b) Exercício importante 
I= ∫ =
+1
 
x
dxx b1) adotando u = 
1+x 
 b2) adotando u = x 
+1 
c) Exercício importante 
I= =−∫ dxxx .)1( 7
1
 adotando 1 − x = y7 
d) I= =−∫ dxxx .3
 2 adotando u = x−3 
e) I= =−∫ dx
x
x )
2
1
2( adotando u = x2 
f) I= =
+
∫ dx
x
x
 
3
 adotando u= 3+x 
g) I= =−∫ dxxx )23( adotando u = x 
 
Respostas: 
a1) u
 = 1−x ⇔ u2= x−1 ⇒ x = u2 + 1 ⇒ dx = 
2u du: 
I= c
xx
+
−
+
−
3
)1( . 2
5
)1( . 2 35
 
a2) u = x − 1 ⇒ du = dx e x = u + 1 
( ) =−==−= ∫∫∫ duuduuuduuuI u u- 1 2
1
2
3
 
= c
xx
+
−
+
−
3
)1( . 2
5
)1( . 2 35
 
b1) u
2 = x +1 ⇒ x = u2 − 1 ⇒ dx = 2u du 
b2) u = x + 1 ⇒ du = dx e x= u-1 
I= cx
x
++−
+
1 . 2
3
)1( . 2 3
 
c) 1 − x = y7⇒ x = 1 − y7⇒ dx= -7y6 dy de 
onde: 
 
I= cyydyyyy ++−=−∫ 15
7
8
7
)7).(-(1 .)(
158
677
17 
d) I= cxxx +−−−+−−
7
)3(2
)3(
5
12
)3(6
6
43 
e) I= cxx +− 2
3
)2( 3 
f) I= cxx ++−+ 36)3(
3
2 3 
g) I= cxx +−
3
4
5
6 35 
 
[3] - Integrais - Formulário (continuação) 
6. 
∫ += cuduu ln
1 
7. 
cedue uu +=∫ 
[3.1] Exercícios: Calcule as integrais 
a) 
I= =
+∫ 22x
dx (importante) 
b) I = ∫ =+ dxxba
tgxx
sec
.sec 
c) I= =
−
−+
∫ dxx
xx
 
2
42 
Sugestão: dividir os polinômios e representar o 
polinômio, de acordo com a fórmula: 
P = DQ+R ⇒ 
D
R
Q
D
P
+= 
d) I= =∫ dxxe
x 23 e) I= =∫ xe
x 2cos.2sen 
f) I= ∫
+12
2
x
x
e
dxe g) I= ∫ =+1
3
x
dxx 
Respostas: 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #06 – Integrais 
 
6.25 
a) I= cxcxcx ++=++=++ 1ln22ln)22ln( 2
1
 ??? 
b) I= cxba
b
++ )secln(
1 c) cxxx +−++ )2ln(23
2
2
 
d) I= ce
x
+
3
3
 e) I= ce
x +2sen
2
1 
f) I= cece xx ++=++ 1)1( 22
12 
h) Observar que: =
+1
3
x
x x2 - x + 1 - 
1
1
+x
 
I= cxxxx ++−+− )1ln(
23
23
 
[4] - Integrais - Formulário (continuação) 
 
8. ∫ +−= cuduu cos sen 
9. cuduu +=∫ sen cos 
10. cucuduu +−=+=∫ coslnsecln tan 
11. cuduu +=∫ senln cot 
12. ctguuduu ++=∫ secln sec 
13. cuuduu +−=∫ cot cossecln cosec 
14. ∫ += c sec du tansec uuu 
15. ∫ += c cossec- du cotseccos uuu 
16. ∫ += c u an du sec
2 tu 
17. ∫ += c u co- du cossec
2 tu 
 
[4.1] Exercícios: Calcule as integrais 
a) I= =∫ dxx 4sen b) I = ∫ =dx
x
3
cos 
c) I= ∫ =dx
x
xtan d) I = ∫ =dxxx
23cot 
e) I = ∫ =dxx 4sec f) I= =∫ dxx
x
 seccos
1 
g) I= ∫ =dx
xx
4
tan.
4
sec h) ∫ =dx
xx
4
tan.
4
sec2 
i) I= ∫ =dxx
xx lncot.lnseccos 
j) I= ∫ =dxxx cos.sen k) I= ∫ =+ dxx )13(sec
2 
l) I= ∫ =dxee
xx 323 seccos 
Respostas: 
a) u = 4x ; 
I= cx +−
4
4cos 
b) u = 
3
x ; I = 
c
x
+
3
sen.3 
c ) u =x1/2 ; I= cx |sec|ln2 2
1
 
d) u = 3x2; I= cx +|3sen|ln
6
1 2 
e) u =4x; I= cxtgx ++ |44sec|ln
4
1 
f) u = x ; I= cxx +− |cotseccos|ln2 
g) u =
4
x ; I= cx +
4
sec4 
i) u = dxxdux
4
1
.
4
sec
4
tan 2=⇒ 
 ou tgxdxxduxu .secsec =⇒= 
j) xu sen= ou xu cos= (confira a 
resposta) 
k) u = ln x; I= - cossec ln| x| + c 
l) u = e3x; I= ce x +3cot
3
1 
 
[5] - Integrais - Formulário (continuação) 
18. 
∫ += c 2u sen 4
1
 -
2
u
 du sen 2 u 
19. 
∫ ++= c 2u sen 4
1
 
2
u
 du cos2 u 
[5.1] Exercícios: Calcule as integrais 
a) I= =∫ dx 2cos
2 x b) I= =∫ dx x cos.sen
32 x 
c) I= =∫ dx 2sen
3 x d) =∫ dx2x 2x.sen cos
34 
Respostas: 
a) I= cxx +





+
4
4sen
2
1 b) I= cxx +−
5
sen
3
sen 53 
c) 
I= cxx +−−
6
2cos
2
2cos 3 
d) 
I= cxx ++−
14
2cos
10
2cos 75 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #06 – Integrais 
 
6.26 
[6] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
(miscelânea) 
1) I= ∫ ∫∫∫ −+=




−
+=
−
+
3
4 
3
4
1
3
1
x
dx
dxdx
x
dx
x
x de 
onde obtemos I cxx +−+= 3ln4 
2) I= ( ) =+∫ dxee xx .23
2
 
u= dxedue xx 223 =⇒+ 3+2 
logo: I= cecuduu x ++=+=∫
3
3
2 )23(
6
1
32
1
2
1 
3) I= ( ) ( )dxeedxe xxx ∫∫ ++=+ 2
2
412923 
logo: I= ceex xx +++ 22129 
4) I= ( ) =






++=
+
∫∫ dxe
e
e
e
e
dx
e
e
x
x
x
x
xx
x
 
4129
 
23
 
22
 
logo: 
I= cexedxedxe xxxx +++−=++ −− ∫∫ ∫ 41294129 
5) I= ∫ =− x
dx
5
5 u = 5 − x ⇒ du = − dx 
I= ∫∫ +−−=−=−
−
− cx
u
du
x
dx
5ln55
5
5 
6) I= =
++
+
∫ dxxx
xx
2
2
24
3
 u= x4 + x2 + 2 ⇒ 
du=(4x3+2x) dx 
I= cxx
u
du
dx
xx
xx
+++==
++
+
∫∫ 2ln212
1
2
)2(2
2
1 24
24
3
 
7) I= =∫ dxxx cossen
2 u= sen x ⇒ du = cos x dx 
de onde: I= cxcuduu +=+=∫ 3
sen
3
33
2 
8) I= cxcu
u
du
x
dx
+





−
−
=+
−
==






−
−
−
∫∫
4
4
55
8
34
3
4
33
8
3
 
9) I= =∫ dxx
xln u= ln x ⇒ du = 
x
1 dx 
logo: I = cxcuudu +=+=∫ 2
)(ln
2
22
 
10) I= =∫ dxx
e xln u= ln x ⇒ du = 
x
1 dx 
assim: I= cecedue xuu +=+=∫
ln 
11) I= cedxe
x
x +
−
=∫
−
−
8
4
4 
[7] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - 
(Difíceis) 
1) I= =++=+ ∫∫ dxxxdxx )2tan2tan21()2tan1(
22 
∫ ∫ ∫ =−++= dxxxdxdx )12(sec2tan2
2 
∫ ∫ ∫ ∫ =−++= dxxdxxdxdx 2sec2tan2
2 
21 II += ∫ = ? 
� fazendo u = 2x ⇒ du = 2dx em I1= 
∫ =dxx 2tan2 
I1= ∫ =duu tan ln |sec u|+ c = ln |sec 2x|+ c1 
� fazendo u = 2x ⇒ du = 2dx, vem 
I2= =+== ∫∫ 2
22 tan
2
1
sec
2
1
 2sec cuududxx 
I2 22tan2
1
cx += 
Veja que "c1 + c2" pode ser trocada por "c", 
logo: 
I = ln |sec 2x|+ cx +2tan
2
1 
2) I= =+∫ dxxxtg
2)2sec2( 
I= =++∫ dxxxxtgxtg
222 )2sec2sec222( 
I= =++−∫ dxxxxtgx
222 )2sec2sec2212(sec 
 I= =+−∫ ∫∫ dxxxtgdxxdx 2sec2212sec2
2 
 I = tg 2x + sec 2x - x + c 
3) I= =
−
=
− ∫∫
x
x
x
dx
xx
dx
2sen
2cos
2sen
12 cotg2 cossec
 
∫∫ −=−= dxx
x
x
x
dx
2cos1
2sen
2sen
2cos1
 
Fazendo: u = 1− cos 2x ⇒ du = 2sen 2x dx 
I= cxcu
u
du
+−=+=∫ |2cos1|ln2
1
||ln
2
1
2
1 
4) I= =+=+ ∫∫∫ dxx
x
dx
x
dx
x
x
222 sen
cos3
sen
2
sen
cos32 
= =+ ∫∫ dxxx
x
dxx
sen
1
.
sen
cos
3 seccos2 2 
= =+ ∫∫ xdxtgxdxx seccos.3 seccos2
2 
cxgx +−−= seccos3cot2 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #06 – Integrais 
 
6.27 
5) I= =−+= ∫∫∫ tgxdxxxdxtgxtgxdxtg ).1(sec .
223 
∫ ∫∫ =−=−= tgxdxtgxdxxdxtgxtgxx .sec).(sec
22 
cx
xtg
+−= |sec|ln
2
2
 
Notar que: se u= tg x ⇒⇒⇒⇒ du = sec2x dx 
6) I= ∫∫∫ =−== xdxtgxxdxtgxtgxdxtg
22224 ).1(sec. 
21
222 .sec IIxdxtgxdxtgx +=−= ∫∫ 
I1= 1
3
1
3
222
33
.sec c
xtg
c
u
duuxdxtgx +=+=== ∫∫ 
I2= =−== ∫ ∫ dxxxdxtg )1(sec
2
2 
2
2 1sec cxtgxdxxdx +−=−= ∫ ∫ 
Logo: I = cxtgxxtg ++−
3
3
 
Em caso de dúvida consulte 
seus colegas! 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #07 – Integrais Definidas e Aplicações 
 
 
7.28 
7 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e IntCálculo Diferencial e IntCálculo Diferencial e IntCálculo Diferencial e Integral Iegral Iegral Iegral I Material Auxiliar #07 - Integrais Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
 
[1] Integrais Definidas 
Definição: A integral definida de f(x), de a até 
b, é igual à 
diferença: F(a) - F(b))(dx )(
b
a
=== ∫∫
=
=
a
b
xFfdxxf
bx
ax
 
onde F(x) é uma antiderivada de f(x). 
 
Nota: O símbolo ∫
b
a
dx f é lido "a integral 
definida de f(x) de a até b" sendo que os 
números a e b são denominados limites de 
integração. 
 
[1.1] Exemplo: Calcular o valor das integrais 
a) I= =+∫ dxxx )46(
3
1
2 
b) I= =∫ dxxx )cos.(sen
2
0
π
 
c) I= =∫
e
e
x
3
1 
[1.2] Exercícios: Verificar osresultados 
a) 15)1(8 3
1
0
2 =+∫ dxxx b) 12
1
)(
1
0
32
∫ =− dxxx 
c) 
2
1ln
1
=∫
e
dx
x
x d) )(55 5
1
0
5 eedxe x −=∫ 
 
[2] Cálculo da Área sob uma curva 
Considere o gráfico da função y = f(x), 
contínua num intervalo [a,b] como dada a 
seguir : 
∆∆∆∆x∆∆∆∆x∆∆∆∆x∆∆∆∆x∆∆∆∆x x
y
ba
y = f(x)
∆∆∆∆x =
n
ab −
b −−−− a
 
Seja calcular a área limitada pelo o eixo dos 
x e a curva, desde a até b. A região que 
denominaremos R, cuja área desejamos 
calcular, é limitada pelas retas: x = a; x = b ( 
retas verticais) e y = 0 (reta horizontal) e pela 
curva y = f(x). 
Método dos Retângulos 
• Divida o intervalo [a,b] em "n" 
subintervalos iguais, isto é, cada intervalo 
deve ter a "medida constante" 
n
ab
x
−
=∆ . 
• Para cada um destes subintervalos construa 
um retângulo cuja altura seja o valor de 
f(x) em algum ponto do subintervalo (veja a 
posição das setas na figura anterior); 
• A união de todos estes retângulos 
chamaremos Rn que poderemos considerar 
como uma aproximação da área A da região 
R. 
• Assim poderemos definir a área R como 
sendo: 
A = área da região R = )R (lim n
 
deárea
n ∞+→
 
[3] Integral de Riemann 
Definição: Dizemos que uma função é Riemann-
Integrável ou simplesmente integrável em um 
intervalo finito e fechado [a,b], se o limite 
∑∫
=
→∆
∆=
n
k
kk
x
b
a
xxfdxxf
1
*
0max
)(lim)( 
existir e não depender da escolha da partição 
(tamanho dos intervalos tomados sobre o eixo dos 
x) ou dos pontos *kx no subintervalo. 
 
[4] Exemplo Importante 
 Seja calcular as seguintes integrais e analisar 
os resultados: 
(a) =∫
2
0
xdxsen
π
 
(b) =∫
π
0
sen xdx (valor obtido devido à simetria do gráfico) 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #07 – Integrais Definidas e Aplicações 
 
 
7.29 
(c) ∫ =
π2
0
sen xdx 
 Gráfico de (a) Gráfico de 
(c) 
π 2π
-1
1
 
π 2π
-1
1
 
[5] Aplicações de Integrais 
 
[5.1] Cálculo de Áreas planas 
 
Problema 1: [A ser resolvido em sala de aula] 
Dada a curva y = x3 − 6x2 + 8x, ache a área sob o 
arco de curva que vai desde a interseção com o eixo 
Oy até a primeira interseção com Ox à direita da 
origem do sistema cartesiano. 
1 2 3 4
-4
-2
2
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: área de unidades 4Área = 
 
 
Problema 2: [Resolvido] 
 Calcule a área entre a curva x2 = 16 - 4y e o 
eixo Ox. 
1o Passo: Esboçar o gráfico. 
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
3
4
 
 
2o Passo: Montar a integral. 
 
=−−+
−
=







−
=+
−
∫
−
)16
12
64
()16
12
64
(
4-
4
 x4_
12
x
dx)4
4
x
(
34
4
2
 
 
3
64
3
9632
32
3
32
32
12
128
=
+−
=+
−
=+
−
= unidades de área 
Observar que, devido à simetria da figura com 
relação a Oy: =







−
=+
−
×= ∫ 0
4
 x4_
12
x
2dx)4
4
x
(2A
34
0
2
 
área.u
3
64
3
9632
)16
3
16
(2)0()16
12
64
(2 =
+−
=+
−
=−+
−
= 
 
Problema 3: [Resolvido] Calcule a área 
compreendida pela curva dada pela equação 
22 )2( −= xxy . 
A função dada equivale a: 2)2( −±= xxy cujo gráfico possui 
duas regiões simétricas com relação ao eixo Ox, é: 
1
-1
1
x)2x(y −−=
x)2x(y −=
(0,2)
 
A1= =−−=−−= ∫∫∫ dx)x2x(dx)x2xx(ydx 2
12
0
2
32
0
2
0
 
= =−+−=+− 0)x2
3
2
2
5
2
(
0
2
 
2
3
x
2
2
5
x 352
3
2
5
 
15
216
15
240224
3
28
5
28
=
+−
=+
− 
Resposta: Área Total = 2A1=
15
232
15
216
2 =× u. de 
área 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #07 – Integrais Definidas e Aplicações 
 
 
7.30 
Problema 4: [A ser resolvido em sala de aula] 
Calcular a área entre as curvas (1) y = x e (2) y = 
6x-x2. 
Esboço do gráfico: 
(1)
(2)
 
 
 
=−= ∫ dx)yy(A 1
5
0
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
6
125 unidades de área 
Problema 5: [Com resposta] Se uma superfície 
está delimitada por y = 0 e y = x2 + 3 desde a reta 
x = −1 até a reta x = 2, qual é a sua área? 
-2 -1 1 2 3
4
5
6
7
8
9
 
 
Problema 6: Calcule a área limitada pelas curvas 
(1) y = 4 − x2 e (2) y = 4 − 4x. 
Gráfico: 
y
y2
y1
4
(4,-12) 
 
∫∫∫ =+−−=−==
4
0
2
4
0
21
4
0
dx)x44x4(dx)yy(dx yA 
=+−= ∫ dx )x4x(
4
0
2 
= área.u
3
32 
 
Problema 7: Achar a área limitada pelas curvas: 
x2y = x2 − 1 e as retas y=1, x=1 e x=4 
2
22
x
1
1y1xyx −=⇔−= 
onde: para x = 1 ⇒ y = 0; 
para x = 0 ⇒ y → +∞ 
e para x → +∞ ⇒ y = 1 
Resposta: área de unidades 
4
3 
 
Problema 8: PROBLEMA IMPORTANTE 
 Calcular a área delimitada pelas curvas: (1) 
y2 = 4x e (2) y = 2x −−−− 4 utilizando 
(a) retângulos elementares verticais; 
(b) retângulos elementares horizontais. 
Resposta: Área Total = 9 unidades de área 
Problema 9: PROBLEMA IMPORTANTE - 
Resolvido 
 
 Calcular a área delimitada pelas curvas: 
(1) y2 = 6x e (2) x2 = 6y utilizando (a) retângulos 
elementares verticais; (b) retângulos 
elementares horizontais. 
 
Resposta: 
12 unidades de 
área 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #07 – Integrais Definidas e Aplicações 
 
 
7.31 
 
 
a) ∫∫∫ =−=−=
6
0
2
6
0
2
16
0
2
dxx
6
1
dxx6dx)
6
x
x6(A 
=−−=−= 0)
3
6
.
6
1
3
6.62
(
0
6
 
18
x
3
x2
6
3332
3
 
área de nidadesu 12
3
36
3
36
3
72
==−= 
b) 12...dyy
6
1
dyy6dy)
6
y
y6(A
6
0
2
6
0
2
16
0
2
==−=−= ∫∫∫ 
 
 
 
Problema 10: (Para pensar e dicutir com seus 
colegas) 
 
Calule a área delimitada pelas curvas: 
y = 0 , y = x e y = x−6; 
a) utilizando retângulos elementares verticais 
b) utilizando retângulos elementares 
horizontais 
 
Gráfico: 
 
96
 
 
Resposta: Verifique com seus colegas 
 
 
 
[5.2] Cálculo de Volumes por Rotação 
 
Seja y = f(x) contínua e integrável num 
intervalo [a,b] 
ba
 
���� A região limitada pelas curvas y = f(x), x = 
a, x = b e y = 0, ao ser girada em torno do eixo 
Ox gera uma figura tridimensional denominada 
sólido de revolução. 
 
h
r
Diferencial de
Volume: dV
dx
y
dx
y
 
O volume do cilindro é dado pela fórmula: V = 
B.h = ππππ.r2.h de onde ao adotar-se r = y e h = dx 
pode-se escrever a diferencial de volume dV como 
sendo: 
dxyVdxydVdxy.dV
bx
ax
222
∫∫ ∫
=
=
=⇒=⇒= πππ onde V 
 representa o volume so sólido gerado pela rotação 
da curva 
 y= f(x) em torno do eixo Ox. 
 
Problema 11 : [A ser resolvido em sala de aula] 
Mostre que o volume da esfera é dado pela 
fórmula: 3r.
3
4
V π= . 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #07 – Integrais Definidas e Aplicações 
 
 
7.32 
Problema 12 : [A ser resolvido em sala de aula] 
Calcule o volume gerado pela rotação da superfície 
plana limitada por 9x2 + 16 y2 = 144: 
a) em torno de Oy (tem a forma de um pão de 
hambúrguer) 
b) em torno de Ox (tem a forma de uma bola de 
futebol americano) 
Notaro seguinte: 
9
y16144
x
2
2 −= e 
16
x9144
y
2
2 −= 
Respostas: a) V= dyx
3
3y
2
∫
−=
π = 64π unidades de 
volume 
 b) V= dyy
4
4x
2
∫
−=
π = 48π unidades de 
volume 
 
Problema 13: [Com sugestões e Resposta] 
� Calcule o volume do sólido gerado pela rotação 
em torno da reta x=2 da superfície limitada pela 
parábola y2 = 8x e pela reta x = 2. 
Solução: 
a
x2
x1
x = x1 – x2
Volume:
∫
=
=
b
ay
2dxxV π
b
 
πππ
15
128
dy)
8
y
2(dyx
2
V
4
0y
2
24
0y
2
∫∫
==
=−== 
Logo ππ
15
256
15
128
2V =×= 
 
Problema 14 : [Com sugestões e Resposta] 
���� Calcule o volume do sólido de revolução que se 
obtém girando a superfície plana limitada pela 
curva y = 4x−x2 e a reta y = 3 ao ser girada em 
torno da reta y = 3. 
3
dx
y2
y1
y
4
y = y2 −−−− y1
O s ó l i d o d e r e v u l ç ã o
g e r a d o d e s t a f o r m a
v a i s e r p a r e c i d o c o m
u m b r a c e l e t e
 
=−−== ∫∫
==
3
1x
22
3
1x
2 dx)3xx4(dxyV ππ 
15
16
dx)9x24x22x8x(
3
1
234 ππ ∫ =+−+−= 
Estude cada um destes problemas e discuta as 
resoluçõescom seus colegas. 
Prof. Aury de Sá Leite – UNESP/Guaratinguetá/DMA- CDI 1 /2001 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.33 
8 UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá UNESP/Guaratinguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I Material Auxiliar #08 - Técnicas de Integração 
 
 [1] Integração por Partes 
� A fórmula da derivada do produto é a seguinte: 
u.
dx
dv
v.
dx
du
dx
)v.u(d
+= 
que pode ser reescrita sob a forma de diferencial como 
 
d(u.v) = u.dv + v.du ⇒ u dv = d(u.v) – v du 
 
que ao ser integrada resulta o seguinte: 
∫ ∫ ∫−= du v)v.u(ddv u 
de onde poderemos tirar a fórmula de integração por 
partes: 
∫∫ −= du vv.u dv u 
 
[2] Exercícios a serem feitos em Sala de Aula 
 
Resolva por partes as integrais a seguir: 
a) =∫ dxe.x
x b) =∫ dx xsen.x 
c) =∫ dx xln.x d) =∫ dx x2cos.x 
Resposta do exercício (d): I = ½ x sen 2x + ¼ cos 
2x+c 
[3] Exercícios com resposta: 
a) c
9
x
xln
3
x
dx xlnx
33
2 +−=∫ 
b) cxx5lnxdx xln5 +−=∫ 
c) c
5
x
xlnxdx xlnx5
5
54 +−=∫ 
[4] Exercícios Modelo - Resolvidos 
Exercício Modelo 1: Calcular I= ∫ dx xcos.x . 
Fazendo u = x e dv =cos x dx ⇒ du = dx e 
v =sen x 
 
Temos: 
I= ∫ ∫ =−= dx vv.udx xcos.x 
= ∫ ++=− cxcosxsen.xdxsenxsen.x 
 
Exercício Modelo 2: Calcular I= ∫ dx xln . 
Fazendo u = lnx e dv = dx ⇒ du = 
x
dx e v =x 
Temos: 
I= ∫ ∫ =−= du vv.udx xln 
= ∫ ∫ +−=−=− cxxlnxdxxlnxx
dx
xxln.x 
 
Exercício Modelo 3: Calcular I= ∫ dx ex
x2 . 
Fazendo u = x2 e dv = ex dx ⇒ du = 2x dx e 
v = ex 
Temos: 
I1 = ∫ ∫∫ =−=−= dxxe2ex dx vv.udx ex
xx2x2 
 2
x2xx2 I.2ex dxxe2ex −=−= ∫ 
Fazendo u = x e dv = ex dx ⇒ du = dx e v = 
ex 
I2 = xexxx exedxexedu vv.udxxe −=−=−= ∫∫∫ 
 
Logo: I1 = ce2xe2exI.2ex xxx22
x2 +−−=− 
 
Exercício Modelo 4: Calcular I= ∫ dxcosx e
x . 
Fazendo: u = ex e dv = cos x dx ⇒ du = ex dx e v 
= sen x 
Temos: 
I= ∫ ∫∫ −=−= dxsenexsen.e dx vv.udx x cos e
xxx 
 
Fazendo: u = ex e dv = sen x dx ⇒ du = ex dx e v 
= -cos x 
 
I 
= ∫∫ −+=− dx xcosexcosexsen.e dxsenexsen.e 
xxxxx 
 
 
Note que a integral a ser calculada é a mesma “I” 
inicial. Podemos assim, escrever o seguinte: 
 
2 × I = cxxexexe xxx ++=⇒+ )cos(sen
2
1
I cossen. 
I 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.34 
Exercício Modelo 5: Calcular I= ∫ dxcosx x
2 . 
Resolução: 
Fazer: u = x2 ⇒ du = 2x dx e dv = cos x dx 
⇒ v = sen x 
I = ∫∫∫ =−=−= dx x2.xsenxsen xdu vuvdv u
2 
1
22 Ixsenx dx x2.xsenxsenxI −=−= ∫ 
Para calcular I1 fazer: 
u = x ⇒ du = 2 dx e dv = sen x dx ⇒ v = -cos x 
∫∫ +−== ]xdxcosxcosx.[2 dx xsen.x2I1 
12 cxsen2xcosx2I ++−= 
Logo: cxsen2xcosx2xsenxI 2 +−+= 
Exercício Modelo 6: [Difícil] Calcular 
I= ∫ − dx )x1ln( . 
Fazer : u = ln(1−x) ⇒ du = 
x1
1
−
− dx e 
dv = dx ⇒ v = x 
I = ∫∫∫ =−
−
−=−= dx 
x1
x
x)-ln(1 x.du vuvdv u 
1I)x1ln(.x dx x1
x
)x1ln(.xI +−=
−
+−= ∫ 
Para calcular I1, dividir x por 1-x e indicar a 
divisão: 
∫ ∫∫∫ =−+−=−+−=−= dx x1
1
dxdx) 
x1
1
1(dx 
x1
x
I1 
1c )x1ln(xulnxduu
1
x ∫ +−−−=−−=−−= 
Finalmente: 
cx)x1ln().1x(c)x1ln(x)x1ln(.xI +−−−=+−−−−= 
 
[5] Integração de funções Racionais 
 pelo Método das Frações Parciais 
 
Motivação: Efetuar a seguinte adição de 
frações algébricas: 
=
+
−
− 5x
3
1x
2 
Tomar a solução da adição anterior e buscar as 
frações algébricas (frações parciais) que 
somadas produzam aquele 
resultado:
5x
B
1x
A
)5x)(1x(
13x
+
+
−
=
+−
+− qual o valor de 
A e de B? 
Exercício Modelo Baseado no raciocínio 
anterior: 
 
∫ ∫ =





+
+
−
=
+−
+−
dx
xx
dx
xx
x
5
3
1
2
)5)(1(
13 
∫ ∫ +++−=++− c)3xln(3)1xln(2dx5x
3
dx
1x
2 
 
[6] Exercício modelo 
Resolver a integral: I= ∫ −
−+
dx
x4x
20x14x6
3
2
 
Solução: 
2x
C
2x
B
x
A
)2x)(2x(x
20x14x6
x4x
20x14x6 2
3
2
+
+
−
+=
+−
−+
=
−
−+ 
fatorando x2 – 4 obtém-se: x2 – 4 = (x–2)(x+2) 
)2x(Cx)2x(Bx)2x)(2x(A20x14x6 2 −+++−+=−+ 
Fazendo os cálculos obtém-se: A = 5; B = 4 e C = 
−3 
Logo: =
+
−
+
−
+=
−
−+
∫∫ dx)2x
3
2x
4
x
5
(dx
x4x
20x14x6
3
2
 
c)2xln(3)2xln(4xln5 ++−−+= 
[7] Teoria e Exercícios-Modelo Resolvidos 
Há quatro casos a serem considerados: 
• 1o Caso: O denominador é fatorável em 
fatores do primeiro grau distintos. 
• 2o Caso: O denominador é fatorável em 
fatores do primeiro grau repetidos. 
• 3o Caso: O denominador ao ser fatorado 
apresenta fatores quadráticos distintos. 
• 4o Caso: O denominador ao ser fatorado 
apresenta fatores quadráticos repetidos. 
[7.1.] Exercício Modelo 1 ( 1o Caso): 
Resolver a integral: I = ∫ −+
+
dx
8x2x
7x
2
 
1o Passo: Fatorar o denominador- Fazendo x2 + 
2x − 8 = 0 obtém-se x1 = −4 e x2=2 de onde:x
2 + 2x 
− 8 = a.(x−x1).(x−x3) = 1 . (x+4) . (x−2) (fatoração 
esta que somente contém fatores do primeiro grau 
não repetidos). 
2o Passo: Igualar e comparar 
2x
B
4x
A
)2x)(4x(
7x
−
+
+
=
−+
+ ⇔⇔⇔⇔ x + 7 = A(x-2) + 
B(x+4) 
IMPORTANTE: A equação x + 7 = A(x-2) + 
B(x+4) pode ser facilmente resolvida atribuindo-se 
ao x os valores das raízes ( 2 e –4) do polinômio 
encontrado no denominador: 
 x = 2 ⇒ 9 = 6B ⇒ 
2
3
B = e x = −4 ⇒ 3 = −6A ⇒ 
2
1
A
−
= 
Logo: 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.35 
I = =
−
−
+
=
−+
+
∫∫ dx))2x(2
1
)4x(2
3
(dx
)2x)(4x(
7x 
c)4xln(
2
1
)2xln(
2
3
++−−= 
[7.2.] Exercício Modelo 2 (2o Caso): 
Resolver a integral: I = ∫ −
+
dx
x2x
4x2
23
 
Veja que a fatoração: x3 – 2x2 = x2 (x-2) contém o 
fator x2 que eqüivale a “x.x.” que são fatores do 
primeiro grau repetidos, assim teremos: 
2x
C
x
B
x
A
x2x
4x2
223 −
++=
−
+ de onde: 
2Cx)2x(B)2x(Ax4x2 +−+−=+ 
e: B2x)BA2(x)CA(4x2 2 −+−++=+ [1] 
Fazendo em [1]: x = 0 ⇒ B = −2; x =2 ⇒ C = 2 
De [1] pode-se tirar ainda, que : A + C = 0 ⇒ A = 
−C = −2 
Logo: I = =
−
+−=
−
+
∫∫∫∫ 2x
dx
2
x
dx
2
x
dx
2dx
x2x
4x2
223
 
c
x
2
)
x
2x
ln(2c)2xln(2
x
2
xln2 ++
−
−=+−++= 
[8] Exercícios propostos com respostas: 
[8.1] Escrever as expressões sob a forma de frações 
parciais: 
a) 
1)1(
3
−
+=
−
+
x
B
x
A
xx
x
 Resposta: A = −−−−3 e B = 4 
b) 
22 )1(1)1(
3
−
+
−
=
−
+
x
B
x
A
x
x
 Resposta: A = 1 e B = 4 
c) 
2222 )1(1)1.(
3
+
+
+
++=
+
+
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
 
Confira com seus colegas os valores de A, B, C e D 
[8.2] Resolver as integrais: 
a) 
I= =
−
+−−
∫ dx xx
2x3x4x3
24
23
dx 
1x
D
1x
C
x
B
x
A
2∫ 



−
+
+
++ 
onde: A = 3; B = −2; C = 1; D = -1. 
Resposta: I= c)1xln()1xln(
x
2
xln3 +−−+++ 
b) I=
∫ −+ 2)1x).(1x(
dx Sugestão: A = ¼ ; B = −¼; C= ½ 
Resposta: I = ¼ ln(x+1) – ¼ ln(x-1) + ½ 
)1x(
1
−
+ c 
[9] 3o e 4o casos: fatores quadráticos no 
denominador 
a) I= =
+
+−
∫ dxx4x
4xx2
3
2
 Sugestões: 
)4x(xx4x 23 +=+ 
então: 
4x
CBx
x
A
)4x(x
4xx2
22
2
+
+
+=
+
+− , de onde: 
x)cBx()4x(A4xx2 22 +++=+− e A = 1; B = 1 e C = 
-1. 
dx
4x
1
4x
x
x
1
dx
4x
1x
x
1
dx 
x4x
4xx2
2223
2
∫∫∫ 



+
−
+
+=



+
−
+=
+
+− 
Usar a seguinte Fórmula: x)
a
x
(tg
a
1
ax
dx 1
22
+=
+
−
∫ 
Resposta: I= c)
2
x
(gcot
2
1
)4xln(
2
1
xln 2 +−++ 
b) I= =
+
+−+−
∫ dx )1x(x
1xx2x
22
23
 Sugestões: 
então: 
22222
23
)1x(
EDx
1x
CBx
x
A
)1x(x
1xx2x
+
+
+
+
+
+=
+
+−+− 
22
222
22
23
)1x(x
x)EDx()1x(x)CBx()1x(A
)1x(x
1xx2x
+
++++++
=
+
+−+− 
de onde: A = 1; B = −−−−1; C = −−−−; D = 1 e E=0. 
Resposta: I= c
)1x(2
1
x cotg
2
1
)1xln(
2
1
xln
2
2 +
+
−−++ 
 
[10] Integração por SubstituiçãoTrigonométrica 
 
���� Em algumas integrais certas expressões sob 
radicais podem ser substituídas por expressões 
trigonométricas que acabam por facilitar a 
integração. 
���� Será mostrado em aula um esquema que 
facilita a dedução para as três substituições 
possíveis, utilizando: 
 (1o) sen α=
a
bu (2o) tg α=
a
bu (3o) sec 
α=
a
bu 
(1o caso) 222 uba − 
222 uba −
a
bu
α
 
 
 
(2o Caso) 222 uba + 
 
222 uba +
a
bu
α
 
tg α=
a
bu 
u = αtg
b
a 
du = α2sec
b
a dα 
sen α=
a
bu 
u = αsen
b
a 
du = αcos
b
a dα 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.36 
 (3o Caso) 222 uba +− 
 
222 uba +−
a
bu
α
 
 
[11] Exercícios Modelo 
a) Calcule ∫
+ 422 xx
dx
 
Substituição do tipo 22 bua + com a = 2; b = 1 e u 
= x 
 
2222 x4uba +=+
a = 2
bu =1.x
α
 
2
x
tg =α ⇒ x = 2 tg α de onde dx = 2 sec2 α dα 
 
I = ==
+
=
+
∫∫∫ αα
αα
αα
αα
sec2.4
 sec2
44)2(
 sec2
4
2
2
22
2
22 tg
d
tgtg
d
xx
dx 
αααα
α
α
α
α
αα
∫∫∫
−=== d cos.sen
4
1
d
cos
sen
cos
1
4
1
tg4
d sec 2
2
22
 
 
Fazendo: u = sen α ⇒ du = cos α dα vem: 
I = c
sen4
1
c
1
u
4
1
duu
4
1 12 +
α
−
=+
−
×=
−
−
∫ 
 
Da figura: sen α = 
2x4
x
+
, então: I = 
x4
x4 2+
− +c 
b) Calcule ∫
− 22 x4x
dx 
Substituição do tipo 22 bua − com a = 2; b = 1 e u 
= x 
2222 x4uba −=−
a = 2
bu =1.x
α
 
2
x
sen =α ⇒ x = 2 sen α de onde dx = 2 cos α dα 
I = ∫∫
−
=
− αα
αα
2222 sen44)sen2(
d cos2
x4x
dx = 
 
==== ∫∫∫ αα
α
αα
αα
d α cossec
4
1
sen4cos2.)sen2(
 cos2 2
22
dd 
c cot
4
1
+−= α mas pela figura: cot α = 
x
x4 2− , 
então: 
I = c
4
4
1 2
+
−
−
x
x
 
c) Calcule ∫
−
dx
x
9x 2 
Substituição do tipo 22 bua +− com a = 3; b = 1 e 
u = x 
2222 x9uba +−=+−
a = 3
bu =1.x
α
 
3
x
sec =α ⇒ x = 3 sec α de onde dx = 3 sec α tg α 
dα 
 
I = ∫∫
−
=
−
α
α
ααα
d
sec3
tgsec3.9sec9
dx
x
9x 22 = 
 
∫∫ ∫ =−=== αααααα d)1(sectg3dtg.tg3
22 
∫ ∫ +−=− c3tg3d3dsec3
2 ααααα 
Da figura podemos tirar que: tg α=
3
9x 2 − e α=arc 
sec
3
x 
 
A partir do que, pode-se escrever finalmente, que: 
 
I = c
3
x
secarc39xc
3
x
secarc3
3
9x3 2
2
+−−=+−
− 
 
 
sec α=
a
bu 
de onde: cos 
α=
bu
a 
u = αsec
b
a 
du = 
a
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.37 
[12] Integrais Impróprias 
 Denomina-se integral imprópria àquela cujo intervalo 
de integração é infinito ou que possua assíntotas verticais 
no extremo ou contida no intervalo de integração. Veja os 
exemplos a seguir: 
(1) Integral imprópria com intervalo infinito de integração: 
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
xey −=
 
=−=== −
+∞→
−
+∞→
+∞
−
∫∫ 0)e(limdxelimdxeI
x
0
x
0
x l
l
l
l
 
1)10()1e(lim =+=+− −
+∞→
l
l
 
(2) Integral imprópria com descontinuidade infinita num dos 
extremos do intervalo de integração: 
x1
1
)x(fy
−
== é decontínua em x=1 e não existe para x >1.
-1 -0.5 0.5 1
2
4
6
8
10
 
[ ] =−−=
−
=
−
=
−− →→ ∫∫ 0x12limx1
dx
lim
x1
dx
I
1
0
1
1
0
l
l
l
l
 
[ ] 2
0
212lim
1
=+−−=
−→
l
l
l
 
(3) Integral imprópria com alguma descontinuidade infinita 
contida no intervalo de integração 
421
∫
−
=
4
1
3 2)2x(
dx
I
 
21
2
1
4
2
3 23 2
4
1
3 2
II
)2x(
dx
)2x(
dx
)2x(
dx
I +=
−
+
−
=
−
= ∫ ∫∫ 
 
de onde, calculando-se I1 e I2 teremos o seguinte: 
3)21(3)2(3lim
)2x(
dx
limI 3
1
3
1
2
1
3 22
1 =



−−−=
−
=
−− →→ ∫ ll
l
l
 
33
1
3
1
2
4
3 22
2 23)2(3)24(3lim
)2x(
dx
limI =



−−−=
−
=
++ →→ ∫ ll
l
l
 
O que vai nos dar como solução: 
)21(3I 3+= 
Exercícios: Resolver as integrais 
a) =∫
∞−
dxe
7
x b) =
−
=
−
∫∫
+∞→
→
+∞
+
m
3 2
m
2
2
3 2 )2x(
dx
lim
)2x(
dx
l
l
 
 
Observação Importante 
���� Vamos analisar as seguintes integrais impróprias: 
dx
x
1
 e dx
x
1
 ; dx
x
1
1
3
1
2
1
∫∫∫
+∞+∞+∞
 
+∞=−===
+∞→+∞→+∞→
+∞
∫∫ )1ln(lnlim1xlnlimdx x
1
limdx 
x
1
11
l
l
ll
l
l
 
1
1
1limdx 
x
1
limdx
x
1
1
2
1
2
=





−==
+∞→+∞→
+∞
∫∫ ll
l
l
 
2
1
2
1
2
1
lim
1x2
1
limdx
x
1
limdx
x
1
22
1
3
1
3
=





−=
−
==
+∞→+∞→+∞→
+∞
∫∫
l
l
ll
l
l
 
vê-se que a primeira integral é divergente, sendo que as 
outras duas são convergentes. 
 
 Podemos comparar as integrais impróprias acima e os 
respectivos gráficos dados na figura abaixo. 
1
1
3x
1
y =
2x
1
y =
x
1
y =
 
Apesar dos gráficos serem muito semelhantes, a área sob eles, 
desde 1 até +∞∞∞∞, para um é igual a ½, enquanto para o outro é 
igual a 1 e, finalmente, uma das áreas calculadas tende a infinito. 
O seguinte teorema formaliza este fato: 
Teorema: 
diverge.dx 
x
1
 1p se ,
1p
1
dx 
x
1
1p Se
1
p
1
p ∫∫
+∞+∞
⇒≤
−
=⇒> 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.38 
[13] Miscelânea de Exercícios 
���� Verifique o tipo de método a ser utilizado 
em cada uma das seguintes integrais, 
resolva-a e compare o resultado obtido com 
a resposta dada. 
1) Calcular a integral I = ∫
− 2x5
dx
 
2) Calcular a integral I = dxex
3x2
∫ 
3) Calcular a integral I = ∫ − 5x
dx x
2
 
4) Calcular a integral I = dx 
x
 xn
∫
l
 
5) Calcular a integral I = ∫ dx tgx 
6) Calcular a integral I = dx 
x41
x
2∫ −
 
7) Calcular a integral I = dx x1x2 2∫ + 
8) Calcular a integral I = ∫ + dx )2xcos(x
43 
9) Calcular a integral I = dx x3cos x∫ 
10) Calcular a integral I = dx x n∫ l 
11) Mostre que a integral I = dx ex x2∫ vale 
ce2xe2ex xxx2 ++− . 
12) Mostre que a integral I = dxsen x e x∫ 
vale c)xcosx(sene
2
1 x +− . 
13) Calcule a integral I = dx 
1x
xx 3
∫ −
+
 
14) Calcule a integral I = dx 
2xx
5x
2∫ −+
+
 
15) Deduzir as fórmulas de substituição 
trigonométrica e fazer a substituição em: 
I1= ∫
+ 9xx
dx
22
; I2= ∫
− 9xx
dx
22
; 
I3= ∫
+− 22 x9x
dx
 
 
���� Só consulte as sugestões após tentar 
resolver os exercícios e tirar as dúvidas com 
seus colegas 
[13.1] Sugestões e Respostas 
 
1) Adotar u = 5x- 2; I = c2x55
2 +− 
2) Adotar u = x3 ; I = ce3
1 3x + 
3) Adotar u = x2 – 5; I = c)5(xn
2
1 2 +−l 
4) Adotar u = xnl ; I = c
2
 x)n( 2
+
l
 
5) dx 
xcos
xsen
dx tgx ∫∫ = ; u = cos x; 
 I = 
 c | xsec| n c | xcos| n c | xcos| n -1 +=+=+− lll 
6) Adotar u = 1 − 4x2 ; I = cx41
4
1 2 +−− 
7) Fazer u = x2; I = c)1x(
3
2 232 ++ 
8) Fazer u = x4 + 2; I = c)2xsen(
4
1 4 ++ 
9) Fazer u = cos 3x ⇒ du = 1/3 sen x dx ; 
 dv = cos3x dx ⇒ v = 1/3 sem 3x 
I = cx3cos
9
1
x3senx
3
1
++ 
Lembrar que: 
∫ += cx3sen3
1
xdx3cos e 
∫ +−= cxcos3
1
xdx3sen 
10) Fazer u = x nl ⇒ du = 1/x dx e dv = dx ⇒ 
v = x de onde I = cxx n x +−l 
11) Passagem intermediária: I= ∫−
xx2 xe2ex x 
12) Passagem intermediária: 
I= ∫−+− dx xsenexcosexcose
xxx x 
note que a última integral é igual à integral 
originalmente propostas, ou seja I = 
dxsen x e x∫ . 
13) O numerador é um polinômio de grau maior 
que o polinômio do denominador, então, 
dividir o numerador pelo denominador , de 
onde: 
I= dx )
1x
2
2xx( 2
−
+++∫ 
Resposta: I = c)1x(n2x2
2
x
3
x 23
+−+++ l 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material auxiliar #08 – Métodos de Integração 
 
 
8.39 
14) I= ∫ ∫ +
−
−
dx
2x
1
dx
1x
2 =
c)2x(n)1x(n2 ++−− ll 
15) Discutir ou conferir com seus colegas 
 
Cálculo Diferencial e Integral I - Material Auxiliar #11 – Superfícies Quádricas 
 
11.40
UNESP/GuaratiUNESP/GuaratiUNESP/GuaratiUNESP/Guaratinguetá nguetá nguetá nguetá ---- Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I 
Material Auxiliar #09 - Traçado de Gráfico da Função x2 + y2 + z2 = 9 
Prof. Aury de Sá Leite - aury@feg.unesp.br 
 
ESTUDO DIRIGIDO 
Exercício Modelo 1: