Livro - Calculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL II 
Camila Francisca de Melo
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Curitiba
2015
Camila Francisca de Melo
Calculo 
Diferencial e 
Integral II
´
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
M924s Melo, Camila Francisca de
Cálculo diferencial e integral II / Camila Francisca de Melo. – 
Curitiba: Fael, 2015.
285 p.: il.
ISBN 978-85-60531-25-7
1. Cálculo diferencial 2. Integral I. Título
CDD 515.3
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão Maria Eugenia de Carvalho e Silva
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem da Capa Shutterstock.com/Vasilius
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Apresentação
O presente trabalho foi escrito com a premissa de servir 
como livro texto básico para os alunos de Cálculo Diferencial e 
Integral II, cujos cursos de ciências exatas abordam os conceitos e 
definições de funções de várias variáveis.
Este volume tem o intuito de sequenciar o Cálculo Diferen-
cial e Integral I que estuda os conceitos, definições e decorrências 
de funções com uma variável. Com isso, no primeiro capítulo são 
trabalhadas e definidas Funções de Duas Variáveis, a partir do con-
ceito de Funções com Uma Variável e estendidas para Funções com 
Várias Variáveis. No capítulo dois, são estudados os Limites das 
Funções com Mais Variáveis, pontuando o Teorema do Confronto, 
os Limites envolvendo Indeterminação e Limites de Funções Com-
postas. O capítulo três, apresenta a teoria de Continuidade acres-
– 4 –
Cálculo Diferencial e Integral II
cida do contexto de Continuidade em Funções Compostas. O quarto e o 
quinto capítulo, mostram o conceito de derivadas para funções de duas variá-
veis e funções com mais variáveis, ou seja, as Derivadas Parciais, e ainda traz a 
compreensão de Diferenciabilidade. O estudo de Plano Tangente, Vetor Gra-
diente e Diferencial são trabalhados nos capítulos seis e sete. Sequenciando 
os conteúdos que apresentam o conceito de derivadas, tem-se, nos capítulos 
oito, nove e dez, a abordagem da Regra da Cadeia, Derivação Implícita e 
Derivadas de Ordem Superior. Para finalizar o estudo de derivadas, ainda é 
necessário trabalhar com Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 
e Derivadas Direcionais, que são exibidas nos capítulos onze e doze.
A partir deste ponto o foco do livro passa a ser as Integrais. Come-
çando no capítulo treze, tem-se a definição de Integrais Duplas; conceito 
este, estendido para Coordenadas Polares no capítulo quatorze de Mudanças 
de Variáveis em Integrais Duplas, e no capítulo quinze com suas respectivas 
aplicações. Após estudados estas definições de Integrais, o próximo conte-
údo trabalhado, no capítulo dezesseis, são as Integrais Triplas e suas Aplica-
ções. Finalizando o conteúdo trabalhado, tem-se ainda as Integrais Triplas 
em Coordenadas Cilíndricas e Coordenadas Esféricas no capítulo dezessete.
O livro como um todo foi pensado para os alunos. Diante disso, para 
cada conceito trabalhado são expostos exemplos resolvidos detalhadamente, 
de maneira a facilitar o entendimento e aplicação das definições. Ainda, o 
texto todo possui ilustrações que ajudam no desenvolvimento e construção 
do aprendizado. Não deixando de lado o rigor matemático, onde cada conte-
údo apresentado tem suas respectivas definições, teoremas ou preposições que 
são seguidas, analisadas e desenvolvidas nas questões exemplos. 
Por fim, como objetivo final, o autor deseja que o material seja de 
grande utilidade a todos os alunos e pessoas que entendem a matemática 
como matéria relevante à maioria dos cursos e ao desenvolvimento intelec-
tual do ser humano.
“Um monstro ou uma bela senhora, a forma como vemos 
a Matemática é produto dos nossos esforços.”
Prof. Jerriomar Ferreira
Sumário
1 Funções de Várias Variáveis | 7
2 Limites | 19
3 Continuidade | 41
4 Derivadas Parciais | 47
5 Derivadas parciais de funções com 
mais de duas variáveis | 59
6 Plano Tangente e Vetor Gradiente | 71
7 Diferencial | 91
8 Regra da Cadeia | 99
9 Derivação Implícita | 113
10 Derivadas de ordem superior | 137
11 Máximos e Mínimos de funções de várias variáveis | 155
12 Derivada Direcional e Campo Gradientes | 175
13 Integral Dupla | 187
14 Mudança de variáveis em Integrais Duplas | 209
15 Aplicação das Integrais Duplas | 221
16 Integrais Triplas e Aplicações | 253
17 Mudança de variáveis em Integrais Triplas | 275
 Referências | 283
1
Funções de Várias 
Variáveis
O objetivo deste capítulo é efetuar uma análise de subcon-
juntos de 2R (ou deRn ) para então definir funções de duas ou 
mais variáveis e, na sequência, introduzir os conceitos de limite, 
derivada e integral dessas funções. Iniciaremos o estudo abordando 
algumas noções de topologia de conjuntos.
– 8 –
Cálculo Diferencial e Integral II
1.1 Definição 
Se n é um número inteiro positivo, a sequência de números reais 
1 2 n(x ,x ,..., x ) é chamada de n-upla ordenada e um espaço euclidiano 
n-dimensional é dado por: 
= ∈ =R R1 i
n
2 n{(x ,x ,..., x ) | x ,i 1,2,...,n}
isto é, o espaço euclidiano é composto por todas as n-uplas ordenas. 
Assim, para n = 2, temos o espaço = ∈R R2 {(x,y) | x,y } , que é representado, 
graficamente, pelo plano cartesiano. Para 3=n , temos o espaço tridimen-
sional = ∈R R3 {(x,y,z) | x,y,z } .
1.2 Definição
Sejam um ponto ∈Rna e o número real r > 0. Chamamos de bola 
aberta de centro a e raio r é o conjunto:
= ∈ − <RnB(a;r) {x | x a r}
Para n = 1, a bola aberta de centro a e raio r é um intervalo aberto:
= ∈ − <RB(a;r) {x | x a r}
= ∈ − < − <RB(a;r) {x | r x a r}
= ∈ − + < < +RB(a;r) {x | r a x r a}
= − +B(a;r) (a r,a r)
Quando n = 2, a bola aberta de centro = 0 0a (x ,y ) e raio r é o conjunto 
de pontos que estão localizados no interior de um círculo que tem seu centro 
no ponto = 0 0a (x ,y ) e cujo raio é r:
= ∈ − <R20 0 0 0B((x ,y );r) {x | (x,y) (x ,y ) r}
= ∈ − − <R0 0 0 0
2B((x ,y );r) {x | (x x ,y y ) r}
– 9 –
Funções de Várias Variáveis
= ∈ − + − <R 2 20 0
2
0 0B((x ,y );r) {x | (x x ) (y y ) r
= ∈ − + − <R 2 20
2 2
0 0 0B((x ,y );r) {x | (x x ) (y y ) r
1.3 Definição
Dizemos que um ponto ∈Rna é ponto de acumulação de um conjunto 
⊂ RnD quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de D que 
é diferente de a. Isto é o mesmo que afirmar que, para todo número real r > 0, 
deve existir ∈x D tal que < − <0 x a r .
1.4 Definição 
Seja ⊆ R2D . Uma função f de duas variáveis definida no conjunto D é 
uma regra que associa a cada par ordenado de números reais ∈(x,y) D um 
único valor real z, que é representado por =z f (x,y) .
O conjunto D é o domínio de f. Já a imagem da função é o conjunto de 
valores possíveis de f, ou seja, = = ∈ ∈RfIm {z f (x,y) | (x,y) D} . As variáveis 
x e y são chamadas de variáveis independentes. Já z é dita variável dependente.
1.4.1 Exemplo 
Seja f uma função de duas variáveis reais, dada pela expressão 
+
=
−
23x 7y
f (x,y)
y x . 
a) Determine o domínio da função.
b) Calcule −f (5, 8) ;
Solução:
a) A função está definida apenas quando seu denominador é diferente 
de zero. Assim, o domínio da função é o conjunto abaixo:
– 10 –
Cálculo Diferencial e Integral II
= ∈ − ≠ = ∈ ≠R RD {f (x,y) | y x 0} {f (x,y) | y x} .
b) Inicialmente, perceba que o par ordenado = −(x,y) (5, 8) 
pertence ao domínio da função, pois ≠ −5 8 . Logo, 
⋅ + ⋅ − +
− = = = −
− − −
23 5 7 ( 8) 15 448 463f (5, 8)
8 5 13 13
.
1.5 Definição
Seja ⊂ R3D . Uma função f de três variáveis em D é uma regra que 
associa a cada tripla ordenada de números reais ∈(x, y,z) D a um único valor 
real, denotado por =z f (x, y,z) .
1.6 Definição
Seja ⊂ RnD . Uma função f de n variáveis em Dé uma regra que associa 
a cada n-upla ordenada de números reais … ∈1 2 n(x , x , , x ) D a um único valor 
real, denotado por = …1 2 nz f (x , x , , x ) .
1.7 Definição
Seja k um número real. Uma curva de nível kC de uma função f de duas 
variáveis é o conjunto de todos os pontos (x, y) do domínio da função tais que 
=f (x,y) k . A notação para esse conjunto é = ∈ =kC {(x,y) D | f (x,y) k} .
Geometricamente, podemos interpretar cada curva de nível =f (x,y) k 
como a projeção sobre o plano xy da intersecção do gráfico da função com o 
plano =z k .
1.7.1 Exemplo 
Exemplo 1: Seja f uma função de duas variáveis reais dada pela expressão 
= +2 2f (x,y) x y . 
As curvas de nível de f são os conjuntos a seguir:
– 11 –
Funções de Várias Variáveis
Solução:
= ∈ = = ∈ + =2 21C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | x y 1}
= ∈ = = ∈ + =2 22C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | x y 2}
�
= ∈ = = ∈ + =2 216C {(x,y) D | f (x,y) 16} {(x,y) D | x y 16}
�
= ∈ = = ∈ + =2 2kC {(x,y) D | f (x,y) k} {(x,y) D | x y k}
Logo, cada curva de nível da função é um círculo com centro na origem.
Figura 1: Gráfico da função 2 2f(x, y) x y= + .
– 12 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 2: Curvas de nível da função 2 2f(x, y) x y= + .
2
2
–2
–2
0 4
x
4y
–4
–4
6
6
–6
–6
8
8
–8
–8
Exemplo 2: Seja f uma função de duas variáveis reais, dada pela expres-
são = +f (x,y) x² y² . As curvas de nível de f são os conjuntos a seguir:
Solução:
= ∈ = = ∈ + = = ∈ + =1C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | x² y² 1} {(x,y) D | x² y² 1²}
= ∈ = = ∈ + = == ∈ + =2C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | x² y² 2} {(x,y) D | x² y² 2²}
�
= ∈ = = ∈ + = = ∈ + =kC {(x,y) D | f (x,y) k} {(x,y) D | x² y² k} {(x,y) D | x² y² k²}
– 13 –
Funções de Várias Variáveis
Figura 3: Gráfico da função f(x, y) x² y²= + .
Figura 4: Curvas de nível da função f(x, y) x² y²= + .
2
2
–2
–2
0 4
x
4y
–4
–4
6
6
–6
–6
8
8
–8
–8
Exemplo 3: Seja f uma função de duas variáveis reais dada pela expressão 
= +f (x,y) sen(x) cos(y) . As curvas de nível de f são os conjuntos a seguir:
– 14 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução:
= ∈ = = ∈ + =1C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | sen(x) cos(y) 1}
= ∈ = = ∈ + =2C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | sen(x) cos(y) 2}
�
= ∈ = = ∈ + =kC {(x,y) D | f (x,y) k} {(x,y) D | sen(x) cos(y) k}
Figura 5: Gráfico da função f(x, y) sen(x) cos(y)= + .
Figura 6: Curvas de nível da função f(x, y) sen(x) cos(y)= + .
2
2
–2
–2
0 4
x
4y
–4
–4
6
6
–6
–6
8
8
–8
–8
– 15 –
Funções de Várias Variáveis
Exemplo 4: Seja f uma função de duas variáveis reais, dada pela expres-
são +=
−
23x 7y
f (x,y) .
y x
 As curvas de nível de f são os conjuntos a seguir:
Solução:
+
= ∈ = = ∈ =
−
2
1
3x 7y
C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | 1}
y x
+
= ∈ = = ∈ =
−
2
2
3x 7y
C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | 2}
y x
�
+
= ∈ = = ∈ =
−
2
k
3x 7y
C {(x,y) D | f (x,y) k} {(x,y) D | k}
y x
Figura 7: Gráfico da função 
23x 7y
f(x, y)
y x
+
=
−
.
– 16 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 8: Curvas de nível da função 
23x 7y
f(x, y)
y x
+
=
−
.
4
x
6 8
–8
2
2
–2
–2
0
4y
–4
–4
6
–6
–6
8
–8
Exemplo 5: Seja f uma função de duas variáveis reais, dada pela expres-
são = +
x yf (x,y) e e . As curvas de nível de f são os conjuntos a seguir:
= ∈ = = ∈ + =x y1C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | e e 1}
= ∈ = = ∈ + =x y2C {(x,y) D | f (x,y) 1} {(x,y) D | e e 2}
�
= ∈ = = ∈ + =x ykC {(x,y) D | f (x,y) k} {(x,y) D | e e k}
– 17 –
Funções de Várias Variáveis
Figura 9: Gráfico da função x yf(x, y) e e= + .
Figura 10: Curvas de nível da função x yf(x, y) e e= + .
2
2
–2
–2
0 4
x
4y
–4
–4
6
6
–6
–6
8
8
–8
–8
2
Limites
Nesta seção será definido o conceito e as proposições de 
limites de funções com duas variáveis, que é uma extensão do con-
ceito de limites de uma função com uma única variável.
– 20 –
Cálculo Diferencial e Integral II
2.1 Conceito
Pensando em dois pontos P0 e P1 no R² , a distância entre eles é dada 
por:
( )= − +− −20 1 0 1 0 1P P x x (y y )²
Utilizando o conceito de bola aberta visto anteriormente, podemos dizer 
que se ( )0 0x ,y é um ponto no R ² , então a bola aberta ( )( )0 0B x ,y ;r repre-
senta todos os pontos no ²R , tais que:
( ) +− − <20 1 0 1x x (y y )² r
Figura 1: Representação da Bola Aberta.
y0
x0
x
(x0, y0)
B((x0, y0), r)
y
r
Ou seja, a bola aberta representa o conjunto de todos os pontos inclusos 
na circunferência de centro ( )0 0x ,y e raio r. Pensando agora no conceito de 
bola fechada, dizemos que ela representa a bola aberta e os pontos sobre a 
circunferência de centro ( )0 0x ,y e raio r.
– 21 –
Limites
Figura 2: Representação da Bola Fechada.
y0
x∩
x
(x0, y0)
B[(x0, y0), r]
y
r
2.2 Definição 
Seja f (A) uma função de duas variáveis e ( )∈0 0x ,y A um ponto de 
acumulação em A. A função f (x,y) se aproxima do limite L, quando ( )x,y 
se aproxima de ( )0 0x ,y . Dizemos que:
→
=
0 0(x, y ) (x ,y )
lim f (x,y) L
se para todo ε > 0 , existe um número δ > 0 tal que, para todo (x, y) no domínio 
de f (x,y) , então − < ε| f (x,y) L | , sempre que ( )< − + − < δ20 00 x x (y y )² .
Em outras palavras, a definição diz que os valores da função f (x, y) ten-
dem a L, quando o ponto (x, y) tende ao ponto (x0, y0). Se o módulo (valor 
absoluto) da diferença entre a função f (x, y) e L tornam-se pequenos, com o 
ponto (x, y) suficientemente próximo do ponto (x0, y0), porém, não igual a 
(x0, y0). A Figura 3 ilustra essa definição e representa o gráfico da função f por 
meio da superfície S. 
– 22 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 3: Representação do conceito de limite.
L – ε
(x0, y0)
L + ε
L
0
S
y
x
z
δ
2.2.1 Exemplos 
Exemplo 1: Calcule o limite de ( ) = +f x,y x² 3y para o ponto −( 1,3) .
Solução:
( )
→ → −
= + = − + =
0 0
2
(x, y ) (x ,y ) (x, y ) ( 1,3)
lim f (x,y) lim x² 3y 1 3.3 10
Exemplo 2: Calcule o limite de ( ) + +=
+
x² xy y
f x,y 
x² 2y
para o ponto 
(3,2) .
Solução:
→ →
+ + + +
= = =
+ +0 0(x, y ) (x ,y ) (x, y ) (3,2)
x² xy y 3² 3.2 2 17lim f (x,y) lim
x² 2y 3² 2.2 13
– 23 –
Limites
Exemplo 3: Calcule o limite de ( ) −=
+
4 4
2 2
x y
f x,y 
x y
na origem.
Solução:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
→ → →
− +−
= =
+ +0 0
2 2 2 24 4
2 2 2 2x, y x ,y x, y 0,0 x, y 0,0
x y . x yx y
lim f x,y lim lim
x y x y
( )
→
= − = − =2 2 2 2
(x, y ) (0,0)
 lim x y 0 0 0
Exemplo 3: Utilizando a Definição 2.2 de limites, prove que 
→
+ =
(x, y ) (2,1)
lim 2x y 5 :
Solução:
Da definição acima temos que
− < ε| f (x,y) L | sempre que ( )< − + − < δ20 00 x x (y y )²
Ou seja, temos que mostrar que para todo 0ε > existe um δ > 0, tal que
− < ε| f (x,y) 5 | sempre que ( )< − + − < δ20 x 2 (y 1)²
2x y 5+ − < ε sempre que ( )< − + − < δ20 x 2 (y 1)²
Resolvendo a desigualdade modular, com o auxílio da desigualdade 
triangular, mostra-se:
+ − = − + −2x y 5 2x 4 y 1
+ − = − + −2x y 5 2(x 2) (y 1)
+ − ≤ − + −2x y 5 2 x 2 | | y 1
– 24 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Sabemos que ( ) ( )− ≤ − + − 22| x 2 | x 2 y 1 e 
( ) ( )− ≤ − + − 22| y 1| x 2 y 1 , então concluímos que :
− + − < δ + δ2 x 2 | | y 1 2 1
− + − < δ2 x 2 | | y 1 3 
Dado 
ε
δ = ε →δ =3
3
, tem-se que ( )< − + − < δ20 x 2) (y 1)² , então
+ − ≤ − + − < δ = ε| 2x y 5 | 2| x 2 | | y 1| 3
Logo:
→
+ =
(x, y ) (2,1)
lim 2x y 5
2.3 Proposição – 1
Regra dos dois caminhos
Nem todas as funções possuem limite, para exibir esse fato nos casos 
unidimensionais basta mostrarmos que os limites laterais são diferentes. 
Porém, para os casos bidimensionais, ou seja, com duas variáveis utilizamos 
curvas (caminhos) que geralmente passam por (x0, y0). Então para provar que 
o limite não existe em uma função de duas variáveis, mostramos que o limite 
por dois caminhos distintos são diferentes.
2.3.1 Exemplos
Exemplo 1: Prove que o limite de ( ) −=
−
2x² y²
f x,y
x² y²
 não existe na 
origem.
– 25 –
Limites
Solução:Para provar que não existe limite escolhemos dois caminhos que passam 
pelo ponto (0, 0) e mostramos que os limites são diferentes. Escolhendo a 
parábola y x²= e a reta y kx= , com ∈  Rk ² .
 2 Caminho =y x²:
( ) ( )
( )→ → →
−−
= = =
− −0 0
22 2
22 2(x, y ) (x ,y ) (x, y ) (0,0) (x, x ²) (0,0)
2x x2x² y²
lim f x,y lim lim 
x² y² x x
→ →
− − −
= = = = =
− − −
2 2 2
2 2 2(x, x ²) (0,0) (x, x ²) (0,0)
x²(2 x ) 2 x 2 0 2lim lim 2
x²(1 x ) 1 x 1 0 1
 2 Caminho =y kx:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )→ → →
−−
= = =
− −0 0
222 2
22 2 2x, y x ,y x, y 0,0 x, kx 0,0
2x kx2x y
lim f x,y lim lim 
x y x kx
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )→ →
− − −
= = =
− − −
2
2x, kx 0,0 x, kx 0,0
x 2 k 2 k 2 klim lim 
x 1 k 1 k 1 k
para todo ≠k 1 . Supondo k igual a 2, temos:
( ) ( ) ( ) ( )→ →
− − −
= = =
− − −
2 2
2 2x, y 0,0 x, kx 0,0
2x y 2 k 2 2lim lim 0
x y 1 k 1 2
Foram encontrados limites diferentes em cada caminho, concluímos 
então que o limite não existe. A Figura 4 ilustra respectivamente as cur-
vas de nível e o gráfico desta função, mostrando que o limite não existe 
na origem.
– 26 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 4: Gráfico da função ( ) 2x² y²f x,y
x² y²
−
=
−
.
Figura 5: Curvas de nível de ( ) 2x² y²f x,y
x² y²
−
=
−
.
– 27 –
Limites
Exemplo 2: Encontre, se existir, o limite de ( ) = −
+
3
3 6
3xy
f
x
,y
2y
x no ponto 
(0, 0).
Solução: 
Escolhemos dois caminhos que passam pelo ponto (0,0); como, por 
exemplo, a curva = 3y x e a reta y = kx, com k ²∈  R .
 2 Caminho = 3y x :
( ) ( )
( )→ → →
− −
= =
+
=
+
3
0 0(x, y ) (x ,y ) (x, y ) (0,0) (x, x ) (0,
333
66 3 30)3
3xy 3x x
lim f x,y lim lim 
x xx 2y 2
( )3 3 3(x, x ) (0,0) (x, x ) (0,
9 10 7
3 18 153 150) (x,
15
 x ) (0,0)
7
3x.x 3x 3xlim lim lim
x x xx2 1 21 2
1 2.0
x
3.0 0 0
1
→ → →
− − −
= = = =
−
+
+
= =
+
=
+
 2 Caminho =y kx :
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0x, y x ,y x, y 0,0 x, kx 0,0
x, kx 0,0 x, kx
33
63 6 3
3 4 3 4
3 6 6 0, 3 6 30
kx
lim f x,y lim lim 
kx
 lim li
3x3xy
x 2y x 2
3k .x 3k .x
x 2k .x x 1 2k x
m
→ → →
→ →
−−
+ +
− −
+ +
= = =
= = =
( ) ( )
3 3
6 3 4 3x, kx 0,0
3k .x 3k .0
1 2k x 1 2k
0 lim 0
1.0→
− −
=
+
= =
+
Percebe-se que os dois caminhos encontraram o mesmo limite; isso sig-
nifica que o limite é zero? Não. Assim como, no limite com uma variável, 
encontrar dois caminhos que levam ao mesmo limite, não implica que este 
seja o valor do limite e nem que este existe. Este exemplo ajuda a observar 
isso, pois existe um terceiro caminho que passa pela origem e não encontra o 
limite igual a zero. Vejamos:
– 28 –
Cálculo Diferencial e Integral II
 2 Caminho = 3y x :
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
0 0
3 3
3 33
63 6 3x, y x ,y x, y 0,0 x, x 0,0 3
x, x 0,0 x,
2 2
3 x 02 0 2,
x
lim f x,y lim lim 
x
 lim lim
3x3xy
x 2y x 2
3x 3x
x 2x x x 2
→ → →
→ →
= = =
= =
−−
+ +
− −
+ +
=
( ) ( )3x, x 0,0
3 3 3 
x
l
20
im
2
 
2→
− −
+
−
= =
+
=
Como o terceiro caminho encontrou um limite diferente dos dois outros 
caminhos, concluímos que este limite não existe.
Com isso, para provar a existência do limite, não basta mostrar que duas 
curvas ou caminhos encontram o mesmo limite. Sempre quando encontramos o 
valor do limite igual em dois ou mais caminhos, devemos usar a definição de limi-
tes ou o Teorema do Confronto para provar o valor e consequentemente a exis-
tência do limite, assim como é feito com os limites de uma variável. Na Figura 5, 
podemos observar, respectivamente, as curvas de nível e o gráfico desta função.
Figura 6: Gráfico da função ( )
3
3 6
3xy
f x, y
x 2y
−
+
= .
– 29 –
Limites
Figura 7: Curvas de nível de ( )
3
3 6
3xy
f x, y
x 2y
−
+
= .
2.3.2 Teorema do Confronto ou Sanduíche
Encontre o limite da função =
+
2
2 2
2x y
f (x,y)
3x 3y
, quando (x, y) tende à origem:
Solução: 
Com o auxílio da Regra dos Dois Caminhos, consideram-se as curvas 
=y kx e = 2y x
 2 Para =y k x, têm-se:
( )→ →
= =
+ +
2 2
22 2 2(x,kx ) (0,0) (x,kx ) (0,0)
2x y 2x kxlim lim
3x 3y 3x 3 kx
→ →
= = = =
+ + +
3
2(x,kx ) (0,0) (x,kx ) (0,0)
2kx 2kx 2.k.0lim lim 0
3x (1 k) 3(1 k) 3(1 k)
Sendo k, um valor real qualquer.
 2 Para = 2y x , têm-se:
( )→ →
= =
+ +
2 2
2 2 2
22 2 2 2(x,x ) (0,0) (x,x ) (0,0)
2x y 2x xlim lim
3x 3y 3x 3 x
– 30 –
Cálculo Diferencial e Integral II
→ →
= = = =
+ + +2 2
4 2 2
2 2 2 2(x,x ) (0,0) (x,x ) (0,0)
2x 2x 2.0lim lim 0
3x (1 x ) 3(1 x ) 3(1 0 )
O fato dos dois caminhos escolhidos encontrarem o limite da função igual 
a zero, não implica que o limite desta função seja zero, pois pode-se encontrar 
um terceiro caminho, no qual o limite não seja zero. Para resolver este problema, 
usa-se o Teorema do Confronto, definido para funções de duas variáveis, como 
um extensão da definição deste teorema para casos com uma variável:
Considere as funções g(x,y),f (x,y) e h(x,y) , onde f (x,y) está entre as 
funções g(x,y),h(x,y) . Ou seja: ≤ ≤g f h
Se os limites existem, tal que 
→
=
(x,y ) (a,b)
lim g(x,y) L e 
→
=
(x,y ) (a,b)
lim h(x,y) L . 
Então o limite de g(x,y) também existe e é igual a L.
Com isso, utilizando o Teorema do Confronto, temos, então, que o 
limite de =
+
2
2 2
2x y
f (x,y)
3x 3y
 é igual a zero. A Figura 6 mostra as curvas de 
nível e o gráfico da função. 
Figura 8: Gráfico da função 
2
2 2
2x y
f(x, y)
3x 3y
=
+
.
– 31 –
Limites
Figura 9: Curvas de nível de
2
2 2
2x y
f(x, y)
3x 3y
=
+
.
2.4 Proposição - 2
Sejam f (A) e g(A) funções de duas variáveis, com ( )∈0 0x ,y A um 
ponto de acumulação e considerando L, M, C números reais. Temos que:
→ →
= =
0 0 0 0(x, y ) (x ,y ) (x, y ) (x ,y )
lim f (x,y) L e lim g(x,y) M
 2 Soma de limites
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
→ → →
+ = + = +
0 0 0 0 0 0(x, y ) (x ,y ) x, y x ,y x, y x ,y
lim (f (x,y) g(x,y)) lim f x,y lim g x,y L M
 2 Diferença de limites
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
→ → →
− = − = −
0 0 0 0 0 0(x, y ) (x ,y ) x, y x ,y x, y x ,y
lim (f (x,y) g(x,y)) lim f x,y lim g x,y L M
 2 Produto de limites
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
→ → →
= =
0 0 0 0 0 0x, y x ,y x, y x ,y x, y x ,y
lim (f (x,y).g(x,y)) lim f x,y . lim g x,y L .M
 2 Multiplicação por um escalar
→ →
= =
0 0 0 0(x, y ) (x ,y ) (x, y ) (x ,y )
lim C.(g(x,y)) C . lim g(x,y) C . M
– 32 –
Cálculo Diferencial e Integral II
 2 Quociente de limites
→
→
→
= =0 0
0 0
0 0
(x, y ) (x ,y )
(x, y ) (x ,y )
(x, y ) (x ,y )
lim f (x,y)f (x,y) Llim 
g(x,y) lim g(x,y) M
 2 Potência de limites
Seja p q inteiros na forma irredutível, com ≠s 0 , então:
( )→ →= =0 0 0 0
p/q
p/q p/q
(x, y ) (x ,y ) (x, y ) (x ,y )
lim (g(x,y)) lim g(x,y) M
desde que p/qM seja um número real.
 2 Limite de um polinômio ( )P x,y
( ) ( )
→
=
0 0
0 0(x, y ) (x ,y )
lim P x,y P x ,y
2.5 Limites envolvendo indeterminação
Considerando f e g, funções de duas variáveis (x, y), tais que :
( )
→
=
0 0(x,y ) (x ,y )
lim f x,y 0
( )
→
=
0 0(x,y ) (x ,y )
lim g x,y 0
observa-se que não podemos afirmar nada sobre o limite do quociente 
f
g
 
quando as variáveis (x, y) tendem a (x0, y0), pois esse quociente gera uma 
indeterminação do tipo 0
0
. Entretanto, dependendo das funções, pode-se 
encontrar o valor real deste limite ou mostrar que o mesmo não existe. Para 
– 33 –
Limites
isso, como utilizado no cálculo com uma variável, alguns conceitos matemá-
ticos como fatoração, radiciação e limites fundamentais são empregados. Os 
exemplos a seguir fazem o uso destes conceitos para contornar o problema da 
indeterminação.
2.5.1 Exemplos
Exemplo 1: Calcule, se existir, o 
− +→
+ −
− −(x,y ) (2 ,0 )
y x 2
lim
y 2 x
Solução:
Observa-se que
 2 ( )− +→ + − = + − =(x,y ) (2 ,0 )lim y x 2 0 2 2 0
 2 ( )− +→ − − = − − =(x,y ) (2 ,0 )lim y 2 x 0 2 2 0
Com isso, temos que o quociente é uma indeterminação, ouseja, 
( )
( )
− +
− +
− +
→
→
→
+ −+ −
= =
− − − −
(x,y ) (2 ,0 )
(x,y ) (2 ,0 )
(x,y ) (2 ,0 )
lim y x 2y x 2 0lim
0y 2 x lim y 2 x
.
Para resolver o problema de indeterminação e verificar a existência do 
limite, utilizamos a técnica da radiciação, assim:
( )
( )− + − +→ →
+ −+ − + −
= =
− − − − + −(x,y ) (2 ,0 ) (x,y ) (2 ,0 )
y 2 xy x 2 y x 2
lim lim .
y 2 x y 2 x y 2 x
( ) ( )
( ) ( )− +→
+ − − −
= < >
− −
2 2(x,y ) (2 ,0 )
y x 2 . y 2 x
lim , como x 2e y 0
y 2 x
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )− + − +→ →
+ − − − + − − −
= = =
− − − +(x,y ) (2 ,0 ) (x,y ) (2 ,0 )
y x 2 . y 2 x y x 2 . y 2 x
lim lim
y 2 x y 2 x
– 34 –
Cálculo Diferencial e Integral II
( )− +→= − − = − − =(x,y ) (2 ,0 )lim y 2 x 0 2 2 0
Exemplo 2: Calcule, se existir, o 
→ −
+ + + + +
+ − −
3 4 2 3
(x,y ) ( 3,1)
x x y 4x 3x 3x y 12
lim
xy 3y 2x 6
Solução:
Observa-se que
 2 ( )
→ −
+ + + + + =3 4 2 3
(x,y ) ( 3,1)
lim x x y 4x 3x 3x y 12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + − + − + − + =3 4 2 33 3 .1 4. 3 3. 3 3. 3 .1 12 0
 2 ( ) ( ) ( )
→ −
+ − − = − + − − − =
(x,y ) ( 3,1)
lim xy 3y 2x 6 3 .1 3.1 2. 3 6 0
Com isso, temos que o quociente é uma indeterminação, ou seja, 
→ −
+ + + + +
=
+ − −
3 4 2 3
(x,y ) ( 3,1)
x x y 4x 3x 3x y 12
lim
xy 3y 2x 6
( )
( )
→ −
→ −
+ + + + +
= =
+ − −
3 4 2 3
(x,y ) ( 3,1)
(x,y ) ( 3,1)
lim x x y 4x 3x 3x y 12 0
lim xy 3y 2x 6 0
Para resolver este problema de indeterminação e verificar a existência do 
limite, utilizamos a técnica da fatoração do numerador e do denominador da 
função, assim:
( ) ( )
( ) ( )
3 4 2 3
(x,y ) ( 3,1)
2 3 2 3
(x,y ) ( 3,1)
x x y 4x 3x 3x y 12
lim
xy 3y 2x 6
x x x y 4 3 x x y 4
lim
x y 2 3 y 2
→ −
→ −
+ + + + +
=
+ − −
+ + + + +
= =
− + −
– 35 –
Limites
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 3
(x,y ) ( 3,1)
2 3 2 3
(x,y ) ( 3,1)
x 3 . x x y 4
lim
x 3 . y 2
x x y 4 3 3 .1 4
lim 14
y 2 1 2
→ −
→ −
+ + +
= =
+ −
+ + − + − +
= = =
− −
Exemplo 3: Calcule, se existir, o 
( )
→ +
2
2 2(x,y ) (0,1)
y sen x
lim
x y 4x
Solução:
Observa-se que:
 2 ( )( ) ( )
→
= =2 2
(x,y ) (0,1)
lim y sen x 1 .sen 0 0
 2 ( )→ + = + =
2 2 2 2
(x,y ) (0,1)
lim x y 4x 0 .1 4.0 0
Com isso, temos que o quociente é uma indeterminação, ou seja, 
( ) ( )( )
( )
→
→
→
= =
+ +
2
2
(x,y ) (0,1)
2 2 2 2(x,y ) (0,1)
(x,y ) (0,1)
lim y sen xy sen x 0lim
x y 4x 0lim x y 4x
.
Para resolver o problema de indeterminação e verificar a existência do 
limite, utilizamos o limite fundamental e algumas propriedades de limites, assim:
( )
( )
( )
→ →
 
 = =
 + + 
2 2
2 2 2(x,y ) (0,1) (x,y ) (0,1)
y sen x sen xy
lim lim .
x y 4x xxy 4
( )
( )
( )
2
2(x,y ) (0,1) (x,y ) (0,1)
2
2(x,y ) (0,1) (x,y ) (0,1)
sen xy
lim . lim
xxy 4
1 1 1lim .1 lim
4 40.1 4
→ →
→ →
   
  =  +   
 
 = = =
 + 
– 36 –
Cálculo Diferencial e Integral II
2.6 Limites de Funções Compostas
Seja f, função de uma variável contínua no ponto z e seja g, função de 
duas variáveis, tais que:
→
=
0 0(x,y ) (x ,y )
lim g(x,y) z ⇒
→ →
= =
0 0 0 0(x,y ) (x ,y ) (x,y ) (x ,y )
lim (fog)(x,y) lim f (g(x,y)) f (z)
Vale ressaltar que =(fog)(x,y) f (g(x,y)), é definida como uma função 
composta (Figura 7).
Figura 10: Representação da função composta.
f (x0, y0) ∈ B g(f (x0, y0))
gf
A
go f (x0, y0)
(x0, y0)
2.6.1 Exemplos
Exemplo 1: Calcular o 
→ π
−
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) :
Solução: 
Considerando as seguintes funções: 
= −g(x,y) y x e ( ) ( )=f u cos u , 
usando a definição anterior, têm-se
( )→ π → π− = −(x,y ) (0, ) (x,y ) (0, )lim cos(y x) cos lim (y x)
( )
→ π
− = π −
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) cos 0
– 37 –
Limites
( )
→ π
− = π
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) cos
→ π
− =
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) 1
Exemplo 2: Calcular o 
→ −
+ + −3 2 2 3
(x,y ) ( 1,2)
lim ln(x y x y 3) :
Solução:
Considerando as seguintes funções: 
= + + −3 2 2 3g(x,y) x y x y 3 e ( ) ( )=f u ln u , 
usando a definição anterior, têm-se
( )→ − → −+ + − = + + −3 2 2 3 3 2 2 3(x,y ) ( 1,2) (x,y ) ( 1,2)lim ln(x y x y 3) ln lim (x y x y 3)
( ) ( )( )( )→ − → −+ + − = − + + − −3 23 2 2 3 2 3(x,y ) ( 1,2) (x,y ) ( 1,2)lim ln(x y x y 3) ln lim 1 2 1 2 3
( )→ − → −+ + − =3 2 2 3(x,y ) ( 1,2) (x,y ) ( 1,2)lim ln(x y x y 3) ln lim 8
→ −
+ + − =3 2 2 3
(x,y ) ( 1,2)
lim ln(x y x y 3) ln8
Com isso, temos que ( )
→ −
=
(x,y ) ( 1,2)
lim g x,y 8 e ( ) ( )=f u ln u é contínua 
em u = 2.
2.7 Estendendo o conceito de limite
Estendendo a formulação de limites para o R3 , pensamos em dois pon-
tos P e P0 no R
3 e a distância entre eles é dada por:
( )− = − −+ −+0 0 0
2
0P P x x (y y )² (z z )²
– 38 –
Cálculo Diferencial e Integral II
E pensando no conceito de limites no R�n , tem-se a distância entre dois 
pontos P e P0 no R
3, definida por:
( )− = + −+− − +0 0
2
00P P x x (y y )² ... (w w )²
Considere f  (A) uma função de n-variáveis e ( )∈0 0 0,...x ,w,y A, um 
ponto de acumulação A. A função f  (P) se aproxima do limite L, quando 
P(x,y,...,w) se aproxima de ( )0 0 0,.x y ..,w, . Dizemos que:
→
=
0 0 0(x, y,...,w ) (x ,y ,...,w )
lim f (x,y,...,w) L
Se para todo ε > 0, existe um número δ > 0 tal que, para todo 
(x,y,...,w) no domínio de f (x,y,...,w) , ( )f x,y,...,w L− < ε sempre que 
( )< − + − < δ20 00 x x (y y )² .
Em outras palavras, a definição diz que os valores da função f (x,y,...,w) 
tendem a L, quando o ponto (x,y,...,w) tende ao ponto ( )0 0 0x ,y ,...,w , se o 
módulo (valor absoluto) da diferença entre a função f (x,y,...,w) e L tornam- 
se pequenos, com o ponto (x,y,...,w) suficientemente próximo do ponto 
( )0 0 0x ,y ,...,w , porém não igual a ( )0 0 0x ,y ,...,w .
2.7.1 Exemplos
Exemplo 1: Calcule o limite de 
+
=
+
x z
2
ef (x,y,z)
z cos xy
, no ponto (1, 0, –1).
Solução: 
Substituindo os valores de x, y e z:
+ + −
→ −
= = =
++ − +
x z 1 ( 1) 0
2 2(x,y,z ) (1,0, 1)
e e e 1lim
1 1 2z cos xy ( 1) cos 1.0
– 39 –
Limites
Exemplo 2: Calcule o limite de +=
+2 2
2xy yz
f (x,y,z)
x z
, no ponto (2, –1, –1).
Solução: 
→ − −
+ − + − − −
= =
+ + −2 2 2 2(x,y,z ) (2, 1, 1)
2xy yz 2.2.( 1) ( 1).( 1) 3lim
x z 2 ( 1) 5
3
Continuidade
Nesta seção, será definido o conceito e as proposições sobre 
continuidade de funções com duas variáveis. Este conceito é enten-
dido como uma extensão da definição e proposições de continui-
dade de funções com uma variável. 
– 42 –
Cálculo Diferencial e Integral II
3.1 Definição
Seja f (A) uma função de duas variáveis e (x0, y0) um ponto de acumu-
lação de A. Dizemos que f é contínua em (x0, y0) se e somente se as condições 
forem satisfeitas:
i. ( )0 0f x ,y existe
ii. 
→ 0 0(x, y ) (x ,y )
lim f (x,y) existe
iii. ( )
→
=
0 0
0 0(x,y ) (x ,y )
lim f (x,y) f x ,y
Se uma ou mais destas condições não forem satisfeitas em (x0, y0), a 
função f será descontínua em (x0, y0). E se pelo menos um dos pontos de 
acumulação de A, não satisfazerem as condições acima, então dizemos que f 
é uma função descontínua. 
3.1.1 Exemplos
Exemplo 1: verifique se f (x,y) é contínua no ponto P(1,2) :
( ) = − +3 2f x,y x 3xy 2
Solução: 
Verificando as condições (1), tem-se que:
i. ( ) = − + = −f 1,2 1³ 3.1.2² 2 9 . Condição (i) satisfeita
ii. 
→ →
= − + = −3 2
(x, y ) (1,2) (x, y ) (1,2)
lim f (x,y) lim x 3xy 2 9 . Condição (ii) satis-
feita
iii. ( )
→
= → − = −
(x, y ) (1,2)
lim f (x,y) f 1,2 9 9 . Condição (iii) satisfeita
Como a função satisfez todas as condições, dizemos que esta função é 
contínua. A figura abaixo ilustra o gráfico da função contínua.
– 43 –
Continuidade
Figura 1: Gráfico da função ( ) 3 2f x, y x 3xy 2= − + .
Exemplo 2: Verificar se g(x,y)é contínua em no ponto ( )0,0 :
( )
( )
 ≠ += 
 =
4
8x²y
 se (x,y) (0,0)
x y²g x,y
 0 se x,y (0,0)
Solução: 
Verificando as condições (1), tem-se que:
i. ( ) =g 0,0 0
ii. 
→(x, y ) (0,0)
lim g(x,y)
– 44 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Utilizando a regra dos dois caminhos para o cálculodo limite
 2 Reta → = y kx , onde k é uma constante
→ → →
= = =
+ + +4 4 4(x, y ) (0,0) (x, kx ) (0,0) (x, kx ) (0,0)
8x²y 8x²kx 8kx³lim lim lim 
x y² x (kx)² x k²x²
→ →
= = = =
+ + +2 2 2 2 2 2 2(x, kx ) (0,0) (x, kx ) (0,0)
8kx³ 8kx 8.k.0lim lim 0
x (x k ) x k 0 k
para qualquer valor de k.
 2 Parábola → = 2 y x
→ → →
= = =
+ + +
4
4 4 2 4 4(x, y ) (0,0) (x, x ²) (0,0) (x, x ²) (0,0)
8x²y 8x²x² 8xlim lim lim 
x y² x (x )² x x
→ →
= = =
4
4(x, x ²) (0,0) (x, x ²) (0,0)
8x lim lim 4 4
2x
Como foram encontramos limites diferentes nos dois caminhos, conclu-
ímos que o limite não existe, logo a função não satisfaz esta condição. A figura 
abaixo, mostra o gráfico de uma função descontínua.
Figura 2: Gráfico da função ( ) 4
8x²y
f x, y
x y²
=
+
.
– 45 –
Continuidade
3.2 Proposição – 1
Sejam f e g funções de duas variáveis, contínuas no ponto (x, y). Temos que:
 2 Soma de funções contínuas
= +w f g , logo w será contínua no ponto (x, y)
 2 Diferença de funções contínuas
= −w f g , logo w será contínua no ponto (x, y)
 2 Produto de funções contínuas
=w f .g , logo w será contínua no ponto (x, y)
 2 Quociente de funções contínuas
=
fw
g
, logo w será contínua no ponto (x, y), se e somente se 
( , ) 0g x y ≠
 2 Se f é uma função polinomial de duas variáveis, então esta função 
será contínua em R3 .
 2 Se f é uma função racional de duas variáveis, então esta função será 
contínua em todos os pontos do seu domínio.
3.3 Continuidade de funções compostas
Considere que =y f (u) e = 0 0z g(x ,y ) . Se g é contínua no ponto (x, y) 
e f é contínua em g(x, y), então a função composta =fog f (g(x,y)) é contí-
nua no ponto (x, y).
3.3.1 Exemplos
Exemplo 1: Calcular o 
→ π
−
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) :
Solução:
Usando a definição acima, tem-se
( )→ π → π− = −(x,y ) (0, ) (x,y ) (0, )lim cos(y x) cos lim (y x)
– 46 –
Cálculo Diferencial e Integral II
( )
→ π
− = π −
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) cos 0
( )
→ π
− = π
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) cos
→ π
− =
(x,y ) (0, )
lim cos(y x) 1
3.4 Estendendo o conceito de Continuidade
Para estender a teoria de continuidade para o R3, basta expandir a 
dimensão das funções estudadas e trabalhar da mesma maneira do que se 
tivesse uma ou duas variáveis, ou seja: 
Seja f uma função de n variáveis e A um ponto de acumulação A no R3. 
Dizemos que f é contínua no R3, se e somente se as condições forem satisfeitas:
i. ( )f exA iste
ii. 
→(P) ( A )
lim f (P) existe
iii. ( )
→
=
(P) ( A )
lim f (P) f A (1)
Se alguma destas condições não for satisfeita, a função f será descontí-
nua. E se pelo menos um dos pontos de acumulação de , não satisfazem as 
condições acima, então dizemos que f é uma função descontínua.
4
Derivadas Parciais
O estudo da teoria de funções, limites e continuidade para 
duas ou mais variáveis, é uma extensão das definições para uma 
variável. O mesmo acontece para o conceito de derivadas parciais, 
ou seja, é uma ampliação da definição de derivadas para uma 
única variável. 
– 48 –
Cálculo Diferencial e Integral II
4.1 Definição
Considere f, uma função de duas variáveis (x, y) e suponha fixar a vari-
ável y, de modo que apenas x possa variar. Com isso, têm-se y = y0 fixo, onde 
y0 é uma constante. Temos, então, a função = 0g(x) f (x,y ) de uma única 
variável. Se derivarmos a função g no ponto x = x0, temos a derivada parcial de 
f com relação a x no ponto (x0, y0). Denotaremos por ( )
∂
∂ 0 0
f
x ,y
x
, mas a deri-
vada pode ser encontrada na literatura com outras notações e é definida por:
( )
→ →
∂ − −
= =
∂ − −0 0
0 0 0 0
0 0 x x x x
0 0
f g(x) g(x ) f (x,y ) f (x ,y )
x ,y lim lim
x x x x x
Analogamente, a derivada parcial de f com relação a y no ponto (x0, y0) 
é definida como:
( )
→ →
∂ − −
= =
∂ − −0 0
0 0 0 0
0 0 y y y y
0 0
f g(y) g(y ) f (x ,y) f (x ,y )
x ,y lim lim
y y y y y
, 
considerando que o limite exista.
Sabendo que ∆ = − 0x x x e que ∆ = − 0y y y , as equações das derivadas 
parciais podem ser reescritas, da seguinte forma:
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
0 0 0 0
0 0 x 0
f f (x x,y ) f (x ,y )
x ,y lim
x x
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
0 0 0 0
0 0 y 0
f f (x ,y y) f (x ,y )
x ,y lim
y y
4.1.1 Exemplos
Exemplo 1: Aplicando a Definição 4.1 encontre as derivadas parciais 
com relação a x e a y de = − +2 2f (x,y) 5y 2x 3xy , no ponto (–1, 3).
– 49 –
Derivadas Parciais
Solução:
da Definição 4.1 a derivada parcial com relação a x, é escrita como
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
0 0 0 0
0 0 x 0
f f (x x,y ) f (x ,y )
x ,y lim
x x
( )
∆ →
∂ − + ∆ − −
− =
∂ ∆x 0
f f ( 1 x,3) f ( 1,3)1,3 lim
x x
( )
∆ →
   − − + ∆ + − + ∆ − − − + −∂    − = =
∂ ∆
2 2 2 2
x 0
5.3 2( 1 x) 3.( 1 x).3 5.3 2( 1) 3.( 1).3f
1,3 lim
x x
[ ]
∆ → ∆ →
 − + ∆ − ∆ − + ∆ − − − − ∆ + ∆ = = =
∆ ∆
2 2
x 0 x 0
45 2 4 x 2 x 9 9 x 45 2 9 2 x 13 xlim lim
x x
( )
∆ → ∆ →
∆ − ∆ +
= = − ∆ + = − + =
∆x 0 x 0
x 2 x 13
lim lim 2 x 13 2.0 13 13
x
Agora, resolvendo a derivada parcial com relação a y, no ponto (–1, 3) 
pela Definição 4.1:
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
0 0 0 0
0 0 y 0
f f (x ,y y) f (x ,y )
x ,y lim
y y
( )
∆ →
∂ − + ∆ − −
− =
∂ ∆y 0
f f ( 1,3 y) f ( 1,3)
1,3 lim
y y
( )
( ) ( )
∆ →
   + ∆ − − + − + ∆ − − − + −∂   − = =
∂ ∆
2 2 2 2
y 0
5. 3 y 2( 1) 3.( 1). 3 y 5.3 2( 1) 3.( 1).3f
1,3 lim
y y
[ ]
∆ → ∆ →
 + ∆ + ∆ − − + ∆ − − − ∆ + ∆ = = =
∆ ∆
2 2
y 0 y 0
45 30 y 5 y 2 9 9 x 45 2 9 5 y 27 y
lim lim 1
y y
– 50 –
Cálculo Diferencial e Integral II
( )
∆ → ∆ →
∆ ∆ +
= = ∆ + = + =
∆y 0 y 0
y 5 y 27
lim lim 5 y 27 5.0 27 27
y
Exemplo 2: Considere uma chapa de metal com a temperatura (em 
graus) dada por = − +2T(t,h) 2t t 25h , sendo, t o tempo (horas) e h a alti-
tude (metros).
a) Uma pequena formiga está situada no ponto (2, 3), caminhando na 
reta h = 2, ou seja, na direção do eixo t. Calcule a taxa instantânea 
de variação da temperatura, em relação a distância andada na dire-
ção do eixo t pela formiga.
b) Qual seria a taxa de variação instantânea da temperatura, se a for-
miga andasse na direção do eixo h?
Solução: 
a) Utilizando a definição acima para a variação com relação a t, temos:
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
0 0 0 0
0 0 t 0
f f (t t,h ) f (t ,h )
t ,h lim
t t
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆t 0
f f (2 t,3) f (2,3)2,3 lim
t t
( )
∆ →
   + ∆ − + ∆ + − − +∂    = =
∂ ∆
2 2
t 0
2(2 t) (2 t) 25.3 2.2 2 25.3f
2,3 lim
t t
[ ]
∆ → ∆ →
 + ∆ + ∆ − − ∆ + − − + ∆ + ∆ = = =
∆ ∆
2 2
t 0 t 0
8 8 t 2 t 2 t 75 8 2 75 2 t 7 tlim lim 3
t t
( )
∆ → ∆ →
∆ ∆ +
= = ∆ + = + =
∆t 0 t 0
t 2 t 7 graus
lim lim 2 t 7 2.0 7 7
t metros
– 51 –
Derivadas Parciais
b) Fazendo a variação com relação a altitude h, tem-se:
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
0 0 0 0
0 0 h 0
f f (t ,h h) f (t ,h )
t ,h lim
h h
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆h 0
f f (2,3 h) f (2,3)2,3 lim
h h
( )
( )
∆ →
   − + + ∆ − − +∂    = =
∂ ∆
2 2
h 0
2.2 2 25. 3 h 2.2 2 25.3f
2,3 lim
h h
[ ] [ ]
∆ → ∆ →
− + + ∆ − − + ∆
= = =
∆ ∆h 0 h 0
8 2 75 25 h 8 2 75 25 hlim lim
h h
∆ →
= =
h 0
graus
lim 25 25
metros
4.2 Definição
Considere f, uma função de duas variáveis (x, y). A derivada parcial de 1ª 
ordem de f com relação a x, é uma função tal que, para qualquer ponto (x, y) 
do domínio de f, é definida por:
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆x 0
f f (x x,y) f (x,y)
x,y lim
x x
, 
desde que exista o limite.
Analogamente, considere f, uma função de duas variáveis (x, y). A deri-
vada parcial de 1ª ordem de f com relação a y, é uma função tal que, para 
qualquer ponto (x, y) do domínio de f, é definida por:
( )
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆y 0
f f (x,y y) f (x,y)
x,y lim 1
y y
, 
desde que exista o limite.
– 52 –
Cálculo Diferencial e Integral II
As notações para derivadas parciais podem ser encontrada na literatura, 
como:
 2 Derivadas parciais com relação a x:
( )
∂
∂
f
x,y
x ; 
( )xD f x,y ; ( )1D f x,y ; ( )xf x,y
 2 Derivadas parciais com relação a y:
( )
∂
∂
f
x,y
y
; ( )yD f x,y ; ( )2D f x,y ; ( )yf x,y
4.2.1 ExemplosExemplo 1: Calcule ( )
∂
∂
f
x,y
x
 e ( )
∂
∂
f
x,y
y
:
a) = −3 2f (x,y) y 3yx
b) = + −2 2
1f (x,y) 6xy 3x y x
2
c) ( )= 2 2f (x,y) x sen xy
Solução: 
a) Derivada parcial com relação a x:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 21
3 2 2
1
3 2 2
3 2
y 3yxf 1x,y . y 3yx .
x 2 x
3yx1 . y 3yx . 6yx
2 y 3yx
−
−
∂ −∂
= − =
∂ ∂
−
= − − =
−
– 53 –
Derivadas Parciais
Derivada parcial com relação a y:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 21
3 2 2
2 21
3 2 2 22
3 2
y 3yxf 1x,y . y 3yx .
y 2 y
3y 3x1 . y 3yx . 3y 3x
2 2 y 3yx
−
−
∂ −∂
= − =
∂ ∂
−= − − =
−
b) Derivada parcial com relação a x:
( )∂ = + −
∂
2f 1x,y 6y 6xy
x 2
Derivada parcial com relação a y:
( )∂ = +
∂
2f x,y 12xy 3x
y
c) Derivada parcial com relação a x:
∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
+ ∂
∂
f
x
x y
x
x sen xy
x
x sen xy x
x
sen xy( , ) [ ( )] ( ). ( ) . [ ( )2 2 2 2 2 2 ]]
Onde, fazendo u = xy2 e usando a regra da cadeia, ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
g
x
g
u
u
x
,
onde ∂
∂
=
u
sen u u( ) cos( ) e 
∂
∂
=
x
xy y( )2 2 , segue que
∂
∂
= +f
x
x y x sen xy x y xy( , ) . ( ) cos( )2 2 2 2 2
Derivada parcial com relação a y:
( ) ( ) ( ) ( )∂∂ = =
∂ ∂
2
2 2 3 2
xyf
x,y x cos xy . 2x y.cos xy
y y
– 54 –
Cálculo Diferencial e Integral II
4.3 Interpretação Geométrica de Derivadas 
Parciais de Duas Variáveis
A interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função 
com duas variáveis, são semelhantes à interpretação das derivadas de uma 
variável. O gráfico de uma função com duas variáveis ( )=z f x,y é uma 
superfície S no R3 , e o ponto ( )0 0P x ,y ,z pertence à superfície S. Se 
fixarmos y = y0, então teremos ( )= 0z f x,y , que representa o traço C1 na 
superfície S do plano y = y0. Analogamente, se fixarmos x = x0, teremos 
então, ( )= 0z f x ,y representando o traço C2 na superfície S do plano 
x = x0. Na figura abaixo é possível observar que C1 e C2 passam pelo ponto 
( )0 0P x ,y ,z (Figura 10).
Figura 1: Representação das curvas C
1
 e C
2
.
C2
P
S
y
x
z
C1
– 55 –
Derivadas Parciais
Notamos que a curva C1 é o gráfico da função ( )= 0z f x,y  . Com isso, 
representamos por T1 a reta tangente desta função e por ( ) ( )
∂′ = α =
∂ 0 0
fz tg x ,y
x
 
o coeficiente angular da reta T1 em P. Da mesma forma, para a curva C2, que 
é o gráfico da função ( )= 0z f x ,y , temos a reta tangente desta outra função 
representada por T2 em P e o coeficiente angular por ( ) ( )
∂′ = β =
∂ 0 0
fz tg x ,y
y  
. 
Então, podemos dizer que as derivadas parciais ∂
∂
f
x
 e 
∂
∂
f
y
representam geome-
tricamente a inclinação ou coeficiente angular das retas tangentes no ponto 
(x0, y0) aos traços C1 e C2 na superfície com seus respectivos planos.
Figura 2: Representação das retas tangentes e do coeficiente angular α.
C2
P
S
y
y0
x0
α
x
z T1
C1
– 56 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 3: Representação das retas tangentes e do coeficiente angular β.
C2
P
S
y
y0
x0 β
x
z T2
C1
(a) (b)
4.3.1 Exemplos
Exemplo 1: Encontre a inclinação da reta tangente à curva de intersec-
ção da superfície ( ) = − −2 26f x,y 18 2x y
5
 com o plano = −x 2 , no ponto 
 − 
 
18P 2,1,
5
.
Solução:
A inclinação no ponto  − 
 
18P 2,1,
5
 da reta tangente no plano = −x 2  , 
é dada por
( ) ( )∂′ = β =
∂ 0 0
fz tg x ,y
y
– 57 –
Derivadas Parciais
Sabemos que
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2 2 22
2 2
2 2
f 6 1 f18 2x y 18 2x y
y 5 2 y
6y3 18 2x y 2y
5 5 18 2x y
−∂ ∂
= ⋅ ⋅ − − ⋅ − − =
∂ ∂
−
= ⋅ − − ⋅ − =
− −
Substituindo pelo ponto, temos:
( )
( )
− −∂
− = = = −
∂ − − −2 2
6.1 6f 22,1
y 15 55 18 2 2 1
Logo, o valor da inclinação da reta tangente é −
2
5
.
Exemplo 2: Encontre a inclinação das retas tangentes às curvas de inter-
secção da superfície ( ) = − −2 2f x,y 36 x 2y com os planos =x 3 e =y 2 , 
no ponto ( )P 3,2,19 .
Solução:
A inclinação no ponto ( )P 3,2,19 da reta tangente no plano =x 3 , é 
dada por
( ) ( )∂′ = β =
∂ 0 0
fz tg x ,y
y
Sabemos que 
∂
=−
∂
f 4y
y
.
Substituindo pelo ponto, temos: ( )∂ = − = −
∂
f 3,2 4.2 8
y
. Logo, o valor 
da inclinação da reta tangente com relação ao plano =x 3 é −8 .
A figura 4 ilustra esta primeira parte do exemplo.
– 58 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 4: Intersecção de ( ) 2 2f x, y 36 x 2y= − − com os planos x 3= e y 2=
Figura 12: Representação da interseção da função ( ) = − −2 2f x,y 36 x 2y 
com o plano =x 3 .
Já a inclinação no ponto ( )P 3,2,19 da reta tangente no plano =y 2 , 
é dada por
( ) ( )∂′ = α =
∂ 0 0
fz tg x ,y
x
Sabemos que 
f 2x
x
∂
=−
∂
.
Substituindo pelo ponto, temos: ( )f 3,2 2.3 6
y
∂
= − = −
∂
. Logo, o valor 
da inclinação da reta tangente com relação ao plano y 2= é 6− .
5
Derivadas parciais de 
funções com mais 
de duas variáveis
Considere f uma função de três variáveis (x, y, z). A derivada 
parcial de 1ª ordem de f com relação a x, é uma função tal que, para 
qualquer ponto (x, y, z) do domínio de f, é definida por:
( )
x 0
f f (x x,y,z) f (x,y,z)
x,y,z lim
x x∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
, 
desde que exista o limite. 
– 60 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Analogamente, as derivadas parciais de primeira ordemde f com relação 
a y e a z, é uma função tal que, para qualquer ponto (x, y, z) do domínio de f, 
são definidas respectivamente por:
( )
y 0
f f (x,y y,z) f (x,y,z)
x,y,z lim
y y∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
( )
z 0
f f (x,y,z z) f (x,y,z)
x,y,z lim
z z∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
desde os limites existam.
Generalizando, consideramos f, como uma função de n-variáveis 
( )1 2 nx ,x ,..., x . As derivadas parciais de 1ª ordem de f, são funções tais que, 
para qualquer ponto ( )1 2 nx ,x ,..., x do domínio de f, são definidas por:
( )
1
1 1 2 n 1 2 n
1 2 n x 0
1 1
f f (x x ,x ,..., x ) f (x ,x ,..., x )
x ,x ,..., x lim
x x∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
( )
( )
2
n
1 2 2 n 1 2 n
1 2 n x 0
2 2
1 2 n n 1 2 n
1 2 n x 0
n n
f f (x ,x x ,..., x ) f (x ,x ,..., x )
x ,x ,..., x lim
x x
f f (x ,x ,..., x x ) f (x ,x ,..., x )
x ,x ,..., x lim
x x
∆ →
∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
� �
� �
5.1 Exemplos
Exemplo 1: Calcule as derivadas parciais de 
( ) ( )2 xtf x,y,z,t,w xy z sen tw z= + − ε :
– 61 –
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis
Solução:
A função f possui cinco variáveis, por isso teremos cinco derivadas par-
ciais de primeira ordem. São elas:
Derivada parcial com relação a x:
( ) ( )2 xt 2 xt
f xt
x,y,z,t,w y z z . y z zt
x x
∂ ∂
= − ε = − ε
∂ ∂
Derivada parcial com relação a y:
( )
f
x,y,z,t,w 2xyz
y
∂
=
∂
Derivada parcial com relação a z:
( ) 2 xt
f
x,y,z,t,w xy
z
∂
= − ε
∂
Derivada parcial com relação a t:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xt xt
f tw xt
x,y,z,t,w cos tw . z . w.cos tw zx
t t t
∂ ∂ ∂
= − ε = − ε
∂ ∂ ∂
Derivada parcial com relação a w:
( ) ( ) ( ) ( )
f tw
x,y,z,t,w cos tw . t.cos tw
w w
∂ ∂
= =
∂ ∂
Exemplo 2: Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem da 
função
( ) ( )2 2 5f x,y,z,w ln x y z z 3w x zw4= + − + +
Solução:
A função f possui quatro variáveis, assim teremos quatro derivadas par-
ciais de primeira ordem. São elas:
– 62 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Derivada parcial com relação a x:
5
2
f 1 8xzw
x x y z z 3w
∂
= +
∂ + − +
Derivada parcial com relação a y:
2
2yzf
y x y z z 3w
∂
=
∂ + − +
Derivada parcial com relação a z:
2
2 5
2
yf 4x w
z x y z z 3w
∂
= +
∂ + − +
Derivada parcial com relação a w:
2 4
2
f 3 20x zw
w x y z z 3w
∂
= +
∂ + − +
Exemplo 3: Encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função 
f no ponto (2, –1, 4) 
( ) 2 x.y.zf x,y,z xyz .e=
Solução:
Calculando as derivadas parciais, tem-se
Derivada parcial com relação a x:
2 x.y.z 2 3 x.y.zf yz .e xy z .e
x
∂
= +
∂
Substituindo pelo ponto (2, –1, 4)
( ) ( ) ( ) ( )22. 1 .4 2. 1 .42 3 8f 1 .4 .e 2. 1 .4 .e 112e
x
− − −∂ = − + − =
∂
– 63 –
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis
Derivada parcial com relação a y:
2 x.y.z 2 3 x.y.zf xz .e x yz .e
y
∂
= +
∂
Substituindo pelo ponto (2, –1, 4)
( )2 2.( 1).4 2 2.( 1).4 8f 2.4 .e 2 . 1 .4³.e224e
x
− − −∂ = + − = −
∂
Derivada parcial com relação a z:
x.y.z 2 2 x.y.z2xyz.e x²y z .e+
Substituindo pelo ponto (2, –1, 4)
( ) ( )2.( 1).4 2 2.( 1).4 8f 2.2. 1 .4.e 2 . 1 ².4².e 48e
x
− − −∂ = − + − =
∂
5.2 Diferenciabilidade
Sabemos que uma função de uma variável f (x), é dita diferenciável ou 
derivável em um ponto x0, se f (x) for contínua neste ponto, ou seja, o grá-
fico de f (x) é uma curva suave, não possui partes angulosas. Para funções de 
duas variáveis f (x, y), a existência das derivadas parciais não garantem que a 
função seja contínua. Pois, com a existência da 
f
x
∂
∂
 é possível analisar apenas 
o comportamento da função na direção do eixo x; e com a existência da 
f
y
∂
∂
 
conseguimos avaliar o comportamento da função somente no eixo y. Desta 
forma, não é possível garantir o comportamento da função como um todo. 
Para funções de uma variável, sabemos que a existência da derivada em 
um ponto confirma que, nas proximidades deste ponto, o gráfico da função 
fica bem próximo da reta tangente desta função neste ponto. Similarmente, 
vamos utilizar este conceito para entendermos a definição de diferenciabili-
dade para função de mais variáveis.
– 64 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Vamos iniciar relembrando esta proximidade para uma função de única 
variável. Dizemos que uma função f : A ⊂ →R R é derivável no ponto 
0x A∈ , se o limite existe, então
( ) ( ) ( )
0
0
0x x
0
f x f x
lim f x
x x→
−
′=
−
Assim, 
( ) ( ) ( )
0
0
0x x
0
f x f x
lim f x 0
x x→
−
′− =
−
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 0
x x
0
f x f x f x . x x
lim 0
x x→
′− + −   =
−
Com isso, temos que
( ) ( ) ( )0 0 0Y f x f x . x x′= + −
onde y é a reta tangente de f no ponto ( )( )0 0x ,f x e representa um boa apro-
ximação de f no ponto x0, ou seja, a diferença entre f (x) e y, à medida que 
acontece a aproximação de x com x0, se aproxima de zero, rapidamente. 
Com esse conceito, dizemos que a derivada da função f (x) está relacio-
nada com a reta tangente e com o gráfico da função (Figura 13 (a)). Fazendo 
uma analogia com funções de duas variáveis, dizemos que as derivadas par-
ciais estão ligadas ao plano tangente e ao gráfico da função de duas variáveis 
(Figura 13 (b)). Vale ressaltar, que a derivada parcial ( )0 0f x ,y
x
∂
∂
 é o coe-
ficiente angular da reta tangente, pela curva de interseção do plano y = y0 
com a superfície ( )z f x,y= , com relação ao ponto ( )0 0x ,y ; e assim a deri-
vada parcial ( )0 0f x ,y
y
∂
∂
 é o coeficiente angular da reta tangente, pela curva 
de interseção do plano x = x0 com a superfície ( )z f x,y= , com relação ao 
ponto ( )0 0x ,y . Porém, está analogia deve ser melhor observada, pois, como 
– 65 –
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis
já falado, a existência de derivadas parciais não garante a existência do plano 
tangente (este fato, será aprofundado mais adiante). 
Figura 1: Diferencial uma variável.
f (x)
f (x)
y
y
f (x) – y
f (x0)
y(x)
x0 x
x
Figura 2: Diferencial de uma função de duas variáveis.
z
xx0
y0
y
z = f (x, y)
f (x0, y0)
– 66 –
Cálculo Diferencial e Integral II
5.2.1 Definição
A função ( )f x,y é diferenciável no ponto ( )0 0x ,y , se as derivadas par-
ciais neste ponto existem e se
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
x,y x ,y
0 0
f ff x,y f x ,y x ,y x x x ,y y y
x y
lim 0
x,y x ,y→
 ∂ ∂
− + − + − ∂ ∂  =
−
onde o ( ) ( )0 0x,y x ,y− representa a distância entre os pontos ( )x,y e 
( )0 0x ,y , que é dada por ( ) ( )
2 2
0 0x x y y− + − .
Podemos dizer que fé diferenciável em um conjunto ( )A D f⊂ , somente 
se f for diferenciável em todos os pontos do conjunto A.
Observações:
i. Se f não é diferenciável, então uma das derivadas parciais não existe 
no ponto ( )0 0x ,y .
ii. A função f só será diferenciável em ( )0 0x ,y , se ambas as deriva-
das parciais existirem no ponto ( )0 0x ,y e se o limite da Definição 
5.2.1 for igual a zero.
iii. Se ambas as derivadas parciais existirem no ponto ( )0 0x ,y , mas se 
o limite da Definição 5.2.1 for diferente de zero, então a função f 
não será diferenciável em ( )0 0x ,y .
iv. f não será diferenciável no ponto ( )0 0x ,y , se f não for contínua no 
ponto ( )0 0x ,y .
5.2.2 Proposição 1
Sendo A um conjunto aberto com ( )0 0x ,y A∈ e uma função 2f :A ⊂ R . 
Dizemos que se f for diferenciável em ( )0 0x ,y , então f será contínua em ( )0 0x ,y .
– 67 –
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis
5.2.2.1 Exemplos
Exemplo 1: Mostre que a função ( ) 2 2f x,y x y= + é diferenciável no 
2R , usando a Definição 5.2.1:
Solução: 
Primeiro devemos verificar se a função possui derivadas parciais em 
todos os pontos ( )0 0x ,y pertencentes à 2R . Com isso
( )0 0 0
f x ,y 2x
x
∂
=
∂ 
e ( )0 0 0
f x ,y 2y
y
∂
=
∂
Agora utilizando a Definição 5.2.1, mostraremos que o limite para qual-
quer ponto ( ) 20 0x ,y ∈R é igual a zero.
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
x,y x ,y
0 0
f ff x,y f x ,y x ,y x x x ,y y y
x y
lim 0
x,y x ,y→
 ∂ ∂
− + − + − ∂ ∂  =
−
( ) ( )
[ ] [ ]
( ) ( )0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2x,y x ,y
0 0
x y x y 2x x x 2y y y
lim 0
x x y y→
 + − + + − + −  =
− + −
( ) ( ) ( ) ( )0 0
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2x,y x ,y
0 0
x y x y 2x x 2x 2y y 2y
lim 0
x x y y→
+ − − − + − +
=
− + −
( ) ( ) ( ) ( )0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2x,y x ,y
0 0
x y x y 2x x 2y y
lim 0
x x y y→
+ + + − −
=
− + −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )0 0
2 2
0 0
2 2x,y x ,y
0 0
x x y y
lim 0
x x y y→
− + −
=
− + −
– 68 –
Cálculo Diferencial e Integral II
( ) ( )
( ) ( )
0 0
2 2
0 0x,y x ,y
lim x x y y 0
→
− + − =
0 0=
Exemplo 2: Verifique se a função ( )f x,y abaixo é diferenciável na ori-
gem:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 4
x y
, se x,y 0,0
f x,y x y
0 , se x,y 0,0

≠
= +
 ≠
Solução: 
A Proposição 1 diz que se f não for contínua no ponto, f não será dife-
renciável nesse ponto. Para analisar a continuidade da função vamos utilizar 
a regra dos dois caminhos para o cálculo do limite.
 2 Caminho y = x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
2 2 3
2 4 2 4x,y x ,y x,x 0,0 x,x 0,0 2 2
x y x .x xlim lim lim
x y x x x 1 x→ → →
= = =
+ + +
( ) ( )
2 2
2 2x,x 0,0
x 0 0lim 0
11 x 1 0→
= = = =
+ +
 2 Caminho y x=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
2 2
2 4 4 2x,y x ,y x, x 0,0 x, x 0,02
x y x . x xlim lim lim
x y 2xx x
→ → →
= = =
+ +
( ) ( ) ( ) ( )x, x 0,0 x, x 0,0
x 1 1lim lim
x 2 2 2→ →
= = =
Como foram encontrados limites diferentes, pela regra dos dois cami-
nhos podemos dizer que o limite não existe. Logo, concluímos que a função 
f não é contínua, e por isso, não é diferenciável na origem.
– 69 –
Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis
5.2.3 Proposição 2
Uma Condição Suficiente Para Diferenciabilidade
Seja um conjunto aberto A, com 2A ⊂ R , com ( )0 0x ,y A∈ e uma 
função f :A ⊂ R . Se as derivadas parciais no ponto ( )0 0x ,y existem e são 
contínuas, então f é diferenciável no ponto ( )0 0x ,y .
5.2.4 Exemplos
Exemplo 1: Utilize a Proposição 2 para provar que as funções são dife-
renciáveis no 2R .
a) ( ) ( )2f x,y 3x y sen 2x y= − + +
b) ( ) 5 3 2 32f x,y 2x x y y
3
= − +
Solução: 
Utilizando a Proposição 2, devemos mostrar que as funções possuem 
derivadas parciais para todos os pontos em 2R , assim
a) As derivadas parciais são:
( ) ( ) ( ) ( )
f x,y 2x y
6xy cos 2x y . 6xy 2cos 2x y
x x
∂ ∂ +
= − + + = − + +
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )2 2
f x,y 2x y
3x cos 2x y . 3x cos 2x y
y y
∂ ∂ +
= − + + = − + +
∂ ∂
Como as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos em 
2R , conclui-se que a função é diferenciável.
– 70 –
Cálculo Diferencial e Integral II
b) As derivadas parciais são:
( ) 4 2 2f x,y 10x 3x y
x
∂
= −
∂
( ) 3 3f x,y 2x y 2y
y
∂
= − +
∂
As derivadas parciais são contínuas em todos os pontos em 2R , assim, 
a função é dita diferenciável.
Este conceito pode ser estendido para todas as funções polinomiais. 
Generalizando, dizemos que as funçõespolinomiais são diferenciáveis no 
2R  , pois suas respectivas derivadas também são funções polinomiais contí-
nuas em todo 2R .
Exemplo 2: Mostre que a função ( )f x,y é diferenciável em todos os 
pontos em 2R {(0,0)}− .
( )
2
2 2
2x y
f x,y
x y
=
+
Solução: 
Primeiramente devemos verificar se a função possui derivadas parciais 
em todos os pontos do 2R {(0,0)}− .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 3
2 22 2 2 2
4xy x y 2x y. 2xf x,y 4xy
x x y x y
+ −∂
= =
∂ + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 4
2 22 2 2 2
4x x y 2x y. 2yf x,y 2x
y x y x y
+ −∂
= =
∂ + +
Com isso, verificamos que as derivadas parciais atendem a todos os 
pontos do 2R , exceto a origem. Assim, a função ( )f x,y é diferenciável em
2R {(0,0)}− .
6
Plano Tangente e 
Vetor Gradiente 
Assim como observado no conceito de diferenciabilidade, o 
gráfico de uma função de duas variáveis pode ser entendido como 
uma superfície. Se focarmos um ponto dessa superfície e aumentar-
mos o zoom sucessivamente dessa região que contém o ponto, vere-
mos que, a cada aumento, a superfície ficará mais parecida com um 
plano, o plano tangente. Com isso, podemos aproximar a função 
na região envolta desse ponto por funções lineares de duas variáveis.
– 72 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Na Seção 4.3 de Interpretação Geométrica de Derivadas Parciais de 
Duas Variáveis, vimos as curvas C1 e C2 com suas respectivas retas tangentes 
T1 e T2 no ponto P. Então, dizemos que o plano tangente à superfície S no 
ponto P, é um plano onde as duas retas tangentes T1 e T2 estão contidas.
6.1 Definição
Supondo que a função f seja diferenciável no ponto ( )0 0x ,y . A equa-
ção do plano tangente à superfície (gráfico) de ( )z f x,y= no ponto 
( )( )0 0 0 0P x ,y ,f x ,y é expressa por:
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
Analisando essa definição, percebe-se que o plano tangente existe 
quando f é diferenciável no ponto P . No entanto, se f não for diferenciável, 
mas se as suas derivadas parciais existirem no ponto P, existirá um plano 
que não é tangente à superfície ( )z f x,y= . Uma implicação dessa defini-
ção é que, se ( )f x,y é diferenciável em ( )0 0x ,y , então o plano tangente 
definido acima contém todas as retas tangentes referentes da função f no 
ponto P.
Esta Definição pode ser reescrita usando produto escalar, assim o plano 
tangente de uma superfície ( )z f x,y= em um ponto ( )( )0 0 0 0P x ,y ,f x ,y , 
será:
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y , x ,y . x x ,y y
x y
 ∂ ∂
− = − − ∂ ∂ 
ou
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0
f fx ,y , x ,y , 1 . x x ,y y ,z z
x y
 ∂ ∂
− − − − ∂ ∂ 
– 73 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
6.1.1 Exemplos
Exemplo 1: Determine, se existir, o plano tangente à superfície S da 
função abaixo, nos pontos:
2 2z x 2y= − −
a) ( )1P 2,1, 6−
b) ( )2P 3, 2, 17− −
Solução: 
a) Primeiramente devemos verificar se a função é diferenciável em 
todo 2R , para isso podemos calcular suas derivadas parciais
( )f x,y
2x
x
∂
= −
∂
 e ( )f x,y 4y
y
∂
= −
∂
Como as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos do 2R  , 
a função é diferenciável. Substituindo o ponto ( )1P 2,1, 6− , temos
( )f x,y
2.2 4
x
∂
= − = −
∂
 e ( )f x,y 4.1 4
y
∂
= − = −
∂
Agora, utilizando a equação de plano tangente dado pela Definição 
7.1, encontra-se
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
( ) ( )( ) ( )( )− − = − − + − −z 6 4 x 2 4 y 1
z 4x 4y 6= − − +
Para melhor visualização, a Figura 1 mostra o gráfico da função 
e do plano tangente. A cada imagem gerada acontece um zoom 
na imagem próximo do ponto, para ilustrar que bem próximo do 
ponto, o gráfico da função é bem parecido com o plano tangente.
– 74 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Figura 1: Representação da aproximação do plano tangente à superfície.
– 75 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
b) Como as derivadas parciais já foram calculadas e são contínuas em 
todos os pontos do 2R , a função é diferenciável. Substituindo o 
ponto ( )2P 3, 2, 17− − , temos
( )f x,y
2x
x
∂
= −
∂
 e ( )f x,y 4y
y
∂
= −
∂
– 76 –
Cálculo Diferencial e Integral II
( )f x,y
2.3 6
x
∂
= − = −
∂
 e 
( ) ( ) ( )f x,y 4 . 2 8
y
∂
= − − =
∂
Agora, utilizando a equação de plano tangente dado pela Definição 
7.1, encontra-se
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
( ) ( )( ) ( ) ( )( )z 17 6 x 3 8 y 2− − = − − + − −
z 6x 8y 17= − + +
Assim como na atividade (a), a Figura 2 mostra o gráfico da função 
e do plano tangente. A cada imagem gerada acontece um zoom 
na imagem próximo do ponto, para ilustrar que bem próximo do 
ponto, o gráfico da função é bem parecido com o plano tangente.
Figura 2: Representação da aproximação do plano tangente à superfície.
– 77 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
– 78 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Exemplo 2: Encontre se existir o plano tangente da superfície 
( )2 2z x y cos xy= + + 
nos pontos ( )1P 0,0,0 e 2
299P 3,4,
50
 
 
 
.
Solução: 
Primeiramente devemos verificar se a função é diferenciável em todo 
2R , para isso podemos calcular suas derivadas parciais
( ) ( )
2 2
z x,y x y.sen xy
x x y
∂
= −
∂ +
( ) ( )
2 2
z x,y y
x.sen xy
y x y
∂
= −
∂ +
– 79 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
Percebe-se que a função ( )2 2z x y cos xy= + + não tem derivadas 
parciais em (0, 0), portanto, não é diferenciável neste ponto e, consequente-
mente, não tem plano tangente em ( )1P 0,0,0 . 
Observando as derivadas parciais, nota-se que, para qualquer ponto 
diferente da origem, a função ( )2 2z x y cos xy= + + é diferenciável, ou 
seja, em ( )2 0,0−R . Então, calculando o plano tangente para o segundo 
ponto 2
299P 3,4,
50
 
 
 
 do exercício, tem-se que:
( ) ( )
2 2
z 299 3 33,4, 4.sen 3.4 4.sen 12
x 50 53 4
∂   = − = − ∂   +
( ) ( )
2 2
z 299 4 43,4, 3.sen 3.4 3.sen 12
y 50 53 4
∂   = − = − ∂   +
Agora, utilizando a equação de plano tangente dado pela Definição 7.1, 
encontra-se
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )299 3 4z 4.sen 12 x 3 3.sen 12 y 4
50 5 5
   − = − − + − −   
   
( ) ( )3 4 49z 4sen 12 x 3sen 12 y
5 5 50
   = − + − +   
   
Exemplo 3: Encontre o plano tangente do gráfico ( ) 2f x,y 6xy x= − , 
que seja paralelo ao plano z x 4y= − .
– 80 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução: 
Para que o plano tangente 
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
seja paralelo com o plano z x 4y= − é necessário que ( )0 0
f x ,y 1
x
∂
=
∂
 e 
( )0 0
f x ,y 4
y
∂
= −
∂
. 
As derivadas parciais são: 
( )f x,y 6y 2x
x
∂
= −
∂
 e ( )f x,y 6x
y
∂
=
∂
Com isso, precisamos encontrar valores para x0 e y0, tais que
0 0 06y 2x 1 e 6x 4− = = −
Resolvendo este sistema, encontramos 0
2x
3
= − e 0
1y
18
= − . Calcu-
lando o plano tangente no ponto 
2 1,
3 18
 − − 
 
 encontrado, temos
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
2 2 11. 4.
9 3 18
z x y        − − = − − − − −                
4z x 4y
9
= − +
Exemplo 4: Encontre se existir o plano tangente do gráfico da função 
( ) xf x,y ye 2x= − + , no ponto 86P 1,2,
25
 − 
 
.
– 81 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
Solução:
Para verificar se a função é diferenciável no ponto 
86P 1,2,
25
 − 
 
, calcu-
lamos as derivadas parciais no ponto.
( ) xf x,y ye 2
x
∂
= − +
∂
 e ( ) xf x,y e
y
∂
= −
∂
( ) ( )1f 1,2 2.e 2 2 e 1
x
∂
= − + = − +
∂
 e 
( ) 1f 1,2 e e
y
∂
= − = −
∂
Utilizando a equação de plano tangente dado pela Definição 7.1, tem-se
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂
− = − + −
∂ ∂
( ) ( ) ( )( )86z 2. e 1 . x 1 e y 2
25
 − − = − + − + − − 
 
( ) 136z 2e 2 x ey 4e
25
= − + − + −
( ) ( ) 136z e 1 2x y 4 e
25
= − + + − + −
6.2 Vetor Gradiente
Observamos que a segunda equação do plano tangente é a equaçãodo 
plano tangente escrito como um produto escalar, onde aparece um vetor 
constituído pelas derivadas parciais de 1ª ordem na reescrita do plano tan-
gente, o vetor:
( ) ( )0 0 0 0
f fx ,y , x ,y
x y
 ∂ ∂
 ∂ ∂ 
Esse vetor é definido como Vetor Gradiente.
– 82 –
Cálculo Diferencial e Integral II
6.2.1 Definição 
Considere uma função de duas variáveis ( )f x,y , que possui derivadas 
parciais de 1ª ordem no ponto ( )0 0x ,y . Chamamos de gradiente de f no 
ponto ( )0 0x ,y , o vetor definido como:
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0
f ff x ,y x ,y , x ,y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
A interpretação geométrica do ( )0 0f x ,y∇ é um vetor aplicado direta-
mente no ponto ( )0 0x ,y .
Analogamente, a definição de gradiente para qualquer ponto qualquer 
( )x,y , o vetor gradiente é expresso por:
( ) ( ) ( )f ff x,y x,y , x,y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
O símbolo ∇ , lê-se “del” ou “nabla”, ou também o “gradiente de f no 
ponto ( )x,y ”, e possui as seguintes notações na literatura:
( )f x,y∇ ou ( )grad f x,y
Estendendo o conceito de vetor gradiente para funções três variáveis 
( )f x,y,z , tem-se a seguinte formulação:
( ) ( ) ( ) ( )f f ff x,y,z x,y,z , x,y,z , x,y,z
x y z
 ∂ ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ ∂ 
Com isso, para funções com n variáveis ( )f x,y,...,w , tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )f f ff x,y,...,w x,y,...,w , x,y,...,w ,........, x,y,...,w
x y w
 ∂ ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ ∂ 
– 83 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
Ou seja, um vetor composto por todas as derivadas parciais de 1ª ordem 
da função.
6.2.1.1 Exemplos
Exemplo 1: Encontre o vetor gradiente da função ( ) ( )2f x,y x sen x y= + 
o ponto ( )1,0 .
Solução: 
As derivadas parciais da função no ponto ( )1,0 são tais que
( ) ( )f x,y 2x x.sen x y
x
∂
= +
∂ 
e 
( ) ( )f x,y y.sen x y
y
∂
=
∂
Assim, 
( ) ( )
f 1,0
2.1 1.sen 1.0 2
x
∂
= + =
∂ 
e 
( ) ( )
f 1,0
0.sen 1.0 0
y
∂
= =
∂
O gradiente no ponto ( )1,0 é escrito como
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0
f ff x ,y x ,y , x ,y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
( ) ( ) ( )f ff 1,0 1,0 , 1,0
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
( ) ( )f 1,0 2,0 2 i∇ = =
�
Exemplo 2: Encontre o vetor gradiente das funções
a) ( ) x 3f x,y e 3y x y= − +
b) ( ) 2 2f x,y,z xy zx y
3
= + +
– 84 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução: 
a) As derivadas parciais da função de duas variáveis são
( ) x 3f x,y e 3y
x
∂
= −
∂
 e 
( ) 2f x,y 19y x
y 2 y
∂
= − +
∂
Para y 0∀ > , assim, o gradiente de f é expresso por:
( ) ( ) ( )f ff x,y x,y , x,y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
( ) x 3 2 1f x,y e 3y , 9y x
2 y
 
∇ = − − +  
 
b) As derivadas parciais da função de três variáveis são
( ) 2f x,y,z 2y z
x 3
∂
= +
∂
, 
( )f x,y,z
2y 1
y
∂
= +
∂
 e 
( )f x,y,z 2 x
z 3
∂
=
∂
Assim, o gradiente de f é expresso por:
( ) ( ) ( ) ( )f f ff x,y,z x,y,z , x,y,z , x,y,z
x y z
 ∂ ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ ∂ 
( ) 2 2 2f x,y,z y z,2y 1, x
3 3
 ∇ = + + 
 
6.2.2 Proposição
Esta proposição mostra que os vetores gradientes da função são perpen-
diculares às curvas de nível, referentesà mesma função.
Seja ( )f x,y uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem 
contínuas na vizinhança de um ponto ( )0 0P x ,y e considerando que 
( )0 0f x ,y 0∇ ≠ , tem-se que ( )0 0f x ,y∇ é perpendicular à curva de nível 
– 85 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
que passa sob o ponto ( )0 0P x ,y , e também perpendicular a reta tangente à 
curva de nível sob o ponto ( )0 0P x ,y . A Figura 3 ilustra esta proposição o 
vetor gradiente perpendicular à reta tangente.
Figura 3: Vetor gradiente perpendicular à reta tangente.
( )0 0f x ,y∇
Reta Tangente
Curva de nível
y
x
( )0 0P x ,y
Fonte: o autor (2015), adaptado de Stewart (2007).
6.2.2.1 Exemplos
Exemplo 1 (Bianchini): Ilustre o vetor gradiente ( )0 0f x ,y∇ perpendi-
cular a curva de nível da função ( )f x,y xy= que passa pelo ponto 12,
2
 
 
 
.
Solução: 
Primeiro calcula-se as derivadas parciais no ponto 12,
2
 
 
 
 e depois o 
vetor gradiente referente a este ponto.
– 86 –
Cálculo Diferencial e Integral II
( )f x,y
y
x
∂
=
∂
 e 
( )f x,y
x
y
∂
=
∂
( )f x,y 1
x 2
∂
=
∂ 
e 
( )f x,y
2
y
∂
=
∂
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0
f ff x ,y x ,y , x ,y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
1 1f 2, ,2
2 2
   ∇ =   
   
A Figura 4 (a) ilustra o gráfico da função e a Figura 4 (b) ilustra o vetor 
gradiente à curva de nível no ponto 
12,
2
 
 
 
.
Figura 4(a): Gráfico da função ( )f x, y xy= .
– 87 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
Figura 4(b): Curvas de nível de ( )f x, y xy= .
–1
–1
0
y
1
1
x
–2
–2
2
2
–3
–3
3
3
1 1f 2, ,2
2 2
   ∇ =   
   
6.3 Vetor Gradiente e Reta Normal
Da definição de plano tangente escrita na forma de um produto escalar, 
temos que:
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0
f fx ,y , x ,y , 1 . x x ,y y ,z z
x y
 ∂ ∂
− − − − ∂ ∂ 
Com isso, dizemos que o plano tangente em ( )0 0 0x ,y ,z é perpendicu-
lar á direção do vetor
( ) ( )0 0 0 0
f fx ,y , x ,y , 1
x y
 ∂ ∂
− ∂ ∂ 
.
– 88 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Denominamos de Reta Normal ao gráfico da função no ponto ( )0 0 0x ,y ,z  , 
a reta paralela ao vetor ( ) ( )0 0 0 0
f fx ,y , x ,y , 1
x y
 ∂ ∂
− ∂ ∂ 
 e que passa pelo ponto 
( )0 0 0x ,y ,z . Definida como:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0
f fx,y,z x ,y ,z x ,y , x ,y , 1
x y
 ∂ ∂
= + λ − ∂ ∂ 
onde λ∈R . A Figura 5 representa a Reta Normal Perpendicular ao Plano 
Tangente.
Figura 5: Representação da reta normal ao plano tangente do gráfico.
Reta Normal
Plano tangente
z
y
x
S
6.3.1 Exemplo
Exemplo 1: Considerando a função ( ) 2f x,y xy 4y 3= + − . Encontre a 
Reta Normal e o Plano Tangente no ponto ( )1,3,0− .
– 89 –
Plano Tangente e Vetor Gradiente 
Solução:
O plano tangente pode ser obtido por meio da equação
( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
f fz z x ,y x x x ,y y y
x y
∂ ∂− = − + −
∂ ∂
Calculando as derivadas parciais no ponto ( )1,3,0−
( ) 2f x,y y
x
∂ =
∂
 e ( ) 2f x,y 3 9
x
∂ = =
∂
( )f x,y 2xy 4
y
∂ = +
∂
 e ( ) ( )f x,y 2. 1 .3 4 2
y
∂ = − + = −
∂
Substituindo as derivadas e os valores do ponto na equação do pano 
tangente, tem-se
( )( ) ( )( )z 0 9 x 1 2 y 3− = − − + − −
z 9x 2y 15= − +
A reta normal é dada pela equação
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0
f fx,y,z x ,y ,z x ,y , x ,y , 1
x y
 ∂ ∂= + λ − ∂ ∂ 
( ) ( ) ( )x,y,z 1,3,0 9, 2, 1= − + λ − −
Exemplo 2: Determine o plano tangente e a reta normal de 
( ) 2 2f x,y 3x 2y= − + , no ponto (2,1,–10).
Solução:
O plano tangente pode ser obtido por meio da equação
z z f
x
x y x x f
y
x y y y− = ∂
∂
( ) −( ) + ∂
∂
( ) −( )0 0 0 0 0 0 0, ,
– 90 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Calculando as derivadas parciais no ponto (2,1,–10).
∂
∂
( ) = −f
x
x y x, 6
 
e 
∂
∂
( ) = − = −f
x
x y
0 0
6 2 12, .
∂
∂
( ) =f
y
x y y, 4
 
e 
∂
∂
( ) = =f
y
x y
0 0
4 1 4, .
Substituindo as derivadas e os valores do ponto na equação da tangente, 
tem-se:
z x y− − = − −( ) + −( )( )10 12 2 4 1
z x y= − + +12 4 10
A reta normal é dada pela equação
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0
f fx,y,z x ,y ,z x ,y , x ,y , 1
x y
 ∂ ∂= + λ − ∂ ∂ 
x y z, , , , , ,( ) = −( ) + − −( )2 1 10 12 4 1λ
7
Diferencial
Considerando uma função de uma única variável ( )y f x=
, dizemos que o diferencial é aproximadamente o acréscimo ∆y 
da variável y. Assim, quando consideramos uma função de duas 
variáveis ( )z f x,y= , dizemos que o diferencial é a melhor apro-
ximação do acréscimo z∆ da variável dependente z, encontrada 
por uma função. 
– 92 –
Cálculo Diferencial e Integral II
7.1 Definição
Seja z f (x,y)= uma função real de duas variáveis diferenciável no ponto 
0 0(x ,y ) . A diferencial da função f no ponto 0 0(x ,y ) , denotada por dz, é 
definida pela seguinte expressão:
0 0 0 0 0 0
f fdz (x ,y ) [x x ] (x ,y ) [y y ]
x y
∂ ∂
= ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂
Alternativamente, a diferencial da função f no ponto 0 0(x ,y ) pode ser 
denotada como:
0 0 0 0
f fdz (x ,y ) a (x ,y ) b
x y
∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂
Onde 0a x x= − e 0b y y= − .
Observandoa equação do plano tangente à superfície z f (x,y)= , é pos-
sível concluir que o cálculo da diferencial fornece uma aproximação do incre-
mento ∆z que a função sofre quando é feita a linearização de f em no ponto 
0 0(x ,y ) , isto é, quando é feita a aproximação do valor da função no ponto 
0 0(x ,y ) por meio de um plano tangente. Assim, podemos dizer que:
0 0 0 0 0 0 0 0
f fz f (x,y) f (x ,y ) (x ,y ) [x x ] (x ,y ) [y y ]
x y
∂ ∂
∆ = − ≅ ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂
A expressão 0 0 0 0 0 0
f f(x ,y ) [x x ] (x ,y ) [y y ]
x y
∂ ∂
⋅ − + ⋅ −
∂ ∂
 também é dita 
diferencial de z em relação aos incrementos 0xxx −=∆ e 0yyy −=∆  . 
Uma vez que, em uma função real de duas variáveis podemos escrever as 
diferenciais das variáveis x e y como dx x= ∆ e dy y= ∆ , a diferencial de f em 
(x,y) com relação aos incrementos ∆x e ∆y, chamada de diferencial total de 
f em (x,y) , denotada por dz (ou também por df ), é dada por:
z zdz df dx dy
x y
∂ ∂
= = +
∂ ∂
– 93 –
Diferencial
7.1.1 Exemplo
Exemplo 1: Seja f (x,y) x² 6xy 2y²= − − + . Calcule o diferencial dz e 
determine o incremento ∆z da função quando x varia de 2 para 2, 07 e y varia 
de 4 para 3, 94.
Solução:
Para calcular o diferencial dz da função, inicialmente é necessário deter-
minar as derivadas parciais de f no ponto (2, 4):
f f(x,y) 2x 6y (2,4) 2 2 6 4 28
x x
∂ ∂
= − − ⇒ = − ⋅ − ⋅ = −
∂ ∂
f f(x,y) 6x 4y (2,4) 6 2 4 4 4
y y
∂ ∂
= − + ⇒ = − ⋅ + ⋅ =
∂ ∂
Desse modo, a diferencial de f quando (x,y) passa de (2, 4) para (2, 
07; 3, 94) é:
f fdz (2,4) [2,07 2] (2,4) [3,94 4] 2,2
x y
∂ ∂
= ⋅ − + ⋅ − = −
∂ ∂
Já o incremento ∆z, que a função sofre quando (x,y) passa de (2, 4) 
para (2, 07; 3, 94), é:
z f (2,07;3,94) f (2,4) 22,1725 ( 20) 2.1725∆ = − = − − − = −
Como a diferencial dz fornece uma aproximação do incremento ∆z 
quando x e y variam, respectivamente, de 2 para 2, 07 e de 4 para 3, 
94, podemos concluir que o erro nessa aproximação, em módulo, é de 
0275,0 .
Exemplo 2: Um triângulo retângulo tem medidas de seus catetos iguais 
a 5 cm e 17 cm. Utilizando diferenciais, determine uma aproximação para 
a variação da área desse triângulo, se suas medidas variam para 4, 8 cm e 
17, 7 cm.
– 94 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução:
A área de um triângulo retângulo cujos catetos medem x e y cm é dada 
pela seguinte função de duas variáveis:
x y
A(x,y)
2
⋅
=
x
y
Para
x 5cm= e dx 4,8 5 0,2cm= − = −
y 17cm= e dy 17,7 17 0,7cm= − =
Tem-se:
y xdA dx dy
2 2
= ⋅ + ⋅
17 5dA ( 0,2) 0,7
2 2
= ⋅ − + ⋅
dA 0,05cm²=
Assim, o erro aproximado que podemos obter no cálculo da área desse 
triângulo retângulo é de 0,05 cm².
– 95 –
Diferencial
Exemplo 3: Calcule a diferencial total da função f (x,y) sen(xy) cos(xy)= +  .
Solução:
Inicialmente, devemos calcular as derivadas parciais de primeira ordem 
da função f:
f (x,y) y cos(xy) y sen(xy)
x
∂
= ⋅ − ⋅
∂
f (x,y) x cos(xy) x sen(xy)
y
∂
= ⋅ − ⋅
∂
Logo, a diferencial total é:
df (y cos(xy) y sen(xy))dx (x cos(xy) x sen(xy))dy= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
7.2 Definição
A diferencial de uma função f de três variáveis no ponto 0 0 0(x ,y ,z ) , é 
definida pela seguinte expressão:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
f f fdf (x ,y ,z ) [x x ] (x ,y ,z ) [y y ] (x ,y ,z ) [z z ]
x y z
∂ ∂ ∂
= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂ ∂
á a diferencial total de f em (x,y,z) , denotada por df, é dada por:
f z fdf dx dy dz
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
7.2.1 Exemplos:
Exemplo 1: Calcule a diferencial da função 4 xyzf (x,y,z) x²y³z 2e= + no 
ponto (3,5,7) .
– 96 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Solução:
Inicialmente, devemos calcular as derivadas parciais de primeira ordem 
da função f:
4 xyzf (x,y,z) 2xy³z 2yze
x
∂
= +
∂
2 4 xyzf (x,y,z) x²3y z 2xze
y
∂
= +
∂
3 xyzf (x,y,z) x²y³4z 2xye
z
∂
= +
∂
Desse modo, tem-se:
f f fdf (3,5,7) [x 3] (3,5,7) [y 5] (3,5,7) [z 7]
x y z
∂ ∂ ∂
= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂ ∂
105 105
105
df (1800750 35e ) (x 3) (1620675 21e )
(y 5) (1543500 15e ) (z 7)
= + ⋅ − + + ⋅
⋅ − + + ⋅ −
A diferencial total de f no ponto )7,5,3( é:
105 105
105
df (3,5,7) (1800750 35e ) dx (1620675 21e )
dy (1543500 15e ) dz
= + ⋅ + + ⋅
⋅ + + ⋅
Exemplo 2: Uma caixa com formato de prisma retangular regular tem 
dimensões de 30 cm, 40 cm e 50 cm. Estas medidas podem ter um acréscimo 
de, no máximo, 0,-015 cm. Utilizando diferencial, calcule o erro aproximado 
quando calculamos o volume da caixa com as dimensões dadas.
Solução:
O volume de um prisma retangular regular é dado por uma função de 
três variáveis:
V(x,y,z) x y z= ⋅ ⋅
– 97 –
Diferencial
x
y
z
A diferencial fornece uma aproximação da variação do volume da caixa 
devido aos acréscimos nas dimensões. Temos:
V V VdV dx dy dz
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
Para
X = 30 cm e dx = 30, 15 – 30 = 0, 015 cm
Y = 40 cm e dy = 40, 15 – 40 = 0, 015 cm
Z = 50 cm e dz = 50, 15 – 50 = 0, 015 cm
Tem-se:
dV = yz ⋅ dx + xz ⋅ dy + xy ⋅ dz
dV = 2000 ⋅ 0, 15 + 1500 ⋅ 0, 015 + 1200 ⋅ 0, 015
dV = 2000 ⋅ 0, 015 + 1500 ⋅ 0, 015 + 1200 ⋅ 0, 015
dV = 70, 5 cm3
Assim, o erro aproximado que podemos obter no cálculo desse volume 
é de 70, 5 cm³.
8
Regra da Cadeia
No estudo de funções de uma variável, a Regra da Cadeia 
é utilizada para derivar funções compostas. Ou seja, sendo f e g 
funções diferenciáveis, onde ( )=y f x e ( )=x g t , então y é indire-
tamente diferenciável em t, como segue na expressão abaixo:
=
dy dy dx
dt dx dt 
– 100 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Neste capítulo vamos considerar funções com duas ou mais variáveis, 
para essas funções a Regra da Cadeia possui algumas variações ou formatos 
dependentes da quantidade de variáveis em cada caso. 
8.1 Regra da Cadeia para funções de 
duas variáveis independentes
Neste caso, consideramos uma função
→R R2g :
( )=z f x,y
Tal que cada variável da função z seja função de duas variáveis x e y, com 
( )=x g t e ( )=y h t . Então, de maneira indireta pode-se dizer que z é função 
de t, ( ) ( )( )=z f g t ,h t . Se f for diferenciável, e suas derivadas parciais forem 
contínuas, dizemos que, por meio da Regra da Cadeia conseguimos diferen-
ciar z em função de t.
8.1.1 Definição (Primeiro Caso)
Se ( )=z f x,y possui derivadas parciais de 1ª ordem contínuas e se 
( )=x g t e ( )=y h t forem diferenciáveis em t, então, a função composta 
( ) ( )( )=z f g t ,h t é diferenciável em relação at e:
∂ ∂
= +
∂ ∂
dydz f dx f
dt x dt y dt
Reescrevendo essa expressão da Regra da Cadeia, na forma de um pro-
duto escalar entre dois vetores, temos:
( ) ( )′= ∇ �dz f x,y .g t
dt
com ( ) ( ) ( )( )′ ′ ′=�g t x t ,y t .
– 101 –
Regra da Cadeia
Estendendo este conceito para uma função de três variáveis, conside-
ramos a função ( )=w f x,y,z , que possui as derivadas parciais de 1ª ordem 
contínuas e se ( )=x g t , ( )=y h t e ( )=z m t , diferenciáveis em t. Então, a 
função composta ( ) ( ) ( )( )=z f g t ,h t ,m t é diferenciável em relação a t e:
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
dydw f dx f f dz
dt x dt y dt z dt
Esta formulação é análoga, para funções com mais de três variáveis.
8.1.1.1 Exemplo
Exemplo 1: Se ( ) ( )= +2f x,y x y sen x , ( ) =x t 2t e ( ) = − 3y t t , calcule 
a derivada da função composta ( ) ( )( )=z f x t ,y t com relação a t.
Solução:
∂ ∂
= +
∂ ∂
dydz f dx f
dt x dt y dt
( )( ) ( )= + + −2 2dz y cos x .2 2y. 3 t
dt
( )= + −2 2dz 2y 2cos x 6y t
dt
Substituindo x e y por suas respectivas funções =x 2t e = − 3y t , temos
( ) ( ) ( )= − + − −23 3 2dz 2 t 2cos 2t 6 t t
dt
( )= +6dz 8t 2cos 2t
dt
– 102 –
Cálculo Diferencial e Integral II
Exemplo 2: Considerando a função composta ( ) = +w x,y,z xyz yz , cal-
cule dw
dt
 se ( ) = −2x t t t , ( ) = −2y t t 3 e ( ) = +z t t 1 .
Solução:
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
dydw f dx f f dz
dt x dt y dt z dt
( ) ( ) ( )= − + + + +dw yz. 2t 1 xz z .2t xy y .1
dt
= − + + + +
dw 2tyz yz 2txz 2tz xy y
dt
Substituindo x, y e z por suas respectivas funções = −2x t t , = −2y t 3 
e = +z t 1 , temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= − + − − + + − +
+ + + − − + −
2 2 2
2 2 2
dw 2t. t 3 .