Estatistica 3ª aula

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ESTATÍSTICA
Faculdade Pitágoras 
Estatística Prof. MSc. Ricardo Previdente Martins
Histogram: Dap (cm)
K-S d=,01513, p> .20; Lilliefors p<,15
 Expected Normal
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X <= Category Boundary
0
200
400
600
800
1000
1200
N
o
.
 
o
f
 
o
b
s
.
Organizar e sumarizar dados por meio de métodos
simples.
É também conhecida como análise exploratória dos
dados e utiliza a distribuição da frequência, medidas de
tendência central e de dispersão.
Estatística Descritiva
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DESCRIÇÃO DOS DADOS
O pesquisador passa a conhecer seus dados, 
adquirindo senso crítico sobre eles.
Estatística Descritiva
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Estatística Descritiva
No entanto, à depender da pesquisa científica, esse
tipo de análise é o suficiente para atingir os
objetivos propostos.
Por isso, novamente a destaca-se a importância do
planejamento adequado da pesquisa.
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� Variáveis são trabalhadas por categoria (variáveis
qualitativas), classes ou intervalos (variáveis
quantitativas).
� A separação não é rígida e depende basicamente dos
dados considerados.
Distribuição de Frequências
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Distribuição de Frequências
Exemplo: 
Tabela 1. Dados brutos número de irmãos por aluno
0 1 1 6 3 1 1 0
4 5 1 1 2 2 4 1
3 1 2 1 1 5 5 6
4 1 1 0 4 3 2 2
1 0 2 1 3 0 1 0
N = 40
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Distribuição de Frequências
Exemplo: 
Tabela 1. número de irmãos por aluno (Rol)
N = 40
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0 0 1 1 1 2 3 5
0 1 1 1 2 2 4 5
0 1 1 1 2 3 4 5
0 1 1 1 2 3 4 6
0 1 1 1 2 3 4 6
Distribuição de Frequências
Rol
Essa classificação dos dados proporciona algumas
vantagens concretas com relação à sua forma original:
-é possível visualizar de forma ampla as variações
- os valores extremos são percebidos de imediato
-é possível observar uma tendência de concentração dos
valores na faixa de 1-2.
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Distribuição de Frequências
Rol
Apesar de o rol propiciar ao analista mais informações e 
com menos esforço de concentração do que os dados 
brutos, ainda assim persiste o problema de a análise
ter que se basear nas 40 observações. 
O problema se agravará quando o número de dados for 
muito grande.
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Distribuição de Frequências
> >> Tabela de frequência
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As tabelas de frequências são representações nas
quais os valores se apresentam em correspondência
com suas repetições, evitando-se assim que eles
apareçam mais de uma vez na tabela, como ocorre
com o rol.
Distribuição de frequências de dados 
tabulados não-agrupados em classes
Exemplo 1: número de irmãos – Tabela de Frequência
Tabela 1. Número de irmãos por alunos
Nº irmaos Qtdd alunos 
0 6
1 15
2 6
3 4
4 4
5 3
6 2
Total 40
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Esse tipo de 
apresentação é 
utilizada para 
representar uma 
variável discreta 
(que só assume 
valores pontuais) 
ou descontínua.
Distribuição de frequências de 
dados agrupados em classes
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Nesse tipo de apresentação os valores observados não
mais aparecerão individualmente, mas agrupados em
classes.
Quando a variável objeto do estudo for contínua, será
sempre conveniente agrupar os valores observados em
classes.
Distribuição de Frequências de 
Dados Agrupados e em Classes
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Se, por outro lado, a variável for discreta e o número de
valores representativos dessa variável for muito grande,
recomenda-se o agrupamento dos dados em classes,
evitando com isso grande extensão da tabela,
aparecimento de diversos valores com frequência nula e
impossibilidade de visualização do fenômeno como um
todo.
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Tabela 3. Classes de DAP
Classe DAP fi
6-7 5
7-8 31
8-9 192
9-10 975
10-11 1954
11-12 1956
12-13 1172
13-14 563
14-15 218
15-16 53
16-17 4
17-18 0
Σ 7.123
Exemplo: Observação das classes
diamétrica de florestas de pinus entre
4 a 6 anos de idade.
n = 7.123
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Elementos da Frequências 
a) Frequência Simples Absoluta (fi):
A frequência simples absoluta de uma classe ou de um 
valor individual é o número de observações 
correspondentes a essa classe ou a esse valor.
b) Amplitude Total: (At)
A amplitude total ou intervalo total é a diferença entre o
maior e o menor valor observado da variável em estudo.
Exemplo:
Na tabela 3 a amplitude total é: At = 18 – 6 = 12
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Elementos da Frequências 
c) Classe:
É cada um dos grupos de valores em que se subdivide a
amplitude total do conjunto de valores observados da
variável.
Uma determinada classe pode ser identificada por seus
extremos ou pela ordem em que ela se encontra na
tabela.
Exemplo: Na Tabela 3
6 a 7 ou primeira classe
11 a 12 ou sexta classe
O número de classes em uma distribuição de frequências, 
é representado por “k”.
REGRA DE STURGES para determinação do número de 
classes:
Essa regra estabelece que o número de classes é igual a:
k = 1 + 3,3 log10 n
onde k = número de classes e n = nº total de observações
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Elementos da Frequências 
Exemplos:
i) Se o número de observações for 500:
n = 500
k = 1 + 3,3 log10(500) = 1 + 3,3(2,699) = 9,907
k = 9,907 ou arredondando k=10
ii) Se n = 50:
k = 1 + 3,3log10(50) = 1 + 3,3(1,699) = 6,607
k = 7
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Elementos da Frequências 
d) Limites de Classe:Os limites de classes são seus valores extremos. A
segunda classe do exemplo da tabela 3 tem como
limites os valores 6 e 7.
O valor 6 é denominado limite inferior, enquanto o
valor 7 é denominado limite superior.
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Elementos da Frequências 
e) Amplitude do intervalo de Classe (h):
É o comprimento da classe, sendo geralmente 
definida como a diferença entre os limites 
superior e inferior ou: 
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Elementos da Frequências 
h = At
k
e) Amplitude do intervalo de Classe (h):
Exemplo: calcular h considerando n = 10.000; Número 
mínimo observado: 12; Número máximo observado: 377 
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Elementos da Frequências 
h = At
k
k = 1+ 3,3 log10 (n)
k = 1+ 3,3 log10 (10000)
k = 1+ 3,3 * 4
k = 14,2
At = 377 -12
At =365
At = Valor max – Valor mín
h = 365
14,2
h = 25,7
f) Ponto Médio de Classe (xi)
Ponto médio ou valor médio de classe é o ponto equidistante dos 
limites de classe.
Para obter o ponto médio de uma classe, basta acrescentar ao seu 
limite inferior a metade da amplitude do intervalo de classe.
Exemplo:
Classe: 6 a 7
Amplitude do intervalo: 1
Metade da amplitude: 0,5
Ponto médio dessa classe será: xi = 6 + 0,5 = 6,5
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Elementos da Frequências 
Representação Gráfica de uma Distribuição de 
Frequência:
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O histograma é um gráfico formado por um conjunto de
retângulos justapostos, de forma que a área de cada
retângulo seja proporcional à frequência da classe que
ele representa. Assim sendo, a soma dos valores
correspondentes às áreas dos retângulos será sempre
igual à frequência total.
A representação gráfica 
de uma distribuição de 
frequência é feita através 
do histograma.
Representação Gráfica de uma Distribuição de 
Frequência:
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O histograma é construído tomando-se como referência
dois eixos coordenados.
No eixo horizontal, ou eixo das abcissas, são anotados
os valores individuais da variável em estudo, ou os
limites das classes. A dimensão horizontal de cada
retângulo representará a classe.
No eixo vertical, ou eixo das ordenadas, será
construída a escala onde serão lidos os valores relativos
ao número de observações ou frequências da classe.
Exemplo: Histograma do DAP de florestas de pinus entre 4 a 6 anos
de idade
Distribuição de Frequências
Espera-se que os valores se distribuam simetricamente
em torno de um valor central, de tal forma que os dados
encontram-se em maior quantidade (maior frequência) na
região próxima desse valor e, na medida em que se afasta
da região central as frequências são reduzidas.
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Distribuição de Frequências
Representação de distribuição Normal ou Gaussiana de frequência;
muito importante para a aplicação de diversos testes estatísticos.
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Formato de “U” com dois picos 
Histogramas com Distribuição Assimétrico 
Deslocado para esquerda e com um pico
“Despenahdeiro”
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tipo Platô
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
Medidas de Tendência Central
Por meio de um valor se tem a idéia do conjunto de
dados.
As medidas de tendência central mais utilizadas
são:
�Média
�Mediana
�Moda
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Média aritmética =
Somatório dos valores individuais
Número de observações
M = 
∑ X
n
Medidas de Tendência Central - Média
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Medidas de Tendência Central - Média
Média aritmética =
Exemplo:
Dados 1 – Volume de madeira (m3/ha):
102 110 105 93 97 113 107
Somatório dos valores individuais
Número de observações
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Medidas de Tendência Central - Média
Média aritmética =
Exemplo:
Dados 2 - Altura de árvores de eucalipto (m):
15 18 24 20 17 19 18 18
Somatório dos valores individuais
Número de observações
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Medidas de Tendência Central - Média
Calcular o número médio de irmãos:
(1) N. irmãos (2) Frequência
0 7
1 21
2 8
3 5
4 4
5 3
6 2
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Medidas de Tendência Central - Média
Cálculo da média a partir de dados de frequência
M = 95 / 50 = 1,9 = 2 irmãos
(1) N. irmãos (2) Frequência (1) x (2)
0 7 0
1 21 21
2 8 16
3 5 15
4 4 16
5 3 15
6 2 12
Total 50 95
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Medidas de Tendência Central - Média
Propriedades da média:
� Pode ser facilmente calculada;
� Fortemente influenciada por valores extremos.
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Medidas de Tendência Central - Mediana
Mediana (Md) de um conjunto de valores é o valor
que ocupa a posição central dos dados ordenados
de forma crescente.
Md = (n+1)/2
O valor central é dado por:
Md = (n/2) + ( n+2/2)
2
Mediana 
se for par 
se for impar 
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Medidas de Tendência Central - Mediana
Dados 1 – Volume de madeira (m3/ha):
93 97 102 105 107 110 113
Mediana (Md)
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Medidas de Tendência Central - Mediana
Md = 18 m
Dados 2 - Altura de árvores de eucalipto (m):
15 17 18 18 18 19 20 24
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Medidas de Tendência Central - Mediana
Altura de árvores de eucalipto (m):
15 17 18 19 21 23 25 25
Md = (n/2) + ( n+2)
2
Md = (8/2) + ( 8+2)/ 2
2
Md = (4) + ( 5)
2
Md = (4,5)
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Medidas de Tendência Central - Mediana
Quando optar pela mediana à média como medida
de tendência central?
Quando a distribuição dos dados (frequência) não
obedecer uma Normal Simétrica, ou seja, em casos em
que há muita interferência de valores extremos na
média.
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Medidas de Tendência Central - Moda
Moda (Mo) é o valor mais freqüente do
conjunto de dados.
Dados 2 - Altura de árvores de eucalipto (m):
15 17 18 18 18 19 20 24
Moda = 18 m
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Medidas de Tendência Central - Moda
Moda é o valor mais freqüente do conjunto de
dados.
Sua importância é obvia, uma vez que
representa o valor que mais vezes aparece
repetido no conjunto de dados.
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Medidas de Tendência Central - Moda
A moda pode não existir, uma vez que pode não
ocorrer um valor mais freqüente que os demais.
Pode também ocorrer mais de um valor mais
frequente.
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M = Md = Mo
Media Mediana e Moda
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OBRIGADO!
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Turma Eng. Florestal