Derivadas - Resumo

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www.abacoaulas.com CÁLCULO 1: Derivadas Prof. Alexandre Ortiz Calvão
DERIVADAS
Derivada de uma função. A derivada de f em x é 
dada por 
f'(x)=Limx 0 [f(x+x)-f(x)]/x
desde que o limite exista.
Derivada de f(x) no ponto a é a inclinação da reta 
tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a))
f'(a)=Limx 0 [f(a+x)-f(a)]/x
e determina a taxa de variação instantânea de f em a.
A derivada como uma taxa de variação instântanea. 
A taxa de variação de f(x) em relação a x quando 
x=c é dada por f'(c).
Taxa de variação média de f em [a,b] =
[f(b)-f(a)]/(b-a)
Esta relação é a inclinação da reta secante de f(x) 
em um intervalo [a,b].
As unidades de f'(x) são: Unidades de f(x)/Unidades de x.
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA. 
Método “a”. Dada uma equação envolvendo x e y, e 
supondo que y é uma função diferenciável de x, 
podemos encontrar dy/dx como a seguir:
1. Derive ambos os lados da equação em relação a x.
2. Junte os termos contendo dy/dx do lado esquerdo 
do sinal de igualdade e mova todos os outros termos 
para o lado direito.
3. Fatore dy/dx do lado esquerdo da equação.
4. Resolva para dy/dx dividindo ambos os lados da 
equação pelo fator do lado esquerdo que não contém 
dy/dx.
Método “b”. Se y está definida implicitamente por 
uma equação como função de x, então, para calcular 
dy/dx devemos diferenciar a equação(lembrando de 
aplicar a regra da cadeia)
(d/dx)f(g(x))=f'(g(x)).g'(x)
FUNÇÃO IMPLÍCITA
A maioria das funções com as quais trabalhamos é 
da forma y=f(x), em que y é dado diretamente, isto 
é, explicitamente, por meio de uma expressão 
definida em termos de x. No entanto, na resolução 
de problemas práticos, frequentemente a relação 
entre y e x é determinada por uma equação da 
forma F(x,y)=0, que não está resolvida para y.
 Uma equação F(x,y)=0 que têm como gráfico no 
plano xy uma curva, pode ser representada, por uma 
função, mais de uma função ou não admitir solução 
(neste caso não será gerado uma curva). A 
circunferência, por exemplo, é representada por 
duas funções y=+(1-x2)1/2 e y=-(1-x2)1/2, que dizemos 
ser funções definidas implicitamente pela equação 
x2+y2=1.
 A forma geral da função implícita é F(x,y)=0, 
F(x,y,z)=0 etc.
 Nem todas as funções definidas implicitamente são 
deriváveis em todos os pontos de seu domínio. As 
funções y=+(1-x2)1/2 e y=-(1-x2)1/2, não são deriváveis 
nos pontos extremos do intervalo, x=1 e x=-1. 
Exatamente nestes pontos, as retas tangentes às 
curvas são verticais. Em cursos mais avançados se 
estudam as condições que garantem quando uma 
função definida implicitamente é derivável.
 A derivação implícita é muito aplicada no estudo de 
taxas relacionadas.
 Informações dadas pela derivada
Primeira derivada (crescente e decrescente)
- Se f'>0 em um intervalo, então f é crescente nesse 
intervalo.
-Se f'<0 em um intervalo, então f é decrescente 
nesse intervalo.
Segunda derivada (concavidade)
- Se f''>0 em um intervalo, então f é convexa, nesse 
intervalo. (côncava para cima)
- Se f''<0 em um intervalo, então f é côncava, nesse 
intervalo. (côncava para baixo)
Linearidade local
- A reta tangente em (a,f(a)) é o gráfico de y=f(a)
+f'(a)(x-a).
- Aproximação pela reta tangente. Para valores 
de x perto de a,
f(x) ≈ f(a)+f '(a)(x-a).
A expressão f(a)+f'(a)(x-a) é chamada de 
linearização local de f perto de x=a.
côncava
convexa
Pontos de inflexãoPonto de máximo
Ponto de mínimo
Ponto c/derivada
   não definida.
Reta tangente vertical
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APLICAÇÕES
 Reta tangente. Como achar a tangente à curva 
y=f(x) em (xo,yo)
1. Calcule f'(xo) para achar o coeficiente angular no 
ponto xo.
2. A equação da reta tangente será:
y=yo+f'(xo) (x-xo)
Retas com mesma inclinação (paralelas) tem mesmo 
coeficiente angular f'(xo) = g'(xo).
Retas perpendiculares num ponto xo, tem protudo de 
seus coeficientes igual a menos um, isto é:
 f'(xo) . g'(xo) = -1
 Reta normal. y=yo+(-1/ f'(xo)). (x-xo)
GRÁFICOS: ESBOÇO
 MÉTODO. Para o esboço do gráfico de uma função 
f, sugerimos o roteiro:
a) explicitar o domínio;
b) determinar os intervalos de crescimento e de 
decrescimento; (derivada primeira)
c) estudar a concavidade e destacar os pontos de 
inflexão. (derivada segunda)
d) calcular os limites laterais de f, em p, nos casos:
 i) p ∉ Df , mas p é extremo de um dos intervalos 
que compõem Df.
 ii) p ∈ Df, mas f não é contínua em p.
e) Calcular os limites para x -> +∞ e x-> - ∞; 
f) determinar ou localizar as raízes de f.
Obs. Não há regras consistentes e rápidas garantidas 
para obtenção de todas as informações, que você 
pode querer sobre o gráfico de uma função.
Regra de L'Hospital. 
 Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto 
(a,b), com a possível excessão de um ponto c contido no 
intervalo. Se o limite de f(x)/g(x) quando x tende para c 
produz uma das formas indeterminadas 0/0 ou ∞/∞, então 
Limx-> c f(x)/g(x) = Limx-> c f'(x)/g'(x) 
desde que o limite à direita exista (ou seja, infinito)
 Comentários.
1. Descrevemos as formas do tipo 0/0 ou ∞/∞ como 
indetreminadas, já que o limite nesses casos pode existir 
ou não e, se existir, não sabemos qual é o limite.
2. Nem todos os limites envolvendo formas indeterminadas 
podem ser calculados por manipulação algébrica.
3. A indeterminação ∞/∞ pode vir de quatro formas: ∞/∞, 
(-∞)/∞, ∞/(-∞), (-∞)/(-∞). A regra de L'Hôspital pode ser 
aplicada em cada uma dessas formas. 
4. A regra de L'Hopital só pode ser aplicada a quocientes 
que levam às formas indeterminadas 0/0 ou ∞/∞. A regra 
de L'Hôspital não é a regra do quociente.
5. Algumas vezes, torna-se necessária a aplicação da 
Regra de L'Hospital mais de uma vez para remover uma 
forma indeterminada.
6. Além das formas 0/0 ou ∞/∞, existem outras formas 
indeterminadas com: 0.∞, 1∞, ∞0, 00 e ∞-∞. Para 
resolvermos estes tipos, basicamente , tentamos converter 
cada uma dessas indeterminações a uma das formas onde 
a Regra de L'Hospital se aplica, isto é, 0/0 ou ∞/∞. 
 Método
1 passo. Aplique o limite
2 passo. Se deu uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞ vá
para o 4 passo. Caso contrário vá para o 3 passo.
3 passo. Aplique uma transformação que caia na 
indeterminação do tipo: 0/0 ou ∞/∞.
4 passo. Diferencie o numerador e o denominador e 
aplique o limite.
5 passo. Se a indeterminação foi resolvida vá para o 6 
passo. Se a indeterminação não foi resolvida volte 
par o 4 passo.
6 passo. Fim. Limite encontrado
TAXAS RELACIONADAS
Problemas nos quais uma taxa conhecida é usada 
para calcular uma outra taxa, que estão relacionadas 
através de uma função, são chamados, muitas 
vezes, de problemas de taxas relacionadas. As 
ferramentas utilizadas são: a derivada de funções 
implícitas e regra da cadeia.
Uma Estratégia para Resolver Problemas de 
Taxas Relacionadas.
Passo 1. Desenhe uma figura e classifique as 
quantidades que variam.
Passo 2. Identifique as taxas de variação que são 
conhecidas e a taxa de variação que é para ser 
encontrada.
Passo 3. Ache a equação que relacione a quantidade, 
cuja taxa de variação é para ser encontrada com as 
quantidades cujas taxas de variação são conhecidas.
Passo 4. Diferencie ambos os lados desta equação 
em relação ao tempo e resolva para a derivada que 
dará a taxa de variação desconhecida.
Passo 5. Calcule esta derivada em um ponto 
apropriado( ou pedido).
MÁXIMOS e MÍNIMOS
MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS. f tem um máximo 
local em p se f(p) é maior ou igual ao valor de f emtodos os pontos próximos a p. f tem um mínino local 
em p se f(p) é menor ou igual ao valor de f em todos 
os pontos próximos a p.
MÁXIMOS E MÍNIMOS GLOBAIS em um intervalo. f 
tem um máximo global em p se f(p) é maior ou igual 
ao valor de f em todos os pontos do intervalo. f tem 
um mínimo global em p se f(p) é menor ou igual ao 
valor de f em todos os pontos do intervalo. 
PONTO CRÍTICO. Um ponto crítico de uma função 
f(x) é um ponto no domínio de f onde f'(p)=0 ou f'(p) 
não está definida.
Teorema. Os máximos e mínimos que não ocorrem 
nos extremos do domínio ocorrem nos pontos 
críticos.
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O TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA PARA 
MÁXIMOS E MÍNIMOS. a) Se f' troca de sinal em p, 
de negativa para positiva, então f tem mínimo local 
em p. b) Se f' troca de sinal em p, de positiva para 
negativa, então f tem máximo local em p.
O TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA 
MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS. a) Se f'(p)=0 e 
f''(p)>0, então f tem um mínimo local em p. b) Se 
f'(p)=0 e f''(p)<0, então f tem um máximo local em 
p. c) Se f'(p)=0 e f''(p)=0, nada podemos afirmar.
Para encontrar máximos e mínimos globais de uma 
função em um intervalo, comparamos os valores de f 
em todos os pontos críticos do intervalo e os valores 
de f nos extremos do intervalo (Limx->∓∞ se o intervalo 
é ilimitado)
Ponto de inflexão de f é um ponto onde o gráfico 
de f muda de concavidade; f'' é zero ou não está 
definida em um ponto de inflexão.
Regra prática. Para obter os pontos de inflexão de 
uma curva, basta igualar a sua 2a derivada f''(x) a 
zero (se ela é uma função de x), e resolver a 
equação resultante. As raizes dessa equação nos 
dão as abscissas dos referidos pontos.
Teoremas sobre Derivadas
TEOREMA DE ROLLE
 Se uma função é contínua em um intervalo fechado 
[a,b], derivável no intervalo aberto (a,b) e se 
f(a)=f(b), então f'(c)=0 para ao menos um número c 
em (a,b).
 Se uma função é contínua em um intervalo fechado 
[a,b], e se f(a)=f(b), então f tem ao menos um um 
ponto crítico no intervalo aberto (a,b).
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Se uma função é contínua em um intervalo fechado 
[a,b], e é diferenciável no intervalo (a,b), então 
existe um número c em (a,b), tal que
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
Uma função diferenciável é contínua. Se f é 
diferenciável no ponto x=a, então f é contínua em a.
Obs. Uma função pode ser contínua em um ponto e 
não ser diferenciável nele. Exm. f(x)= Ix-5I. Como as 
derivadas à esquerda e à direita de 5 são diferentes, a 
função não é diferenciável em x = 5. É contínua em 5, mas 
não diferenciável.
Função não diferenciável. Uma função não é 
diferenciável em um ponto se:
a) a função não é contínua no ponto.
b) o gráfico forma um bico no ponto.
c) o gráfico tem uma reta tangente vertical no ponto.
Pontos de 
inflexão
f(x)
ba
Teorema de Rolle
g(x)
ba
Teo. Val. Intermediário