Pequeno resumo sobre definição de cada um

Vc quer saber tudo referente a cálculo com 2 variáveis, correto? entao segue as definições para vc montar o textinho como achar melhor:

Limite: os pontos (x, y) ∈ R2 podem se aproximar do ponto (a, b) por diversos caminhos distintos, o limite existe quando por TODOS OS CAMINHOS POSSIVEIS a função se aproxima de (a, b). Ou seja, se por uma determinada reta ela converge para outro ponto, o limite não existe.

Continuidade: quando não há nenhum ponto que dá um "salto" no gráfico, para ser continua nenhum ponto isolado pode sair de perto dos outros nem haver um "degrau" de uma parte da função para outra. Mas, isso se aplica apenas a pontos NO DOMÍNIO DA FUNÇÃO.

Curva de Nível: quando temos variáveis no formato z = f(x, y), para uma mesma cota z temos os (x, y) respectivos, eles formam um "desenho" em R2 que mostra o sentido de crescimento da função z ao colocar a ordem das curvas de nível, ou seja, pelas curvas de nível vc pode analisar o comportamento da função z = f(x, y), sabendo qual a primeira curva e a segunda vc já sabe se naquele intervalo a função z = f(x, y) varia positivamente ou não.

Derivadas Parciais: fx (a,b) e fy (a,b) representam as inclinações das retas tangentes à superfície S no ponto P(a,b,c), com sendo a função APLICADA NO PONTO (a, b), é bem importante que vc entenda que a derivada parcial dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Pense assim, vc tem a superfície S (uma função em 3D), vc pega um ponto o R2, no caso o (a,b), e aplica na função que descreve a curva S (funcão z = f(x, y)), aí vc tem o z e ele é a cota da curva S NAQUELE PONTO de R2. Então, quando vc faz a derivada parcial em x NAQUELE PONTO, vc tem a inclinação da reta tangente naquele ponto, a reta nesse caso da parcial em x fica em um plano C1, quando vc faz a derivada parcial em y, a reta tangente a aquele ponto fica em um plano C2.

Derivadas de Ordem Superior: Em cálculo com 1 variável ela dá a concavidade, vc descobre se é ponto de mínimo ou de máximo. Em cálculo de 2 variáveis vc tem as derivadas parciais, aplica elas em uma fórmula em formato de determinante chamada Hessiana, aí vc compara o valor da hessiana com a segunda derivada parcial em x (ou seja, derivada de ordem superior) e dependendo desses valores vc dirá a concavidade, ou seja, se é ponto de mínimo, máximo ou sela (que seria um ponto potencialmente de máximo ou mínimo, mas que vc verificou que é apenas uma parte da função que lembra uma sela de cavalo e não pertence aos pontos de máximo e mínimo)

Regra da Cadeia: permite a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função, mas ela só vale se a função tem derivadas parciais contínuas

Derivada Direcional: é a taxa de variação da função na direção de um vetor unitário.

Interpretações Geométricas das Derivadas: nos outros tópicos já acabei te explicando

Vetor Gradiente: ele dá a direção e sentido da maior taxa de variação da função

Máximos e Mínimos: pontos da função onde a derivada de 1 ordem dá zero (ou seja, a inclinação da reta tangente é zero, a função parou de crescer ou decrescer ali) e a hessiana (que é calculada como falei acima) aponta a concavidade para cima ou para baixo, não sendo ponto de sela.

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