Trabalho de IEM

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA EaD 
 
 
 
 
ELTON ARAUJO OLIVEIRA 
2016.07.038901 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO SENO UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA 
INFORMÁTICA EM EDUCAÇÃO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de avaliação da disciplina 
“Informática em Educação de 
Matemática” solicitado pelo professor 
Kleber Albanez Rangel. 
 
 
 
 
 
 
2019 
RIO DE JANEIRO 
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SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO........................................................................................03 
2. DESCRIÇÃO DO ASSUNTO.................................................................04 
3. GEOGEBRA - PREPARAÇÃO PARA USO PASSO A PASSO..............05 
3.1. Download e Instalação................................................................05 
3.2. Ajustes para Utilização do GeoGebra..........................................08 
3.2.1 Exibir a malha quadriculada...................................09 
3.2.2 Mudar a unidade do eixo das abscissas para 
radianos.................................................................09 
3.3. Digitar as Funções.......................................................................11 
4. ATIVIDADES...........................................................................................12 
4.1. Atividade 1....................................................................................12 
4.1.1 Comparação das funções f, g e h...........................14 
4.1.2 Comparação das funções f, i, j e k.........................15 
4.1.3 Comparação das funções f, l e m...........................17 
4.1.4 Comparação das funções f, n, o e p.......................18 
4.2. Atividade 2....................................................................................19 
5. CONCLUSÃO..........................................................................................20 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 Nesta aula apresentamos as linhas gerais do software GEOGEBRA, 
sem a pretensão de exaurir toda sua potencialidade. O enfoque geral é a 
iteração entre o software e usuário, estimulando o uso de suas ferramentas, 
funcionalidade e os passos necessários para aplicação como instrumento de 
ensino e aprendizagem. Este é um software voltado, quase que exclusivamente 
para finalidades didáticas, com ele é possível realizar construção de muitas 
figuras geométricas com enorme facilidade, realizar cálculos numéricos, 
algébricos, e fazer representações simultâneas. 
 Este software foi idealizado por Markus Hohenwarter, professor da 
Universidade de Salzburgo e é um dos seus principais desenvolvedores 
juntamente com Yves Kreis da Universidade de Lexemburgo. Eles permitem 
que o software seja baixado do site oficial (www.geogebra.org) e instalado em 
computadores com sistemas operacional diversos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. DESCRIÇÃO DO ASSUNTO 
 
A proposta da atividade consiste em apresentar uma situação de 
investigação do comportamento da função seno, com apoio do GeoGebra. O 
software possibilita a construção precisa dos gráficos dessa função e isso 
permite uma visualização dos efeitos gerados pelos parâmetros os quais 
podem alterar o período, a imagem, a amplitude e o domínio da função. O 
GeoGebra possui uma infinidade de recursos, mas optamos por apresentar 
apenas as ferramentas necessárias para a realização da atividade. 
O objetivo deste trabalho é ensinar a utilizar o software livre GeoGebra 
na construção do gráfico da função seno, passo-a-passo. Este trabalho tem 
como objetivo central apresenta alternativas didático-metodológicas utilizando o 
Software GeoGebra como uma eficaz ferramenta de ensino para sala de 
aula, na perspectiva de proporcionar ao aluno condições para que possa 
apropriar-se do conhecimento matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. GEOGEBRA - PREPARAÇÃO PARA USO PASSO A PASSO 
 
3.1. Download e Instalação 
 
 Acesse o site: https://www.geogebra.org/download. Para construção do 
gráfico da função seno, faremos o download da “Calculadora Gráfica 
GeoGebra Clássico”. A plataforma operacional usa nessa apresentação é o 
Windows, portanto será usada a versão para Windows referente à calculadora, 
clique em download para baixar o software. O GeoGebra também está 
disponível para MAC ou Google OS. 
 
 
 
 
 A instalação é bem simples. Após o download do arquivo, basta 
executá-lo. 
 
 
 
 
Na próxima tela selecione a linguagem e depois clique no botão 
 
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Clique em para aceitar o acordo de licença. 
 
 
 
Marque a opção e depois clique em . 
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Aguarde a conclusão da instalação. 
 
 
 
Clique em 
 
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O programa executara automaticamente, caso queira executa-lo novamente 
basta clicar em na área de trabalho. 
 
3.2. Ajustes para Utilização do GeoGebra 
 
 
 
 Antes de iniciarmos o uso do GeoGebra para atividades com a Função 
Seno, realizaremos alguns ajustes: 
 
 
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3.2.1 Exibir a malha quadriculada 
 
 Exibir a malha quadriculada é importante para facilitar a identificação de 
valores no gráfico. Para isso, basta clicar sobre a região do gráfico com o botão 
direito do mouse e selecionar “Malha” e aparecerá a malha quadriculada no 
plano cartesiano. 
 
 
 
3.1.1 Mudar a unidade do eixo das abscissas para radianos 
 
 Para a análise dos gráficos das funções trigonométricas, o eixo das 
abscissas deve ser graduado em radianos. Para fazer a mudança da unidade 
do eixo x para radianos, basta clicar com o botão direito do mouse sobre a área 
do gráfico e escolher a opção “Janela de Visualização”. 
 
 
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Selecionar a guia “Eixo X” para definir “Distância” π/2, “Rótulo” x e “Unidade” π. 
 
 
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 Após as configurações, o GeoGebra está pronto para receber as 
funções seno que serão trabalhadas nas atividades. 
 
 
 
3.3. Digitar as Funções. 
 
 Na parte inferior, há a caixa de entrada das funções. Para visualizar o 
gráfico, basta digitar a função na caixa de entrada, clicando, em seguida, na 
tecla “Enter”. Após esse procedimento, é possível visualizar, a função e o seu 
gráfico na Janela de Visualização à direita. 
 
 
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 Para visualizar o gráfico da função no intervalo [0, 2π], por exemplo, 
basta digitar f(x) = sen x (0 ≤ x ≤ 2π). Para facilitar a digitação de símbolos, 
use o botão que fica ao lado da caixa de texto. 
 
 
 
4. ATIVIDADES 
 
4.1. Atividade 1 
 
 Essa atividade destina-se à construção dos gráficos de algumas funções 
utilizando o GeoGebra. Para realizá-la é necessário que as mudanças na 
configuração do software já estejam feitas. 
 A atividade consiste na construção de gráficos com variações da função 
seno e, pela observação dos gráficos na tela do computador, atingir os 
objetivos específicos de: reconhecer a natureza cíclica da função; observar o 
comportamento dos gráficos obtidas por modificações feitas na função, como 
os deslocamentos horizontal e vertical, alterações no período e na amplitude, 
crescimento e decrescimento; e, por fim, fazer conjecturas a partir das 
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observações feitas e comparações com os parâmetros modificados nas leis 
das funções.f(x) = sen(x). 
 Na caixa de entrada do GeoGebra, insira as funções listadas a seguir. 
Num primeiro momento, elas aparecerão juntas na tela, mas o software possui 
um recurso que permite “ligar” ou “desligar” a função, o qual será utilizado para 
analisar as modificações ocorridas no gráfico em função dos parâmetros que 
alteram função original f(x) = sen(x). 
 
 
 
 
 
 De acordo com a orientação do enunciado, cada função deve ser 
comparada com a função original f(x) = sen(x). Os gráficos aparecem todos 
juntos, de uma forma aparentemente caótica, mas para responder às 
perguntas, serão habilitadas apenas as funções de interesse. Para habilitar e 
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desabilitar uma função, basta clicar na bolinha correspondente a cor da função 
no campo de entrada. É possível detectar que dentre as funções g, h,i,..., p 
ocorrem mudanças no conjunto imagem, na amplitude, na amplitude e/ou no 
período, em relação à função f(x) = sen(x). 
 
4.1.1 Comparação das funções f, g e h 
 
 
 
 
 
 Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), percebemos 
que as modificações foram provocadas pelo parâmetro “a”. Na comparação da 
função f(x) = sen(x) com a função g(x) = 2 + sen(x) é possível observar que o 
gráfico da função g sofreu um deslocamento vertical para cima de 2 unidades 
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em relação ao gráfico da função f. Esse deslocamento horizontal provocou 
também uma mudança no conjunto imagem que passou de [-1, 1] para [1, 3]. 
Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função h(x) = -2 + sen(x) é 
possível observar que o gráfico da função h sofreu um deslocamento vertical 
para baixo de 2 unidades em relação ao gráfico da f unção f. Esse 
deslocamento horizontal provocou também uma mudança no conjunto imagem 
que passou de [-1, 1] para [-3, -1]. Não foram observadas modificações no 
domínio nem na amplitude. 
 Portanto, é possível concluir que para a função genérica f(x) = a + b.sen 
(cx + d) , quando o parâmetro “a” é positivo, o gráfico é deslocado 
verticalmente para cima e quando o parâmetro “a” é negativo, esse 
deslocamento é verticalmente para baixo. Em ambos os casos, verifica-se uma 
modificação no conjunto imagem da função. 
 
4.1.2 Comparação das funções f, i, j e k 
 
 
 
 
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 Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen(cx + d), percebemos 
que as modificações foram provocadas pelo parâmetro “b”. Na comparação da 
função f(x) = sen(x) com a função i(x) = 2.sen(x) é possível observar que o 
gráfico da função i sofreu uma dilatação vertical de duas unidades para 
cima e para baixo em relação ao gráfico da função f. Essa modificação 
foi provocada pelo fator 2, o qual alterou a amplitude da função e, 
consequentemente, o conjunto imagem que passou de [-1, 1] para [- 2 ,2 ]. 
Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função j(x) = 4.sen(x) é possível 
observar que o gráfico da função j sofreu uma dilatação vertical de quatro 
unidades para cima e para baixo em relação ao gráfico da função f. 
Essa modificação foi provocada pelo fator 4, o qual alterou a amplitude da 
função e, consequentemente, o conjunto imagem que passou de [-1, 1] para 
[- 4, 4]. Na comparação da função f(x) = sen(x) com a função k(x) = - 2.sen(x) 
é possível observar que o gráfico da função k sofreu uma dilatação 
vertical de duas unidades para cima e para baixo em relação ao gráfico da 
função f, além disso, percebe-se uma inversão no gráfico pelo fato de o 
fator multiplicativo ser negativo. Essa modificação foi provocada pelo fator 
– 2, o qual alterou a amplitude da função e, consequentemente, o conjunto 
imagem que passou de [-1, 1] para [- 2, 2]. Não foram observadas 
modificações no domínio nem no período das funções. É possível concluir que, 
para a função genérica f(x) = a + b.sen(cx + d) , o parâmetro “b” altera a 
amplitude da função. Quando o parâmetro “b” é positivo, o gráfico é dilatado 
para cima e para baixo simultaneamente e, quando o parâmetro “b” é 
negativo, essa dilatação ocorre juntamente com a inversão no gráfico da 
função, isto é, os valor es positivos na função f(x ) = sen(x) serão 
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negativos na função modificada por esse parâmetro. Em ambos os casos 
não se verifica modificação no domínio e no período da função. 
 
4.1.3 Comparação das funções f, l e m 
 
 
 
 
 
Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen(cx + d), percebemos que as 
modificações foram provocadas pelo parâmetro “d”. Na comparação da função 
f(x) = sen(x) com a função l(x)= sen(x + π/2) é possível observar que o gráfico 
da função l sofreu um deslocamento horizontal p ara a esquerda de π/2 
unidades em relação ao gráfico da função f . Na comparação da função f(x) 
= sen (x) com a função m(x)=sen(x - π/2) é possível observar que o gráfico 
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da função m sofreu um deslocamento horizontal para a direita de π/2 
unidades em relação ao gráfico da função f . Não foram observadas 
modificações no domínio, no conjunto imagem e nem na amplitude. É possível 
concluir que, para a função genérica f(x) = a + b.sen(cx + d), quando o 
parâmetro “d” é positivo, o gráfico é deslocado horizontalmente para a 
esquerda e, quando o parâmetro “d” é negativo, esse deslocamento é 
horizontalmente para a direita. 
 
4.1.4 Comparação das funções f, n, o e p 
 
 
 
 
 
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Considerando a função genérica f(x) = a + b.sen (cx + d), percebemos 
que as modificações foram provocadas pelo parâmetro “c”. Na comparação da 
função f(x) = sen (x) com a função n(x) = sen(2x ) é possível observar que o 
gráfico da função n sofreu uma compressão horizontal provocada pelo 
fator 2 que multiplicou o arco x. Isso causou uma mudança do período de 2π 
para π, ou seja, o período da função original foi dividido por 2. Na comparação 
da função f(x) = sen(x) com a função o(x)= sen(4x) é possível observar que 
o gráfico da função “o” sofreu uma compressão horizontal provocada pelo 
fator 4 que multiplicou o arco x. Isso causou uma mudança do período de 2π 
para π /2, ou seja, o período da função original foi dividido por 4. Na 
comparação da função f(x) = sen(x) com a função p(x) = sen(x/2) é possível 
observar que o gráfico da função p sofreu uma expansão horizontal 
provocada pelo fator ½ que multiplicou o arco x. Isso causou uma 
mudança do período de 2π para 4π, ou seja, o período da função original f oi 
dividido por ½ ou multiplicado por 2. Não foram observadas modificações no 
domínio nem no conjunto imagem das funções. É possível concluir que, para a 
função genérica f(x) = a + b.sen(cx + d), o parâmetro “c” altera o período da 
função dada pelo quociente 2π/c. 
 
4.2. Atividade 2 
 
Apresente a lei da função seno, h(x), sabendo que seu gráfico, comparado 
com o gráfico da função f(x) = sen(x), representa uma curva deslocada π/4 
unidades para a esquerda, possui domínio R, amplitude 3 e período 2π. 
Construa o gráfico dessa função. 
 
Resolução: 
 
Deslocamento horizontal de π /4 unidades para a esquerda: d = π /4 
Amplitude igual a 3: b = 3 
Portanto a função é h(x) = 3.sen (x + π /4) 
 
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5. CONCLUSÃO 
 
Concluímos que as potencialidades da utilização do GeoGebra em sala de 
aula com propostas de atividades práticas são importantíssimas para que 
o aluno consiga enxergar e compreender as variações nos gráficos da 
função seno genérica f(x) = a + b.sen(cx+ d) quando a, b, c e d 
apresentam valores reais maiores que um . O uso do GeoGebra 
desempenha papel fundamental na aprendizagem de Matemática, no 
estabelecimento de conexões entre temas e na articulação entre tópicos 
de diferentes anos e ciclos de escolaridade, discutindo aspectos 
fundamentais da dinâmica da aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
SALAZAR, Denise Mansoldo. Geogebra e o Estudo das Funções 
Trigonométricas no Ensino Médio. 2015. 133 f. Dissertação de Mestrado 
apresentada ao Curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática 
Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, MG 
 
Hespanhol, L. L. et al. A Utilização do Software Geogebra para o Ensino da 
Geometria . São Paulo, SP: ENEM, 2016. 
 
Colaço, S. et al. A Utilização do Geogebra em Contexto de Sala de 
Aula. Santarem, Portugual. Escola Superior de Educação de Santarem. 
 
Fonte: https://www.geogebra.org/ Acesso dia 05/06/2019 
 
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