Tema 3

Prévia do material em texto

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 1/36
Definição
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e
representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real.
Propósito
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos
naturais, sociais e de outras áreas.
Objetivos
Módulo 1
Reconhecer graficamente
o domínio, a imagem e o
contradomínio de funções
Módulo 2
Identificar graficamente
os tipos de funções:
injetora, sobrejetora e
bijetora
Módulo 3
Definir funções crescentes
e decrescentes
Módulo 4
Definir funções periódicas
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 2/36
 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
Introdução
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que
desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou
expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões
obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os
possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores
da variável independente para os quais a fórmula matemática
define uma função.
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são
subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 3/36
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as definições básicas relativas às funções.
10:37
  Adicione um comentário
Definição
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
D(f ) = {x ∈ R| f (x) ∈ R}
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥 e os seus domínios.2
𝐷 =ℝ1 D2 = {−2; −√2; −1; 0; 1; √2; 2} 𝐷 =[0;+∞[3
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os
quais podemos calculá-la.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 4/36
Exemplo 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um
modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é
dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Exemplo 1
Qual é o domínio da função ?
Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão
por 0 (zero) não está definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ .
f (x) = 1x
∗
Exemplo 2
Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula 
 define uma função 𝑓:𝑋→ℝ?g(x) = √x
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não
negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma
função?
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 5/36
Exemplo 4
Sabendo que o comprimento do terreno de João é de 100 m, utilize a expressão obtida 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) para determinar a área do terreno
onde será construída a piscina.
Resolução da questão
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
05:06
  Adicione um comentário
Atenção
Os gráficos das funções podem
fornecer informações visuais
importantes sobre uma função.    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 6/36
Como saber se um número real 𝒂 pertence ao domínio de uma
função 𝒇?
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins.
O gráfico de uma função pode ser
definido como:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)}
Portanto, a ordenada 𝑦 de um
ponto do gráfico da função 𝑓 é o
valor de 𝑓 na abscissa 𝑥
correspondente.
O gráfico de 𝑓 também nos permite
visualizar o domínio e a imagem,
além de muitas outras informações.
Leitura gráfica: domínio e imagem
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta
vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de 𝑓 em um ponto. Como f é uma
função, este ponto é necessariamente único.
Exemplo 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:

    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 7/36
Como saber se um
número real 𝑏
pertence à
imagem de uma
função 𝑓?
O número real 𝑏 pertence à
imagem de uma função 𝑓 se a reta
horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico de 𝑓
em pelo menos um ponto.
Exemplo 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem
da função que representa a taxa de crescimento no
Tocantins quanto à função que representa a taxa de
crescimento no Brasil, em 2029 e 2018,
respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Domínio
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂 .𝑥
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o
gráfico da função no Eixo 𝑂 ?𝑥
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o
gráfico da função no Eixo 𝑂 ?𝑥
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 8/36
05:49
  Adicione um comentário
Imagem
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂 .𝑦
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o
gráfico da função no Eixo 𝑂 ?𝑦
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o
gráfico da função no Eixo 𝑂 ?𝑦
Exemplo 3
Gráfico da função ℎ
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMat… 9/36
Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por
𝒇(𝑫)={𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }.
Exemplo 4
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂 , vemos que
a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho
no Eixo 𝑂 .
𝑦
𝑦
Sua imagem é o intervalo .
.
(−2;  5, 25]
Im(h) = (−2;   5, 25]
Em resumo, é possível determinar a imagem de um
conjunto de pontos:
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
06:03
  Adicione um comentário
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 10/36
Exemplo 5
Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo destacado em verde no Eixo 𝑂 , que é um subconjunto da imagem de 𝑓 :[−
2
3
;
5
12
] 𝑦


Ao traçar as retas e de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂 , temos:y = 5
12
y = − 2
3 𝑦


Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas e , temos:y = − 23 y =
5
12


Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂 :[−
2
5
;
5
12
] 𝑥

    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMa… 11/36

A parte do Eixo 𝑂 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]𝑥
Verificando o Aprendizado
Responder
1. Considere a seguinte função: 
 
 
 
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩ −2x,    s e    x < 0√x,   s e     0 ≤ x ≤ 42,    s e    x > 4   ComentárioParabéns! A alternativa A está correta. A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio.Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos.𝑥 𝑦= −2𝑥 (𝑥; -2𝑥)0 -2 . 0 = 0 (0; 0)-2 -2 . (-2) = 4 (-2; 4) Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa: Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função. Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bemcomo calcular o valor da função nos extremos. 𝑥 𝑦=√𝑥 (𝑥; √𝑥)
0 √0=0 (0; 0)
4 √4=2 (4; 2)
a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 12/36
Responder
 
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço
já apresentado.
 
 
 
Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂 :
 
 
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio.
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓:
 
 
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
𝑥
2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por:
𝑓(𝑥)=𝑥 −4𝑥+8. 
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
2
3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙): 
 
 
a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ .+
b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ .+
d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 13/36
Responder
Responder
 
 
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
4. Considere a função . Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é:f (x) = 120x
300−x
5. Considere o gráfico da função 𝑓: 
 
 
a) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2.
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3].
c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
d) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
a) Todo número real 𝑥.
b) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos.
c) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300.
d) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 14/36
Responder
Responder
 
 
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
6. Se a função real definida por possui 𝐷=[𝑎,𝑏] como domínio, então,
𝑎+𝑏 vale:
f (x) = x+1
√x−2+√11−x
VOCÊ CONSEGUIU
DESBLOQUEAR O MÓDULO 2!
E, com isso, você:
 Reconheceu graficamente o domínio, a imagem e o
contradomínio de funções.
 Retornar para o início do módulo 1
a) A função não está definida em 𝑥=1,6.
b) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5].
c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11].
d) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11].
a) 11
b) 5
c) 13
d) 15
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 15/36
 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
Funções Injetoras
Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tais que 𝑎 ≠𝑎 , os números 𝑓(𝑎 ) e 𝑓(𝑎 ) na
imagem de 𝑓 são também distintos.
1 2 1 2 1 2
Exemplo 1
A função 𝑓(𝑥)=𝑥 −1, definida para todos os números reais, é injetiva?2
Observe que: 𝑓(−2)=(−2) −1=3=2 −1=𝑓(2)2 2

Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.

Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑

A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥 −1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais
de uma vez.
2
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 16/36
Atenção
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e
somente se, toda reta horizontal
intersecta seu gráfico em, no
máximo, um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
Exemplo 2
A função 𝑔(𝑥)=𝑥 é injetiva.
Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙
3
𝟑
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um
ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔 é injetiva.
Funções sobrejetoras e bijetoras
Clique nos botões para ver as informações. Objeto com interação.
Sobrejetoras
Bijetoras
Relação geométrica entre os gráficos de uma função
e sua inversa
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa.
Atenção
Lembre-se de que uma função ter
inversa é equivalente a ela ser
bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓 :−1
 e 
se "leva" em então "traz" "de volta" em 
 e 
f :  A → B f −1 :  B → A
f a b f −1 b a
f (a) = b ⇔ f −1(b) = a
Dom(f ) = I m(f −1) Dom(f −1) = I m(f )
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 17/36
É preciso notar que:
Exemplo 1
f (a) = b ⇔ f −1(b) = a
Mas o que essa equivalência significa geometricamente?
Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da função 𝑓 .−1
Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relaçãoà reta 𝒚=𝒙
No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎)
são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas isso é
verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓 .−1
O gráfico de 𝐟 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝐟 em torno da reta 𝐲=𝐱.−𝟏
Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos:
𝑓(𝑓 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ).−1 −1
𝑓(𝑓 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, para todo 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓 )−1 −1
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓 , obteremos de volta 𝑥.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓 , e, em seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦.
−1
−1
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 18/36
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa.
09:01
  Adicione um comentário
Verificando o Aprendizado
Responder
1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥 . Assinale a
alternativa correta:
2
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
 
Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥 :
 
2
a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
b) A função 𝑔 é injetora.
c) A função 𝑔 é sobrejetora.
d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 19/36
Responder
Responder
 
 
Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10.
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem
vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ.
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por:
 
 
 
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥 +2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o
ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓 . O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
2
−1
3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número
𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, . Por
exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois .
Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor?
2×n
n−2
2×6
6−2
= 3
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
a) 1 e 0
b) 2 e 0
c) 3 e 0
d) 4 e 0
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 20/36
Responder
4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: 
 
 
 
Nestas condições, é correto afirmar que:
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩ x2,  s e   − 1 ≤ x ≤ 0x+12 ,  s e  0 < x ≤ 1−x + 2,  s e  1 < x ≤ 25. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por , cujo gráfico é este: Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico dafunção inversa da 𝑓 antes de responder à atividade. Sobre a sua inversa, podemos garantir que:f (x) = 2x−3x−2 + 1a) 𝑓 é sobrejetora.b) 𝑓 é injetora.c) 𝑓 é bijetora.d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 21/36
Responder
Responder
6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥 −3𝑥 +1. O menor valor de 𝑡 para que a
função seja injetora é:
3 2
VOCÊ CONSEGUIU
DESBLOQUEAR O MÓDULO 3!
E, com isso, você:
 Identificou graficamente os tipos de funções: injetora,
sobrejetora e bijetora.
 Retornar para o início do módulo 2
d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 22/36
Exemplo 1
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as
normas climatológicas entre 61-90:
 Definir os conceitos de funções crescentes e decrescentes
Introdução
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo,
estamos interessados em algumas perguntas como:
Onde a função é crescente?
Onde ela é decrescente?
O lucro da empresa aumentou?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações.
Definição
Uma função é considerada crescente quando os valores das imagens, , aumentam à medida que os valores de 
aumentam, ou seja, para , temos: .
Em termos gráficos:
f : R → R  f (x) x
x2 > x1 f (x2 ) > f (x1 )
Uma função é considerada decrescente quando os
valores das imagens, , diminuem à medida em que os valores
de aumentam, ou seja, para , temos .
f : R → R
f (x)
x x2 > x1 f (x2) < f (x1)
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 23/36
Exemplo 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de 2010 a 2058.
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de
chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de
fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal
Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um
aumento significativo das chuvas acumuladas.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto
ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade.
Exemplo 3
Considere a função 
 
 
f (x) = x3
Exemplo 4
Considere a função f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩−x2,  x < 00,  0 ≤ x ≤ 1(x − 1)2,  x > 1    
19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 24/36
Exemplo 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
Resolução da questão
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados , temos que 
.
x1 < x2
f (x1) = x
1
3 < x
2
3 = f (x2)
Observe que a função apresentada não é estritamente
crescente em toda reta real, já que ela é constante no
intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial
em Cálculo I.
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e
onde é decrescente.
Verificando o Aprendizado
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em
uma barragem ao longo de três anos: 
 
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 25/36
Responder
 
 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
Comentário
Parabéns! A alternativa D está correta.
 
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo),vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos.
Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no
nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem
decrescente.
2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2,
conforme mostra o gráfico a seguir: 
 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 26/36
Responder
Responder
Responder
Responder
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo
antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função , em que 𝑥
é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. 
 
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a
decrescer?
f (x) = 12x − 2x2
4. Uma função é crescente e satisfaz a seguinte condição: , para
todo . Se , qual o valor de ?
f : R+ → R+ f (3x) = 3f (x)
x ∈ R+ f (9) = 27 f (1)
5. Sabendo que é um número real, o maior valor de , tal que a função ,
para , seja decrescente, é:
d d f (x) = x2 − 4x + 3
x  <  d
6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase
sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em
2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se
a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de
infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de
infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de
infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de
infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
a) 0
b) 6
c) 3
d) 18
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 27/36
Responder
prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. 
 
Sabemos que a função: 
 
 
 
Onde: 
 
; 
 
 = número de sacolas (em bilhões); 
 
 = número de anos (após 2007). 
 
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: 
 
 
 
 
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em
2011?
N (x) = ax + b
a, b ∈ R
N
x
Fonte: LUCENA, 2010
VOCÊ CONSEGUIU
DESBLOQUEAR O MÓDULO 4!
E, com isso, você:
 Definiu o conceito de funções periódicas.
 Retornar para oinício do módulo 3
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 10
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 28/36
 Definir o conceito de funções periódicas
Introdução
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos
regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
As estações do ano Os batimentos cardíacos
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 29/36
O movimento dos ponteiros de um
relógio de pulso
O movimento dos planetas A corrente elétrica alternada
A circulação do sangue
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções
periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas:
SENO
COSSENO
TANGENTE
Definição
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), para todo 𝑥 no domínio da função.
O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓.
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 30/36
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5.
x 0 1 2 3 4 5
f(x) (-1)0=1 (-1)1=-1 (-1)2=1 (-1)3=-1 (-1)4=1 (-1)5=-1
2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1.
3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1.
Atenção
Se uma função 𝑓 é periódica de
período 𝑇, então, 𝑓 também é
periódica de período 𝑛𝑇, onde
𝑛∈ℕ, já que:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯
=𝑓(𝑥+𝑛𝑇)
Exemplo 1
Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a
função 𝑓 é uma função periódica de período T.
Exemplo 2
Considere a função:
f : N → Z,  tal que  f (x) = (−1)x
Esta é uma função periódica de período 2. Por quê?
    

http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/te0043/index.html
19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 31/36
Exemplo 3
Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o
ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
Quando o ângulo 𝒕 cresce de O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕)
Cresce de 0 𝑎 1
Decresce de 1 𝑎 0
Decresce de 0 𝑎 −1
Cresce de −1 𝑎 0
0 a  
π
2
π
2
 a  π
π a  
3π
2
3π
2
 a  2π
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
06:39
  Adicione um comentário
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 32/36
O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do
tempo 𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração
e expiração).
O fluxo pode ser representado pela função:
f (x) = Asen(ωx)
Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
𝜔 = período respiratório
 o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completoω= 2π
T
→ T =
A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma
“boa” aproximação da realidade.
Verificando o Aprendizado
1. Observe o gráfico da função a seguir: 
 
 
Assinale a resposta correta:

) É f ã iódi d í d 2
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 33/36
Responder
Responder
Responder
Responder
Comentário
Parabéns! A alternativa Destá correta.
 
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Assim:
• 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1;
• 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0.
2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
3. Considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no
intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que:
4. Seja .f (x) = −2 + 3. cos( πx
4
+
π
6 )
5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia
a) É uma função periódica de período 2.
b) É uma função periódica de período 1.
c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2.
d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0.
a) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
b) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
c) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
d) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
a) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).
b) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).
c) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).
d) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).
a) 4 e [-2,2].
b) 4 e [-5,1].
c) 8 e [-2,2].
d) 8 e [-5,1].
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 34/36
Responder
5. Em determinada ilha de turismo, determinou se que a variação da maré ao longo do dia
pode ser descrita pela seguinte função: 
 
Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros. 
 
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia?
f (x) = 2 + sen( πx12 )
6 Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ dada por determine af (x) = 2 + cos( πx + π )
a)
b)
c)
d)
    

19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 35/36
Responder
6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por , determine a
alternativa correta:
f (x) = −2 + cos( 2 + 3 )
VOCÊ CHEGOU AO FINAL DA
EXPERIÊNCIA!
E, com isso, você:
 Definiu o conceito de funções periódicas.
 Retornar para oinício do módulo 3
No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de problemas de nosso cotidiano é realizada com o
auxílio das funções.
O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais aprofundada, a determinar o domínio e a imagem
de alguns tipos de funções algébricas, bem como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora.
É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos apresentados para compreender melhor o
conteúdo.
PODCAST
0:00 5:03 
CONQUISTAS
a) A função 𝒇 é periódica com período 2.
b) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2].
c) A função 𝒇 é bijetora.
d) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
    

javascript:void(0);
19/05/2020 Aprofundamento de funções
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2965858&courseId=14999&classId=1295418&topicId=3113917&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassM… 36/36
 Reconheceu graficamente o domínio, a imagem e o
contradomínio de funções.
 Identificou graficamente os tipos de funções: injetora,
sobrejetora e bijetora.
 Definiu os conceitos de funções crescentes e decrescentes.
 Definiu o conceito de funções periódicas.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE,
2008.
DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4.
FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013. v. 1.
LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v. 1.
LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.).
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010.
MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, mar. 2020.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1.
VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus? Publicação em: 20 mar. 2020.
EXPLORE+
Pesquise e consulte:
O aplicativo on-line GeoGebra;
O Portal OBMEP do Saber.
Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra:
BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.).
CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.).
No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um exercício interessante que mostra o número de
horas de sol ao longo do ano em diferentes locais do planeta.
CONTEUDISTA
Loisi Carla Monteiro Pereira
 Currículo Lattes
    

javascript:void(0);