TEMA 3 -Aprofundamento de Funções

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DESCRIÇÃO
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito
matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de
função real de uma variável real.
PROPÓSITO
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de
problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
MÓDULO 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
MÓDULO 3
Definir funções crescentes e decrescentes
MÓDULO 4
Definir funções periódicas
MÓDULO 1
 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
INTRODUÇÃO
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas
aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas,
porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para
todos os possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para
os quais a fórmula matemática define uma função.
 
Imagem: Shutterstock.com
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o
domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra
as definições básicas relativas às funções.
DEFINIÇÃO
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a
função assume valores reais, ou seja:
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑓(𝑥) ∈ ℝ}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os
seus domínios.
𝐷1=ℝ
D2 = - 2; - √2; - 1; 0; 1; √2; 2
𝐷3=[0;+∞[
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor
restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la.
EXEMPLO 1
Qual é o domínio da função 𝑓 x =
1
x ?
Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está
definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗.
{ }
( )
EXEMPLO 2
Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula g x = √x define uma função 𝑓:𝑋→ℝ?
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função?
( )
EXEMPLO 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e
Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no
projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca,
faça o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a
área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
EXEMPLO 4
SABENDO QUE O COMPRIMENTO DO TERRENO
DE JOÃO É DE 100 M, UTILIZE A EXPRESSÃO
OBTIDA 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) PARA DETERMINAR A
ÁREA DO TERRENO ONDE SERÁ CONSTRUÍDA
A PISCINA.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
javascript:void(0)
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x),
onde x é o número de metros de comprimento do terreno.
Logo, temos:
A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2
Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000.
 ATENÇÃO
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função.
O gráfico de uma função pode ser definido como:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)}
Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥
correspondente.
O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras
informações.
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a
função assume valores reais, ou seja:
COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝒂
PERTENCE AO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 𝒇?
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de
𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único.
 
Foto: Shutterstock.com
EXEMPLO 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
 
Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil
e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. Imagem: Shutterstock.com. Imagem
adaptada por: Gian Corapi.
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto
em Tocantins.
 COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝑏 PERTENCE
À IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 𝑓?
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico
de 𝑓 em pelo menos um ponto.
EXEMPLO 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de
crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em
2029 e 2018, respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
 
Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil
e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DOMÍNIO
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o
gráfico no Eixo 𝑂𝑥.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Vemos que o domínio da função 𝑓 é o intervalo no eixo das abscissas indicado em vermelho.
 
Seu domínio é o intervalo fechado: 𝐷(𝑓) = [ − 1, 4]
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
javascript:void(0)
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Vemos que o domínio da função 𝑔 é o conjunto no eixo das abscissas indicado em vermelho.
 
 Seu domínio é a união de intervalos disjuntos (intervalos cuja interseção é vazia): 
𝐷 𝑔 = -
7
2 , 1 ∪ 1 , 5 .( ) [ ) ( ]
javascript:void(0)
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
IMAGEM
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu
gráfico no Eixo 𝑂𝑦.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Vemos que a imagem da função 𝑓 é o intervalo fechado indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
 
Sua imagem é o intervalo fechado -
9
4 ;
37
12 ,
𝐼𝑚 𝑓 = -
9
4 ;
37
12 .
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
[ ]
( ) [ ]
javascript:void(0)
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂y?
Vemos que a imagem da função 𝑔 é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂y
 
Sua imagem é o intervalo ( − 2; 5, 25].
𝐼𝑚(𝑔) = ( − 2; 5, 25].
EXEMPLO 3
javascript:void(0)
Gráfico da função ℎ
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo
indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo ( − 2; 5, 25].
𝐼𝑚(ℎ) = ( − 2; 5, 25].

Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos:
Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem
deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }.
EXEMPLO 4
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
EXEMPLO 5
Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo -
2
3 ;
5
12 destacado em verde no Eixo 𝑂𝑦, que é um
subconjunto da imagem de 𝑓.
Ao traçar as retas y =
5
12 e y = -
2
3 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos:
[ ]

Se pegarmosa parte do gráfico restrita à região entre as retas y = -
2
3 e y =
5
12 , temos:
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo -
2
5 ;
5
12 da imagem,
basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥.
[ ]
A parte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]:

VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO: 
 
F(X) =
-2X, SE X < 0
√X, SE 0 ≤ X ≤ 4
2, SE X > 4 
f(x)=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
−2x, se x < 0
√x, se 0 ≤ x ≤ 4
2, se x > 4 
 
 
O DOMÍNIO E A IMAGEM DA FUNÇÃO SÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
B) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
C) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
{
D) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
2. (PETROBRAS - 2008) CONSIDERE QUE 𝑓 É UMA FUNÇÃO DEFINIDA
DO CONJUNTO 𝐷 EM ℝ POR: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8. 
SENDO 𝐼𝑚 A IMAGEM DE 𝑓, É CORRETO AFIRMAR QUE, SE:
A) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
B) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
C) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
D) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
3. OBSERVE OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) E 𝒚=𝒉(𝒙): 
 
 
 
 
NO MESMO PAR DE EIXOS, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2.
B) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3].
C) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
D) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
4. CONSIDERE A FUNÇÃO F X =
120X
300 -X . PODEMOS AFIRMAR QUE O
DOMÍNIO DA FUNÇÃO 𝑓 É:
A) Todo número real 𝑥.
B) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos.
C) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300.
D) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos.
5. CONSIDERE O GRÁFICO DA FUNÇÃO 𝑓: 
 
 
( )
 
 
APÓS A ANÁLISE DO GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) A função não está definida em 𝑥=1,6.
B) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5].
C) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11].
D) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11].
6. SE A FUNÇÃO REAL DEFINIDA POR F(X) =
X+ 1
√X - 2 +√11 -X
 POSSUI 𝐷=[𝑎,𝑏]
COMO DOMÍNIO, ENTÃO, 𝑎+𝑏 VALE:
A) 11
B) 5
C) 13
D) 15
GABARITO
1. Considere a seguinte função: 
 
f(x) =
-2x, se x < 0
√x, se 0 ≤ x ≤ 4
2, se x > 4 
f(x)=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
−2x, se x < 0
√x, se 0 ≤ x ≤ 4
2, se x > 4 
 
 
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
{
 
A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços
corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar,
basta considerarmos dois pontos.
𝑥 𝑦= −2𝑥 (𝑥; -2𝑥)
0 -2 . 0 = 0 (0; 0)
-2 -2 . (-2) = 4 (-2; 4)
 
Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa:
 
 
 
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa
parte do domínio da função.
 
Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço
apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos.
 
𝑥 𝑦=√𝑥 (𝑥; √𝑥)
0 √0=0 (0; 0)
4 √4=2 (4; 2)
 
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o
formato parecido com o do esboço já apresentado.
 
 
 
Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo
𝑂𝑥:
 
 
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do
domínio.
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓:
 
 
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por:
𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8. 
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
A alternativa "D " está correta.
 
O gráfico da função 𝑓 é dado por:
 
Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓.
Note que, se 𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[8,20].
Se 𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[4,+∞).
Se 𝐷=[0;2], temos que I𝑚(𝑓)=[4;8].
3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙): 
 
 
 
 
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2.
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)]
𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2].
4. Considere a função f x =
120x
300 -x . Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é:
A alternativa "C " está correta.
( )
 
A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador.
5. Considere o gráfico da função 𝑓: 
 
 
 
 
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no
eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
 
 
 
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no
eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura.
Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑].
𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑].
 
6. Se a função real definida por f(x) =
x+ 1
√x - 2 +√11 -x
 possui 𝐷=[𝑎,𝑏] como domínio, então,
𝑎+𝑏 vale:
A alternativa "C " está correta.
 
Primeiramente, vamos determinar o domínio da função 𝑓. Para isso, precisamos analisar para
quais valores de 𝑥 a função √x - 2 e √11 - x está bem definida e fazer a interseção dos
intervalos.
Note que √x - 2 está bem definida para 𝑥≥2, e √11 - x está bem definida para 11−𝑥≥0, ou seja,
𝑥≤11. Como [2,+∞)∩(−∞,11]=[2,11], temos que 𝐷=[2,11].
Logo, 𝑎+𝑏=2+11=13.
MÓDULO 2
 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎 2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓),
tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de injeção, sobrejeção e bijeção.
EXEMPLO 1
A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva?
Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2)
 
Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.
 
 
Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑
 
A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas
horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez.
 ATENÇÃO
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no
máximo, um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
EXEMPLO 2
A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva.
Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta
horizontal, a função 𝑔 é injetiva.
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS
SOBREJETORAS
Se 𝐴,𝐵⊂ℝ, uma função 𝑓:𝐴→𝐵 é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando 𝑓(𝐴)=𝐵.
Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou
seja,𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)⟶𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do
contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma forma
de garantir que a função seja sobrejetiva.
BIJETORAS
Uma função 𝑓, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada de bijetora ou
bijetiva.
Assim, a função 𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)→𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente se, for
injetora.
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS
GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA
INVERSA
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e
sua inversa.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1:
F : A → B E F - 1 : B → A
SE F"LEVA" A EM B ENTÃO F - 1 "TRAZ" B "DE VOLTA"
EM A
F A = B ⇔ F - 1 B = A
DOM F = IM F - 1 E DOM F - 1 = IM F
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
É preciso notar que:
F A = B ⇔ F - 1 B = A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o que essa equivalência significa geometricamente?
Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da
função 𝑓−1.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙
No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas
isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1.
O GRÁFICO DE 𝐟−𝟏 É OBTIDO REFLETINDO-SE O
GRÁFICO DE 𝐟 EM TORNO DA RETA 𝐲=𝐱.
Simetria entre os gráficos de 𝒇 e 𝒇−𝟏
Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos:
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1,
obteremos de volta 𝑥.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em
seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦.
EXEMPLO 1
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e
sua inversa.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ADAPTADA DE: LIVRO ABERTO - S.D.) CONSIDERE A FUNÇÃO
𝑔:ℝ→ℝ TAL QUE 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
B) A função 𝑔 é injetora.
C) A função 𝑔 é sobrejetora.
D) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
2. CONSIDERE A FUNÇÃO BIJETORA 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] DEFINIDA POR
𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 E SEJA (𝑎,𝑏) O PONTO DE INTERSEÇÃO DE 𝑓 COM SUA
INVERSA 𝑓−1. O VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO 𝑎+𝑏 É:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
3. (ADAPTADA DE: OBMEP-2019) A CALCULADORA DE DARIO TEM UMA
TECLA ESPECIAL. SE UM NÚMERO 𝑛, DIFERENTE DE 2, ESTÁ NO VISOR,
ELE APERTA A TECLA ESPECIAL E APARECE O NÚMERO, 
2 ×N
N - 2 . POR
EXEMPLO, SE O NÚMERO 6 ESTÁ NO VISOR, AO APERTAR A TECLA
ESPECIAL, APARECE 3, POIS 
2 × 6
6 - 2 = 3. PARA QUAIS VALORES DARIO
OBTÉM O MESMO NÚMERO QUE ESTÁ INICIALMENTE NO VISOR?
A) 1 e 0
B) 2 e 0
C) 3 e 0
D) 4 e 0
4. CONSIDERE A FUNÇÃO 𝑓:(−1,2]→ℝ, DADA POR: 
 
F(X) =
X2, SE - 1 ≤ X ≤ 0
X+ 1
2 , SE 0 < X ≤ 1
-X + 2, SE 1 < X ≤ 2
 
 
NESTAS CONDIÇÕES, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) 𝑓 é sobrejetora.
B) 𝑓 é injetora.
C) 𝑓 é bijetora.
D) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].
5. SEJA A FUNÇÃO 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, DEFINIDA POR F X =
2X - 3
X - 2 + 1, CUJO
GRÁFICO É ESTE: 
 
 
COM OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS NO EXEMPLO DO VÍDEO
{
( )
DESTE MÓDULO, CONSTRUA O GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA DA 𝑓
ANTES DE RESPONDER À ATIVIDADE. 
 
SOBRE A SUA INVERSA, PODEMOS GARANTIR QUE:
A) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
B) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
B)
C) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
C)
D) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
D)
6. SEJA 𝑓 A FUNÇÃO 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, DEFINIDA POR 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O
MENOR VALOR DE 𝑡 PARA QUE A FUNÇÃO SEJA INJETORA É:
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
GABARITO
1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2.
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
 
Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2:
 
 
 
Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe
𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10.
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o
seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por
exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ.
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔
é dado por:
 
 
 
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o
ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
A alternativa "A " está correta.
 
Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão
sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o
sistema:
y = x
y = - 3x2 + 2x + 2{
Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓, sugerido na
questão. Assim, devemos resolver a equação:
x = - 3x2 + 2x + 2
x = −3x2 + 2x + 2
-3x2 + x + 2 = 0
x =
- 1 ± 5
- 6 =
x1 = 1
x2 = -
2
3
Como -
2
3 não pertence ao domínio da função 𝑓, a única solução é 𝑥=1 e, portanto, 𝑦=1, como
podemos ver graficamente:
Consequentemente 𝑎+𝑏=2.
 
3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um
número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 
2 ×n
n - 2 . Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3,
pois 
2 × 6
6 - 2 = 3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no
visor?
A alternativa "D " está correta.
{
 
Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar:
f n =
nx2
n - 2
Desejamos obter os valores de 𝑛, tais que 𝑓(𝑛)=𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da
função dada. Vamos aos cálculos:
nx2
n - 2 = n
0 = n2 - 4n = n n - 4
Logo, 𝑛=0 e 𝑛=4.
4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: 
 
f(x) =
x2, se - 1 ≤ x ≤ 0
x+ 1
2 , se 0 < x ≤ 1
-x + 2, se 1 < x ≤ 2
 
 
Nestas condições, é correto afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Observe o gráfico da função 𝑓:
 
( )
( )
{
 
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não
é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora.
5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por f x =
2x - 3
x - 2 + 1, cujo gráfico é este: 
 
( )
 
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o
gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade. 
 
Sobre a sua inversa, podemos garantir que:
A alternativa "D " está correta.
 
O gráfico da função inversa é dado por:
6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a
função seja injetora é:
A alternativa "D " está correta.
 
Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1: 
 
Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2.
O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal.
MÓDULO 3
 Definir funções crescentes e decrescentes
INTRODUÇÃO
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função
em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como:
ONDE A FUNÇÃO É CRESCENTE?
ONDE ELA É DECRESCENTE?
O LUCRO DA EMPRESA AUMENTOU?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da
reta real e algumas de suas aplicações.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função crescente e função decrescente.
DEFINIÇÃO
Uma função 𝑓 : ℝ → ℝ é considerada crescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥),
aumentam à medida que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2 > 𝑥1, temos: 
𝑓 𝑥2 > 𝑓 𝑥1 .
Em termos gráficos:
Uma função 𝑓 : ℝ → ℝ é considerada decrescente quando os valores das imagens, 𝑓(𝑥),
diminuem à medida em que os valores de 𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥2 > 𝑥1, temos 
𝑓 𝑥2 < 𝑓 𝑥1 .
 
Foto: Shutterstock.com
( ) ( )
( ) ( )
EXEMPLO 1
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a
Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90:
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiroao
mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a
previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas.
 
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).
EXEMPLO 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início
de 2010 a 2058.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa
bruta de mortalidade.
EXEMPLO 3
Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 
 
 
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados 𝑥1 < 𝑥2, temos que 𝑓 𝑥1 = 𝑥
1
3 < 𝑥
2
3 = 𝑓 𝑥2 .
( )
( ) ( )
EXEMPLO 4
Considere a função 𝑓(x) =
−𝑥2, 𝑥 < 0
0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
(𝑥 − 1)2, 𝑥 > 1
Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela
é constante no intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I.
EXEMPLO 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
{
 
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em ( − ∞, − 0. 22) ∪ (1. 55, + ∞)
e decrescente em ( − 0. 22, 1. 55).
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ADAPTADA DE: UFPE - 2017) NO GRÁFICO A SEGUIR, TEMOS O
NÍVEL DA ÁGUA ARMAZENADA EM UMA BARRAGEM AO LONGO DE
TRÊS ANOS: 
 
javascript:void(0)
 
 
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
B) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
C) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
D) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
2. NO ANO DE 2020, O MUNDO FOI ASSOLADO POR UMA PANDEMIA,
CAUSADA PELO VÍRUS SAR-COV-2, CONFORME MOSTRA O GRÁFICO A
SEGUIR: 
 
 
 
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
B) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
C) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
D) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
3. APÓS VÁRIAS EXPERIÊNCIAS EM LABORATÓRIOS, OBSERVOU-SE
QUE A CONCENTRAÇÃO DE CERTO ANTIBIÓTICO NO SANGUE DE
COBAIAS VARIA DE ACORDO COM A FUNÇÃO 𝑓 𝑥 = 12𝑥 − 2𝑥2, EM QUE
𝑥 É O TEMPO DECORRIDO, EM HORAS, APÓS A INGESTÃO DO
ANTIBIÓTICO. 
 
( )
NESSAS CONDIÇÕES, A PARTIR DE QUAL MOMENTO A
CONCENTRAÇÃO DESSE ANTIBIÓTICO COMEÇA A DECRESCER?
A) 0
B) 6
C) 3
D) 18
4. UMA FUNÇÃO 𝑓 :ℝ + → ℝ + É CRESCENTE E SATISFAZ A SEGUINTE
CONDIÇÃO: 𝑓(3𝑥) = 3𝑓(𝑥), PARA TODO 𝑥 ∈ ℝ + . SE 𝑓(9) = 27, QUAL O
VALOR DE 𝑓(1)?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
5. SABENDO QUE 𝑑 É UM NÚMERO REAL, O MAIOR VALOR DE 𝑑, TAL
QUE A FUNÇÃO 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, PARA X < D, SEJA DECRESCENTE,
É:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
6. (ADAPTADA DE: ENEM - 2010) AS SACOLAS PLÁSTICAS SUJAM
FLORESTAS, RIOS E OCEANOS, E QUASE SEMPRE ACABAM MATANDO
POR ASFIXIA PEIXES, BALEIAS E OUTROS ANIMAIS AQUÁTICOS. NO
( )
BRASIL, EM 2007, FORAM CONSUMIDAS 18 BILHÕES DE SACOLAS
PLÁSTICAS. OS SUPERMERCADOS BRASILEIROS SE PREPARARAM
PARA ACABAR COM AS SACOLAS PLÁSTICAS ATÉ 2016. 
 
SABEMOS QUE A FUNÇÃO: 
 
𝑁(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
ONDE: 
 
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; 
 
𝑁 = NÚMERO DE SACOLAS (EM BILHÕES); 
 
𝑥 = NÚMERO DE ANOS (APÓS 2007). 
 
OBSERVE O GRÁFICO A SEGUIR, QUE CONSIDERA A ORIGEM COMO O
ANO DE 2007: 
 
 
 
FONTE: LUCENA, 2010
 
 
DE ACORDO COM AS INFORMAÇÕES, QUANTOS BILHÕES DE SACOLAS
PLÁSTICAS SERÃO CONSUMIDAS EM 2011?
A) 4,0
B) 6,5
C) 7,0
D) 10
GABARITO
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em
uma barragem ao longo de três anos: 
 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi
atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a
representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água
armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em
questão não é crescente nem decrescente.
2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-
COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir: 
 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y
(correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 
𝑦 = 20𝑘 e 𝑦 = 40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em
03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03
a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a
diminuir e não volta a crescer.
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo
antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓 𝑥 = 12𝑥 − 2𝑥 2, em
que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. 
 
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a
decrescer?
( )
A alternativa "C " está correta.
 
Observe o gráfico da função 𝑓:
Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do 𝑥 𝑉
da parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito
algebricamente.
Algebricamente, temos:
𝑥 𝑉 = −
𝑏
2𝑎
Onde:
𝑎 = − 2 → coeficiente de 𝑥2 na função quadrática;
𝑏 = 12 → coeficiente de 𝑥 na função quadrática.
Assim:
𝑥 𝑉 = −
12
2 ( − 2 ) = 3
4. Uma função 𝑓 :ℝ + → ℝ + é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥) = 3𝑓(𝑥),
para todo 𝑥 ∈ ℝ + . Se 𝑓(9) = 27, qual o valor de 𝑓(1)?
A alternativa "C " está correta.
 
Note que:
 27 = 𝑓(9) = 𝑓(3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 𝑓(3 ⋅ 1) = 3 ⋅ 3 ⋅ 𝑓(1)
Logo, temos:
𝑓 1 =
27
9 = 3
5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, para x < d, seja decrescente, é:
A alternativa "C " está correta.
 
A parte do gráfico onde x < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto 
−
𝑏
2𝑎 , −
Δ
4𝑎 = 2, − 1 . Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para 
𝑥 ≤ 2, portanto, o maior valor de 𝑑 é 2.
6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e
quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos.
No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os
supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até
2016. 
 
Sabemos que a função: 
 
𝑁(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
Onde: 
 
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; 
 
𝑁 = número de sacolas (em bilhões); 
 
𝑥 = número de anos (após 2007). 
 
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: 
 
 
( )
( )
( ) ( )
 
Fonte: LUCENA, 2010
 
 
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas
em 2011?
A alternativa "D " está correta.
 
Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011,
precisamos determinar os valores de 𝑎 e 𝑏.
Analisando o gráfico, 𝑓(0) = 18 e 𝑓(9) = 0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos:
18 = 0𝑎 + 𝑏, 𝑏 = 18.
Além disso, substituindo o valor de 𝑏 em 𝑓(9) = 0, obtemos:
0 = 9𝑎 + 18 ⇒ 9𝑎 = − 18 ⇒ 𝑎 = − 2.
Logo: 𝑓(𝑥) = − 2𝑥 + 18.
Portanto: 𝑓(4) = ( − 2) ⋅ 4 + 18 = 10.
MÓDULO 4
 Definir funções periódicasFoto: Shutterstock.com
INTRODUÇÃO
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma
repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
 
Imagem: Shutterstock.com
AS ESTAÇÕES DO ANO
 
Imagem: Shutterstock.com
OS BATIMENTOS CARDIÁCOS
 
Imagem: Shutterstock.com
OS MOVIMENTOS DOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO
DE PULSO
 
Imagem: Shutterstock.com
O MOVIMENTO DOS PLANETAS
 
Imagem: Shutterstock.com
A CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA
 
Imagem: Shutterstock.com
A CIRCULAÇÃO DO SANGUE
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as
periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções
trigonométricas:
 SENO
 COSSENO
 TANGENTE
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função periódica.
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥),
para todo 𝑥 no domínio da função.
O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período
da 𝑓.
 ATENÇÃO
Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde
𝑛∈ℕ, já que:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇)
ELETROCARDIOGRAMA
Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na condução elétrica pelo
coração.
EXEMPLO 1
Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao
eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em
intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T.
javascript:void(0)
 
Imagem: Shutterstock.com
EXEMPLO 2
Considere a função:
𝑓 :ℕ → ℤ, TAL QUE 𝑓 𝑥 = ( − 1) 𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5.
x 0 1 2 3 4 5
f(x) (-1)0=1 (-1)1=-1 (-1)2=1 (-1)3=-1 (-1)4=1 (-1)5=-1
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
( )
2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1.
3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1.
ESTA É UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2.
POR QUÊ?
Ora, quando 𝑥 varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥+6)...
Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2.
 
Foto: Shutterstock.com
EXEMPLO 3
Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e
dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
Quando o ângulo 𝒕 cresce de O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕)
0 a 
π
2
Cresce de 0 𝑎 1
π
2 a π Decresce de 1 𝑎 0
π a 
3π
2
Decresce de 0 𝑎 −1
3π
2 a 2π
Cresce de −1 𝑎 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os
sentidos dos pulmões (inspiração e expiração).
O fluxo pode ser representado pela função:
𝑓(𝑥) = ASEN(𝜔𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Shutterstock.com
Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
𝜔 = período respiratório
ω =
2π
T → T = o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo
A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas
estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade.
 
Imagem: Shutterstock.com
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. OBSERVE O GRÁFICO DA FUNÇÃO A SEGUIR: 
 
 
ASSINALE A RESPOSTA CORRETA:
A) É uma função periódica de período 2.
B) É uma função periódica de período 1.
C) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento,
𝑓(14)=2.
D) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo
comportamento, 𝑓(17)=0.
2. SENDO 𝑓:ℝ→ℝ UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2, PODEMOS
AFIRMAR QUE:
A) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
B) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
C) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
D) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
3. CONSIDERE QUE A FUNÇÃO 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] SEJA PERIÓDICA COM
PERÍODO 6 E SEJA CRESCENTE NO INTERVALO [4,10]. LOGO,
PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).
B) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).
C) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).
D) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).
4. SEJA F X = - 2 + 3. COS
ΠX
4 +
Π
6 .
A) 4 e [-2,2].
B) 4 e [-5,1].
C) 8 e [-2,2].
D) 8 e [-5,1].
5. EM DETERMINADA ILHA DE TURISMO, DETERMINOU-SE QUE A
VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DO DIA PODE SER DESCRITA PELA
SEGUINTE FUNÇÃO: F X = 2 + SEN
ΠX
12 
 
ONDE 𝒙 É MEDIDO EM HORAS E 𝒇(𝒙) EM METROS. 
 
QUAL GRÁFICO REPRESENTA A VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DE
UM DIA?
A)
( ) ( )
( ) ( )
A)
B)
B)
C)
C)
D)
D)
6. CONSIDERANDO A FUNÇÃO 𝒇:ℝ→ℝ, DADA POR 
F X = - 2 + COS
ΠX
2 +
Π
3 , DETERMINE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) A função 𝒇 é periódica com período 2.
B) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2].
C) A função 𝒇 é bijetora.
D) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
GABARITO
1. Observe o gráfico da função a seguir: 
 
 
Assinale a resposta correta:
A alternativa "D " está correta.
 
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Assim:
• 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1;
• 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0.
( ) ( )
2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
Note que a função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1, pois:
𝑔(𝑥+1)=𝑓(2(𝑥+1))=𝑓(2𝑥+2)=𝑓(2𝑥)=𝑔(𝑥).
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 4.
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞) é periódica de período 4.
3. Considere que a função 𝒇:[𝟒 , +∞[ →[−𝟑 ,𝟕] seja periódica com período 6 e seja
crescente no intervalo [4,10]. Logo, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é
periódica com período 6. Isso significa que:
𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙+𝟔), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈[𝟒, +∞[.
Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que:
𝑥,𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
Sendo 𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o
mesmo vale para os intervalos:
• 𝑥,𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
• 𝑥,𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período).
Agora vamos analisar cada alternativa:
a) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟎+𝟔)=𝒇(𝟏𝟔) 𝒆 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟔+𝟔)=𝒇(𝟐𝟐)
⇒ 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐).
Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟓).
Portanto, a letra A é falsa.
b) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟏𝟐+𝟔)=𝒇(𝟏𝟖) 𝒆 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒)
⇒ 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟏𝟓) e 𝒇(𝟏𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟔). Como 10 e 15
estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓).
Portanto, a letra B é falsa.
c) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟏𝟓+𝟔)=𝒇(𝟐𝟏).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟏) e 𝒇(𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão
no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟐𝟏).
Portanto, a letra C é falsa.d) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟖) e 𝒇(𝟐𝟕). Note que:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟐𝟐+𝟔)=𝒇(𝟐𝟖).
Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟖)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟕).
Portanto, a letra D é verdadeira.
4. Seja f x = - 2 + 3. cos
πx
4 +
π
6 .
A alternativa "D " está correta.
 
O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P =
2π
| a | Então, no caso de
nossa função 𝒇(𝒙), temos a =
π
4 O período será:
( ) ( )
P =
2π
| a | =
2π
π
4
= 2π × 
4
π =
8π
π = 8
Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem:
𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f x = - 2 + 3. cos
πx
4 +
π
6 , temos:
-1 ≤ cos
πx
4 +
π
6 ≤ 1 (multiplicando por 3) ⇒
-3 ≤ 3. cos
πx
4 +
π
6 ≤ 3 (somando - 2) ⇒
-5 ≤ - 8 + 3. cos
πx
4 +
π
6 ≤ 1 (somando - 2) ⇒
Im(f) = [ - 5, 1]
5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do
dia pode ser descrita pela seguinte função: f x = 2 + sen
πx
12 
 
Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros. 
 
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia?
A alternativa "D " está correta.
 
Lembrando que uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem dada pelo seguinte
intervalo:
𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, a imagem da função f x = 2 + sen
πx
12 pode ser obtida da seguinte forma:
-1 ≤ sen
πx
12 ≤ 1 somando 2 ⇒
-1 ≤ 2 + sen
πx
12 ≤ 3 ⇒
-1 ≤ f(x) ≤ 3.
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Logo, a imagem da função f x = 2 + sen
πx
12 é o intervalo [𝟏;𝟑], ou seja, a altura mínima da
maré é de 1 metro, enquanto a altura máxima é de 3 metros.
Assim, as possíveis alternativas são as das letras (b) e (d). Pelos gráficos dessas letras, vemos
que as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h.
Calculando 𝒇(𝟔) e 𝒇(𝟏𝟖), obtemos:
f 6 = 2 + sen
π . 6
12 = 2 + sen
π
2 = 2 + 1 = 3
f 18 = 2 + sen
π . 18
12 = 2 + sen
3π
2 = 2 + - 1 = 1
Portanto, o gráfico que representa a variação da maré é o que consta na letra D.
6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por f x = - 2 + cos
πx
2 +
π
3 , determine a
alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
 
Vamos analisar cada alternativa:
a) O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P =
2π
| a | . Então, no caso
de nossa função 𝒇(𝒙), temos a =
π
2 . O período será:
P =
2π
| a | =
2π
π
2
= 2π ×
2
π =
4π
π = 4
Logo, o período da função dada não é 2.
b) Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f x = - 2 + cos
πx
2 +
π
3 , temos:
-1 ≤ cos
πx
2 +
π
3 ≤ 1 somando - 2 ⇒
-3 ≤ - 2 + cos
πx
2 +
π
3 ≤ - 1 ⇒
Im(f) = [ - 3, - 1]
Logo, a imagem de 𝒇 não é o intervalo [-2,2].
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
c) Como vimos na letra B, a imagem de 𝒇 é:
Im(f) = [ - 3, - 1] ≠ R = contradomínio
Logo, 𝒇 não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora. 
 
d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−𝟑,−𝟏]. Como −𝟏,𝟓 ∈[−𝟑,−𝟏],
então, existe 𝒙 ∈𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇=ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de
problemas de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções.
O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais
aprofundada, a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, bem
como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora.
É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos
apresentados para compreender melhor o conteúdo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e
das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4.
FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013.
v. 1.
LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2006. v. 1.
LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.).
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010.
MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN,
mar. 2020.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1.
VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus?
Publicação em: 20 mar. 2020.
EXPLORE+
Pesquise e consulte:
O aplicativo on-line GeoGebra;
O Portal OBMEP do Saber.
Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra:
BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.).
CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.).
No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um
exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes
locais do planeta.
CONTEUDISTA
Loisi Carla Monteiro Pereira
 CURRÍCULO LATTES
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