Transformada Discreta de Fourier

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Processamento Digital de Sinais
 Transformada Discreta de 
Fourier 
Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti
Jean Baptiste Joseph Fourier
Nascimento: 21 de março de 1768 em Auxerre, 
Bourgogne, França
Morte: 16 de maio de 1830 em Paris, França
Introdução
A análise de Fourier é uma família de técnicas 
matemáticas, todas elas baseadas na decomposição de 
sinais em senóides.
A Transformada Discreta de Fourier (Discrete Fourier 
Transform - DFT) é o membro da família utilizado para 
sinais digitalizados.
A DFT tem versões real e imaginária. Neste curso iremos 
focar apenas a versão real da DFT.
Classificação de sinais
Os sinais podem ser classificados segundo vários 
critérios. Por exemplo: 
sinais contínuos ou discretos
sinais periódicos ou aperiódicos 
Estes dois critérios levam aos quatro elementos da família 
de transformadas de Fourier:
Sinais contínuos e aperiódicos: Transformada de Fourier
Sinais contínuos e periódicos: Série de Fourier
Sinais discretos e aperiódicos: Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto (DTFT)
Sinais discretos e periódicos: Transformada Discreta de Fourier 
(DFT)
“Família” Fourier
Transformada de Fourier 
(aperiódico, contínuo)
Série de Fourier 
(periódico, contínuo)
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto (DTFT) (aperiódico, discreto)
Transformada Discreta de Fourier 
(DFT) (periódico, discreto)
Observações
Todos os quatro membros da família de transformadas de 
Fourier assumem que os sinais sob análise têm duração infinita.
Para analisar os sinais com um computador ou um DSP, os 
sinais têm necessariamente que ter duração finita.
Desta forma, temos que fazer com que os sinais “pareçam” ter 
duração infinita.
Isto pode ser feito de duas maneiras:
– Considerar que o sinal é nulo fora do intervalo de análise 
(aperiódico - DTFT)
– Considerar que o sinal se repete periodicamente (periódico - 
DFT)
O que funciona na prática
Para processar os sinais usando um computador ou DSP, 
os sinais devem estar na forma digital (discretos).
Para representar sinais aperiódicos são necessárias 
infinitas senóides, o que inviabiliza o uso da DTFT.
Em outras palavras, computadores só podem lidar com 
sinais discretos e finitos em comprimento.
Conclusão: a única transformada que pode ser utilizada na 
prática é a DFT.
Decomposição em senóides
cossenos
senos
decomposição
síntese
Um sinal de N=16 pontos ...
... pode ser decomposto em 
N/2+1=9 sinais cossenoidais e 
N/2+1=9 sinais senoidais, 
cada um com 16 pontos.
Por que usar senóides?
Existem infinitas formas de onda que podem ser usadas 
na decomposição: onda quadrada, triangular, etc.
A razão para a escolha das senóides é a propriedade de 
fidelidade senoidal: senóides que entram em um sistema 
linear saem como senóides com (possíveis) mudanças na 
amplitude e fase, mas mantendo a frequência original.
Esta propriedade é bastante útil (como veremos a seguir), 
e apenas as senóides a possuem.
Em resumo, outras decomposições são possíveis, mas 
não são úteis.
Notação e formato da DFT real
Converte um sinal de N pontos no domínio do tempo em 2 
sinais de (N/2+1) pontos no domínio da frequência.
O sinal de entrada (tempo) contém as amostras do sinal a ser 
decomposto, e os sinais de saída (frequências) contêm as 
amplitudes dos senos e cossenos.
0 N-1
x[n] 0
0 N/2
N/2
DFT direta
DFT inversa
ReX[f]
ImX[f]
(amplitudes dos cossenos)
(amplitudes dos senos)
Domínio do tempo Domínio da frequência
Observações
As informações contidas no domínio da frequência são 
exatamente as mesmas do domínio do tempo, só que de 
forma diferente.
Tempo  Frequência: decomposição, análise, DFT direta.
Frequência  Tempo: síntese, DFT inversa.
O número de amostras no domínio do tempo é geralmente 
representado pela letra N, sendo que N é geralmente 
potência de 2, por causa do modo de representação digital 
(binário), e porque o algoritmo da FFT opera com um 
número de amostras que deve ser potência de 2.
A variável independente no domínio da 
frequência
0 N/2
0 0.5
0 fs/2
0 
N
fs
Hz

Em termos de fração da frequência de 
amostragem
Em termos da frequência real do sinal
Em termos da frequência angular do sinal
Em termos do número de pontos da 
DFT
Cheque sua compreensão
Ocorre um pico na amostra correspondente ao índice 19 
quando tomamos a DFT de 256 pontos de um sinal qualquer.
a) Qual é a frequência do pico expressa como uma fração da 
frequência de amostragem? É necessário conhecer a 
frequência de amostragem para responder a esta questão?
b) Qual é a frequência do pico expressa como frequência 
natural?
c) Qual é a taxa de amostragem se o pico corresponde a 
21,5kHz no sinal analógico?
d) Qual é a frequência da senóide (em Hz) se a taxa de 
amostragem é de 100 kHz?
Funções base da DFT
As ondas senoidais e cossenoidais usadas na DFT 
são comumentemente chamadas de funções base da 
DFT.
A saída da DFT é um conjunto de números que 
representam as amplitudes destes senos e cossenos.
A soma destes vários senos e cossenos ponderados 
pelos coeficientes da DFT gera o sinal original no 
domínio do tempo.
Pontos importantes
As funções base da DFT são geradas a partir de:
onde ck é a onda cossenoidal cuja amplitude é dada por 
ReX[k], e sk é a senóide cuja amplitude é dada por ImX[k].
k determina a frequência de cada senóide. Por exemplo, 
k=5 corresponde a uma senóide (ou cossenóide) que 
completa 5 ciclos em N pontos.
Cada uma destas senóides e cossenóides deve ter N 
pontos, de modo que a soma destas resulte no sinal 
original de N pontos. 
ck [i ]=cos (2π ki/N ) s k [ i ]= sen(2π ki/ N )
Exemplo
c0 e s0: cossenos e senos com 
0 ciclos completos em N=32 pontos 
c2 e s2: cossenos e senos com 
2 ciclos completos em N=32 pontos 
c10 e s10: cossenos e senos com 
10 ciclos completos em N=32 pontos 
c16 e s16: cossenos e senos com 16 
ciclos completos em N=32 pontos 
Cheque sua compreensão
Determine as funções base para uma DFT de N=4 pontos.
ck [i ]=cos (2π ki/N ) s k [ i ]= sen(2π ki/ N )
Observações
c0: onda cossenoidal de amplitude 1 e frequência zero. ReX[0] 
corresponde então ao nível DC do sinal.
s0: sinal composto só de zeros. Desde que não influi na síntese 
do sinal no tempo, ImX[0] assume sempre o valor 0.
c16: cosseno que realiza 16 ciclos em N pontos. Corresponde a 
uma onda senoidal amostrada nos picos.
s16: seno que realiza 16 ciclos em N pontos. Corresponde a 
uma onda amostrada nos cruzamentos por zero. Portanto 
ImX[N/2]=ImX[0]=0.
Questão
Se existem N amostras entrando e N/2+1 + N/2+1 = N+2 
amostras saindo, de onde veio a informação extra?
Duas das amostras de saída são nulas e não carregam 
informação: ImX[0] e ImX[N/2]
Equações de análise – DFT direta
O método clássico para a determinação dos coeficientes 
da DFT é o da correlação.
Resumidamente, para detectar uma forma de onda 
conhecida contida em um outro sinal, multiplique os os 
sinais e some os pontos do produto resultante.
Este procedimento fornece um número que é uma medida 
da similaridade entre os dois sinais.
Desta forma, as equações de análise da DFT fornecem 
coeficientes que são uma medida da similaridade entre o 
sinal sob análise e cada uma das senóides e cossenóides.
DFT direta
Cada amostra no domínio da frequência é encontrada 
multiplicando-se o sinal no domínio do tempo pela onda 
senoidal ou cossenoidal em questão, e somando os 
resultados.
Em outras palavras, os coeficientes ReX[k] e ImX[k] são o 
resultado da correlação entre o sinal e cada uma das 
funções base, para um deslocamento igual a zero da 
máquina de correlação vista anteriormente.
ReX [k ]=∑
i=0
N−1
x [ i ]cos 2 k i /N  ImX [k ]=−∑i=0
N−1
x [ i ]sen 2 k i /N 
Exemplo
Calcule a DFT de 4 pontos do sinal x={1,2,3,4}.
Problema: reconstruir o sinal original no domínio do tempo 
através da combinação linear de senos e cossenos.
onde:
Equações de Síntese – DFT inversa
x [ i ]=∑
k=0
N /2
Re X [k ] cos2 k i /N ∑
k=0
N /2
Im X [k ]sen 2 k i /N 
Re X [ k ]= ReX [k ]
N /2
Im X [ k ]=−Im X [k ]
N /2
Re X [ 0]= Re X [0 ]
N
Re X [N /2]= Re X [N /2]
N
Exemplo
O domínio da frequência de um sinal é dado por:
parte real: 1, 2, 3, 3, 1, -2, -1, 1, 2
parte imaginária: 0, -1, -2, 0, 0, 0, 2, 1, 0
a) A qual comprimento de DFT este sinal corresponde?
b) Calcule as amplitudes dos senos e cossenos para 
reconstruir o sinal no domínio do tempo.
c) Qual é a média do sinal no domínio do tempo (nível DC)?
Notação polar
O domínio da frequência consiste de um grupo de amplitudes 
de senos e cossenos.
Esta forma de representação é conhecida como notação 
retangular.
Alternativamente, podemos representar o domínio da 
frequência em notação polar.
Nesta forma, ReX[ ] e ImX[ ] são substituídas por MagX[ ] e 
FaseX[ ], representando a magnitude e a fase de X[ ].
MagX[ ] e FaseX[ ] são substitutos par-a-par de ReX[ ] e ImX[ ], 
isto é, para calcular MagX[0] e FaseX[0], precisamos somente 
de ReX[0] e ImX[0], e assim por diante.
Conversão Retangular-Polar
FaseX [k ]=arctg  ImX [ k ]ReX [ k ] 
MagX [ k ]=ReX 2[ k ]ImX 2[ k ]
ReX [k ]=MagX [k ] cos FaseX [k ]
ImX [k ]=MagX [k ] sen FaseX [k ]ReX
ImX
MagX
FaseX
Re
Im
Informação na forma polar
Problemas com a notação polar
Existem alguns problemas numéricos quando lidamos 
com a notação polar:
Fase em radianos ou em graus
Divisão por zero no cálculo da fase
Arco-tangente incorreta
Fase de sinais de baixa magnitude
Ambiguidade da fase de 2
Ambiguidade da fase de 
Radianos vs Graus
A fase pode ser expressa em graus (de -1800 a +1800) ou 
em radianos (de - a +). 
A maioria das linguagens de programação usa a fase em 
radianos.
Fonte de muitos erros de implementação.
Divisão por zero no cálculo da fase
Quando a parte real é nula (ReX[k]=0), temos uma fase de –900 
ou +900 (- ou +), dependendo do sinal da parte imaginária.
A fórmula da fase leva a uma divisão por zero, o que causa erro 
em tempo de execução.
Fácilmente contornável através de estruturas condicionais (if).
FaseX [k ]=arctg  ImX [ k ]ReX [ k ] 
ReX
ImX
MagX
FaseX
Re
Im
Erro no arco-tangente
1
1
Re Re
Im Im
-1
-1
=450
=−1350
FaseX [k ]=arctg  ImX [ k ]ReX [ k ] 
=arctg  11 
=450
FaseX [k ]=arctg  ImX [ k ]ReX [ k ] 
=arctg −1−1 
=450
Erro no arco-tangente (cont.)
Este erro acontece sempre que a parte real é negativa. Para 
corrigi-lo, devemos adotar o seguinte procedimento:
– Se tanto a parte real como a parte imaginária forem negativas, 
devemos subtrair 1800 (ou  radianos) da fase calculada.
– Se a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva, 
devemos somar 1800 (ou  radianos) à fase calculada.
Como identificar este erro: se a fase variar no intervalo (-
900,900) ao invés de no intervalo (-1800,+1800), você está 
calculando a fase de forma errada. 
Fase de sinais de baixa magnitude
Quando um sinal de baixa amplitude, contaminado por 
ruído, é visto na forma polar, temos:
– a magnitude é pequena também;
– a fase assume valores aleatórios entre -1800 e +1800 (- a +).
Ambiguidade 2 da fase
A fase geralmente se apresenta no intervalo (- a +), como em a).
É geralmente mais fácil de entender a fase se esta não apresentar 
descontinuidades, como em b) (phase unwrapping).
a) b)
Cheque sua compreensão
Converter as seguintes partes reais e imaginárias para a 
forma polar. Esboce um diagrama para cada um. Em cada 
caso verifique se a equação fase = arctan (IP / RP) fornece a 
resposta correta sem etapas adicionais:
 a. RP = 1, IP = 1 e. RP = 1, IP = 0
 b. RP = 1, IP = -1 f. RP = -1, IP = 0
 c. RP = -1, IP = 1 g. RP = 0, IP = 1
 d. RP = -1, IP = -1 h. RP = 0, IP = -1
A Transformada Discreta do Cosseno
Transformada direta:
onde
Transformada inversa:
C k = k ∑
n=0
N−1
x ncos [n1/2kN ] , para 0nN−1
x n=∑
k=0
N−1
k C k cos [n1/2kN ] , para 0nN−1
k ={1 /n , k=02/ n ,1kN−1
Propriedade da DCT
Quando aplicada a sinais como voz e vídeo, a maior parte 
da energia é concentrada em uns poucos coeficientes.
Com isto pode-se descartar a maioria dos coeficientes na 
transmissão, sem perda significativa de qualidade.
A DCT faz parte da maioria dos sistemas de videodifusão 
digital em operação em todo o mundo.
Exemplo: JPEG
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