A Transformada de Fourier direta e inversa

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TRABALHO – AV 1
CIRCUITOS ESPECIAIS
ALUNO: ARILSON GIOVANI ASSUNÇÃO ALMEIDA
MATRICULA: 201301519456
PROF.: OMAR
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
A Transformada de Fourier direta e inversa
Por que utilizar uma transformada?
Alguns problemas são difíceis de solucionar diretamente. Pode ser mais fácil resolver o problema transformado e aplicar a transformada inversa na solução.
Deve-se levar em consideração a dificuldade envolvida em aplicar a transformada ao problema original e em aplicar a transformada inversa na solução do problema transformado.
A representação de um sinal no domínio do tempo (do espaço, ...) está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Certas operações tornam-se muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da frequência, domínio este, conseguido a partir das Transformadas de Fourier (TF).
Transformada Discreta de Fourier DFS / DFT
Transformadas para sinais de tempo discreto
E uma transformada da variável contínua ´ ω 
• Usada para sinais de duração finita/infinita
• Não pode ser implementada de maneira exata num computador 
• Uso de outras ferramentas matemáticas que a aproximam
DFT:
Aplicada a sinais de tempo discreto de duração finita
• O resultado ´e um sinal de frequência discreta e de duração finita
• Pode ser implementada de maneira exata num computador
• E uma aproximação da DTFT ´ 
• Existem algoritmos eficientes para seu cálculo (FFT - Fast Fourier Transforma) 
• Está relacionada com sinais periódicos (DFS - Discreto Fourier Series)
Transformada Inversa de Fourier
Sendo dada uma F(u) , a função inversa , f(x) pode ser obtida de:
Chama-se par de Fourier ao conjunto ( f(x), F(u) )
F(u) é geralmente um função complexa
• de modo que, como um número complexo, faz sentido se falar em uma parte real e outra imaginária:
• E também em descrevê-la na forma polar, como magnitude e ângulo de fase.
Forma série trigonométrica
As constantes a0, ak e bk (1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica. Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que:
f(x) = f(x + 2π)
Coeficientes da Série
Forma exponencial
 • se forem usadas as Identidades de Euler:
Propriedades 
A transformada de Fourier se comporta muito bem com relação a várias das operações comumente efetuadas em funções: combinações lineares, translação, dilatação, diferenciação, multiplicação por polinômios e convolução. 
Propriedade 1 (Linearidade). Se f, g : R → C são funções absolutamente integráveis e a, b ∈ R, então
Propriedade 2 (Transformadas de Fourier de Derivadas). Se f : R → C ´e uma função diferencial absolutamente integrável tal que f 0 também ´e uma função absolutamente integrável, então
Se f : R → C ´e uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável tal que f 0 e f 00 também são funções absolutamente integráveis, então
Propriedade 3 (Derivadas de Transformadas de Fourier). Se f : R → C ´e uma função absolutamente integrável tal que xf(x) também ´e uma função absolutamente integrável, então
Se f : R → C ´e uma função absolutamente integrável tal que x 2f(x) também ´e uma função absolutamente integrável, então
Em geral, se f : R → C ´e uma função absolutamente integrável tal que x kf(x) também ´e uma função absolutamente integrável, então
Propriedade 4 (Transformada de Fourier de uma Translação). Se f : R → C ´e uma função absolutamente integrável, então
Reciprocamente,
Propriedade 5 (Transformada de Fourier de uma Dilatação). Se f : R → C ´e uma função absolutamente integrável e a 6= 0, então
Propriedade 6 (Transformada de Fourier de uma Convolução). Se f, g : R → C são funções absolutamente integráveis, então
Aplicação
Processamento de sinais
Modulação de Sinal 
Processamento de Áudio e de Voz
▪ Filtragem Passa-baixa 
▪ Filtragem Passa-faixa
▪ Filtragem Passa-alta
As técnicas de processamento de sinais e imagens estão se aprimorando a todo momento, da mesma forma que as diversas aplicações realizadas, como o processamento de imagens médicas, o aperfeiçoamento de imagens de satélites, ou mesmo o trabalho com fotográficas e impressões. Trataremos a respeito de algumas aplicações presentes na área de processamento digital de imagens. Veremos a realização de operações com a Transformada de Fourier e também com a Transformada Inversa, a utilização de filltros na otimização de imagens, o processo de detecção de bordas, a aplicação do processo de luminância, de borramento e também a restauração de imagens.
BIBLIOGRAFIA
Fonte: http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeFourier.pdf
Fonte: http://www2.ic.uff.br/~aconci/Fourier.PDF
Fonte: http://www.mat.ufmg.br/~aneves/ensino/edb/chapter8.pdf
Fonte: https://www.dm.ufscar.br/dm/attachments/article/6/TCCJosiana.pdf
Fonte: http://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/ele1095_4_dft.pdf