Aula4 - Unidade II - com respostas

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Lógica Matemática
Unidade II – Formalismo lógico
Aula 4
Profa Daisy Albuquerque
2Lógica Matemática- Unidade II – Profª Daisy Albuquerque 2
Lógica Matemática
 Sumário
 Proposição
 Operadores lógicos
 Tabela-verdade
 Negação de proposição
 Revisão
 Exercícios
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Proposição
 O que é uma proposição?
➢ Conjunto de palavras ou símbolos que 
exprimem um pensamento de sentido 
completo, de modo que se possa atribuir, 
dentro de certo contexto, somente um de 
dois valores lógicos possíveis: verdadeiro 
ou falso.
 Exemplos:
 a) O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo. V
 b) O Brasil é um País da América do Sul. V
 c) A Bahia é um estado do sul do Brasil. F
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Proposição
 E o que não é uma Proposição?
 Sentenças exclamativas: 
“Caramba!”, “Feliz aniversário!”, “Feliz Ano Novo!”.
 Sentenças interrogativas: 
“Como é seu nome?”, “O jogo saiu de quanto?”
 Sentenças imperativas: 
“Estude mais”, “Leia aquele livro”.
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Tipos de Proposições
 Proposições SIMPLES
Aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras 
proposições. 
São geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r. 
➢ Ex: p = João é médico.
 Proposições COMPOSTAS
Duas ou mais proposições conectadas entre si, formando 
uma só sentença. 
São geralmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R.
➢ Ex: R = João é médico e Pedro é dentista.
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Princípios das Proposições
 Princípio da identidade
 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma 
proposição falsa é falsa. 
 Princípio da não-contradição:
 Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
simultaneamente.
 Princípio do Terceiro Excluído:
 Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa, 
não há outra possibilidade.
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Operadores lógicos
 Com duas proposições ou mais, podemos 
formar:
 Conjunções: a Λ b (lê-se: a e b)
 Disjunções: a ⋁ b (lê-se: a ou b)
 Disjunções exclusiva: a V b (lê-se: ou a ou b)
 Condicionais: a → b (lê-se: se a então b)
 Bicondicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)
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Tabela-verdade
 É um instrumento usado para determinar os 
valores lógicos das proposições compostas, a 
partir de atribuições de todos os possíveis 
valores lógicos das proposições simples 
componentes.
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Construção da tabela-verdade
 Número de linhas da Tabela-verdade
2 elevado ao número de proposições simples.
 Ordem de precedência 
➢ Começando sempre trabalhando com o que houver 
dentro dos parênteses. 
➢ E obdecendo sempre a seguinte ordem:
1. Faremos as negações (~);
2. Faremos as conjunções ou disjunções, na ordem em 
que aparecerem;
3. Faremos o condicional;
4. Faremos o bicondicional.
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Tabela-Verdade
Exemplo: 
Para fixar nossos conhecimentos vamos construir a tabela-
verdade da seguinte proposição composta: 
P(p,q) = (p ∧ ~q) V (q ∧ ~p)
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Tabela-Verdade
Exemplo: 
(p ∧ ~q) V (q ∧ ~p)
Nr
linhas
p q ~p ~q (p ∧ ~q) (q ∧ ~p) (p ∧ ~q) V (q ∧ ~p)
1 V V F F F F F
2 V F F V V F V
3 F V V F F V V
4 F F V V F F F
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Negação
 de uma Proposição Simples
 O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira 
(¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase.
 Basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma 
negativa. 
Exemplos:
 
João é médico. Negativa: João não é médico.
Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.
 Reparemos que caso a sentença original já seja uma negativa (já 
traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que 
excluir a palavra não. 
Exemplo:
 
João não é médico. Negativa: João é médico.
Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.
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Negação
 de uma Proposição Conjuntiva
 Para negar uma proposição no formato de conjunção (p e q), 
faremos o seguinte:
1. Negaremos a primeira parte (~p);
2. Negaremos a segunda parte (~q);
3. Trocaremos e por ou.
Exemplo: p: João é médico e q: Pedro é dentista, então a 
negação de (p e q) será:
1. Nega-se a primeira parte (~p) = João não é médico;
2. Nega-se a segunda parte (~q) = Pedro não é dentista;
3. Troca-se E por OU, e o resultado final será o seguinte:
JOÃO NÃO É MÉDICO OU PEDRO NÃO É DENTISTA.
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 Traduzindo para a linguagem da lógica, dizemos que:
 Como fomos chegar à essa conclusão?
Negação
 de uma Proposição Conjuntiva
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Negação
 de uma Proposição Disjuntiva
 Para negar uma proposição no formato de disjunção (p ou q), 
faremos o seguinte:
1. Negaremos a primeira parte (~p);
2. Negaremos a segunda parte (~q);
3. Trocaremos ou por e.
Exemplo: p: João é médico e q: Pedro é dentista, então a 
negação de (p ou q) será:
1. Nega-se a primeira parte (~p) = Pedro não é dentista;
2. Nega-se a segunda parte (~q) = Paulo não é engenheiro;
3. Troca-se OU por E, e o resultado final será o seguinte:
PEDRO NÃO É DENTISTA E PAULO NÃO É ENGENHEIRO.
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 Traduzindo para a linguagem da lógica, dizemos que:
 Como fomos chegar à essa conclusão?
Negação
 de uma Proposição Disjuntiva
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Negação
 de uma Proposição Condicional
 Para negar uma proposição no formato condicional (p → q), 
faremos o seguinte:
1. Mantém-se a primeira parte (p); E
2. Nega-se a segunda parte (~q).
Exemplo: “se chover então levarei o guarda-chuva”.
 
1. Mantém-se a primeira parte (p) = Chove;
2. Nega-se a segunda parte (~q) = Não levo o guarda-
chuva;
CHOVE E NÃO LEVO O GUARDA-CHUVA.
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 Traduzindo para a linguagem da lógica, dizemos que:
 Como fomos chegar a essa conclusão?
? ? ?
Negação
 de uma Proposição Condicional
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Negação
 de uma Proposição Condicional
Nr p q p→q ~(p→q)
1 V V V F
2 V F F V
3 F V V F
4 F F V F
Nr p q ~q p ∧~q
1 V V F F
2 V F V V
3 F V F F
4 F F V F
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
 Para negar uma proposição no formato bicondicional (p ↔ q), 
faremos o seguinte:
1. Negar 1 Bicondicional é negar 2 condicionais;
2. (p ↔ q) é equivalente a ((p→q) ^ (q →p));
3. Então ~((p→q) ^ (q →p)):
● Negaremos a primeira parte (p→q);
● Negaremos a segunda parte (q →p);e
● Trocaremos e por ou.
4. ~(p → q)
● Mantêm a primeira e nega a segunda
● p ^ ~q
5. ~(q →p)
● Mantêm a primeira e nega a segunda
● q ^ ~p
6. (p ˄~q)˅ (q ˄~p)
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negação lógica para a proposição 
“a Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode 
ser dada por:
 
a) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
b) a Terra é redonda e o céu não é azul.
c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul.
d) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negação lógica para a proposição“a Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode 
ser dada por:
 
a) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
b) a Terra é redonda e o céu não é azul.
c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul.
d) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
 p q (p q) (q p)↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~((p q) (q p))↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~( p q)↔ ≡ → ˅ ~(q p) →
 ~(p q) (p ~q)↔ ≡ ∧ ˅ (q ~p) ∧
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negação lógica para a proposição 
“a Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode 
ser dada por:
 
a) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
b) a Terra é redonda e o céu não é azul.
c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é azul.
d) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
p q (p q) (q p)↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~((p q) (q p))↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~( p q)↔ ≡ → ˅ ~(q p) →
 ~(p q) (p ~q)↔ ≡ ∧ ˅ (q ~p) ∧
a Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a 
Terra não é redonda.
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negação lógica para a proposição “a 
Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode ser 
dada por:
 
a) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
b) a Terra é redonda e o céu não é azul.
c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é 
azul.
d) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
p q (p q) (q p)↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~((p q) (q p))↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~( p q)↔ ≡ → ˅ ~(q p) →
 ~(p q) (p ~q)↔ ≡ ∧ ˅ (q ~p) ∧
a Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra 
não é redonda.
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Negação
 de uma Proposição Bicondicional
Exemplo: (VUNESP/2013) Uma negação lógica para a proposição “a 
Terra é redonda se e somente se o céu não é azul”, pode ser 
dada por:
 
a) o céu é azul e a Terra é redonda, ou a Terra é redonda e o céu não é azul.
b) a Terra é redonda e o céu não é azul.
c) o céu não é azul e a Terra não é redonda, ou a Terra é redonda e o céu é 
azul.
d) a Terra não é redonda ou o céu não é azul.
Solução:
p: a Terra é redonda
q:o céu não é azul
p q (p q) (q p)↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~((p q) (q p))↔ ≡ → ∧ →
 ~(p q) ~( p q)↔ ≡ → ˅ ~(q p) →
 ~(p q) (p ~q)↔ ≡ ∧ ˅ (q ~p) ∧
a Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra 
não é redonda.
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Recapitulando
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Exercícios
CEPERJ/2012 - Concurso Procon do Rio de Janeiro
Considere a afirmação: "Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
A negação dessa afirmação é:
a) Isabel almoçou e não foi ao dentista.
b) Isabel almoçou ou não foi ao dentista.
c) Isabel não almoçou e não foi ao dentista.
d) Isabel não almoçou e não foi ao dentista.
e) Isabel foi ao dentista e não almoçou.
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Exercícios
CEPERJ/2012 - Concurso Procon do Rio de Janeiro
Considere a afirmação: "Isabel não almoçou e foi ao dentista." 
A negação dessa afirmação é:
Negação da conjução (p ˄ q):
p: Isabel não almoçou
q: foi ao dentista
Para que uma proposição com o conectivo " ˄" seja considerada 
negativa é necessário negar as proposições simples e trocar o 
conectivo pelo "˅".
p: Isabel não almoçou -->> Negação: Isabel almoçou
q: Foi ao dentista -->> Negação: Não foi ao dentista
Resposta: "Isabel almoçou ou não foi ao dentista.
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Exercícios
(FT_98) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou 
José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, 
também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais 
velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, 
respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
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Exercícios
(FT_98) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou 
José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, 
que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o 
mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:
Resolução:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I)
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II)
Considerando a proposição (II):
Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (Essa proposição será verdadeira se somente 
uma das proposições for verdadeira.)
Considerando que Caio é o mais velho, então Adriano não é o mais velho.
Considerando a proposição:
Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.
Essa proposição será verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira.
José é o mais velho é falso pela (II), então Adriano é o mais moço.
Alternativa: b) Caio e Adriano
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	Proposição
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