HM-03-Estatica-03

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106-Mecânica Aplicada curso de Pilotagem ENIDH 
Elementos de Estática Texto de apoio 
Estatica-Texto-06-07.doc PAG. 24 
Problema 9.2 
 
A figura P9.2.a mostra, em esquema, uma barcaça 
amarrada às margens de um rio pelos cabos A, B e C, 
considerados ideais. Está também representada a força 
da corrente. As forças que traccionam os cabos A e B 
valem 1200 N e 800 N, respectivamente. Nas condições 
da figura, calcular a intensidade da força da corrente e a 
força que tracciona o cabo C. 
 
 
Figura P9.2.a 
 
Resolução 
 
A argola, onde amarram os três cabos na barcaça, é 
escolhida para desenhar um diagrama de corpo livre 
figura PP.9.2.b, alínea a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de corpo livre para a argola está destacado 
na alínea b) da figura PP.9.2.b. Das forças nos cabos 
(caso 8.2) só interessam aquelas que actuam na argola. 
Estão representadas por 1200 N, 800 N, TC (tracção no 
cabo C) e a força da corrente Fc  alínea c) da figura. 
 
 
Trata-se de quatro forças complanares e linhas de acção 
concorrentes  condição de equilíbrio 7.3. É necessário 
escrever duas equações de equilíbrio 
 
 
  0Fe0F yx
. 
 
Da escrita das duas equações resulta o sistema 
 




 

01200)º30(sen
C
T)º30(sen800
y
F
0
c
F)º70cos(
C
T)º30cos(800
x
F . 
 
que depois de resolvido origina 





851
C
T
401
c
F . 
 
Resposta: a intensidade da força da corrente e a força 
que tracciona o cabo C valem 401 N e 851 N, respecti-
vamente. 
 
 
Problema 9.3 
 
A figura P9.3.a mostra uma barra com um apoio fixo em 
A e um apoio móvel em B. Atendendo ao carregamento 
indicado calcular as reacções nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
O diagrama de corpo livre para a barra está desenhado 
na figura P9.3.b. A força 150 N foi decomposta na 
direcção x, 150 N  cos(35º) = 123 N, e na direcção y, 
150 N  sen(35º) = 86 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reacção no apoio fixo A traduz-se nas duas forças per-
pendiculares entre si Ax e Ay (caso 8.7). No apoio móvel 
B existe uma reacção By, perpendicular à barra (caso 
8.8). 
 
 
 
Figura P-9.2.b
x
y
TC
30º 70º
90º
a)
b)
c)
corrente
1200 N
800 N
Fc
0,8 m 1,2 m
150 N
A B
Figura P-9.3.a
35º
123 NAx
Ay By
A B x
y
+
Figura P-9.3.b
86 N
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Observação: Os sentidos das forças Ax, Ay e B são 
desconhecidos à partida. Os sentidos indicados no 
diagrama de corpo livre são arbitrados. No final, os sinais 
dos resultados fixam os sentidos correctos. 
 
As forças aplicadas à barra são complanares e com 
linhas de acção não concorrentes  condição de 
equilíbrio 7.5. É necessário escrever três equações de 
equilíbrio. 
 
 
   0Me0F,0F yx
. 
 
Os momentos para a terceira equação podem ser calcu-
lados em relação ao ponto A. Da escrita das três 
equações resulta 
 





 
 

02868,0yBAM
086yByAyF
0123xAxF  








215yB
129yA
123xA 
 
O sinal negativo de Ay significa que a sua representação, 
no diagrama de corpo livre, deve ter sentido contrário 
para que haja equilíbrio. 
 
Resposta: A reacção Ax vale 123 N. A reacção Ay vale 
129 N e tem sentido contrário ao arbitrado no diagrama 
de corpo livre. Em B a reacção vale 215 N. A barra em 
equilíbrio está representada na figura P9.3.c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compondo Ax e Ay pode obter-se a reacção total em A 
 alínea a) da figura P9.3.d . 
 
N178N)129(N)3(12A 22 
 
 
º4,46
N123
N129
arctg 
 
 
Uma alternativa de resolução para este problema particu-
lar tem em conta que: Três forças em equilíbrio têm 
linhas de acção concorrentes. 
 
As linhas de acção das forças 150 e B, alínea b) da 
figura P9.3.d, têm direcções fixas e determinam o ponto 
P. A linha de acção da força A “é obrigada” a passar por 
P. 
 
Com h = 1,2tg(35º) e h = 0,8tg() resulta  = 46,4º. 
Para calcular A e B considera-se o triângulo de forças da 
alínea c) da figura P9.3.d . 
 
 
N178A
)º6,43(sen
N150
)º55(sen
A

 
 
N215B
)º6,43(sen
N150
)º4,81(sen
B

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 9.4 
 
A figura P9.4.a mostra uma barra encastrada em A. 
Atendendo ao carregamento indicado calcular as 
reacções no encastramento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
O diagrama de corpo livre para a barra está desenhado 
na figura P9.4.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força 150 N é decomposta nas direcções x e y. As 
reacções no encastramento traduzem-se em duas forças 
perpendiculares entre si Ax e Ay e num momento de 
encastramento (caso 8.9). 
 
 
2,1 m
120 N.m
A
35º
Figura P-9.4.a
150 N
120 N.m
Figura P-9.4.b
2: 150sen(35º)=86 N
1: 150cos(35º)=123 N
1
2Me
Ay
Ax
x
y
+
123 N123 N
129 N 215 N
A B
Figura P-9.3.c
86 N
150 N
A
B
Figura P-9.3.d
35º123 N
12
9 N
178 N
 = 46,4º
a) b)
35º
1,2 m0,8 m

P B
A
150
55º
55º
90º-46,4=43,6º
180º-55º-43,6º=81,4º
c)
h
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Observação: Os sentidos de Ax, Ay e Me são desconheci-
dos à partida. Os sentidos indicados no diagrama de 
corpo livre são arbitrados. No final, os sinais dos 
resultados fixam os sentidos corectos. 
 
As forças aplicadas à barra são complanares e com 
linhas de acção não concorrentes  condição de 
equilíbrio 7.5. É necessário escrever três equações de 
equilíbrio. 
 
   0Me0F,0F yx
. 
Os momentos para a terceira equação podem ser calcu-
lados em relação ao ponto A. Da escrita das três 
equações resulta 
 





 
 

01,286120
e
MAM
086yAyF
0123xAxF  








6,60M
86yA
123xA
e
. 
 
O sinal negativo de Me significa que a representação no 
diagrama de corpo livre deve ter sentido contrário. 
 
Resposta: A reacção Ax vale 123 N, a reacção Ay vale 86 
N e o momento de encastramento 60,6 N.m e tem 
sentido contrário ao arbitrado no diagrama de corpo livre. 
 
 
Problema 9.5 
 
A figura P9.5.a mostra um homem que levanta uma 
tábua AB, de comprimento 4 m e peso 100 N, puxando 
uma corda. 
Nas condições da figura calcular a força de tracção T na 
corda e a reacção em A. 
 
Figura P9.5.a 
 
Resolução 
 
O diagrama de corpo livre vai ser desenhado relativa-
mente à tábua  figura P9.5.b. 
O peso é colocado a meio da tábua. A força que a corda 
exerce na tábua está representada por T (caso 8.2). Em 
A colocam-se duas forças resultantes do contacto com a 
superfície horizontal e vertical (caso 8.3). 
 
Observação: Os sentidos das forças Ax e Ay são desco-
nhecidos à partida. Os sentidos indicados no diagrama 
de corpo livre são arbitrados. No final, os sinais dos 
resultados fixam os sentidos correctos.A força T é decomposta nas direcções x e y com o 
ângulo 15º  figura P9.5.c. Nesta figura também se 
representam distâncias necessárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças aplicadas à tábua são complanares e com 
linhas de acção não concorrentes  condição de 
equilíbrio 7.5. É necessário escrever três equações de 
equilíbrio. 
 
 
   0Me0F,0F yx
. 
 
Os momentos para a terceira equação podem ser calcu-
lados em relação ao ponto A. Da escrita das três 
equações resulta 
 








 
 

0)º45cos(4)º15cos(T
)º45cos(4)º15(Tsen)º45cos(2100AM
0)º15(Tsen100yAyF
0)º15cos(TxAxF
 
 
  








7,70T
3,118yA
3,68xA 
 
 
 
Ax
Ay
100 N
A
Figura P-9.5.b
T 30º
15º
Ax
Ay
100 N
A
B
x
y
+
Figura P-9.5.c
Tcos(15º)
Tsen(15º)
4cos(45º)
2cos(45º)
4s
en
(4
5º
)
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Resposta: A reacções Ax e Ay valem 68,3 N e 118,3 N, 
respectivamente, e têm sentidos correctos no diagrama 
de corpo livre. A força de tracção na corda vale 70,7 N. 
 
 
Compondo Ax e Ay pode obter-se a reacção total em A 
 alínea a) da figura P9.5.d . 
 
N134,4N)3,118(N)8,36(A 22 
 
 
º9,61
N3,68
N3,118
arctg 
 
 
As forças aplicadas à tábua estão representadas na 
alínea b) da figura P9.5.d . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 9.6 
 
O sistema da figura P9.6.a suporta a carga de 600 N. É 
constituído pelas roldanas A, B e C, pelos cabos ideais 1 
e 2 e pela barra 3. 
Calcular a força P, para equilíbrio, e as forças que 
traccionam os cabos 1 e 2 e a barra 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P9.6.a 
 
Resolução 
 
A força P tracciona a extremidade do cabo ideal 1. Em 
qualquer ponto 
 do cabo, haja ou não roldanas, este é traccionado pela 
mesma força P. 
 
Podem ser considerados os três cortes 1, 2 e 3 figura 
P9.6.b. Substituindo os cortes por forças obtêm-se os 
diagramas de corpo livre I, II e III  figura P9.6.c. 
 
Em cada diagrama as forças são complanares e 
estritamente paralelas  condição de equilíbrio 7.6. No 
geral é necessário escrever duas equações de equilíbrio 
 
 
  0Me0Fy
. 
 
Neste caso particular a segunda equação é indetermi-
nada. Resta a primeira equação. 
 
 
Diagrama I: 
  0P3
TP
2
TyF
 
 
Diagrama II: 
  0PP3
TyF
 
 
Diagrama III: 
  0600PPPyF
 
 
Com as equações anteriores calcula-se P = 200, T3 = 
400 e T2 = 800. 
 
Resposta: a força P vale 200 N assim como a tracção no 
cabo 1. A barra 3 é traccionada com 400 N e cabo 2 com 
800 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63,3 N
11
8,
3 
N
100 N
A
Figura P-9.5.d
T 30º
15º
134,4 N
61,9º
134,4 N
16,9º
45º
a) b)
T3
P
600 N
Figura P-9.6.c
T2
P
P
P
P
P
P
P
P
T3
I
II
III
y
x
C
B
A
2
3
P
600 N
1
11
Figura P-9.6.b
corte 1
corte 2
corte 3
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Problema 9.7 
 
O motor representado na figura P9.7.a é sustentado 
pelo sistema de três correntes AB, AC e AD. 
As corrente AB e AC estão dimensionadas para uma 
força de tracção máxima de 2500 N e 3000 N, respecti-
vamente 
Calcular o peso máximo do motor que pode ser 
suportado pelo sistema. 
 
 
Figura P9.7.a 
 
 
Resolução 
 
O corpo livre a considerar é a argola A, tal como no 
problema 9.1. A figura P9.7.b mostra o diagrama de 
corpo livre respectivo, representando P o peso do motor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As duas equações de equilíbrio são 
 




 

0P)º30(sen
2
T
y
F
0)º30cos(
2
T
1
T
x
F . 
 
que originam 
)º30(sen
)º30cos(P
1
T 
 e 
)º30(sen
P
2
T 
. 
 
Uma vez que T1 e T2 têm valores máximos impõem-se as 
condições 
 
2500
)º30(sen
)º30cos(P

  
3000
)º30(sen
P

 
 
resultando 
 
P  1443  P  1500 . 
 
 
O máximo valor de P que satisfaz em simultâneo as duas 
condições anteriores é P = 1443. 
 
Resposta: o peso máximo do motor que pode ser 
suportado pelo sistema é 1443 N. 
 
 
 
 
Problema 9.8 
 
A figura P9.8.a mostra uma barra AB com apoio fixo em 
A e encostada à barra ED. Esta tem um apoio móvel em 
C e um fixo em D. Uma força de 30 kN actua em B. 
Calcular as reacções nos apoios A, C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Os casos 8.7 e 8.8 mostram as reacções a prever no 
caso de apoio fixo e móvel, respectivamente. 
 
A figura P9.8.b mostra o diagrama de corpo livre para o 
conjunto das duas barras considerado um todo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conjunto liga-se ao exterior em A, C e D. Estas liga-
ções são substituídas pelas respectivas reacções. 
Os sentidos das forças Ax e Ay, Cy, Dx e Dy são desco-
nhecidos e por isso são arbitrados. No final, os sinais dos 
resultados fixam os sentidos correctos. 
 
As forças são complanares e têm linhas de acção não 
concorrentes  condição de equilíbrio 7.5. As equações 
de equilíbrio são três 
   0Me0F,0F yx
. 
 
Figura P-9.7.b
x
y
T1 30º
T2
P
A
30º
A
B
C DE
30 kN
Figura P-9.8.b
Dx
DyCy
Ax
Ay
3aa30ºA
B
C DE
b
b
30 kN
Figura P-9.8.a
90º
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Representando, genericamente, por ne o número de 
equações de equilíbrio disponíveis num problema e por 
ni o número de incógnitas a calcular, pode fazer-se a 
seguinte classificação 
 













cohipoestátiproblemainen
oisoestáticproblemainen
aparente
real
icohiperestátproblemainen
 
 
Um problema é hiperestático real se não puder ser resol-
vido dentro da estática. Estão fora do âmbito da presente 
matéria. 
Um problema é hiperestático aparente se, com algum 
artifício, puder ser resolvido dentro da estática. 
 
Todos os problemas de equilíbrio resolvidos anteriormen-
te são isoestáticos. 
 
O presente problema é hiperestático porque existem três 
equações de equilíbrio e cinco incógnitas, Ax, Ay, Cy, Dx e 
Dy. É aparente porque pode ser resolvido, por exemplo, 
considerando dois diagramas de corpo livre, um para 
cada barra  figura P9.8.c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relativamente ao diagrama da figura P9.8.a alterou-se 
a orientação de Ax e Ay por conveniência de eixos. Ao 
romper a ligação em E surgem duas forças (princípio da 
acção-reacção) uma actuando na barra AB e outra na 
barra ED (caso 8.3). 
 
Equações de equilíbrio para o diagrama I: 
 





 
 

0b230bEAM
030EyAyF
0xAxF 
 
Equações de equilíbrio para o diagrama II: 
 





 
 
0a4yDayCM
0yDyC)º60(EsenyF
0xD)º60cos(ExF
E
 
 
Resolvendo este sistema de seis equações e seis 
incógnitas resulta 
Ax = 0; Ay = 30,0; Cy = +69,3; Dx = 30,0; Dy = 17,3; 
E = +60,0 
 
Resposta: No apoio A a reacção Ax é nula e a reacção Ay 
vale 30,0 kN com sentido contrário ao arbitrado no dia-
grama I. Em C a reacção vale 69,3 kN e o sentido no 
diagrama II está correcto. Em D as reacções Dx e Dy 
valem, respectivamente, 30,0 kN e 17,3 kN e têm 
sentidos contrários aos arbitrados. 
 
As barras em equilíbrio estão representadas na figura 
P9.8.d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30ºA
B
C D
E
30 kN
Figura P-9.8.c
Dx
DyCy
Ax Ay
E x
y
x
y
+
+
I
II
60º
30 kN
B
C
D
E
30 kN
Figura P-9.8.d
30,0 kN
17,3 kN
69,3 kN
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Problema 9.9 
 
A figura P9.9.a mostra um peso P sustentado pelos 
cabos ideais 1, 2 e 3 e concorrendo na argola A. O 
ângulo entre 1 e 2 tem amplitude . Os cabos 1 e 2 têm 
comprimentos iguais. 
Representando por T a força de tracção nos cabos 1 e 2, 
calcular T em função de  e representar graficamente a 
respectiva função. Tirar conclusões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Dada a simetria do problema os cabos 1 e 2 estão 
sujeitos à mesma força de tracção T. O diagrama de 
corpo livre, referente à argola A, está desenhado na 
figura P9.9.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de equilíbrio 
 
 
  0)2/cos(T)2/cos(TPyF
 
 
permite calcular a função pedida, ou seja, T em função 
de . 
 
 
)2/cos(2
P
T


. 
 
A figura P9.9.c mostra o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A análise do gráfico permite tirar algumas conclusões. 
 
Com  = 0º vem T = P/2. Esta situação limite correspon-
de à posição vertical dos cabos 1 e 2, em que o peso P 
se divide pelos dois cabos. 
 
Com  = 120º vem T = P. Para esta posição a força 
induzida nos cabos 1 e 2 é igual a P, ou seja, o peso que 
se quer levantar. 
 
A curva tende assimptoticamente para a recta vertical em 
 = 180º. Quanto mais próximo  estiver de 180º tanto 
maior é a força induzida nos cabos 1 e 2. Por exemplo, 
se  = 168,5º a tracção T é cerca de cinco vezes o peso 
P. 
 
A situação  = 180º é fisicamente impossível porque 
corresponde a uma tracção T infinita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
Peso = P
Figura P-9.9.a
3
A
/2 /2T
P
T
y
Figura P-9.9.b
A

P
P/2
120º0º 180º
T = --------------P
2cos( / 2)
Figura P-9.9.c
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10 Forças distribuídas 
 
 
A alínea a) da figura 10.1 mostra esquematicamente uma 
força distribuída em linha. É caracterizada por uma 
função dependente da abcissa x, habituamente repre-
sentada por q(x) e designada por função intensidade de 
carga. Para cada x a função q(x) determina o valor da 
intensidade de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionalmente uma força distribuída em linha ca-
racteriza-se por uma força a dividir por um comprimento, 
ou seja 
 
 
   
 
 1FL
L
F
q


 . 
 
No equilíbrio de corpos rígidos uma força distribuída é 
substituída por uma força concentrada devidamente 
situada. 
 
Pretende-se que os sistemas a) e b) da figura 10.1 sejam 
estaticamente equivalentes. Para isso é necessário 
calcular a força Q concentrada e a distância b. 
 
 
10.1 Caso geral 
x
q(x)
q(x)
a L
 
 
 



La
a
dx)x(qQ
 
 (10.1) 
 
Q
dx)x(qx
b
La
a


 
x
y
Qb
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2 Caso particular  distribuição rectângular 
A distribuição é uniforme, ou seja, com intensidade cons-
tante. 
A carga concentrada Q, equivalente, obtém-se com a 
"área" do rectângulo e tem linha de acção a passar no 
meio da base L. 
x
| q(x) | = q
L
y
a
 
 
 
 
LqQ 
 
 (10.2) 
 
2
L
ab 
 
x
y
Qb
a L/2 L/2 
 
 
10.3 Caso particular  distribuição triangular 
A intensidade da carga distribuída varia linearmente desde 
zero até uma intensidade designada por qmax . 
A carga concentrada Q, equivalente, obtém-se com a 
"área" do triângulo e tem linha de acção a passar a um 
terço da base L em relação a qmax . 
x
qmax
L
y
a
 
 
 
 
2
max
qL
Q


 
 (10.3) 
 
3
L2
ab 
 
x
y
Qb
a 2L/3 L/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
q(x)
q(x)
a L
x
y
Q
b
Figura 10.1
a) b)
106-Mecânica Aplicada curso de Pilotagem ENIDH 
Elementos de Estática Texto de apoio 
Estatica-Texto-06-07.doc PAG. 32 
10.4 Caso particular  distribuição trapezoidal 
A intensidade da carga distribuída varia linearmente desde 
q1 até q2. Este caso pode ser decomposto na soma dos 
dois casos anteriores. 
x
q2
L
y
a
q1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
qL
rect
Q 
 
 
 
2
L
ab 
 
 (10.4) 
 
 
2
1
q
2
qL
trian
Q


 
 
 
3
L2
a'b 
 
x
L
y
a
q1
 
 
+ 
 
x
L
y
a
q2 - q1
 
 
x
y
Qtrian
b'
a 2L/3 L/3
a L/2
Qrect
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10.1 
 
A figura E10.1.a mostra uma barra AB, com apoio fixo 
em A e móvel em B. Está sujeita, em todo o seu 
comprimento, a uma força distribuída cuja intensidade, 
em módulo, varia de acordo com a função q(x) = 300x
2
 
(x em m e q em N/m). 
Calcular as reacções nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
O diagrama de corpo livre para a barra, figura E10.1.b, 
mostra as reacções previstas para os dois tipos de 
apoios e a força concentrada equivalente à força 
distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A intensidade da força Q e o comprimento b são 
calculados com as fórmulas (10.1) do caso geral 10.1. 
 
 
    8003032100203x
3
300
dx
2
x300Q
2
0
 
N 
  
 
m5,1
800
404275
800
2
0x
4
300
800
dx
3
x300
800
dx
2
x300x
b
42
0
2
0




 
 
 
As forças aplicadas à barra são complanares e com 
linhas de acção não concorrentes  condição de 
equilíbrio 7.5. 
 
Da escrita das três equações resulta 
 
x
y
Figura E-10.1.a
| q(x) | = 300x2
2 m
A B
x
y Q
Figura E-10.1.b
2 m
b
Ax
Ay By
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Elementos de Estática Texto de apoio 
Estatica-Texto-06-07.docPAG. 33 





 
 

05,18002yBAM
0800yByAyF
0xAxF  








600yB
200yA
0xA 
 
Resposta: A reacção Ax vale 0 N. A reacção Ay vale 200 
N. Em B a reacção vale 600 N. Os sentidos indicados no 
diagrama de corpo livre estão correctos. 
 
 
 
 
Exemplo 10.2 
 
A figura E10.2.a mostra uma barra AB com um apoio 
móvel em D e um fixo em B. Na barra actua uma força 
distribuída com a configuração mostrada. 
Calcular as reacções nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
A carga distribuída é transformada numa carga concen-
trada equivalente. Podem ser consideradas duas áreas, 
figura E10.2.b, que originam 
 
 
kN6m/kN3m21Q 
 
 
kN3
2
m/kN3m2
2Q 


 
 
kN9kN3kN6Q 
. 
 
A força 9 kN tem linha de acção a meio da distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de corpo livre para a barra, figura E10.2.c, 
mostra as reacções previstas para os dois tipos de 
apoios e a força concentrada equivalente à força 
distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças aplicadas à barra são complanares e com 
linhas de acção não concorrentes  condição de 
equilíbrio 7.5. 
 
Da escrita das três equações resulta 
 





 
 

0195,1yDM
09yByDyF
0xBxF
B
  








kN6yD
kN3yB
0xB 
 
Resposta: A reacção Bx vale 0 kN. A reacção By vale 3 
kN. Em D a reacção vale 6 kN. Os sentidos indicados no 
diagrama de corpo livre estão correctos. 
 
 
 
Exemplo 10.3 
 
A figura E10.3.a mostra uma barra encastrada em A 
com o seguinte carregamento: uma força concentrada 
em B, um momento em C, uma força distribuída 
rectangular entre D e E e um momento em E. 
Calcular as reacções no encastramento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de corpo livre para a barra está desenhado 
na figura E10.3.b. A força concentrada 4 kN é decom-
posta nas componentes x e y. A força distribuída rectân-
gular é substituída por uma concentrada 3 m  3 kN/m = 
9 kN com linha de acção a meio da base. No encastra-
mento as reacções habituais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura E-10.2.a
1 m0,5 m0,5 m
A
BD
q
q
q = 3 kN/m
Figura E-10.2.b
1 m1 m
Q1
Q2
Bx
ByDy
A
B x
y
+
Figura E-10.2.c
9 kN
1,5 m
1 m
D
3 kN.m
A
45º
Figura E-10.3.a
4 kN
3 m 3 m 4 m
3 kN/m
2 kN.m
BC
D
E
3 kN.m
Figura P-10.3.b
4cos(45º)
Me
Ax x
y
+
Ay
4sen(45º)
9 kN
2 kN.m
8,5 m
4 m
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As forças aplicadas à barra são complanares e com 
linhas de acção não concorrentes  condição de 
equilíbrio 7.5. 
 
Da escrita das três equações resulta 
 





 
 

0eM4)º45(sen435,892M
0yA)º45(sen49yF
0xA)º45cos(4xF
A
 
 
  








m.kN8,86M
kN8,11yA
kN8,9xA
e
 
 
 
Resposta: A reacção Ax vale 9,8 kN, a reacção Ay vale 
11,8 kN e o momento de encastramento 86,8 kN.m. Os 
sentidos indicados no diagrama de corpo livre estão 
correctos.