mecanica_-_uni_3

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UNIDADE 3
ESTÁTICA
ObjETIvOS DE AprENDIzAgEm
A partir do estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará 
apto a:
•	entender as equações que regem os corpos em repouso, aplicando 
as condições de equilíbrio necessárias;
•	compreender a aplicação dos vínculos na restrição de graus de 
liberdade;
•	encontrar as reações internas e externas aos corpos submetidos 
a cargas externas;
•	estudar sistemas estruturais como treliças e calcular as reações;
•	analisar corpos como vigas e cabos aplicando condições de 
equilíbrio;
•	compreender como os corpos submetidos a forças deformam.
pLANO DE ESTUDOS
	 A	terceira	unidade	está	dividida	em	cinco	tópicos.	No	final	de	
cada	um	deles,	você	encontrará	atividades	que	lhe	ajudarão	a	fixar	
os conceitos.
TÓpICO 1 – EQUILÍbrIO DOS COrpOS
TÓpICO 2 – vÍNCULOS
TÓpICO 3 – TrELIÇAS
TÓpICO 4 – vIgAS E CAbOS
TÓpICO 5 – TENSÃO E DEFOrmAÇÃO
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As pontes, os prédios, as torres são alguns exemplos de corpos que são construídos 
para permanecerem em repouso mesmo que solicitados por muitas forças.
Observe na figura a seguir, a criatividade nas curvas arrojadas do museu Oscar 
Niemayer, em Curitiba. Mas por que corpos como esses não se movem quando submetidas ao 
peso da própria estrutura? Das eventuais cargas? Da corrosão provocada devido à presença 
da atmosfera ou devido ao desgaste pelo uso constante? Para responder essas perguntas, 
precisamos encontrar as reações internas e externas a esses fatores. Esse estudo visa analisar 
os sistemas de corpos rígidos, em equilíbrio, e é exatamente isso que veremos agora.
EQUILÍbrIO DOS COrpOS
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 1
UNIDADE 3
FONTE: Disponível em: <http://www2.petrobras.com.br/cultura/portugues/
espacovirtual/galeria/index.asp>. Acesso em: 15 ago. 2008.
Respeitando as condições de equilíbrio impostas sobre esses corpos, encontramos as 
suas equações e, conhecendo as reações externas, determinamos as suas reações internas.
FIGURA 81 – MUSEU OSCAR NIEMAYER 
UNIDADE 3TÓPICO 1122
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2 grAUS DE LIbErDADE
Um corpo pode se mover em diversas direções e sentidos. Os graus de liberdade 
determinam a flexibilidade que um corpo possui ao executar um movimento no espaço.
Considerando um sistema de eixos x, y e z, como o da figura a seguir, os corpos podem 
se movimentar para frente ou para trás, em relação ao eixo x, para esquerda ou para a direita, 
em relação ao eixo y, e para cima ou para baixo, em relação ao eixo z. Estes movimentos são 
conhecidos como translação. Adicionalmente, os corpos também podem girar ao redor desses 
três eixos, sendo esse movimento chamado de rotação. Assim, há seis graus de liberdade para 
o corpo, três graus de liberdade associados à rotação e três graus de liberdade associados à 
translação, através das quais os corpos podem se mover.
FONTE: Autora
3 CONDIÇÕES DE EQUILÍbrIO
Podemos aplicar as condições de equilíbrio para determinar as reações, quando 
conhecemos as restrições sobre os seus graus de liberdade, impondo-as nas equações que 
regem o movimento desses corpos. 
As forças externas que atuam num corpo rígido podem ser reduzidas a um sistema 
de forças equivalentes a uma força resultante, e a um binário num ponto qualquer. Quando a 
resultante e o binário são nulos, as forças externas constituem um sistema equivalente a zero 
e o corpo rígido se encontra em equilíbrio. 
FIGURA 82 – UM CORPO E SEUS GRAUS DE LIBERDADE 
UNIDADE 3 TÓPICO 1 123
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São condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido que o 
somatório das forças e dos momentos sejam nulos, , ou seja, não há 
movimento de translação nem movimento de rotação. Isso significa que o corpo não possui 
nenhum grau de liberdade.
Num sistema cartesiano, essas duas equações se desdobram em seis equações, 
segundo as componentes nos três eixos coordenados.
Condições de equilíbrio:
Forças: Momentos: 
4 EQUILÍbrIO ESTÁTICO DO pONTO mATErIAL
O ponto material se encontra em equilíbrio estático quando sua velocidade 
permanece nula, no decorrer do tempo e em relação ao sistema de referência considerado. 
Consequentemente, a aceleração também é nula e, pelo princípio de inércia, a resultante 
das forças que atuam sobre esse sistema é nula, . Não tem sentido falar em rotação 
do ponto material. Assim, as equações de equilíbrio se resumem nas equações que restringem 
os três graus de liberdade de translação do ponto.
Exemplo 1 – O sistema esquematizado na figura a seguir encontra-se em equilíbrio. 
O corpo A tem massa de 60 kg. Determine as forças de tração que atuam nos fios BC e BD.
FONTE: Autora
Solução: A condição de equilíbrio pode ser imposta pelo método das projeções num 
sistema cartesiano ortogonal Oxy. Observe a figura a seguir. Assim, as equações de equilíbrio 
se tornam:
FIGURA 83 – ESQUEMA – EXEMPLO 1
UNIDADE 3TÓPICO 1124
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Substituindo P = mg, sendo m a massa de 20 kg e g a aceleração da gravidade 9,8 m/
s2, encontramos:
FONTE: Autora
5 EQUILÍbrIO ESTÁTICO DO COrpO rÍgIDO
Para estudarmos o equilíbrio estático do corpo rígido, precisamos considerar também 
a possível rotação do corpo. Então, devemos acrescentar a condição que restringe os outros 
três graus de liberdade, , momentos nulos. 
Vamos recordar rapidamente o conceito de momento de uma força. Vimos, no final 
da Unidade 1, que o momento de uma força aplicada a um ponto P, em relação a um 
ponto O, denominado polo, é o produto vetorial do vetor pelo vetor , que é a distância do 
ponto de aplicação até o polo, . Podemos simplificar esse resultado administrando 
o produto da intensidade da força pela distância perpendicular b do ponto O à linha de ação 
da força. Observe a figura a seguir.
FIGURA 84 – DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA DE TRAÇÃO NO CABO BD. E 
DEMAIS FORÇAS QUE ATUAM SOBRE O CORPO
UNIDADE 3 TÓPICO 1 125
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FONTE: Autora
A distância b é conhecida como o braço da força. Adotamos o sinal positivo para o 
momento quando a força tende a produzir uma rotação em torno do polo no sentido anti-horário 
e negativo no sentido horário. Quando o braço b, ou seja, a distância do polo até a linha de 
ação, é nulo, o momento da força também é nulo. Veja os exemplos da figura a seguir.
FONTE: Autora
Exemplo 2 – Uma barra situada num plano horizontal preso ao teto pode girar em torno 
da articulação na qual se encontra pendurada. Determine o momento da força de intensidade 
10 N, em relação a este ponto nos casos a), b), c) e d) da figura. 
Solução: 
a) A força é exercida sobre o polo, consequentemente, não pode produzir um torque. 
Portanto, o momento é igual a zero. 
b) A força é aplicada a uma distância de 0,2 m do pólo e paralela à linha de ação, ou 
seja, o braço b novamente é nulo. Consequentemente, o momento também é nulo.
FIGURA 85 – FORÇA PELA DISTÂNCIA PERPENDICULAR b DO PONTO O À 
LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
FIGURA 86 – FORÇA SENDO APLICADA EM DIFERENTES PONTOS DA BARRA 
ARTICULADA 
UNIDADE 3TÓPICO 1126
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c) A linha de ação da força é perpendicular ao polo e está a uma distância de 0,1 m. A 
tendência do torque é no sentido horário e, lembrando a nossa convenção de sinais mencionada 
anteriormente, observando a figura a seguir, temos que .
FONTE: Autora
d) O braço é de 0,2 m da força aplicada perpendicularmente a essa direção e o torque também 
tende no sentido horário. Assim, .
Vejam que, nos dois primeiros casos, a barra se encontra em equilíbrio estático, enquanto 
que, nos dois casos seguintes, a barra gira em torno do polo no sentido horário.
Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio estático, é preciso restringir os seis graus 
de liberdade . Estudaremos esse caso no próximo exemplo.
Exemplo 3 – A viga AB é mantida na posição horizontal por uma barra vertical CD. Uma 
força de 3000kgf é aplicada na viga conforme a figura a seguir. Determine a força de tração 
na barra CD.
FONTE: Autora
Solução: Aplicando as condições de equilíbriodo corpo rígido:
 
Forças: Momentos: 
Observando o diagrama de corpo livre da figura a seguir, encontramos as forças no 
FIGURA 87 – SENTIDOS POSITIVO E NEGATIVO DO MOMENTO 
FIGURA 88 – VIGA Ab 
UNIDADE 3 TÓPICO 1 127
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plano xy e o momento na direção z: 
FONTE: Autora
Da última equação temos: .
Da segunda equação: .
Da primeira equação: .
Podemos determinar Fx e Fy , determinando, em seguida XA , YA e T através das três 
equações independentes que encontramos. Como estamos apenas interessados na força de 
tração, calcularemos, nesse exemplo, apenas Fy :
Substituindo na primeira equação de equilíbrio, vem que:
As reações internas devido ao apoio no ponto A, XA e YA estão associadas aos vínculos. 
Vamos defini-los no próximo tópico.
FIGURA 89 – VIGA EM EQUILÍBRIO E A REPRESENTAÇÃO DAS FORÇAS QUE 
ATUAM NELA 
UNIDADE 3TÓPICO 1128
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Neste	tópico,	você	viu	que:
	Iniciamos o estudo da Estática definindo os graus de liberdade.
	Apresentamos as condições de equilíbrio para um sistema estático.
	Mostramos as equações de equilíbrio associadas a um ponto material.
	Mostramos as equações de equilíbrio associadas ao corpo rígido.
rESUmO DO TÓpICO 1
UNIDADE 3 TÓPICO 1 129
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Ao final deste tópico, para exercitar seus conhecimentos adquiridos, responda 
as questões a seguir:
1 Explique com suas palavras o que são graus de liberdade. A partícula ou ponto material 
possui o mesmo número de graus de liberdade de um corpo rígido? Por quê?
2 Quais são as condições de equilíbrio? Explique o que elas significam.
3 O sistema da figura a seguir está em equilíbrio. Determine a força de tração na corda, 
sabendo que o corpo possui uma massa de 30kg e que o ângulo do plano inclinado 
formado com a direção horizontal é de 300.
4 Decomponha a força de 200 lb que atua sobre o tubo (Figura a seguir) em componentes 
nas direções (a) x e y (b) x´e y.
FONTE: Autora
AUT
OAT
IVID
ADE �
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPII.PDF>. 
Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 90 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO
FIGURA 91 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
UNIDADE 3TÓPICO 1130
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5 A mola ABC da figura tem rigidez de 500 N/m e comprimento sem deformação de 6 
m. Determine a força horizontal F aplicada à corda que está presa no pequeno anel 
B, de modo que o deslocamento do anel em relação à parede seja d = 1,5 m.
6 Um bloco de 150 kg (figura a seguir) pende de uma pequena polia que pode rolar 
sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição ilustrada na figura 
por um segundo cabo DE, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine: a) a tração no 
cabo ABC e b) a tração no cabo DE. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos 
e da roldana.
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 92 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 93 – MANGA MÓVEL PRESO À MOLA
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vÍNCULOS
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 2
UNIDADE 3
Em sistemas estruturais, desejamos manter certas partes do corpo em equilíbrio e, 
para tanto, empregamos uma força de reação. Num anel, por exemplo, podemos restringir 
o movimento dele a um grau de liberdade translacional apenas e momentos nesta direção. 
A estas forças de reação produzidas pelos apoios nas duas direções em que restringimos o 
movimento do anel chamamos de vínculos.
As forças são classificadas conforme a sua origem. Por exemplo, a força numa 
locomotiva ou muscular é uma força de contato. A força da gravidade ou a magnética tem ação a 
distância. Em análises estruturais, as forças são divididas em forças externas e forças internas.
As forças externas atuam nas partes externas na estrutura e é a razão pela sua 
existência. Elas, por sua vez, podem ser ativas ou reativas. As forças ativas são independentes 
e podem atuar em qualquer ponto da estrutura. São as cargas que submeteremos à estrutura. 
Como exemplo, o peso de um carro que passa por uma ponte, ou o peso próprio da estrutura. 
As forças reativas, em que se concentra a discussão presente, surgem em determinados pontos 
(vínculos), sendo consequência das ações. Por isso, precisam ser calculadas para equivalerem 
às ações para garantirem o equilíbrio do sistema.
As forças internas mantém unidos os pontos materiais que formam o corpo sólido da 
estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente composto de diversas partes, 
as forças que mantêm estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças 
desenvolvidas em rótulas). (SOFISICA, 2010)
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FONTE: Autora
2.2 APOIO FIXO E ARTICULAÇÃO
A articulação e o apoio fixo restringem a translação em todas as direções, mas não 
impedem a rotação. Na figura a seguir, temos as forças reativas representadas pelas setas 
Fx e Fy.
2 TIpOS DE vÍNCULOS
Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao 
meio externo e, portanto, se classificam em vínculos internos (unem partes componentes de 
uma estrutura) e externos (unem os elementos de uma estrutura ao meio externo). Os vínculos 
externos se classificam segundo o número de graus de liberdade que restringem. (SOFISICA, 
2010) 
Vimos que vínculos são forças de reação que restringem os graus de liberdade de 
um corpo. Começamos nosso estudo analisando alguns vínculos em sistemas de forças 2D 
(bidimensionais). Em seguida, apresentamos, na leitura complementar, apoios e conexões em 
sistemas de forças 3D (tridimensionais).
2.1 APOIO SIMPLES OU ROLETES
Esse tipo de apoio impede a translação na direção perpendicular ao apoio. A força de 
reação é ortogonal à direção de translação. O apoio simples não impede a rotação. Podemos 
observar a força de reação, Fy , no esquema da figura a seguir.
FIGURA 94 – APOIO SIMPLES NO PLANO 
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FONTE: Autora
2.3 ENGASTE
3 CArrEgAmENTO pLANO
No engaste, a restrição é sobre todas as translações e rotações, ou seja, o corpo não pode 
fazer nenhum movimento. Agora, além de duas forças desconhecidas, Fx e Fy, temos também 
um momento desconhecido Mz. Observe essas grandezas representadas na figura a seguir.
FONTE: Autora
Vamos analisar alguns desses casos nos próximos exemplos.
Os vínculos no carregamento plano são, portanto, de três espécies, que podem ser 
simbolizadas do seguinte modo. (SOFISICA, 2010)
1. Restringe uma translação
FIGURA 95 – APOIO FIXO 
FIGURA 96 – ENGASTE 
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2. Restringe duas translações.
 
 
3. Restringe duas translações e uma rotação.
 
Cada movimento restrito corresponde a uma reação vincular, que deve ser determinada.
Exemplo 4 – Determine as reações nos suportes A e D, da figura a seguir, causadas 
pela força . Desprezar o peso próprio da estrutura do pórtico.
FONTE: Autora
Solução: Depois de fazer um diagrama de corpo livre do pórtico, conforme a figura a seguir, 
escrevemos as equações de equilíbrio: 
FIGURA 97 – PÓRTICO COM UM APOIO FIXO NO PONTO A E UM APOIO 
SIMPLES NO PONTO D 
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FONTE: Autora
D
Observando o fato de que existe um apoio fixo no ponto A e, portanto, duas reações de 
apoio e um apoio simples, o ponto D, e, portanto, apenas uma reação de apoio.
Da primeira equação independente, temos: 
Da última tiramos que: 
Da segunda equação independente, encontramos: 
Exemplo 5 – Um guindaste fixo tem uma massa de 1000 kg e é usado para suspender 
um pacote de 2600 kg. O guindaste é mantido na posição indicada na figura por um pino (do 
tipo apoio fixo) no ponto A e um suporte basculante (do tipo apoio simples) no ponto B. O centro 
de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine os componentes das reações em 
A e B.
FIGURA 98 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO PÓRTICO 
UNIDADE 3TÓPICO 2136
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Solução:Depois de fazer o diagrama de corpo livre da figura a seguir, multiplicamos 
a constante g = 9,8m / s2 pela massa m e obtemos os pesos P. A força no pino é de direção 
desconhecida; ela é representada pelas suas componentes XA e YA. A força de reação no suporte 
do basculante é normal a superfície de apoio XB.
FONTE: BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica	vetorial	para	engenheiros: Estática. São 
Paulo: Makron Books, 1994.
FONTE: Autora
Vamos escrever as condições de equilíbrio, tomando o ponto A como sendo o polo. 
Encontramos:
Da última equação, temos que: 
FIGURA 99 – GUINDASTE DO EXEMPLO 5
FIGURA 100 – ESQUEMA COM AS REAÇÕES EXTERNAS E INTERNAS NO GUINDASTE 
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Da primeira, encontramos: 
Da segunda equação: 
Observe, na figura a seguir, o sentido da componente horizontal da força no ponto A, XA:
FONTE : Autora
Exemplo 6 – Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando 
uma corda. Encontrar a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha que a aceleração 
da gravidade é igual à 9,81 m/s2.
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/glaucia/cap2(2005-2).
pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 101 – DETALHE DA FORÇA DE REAÇÃO NO PONTO A
FIGURA 102 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
UNIDADE 3TÓPICO 2138
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Solução:
 
 
Exemplo 7 – A barra de aço uniforme com 7 m de comprimento tem uma massa de 200 
kg e está apoiada sobre o chão por uma rótula em A. A extremidade esférica em B se apoia na 
parede vertical lisa, como mostrado. Calcule as forças exercidas pelas paredes e pelo chão 
nas extremidades da barra. (MERIAN; KRAIGE, 2008, p. 98)
FONTE: A autora
Solução: Construímos o diagrama de corpo livre das forças que atuam sobre a barra, 
figura a seguir. As forças de contato atuando na barra em B são normais às superfícies da 
parede, além do peso P =200(9,81) =1962 N. a força exercida pelo chão pela esfera na junta 
em A é representada pelas componentes x, y e z. A posição vertical de B é dada por 
 
FIGURA 103 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
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FONTE: A autora
Utilizando A como centro de momento para eliminar a referência das forças atuando 
em A. Os vetores posição são,
 
Onde o centro de massa, localização do vetor P, está à meia distância de A e B.
 
 
 
 
As forças em A podem ser determinadas como segue:
FIGURA 104 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
UNIDADE 3TÓPICO 2140
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rEAÇÕES Em ApOIOS E CONExÕES pArA UmA ESTrUTUrA TrIDImENSIONAL
Ferdinand Pierre Beer
As reações em uma estrutura tridimensional variam da força única de direção conhecida, 
exercida por uma superfície sem atrito, ao sistema força-binário, exercido por um engaste. 
Consequentemente, em problemas que envolvam o equilíbrio de uma estrutura 
tridimensional, pode haver uma a seis incógnitas associadas às reações em cada apoio ou 
conexão. Uma maneira simples de se determinar o tipo de reação correspondente a um dado 
apoio ou conexão é o número de incógnitas envolvidas é achar quais dos seis movimentos 
fundamentais (translação nas direções x, y e z, rotação em torno dos eixos x, y e z) são 
permitidos e quais movimentos são impedidos.
Apoios de esferas, superfícies sem atrito e cabos, por exemplo, impedem translação 
em uma direção apenas e, portanto, exercem uma força única cuja linha de ação é conhecida; 
cada um desses apoios envolve uma incógnita, a saber, a intensidade da reação. Roletes 
sobre superfícies rugosas e rodas sobre trilhos impedem a translação em duas direções; as 
reações correspondentes consistem em dois componentes de força desconhecidos. Superfícies 
rugosas em contato direto e apoiados do tipo rótula impedem a translação em três direções; 
esses apoios envolvem três componentes de força desconhecidos.
Alguns apoios e conexões podem impedir tanto a rotação quanto a translação; as 
reações correspondentes incluem tanto binários quanto forças. Por exemplo, a reação em um 
engaste, que impede qualquer movimento (tanto rotação quanto translação), consiste em três 
forças desconhecidas e três binários desconhecidos. Uma junta universal, que é projetada 
para possibilitar rotação em torno de dois eixos, exercerá uma reação constituída de três 
componentes de força desconhecidos e um binário desconhecido.
Outros apoios e conexões são projetados principalmente para impedir a translação; 
seu projeto, no entanto, é tal que eles também impedem algumas rotações. As reações 
correspondentes consistem essencialmente em componentes de força, mas podem também 
incluir binários. Um grupo de apoios desse tipo inclui articulações e mancais projetados 
para sustentar somente cargas radiais (por exemplo, mancais de deslizamentos, mancais 
de rolamento). As reações correspondentes consistem em dois componentes de força, mas 
LEITUrA COmpLEmENTAr
UNIDADE 3 TÓPICO 2 141
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também podem incluir dois binários. Outro grupo inclui apoios do tipo pino e suporte, articulações 
e mancais, projetados para sustentar tanto um empuxo axial quanto uma carga radial (Por 
exemplo, mancais de esferas). As reações correspondentes consistem em três componentes 
de força, mas também podem incluir dois binários. 
Entretanto, esses apoios não exercerão quaisquer binários apreciáveis em condições 
normais de uso. Portanto, somente componentes de força devem ser incluídos em suas análises, 
exceto se verificar que são necessários binários para se manter o equilíbrio do corpo rígido, ou 
exceto se o apoio tiver sido projetado especificamente para exercer um binário.
Se as reações envolvem mais seis incógnitas, há mais incógnitas do que equações, e 
algumas das reações são estaticamente indeterminadas. Se as reações envolvem menos de 
seis incógnitas, há mais equações do que incógnitas, e algumas das equações de equilíbrio não 
podem ser satisfeitas em condições gerais de carregamento; o corpo rígido só está parcialmente 
vinculado. 
Entretanto, nas condições de carregamento particulares que correspondem a um dado 
problema, as equações extras frequentemente se reduzem a identidades triviais, como 0 = 0, e 
podem ser desconsideradas; embora só esteja parcialmente vinculado, o corpo rígido permanece 
em equilíbrio. Mesmo com seis ou mais incógnitas, é possível que algumas equações de 
equilíbrio não sejam satisfeitas. Isso pode ocorrer quando as reações associadas aos apoios 
ou são paralelas ou interceptam a mesma linha, o corpo rígido está então impropriamente 
vinculado.
UNIDADE 3TÓPICO 2142
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Classificação	das	estruturas
As estruturas podem ser classificadas quanto ao número de vínculos que possui. 
Podemos comparar o número de vínculos com o número de equações independentes que 
conseguimos através das condições de equilíbrio e classificar as estruturas em três tipos.
Hipostática - Na estrutura hipostática o número de equações é maior que o número 
de incógnitas, portanto não possui vínculos suficientes para garantir a sua total imobilidade. 
Hiperestática - Na hiperestática o número de equações é menor que o número de 
incógnitas e há superabundância de vínculos para garantir a sua total imobilidade.
Isostática - Na estrutura isostática o número de equações é igual ao número de 
incógnitas possuindo assim uma quantidade de vínculos estritamente necessária para garantir 
a sua imobilidade total. 
FONTE: Extraído e adaptado de: BEER, Ferdinand Pierre. Estática. In: Mecânica	 vetorial	 para	
engenheiros. São Paulo: Makron Books, 1994. p. 191-193.
UNIDADE 3 TÓPICO 2 143
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Neste	tópico,	você	viu	os	seguintes	assuntos	relacionados	à	Física:
	Definimos vínculos e os classificamos em função da sua utilização e restrição aos graus de 
liberdade.
	Mostramos a utilização dos vínculos em sistemas tridimensionais.
	Através de alguns exemplos práticos, abordamos o cálculo das reações vinculares.
	Classificamos as estruturas em função das reações e equações de equilíbrio.
rESUmO DO TÓpICO 2
UNIDADE 3TÓPICO 2144M
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Chegando ao final de mais um tópico, vamos exercitar nossos conhecimentos 
resolvendo as questões a seguir:
1 A viga AB da figura se encontra apoiada nos extremos por dois vínculos, no ponto A 
um apoio fixo e no ponto B um apoio simples. Pedem-se as reações vinculares nos 
pontos A e B, sabendo-se que a carga P vale 30N. 
FONTE: Autora
2 Uma estrutura em arco é fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre roletes em 
B num plano de 300 com a horizontal. O vão AB mede 20m. O peso da estrutura é 
Q = 10000kgf. A força resultante dos ventos é P = 2000kgf e situa-se a 4 m, acima 
de A, paralelamente à reta AB. Determinar as reações nos suportes A e B.
FONTE: Autora
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FIGURA 105 – VIGA Ab 
FIGURA 106 – PÓRTICO 
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3 A barra homogênea AB de peso P = 120 N está articulada em A e é mantida em 
equilíbrio pelo fio ideal BC. Determine a intensidade da força de tração no fio e as 
componentes vertical e horizontal da força da articulação na barra. Sabe-se que o 
comprimento da barra é 1 m e o ângulo é de 300.
4) Observe na figura a seguir, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em 
um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso próprio da viga, 
determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.
5 Determine as reações em A e B quando: (a) α = 00 (b) α = 900 (c) α = 300.
FONTE: Autora
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/
glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil 
professores/glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso 
em: 26 jan. 2011.
FIGURA 107 – BARRA AB
FIGURA 108 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 109 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
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TrELIÇAS
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 3
UNIDADE 3
Uma das principais estruturas utilizadas pela engenharia é a treliça, mostrada na figura 
a seguir, constituída principalmente por elementos retos e unidos por um nó.
FONTES: Disponível em: <http://www.serradaprata.com.br/contrucao-civil/trelica-
lancadeira-de-vigas-m3bbd.html?MEid=72>. Acesso em: 15 ago. 2008.
Os elementos da treliça são feitos para suportar pouca carga lateral. As cargas, no 
entanto, são aplicadas aos nós. Veja na figura a seguir, detalhes mostrando os pinos nos nós 
da estrutura.
FIGURA 110 – TRELIÇAS EM CONSTRUÇÕES DE PONTES E VIADUTOS 
UNIDADE 3TÓPICO 3148
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FONTE: Disponível em: <http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/Estruturas/
garabit.htm> Acesso em: 15 ago. 2008.
A grande vantagem da treliça é atingir grandes vãos livres sem colunas ou vigas. Em 
seguida, veja outros exemplos de estruturas com treliças.
FONTE: Disponível em: <http://www.fec.unicamp.br/~fam/novaes/public_html/
iniciacao/teoria/estrutur/4.htm>. Acesso em: 15 ago. 2008.
FONTE: Disponível em: <http://www.fec.unicamp.br/~fam/novaes/public_html/iniciacao/
teoria/estrutur/4.htm>. Acesso em: 15 ago. 2008.
FIGURA 111 – DETALHE MOSTRANDO OS NÓS NOS PONTOS EM QUE 
A TRELIÇA POSSUI PINOS QUE LIGAM OS ELEMENTOS 
DA ESTRUTURA 
FIGURA 112 – ESTRUTURAS DE TRELIÇA - ESTRUTURA DE AÇO DE UM 
GALPÃO INDUSTRIAL
FIGURA 113 – ESTRUTURAS DE TRELIÇA - TORRE DE ALTA TENSÃO E UMA 
TRELIÇA PLANA DE MADEIRA
UNIDADE 3 TÓPICO 3 149
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Quando os elementos de treliça se situam essencialmente no mesmo plano, a treliça 
é chamada de treliça plana. Para pontes e estruturas similares, treliças planas são utilizadas 
em pares com uma treliça colocada em cada lado da estrutura. (MERIAN; KRAIGE, 2008). 
2 CÁLCULO DAS rEAÇÕES
Para Merian e Kraige (2008), quando conexões soldadas ou rebitadas são usadas para 
unir elementos estruturais, podemos normalmente considerar que a conexão é do tipo união por 
pino se as linhas centrais forem concorrentes na junta como na a seguir. Na análise de treliças 
simples, também consideramos que todas as forças externas são aplicadas nos nós das juntas.
Consideremos uma barra articulada qualquer como a da figura a seguir. Podemos 
escrever as equações de equilíbrio para esse corpo como segue,
 
FONTE: A autora
FONTE: Autora
Da últ ima equação temos que: , da segunda equação: 
 e da primeira: .
Assim sendo, as únicas forças de reação na barra articulada são em sentido paralelo ao 
FIGURA 114 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 115 – BARRA QUALQUER ARTICULADA 
UNIDADE 3TÓPICO 3150
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FONTE: Autora
2.1 MÉTODO DOS NÓS
 Podemos encontrar as reações internas nos pontos de ligação de vários elementos 
utilizando o método dos nós. Este método consiste em analisar separadamente cada ponto 
de encontro de duas ou mais barras ou articulação de interligação das barras e considerar o 
somatório das forças externas e internas que atuam nesse ponto nulo.
 Demonstraremos esse método através do exemplo prático a seguir.
Exemplo 6 – A estrutura mostrada na figura a seguir é composta por barras 
biarticuladas, de pesos desprezíveis. A e B são duas articulações externas. Determine todos 
os esforços atuantes nas barras.
FONTE: Autora
Solução: Para determinar os esforços em cada barra, vamos olhar para os nós 
separadamente. Veja o esquema das forças de cada nó na figura a seguir.
seu comprimento XA e XB. Estas estão em sentidos opostos, como podemos ver os possíveis 
resultados na figura a seguir. A barra pode estar sendo tracionada ou comprimida.
FIGURA 116 – REAÇÕES NA BARRA 
FIGURA 117 – TRELIÇA DO EXEMPLO 6 
UNIDADE 3 TÓPICO 3 151
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FONTE: Autora
Agora, vamos escrever as condições de equilíbrio em cada nó. Vamos começar com o 
nó do ponto A, figura a seguir. As únicas forças que atuam no ponto a são XA, YA e NAC.
FONTE: Autora
Observando a disposição das forças na figura anterior, escrevemos:
 
 
FIGURA 118 – FORÇAS ATUANDO EM CADA NÓ 
FIGURA 119 – FORÇAS NO PONTO A 
UNIDADE 3TÓPICO 3152
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FONTE: Autora
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Analogamente, escrevemos para cada nó as condições de equilíbrio como segue: 
 
FIGURA 120 – FORÇAS NO PONTO b
FIGURA 121 – FORÇAS NO PONTO C
FIGURA 122 – FORÇAS NO PONTO D 
UNIDADE 3 TÓPICO 3 153
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FONTE: Autora
A p a r t i r d a s e q u a ç õ e s ( 5 ) p o d e m o s d e t e r m i n a r N C E e N D E , 
, lembrando que , encont ramos 
.
E a partir desse resultado, podemos encontrar NDE, . Lembrando 
que , encontramos, NDE = – Q.
Utilizando as equações (4), podemos determinar NDB e NCD, no nó do ponto D:
 
 
Com as equações (3), determinamos:
 
 
FIGURA 123 – FORÇAS NO PONTO E 
UNIDADE 3TÓPICO 3154
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Substituindo esse resultado na outra: 
Com as equações (2), determinamos: 
 
Finalmente, das equações (1) recebemos: 
 
Assim, encontramos todas as incógnitas procuradas,
 
Algumas vezes não podemos, inicialmente, atribuir para uma ou ambas as forças 
desconhecidas atuando em um dado nó. Nesse caso, podemos fazer uma atribuição arbitrária. 
Uma força calculada negativa indica que a direção assumida inicialmente está errada. (MERIAN; 
KRAIGE, 2008)
2.1.1 Redundância interna e externa
Conforme Merian e Kraige (2008), se uma treliça tem mais apoios externos do que os 
necessários para garantir uma configuração de equilíbrio estável, a treliça como um todo é 
estaticamente indeterminada e os apoios extras constituem redundância externa. Se tiver mais 
elementos internos que os necessários para evitar o colapso quando a treliça é removida de 
seus apoios, então os elementos extras constituem redundância interna, e a treliça é novamente 
estaticamente indeterminada.
 
Para uma treliça que é estaticamente determinada, existe uma relação específica entre 
o número de seus elementos e o número de seus nós necessária para estabilidade interna sem 
UNIDADE 3 TÓPICO 3 155
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redundância. Como podemos especificaro equilíbrio de cada nó por duas equações escalares 
de força, existem ao todo 2j equações desse tipo para uma treliça com j nós. Para a treliça 
completa composta de m elementos de duas forças e tendo no máximo 3 reações de apoio 
desconhecidas, existem ao todo m + 3 incógnitas (m forças de tração ou compressão e três 
reações). Assim, para qualquer treliça plana, a equação m + 3 = 2j será satisfeita se a treliça 
é internamente estaticamente determinada.
 
Observe a figura a seguir, a treliça tem 6 nós, isso dá 2j = 12, 12 equações. Com 3 
reações R1, R2 e L, assim m + 3 = 12 dá m = 9, 9 forças de tração ou compressão, AF, AB, EF, 
BF,BC, CD, DE, BE, CE.
FONTE: MERIAN; KRAIGE, 2008 p. 118.
FIGURA 124 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
UNIDADE 3TÓPICO 3156
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2.1.2 Condições especiais
Para Merian e Kraige (2008), é comum encontrar diversas condições especiais na 
análise de treliças. Quando dois elementos colineares estão sob compressão como indicado 
na figura 125 A, é necessário adicionar um terceiro elemento para manter o alinhamento dos 
dois elementos e prevenir a flambagem. A partir de um somatório de forças, vê-se que a força 
F3 no terceiro elemento deve ser zero na direção y e que F1 = F2 na direção x. Essa conclusão 
é válida independente do ângulo θ e também se os elementos colineares estão sob tração. Se 
uma força externa com uma componente y fosse aplicada no nó, então F3 não valeria zero.
Quando dois elementos não colineares são unidos como mostrado na figura 125 B, 
então, na ausência de uma carga externa aplicada a esse nó, as forças em ambos os elementos 
deve ser zero, como podemos ver através dos dois somatórios de força.
Quando dois pares de elementos colineares são unidos como mostrado na figura 125 
C, as forças em cada par devem ser iguais e opostas. Essa conclusão deriva dos somatórios 
de forças indicados na figura 125.
FONTE: MERIAN; KRAIGE, 2008 p. 119. 
3 mÉTODO DAS bArrAS
Podemos utilizar outro método se estivermos interessados apenas na reação em uma 
barra em particular, sem a necessidade de determinar os valores de todas as reações. Este 
método consiste no método das barras e também vamos apresentá-lo na forma de um problema 
concreto, como o do próximo exemplo. 
Exemplo 7 – Queremos determinar o esforço atuante na barra HJ da figura a seguir.
FIGURA 125 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
A B C
UNIDADE 3 TÓPICO 3 157
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FONTE: Autora
Solução: Primeiramente, vamos impor as condições de equilíbrio sobre toda a estrutura, 
considerando apenas as reações externas, no apoio fixo do ponto A e no apoio simples no 
ponto B. As reações internas podem ser desprezadas porque se anulam aos pares. Assim, 
somando todas as cargas P, obtemos:
 
A última equação nos dá o valor de YB :
 
Podemos substituir na segunda para determinar YA :
 
A primeira equação nos dá, diretamente, o valor de XA = 0 .
Com as reações externas determinadas, podemos encontrar a reação interna solicitada 
na barra HJ. Para tanto, precisamos isolar a parte da estrutura em que temos a reação procurada. 
Vamos analisar a parte da treliça constituída pelos pontos I, J,K,L e B.
FIGURA 126 – ESTRUTURA DO EXEMPLO 7 
UNIDADE 3TÓPICO 3158
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FONTE: Autora
As forças de reação interna que não se cancelam aos pares são as forças NGI , NHI e 
NHJ . Impondo a condição de momentos nulos, nessa porção da treliça, e considerando o ponto 
I como um polo, encontramos: 
.
 
Substituindo o valor de YB, encontrado anteriormente, temos:
 
 
Assim, determinamos o esforço que a barra HJ pode suportar em termos da carga P e 
das dimensões a e b.
FIGURA 127 – ALGUNS ELEMENTOS DA TRELIÇA CONSTITUÍDA PELOS 
PONTOS I, j, K, L e b 
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Neste	 tópico,	você	 teve	oportunidade	de	estudar	aspectos	 importantes,	cujos	
itens	são	apresentados	a	seguir:
	Definimos treliça e apontamos sua utilidade em Engenharia, mostrando algumas estruturas 
que a empregam.
	Mostramos como calcular as reações internas nos elementos retos da treliça.
	Apresentamos o método dos nós para a determinação das reações externas e internas.
	Apresentamos o método das barras como alternativa para a determinação de reações num 
elemento em particular.
rESUmO DO TÓpICO 3
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Para reforçar seu aprendizado, resolva as questões a seguir:
1 Usando a estrutura mostrada na figura 117, do exemplo 6, que é composta por barras 
biarticuladas de pesos desprezíveis, sendo A e B são duas articulações externas. 
Determine todos os esforços atuantes nas barras, sabendo que Q = 30 N.
2 Sabendo que P = 30 N, a = 1m e b = 3m, determinar o esforço atuante na barra HJ 
da figura 126, do exemplo 7.
3 Para a estrutura ilustrada, determine as reações no rolete “A” e no engaste “H”.
4 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos estão 
mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = 500lb e P2 = 100lb.
FONTE: Autora
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/
CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
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FIGURA 128 – ELEMENTOS DA TRELIÇA PARA ATIVIDADE
FIGURA 129 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
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5 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos estão 
mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4kN.
6 Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique 
se eles estão sob tração.
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.
PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>. 
Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 130 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO 
FIGURA 131 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
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vIgAS E CAbOS
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 4
UNIDADE 3
Denominamos viga um elemento estrutural que pode sustentar cargas aplicadas em 
vários pontos de sua extensão. Geralmente, as cargas aplicadas são perpendiculares ao eixo 
da viga, causando somente cisalhamento e flexão. A figura a seguir mostra a colocação de 
vigas num viaduto.
FONTE: Disponível em: <http://www.manaus.am.gov.br/secretarias/semosbh/galeria-1/
Colocacoes-de-Vigas---Viaduto-da-Recife---nov-2007.jpg/view>. Acesso em: 
15 ago. 2008.
O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma investigação das 
cargas que atuam em seu interior para garantir que o material utilizado resista ao carregamento. 
Os efeitos internos podem ser determinados pelo uso do método das barras. (HIBBELER, 2005).
FIGURA 132 – COLOCAÇÃO DE VIGAS EM VIADUTO
UNIDADE 3TÓPICO 4164
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FIGURA 133 – VIGA SUBMETIDA ÀS CARGAS CONCENTRADAS P2 , P3 E P5 , 
E AS CARGAS DISTRIBUÍDAS P1 E P4
Determinamos, a partir da viga inteira, as reações YA e YB. Cortando a viga em 
dois pedaços, a partir do ponto C, calculamos as reações internas. Tomando o pedaço AC 
determinamos o esforço cortante Ec1 em C, usando a condição Fy = 0 e o momento fletor 
a condição .
Exemplo 1 – Uma barra é fixada em uma de suas extremidades e é carregada como 
mostra a figura a seguir. Determine as forças normais internas nos pontos B e C.
2 ESFOrÇO COrTANTE E 
 mOmENTO FLETOr Em UmA vIgA
As cargas concentradas sobre as vigas são expressas em N (Newton) e as cargas 
distribuídas sobre as vigas são expressas em N/m (Newton/metro). Na figura a seguir, a viga 
AB possui três cargas concentradas: P2 , P3 e P5 , e duas cargas distribuídas P1 e P4 . Queremos 
determinar o esforço cortante e o momento fletor num ponto qualquer, como, por exemplo, o 
ponto C.
FONTE: Autora
UNIDADE 3 TÓPICO 4 165
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FONTE: A autora
Solução: Apenas uma força normal AY atua no apoio fixo, uma vez que as cargas são 
aplicadas simetricamente ao longo do eixo da barra (AX = 0, MA = 0).
 
FONTE: A autora
As forças internas em B e C são obtidas utilizando os diagramas de corpolivre da barra 
secionada, conforme figura anterior. Nenhuma força de cisalhamento ou momento atuará 
nessas seções, por não serem necessários para a condição de equilíbrio. Foram escolhidos 
os segmentos AB e DC porque eles contêm menor quantidade de forças.
Segmento AB
FIGURA 134 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 135 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
UNIDADE 3TÓPICO 4166
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Segmento DC
 
3 CAbOS
Os cabos são muito utilizados, na Engenharia, em pontes, linhas de transmissão, 
teleféricos etc. Existem duas categorias para os cabos, dependendo das cargas que sustentam. 
Observe os cabos na figura a seguir.
FONTE: Disponível em: <http://www.vias3d.net/
web/?ver=Articulos&id=15>. Acesso em: 15 ago. 2008.
3.1 CABOS COM CARGAS CONCENTRADAS
Vamos considerar um cabo de peso desprezível submetido a três pesos, como é 
ilustrado na figura a seguir. As reações internas podem ser reduzidas a uma força de tração 
na direção ao longo do cabo. As reações nos apoios A e B, juntamente com as três cargas, 
estão representadas na mesma figura.
FIGURA 136 – CABOS 
UNIDADE 3 TÓPICO 4 167
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FONTE: Autora
Temos três equações de equilíbrio e quatro incógnitas. Portanto, o sistema permanece 
indeterminado, a menos que obtivermos uma equação adicional. Para tanto, vamos considerar 
o equilíbrio numa parte do cabo. Conhecendo as coordenadas de um ponto sobre o cabo entre 
os dois primeiros pesos, figura a seguir, traçamos o diagrama de corpo livre e escrevemos as 
condições de equilíbrio sobre esse segmento do cabo.
FONTE: Autora
Depois de determinar XA e YA, podemos encontrar a distância y de A até cada ponto do 
cabo.
3.2 CABOS COM CARGAS DISTRIBUÍDAS
Quando um cabo sustenta uma carga distribuída, ele toma a forma de uma curva como 
o da figura a seguir, e a força interna em cada ponto é uma força de tração direcionada ao 
longo da tangente dessa curva.
FIGURA 137 – CABO SUSTENTANDO 3 CARGAS
FIGURA 138 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO SEGMENTO AO 
UNIDADE 3TÓPICO 4168
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FONTE: Autora
Traçando um diagrama de corpo livre da parte do cabo, desde o ponto mais baixo O 
até um outro ponto qualquer Q, temos as forças T0 no ponto mais baixo, T no ponto qualquer 
e P para o peso distribuído na parte do cabo considerado. Do triângulo retângulo formado por 
essas forças:
 
 
O resultado acima mostra que a componente horizontal da força de tração é a mesma 
em qualquer ponto e a componente vertical é igual à carga medida a partir do ponto mais 
baixo.
FIGURA 139 – CARGA DISTRIBUÍDA NUM CABO
UNIDADE 3 TÓPICO 4 169
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Neste	 tópico,	você	 	 teve	oportunidade	de	estudar	os	seguintes	conteúdos	de	
mecânica:
	Vimos a utilização de cabos e vigas na Engenharia.
	Mostramos o conceito de esforço cortante e momento fletor numa viga.
	Estudamos cabos submetidos a cargas concentradas e cargas distribuídas.
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UNIDADE 3TÓPICO 4170
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Caro(a) acadêmico(a)! Para fixar o tópico estudado, resolva estas questões a 
seguir:
1 Encontre o esforço cortante e o momento fletor no ponto C da (Figura a seguir) que 
segue.
FONTE: Autora.
2 O cabo AB (Figura a seguir) sustenta três cargas verticais nos pontos indicados. Se o 
ponto D está 1,5 m abaixo do apoio esquerdo, determine: (a) A elevação dos pontos 
C e E. (b) A inclinação máxima e a tração máxima no cabo.
FONTE: Autora
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FIGURA 140 – VIGA Ab COM DUAS CARGAS CONCENTRADAS
FIGURA 141 – CABO COM TRÊS CARGAS CONCENTRADAS 
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TENSÃO E DEFOrmAÇÃO
1 INTrODUÇÃO
TÓpICO 5
UNIDADE 3
Se o corpo é submetido a uma carga externa, ocorre uma distribuição de força que 
mantém cada segmento do corpo em equilíbrio. Tensão é a intensidade dessa força interna 
que age em cada ponto do corpo.
Podemos ilustrar as tensões em cinco tipos principais: tração, compressão, flexão, 
cisalhamento e torção. Observe na figura a seguir como as forças atuam na barra em cada 
um desses casos.
FONTE: Autora
A maior parte dos elementos estruturais ou mecânicos são finos e compridos, com 
cargas frequentemente aplicadas nas suas extremidades, podendo se tratar de uma tração ou 
uma compressão. Vamos considerar que A é a área da seção transversal de uma barra, como 
o da figura a seguir, e N a intensidade da força interna, sendo ambas constantes ao longo do 
eixo longitudinal da barra. Então, a tensão normal também é constante ao longo da barra e 
é dada pela expressão: .
2 TENSÃO NOrmAL
FIGURA 142 – TIPOS DE SOLICITAÇÕES 
UNIDADE 3TÓPICO 5172
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Para diferenciar entre uma compressão ou uma tração, convencionamos que N é positivo 
se provoca uma tração e negativo se provoca uma compressão. 
 
A unidade da tensão no sistema internacional é o Newtons por metro quadrado (N/m2). 
Essa unidade é denominada Pascal (Pa), podendo ser acrescida dos prefixos k (kilo = 103), M 
(mega = 106) e G (giga = 109).
FONTE: Autora
Exemplo 1 – A luminária de 70 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a 
figura a seguir. Se AB tem diâmetro de 9 mm e BC tem diâmetro de 7 mm, determine a tensão 
normal média em cada haste.
FONTE: Autora
Solução: Fazendo um diagrama de corpo livre como o da figura a seguir, explicitamos 
as forças nas direções dos dois eixos coordenados x e y.
FONTE: Autora
FIGURA 143 – TRAÇÃO E COMPRESSÃO
FIGURA 144 – LUMINÁRIA 
FIGURA 145 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
UNIDADE 3 TÓPICO 5 173
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E aplicando as equações de equilíbrio para cada uma dessas direções, encontramos:
Sabendo que a massa da luminária é de 70 kg, e que a aceleração da gravidade é 
g = 9,8m / s2, podemos calcular o seu peso: 
Substituindo P na equação de equilíbrio para y e resolvendo ambas:
A tensão normal média em cada haste passa a ser então , sendo a área 
circular da seção transversal igual a , em que r é o raio que pode ser determinado 
dividindo-se o diâmetro por 2. Temos,
 
UNIDADE 3TÓPICO 5174
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3 TENSÃO DE CISALHAmENTO
A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal e se caracteriza por 
uma tendência de corte. Ao cortar um tecido, fatiar um pedaço de queijo ou aparar um pedaço 
de papel com uma guilhotina, você está praticando um cisalhamento. Durante o corte, as 
partes se movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-se. 
Todo material possui certa resistência a esse cisalhamento. É possível determinar a tensão de 
cisalhamento dos corpos sujeitos aos esforços cortantes de duas maneiras diferentes, fazendo 
um ensaio de cisalhamento ou utilizando o valor de resistência à tração do material.
FONTE: Disponível em: <http://www.lrm.ufjf.br/pdf/07cisalhamento.
pdf> . Acesso em: 18 Ago. 2008.
O ensaio de cisalhamento para pinos, rebites e parafusos é feito da seguinte maneira: 
utiliza-se um dispositivo como o representado pela figura anterior. Nele, o corpo de prova é 
inserido entre as duas partes móveis e, então, é submetido a uma força de tração ou compressão 
perpendicular ao seu eixo axial. Observe a região do corpo que é afetada pelo cisalhamento. A 
força aplicada é aumentada lentamente até que ocorra a ruptura do corpo de prova. Podem-se 
também ensaiar as soldas substituindo o corpo de prova por junções soldadas.
No caso de ensaios de cisalhamento de chapas, o dispositivo utilizado é semelhante 
ao apresentado na figura a seguir, em que se determina apenas o valor da força que provoca 
a ruptura da seção transversal do corpo de prova.
FIGURA 146 – DISPOSITIVO UTILIZADO PARA ENSAIO DE 
CISALHAMENTO 
UNIDADE 3 TÓPICO 5 175
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FONTE: Disponível em: <http://www.lrm.ufjf.br/pdf/07cisalhamento.pdf>. Acesso 
em: 18 ago. 2008.
Para o cálculo da tensão de cisalhamento , precisamos determinar a relação entre 
a força cortante F pela área A do corpo: .
Exemplo 2 – O desenho da figura a seguir mostra um rebite de 20 mm de diâmetro que 
será usado para unir duaschapas de aço, devendo suportar um esforço cortante de 29400 N. 
Qual será a tensão de cisalhamento sobre a área da seção transversal do rebite?
FONTE: Disponível em: <http://www.lrm.ufjf.br/pdf/07cisalhamento.pdf>. 
Acesso em: 18 ago. 2008.
Solução: A área da seção transversal é dada pela expressão , em que r é o 
raio que pode ser determinado dividindo-se o diâmetro por 2. Utilizando a definição de tensão 
de cisalhamento encontramos que:
FIGURA 147 – DISPOSITIVO UTILIZADO PARA ENSAIO DE CISALHAMENTO 
FIGURA 148 – REBITE UNINDO DUAS CHAPAS DE AÇO 
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4 TENSÃO ADmISSÍvEL
Quando o engenheiro executa um projeto com elementos estruturais ou mecânicos, 
precisa restringir a tensão do material a um nível seguro. A tensão admissível é uma característica 
do material utilizado e indica até quanto o material suporta a tensão antes de se romper. É 
necessário escolher uma tensão admissível para a carga aplicada menor do que a carga que 
o elemento pode suportar para garantir a segurança, pois podem ocorrer cargas acidentais, 
impactos ou vibrações desconhecidas, além dos possíveis desgastes provocados pela corrosão. 
O fator de segurança FS dá a relação entre a carga de ruptura Frup e a carga admissível 
Fadm.
FONTE: HIBBELER (2006, p. 35).
Quando se projetam guindastes, como o da figura anterior, feitos para movimentar 
cargas pesadas, é preciso considerar fatores de segurança adequados. O fator de segurança 
é sempre maior do que 1. É possível utilizar-se valores próximos de 1, quando é importante 
reduzir-se o peso ao máximo. Porém, em usinas nucleares, em que há incerteza nas cargas e 
no comportamento do material, o fator de segurança alcança valores próximos a 3.
Exemplo 3 – Uma carga axial no eixo mostrado na figura a seguir é resistida pelo colar 
em C, que está preso ao eixo e localizado à direita do mancal em B. Determine o maior valor 
de P para as duas forças axiais em E e F, de modo que a tensão no colar não exceda uma 
tensão de apoio admissível em C de e que a tensão normal média no eixo não 
FIGURA 149 – GUINDASTE
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exceda um esforço de tração admissível de .
FONTE: HIBBELER (2006, p. 42).
Solução: Vamos encontrar primeiro a tensão normal máxima que ocorre na região EC, 
pois, observando a figura a seguir, podemos perceber que a carga axial no interior da região 
FE é de 2P, e a maior carga ocorre no interior da região EC. Assim:
FONTE: HIBBELER (2006, p. 42).
Agora, vamos calcular a tensão de apoio no colar. Observe a figura a seguir. O colar deve 
resistir a uma carga de 3P, que atua na área de apoio de 
Então:
FONTE: HIBBELER (2006 p. 43).
Portanto, a maior carga que pode ser aplicada no eixo é de P = 51,8kN.
FIGURA 150 – EIXO 
FIGURA 151 – DISTRIBUIÇÃO DA CARGA AXIAL 
FIGURA 152 – DISTRIBUIÇÃO DA CARGA NO APOIO
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5 DEFOrmAÇÃO
Quando um corpo é submetido a uma força, tende a mudar de tamanho e forma. Isso 
origina o que chamamos de deformação. Esta deformação pode se apresentar visível aos 
nossos olhos ou ser imperceptível. Podemos medir as deformações através de experiências 
e aplicar os valores às cargas e tensões que vão atuar no interior do corpo.
5.1 DEFORMAÇÃO NORMAL
É a deformação que produz um alongamento ou contração de um segmento de reta por 
unidade de comprimento. Considere os pontos A e B sobre a reta pontilhada que representa 
o eixo na figura 153 (a). O segmento ∆S, é o comprimento da reta AB. Quando o corpo sofre 
a deformação, esses pontos são deslocados para as posições A´e B´, figura 153 (b) em que 
a reta se transforma numa curva de comprimento ∆S´. A deformação normal média ε é dada 
pela expressão: .
FONTE: Autora
Quando a deformação normal é conhecida, podemos obter o comprimento final 
aproximado na direção do eixo depois da deformação. Assim, SS ∆+≈∆ )1(´ ε .
Observe que, se for positivo à reta, alonga-se e se for negativo, contrai-se. A 
deformação é uma grandeza adimensional, pois se trata de uma relação entre comprimentos.
Exemplo 4 – Uma haste delgada como a da figura a seguir está submetida a um aumento 
FIGURA 153 – DEFORMAÇÃO
UNIDADE 3 TÓPICO 5 179
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de temperatura, o que cria uma deformação normal na haste de . O z é dado 
em metros. Determinar : (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento 
de temperatura e (b) a deformação normal média da haste.
FONTE: Autora
Solução: (a) Como a deformação normal é dada para cada ponto ao longo da haste, 
um segmento diferencial dy, localizado na posição y, tem comprimento deformado determinado 
por 
O deslocamento é, portanto .
(b) A deformação média é .
FIGURA 154 – HASTE 
UNIDADE 3TÓPICO 5180
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Neste	tópico,	você	teve	oportunidade	de	estudar	os	seguintes	conteúdos:
	Observamos que os corpos podem se deformar quando submetidos à tensão.
	Vimos que a tensão é uma força interna que se distribui no corpo para mantê-lo em equilíbrio 
quando submetido a uma carga.
	Calculamos a tensão normal e definimos tensão de cisalhamento.
	Mostramos como calcular a tensão admissível.
	Estudamos a deformação e vimos que ela tem por efeito causar uma mudança no tamanho 
do corpo.
rESUmO DO TÓpICO 5
UNIDADE 3 TÓPICO 5 181
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A
Chegando ao final de mais um tópico, caro(a) acadêmico(a), para melhor fixação 
do conteúdo, resolva as questões a seguir:
1 A luminária da figura a seguir tem 50 kg e é suportada pelas hastes AB e CB, com 
diâmetros de 8 mm e 10 mm, respectivamente. Calcule o valor da tensão normal 
média em cada haste e determine qual das duas hastes está sujeita à maior tensão.
FONTE: Autora
2 O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como mostrado 
na figura a seguir. Se a haste passa por um furo de 40mm de diâmetro, determinar o 
diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco, necessários para 
suportar uma carga de 20kN. A tensão normal admissível da haste é 
, e a tensão de cisalhamento admissível do disco é .
FONTE: Disponível em: <http://meusite.mackenzie.com.br/
alex_bandeira/ResmatI/Aula03.pdf>. Acesso em: 
18 ago. 2008.
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FIGURA 155 – LUMINÁRIA 
FIGURA 156 – TIRANTE 
UNIDADE 3TÓPICO 5182
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AVAL
IAÇÃ
O
Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 3, você deverá fazer a Avaliação. 
183
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A
rEFErÊNCIAS
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR, E. Russell; CLAUSEN, William E. Mecânica	Vetorial	
para	Engenheiros: Estática. São Paulo: McGraw Hill. 2006.
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR, E. Russell; CLAUSEN, William E. Mecânica	Vetorial	
para	Engenheiros: Dinâmica. 7º ed. São Paulo: McGraw Hill. 2006.
BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica	Vetorial	para	Engenheiros: Estática. São Paulo: 
Makron Books, 1994.
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenheiros. 10º ed. São Paulo: Person 
Education do Brasil, 2005.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Engineering Mechanics. volume I: Statics e volume II: 
Dynamics, New York: John Willey & Sons, 1998.
MERIAN, J. L.; KRAIGE, L. g. mecânica: Estática. 5º ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
PUCRS. Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/regina/mecanica_dos_
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SCRIBD. Disponível em: <http://www.scribd.com/doc/31637938/Mecanica-vetorial-para-
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SC.EHU. Disponível em: <www.sc.ehu.es/sbweb/fisica>. Acesso em: 26 jan. 2011.
SOFISICA. Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/conteudos/exercicios/mhs.php>. 
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UFS. Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/solido/din_rotacion/
inercia/inercia.htm>. Acesso em: 26 jan. 2011.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMANN, Roger A. Física	I: Mecânica. São Paulo: Persons 
Education do Brasil, 2010.