Medidas de Variabilidade em Estatística

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- UNIDADE 04 – 
 
Medidas Estatísticas 
(Medidas de Variabilidade) 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 3 − 
 
 
UNIDADE 03 − Medidas estatísticas para descrição de dados ............................................... 3 
1 − Introdução ........................................................................................................................... 3 
2 − Medida de Variabilidade...................................................................................................... 4 
2.1 − Medida de variabilidade para dados brutos ................................................................. 4 
2.2 − Medidas de variabilidade para dados agrupados em tabelas de frequência ............ 15 
2.2.1 − Dados agrupados em tabelas de frequência sem classe .................................. 15 
2.2.2 − Dados agrupados em tabelas de frequência com classe .................................. 16 
2.3 − Algumas aplicações do desvio-padrão ...................................................................... 18 
3 - Anexos ............................................................................................................................... 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 4 − 
 
 
3 4 5 6 7 8 9 10 
3 4 5 6 7 8 9 10 
UNIDADE 04 − Medidas estatísticas para descrição de 
dados 
 
1 − Introdução 
 
A medida de dispersão ou de variabilidade procura “medir” o quanto os valores de um 
conjunto de dados estão afastados ou dispersos em relação a uma medida central, 
normalmente a média aritmética. As medidas de posição central (média, mediana, etc) 
vistas anteriormente, não conseguem sozinhas descrever bem uma distribuição de valores. 
Considere a quantidade de gols feitos por dois times nos últimos sete campeonatos 
nacionais. 
 
Time A: 80, 78, 80, 85, 75, 85, 80 
 
 
Time B: 50, 78, 67, 85, 88, 94, 98 
 
Cada time fez, em média, 80 gols em cada ano, nos levando a crer que ambos os times 
tiveram desempenhos iguais nos últimos sete campeonatos. Analisando a quantidade de 
gols marcados pelos times, notaremos que essa quantidade varia de 75 a 85 gols no time 
‘A’, enquanto que a do time ‘B’ varia de 50 a 98 gols, e com essa análise da variação na 
quantidade de gols marcados podemos ver que o desempenho é bem distinto de ambos os 
times. 
 
Para quantificar a variação presente em um conjunto de dados, temos de nos valer das 
medidas de dispersão ou de variabilidade. As medidas usuais são: 
 
Medidas de dispersão absoluta 
Desvio-padrão 
Variância 
Amplitude 
Desvio médio absoluto 
 
Medidas de dispersão relativa 
Coeficiente de variação 
30 40 50 60 70 80 90 100 
30 40 50 60 70 80 90 100 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 5 − 
 
 
2 − Medida de Variabilidade 
 
2.1 − Medida de variabilidade para dados brutos 
 
As medidas abaixo se referem aos dados brutos, ou seja, dados não agrupados em 
tabelas de frequência. 
 
 • Amplitude 
A amplitude amostral é diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. 
 
A t = Máximo − Mínimo 
 
Para o conjunto x = {9, 4, 5, 10, 7} a amplitude amostral será: 
 
A t = 10 − 4 = 6 
 
É a medida mais simples de dispersão. Quanto maior for a amplitude, mais afastados estão 
os valores (maior dispersão ou variabilidade). A amplitude será sempre maior ou igual a 
zero, NUNCA negativa. 
 
Apesar de sua simplicidade, a amplitude deixa um pouco a desejar, principalmente 
quando temos grandes conjuntos de dados, pois ela só leva em consideração os valores 
extremos (mínimo e máximo) de um conjunto, deixando de lado os valores 
intermediários. 
 
EXEMPLO 01 - Calcule a amplitude dos dois conjuntos abaixo. 
x = {7, 7, 4, 7, 10} y = {9, 4, 5, 10, 7} 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Os dois conjuntos abaixo têm mesma amplitude, deixando a entender que ambos têm a 
mesma variabilidade, mas o que vemos pelo diagrama de pontos é que a variabilidade não 
é igual (é maior no conjunto y). 
 
 
x = {7, 7, 4, 7, 10} At = 6 
 
y = {9, 4, 5, 10, 7} At = 6 
 
3 4 5 
 
 
3 4 5 
 
6 7 8 
 
 
6 7 8 
 
9 10 
 
 
9 10 
 
11 12 
 
 
11 12 
 
A amplitude tem grande aplicação na área de controle de qualidade ou em situações 
onde desejamos uma rápida medida de variabilidade dos dados. 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 6 − 
 
 
 • Desvio médio absoluto 
O grande inconveniente da amplitude é que ela usa apenas os valores extremos dos dados, 
deixando de lado os demais valores. Uma medida que considera todos os valores do 
conjunto seria mais interessante e mais justo para representar a variabilidade dos dados. 
 
O desvio médio absoluto, representado por DMA, é uma das medidas de dispersão que 
leva em consideração todos os valores do conjunto. O DMA analisa a dispersão dos dados 
em torno de um valor central, representado pela média aritmética. O desvio médio 
absoluto é dado pela fórmula abaixo: 
n 
 x i − x x − x + x − x + L + x − x 
DMA = i=1 = 1 2 n 
n n 
onde 
xi = i-ésimo valor da variável 
n = número de valores (tamanho da amostra) 
xi i − 
x 
= módulo do desvio de xi em relação à média 
 
Como se vê, o desvio médio absoluto pode ser visto como uma média do afastamento dos 
valores em relação à média do conjunto. Quanto maior o DMA, mais afastados os valores 
estarão da média, portanto maior será a variabilidade. O DMA é uma medida sempre 
maior ou igual à zero, NUNCA negativa. 
 
EXEMPLO 02 - Calcule o desvio médio absoluto dos dois conjuntos de dados abaixo. 
x = {7, 7, 4, 7, 10} y = {9, 4, 5, 10, 7} 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
O modo mais prático de calcular o desvio médio absoluto é formar uma tabela com os 
valores e calcular o módulo dos desvios em torno da média. Veja abaixo como ficariam 
os cálculos. 
 
Conjunto x Conjunto y 
 
 
DMA X 
n 
 x i − x 
= i=1 = 
n 
6 
= 1,2 
5 
 
DMA Y 
n 
 yi − y 
= i=1 = 
n 5 
= 2,0 
xi x
i 
− x x 
i 
− x 
7 0 0 
7 0 0 
4 -3 3 
7 0 0 
10 3 3 
-  = 0  = 6 
 
yi y
i 
− y y
i 
− y 
9 2 2 
4 -3 3 
5 -2 2 
10 3 3 
7 0 0 
-  = 0  = 10 
 
10 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 7 − 
 
 
Como o DMAY foi maior que o DMAX, conclui-se que o conjunto y apresenta maior 
variabilidade em seus valores do que o conjunto x. 
 
Apesar de usar todos os valores do conjunto e resolver aquele “problema” apresentado 
pela amplitude, o desvio médio absoluto também apresenta alguns pontos fracos, dentre 
eles: 
• O DMA é bastante influenciado pelos valores atípicos (outliers); 
• Pelo fato de trabalhar com o módulo, certas propriedades estatísticas do DMA 
são difíceis de serem verificadas1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Verificar se um estimador é não-viciado e com menor variabilidade. 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 7 − 
 
 
n 
Y 
n 
X 
 
 
 
A variância amostral, representada por s2, é uma medida de variabilidade baseada nos 
desvios de cada valor em torno da média. Como esses desvios podem assumir valores 
positivos e negativos, a soma de todos eles será sempre zero. Para evitar que a soma dê 
sempre zero, avariância trabalha com os desvios elevados ao quadrado2. A variância é 
dada pela fórmula abaixo: 
 (xi − x ) 2 
 
 
onde 
n 
s 2 = i=1 
n − 1 
 (xi 
i=1 
− x )2 = (x − x )2 (x − x )2 + L + (x − x )2 (soma dos desvios ao quadrado) 
 
A variância é uma média dos desvios ao quadrado. Quanto maior a variância, mais 
afastados os valores estarão da média, portanto maior será a variabilidade dos valores. A 
variância é uma medida sempre maior ou igual a zero, NUNCA negativa. 
EXEMPLO 03 - Calcule a variância dos dois conjuntos de dados abaixo. 
x = {7, 7, 4, 7, 10} y = {9, 4, 5, 10, 7} 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
O modo mais prático é também formar uma tabela com os valores, 
Conjunto x Conjunto y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (xi − x )
2
 
18 
 
 
 (yi − y )
2
 
26 
s 2 = i=1 = = 4,5 s 2 = i=1 = = 6,5 
x 
n − 1 
 
5 − 1 
y 
n − 1 
 
5 − 1 
 
Como o 
2 
foi menor que o s2 , conclui-se que o conjunto x apresenta menor 
variabilidade em seus valores do que o conjunto y (os valores de x estão mais 
homogêneos em torno da média). 
2 
O DMA calcula o módulo de cada desvio, em vez de elevar cada desvio ao quadrado. 
• Variância amostral (s2) e desvio-padrão amostral (s) 
n n 
s 
1 2 
xi x
i 
− x (x − 
i 
x)2 
7 0 0 
7 0 0 
4 -3 9 
7 0 0 
10 3 9 
-  = 0  = 18 
 
yi y
i 
− y (y − 
i 
y)2 
9 2 4 
4 -3 9 
5 -2 4 
10 3 9 
7 0 0 
-  = 0  = 26 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 8 − 
 
 
variância 
Pelo fato de trabalhar com os desvios elevados ao quadrado, a unidade de medida da 
variância é também elevada ao quadrado também. Por exemplo, se conjunto x do exemplo 
anterior se referir à idade (em anos) de cinco crianças, então a variância será igual a 4,5 
anos2. Se o conjunto se referir ao salário (em mil reais) de cinco funcionários, então a 
variância será igual a 4.500 reais2 e, por fim, se o conjunto se referir ao número de filhos 
de cinco famílias, então a variância será igual 4,5 filhos2. 
Fica difícil ter alguma interpretação prática para a variância, já que sua unidade de medida 
não é a mesma dos dados originais. Para resolver essa pequena inconveniência, bastou 
tirar a raiz quadrada do valor da variância, dessa forma, surgiu o desvio-padrão. 
 
O desvio-padrão amostral, representada por s, é apenas a raiz quadrada da variância. 
Portanto sua fórmula é dada por: 
 
 
s = → s = 
 
EXEMPLO 04 - No exemplo anterior, calcule o desvio-padrão dos dois conjuntos de 
dados. 
 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
O desvio-padrão do conjunto x é s x = 4,5 = 2,12 
O desvio-padrão do conjunto y é s y = 6,5 = 2,55 
 
Quanto maior o valor do desvio-padrão, mais afastados os valores estarão da média, 
portanto maior será a variabilidade dos valores. A unidade de medida do desvio-padrão é 
a mesma unidade dos dados originais. Por exemplo, se conjunto x do exemplo anterior se 
referir à idade (em anos) de cinco crianças, então o desvio-padrão será igual a 2,12 anos 
e, por fim, se o conjunto se referir ao salário (em mil reais) de cinco funcionários, então 
o desvio-padrão será igual a 2.120 reais. 
 
O que de fato é o desvio-padrão? 
 
Essa é a pergunta mais frequente do aluno. O que podemos dizer é que o desvio-padrão é 
uma medida do quanto os valores estão afastados da média (ou uns dos outros para ser 
mais fácil de entender), sua utilidade é mais visível quando ele é usado para comparar a 
variabilidade entre diversos conjuntos de valores. Por exemplo, suponha alguém esteja 
interessado em um emprego oferecido por duas pelas empresas. O resumo dos salários 
dessas empresas está na tabela abaixo: 
 
Empresa Salário médio 
Desvio-padrão 
dos salários 
A 
B 
1500 reais 
1500 reais 
50 reais 
250 reais 
O salário médio de ambas as empresas é 1500 reais, então a pessoa interessada deve estar 
ciente de que o seu salário vai girar em torno desse valor. Analisando o desvio- padrão, 
vemos que a variabilidade dos salários na empresa ‘A’ é muito menor indicando que os 
salários dessa empresa estão bem próximos de 1500 do que os salários da 
 i 
 
 x ) 
i=1 
n − 1 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 9 − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
empresa ‘B’. Então, se a escolha não fosse influenciada por outros fatores (plano de 
carreira, plano de saúde, vale refeição, etc), a empresa ‘A’ seria mais interessante do que 
a ‘B’. 
 
 Variância e desvio-padrão populacional 
 
Por outro lado, quando trabalhamos com os dados de uma população (o que não é tão 
comum assim na prática), a variância passa a ser denominada de variância populacional 
e é denotado pelo símbolo 2 (leia-se sigma ao quadrado). Na realidade, o cálculo é 
semelhante ao cálculo da variância amostral, com exceção de que no denominador não 
há a subtração do valor 1. A fórmula da variância populacional é: 
 
 
 (xi − µ) 2 
 
 
onde 
xi = i-ésimo valor da variável X 
 = média populacional 
N = amanho da população 
σ 2 = i=1 
N 
 
O desvio-padrão populacional é denotado por  é calculado por: 
 
 
 
σ = 
 
 
EXEMPLO 05 - Imagine uma pequena região fictícia com apenas 8 famílias. Abaixo 
estão listados as renda (em reais) destas famílias. 
 
450 560 550 300 620 400 500 580 
 
Assumindo que esta região é a sua população de interesse, calcule a desvio-padrão 
populacional destas famílias. 
 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
N 
 
Média populacional: 
 xi 
µ = i=1 = 
N 
450 + 560 + L + 580 
 
 
8 
= 
3960 
8 
 
= 495 reais 
 
Desvio-padrão populacional: 
 
 
σ = = = = 99,50 
 
O desvio-padrão populacional das rendas é 99,50 reais. 
 i 
 
 
i=1 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 10 − 
 
 
4,5 
 i=1 
n 
 
1 
 
 
Por que na variância amostral a divisão é por n - 1 e não por n? 
Quando temos os dados de toda a população, o cálculo da variância é feito dividindo a 
soma dos desvios ao quadrado pelo tamanho da população N, obtendo, então, uma média 
desses desvios. Entretanto, na estatística, frequentemente trabalhamos com uma amostra 
apenas e o desejo é usar essa amostra para obter estimativas de parâmetros da população, 
entre eles a variância populacional (2). 
Ao calcular a variância amostral (s2) usando n no denominador, o valor obtido de s2 estará 
subestimando a real variância (2). Então, para melhorar a estimativa da real variância 
(2), calculamos a variância usando o n – 1 no denominador, em vez de n. 
 
Fórmula alternativa de calcular a variância e/ou o desvio-padrão 
Há uma fórmula alternativa que nos permite calcular a variância e o desvio-padrão 
amostral. 
 
  n 
2  
   x i   
2 
 n 
2  i=1  

 
 
Variância s = 
n − 1 
   x i − 
n 
 
  
  
 
 
 
 
Desvio-padrão s = 
 
 
 
 
 
onde: 
n 
 x = x + x + L + x  x2 = x2 + x 2 + L+ x 2 
i 1 2 n 
i=1 
i 1 2 n 
i=1 
 
EXEMPLO 06 - Calcule a variância do conjunto x = {7, 7, 4, 7, 10} usando a fórmula 
alternativa. 
 
Variância: 
1  
 
(35)2  
s2 = 
 
 
5 − 1 
  263 − 
 
 = 4,5 
5  
 
Desvio-padrão: 
s = = 2,12 
 
 1 
 
 n 
x 2 −  i=1  
  n   x i  

2  
n − 1 
   i=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi x 2 
i 
7 497 49 
4 16 
7 49 
10 100 
 xi = 35 
 x 2 = 263 
i 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 11 − 
 
 
Propriedades do desvio-padrão 
 
Suponha que os dados do conjunto x = {x1, x2,..., xn} têm um desvio-padrão sx: 
(1) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a a todos os valores de uma 
variável, o desvio-padrão do conjunto não se altera. 
Se yi = xi  a  s y = sx 
(2) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante b, o desvio-padrão do conjunto fica multiplicado (ou dividido) dessa 
constante. 
Se yi = bxi  s y = bsx 
(3) Combinando as propriedades (1) e (2), temos: 
Se yi = bxi  a  s y = bsx 
 
EXEMPLO 07 - Considere o conjunto x = {1, 2, 3, 3, 4, 5}, cujo desvio-padrão é 
sx = 1,4142. 
 
a) Se cada xi for adicionado o valor 6, qual será o desvio-padrão dos ‘novos’ 
valores? 
b) Se cada xi for multiplicado pelo valor 4, qual será o desvio-padrão dos ‘novos’ 
valores? 
 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Vamos aplicar as propriedades vistas acima. 
 
a) Se yi = xi + 6, então s y = sx = 1,4142 (veja a coluna 2 da tabela abaixo) 
b) Se yi = 4*xi, então 
abaixo) 
s 
y 
= 4  s
x
 = 4*1,4142 = 5,6568 (veja a coluna 3 da tabela 
 
(1) 
xi 
(2) 
yi = xi + 6 
(3) 
yi = 4*xi 
1 7 4 
2 8 8 
3 9 12 
3 9 12 
4 10 16 
5 11 20 
sx = 1,4142 sy = 1,4142 sy = 5,6569 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 12 − 
 
 
EXEMPLO 08 - Sabendo que X é um conjunto de valores com desvio-padrão sx = 15, 
calcule o desvio-padrão e a variância do conjunto Y = 
4 
(X − 10)+ 6. 
5 
 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Vamos primeiro desenvolver a fórmula do Y 
 
Y = 
4 
(X − 10)+ 6 = 
4 
X − 
4 
10 + 6 = 
4 
X − 8 + 6 = 
4 
X − 2 
5 5 5 5 5 
 
Portanto, Y = 
4 
X − 2 e aplicando a propriedade (3) s 
5 
y 
= 
4 
s 
5 
x 
= 
4 
15 = 12. 
5 
 
 
EXEMPLO 09 - O desvio-padrão dos salários dos funcionários de uma empresa é 30 reais. 
No próximo mês, cada funcionário receberá um aumento de 50 reais e no mês seguinte 
um aumento de 20%, determine o desvio-padrão dos “novos” salários após estes 
aumentos. 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 13 − 
 
 
 • Coeficiente de variação (CV) 
A amplitude, o desvio médio absoluto, a variância e o desvio-padrão são medidas 
absolutas de dispersão. O coeficiente de variação, representado por CV, é uma medida 
relativa de dispersão, pois leva em consideração a média do conjunto de dados. Ele é a 
razão entre o desvio-padrão s e a média x , isto é: 
 
CV = 
s
 
x 
Como se pode ver, o CV é adimensional (não tem unidade de medida) e multiplicando o 
valor obtido por 100, ele será expresso em percentual (%). O coeficiente de variação é 
indicado para comparar variabilidade de variáveis com unidades diferentes ou comparar 
variabilidade entre conjuntos com médias bem diferentes. 
 
EXEMPLO 10 - Considere os quatro conjuntos de valores: 
X = Peso de recém-nascidos (em kg) = {4, 5, 6, 5} 
Y = Peso da mãe (em kg) = {65, 75, 68, 60} 
Z = Altura da mãe (em cm) = {178, 176, 170, 160} 
Z = Altura do pai (em cm) = {185, 180, 175, 160} 
QUADRO RESUMO 
 
 
 
 
 
dp = desvio-padrão 
 
Comparando variabilidade entre as variáveis X e Y 
→ As unidades de medidas são as mesmas para ambas as variáveis, porém o peso médio 
da mãe (67 kg) é muito diferente do peso médio da criança (5 kg). Nesse caso, a 
melhor forma de comparar a variabilidade é usar o coeficiente de variação (CVX 
= 16,3% e CVY = 9,4%). Comparando os resultados, vê-se que a variação relativa 
dos pesos3 é maior para os recém-nascidos do que para as mães. 
 
Comparando variabilidade entre as variáveis Y e Z 
→ As unidades de medidas são bem diferentes (kg para peso e cm para altura). Nesse 
caso, a única forma de comparar a variabilidade é usando o coeficiente de variação 
(CVY = 9,4% e CVZ = 9,4%). Comparando os resultados, vê-se que a variação 
relativa é maior para os pesos das mães. 
 
Comparando variabilidade entre as variáveis Z e Q 
 
 
3 
Variação em torno da média. 
X = Peso de recém- 
nascidos 
(em kg) 
Y = Peso da mãe dos 
recém-nascidos 
(em kg) 
Z = Altura da mãe 
dos recém-nascidos 
(em cm) 
Q = Altura do pai 
dos recém-nascidos 
(em cm) 
média = 5 kg 
dp = 0,82 kg 
CV = 16,3% 
média = 67 kg 
dp = 6,78 kg 
CV = 9,4% 
média = 171 cm 
dp = 8,08 cm 
CV = 4,7% 
média = 175 cm 
dp = 10,8 cm 
CV = 6,2% 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 14 − 
 
 
→ As unidades de medidas são as mesmas e as médias são bem parecidas (171 cm das 
mães e 175 cm dos pais). Nesse caso, podemos usar tanto o desvio-padrão quanto o 
coeficiente de variação. Comparando os resultados, vê-se que há uma maior 
variabilidade nas alturas dos pais (dp = 10,8 cm e CV = 6,2%) do que nas alturas das 
mães (dp = 8,08 cm e CV = 4,7%). 
 
EXEMPLO 11 - Sabendo que X é um conjunto de valores com média de x = 5 e 
variância s2 = 25, calcule o coeficiente de variação (CV) do conjunto 
Y = 3X + 8  
 X 
− 10
 
+ 100 . 
 
  
 4  
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 15 − 
 
 
n − 1 
 
 
 
 
2.2 − Medidas de variabilidade para dados agrupados em tabelas de 
frequência 
 
2.2.1 − Dados agrupados em tabelas de frequência sem classe 
 
Se os dados estão agrupados em tabela sem classe, então xi é o valor da nossa variável de 
interesse e fi é a frequência desse valor. Da mesma forma que levamos em consideração 
as freuüências fi no cálculo da média agrupada, também devemos considerá-las no cálculo 
da variância e desvio-padrão. As duas fórmulas dão os mesmos resultados e, em se 
tratando de tabelas, a segunda fórmula abaixo é mais prática. 
 
n   n 
2  
 (x − x)2 f    x f   
i i 2 i=1 
2 1  
n 
2 
 
 
 i=1 i i 
 
 
s = 
n − 1 
ou s =    x i fi −  
 i=1 n  
  
  
 
EXEMPLO 12 - A tabela abaixo mostra a distribuição do o número de filhos para uma 
amostra de 20 funcionários. Calcule a variância e o desvio-padrão do número de filhos 
dos funcionários. 
Quantidade de filhos 
Número de 
Filhos 
Quantidade de 
funcionários 
(fi) 
0 5 
1 7 
2 5 
3 2 
4 1 
 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Para facilitar o cálculo da média, vamos acrescentar coluna xifi, que é o produto de cada 
valor xi pela sua respectiva frequência fi. 
 
Lembrando de que, em uma tabela de frequência, 
 fi = n 
e da tabela ao lado temos: 
 f = 20,  x f = 27,  x 2f = 61 
i i i 
 
Variância: s2 = 
1
 
 
 
  61 − 
i i 
 
(27)2  = 1,29 (filho) 
 
 
20 − 1  20  
 
2 
xi fi xifi x 
2f 
i 
 
i 
0 5 0 0 
1 7 7 7 
2 5 10 20 
3 2 6 18 
4 1 4 16 
Total 20 27 61 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 16 − 
 
 
1,29 Desvio-padrão: s = = 1,14 filho 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 17 − 
 
 
n − 1 
i 
  
 
2.2.2 − Dados agrupados em tabelas de frequência com classe 
 
Se os dados estão agrupados em tabela com intervalo de classe, então xi é o ponto médio 
da classe e fi é a frequência dessa classe. As duas fórmulas dão os mesmos resultados e, 
em se tratando de tabelas, a segunda fórmula abaixo é novamente a mais prática. 
 
n   n 
2  
 (x − x)2 f    x f  i i 2 i=1 
2 1  
n 
2 
 
 
 i=1 i i 
 
 
s = 
n − 1 
ou s =    x i fi −  
 i=1 n  
  
  
 
EXEMPLO 13 - A tabela abaixo mostra a distribuição dos salários (em salários- mínimos) 
para uma amostra de 20 funcionários. Calcule o salário médio desses funcionários. 
 
TABELA - Salários dos funcionários 
Salários 
(em SM) 
Quantidade de 
funcionários 
 fi 
4,0 |⎯ 8,0 5 
8,0 |⎯ 12,0 7 
12,0 |⎯ 16,0 4 
16,0 |⎯ 20,0 3 
 20,0 |⎯ 24,0 1 
 
Solução --------------------------------------------------------------------------------------------- 
Complete a tabela acrescentando uma coluna com o ponto médio de cada classe (xi) e 
uma coluna com o produto xi fi . 
 
i i 
 
 
Da tabela ao lado temos: 
 
 fi = 20 
 x i f i = 232 
 
 
 
Obs. xi = ponto médio da classe i 
 x 2f = 3120 
 
Variância amostral 
  n 
2     x ifi  
 
 2 
 
s2 =
 1 
 
 
 x 2f 
−  i=1  
 
= 
 1 
 3120 − 
(232)  = 22,574 (SM)2 
n − 1 
 i i 
 i=1 
 
 n 
 
20 − 1  
n 
i 
Salários xi fi x i fi x 
2f 
4,0 |⎯ 8,0 6 5 30 180 
8,0 |⎯ 12,0 10 7 70 700 
12,0 |⎯ 16,0 14 4 56 784 
16,0 |⎯ 20,0 18 3 54 972 
 20,0 |⎯ 24,0 22 1 22 484 
Total --- 20 232 3120 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 18 − 
 
 
22,57 
 
 
2
0
 
 
 
Desvio-padrão amostral: s = = 4,75 SM 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 19 − 
 
 
EXEMPLO 14 - (Bussab e Morettin, modificado) A tabela abaixo mostra a distribuição 
dos frangos de uma granja em relação ao peso (em gramas). 
 
a) Calcule a variância (s2) e o desvio-padrão (s) dos pesos dos frangos desta 
granja. 
b) O dono da granja sabe que 95% dos fangos têm pesos que estão a dois desvios- 
padrões à partir da média, ou seja, dentro do intervalo x  (2  s). Quais são os 
limites inferior e superior deste intervalo? 
 
Peso 
(em gramas) 
Quantidade 
de frangos 
fi 
960 |⎯ 980 60 
980 |⎯ 1000 160 
1000 |⎯ 1020 280 
1020 |⎯ 1040 260 
1040 |⎯ 1060 160 
1060 |⎯ 1080 80 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 20 − 
 
 
2.3 − Algumas aplicações do desvio-padrão 
 
a) Regra empírica 
Para conjunto de dados simétricos em forma de sino, uma útil regra prática pode ser 
aplicada a estes dados. Esta regra, algumas vezes chamada de regra empírica, nos diz 
que: 
 
• Cerca de 68,3% dos valores estarão dentro de uma distância de  1 desvio- 
padrão em torno da média (ou seja, média  1*dp). 
• Cerca de 95,4% dos valores estarão dentro de uma distância de  2 desvios- 
padrões em torno da média (ou seja, média  2*dp). 
• Cerca de 99,7% dos valores estarão dentro de uma distância de  3 desvios- 
padrões em torno da média (ou seja, média  3*dp). 
 
Como exemplo, suponha que as notas dos candidatos em um vestibular tenham uma 
média de 90 pontos com um desvio-padrão de 20 pontos. Assumindo que as notas se 
distribuem simetricamente em torno da média (em forma de sino), podemos dizer que: 
 
Cerca de 95,4% dos alunos obtiveram notas dentro do intervalo 90  (2*20) = 90  40, 
ou seja, de 50 pontos a 130 pontos (nove de cada dez tiram notas de 50 a 130 pontos). 
 
A regra acima deve ser usada em conjunto de dados distribuídos simetricamente em torna 
da média em forma de sino. Veja as figuras abaixo que mostra uma distribuição simétrica 
e assimétrica. 
 
Dados simétricos (em 
forma de sino) 
Dados assimétricos (não simétricos em torno da média) 
 
 
 
Uma alternativa é o uso da regra do Tchebychev, usada para situações mais gerais. 
 
 
b) Regra Tchebychev 
<<< Incluir depois >>> 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 21 − 
 
 
c) Escore z (ou z-escore) 
O escore z de um valor x é o número de desvios-padrões que este valor x está acima 
ou abaixo da média. O escore z pode ser obtido pela fórmula abaixo: 
 
z = 
valor − média 
dp 
 
onde dp = desvio-padrão 
 
Usando o escore z para classificar um valor como não-usual 
 
O escore z pode ser usado para classificar um valor como atípico (valor não-usual, não 
comum ou outlier) ou típico (valor usual ou comum). Para conjunto de dados simétricos 
em torno da média podemos usar a regra abaixo: 
 
z < −2  valor atípico (considerado valor muito pequeno) 
z > +2  valor atípico (considerado como muito grande) 
−2  z  +2  valor usual (considerado como valor comum) 
 
Como exemplo, considere que os homens adultos em geral têm uma altura média de 175 
cm com um desvio-padrão de 6 cm. O jogador de basquetebol norte-americano Michael 
Jordan tem uma altura de 1,98 metro, portanto seu escore z é 
 
z = 
valor − média 
= 
198 − 175 
= 3,8
 
 
Michael Jordan 
dp 6
 
 
Como z = 3,8 é maior que 2, então podemos concluir que a altura de Michael Jordan 
não é comum em homens adultos em geral (esta altura seria um valor não-usual). 
 
E o jogador brasileiro Romário que tem altura de 1,69 metro, o que você poderia dizer 
sobre sua altura? Tente responder. 
 
 
Usando o escore z para fazer comparações entre valores 
 
O escore z também pode ser usado comparar valores vindo de diferentes conjuntos de 
dados. 
 
Por exemplo, suponha que uma prova foi aplicada aos alunos de duas turmas (A e B). 
Na turma A, a nota média foi de 10 pontos com desvio-padrão de 5 pontos. Na turma B, 
a nota média foi de 15 pontos com desvio-padrão de 10 pontos. Vamos comparar o 
desempenho de dois alunos: 
 
Narizinho da turma A: obteve 18 pontos 
Pedrinho da turma B: obteve 25 pontos. 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 20 − 
 
 
O z-escore da Narizinho foi: 
 
z = 
18 − 10 
= 1,6 
Narizinho 
5
 
O z-escore do Pedrinho foi: 
25 − 15 
 
 
Significa que a nota de Narizinho está 1,6 desvio-padrão 
acima da média da sua turma (A). 
 
 
 
Significa que a nota de Pedrinho está 1 desvio-padrão 
z Pedrinho = 
10
 
= 1,0 acima da média da turma 
 
Usando o escore z podemos concluir que a aluna Narizinho teve um desempenho 
melhor dentro da sua turma do que o aluno Pedrinho. 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 21 − 
 
 
(x i − )2 
i=1 
 
 
3 - Anexos 
 
Diferenças entre a média (amostral e populacional) e 
desvio-padrão (amostral e populacional) 
 
Na grande maioria das vezes os dados que temos representam uma amostra retirada de uma população de 
interesse. E se, de repente, os nossos dados representarem uma população, como iremos calcular a média 
populacional, a variância populacional e o desvio-padrão populacional? 
 
 Média 
Cálculo da média populacional () 
 
 
 x i 
 = i=1 = 
x1 + x 2 + L + x N 
Cálculo da média amostral ( x ) 
 
 
 x i 
x = i=1 = 
x1 + x 2 +L + x n 
N N n n 
 
 
 
Na realidade, para as médias a única diferença é na notação usada: µ para média populacional e x para 
média amostral. 
 
 Variância 
Cálculo da variância populacional (2) 
 
 
(x i − )2 
2 = i=1 
N 
Cálculo da variância amostral (s2) 
 
 
(x i − x)2 
s 2 = i=1 
n −1 
Além da diferença na notação usada (2 para variância populacional e s2 para variância amostral) note que 
no denominador de 2 usa-se N, enquanto que s2 o usa-se n – 1. 
 
 Desvo-padrão 
Cálculo da desvio-padrão populacional () Cálculo da desviio-padrão amostral (s) 
 
 
 = s = 
 
 
EXEMPLO: Imaginem um país hipotético com apenas 4 estados, com os valores representando o PIB 
(em milhões de dólares) de cada estado. 
 
6 10 16 12 
 
Já que só tem 4 estados, os valores acima representam a populaçãode todos os estados daquele país 
(N = 4). Neste caso, a média populacional, a variância populacional e o desvio-padrão populacional são: 
 x i 
Média populacional:  = i=1 = 
6 +10 +16 +12 
= 
44 
= 11 milhões (PIB médio destes estados) 
4 4 4 
N n 
N n 
4 
(x i − x)2 
i=1 
n −1 
 
Unidade 04– Medidas de Variabilidade 
− 22 − 
 
 
(x i − )2 
i=1 
 
 
var iância 13 
(x i − x)2 
 i=1 
n −1 
 
var iância 17,33 
 
 
Variância populacional: 2 
 
(x i − )2 
= i=1 
N 
 
(6 −11)2 + (10 −11)2 + (16 −11)2 + (12 −11)2 
= 
4 
= 
25 +1+ 25 +1 
= 
52 
= 13
 
4 4 
 
 
Desvio-padrão populacional:  = = = = 3,61 milhões 
 
 
EXEMPLO: Imaginem um país hipotético com vários estados, onde apenas 4 estados foram sorteados 
aleatoriamente (amostra de 4 estrados) e registrado o PIB (em milhões de dólares) de cada um deles. 
 
6 10 16 12 
 
Como os 4 estados foram sorteados de uma população de vários estados, então os valores acima vêm de 
uma amostra (n = 4) e não de uma população. Neste caso, a média amostral, a variância amostral e o 
desvio-padrão amostral são: 
 x i 
Média amostral: x = i=1 = 
6 +10 +16 +12 
= 
44 
= 11 milhões (PIB médio destes estados) 
4 4 4 
n 
 
Variância amostral: 
(x i − x)2 
s 2 = i=1 
n −1 
(6 −11)2 + (10 −11)2 + (16 −11)2 + (12 −11)2 
= 
4 −1 
= 
25 + 1 + 25 + 1 
= 
52 
= 17,33 milhões2 
3 3 
 
 
 
Desvio-padrão amostral: s = = = = 4,16 milhões 
 
 
Observem que, ao calcular a variância amostral, o denominador foi n − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
4