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Caderno de Laboratório de Física Alicada 1 disciplina: MAF4225 ANO 2015 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 Elaborado pelos professores do Curso de Física da Pontifícia Universidade Católica de Goiás Goiânia – 2015 Sumário Aula 1 Metodologia: Relatórios e Normas de Laboratório............................................................. 01 Aula 2 Teoria de Erros I................................................................................................................ 05 Aula 3 Teoria de Erros II............................................................................................................... 09 Aula 4 Aplicação da Teoria de Erros............................................................................................. 13 Aula 5 Instrumentos de Medida I: Paquímetro.............................................................................. 17 Aula 6 Instrumentos de Medida II: Micrômetro.............................................................................. 23 Aula 7 Construção de Gráficos I: Papel Milimetrado..................................................................... 29 Aula 8 Construção de Gráficos II: Papel Di-Log............................................................................ 37 Aula 9 Corpos em Queda Livre..................................................................................................... 43 Aula 10 Lançamento Oblíquo de um Projétil................................................................................... 47 Aula 11 Equilíbrio I: Forças Coplanares.......................................................................................... 50 Aula 12 Equilíbrio II: Momento de uma Força................................................................................. 53 Aula 13 Densidade da Água............................................................................................................ 56 Aula 14 Força de Empuxo............................................................................................................... 58 Aula 15 Densidade de Sólidos........................................................................................................ 62 Aula 16 Fluido Incompressível Rotacional...................................................................................... 65 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 Elaborado pelos professores do Curso de Física da Pontifícia Universidade Católica de Goiás Goiânia - 2015 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 1 Aula 1 Metodologia: Relatórios e Normas de Laboratório 1.1 Introdução As práticas de laboratório representam um elemento complementar fundamental para a disciplina Física Aplicada 1, devendo merecer especial atenção em sua multiplicidade de funções. Os experimentos foram estruturados de modo a abranger grande parte do programa teórico dessa disciplina. 1.2 Cronograma AULAS 01 Metodologia: Relatórios e Normas de Laboratório 02 Teoria de Erros I 03 Teoria de Erros II 04 Aplicação da Teoria de Erros 05 Instrumentos de Medidas I: Paquímetro 06 Instrumentos de Medidas II: Micrômetro 07 Construção de Gráficos I: Papel Milimetrado 08 Construção de Gráficos II: Papel Dilog 09 Corpos em Queda Livre 10 Lançamento Oblíquo de Projéteis 11 Equilíbrio I: Forças Coplanares 12 Equilíbrio II: Momento de uma Força 13 Densidade da Água 14 Força de Empuxo 15 Densidade de Sólidos 16 Fluido Incompressível Rotacional 1.3 Relatório Uma etapa importante no trabalho científico é a divulgação dos resultados obtidos. O relatório deve ser o mais objetivo possível e conter as informações essenciais sobre o que foi feito, como foi feito e os resultados obtidos. São apresentados a seguir os itens essenciais de um relatório correspondente a uma prática de laboratório. a) CAPA DO RELATÓRIO – Deve conter: a) nome da instituição e departamento; b) título da experiência; c) nome do aluno; c) turma de laboratório; e) data da realização da experiência; f) nome do professor. b) OBJETIVO (OU OBJETIVOS) – Descrição, de forma clara e sucinta, do(s) objetivo(s) a ser(em) alcançado(s) no experimento. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 2 c) INTRODUÇÃO – É a parte inicial do texto, em que o aluno expõe o assunto de forma clara e sistemática, incluindo informações sobre a natureza e a importância do experimento. d) MATERIAIS UTILIZADOS – Descrição completa do material utilizado, dando suas características principais e, se possível, um esboço gráfico das partes principais do equipamento. As figuras devem conter números e legendas que as identifiquem. e) PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS – Descrição, de forma objetiva, das etapas na realização do experimento. f) RESULTADOS – A apresentação dos resultados obtidos deve ser feita de forma objetiva, exata, clara e lógica. Podem ser incluídas tabelas, desenhos, gráficos, mapas, esquemas, modelos, fotografias, etc. Se possível, faça uma comparação entre os resultados experimentais e os resultados teóricos, e caso exista discrepância entre eles, faça comentários. g) CONCLUSÕES – É a parte final do relatório, em que se apresentam, resumidamente, a conclusão dos resultados obtidos, tendo em vista o objetivo do experimento. h) REFERÊNCIAS – As referências constituem um conjunto de livros e/ou textos utilizados na elaboração do relatório. As referências devem ser numeradas e conter os seguintes elementos: autor, título, número de edição, editor e data, endereço eletrônico (se for o caso). Exemplos: Artigos: Pires, M. G. S.; Rodrigues, P. H.; Sampaio, C. C. C.; Rodrigues, C. G. Measure of the Sound Pressure Level in an Urban Center, Jornal Brasileiro de Fonoaudiologia, vol. 03, pp. 263-266, 2002. Livros: Hallyday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física, vol. 1, editora LTC, Rio de Janeiro, 2003. Sites: Coloque o nome do autor e o título do texto que foi retirado do site, o nome do site, e a data em que o site foi acessado para a pesquisa. Rodrigues, Clóves Gonçalves. Poluição Sonora. In: http://www.sbfisica.org.br/rbef/ojs/ index.php/rbef, acessado em 15 de fevereiro de 2013. 1.4 Formas de Avaliação Na composição das médias N1 e N2 da disciplina, a nota das atividades experimentais terá o valor máximo de dois pontos (2,0). Todas as aulas de laboratório são avaliativas. A participação do aluno na realização do experimento, a entrega do relatório, as atividades correspondentes aos experimentos e o porte do material necessário (apostila de laboratório, calculadora, lápis, borracha, etc.) serão considerados na avaliação. Não haverá reposição de práticas de laboratório. Os alunos que faltarem à determinada prática de laboratório terão automaticamente nota zero naquele Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 3 experimento. No processo de avaliação será considerado para a nota, o número total de aulas menos uma, ou seja, a nota mais baixa será desprezada. No entanto, não há abono de faltas. Observação: antes de entregar as notas para o professor de teoria, o professor de laboratório deverá apresentar e discutir essas notas com os alunos. 1.5 Normas de Laboratório O laboratório é um lugar onde observações são feitas sob condições controladas, de forma que os resultadospodem ser reproduzidos. Portanto, na execução das experiências, os alunos devem seguir certas normas. São elas: a) Não é permitido o uso de apostilas dos semestres anteriores; b) Chegar pontualmente à aula prática de laboratório (tolerância máxima de 15 minutos); c) Ler atentamente as instruções relativas à sua experiência; d) Começar a manipular o experimento somente após a autorização do professor; e) Examinar os aparelhos que serão utilizados nas experiências, de modo a se familiarizar com o seu funcionamento e leitura de suas escalas; f) Nunca tocar com lápis ou caneta em escalas, instrumentos de medida, lentes etc.; g) Nunca apertar de forma demasiada os parafusos que servem para imobilizar temporariamente certas peças, e não forçar uma peça que não se mova com facilidade. Deslocar suavemente as peças móveis; h) Procurar executar cada medição com a maior precisão possível, pois disso depende o correto resultado do experimento; i) Anotar todas as explicações dadas pelo professor, pois essas notas serão úteis na resolução das questões; j) Elaborar o relatório com clareza, e sempre que necessário, ilustrá-lo com gráficos e esquemas; k) Levar para o laboratório o material didático necessário: apostila de laboratório, calculadora, caneta, lápis ou lapiseira e régua. A apostila de laboratório está disponível no site: http://www.pucgoias.edu.br/fisica. Click em “Cadernos de Laboratório” => MAF4225-Física Aplicada 1; l) Em hipótese alguma brincar com materiais e equipamentos destinados aos experimentos; m) No final de cada aula, antes da saída dos alunos, o professor verificará o funcionamento dos equipamentos utilizados. Em caso de dano de algum material ou equipamento decorrente de mau uso por parte do(s) aluno(s), o professor deverá comunicar ao coordenador responsável pelo laboratório para que sejam tomadas as devidas providências. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 4 1.6 Bibliografia Sugerida HELENE, O. O que é uma medida física? Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 13, no. 12, Rio de Janeiro, 1991. LKHACHEV, V. P.; CRUZ, M. T. Quantas medidas são necessárias para o conhecimento de uma grandeza física? Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 22, no. 4, Rio de Janeiro, 2000. HALLYDAY, D.; RESNICK, R.; e WALKER, J. Fundamentos de Física, vol. 1, editora LTC, Rio de Janeiro, 2003. ALONSO, M. S.; FINN, E. S. Física, vol. 1, editora Edgard Blücher, São Paulo, 1998. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica, vol. 1, editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1981. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 5 Aula 2 TEORIA DE ERROS I Algarismos Significativos, Arredondamentos e Incertezas 2.1 Objetivos Familiarizar o aluno com os algarismos significativos, com as regras de arredondamento e as incertezas inerentes às medidas. 2.2 Algarismos Corretos e Avaliados Imagine que se esteja realizando uma medida qualquer, como por exemplo, a medida do comprimento de uma barra de madeira com uma régua milimetrada (veja Figura 2.1). Observe que a menor divisão da régua utilizada para fazer a medição é de 1 mm (um milímetro). Ao se tentar expressar o resultado dessa medida, percebe-se que ela está compreendida entre 152 e 153 mm. A fração de milímetros que deverá ser acrescentada a 152 mm terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm. Para se fazer esta avaliação, deve-se imaginar um intervalo entre 152 e 153 mm subdividido em 10 partes iguais, e acrescentar a fração de milímetro que for avaliada. Na Figura 2.1, pode-se avaliar esta fração como sendo de 3 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser expresso como 152,3 mm. Observe que existe segurança em relação aos algarismos 1, 5 e 2, pois eles foram lidos através de divisões inteiras da régua, ou seja, eles são algarismos corretos. Entretanto o algarismo 3 foi avaliado, isto é, não se tem certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 2 ou 3. Por isso, este algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso ou algarismo incerto. Figura 2.1 - Régua milimetrada usada para medir o comprimento de uma barra de madeira. O resultado de uma medida deve conter somente o(s) algarismo(s) correto(s) e o primeiro algarismo avaliado. Essa maneira de proceder é adotada convencionalmente por todas as pessoas que realizam medidas (físicos, químicos, engenheiros etc.). Esses algarismos (os corretos mais o primeiro avaliado) são denominados algarismos significativos. Assim, quando uma pessoa informar que mediu a temperatura de um objeto e encontrou 27,840C, deve-se entender que a medida foi feita de tal modo que os algarismos 2, 7 e 8 são corretos e o último algarismo, neste caso o 4, é duvidoso (ou avaliado). 130 140 150 160 170 mm Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 6 2.3 Arredondamentos de Números Frequentemente ocorre que números devem ser arredondados. Por exemplo, na soma ou subtração de duas quantidades, as mesmas devem ser escritas com apenas um algarismo duvidoso. O arredondamento deve ser empregado na eliminação dos algarismos não significativos de um número. Suponha, por exemplo, que uma determinada medida de temperatura foi apresentada na forma 28,63480C; 28,3500ºC; 28,6500 ºC; 28,276ºC; 28,85007ºC e queremos apresentá-la somente com três algarismos significativos. Para os propósitos das práticas de laboratório desenvolvidas neste curso, serão adotadas as seguintes regras: a) Se o primeiro algarismo excedente for menor do que cinco, o algarismo anterior permanece inalterado (arredondamento para baixo); b) Se o primeiro algarismo excedente for maior do que cinco, ou cinco seguido de pelo menos um número diferente de zero, o algarismo anterior é aumentado de uma unidade (arredondamento para cima). c) Se o primeiro algarismo excedente for igual a 5 seguido apenas de zeros, faz-se com que o número fique par (caso o último algarismo que fica seja ímpar, soma-se a ele uma unidade para torná-lo par). Portanto, as medidas anteriores podem ser expressas como: 28,6ºC; 28,4ºC; 28,6ºC; 28,3ºC; 28,9ºC 2.4 Operações com Algarismos Significativos A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Suponha que queiramos fazer a seguinte adição: 4,806 + 0,0793 + 73,646 + 325,34 Para encontrar o resultado, efetue a soma sem abandonar nenhum algarismo e escreva o resultado com um número de casas decimais igual ao da parcela que possui o menor número dessas casas. Assim, para o exemplo acima, a soma resultaria em 403,8713. Reduzindo esse resultado ao menor número de casas decimais das parcelas, o resultado final é 403,87 B) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Considere a multiplicação dos números 3,67 por 2,3. Fazendo a multiplicação normalmente, encontra-se: 3,672,3 = 8,441 Note que realizando o cálculo dessa forma aparecem no produto algarismos que são incoerentes com a precisão das medidas. Para evitar isso, deve-se observar a seguinte regra: “verifique qual fator possui o menor número de algarismos significativos e, no resultado da multiplicação, mantenha apenas o número de algarismos igual ao deste fator”. Assim, como o fator Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 7 que possui o menor número de algarismos significativos é o 2,3, o resultado deve ser escrito da seguinte maneira: 3,672,3 = 8,4 COMENTÁRIOS: a) As regras discutidas acima para os algarismos significativos não devem ser consideradas com extremo rigor, pois se destinam apenas a facilitar os cálculos e evitar o trabalho com números sem qualquer significado para a medida. Na multiplicaçãoanterior seria razoável, sem extremo rigor, manter um algarismo a mais no resultado: 3,672,3 = 8,4 ou 3,672,3 = 8,44 b) Ao se realizar uma mudança de unidades, deve-se tomar cuidado para não serem escritos zeros que não sejam significativos. Suponha, por exemplo, que queiramos expressar, em metros, uma medida de 8,4 km. Observe que esta medida possui dois algarismos significativos, sendo duvidoso o algarismo 4. Escrevendo: 8,4 km = 8400 m, o número 4 estaria sendo considerado como um algarismo correto e o último zero acrescentado seria o algarismo duvidoso, o que não estaria certo. Para não cometer esse engano de interpretação, utiliza-se da notação de potência de 10 e escreve-se: 8,4103 metros. Assim, realizou-se a mudança de unidades e o algarismo 4 continua sendo o algarismo duvidoso. c) Para números encontrados em fórmulas e que não são resultados de medidas, não faz sentido falar em número de algarismos significativos. Ou seja, na fórmula que fornece a área A de um triângulo de base b e altura h: A = bxh/2. O número 2 não foi obtido através de medida e, assim, não deverá ser levado em consideração para a contagem do número de algarismos significativos do resultado. d) Para alguns resultados deve ser utilizado a notação de potencia de 10. Veja o exemplo abaixo: 54382,5 = 1,4104 2.5 Incerteza na Medida de um Instrumento A incerteza de uma medida é uma fração avaliada da menor divisão da escala utilizada, ou seja, é no algarismo duvidoso que reside a incerteza da medida. A incerteza de uma medida é o intervalo de incerteza fixado pelo operador com o sinal mais ou menos ( ). Ela depende da perícia do observador, de sua segurança, de sua facilidade de leitura da escala, além do próprio aparelho ou instrumento utilizado na medição. Uma forma de apresentar a incerteza de uma medida é utilizar a metade da menor escala. Por exemplo, na Figura 2.1, a menor divisão da régua é 1 mm e a incerteza poderá ser, então, 0,5 mm. Assim, o resultado desta medida deverá ser escrito como: 152,3 mm 0,5 mm ou (152,3 0,5) mm. Alguns autores adotam como norma uma incerteza correspondente a 10% da menor divisão da escala. No caso do exemplo da Figura 2.1, o resultado poderia ser escrito como: 152,3 mm 0,1 mm ou (152,3 0,1) mm. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 8 2.6 Exercícios EXERCÍCIO 1 – Considere a Figura abaixo: a) Qual é o comprimento da barra b) Quais são os algarismos corretos e o avaliado desta medida c) Expresse sua medida também em função da incerteza. EXERCÍCIO 2 – Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com algarismos significativos. Se esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era de 153 km/h, a) Quais são os algarismos que ela leu no velocímetro analógico b) Qual foi o algarismo duvidoso avaliado pela pessoa EXERCÍCIO 3 – A temperatura de um menino foi medida usando-se dois termômetros diferentes, encontrando-se 36,8ºC e 36,80ºC. a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida b) Na segunda medida o algarismo 8 é o duvidoso ou correto Justifique. EXERCÍCIO 4 – Considerando as regras de arredondamento, escreva as medidas seguintes com apenas três algarismos significativos: a) 272,92 cm b) 6,545 g c) 12,67 s d) 78,90 N EXERCÍCIO 5 – Um estudante precisa realizar a seguinte soma, de tal forma que o resultado contenha apenas algarismos significativos: 77,12 cm + 2,6 cm. Qual é o resultado da adição EXERCÍCIO 6 – Considere a multiplicação: 345,72,34. Responda: a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos b) Com quantos algarismos devemos apresentar o resultado da multiplicação c) Escreva o resultado apenas com algarismos significativos d) Seria aceitável apresentar 808,9 como resultado e 808,94 Justifique. EXERCÍCIO 7 – Ao medir o comprimento de uma estrada, um agrimensor encontrou 75 km. a) Qual o algarismo duvidoso desta medida b) É aceitável escrever esta medida como 75000 m Por quê c) Qual é a maneira certa de se expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas quanto aos algarismos significativos 70 30 40 50 60 mm Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 9 Aula 3 TEORIA DE ERROS II Tratamento Estatístico de Medidas 3.1 Objetivos Familiarizar o aluno com o tratamento estatístico de medidas e com a propagação de erros. 3.2 Erros Sistemáticos e Estatísticos Nos laboratórios de física, as grandezas determinadas experimentalmente têm uma incerteza intrínseca que vem das diferentes fontes de erro. As fontes de erro fazem com que toda medida realizada, por mais cuidadosa que seja, seja afetada por um erro experimental. Esses erros podem ser classificados em dois grupos: os erros sistemáticos e os erros estatísticos. Os “erros sistemáticos”1 são aqueles causados por diferentes fatores e são classificados em: a) Instrumentais: Erros que resultam da calibração do instrumento de medida; b) Ambientais: Provenientes de fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade, aceleração da gravidade, campo magnético terrestre, luz e ruídos; c) Observacionais: Aqueles devidos a pequenas falhas de procedimento ou às limitações do próprio observador. Um exemplo de erro deste tipo é o de “paralaxe”, que ocorre devido a uma posição inadequada na leitura das escalas de instrumentos; d) Acidentais: Que ocorrem inevitavelmente. Por exemplo, erros de julgamento na estimativa da fração da menor divisão de uma escala; e) Grosseiros: Devidos à falta de atenção ou de prática do operador. Por exemplo, enganos na leitura de instrumentos, ao escrever 7248 ou 7428 quando o número é 7482. f) Teóricos: São erros que resultam do uso de fórmulas teóricas aproximadas para a obtenção dos resultados. Os “erros estatísticos”, por sua vez, são aqueles causados por flutuações (variações) nas medidas das grandezas. 3.3 Tratamento Estatístico de Medidas 3.3.1 Valor Médio de uma Grandeza O valor médio de uma grandeza x é representado por x ou x e é calculado dividindo a soma de todos os valores medidos de uma grandeza pelo número de medidas que deu origem à soma, isto é, a média aritmética de uma série de medidas: 1 Observação – Uma das principais tarefas do experimentador é identificar e eliminar o maior número possível de erros sistemáticos. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 10 1 1 N i i x x N , (3.1) sendo: ix : o valor de cada medida; N: o número total de medidas; x : o valor médio das N medidas. 3.3.2 Desvio Padrão e A estatística indica que uma estimativa do desvio das medidas em relação ao valor médio é dada pelo cálculo do desvio padrão (ou desvio padrão amostral) e , cuja expressão é a seguinte: 2 1 1 ( ) 1 N e i i x x N . (3.2) É importante observar que uma grandeza medida é caracterizada pelo seu valor médio, e que esse valor médio deve sempre ser escrito com o seu respectivo desvio padrão, que representa um intervalo onde o valor verdadeiro pode se situar. Por exemplo, várias medidas da aceleração da gravidade g resultarão em um valor médio g e seu respectivo desvio padrão . O verdadeiro valor da aceleração da gravidade provavelmente estará contido no intervalo [ , ]g g ou, resumidamente, g . Note ainda que todo instrumento de medida possui uma incerteza, que chamaremos de m . Por exemplo, numa régua milimetrada o menor valor de leitura é 1 milímetro (mm), e uma grandezacujo comprimento estiver compreendido entre uma e outra marca na escala dessa régua necessariamente terá uma incerteza m associada a ela. Essa incerteza geralmente é tomada como sendo a metade da menor escala do instrumento, ou seja, m 0,5 mm no exemplo da régua. Assim, associada à média, há a incerteza inerente ao instrumento de medida ( m ) e a incerteza estatística ( e ), dada pela Eq. (3.2). Em qualquer caso, a incerteza a considerar é sempre a maior delas, ou seja: a) Se o desvio padrão for maior que a incerteza instrumental, o valor x mais provável da medida estará compreendido no intervalo ex x ; b) Se o desvio padrão for menor que a incerteza instrumental, o valor x mais provável da medida estará compreendido no intervalo mx x . Exemplo Num laboratório um estudante realiza quatro medidas do diâmetro de um furo circular obtendo os seguintes resultados: x1 = 2,0 cm; x2 = 2,1 cm; x3 = 2,0 cm; x4 = 2,2 cm. a) Qual o valor médio do diâmetro? b) Qual o desvio padrão das medidas? c) Qual o valor da medida com sua incerteza se a incerteza do instrumento de medida é de 0,1 cm? d) Qual o valor da medida com sua incerteza se a incerteza do instrumento de medida é de 0,05 cm? Solução: a) Como foram realizadas quatro medidas temos N = 4. Usando a Eq. (3.1) Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 11 1 1 1 8,3[2,0 2,1 2,0 2,2] 2,075 4 4 N i i x x N cm b) Usando a Eq. (3.2) 2 2 2 2 2 1 1 1( ) [(2,0 2,075) (2,1 2,075) (2,0 2,075) (2, 2 2,075) ] 4 1 3 N e i i x x 2 2 2 21 [( 0,075) (0,025) ( 0,075) (0,125) ] 3e 1 1[0,005625 0,000625 0,005625 0,015625] 0,0275 0,009167 0,0957 3 3e 0,0957e cm c) Neste caso: mx x = (2,075 0,1) cm d) Neste caso: ex x = (2,075 0,0957) cm 3.4 Propagação de Erros Certas grandezas físicas são calculadas a partir de outras obtidas através de medições diretas, por exemplo, a área de um retângulo. Se cada grandeza medida (lado do retângulo) vier acompanhada de um desvio, a grandeza calculada (área) também deverá ser representada com seu respectivo desvio. Para calcular este desvio, existem regras definidas pelo cálculo diferencial que fogem do enfoque deste curso. Existe, porém, uma forma simples que não exige conhecimento mais profundo do cálculo: para se achar o desvio padrão A da área do retângulo associada ao produto dos lados aa a e bb b , calcula-se os valores máximos e mínimos da área: max ( ) ( )a b b a a bA a b a b a b min ( ) ( )a b b a a bA a b a b a b O desvio A da área será então dado por: max min 2A b a A A a b O mesmo procedimento é adotado para as outras operações (divisão, subtração e soma) e o resultado final é mostrado abaixo: Soma: ( ) ( ) ( ) ( )a b a ba b a b a b (3.3a) Subtração: ( ) ( ) ( ) ( )a b a ba b a b a b (3.3b) Divisão: 2( ) ( ) b a a b a baa b a b b b (3.3c) Multiplicação: ( ) ( ) ( )a b b aa b a b a b a b (3.3d) Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 12 3.5 Erro Relativo Percentual Uma outra forma de avaliar o resultado da medida de uma grandeza é feita pela comparação deste resultado com um valor preestabelecido da mesma. Como valor de referência pode-se escolher o valor tabelado ou a média de um conjunto de medidas da grandeza. Esta comparação permite determinar o erro relativo percentual, que é dado por (%) .100x xE x onde x é o valor medido e x é o valor de referência. 3.6 Exercícios EXERCÍCIO 1 – A distância focal em centímetros de uma lente convergente foi determinada a partir das posições de um objeto luminoso e da imagem correspondente formada pela lente. A medição é repetida 12 vezes obtendo-se os seguintes valores: 204 206 208 227 229 230 237 237 238 240 241 243 Pede-se: a) O valor médio; b) O desvio padrão; c) O valor da medida com sua incerteza. EXERCÍCIO 2 – Efetue as operações: a) (2,345 0,005) + (1,824 0,003); b) (4,03 0,01) x (2,74 0,03); c) (2,345 0,005) – (1,824 0,003); d) (2,523 0,004) (5,121 0,006). EXERCÍCIO 3 – Calcule a diferença percentual entre os seguintes valores: a) 10x e 8x b) 100x e 20x c) 120x e 150x d) 40x e 80x Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 13 Aula 4 Aplicações da Teoria de Erros 4.1 Objetivos Realizar uma série de experimentos aplicando a teoria de medidas, de erros e de algarismos significativos. 4.2 Introdução A física está fundamentada em medidas. Dentre as várias grandezas físicas estão as fundamentais: comprimento, tempo, massa e temperatura, as quais serão medidas e tratadas estatisticamente nesta aula. 4.3 Material Utilizado a) Balança de travessão; f) Cronômetro digital; b) Quatro caixas de gelatina; g) Pêndulo; c) Régua milimetrada; h) Termômetro; d) Trena; i) Barbante. e) Uma barra de metro padrão; 4.4 Procedimentos Experimentais 4.4.1 Medidas de Massa a) Com a balança que se encontra sobre a bancada, meça a massa de cada uma das quatro caixas (incluindo o seu conteúdo) de gelatina. Anote os valores obtidos na linha “massa total” da Tabela 4.1; b) Calcule o valor médio ( M ) e o desvio padrão ( ) e anote na Tabela 4.1; c) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? e) Escreva o resultado final na forma M M , onde é o “desvio padrão” ou a “incerteza na medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor); Tabela 4.1 Massa total (g) M1 = M2 = M3 = M4 = Massa total média, M (g) Desvio padrão, (g) M M (g) f) Repita o procedimento anterior “apenas” para o conteúdo da caixa de gelatina (anote as medidas na linha “massa do conteúdo” da Tabela 4.2); Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 14 g) Calcule a diferença percentual entre o valor médio do conteúdo e o valor escrito na embalagem do produto. Os valores medidos estão de acordo com as especificações do fabricante? Tabela 4.2 Massa do conteúdo (g) M1 = M2 = M3 = M4 = Massa média do conteúdo, M (g) Desvio padrão, (g) M M 4.3.2 Medidas de Comprimento a) Com os instrumentos de medida que estão sobre a bancada, meça o comprimento do barbante sobre a mesa. Anote os valores na Tabela 4.3; b) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? c) Calcule o valor médio L e o desvio padrão das medidas; d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? e) Escreva o resultado final na forma L L , onde é o “desvio padrão” ou a “incerteza na medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor); Tabela 4.3 Comprimento L (cm) Instrumento 1 L1 = Instrumento 2 L2 = Instrumento 3 L3 = Valor médio, L (cm) Desvio padrão, (cm) L L (cm) 4.3.3 Medidas de Tempo Considere o pêndulo montado sobre a bancada. a) Com o cronômetro digital, faça dez medidas do período de oscilação do pêndulo (tempo necessário para a massa ir e voltar ao mesmo ponto de saída). Anote as medidas na Tabela 4.4; b) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida?c) Calcule o valor médio T e o desvio padrão e anote na Tabela 4.4; d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? e) Escreva o resultado final na forma T T , onde é o “desvio padrão” ou a “incerteza na medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor). Tabela 4.4 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 Período (s) Período médio, T (s) Desvio padrão, (s) T T (s) Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 15 4.3.4 Medidas de Temperatura a) Com os termômetros, faça medidas de temperatura ambiente em três pontos diferentes da sala. Anote os resultados na Tabela 4.5; b) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? c) Calcule o valor médio e o desvio padrão. Anote os valores na Tabela 4.5; d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? e) Escreva o resultado final na forma , onde é o “desvio padrão” ou a “incerteza na medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor). Tabela 4.5 Temperatura (ºC) 1 2 3 Temperatura média, (ºC) Desvio padrão, (ºC) (ºC) Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 16 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 17 Aula 5 Instrumentos de Medidas I: Paquímetro 5.1 Objetivos Realizar experimentos fazendo uso do paquímetro, aplicando os conhecimentos adquiridos no estudo da teoria de erros e medidas. 5.2 Introdução O paquímetro é um instrumento usado para medir com precisão as dimensões de pequenos objetos. Trata-se de uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. O paquímetro possui dois bicos de medição, sendo um ligado à escala e o outro ao cursor. Com um paquímetro podemos medir diversos objetos, tais como: parafusos, porcas, tubos, entre outros. Para realizar tal medição basta aproximar o objeto do bico superior e deslizar o cursor até que a peça fique justa. O Paquímetro é usado principalmente para medir dimensões lineares internas, externas e de profundidade de uma peça com precisão de décimos ou centésimos de milímetro, ou, ainda, em frações de polegadas. A Figura 5.1 mostra as maneiras corretas e erradas de usar um paquímetro para realizar medições. Figura 5.1 - Maneiras corretas e erradas de usar o paquímetro Na indústria existem vários tipos de paquímetros: paquímetro universal, paquímetro com relógio, paquímetro com bico móvel, paquímetro de profundidade, paquímetro duplo, paquímetro digital e traçador duplo, sendo cada um desses instrumentos o mais apropriado para um determinado tipo de medição (para maiores informações procure livros sobre Metrologia). Na Figura 5.2 listamos os principais tipos de paquímetros existentes no mercado, suas respectivas características e uma imagem representativa. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 18 Paquímetro universal É o paquímetro mais utilizado. Serve para realizar medições internas, externas, de profundidade e de ressaltos. Paquímetro universal com relógio Possui um relógio acoplado ao cursor que facilita a leitura, agilizando a medição. Paquímetro com bico móvel (basculante) É muito empregado para medir peças cônicas ou peças com rebaixos de diâmetros diferentes. Paquímetro de profundidade Serve para medir a profundidade de furos não vazados, rasgos, rebaixos, entre outros. Esse paquímetro pode apresentar haste simples ou com gancho. Paquímetro duplo Serve para medir dentes de engrenagens. Paquímetro digital Utilizado para leitura rápida, livre de erro de paralaxe e ideal para controle estatístico. Figura 5.2 - Tipos de paquímetros Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 19 5.3 Paquímetro Universal O paquímetro universal é o mais utilizado. A representação estrutural de um paquímetro do tipo universal é mostrada na Figura 5.3. Tabela 5.1 – Componentes de um paquímetro. 1. Orelha fixa; 8. Encosto fixo; 2. Orelha móvel; 9. Encosto móvel; 3. Nônio ou vernier (Polegada); 10. Bico móvel; 4. Parafuso de trava; 11. Nônio ou vernier (milímetros) 5. Cursor; 12. Impulsor 6. Escala fixa de polegadas 13. Escala fixa de milímetros; 7. Bico fixo; 14. Haste de profundidade. Figura 5.3 – Representação estrutural de um paquímetro. O paquímetro possui em seu corpo duas escalas principais fixas. Na parte superior apresenta uma escala graduada em polegadas e na parte inferior uma escala graduada em milímetros. Acoplado ao corpo do paquímetro tem-se o nônio ou vernier (esta nomenclatura é em homenagem ao português Pedro Nunes e ao Francês Pierre Vernier, considerados seus inventores.). O nônio possui uma divisão a mais que a unidade usada na escala fixa. No sistema métrico, existem paquímetros em que o nônio possui dez divisões equivalentes a 9 mm. Há, portanto, uma diferença de 0,1 mm entre o primeiro traço da escala fixa e o primeiro traço da escala móvel, que é a menor divisão da escala. Essa diferença é de 0,2 mm entre o segundo traço de cada escala; de 0,3 mm entre o terceiro e assim por diante. A seguir mostramos dois exemplos de medidas usando o paquímetro. EXEMPLO 1 – Leitura com um paquímetro de 10 divisões. RESOLUÇÃO 1 mm/10 = 0,1 mm LEITURA NA ESCALA FIXA 103,00 mm LEITURA NO NÔNIO 0,5 mm LEITURA 103,5 mm Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 20 EXEMPLO 2 – Leitura com um paquímetro de 20 divisões. RESOLUÇÃO 1 mm/20 = 0,05 mm LEITURA NA ESCALA FIXA 73,00 mm LEITURA NO NÔNIO 0,65 mm LEITURA 73,65 mm 5.4 Materiais Utilizados a) Paquímetro; d) Peças de madeira; b) Fios de eletricidade; e) Canos hidráulicos. c) Porcas com parafuso; 5.5 Procedimentos Experimentais 5.5.1 Medida da Espessura e da Área de um Fio Condutor a) Meça o diâmetro do fio em quatro pontos diferentes e anote os resultados na Tabela 5.2; b) Calcule a área de seção reta do fio para cada diâmetro medido anote na Tabela 5.2; c) Calcule o diâmetro médio e a área de seção reta média do fio bem como o desvio padrão dessas grandezas e anote na Tabela 5.2; d) Escreva na tabela o valor do diâmetro e da área nas formas d d e A A . Caso o desvio padrão calculado seja menor que a incerteza do aparelho de medida, dê a resposta usando a incerteza do aparelho utilizado na medida. Tabela 5.2 Diâmetro, d (mm) 1d 2d 3d 4d Área, A (mm2) 1A 2A 3A 4A Diâmetro médio, d (mm) Área média, A (mm2) Desvio padrão do diâmetro (mm) Desvio padrão da área (mm2) Diâmetro, d d (mm) Área, A A (mm2) 5.5.2 Medida do Diâmetro Interno de um Cano Hidráulico a) Meça o diâmetro interno do cano em quatro pontos diferentes e anote-os na Tabela 5.3; b) Calcule o diâmetro médio e o desvio padrão e anote na Tabela 5.3. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 21 c) Escreva o valor do diâmetro na forma: d d . Caso o desvio padrão calculado seja menor do que a incerteza do aparelho de medida, dê a resposta usando a incerteza do aparelho utilizado na medida. Tabela 5.3 Diâmetro, d (mm) 1d 2d 3d 4d Diâmetro médio, d (mm) Desvio padrão, (mm) Diâmetro, d d (mm) 5.5.3 Medida das Dimensões de Parafusos e Porcas Nos parafusos e porcas sobre a mesa, meça as dimensões indicadas nas figuras abaixo e anoteos valores medidos no espaço abaixo. a = b = c = d = e = 5.5.4 Desenho em escala de um objeto Meça as dimensões de uma peça de madeira sobre a bancada (comprimento, largura, profundidade, diâmetro, separação entre os furos, etc.) e faça um desenho indicando as medidas realizadas. a b c d e Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 22 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 23 Aula 6 Instrumentos de Medidas II: Micrômetro 6.1 Objetivos Realizar medidas experimentais fazendo uso do micrômetro, aplicando os conhecimentos adquiridos no estudo da teoria de erros e medidas. 6.2 Introdução O micrômetro (Fig. 6.1) é um instrumento cuja precisão atinge a casa do milionésimo do metro, vindo daí o nome micrômetro (micro, = 10-6) que corresponde a 10-6 metros ou 10-3 milímetros. Na França, este instrumento recebe o nome de “Palmer”, em homenagem ao seu inventor Jean Louis Palmer, que requereu sua patente em 1848. É utilizado, por exemplo, em medidas de espessura de lâminas, diâmetros de fios, etc. O micrômetro é ainda mais delicado do que o paquímetro e deve ser manuseado com muito cuidado (nunca force um micrômetro). A representação estrutural de um micrômetro deve conter: 1. Precisão do micrômetro; 6. Isolante Térmico; 2. Faces de medição; 7. Trava; 3. Batente; 8. Tambor; 4. Fuso; 9. Catraca; 5. Arco; 10. Escalas no tambor e nônio. Figura 6.1 A estrutura do micrômetro. Conforme se vê na Figura 6.1, o micrômetro consiste de um parafuso de rosca fina de alta precisão (parafuso micrométrico) que avança ou retrocede ao longo do próprio eixo. O objeto que será medido deve ser colocado entre as duas faces de medição. Gira-se o parafuso micrométrico até 2 9 8 7 3 4 6 5 1 10 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 24 que as faces encostem de leve no objeto. Para não danificar as faces com um aperto excessivo do parafuso, deve-se apertá-lo, exclusivamente, por meio da catraca afixada no fim do tambor. A catraca contém um dispositivo de segurança que não permite que se apliquem pressões excessivas às esperas (batente e fuso). Cada volta completa do parafuso corresponde em geral a uma avanço de 0,5 mm (“passo” do parafuso). No tambor há uma escala circular que geralmente tem 50 divisões. Cada divisão corresponde então a um avanço de 0,5/50 = 0,01 mm (resolução), como mostra a Figura 6.2. Figura 6.2 Para se fazer uma leitura no micrômetro, observa-se primeiro a que valor da escala horizontal corresponde a borda circular do tambor (leitura na escala fixa, ver exemplos a seguir). Essa borda é o índice de leitura para a escala horizontal. Depois soma-se a este valor o valor lido na escala circular (leitura na escala móvel), ou seja, o valor que coincide com a reta da escala horizontal. Veja os exemplos a seguir. 6.3 Procedimentos de Medida As medidas podem ser feitas com micrômetros com resolução de 0,01mm ou com resolução de 0,001mm: 6.3.1 Leitura no Micrômetro com Resolução de 0,01 mm a) 1º passo: leitura dos milímetros inteiros na escala de milímetros (também conhecida pelo nome de bainha). b) 2º passo: leitura dos meios milímetros (também na escala da bainha). c) 3º passo: leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor. d) 4º passo: a leitura final será a soma dessas três leituras parciais. Exemplos: a) 17,00 mm (escala dos milímetros) 0,50 mm (escala dos meios) 0,32 mm (escala centesimal do tambor) 17,82 mm Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 25 b) 23,00 mm (escala dos milímetros) 0,00 mm (escala dos meios) 0,09 mm (escala centesimal do tambor) 23,09 mm 6.3.2 Leitura no Micrômetro com Resolução de 0,001 mm a) 1º passo: leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha. b) 2º passo: leitura dos meios milímetros na mesma escala. c) 3º passo: leitura dos centésimos na escala do tambor. d) 4º passo: leitura dos milésimos com o auxílio do nônio da bainha, verificando qual dos traços do nônio coincide com o traço do tambor. e) 5º passo: a leitura final será a soma dessas quatro leituras parciais. Exemplos: a) 20,000 mm (escala dos milímetros) 0,500 mm (escala dos meios) 0,110 mm (escala centesimal do tambor) 0,008 mm (escala nônio) 20,618 mm b) 18,000 mm (escala dos milímetros) 0,000 mm (escala dos meios) 0,090 mm (escala centesimal do tambor) 0,006 mm (escala nônio) 18,096 mm Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 26 6.4 Materiais Utilizados a) Micrômetro; b) Fios de cobre; c) Placas retangulares; d) Esferas. 6.5 Procedimentos Experimentais 6.5.1 Medida da Espessura de uma Camada de Tinta a) Meça a espessura da placa na parte em que não há tinta STL e na parte em que há tinta CTL . Após realizar as medidas indicadas anote-as na Tabela 6.1; b) Encontre a espessura da camada de tinta TL subtraindo os valores encontrados no item (a): T CT STL L L . Anote o valor encontrado na Tabela 6.1; c) Use a incerteza do micrômetro (metade da menor escala) para expressar o resultado final. Anote o valor na Tabela 6.1. Tabela 6.1 STL (mm) CTL (mm) TL (mm) TL (mm) 6.5.2 Medida do Diâmetro de um Fio a) Meça o diâmetro D de um fio e expresse o resultado da medida levando em conta a incerteza do micrômetro. Anote o resultado na Tabela 6.2; b) Meça o diâmetro d de um pedaço de grafite usado em sua lapiseira e expresse o resultado da medida levando em conta a incerteza do micrômetro. Anote o resultado na Tabela 6.2. A medida do diâmetro do grafite está de acordo com as especificações do fabricante? Tabela 6.2 Diâmetro do fio (mm) Diâmetro do Grafite (mm) D d 6.3.3 Cálculo do Volume e da Área de uma Esfera a) Com o micrômetro meça o diâmetro D de uma esfera em quatro pontos diferentes. Anote os valores na Tabela 6.3; b) Em seguida calcule o diâmetro médio: D . Anote o valor na Tabela 6.3; c) A partir do diâmetro médio, calcule a área média da superfície da esfera através da relação: 2A D . Anote na Tabela 6.3 o valor encontrado; d) A partir do diâmetro médio, calcule o volume médio da esfera pela relação: 3 6V D . Anote na Tabela 6.3 o valor encontrado. Tabela 6.3 1D (mm) 2D (mm) 3D (mm) 4D (mm) D (mm) A (mm2) V (mm3) Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 27 6.3.4 Estimativa da Quantidade de Folhas de um Livro a) Meça a espessura L de uma das páginas de um livro (pode ser sua própria apostila de laboratório). Repita esse procedimento para outras quatro páginas do livro, escolhidas ao acaso e anote os valores na Tabela 6.4; b) Calcule a espessura média de uma página L e anote o resultado na Tabela 6.4; c) Meça a espessura total G do livro, excetuando a capa. Anote o resultado na Tabela 6.4; d) Estime a quantidade eN de folhas do livro dividindo a espessura G do livro pela espessura média L de uma página, ou seja eN G L . Anote o resultado na Tabela 6.4; e) Conte manualmente o número de páginas N que o livro possui. Anote o valor na Tabela 6.4; f) Calcule o erro percentual cometido entre o número de páginas da estimativa eN e a quantidade verdadeira de páginas N usando a relação: (%) .100e N N E N Tabela 6.4 1L 2L 3L 4L 5L L G eN N (%)E Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 28 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 29 Aula 7 Gráficos I: Papel Milimetrado 7.1 Objetivos Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais. 7.2 Construção de Tabelas e Gráficos A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis. Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que podem ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta dos dados. Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais: a) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado; b) Escolha a área do papel com tamanho adequado; c) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x; d) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores intermediários; por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7. Se possível, cada um dos eixos deve começar em zero; e) Colocar título e comentários. É conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto; f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado; g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho com um ponto no centro). Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 30 7.3 Construção de uma Escala Linear Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer, inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os valores máximo e mínimo da grandeza medida. Essa diferença será representada por “D”. Dividindo- se “L” por “D”, obtém-se uma certa constante denominada de “módulo da escala” (Mod). Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de comprimento. Força (N) 4 9 20 26 32 O intervalo das medidas é D = 32 – 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o módulo da escala é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade da força será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, então, com espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L (por razões estéticas). No exemplo acima, um número conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala. Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo acima, é aconselhável incluir o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessária a apresentação da origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod = 18/32 = 0,5625 cm/N. Com a determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada uma das medidas da tabela. No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5 cm/N, tem-se a correlação dada pela Tabela 7.1. Tabela 7.1 Comprimento em cm que representa cada valor de Força. Força (N) 4 9 20 26 32 Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0 Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da força. É tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se costuma fazer é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. Indica-se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de modo a se ter uma boa visualização de seus valores. Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode indicar, visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício 1. 7.4 Ajuste de Curvas a Dados Experimentais Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função do 1o grau, cuja representação gráfica é uma reta. Quando determinamos experimentalmente os Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 31 dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão perfeitamente alinhados, então, o nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais. Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser “a olho”. Neste método o observador deverá ajustar uma reta aos pontos a partir da observação visual destes pontos. Este procedimento tem a desvantagem de observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, já que a escolha é subjetiva devida a interpretação de cada um. Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar matematicamente a “melhor reta ajustada”. Isto pode ser feito com o “Método dos Mínimos Quadrados”, no qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax + b) que se ajusta a N pontos experimentais. Os coeficientes desta reta são: 22 i i i i i i N x y x y a N x x (7.1) e 2 22 i i i i i i i y x x y x b N x x . (7.2) 7.5 Material Utilizado a) Régua milimetrada; b) Papel milimetrado. 7.6 Aplicações Exercício 1 Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S0 = 500m, com uma aceleração constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será: 2 2 0 1 500 2 S S at S t Com esta última equação obtêm-se o valor da posição S para cada valor do tempo t. A Tabela 7.2 indica estes valores variando o tempo t de um em um segundo. Tabela 7.2 tempo t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 posição S (cm) 500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600 Com os dados da Tabela 7.2 foi construído o gráfico Sxt, em duas escalas diferentes, como mostra a Figura 7.1. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 32 (a) (b) 0 2 4 6 8 10 0 200 400 600 800 1000 S(m) t(s) 0 2 4 6 8 10 500 520 540 560 580 600 S(m) t(s) Figura 7.1 Gráficos Sxt em duas escalas diferentes. Em qual dos dois gráficos (os doisestão corretos) se observa melhor o resultado esperado? Justifique sua resposta. Exercício 2 Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função ( ) 200tP t , onde t é dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois gráficos P t em escalas diferentes, de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no outro ela aumente lentamente. Tabela 7.3 tempo t (ano) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 população P Exercício 3 a) Represente no gráfico YxX os pontos da Tabela 7.4. Tabela 7.4 X (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y (m) 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31 b) Ajuste uma reta “a olho” aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare com os valores encontrados com os de outros alunos. c) Aplicando o método dos mínimos quadrados (veja as equações (7.1) e (7.2)), determine a equação da reta (y = ax + b) que melhor se ajusta aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e compare com a reta ajustada “a olho”. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 33 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 34 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 35 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 36 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 37 Aula 8 Gráficos II: Papel Dilog 8.1 Objetivos Linearizar funções do tipo exponencial usando escalas logarítmicas através do papel dilog. 8.2 Introdução Nos gráficos cartesianos, a linha que une os diferentes pontos assinalados é uma curva que pode, em alguns casos, ser representada por uma função conhecida. Logicamente, o gráfico mais fácil de ser traçado e analisado (interpretado) é uma reta, portanto, é comum executar uma transformação de variáveis, de modo a se obter uma reta. 8.3 Escalas Logarítmicas Se o gráfico dos valores tabelados em uma experiência for uma curva, a sua função pode não ser de fácil determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser determinadas pelo uso adequado dos papéis logarítmicos: papel mono-logarítmico (mono-log) e o papel dilogarítmico (log- log). O papel log-log possui escala logarítmica nos dois eixos. O melhor papel a ser utilizado dependerá dos dados obtidos experimentalmente. Numa escala linear como a do papel milimetrado, visto na Aula 7, a distância entre os traços consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da grandeza a ser representada. Numa escala logarítmica, isto não acontece. As distâncias entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é variável. A escala logarítmica é constituída de décadas. Uma década é uma escala contida em um comprimento L, iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo N um número inteiro que pode ser negativo, nulo ou positivo, isto é, N Z . Entre estes números são colocados os algarismos inteiros de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N. No papel di-log, os pontos no eixo de ordenadas (eixo Y) e no eixo das abscissas (eixo X) estarão representando os logaritmos dos números, portanto, para se construir o gráfico basta marcar diretamente os pontos correspondentes aos valores de x e y nos eixos. Assim, a função do papel di- log é poupar o trabalho de se extrair os logaritmos de todos os valores de x e y. As regras para construção de gráficos em escala di-log são as mesmas que foram colocadas na Aula 7 (Gráficos I), a menos no que diz respeito à escala dos eixos. 8.4 Utilização do Papel Log-Log Se a curva obtida ao construir um gráfico em um papel milimetrado for do tipo ky x , (10.1) onde e k são constantes a serem encontradas para que a função ( )xy seja determinada, caso fosse possível construir um gráfico de y em função de kx , que seria uma reta passando pela Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 38 origem, a constante seria determinada através do coeficiente angular desta reta. No entanto, isto não é possível, pois, não conhecendo o valor de k , não se pode obter os valores de kx . Para resolver esse problema, aplica-se o operador logaritmo em ambos os lados da equação (8.1): log( ) log( ) log( ) log( ) log( )k ky x y x resultando em: log( ) log( ) log( )y k x . (8.2) Observamos que a expressão resultante é uma reta do tipo: Y A kX , (8.3) sendo log( )Y y , log( )A e log( )X x . Note que A e k são, agora, facilmente obtidos fazendo uso do gráfico dessa reta. A constante k é a inclinação da reta, sendo dada por: 2 1 2 1 2 1 2 1 log( ) log( ) log( ) log( ) Y Y y yYk X X X x x . (8.4) O valor de A é obtido por extrapolação da reta tomando 0X (observe que isto implica em tomar 1x na equação 8.1). Observamos que no papel log-log o coeficiente angular da reta pode ser encontrado diretamente do gráfico, medindo Y e X com uma régua e dividindo Y por X . 8.5 Exercícios Para um corpo em queda livre, partindo do repouso, a distância h em função do tempo t para um dado referencial, onde 0 0h , varia de acordo com a expressão: 2 2h gt . Considerando 10g m/s2 teremos simplesmente: 25h t . (8.5) Usando esta equação complete a Tabela 8.1. Tabela 8.1 t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h (m) a) Construa o gráfico hxt num papel milimetrado; b) Linearize a equação 25h t ; c) Construa o gráfico hxt num papel log-log e determine o coeficiente angular desta reta. Verifique se o valor encontrado é aproximadamente igual a 2, que é justamente o expoente da variável t da equação (8.5). Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 39 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 40 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 41 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 42 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 43 Aula 9 Corpos em Queda Livre 9.1 Objetivos Determinar a aceleração da gravidade local e deduzir a lei de queda livre fazendo uso do papel log-log na construção de gráficos. 9.2 Introdução O exemplo mais comum de movimento com aceleração (aproximadamente) constante é o de um corpo caindo na superfície terrestre. Desprezando a resistência do ar, verifica-se que todos os corpos caem com a mesma aceleração, em um mesmo ponto da superfície terrestre, não importando seu tamanho, seu peso ou sua constituição; se a altura de queda não for muito grande, a aceleração permanecerá constante durante todo o movimento. Este movimento ideal, no qual são desprezadas a resistência do ar e algumas pequenas variações da aceleração com a altitude (o valor de g depende da latitude e da altitude terrestre) é chamado de queda livre. A aceleração de um corpo em queda livre é chamada aceleração da gravidade e é representada pelo símbolo g (a seta indica a natureza vetorial da grandeza). Próximo à superfície da Terra, seu valor é de aproximadamente 9,8 m/s2, sua direção é normal à superfície terrestre e seu sentido é dirigido para o centro da terra. Escolhendoum referencial rigidamente ligado à Terra (veja a Fig. 9.1), a direção do eixo Oy será vertical e seu sentido positivo para cima. Então a aceleração da gravidade, g será um vetor apontando verticalmente para baixo (para o centro da Terra), no sentido negativo de Oy (essa escolha é arbitrária: em outros problemas poderá ser mais conveniente escolher o sentido para baixo como positivo). A equação horária de um objeto em queda livre é a mesma de um corpo em movimento uniformemente acelerado, ou seja: 2 0 0 2 y y a y y t t v , (9.1) em que 0y é a posição inicial, 0 yv é a velocidade inicial na direção y, e ya g é a aceleração da gravidade, dirigida para baixo em relação ao eixo vertical orientado para cima como mostrado na Fig. 9.1. Figura 9.1 Representação esquemática de um corpo em queda livre. y 0 x 0 0 00, 0, ,y yt y h a g v h , 0qt t y m Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 44 A equação da queda livre é: 2 2 gh t (9.2) 9.3 Materiais Utilizados a) Sensor eletrônico de medida de tempo; d) Esfera metálica; b) Trena; e) Papel Log-Log. c) Cronômetro Digital; 9.4 Procedimento Experimental 9.4.1 Determinação Direta do Valor de g Usando Cronômetro Digital e Trena. a) Mostre, a partir da Eq. (9.2), que a aceleração da gravidade local pode ser determinada pela relação 2 2hg t : b) Fixe a altura em aproximadamente 1,80 metros e, com o cronômetro digital, meça o tempo (em segundos) de queda. Repita esse procedimento 10 vezes, anotando os resultados na Tabela 9.1; c) Calcule o tempo médio de queda qt e anote o resultado na Tabela 9.1; d) Em seguida, calcule o valor médio da aceleração da gravidade g usando que 22 ( )qg h t . Anote o valor encontrado na Tabela 9.1. Tabela 9.1 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t 10t t g 9.4.2 Determinação do Valor de g Usando o Sensor Eletrônico de Medida de Tempo. a) Com a altura fixa em 1,80 metros, use desta vez o sensor eletrônico de tempo para medir o tempo de queda. Repita esse procedimento 10 vezes e anote os valores do tempo de queda (em segundos) na Tabela 9.2: b) Calcule o tempo médio de queda qt e anote o resultado na Tabela 11.2; c) Calcule g usando 22 ( )qg h t . Anote o valor encontrado na Tabela 9.2. Ele difere do valor obtido anteriormente? Por quê? Tabela 9.2 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t 10t t g Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 45 9.4.3 Dedução Experimental da Equação de Queda Livre. a) Com a trena, meça a altura h a partir da qual a esfera de aço é solta. Observe o tempo de queda decorrido. Repita o procedimento para cinco alturas diferentes e anote os resultados na Tabela 9.3. b) Construa um gráfico h t em escala log-log. Qual é o tipo de curva? Tabela 9.3 h (m) Tempo de queda (s) 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 k c) Suponha que a lei da queda livre é do tipo kh t , em que e k são constantes. Linearize a equação. d) A partir do gráfico determine as constantes k e . O resultado do experimento está de acordo com o que você esperava? Por quê? Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 46 Gráfico Log-Log de h t 1 2 h (m ) tq (s) 1,2 1,4 1,6 1,8 0,3 0,4 0,80,70,60,5 Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 47 Aula 10 Lançamento Oblíquo de um Projétil 10.1 Objetivos Estudar o movimento de um projétil em duas dimensões para medir sua velocidade inicial e relacionar o ângulo de inclinação com o alcance atingido. 10.2 Introdução Um exemplo de movimento curvilíneo com aceleração é o movimento de um projétil, isto é, o movimento bidimensional de uma partícula lançada obliquamente no ar (Figura 10.1). O movimento ideal (desprezando a resistência do ar) de uma bola de futebol ou de uma bola de golfe são exemplos de movimentos de projéteis. A componente horizontal da aceleração é nula, esse tipo de movimento se realiza com aceleração constante g , dirigida para baixo. Caso seja escolhido um sistema de coordenadas Oy dirigido para cima, pode-se escrever 0xa e ya g , e o movimento será descrito pelas equações: 0 0xx x t v (10.1a) 2 0 0 1 2y y y y t a t v (10.1b) em que 0x e 0y são as coordenadas da posição inicial, 0xv e 0 yv são as componentes da velocidade inicial, e ya g é a aceleração da gravidade, dirigida para baixo em relação ao eixo vertical orientado para cima como na Figura 10.1. Figura 10.1: Representação esquemática do movimento de um corpo lançado horizontalmente a partir de uma altura h. D é o alcance máximo do projétil, qt é o tempo de queda, 0 0,t 0 0,y v 0 0 00, , 0xx y h v . 0xV , 0qt t y h y x 0 D Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 48 10.3 Materiais Utilizados a) Lançador de projéteis; d) Fita crepe; g) régua. b) Esfera de plástico; e) Papel carbono; c) Trena; f) Papel A4; 10.4 Procedimentos Experimentais 10.4.1 Obtenção do Alcance em Função do Ângulo de Lançamento a) Certifique-se que o projétil será arremessado a partir do plano da superfície da mesa; b) Monte o lançador de projétil em um ângulo de inclinação de 30º; c) Coloque um papel carbono em cima de um papel branco (uma folha A4) para marcar o ponto onde a bola atinge o plano da mesa. Faça um teste antes lançando o projétil para saber a posição correta em que se deve colocar o papel. Para que o papel não se desloque ao ser atingido pelo projétil, fixe o papel com um fita crepe; d) Dispare o lançador e meça com uma trena ou régua o alcance D . Repita o procedimento para dez disparos e anote o resultado na Tabela 10.1; e) Repita os procedimentos (c) e (d) para os ângulos de 45º e 60º; f) Calcule o valor médio e o desvio padrão do alcance D para cada um dos três ângulos; g) Represente os alcances em termos dos valores médios D e de suas respectivas incertezas ; h) Verifique, observando o desvio padrão, que os alcances para os ângulos de 30º e 60º são iguais (duas médias são iguais se estiverem dentro do intervalo do desvio padrão) e que o maior alcance é para o ângulo de 45º. Tabela 10.1 Alcance (cm) – 30º Alcance (cm) – 45º Alcance (cm) – 60º DD DD DD Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 49 10.4.2 Medida da Velocidade Inicial do Projétil a) O lançador de projétil deve ser posicionado na horizontal (observe no transferidor a posição angular) a uma altura h da superfície da mesa. b) Meça a altura h do lançador de projétil ( h é a altura da boca do canhão até o plano da mesa); c) Coloque um papel carbono em cima de um papel branco (uma folha A4) para marcar o ponto onde a bola atinge o plano da mesa. Faça um teste antes, lançando o projétil para saber a posição correta em que se deve colocar o papel. Para que o papel não se desloque ao ser atingido pelo projétilfixe o papel com um fita crepe; d) Obtenha, a partir da equação (10.1a) e (10.1b) a seguinte relação para a velocidade inicial 0xv de lançamento do projétil: 0 2x gD h v , (10.2) sendo g o módulo da aceleração da gravidade local; e) Com a trena, meça o alcance D do projétil para 10 lançamentos. Anote os resultados na Tabela 10.2; f) Para cada valor de D calcule a velocidade horizontal 0xv do projétil (use a eq. 10.2). Anote os valores na Tabela 10.2; g) Calcule a velocidade inicial média horizontal 0xv do projétil e a represente em termos do desvio padrão 0 0x x v v . Anote os resultados na Tabela 10.2. Tabela 10.2 Alcance (m) Velocidade (m/s) 0x v 0 0x x v v Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 50 Aula 11 Equilíbrio I: Forças Coplanares 11.1 Objetivos Verificar experimentalmente o equilíbrio de forças usando um dispositivo conhecido como mesa de forças. 11.2 Introdução As grandezas físicas são divididas em escalares e vetoriais. As grandezas que ficam bem caracterizadas apenas por um número e uma unidade, tendo consequentemente apenas um valor numérico, são denominadas escalares. Massa, tempo, energia e temperatura são exemplos de grandezas escalares. Já as grandezas vetoriais, como força, velocidade e aceleração, para serem completamente caracterizadas, exigem a especificação de um módulo, uma direção e um sentido que se combinam segundo certas regras de adição, subtração e multiplicação vetorial. Sejam dois vetores 1F e 2F de comprimentos 1F e 2F fazedo entre si um ângulo . Calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares é possível mostrar que o comprimento da soma dos dois vetores resF é dado por: 2 2 res 1 2 1 22 cosF F F F F . (11.1) O método experimental desta aula consiste em aplicar duas forças em uma mesa de força sobre polias posicionadas em ângulos determinados. Sobre a terceira polia ajusta-se o valor da força e o posicionamento desta polia em função do ângulo até que se estabeleça o equilíbrio entre as três forças. Essa terceira força é chamada força de equilíbrio 3 3( )F P . Essa força não é a mesma força resultante, ela possui o mesmo módulo, mesma direção, porém sentido oposto, visto que equilibra o sistema, como mostrado na Figura 11.1, ou seja: res 3F F . Figura 11.1 Esquema de montagem da mesa de força. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 51 11.3 Materiais Utilizados a) Mesa de força; b) Três polias; c) Três suportes para massas ligados por fios em um anel de plástico; d) Conjunto de massas. 11.4 Procedimento Experimental 11.4.1 Equilíbrio Entre Três Forças a) Prepare a mesa de força com a ajuda do professor; b) Coloque a polia 1 na posição angular de 0º (zero grau) e a polia 2 na posição angular de 30º. A polia três será utilizada como polia móvel e será a polia da força de equilíbrio; c) Escolha duas massas fixas: de 50 g para a polia um e de 100 g para a polia dois; d) Procure a posição angular de equilíbrio da polia 3: posição em que o anel não toca a coluna central; e) Coloque massas na polia 3 até que o anel fique bem centralizado. Anote o valor da massa suspensa na polia 3: 3m ; f) Varie a posição angular da polia 2 em intervalos de 15º até 165º repetindo o procedimento dos itens d) e e) para cada variação. Anote os resultados na Tabela 11.1. Tabela 11.1 posição angular da polia 1 posição angular da polia 2 posição angular da polia 3 3m (kg) 0º 30º 0º 45º 0º 60º 0º 75º 0º 90º 0º 105º 0º 120º 0º 135º 0º 150º 0º 165º Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 52 11.4.2 Cálculo do Módulo da Força de Equilíbrio a) Calcule o módulo da força de equilíbrio 3F para cada valor de massa da Tabela 11.1 utilizando a relação 3 3 3F P m g (use 9,78g m/s2). Anote os resultados na Tabela 11.2; b) Calcule o módulo da força de equilíbrio resF utilizando a lei dos cossenos (equação 11.1) para cada posição angular da Tabela 11.1. Note que: 1 1 1F P m g e 2 2 2F P m g . Anote os resultados na Tabela 11.2; c) Calcule a diferença percentual entre 3F e resF para cada um dos pares da Tabela 11.2 usando a relação: res 3 res (%) 100 F F E F d) Os valores de 3F e resF deveriam ser iguais. Explique os motivos da discordância (caso exista) entre esses dois valores. Tabela 11.2 30º 45º 60º 75º 90º 105º 120º 135º 150º 165º 3F (N) resF (N) E(%) Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 53 Aula 12 Equilíbrio II: Momento de um Força 12.1 Objetivos Verificar as condições de equilíbrio de um corpo sobre o qual atuam diversas forças. 12.2 Introdução A análise do equilíbrio estático é muito importante na prática de engenharia. O engenheiro, ao projetar qualquer estrutura, deve isolar e identificar todas as forças e torques externos que podem atuar sobre ela e, por meio de um bom projeto e de uma escolha inteligente de materiais, garantir que a estrutura permanecerá estável sob a ação dessas forças e torques. Tal análise é necessária para garantir, por exemplo, que pontes não entrarão em colapso sob suas cargas de tráfego e de vento, ou, para citar um outro exemplo, que o trem de aterrissagem de aeronaves resistirão ao choque de aterrissagens bruscas. Os movimentos de translação e rotação de um corpo são governados pela segunda lei de Newton, expressa em termos do momento linear P e do momento angular L : res 1 N i i dPF F dt e res 1 N i i dL dt , (12.1) em que resF é a força resultante e res é o torque resultante. Se o corpo estiver em equilíbrio de rotação ( L for constante) e translação ( P for constante), podemos enunciar duas exigências para o equilíbrio: Equilíbrio de Translação: A soma vetorial de todas as forças externas que agem sobre o corpo deve ser nula: res 1 0 N i i F F Equilíbrio de Rotação: A soma vetorial de todos os torques externos que agem sobre o corpo, medidos em relação a qualquer ponto possível, deve ser nula res 1 1 0 N N i i i i i r F 12.3 Materiais Utilizados a) Barra metálica (ou plástica) – travessão; b) Massas aferidas; c) Régua graduada (ou trena); d) Balança. Caderno de Laboratório de Física Aplicada 1 – ANO 2015 54 12.4 Procedimentos Experimentais 12.4.1 Equilíbrio a) Monte o equipamento com os materiais fornecidos (veja a Fig. 12.1); Figura 12.1 Representação do Equipamento utilizado. b) Com o travessão colocado no suporte (preso pelo orifício central), coloque duas massas iguais em cada extremidade do travessão e observe o equilíbrio; c) Altere a posição e o valor das massas, procurando novas posições de equilíbrio em que a barra fique na horizontal. Repita o procedimento 5 (cinco) vezes e anote os resultados na Tabela 12.1; d) Para cada posição de equilíbrio meça as distâncias 1r e 2r em relação ao ponto de apoio, e calcule o módulo das forças 1F e 2F assim como os respectivos torques 1 e 2 provocados por estas duas forças. Adote g 9,8 m/s2. Anote os
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